Scomposizione in fattori di un polinomio

Prof. Walter Pugliese

La scomposizione in fattori dei polinomiScomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di prodotto di polinomi di grado

inferiore

Esempio:x" − 16 = x' − 4 x' + 4

x' − 4 può essere scomposto ulteriormente in 𝑥 + 2 𝑥 − 2 . Quindi:

𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 = 𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒

Invece x' + 4 non è scomponibile ed è possibile verificarlo applicando il teorema di Ruffini.

Definizione:Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di polinomi, tutti di grado minore. Un polinomio non riducibile si chiama irriducibile.

Osservazione:Da questo momento ci porremo il problema di scomporre un polinomio in fattori irriducibili.Non è semplice capire quando un polinomio è irriducibile. Per il momento ci accontentiamo di osservare che sono irriducibili tutti i binomi di primo grado.

I metodi per la scomposizione dei polinomi

Purtroppo non esiste un metodo generale per ottenere la scomposizione di un polinomio riducibile. Studieremo allora i metodi più comuni basati su regole algebriche che conosciamo. I metodi sono:

• Raccoglimento a fattore comune• Raccoglimento parziale• Scomposizione riconducibile a prodotti notevoli• Scomposizione di particolari trinomi di secondo grado• Scomposizione mediante il teorema e la regola Ruffini

Il raccoglimento a fattore comune

Se in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore, che può anche essere un numero, allora è possibile mettere in evidenza tale fattore con un raccoglimento a fattore comune

Esempi:𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 = 𝑎 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

5x" − 10x7 − 35x' = 5x' x' − 2x − 7

3 𝑎 + 𝑏 + 𝑥 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 3 + 𝑥

Il raccoglimento parzialeConsideriamo il seguente polinomio P:

𝑃 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + 𝑎𝑒 + 𝑏𝑒

I primi due termini hanno in comune il fattore c, il terzo e il quarto il fattore d, il quinto e il sesto il fattore e. Raccogliamo i fattori comuni:

𝑃 = 𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑑 𝑎 + 𝑏 + 𝑒 𝑎 + 𝑏

Il polinomio è ora formato dalla somma di tre termini che anno in comune il fattore 𝑎 + 𝑏 . Raccogliamo dunque 𝑎 + 𝑏 :

𝑃 = 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 + 𝑒

Questo metodo di scomposizione viene detto raccoglimento parziale.

Esempi:

𝟑𝒂𝒙 + 𝟑𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒃𝒚 = 3𝑥 𝑎 + 𝑏 + 𝑦 𝑎 + 𝑏 = 𝒂 + 𝒃 𝟑𝒙 + 𝒚

𝒂𝒙 − 𝒂 − 𝟐𝒃𝒙 + 𝟐𝒃 = 𝑎 𝑥 − 1 − 2𝑏 𝑥 − 1 = 𝒙 − 𝟏 𝒂 − 𝟐𝒃

𝟐𝒂𝒚 + 𝟑𝒃𝒚 + 𝟐𝒂 + 𝟑𝒃 = 𝑦 2𝑎 + 3𝑏 + 1 2𝑎 + 3𝑏 = (𝟐𝒂 + 𝟑𝒃)(𝒚 + 𝟏)

Scomposizione riconducibile a prodotti notevoli

Usando i meccanismi inversi dei prodotti notevoli, è possibile scomporre in fattori alcuni polinomi:

𝑎' − 𝑏' = 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏𝑎' + 2𝑎𝑏 + 𝑏' = 𝑎 + 𝑏 '

𝑎' − 2𝑎𝑏 + 𝑏' = 𝑎 − 𝑏 '

𝑎' + 𝑏' + 𝑐' + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 '

𝑎7 + 3𝑎'𝑏 + 3𝑎𝑏' + 𝑏7 = 𝑎 + 𝑏 7

𝑎7 − 3𝑎'𝑏 + 3𝑎𝑏' − 𝑏7 = 𝑎 − 𝑏 7

Per la differenza o la somma di due cubi abbiamo:

𝑎7 − 𝑏7 = 𝑎 − 𝑏 𝑎' + 𝑎𝑏 + 𝑏'𝑎7 + 𝑏7 = 𝑎 + 𝑏 𝑎' − 𝑎𝑏 + 𝑏'

La scomposizione di particolari trinomi di secondo grado

Consideriamo il trinomio di secondo grado:𝑥' + 8𝑥 + 15

Esso è particolare per due motivi:

• Il coefficiente di 𝒙𝟐 è 𝟏• I numeri 𝟖 e 𝟏𝟓 sono, rispettivamente la somma e il prodotto di 𝟑 e 𝟓

Ebbene, se proviamo a moltiplicare i due binomi 𝑥 + 3 e 𝑥 + 5 , otteniamo proprio il trinomio 𝑥' + 8𝑥 +15.

In generale un trinomio di secondo grado del tipo 𝑥' + 𝑠𝑥 + 𝑝 è scomponibile nel prodotto 𝑥 + 𝑎 (𝑥 + 𝑏) se 𝑠 = 𝑎 + 𝑏 e 𝑝 = 𝑎𝑏.

In altri termini:

𝒙𝟐 + 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃)

Esempi:

𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝒙 + 𝟒 (𝒙 + 𝟑) 𝒔 = 𝟒 + 𝟑 𝒑 = 𝟒 R 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝒙 − 𝟓 (𝒙 + 𝟐) 𝒔 = −𝟓 + 𝟐 𝒑 = −𝟓 R 𝟐

La scomposizione mediante il teorema e la regola di Ruffini

Il teorema di Ruffini permette spesso di scomporre in fattori un polinomio.Sappiamo infatti che, se riusciamo a trovare uno zero di un polinomio 𝐴(𝑥), cioè unvalore 𝑎 tale che 𝐴 𝑎 = 0, potremo affermare che il polinomio 𝐴(𝑥) è divisibile per ilpolinomio B 𝑥 = (𝑥 − 𝑎).La divisione 𝐴(𝑥): B(𝑥) produrrà un polinomio quoziente Q 𝑥 e un resto 𝑅 = 0.A questo punto il polinomio 𝐴(𝑥) potrà essere così scomposto:

𝐴 𝑥 = 𝐵 𝑥 R 𝑄 𝑥 = (𝑥 − 𝑎) R 𝑄(𝑥)

Regola (zeri di un polinomio):Tutti gli zeri di un polinomio a coefficienti interi possono essere cercati fra le frazioni∓ [

\, dove 𝑚 è un divisore del termine noto e 𝑛 è un divisore del coefficiente del

termine di grado massimo.

Esempio (La scomposizione mediante il teorema e la regola di Ruffini):

Dato il polinomio A x = 2𝑥7 − 5𝑥' + 5𝑥 − 6.Per prima cosa devo ricercare uno zero del polinomio A x ovvero un valore 𝑎 tale che 𝐴 𝑎 = 0. I divisori del termine noto sono𝑚 = 1,2,3,6mentre quelli del coefficiente del termine di grado massimo sono n = 1,2 . Pertanto i possibili zeri del polinomio A x sono da ricercare tra i valori∓[

\, ovvero :

∓cc;∓ '

c;∓ 7

c;∓ e

c;∓ c

';∓ '

';∓ 7

';∓ e

'; cioè: ∓1;∓2;∓3;∓6;∓ c

';∓ 7

';

E’ possibile verificare che:

• 𝒂 = 𝟐, cioè il polinomio A x assume valore zero per 𝑥 = 2 , quindi A x è divisibile per 𝑥 − 𝑎.• il quoziente della divisione A x : (𝑥 − 𝑎) cioè della divisione 2𝑥7 − 5𝑥' + 5𝑥 − 6 : 𝑥 − 2 è

𝐐 𝐱 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑

Quindi:A x = 𝑥 − 𝑎 R 𝑄(𝑥)

𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 = (𝐱 − 𝟐)(𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑)

Il polinomio dato è stato quindi scomposto nel prodotto di due polinomi.

M.C.D. e m.c.m. fra polinomi

Per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo fra polinomi, utilizziamolo stesso procedimento già illustrato per i numeri naturali e per i monomi.Scomponiamo innanzitutto i polinomi in fattori irriducibili, raccogliendo anche gli eventuali coefficienti numerici in comune.

Il calcolo del M.C.D.:Il M.C.D. fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni, presi una sola volta con l’esponente minore.

Il calcolo del m.c.m. :Il m.c.m. fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni e non comuni , presi una sola volta , con l’esponente massimo.

Esempio M.C.D. fra polinomi

Determiniamo il M.C.D. fra i seguenti polinomi.𝑎'𝑏 − 𝑏7, 𝑎7 −𝑏7, 𝑎7 − 2𝑎'𝑏 + a𝑏'.

Scomponiamo in fattori irrudicibili:𝑎'𝑏 − 𝑏7 = 𝑏 𝑎' − 𝑏' = 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 (tre fattori)𝑎7 − 𝑏7 = 𝒂 − 𝒃 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 (due fattori)𝑎7 − 2𝑎'𝑏 + a𝑏' = 𝑎 𝑎' − 2𝑎𝑏 + 𝑏' = 𝒂 𝒂 − 𝒃 𝟐 (due fattori)

L’unico fattore comune è 𝒂 − 𝒃 che prendiamo con l’esponente minore. Quindi:

M.C.D.= 𝒂 − 𝒃

Esempio m.c.m. fra polinomi

Determiniamo il mc.m. fra i seguenti polinomi.𝑎'𝑏 − 𝑏7, 𝑎7 −𝑏7, 𝑎7 − 2𝑎'𝑏 + a𝑏'.

Scomponiamo in fattori irrudicibili:𝑎'𝑏 − 𝑏7 = 𝑏 𝑎' − 𝑏' = 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 (tre fattori)𝑎7 − 𝑏7 = 𝒂 − 𝒃 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 (due fattori)𝑎7 − 2𝑎'𝑏 + a𝑏' = 𝑎 𝑎' − 2𝑎𝑏 + 𝑏' = 𝒂 𝒂 − 𝒃 𝟐 (due fattori)

Scegliamo i fattori comuni e non comuni con l’esponente massimo:

m.c.m.= 𝐚𝒃 𝒂 + 𝒃 𝒂 − 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Le frazioni algebriche

Abbiamo già visto che un polinomio A è divisibile per un polinomio B se esiste un polinomio Q che, moltiplicato per B , dà come prodotto A.

𝐴: 𝐵 = 𝑄𝑠𝑒𝑒𝑠𝑜𝑙𝑜𝑠𝑒𝐵 R 𝑄 = 𝐴Quando il polinomio A non è divisibile per B, il quoziente si può indicare solo mediante una frazione algebrica.

Definizione:Dati due polinomi A e B, con B diverso dal polinomio nullo, la frazione 𝑨

𝑩viene detta frazione

algebrica.

Ogni monomio o polinomio può essere considerato una frazione algebrica il cui denominatore è il monomio 1. Dunque l’insieme delle frazioni algebriche include l’insieme dei polinomi.

Le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche

Una frazione algebrica può perdere significato per particolari valori dati alle lettere. Per esempio la frazione:𝑥 − 3𝑥 − 2

non ha significato per 𝑥 = 2 , poiché non può avere denominatore nullo.Una frazione algebrica perde significato per tutti e soli quei valori delle lettere che annullano il denominatore.Usiamo la sigla C.E. per indicare le condizioni di esistenza di una frazione algebrica.

Esempio:

La frazione nocn no"

perde significato quando 𝑥 = 0e 𝑥 = 4.

Scriviamo C.E.:𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 4.

Frazioni algebriche equivalenti

Come già visto per le frazioni numeriche, diciamo che anche due frazioni algebriche sono equivalenti se sono uguali i due prodotti “in croce”.

Esempio:rosr~ ruosu

ruvrsinfatti:

𝑎 − 𝑏 𝑎' + 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑎' − 𝑏'𝑎7 + 𝑎'𝑏 − 𝑎'𝑏 − 𝑎𝑏' = 𝑎7 − 𝑎𝑏'

𝑎7 − 𝑎𝑏' = 𝑎7 − 𝑎𝑏'

La semplificazione delle frazioni algebricheSe dividiamo il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica per lo stesso polinomio (diverso da 0), otteniamo una frazione algebrica equivalente. Vale cioè anche per le frazioni algebriche la proprietà invariantiva.

Esempio :Data la frazione

𝑎7𝑏 + 2𝑎'𝑏' + 𝑎𝑏7

𝑎" + 3𝑎7𝑏 + 3𝑎'𝑏' + 𝑎𝑏7

ScomponiamoinfattorinumeratoreedenominatoreeponiamoleC.E.

𝑎𝑏 𝑎' + 2𝑎𝑏 + 𝑏'

𝑎 𝑎7 + 3𝑎'𝑏 + 3𝑎𝑏' + 𝑏7 =𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 '

𝑎 𝑎 + 𝑏 7 𝐶. 𝐸. : 𝑎 ≠ 0 ∧ 𝑎 + 𝑏 ≠ 0

Dividiamo numeratore e denominatore per i fattori comuni 𝑎 𝑎 + 𝑏 '. 𝐿𝑎𝑓𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑒𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑎è:

𝑏𝑎 + 𝑏

L’addizione e la sottrazione di frazioni algebricheLa somma algebrica di due o più frazioni algebriche, che hanno lo stesso denominatore, è la frazione algebrica che ha per denominatore lo stesso denominatore, e per numeratore la somma algebrica dei numeratori.

Esempio:Data la somma

5𝑎' + 𝑎𝑏 +

𝑎 + 𝑏𝑎'𝑏 −

1𝑎𝑏 + 𝑏'

ScomponiamoinfattoriidenominatorieponiamoleC.E.

5𝑎(𝑎 + 𝑏) +

𝑎 + 𝑏𝑎'𝑏 −

1𝑏 𝑎 + 𝑏 𝐶. 𝐸. : 𝑎 ≠ 0 ∧ 𝑏 ≠ 0 ∧ 𝑎 + 𝑏 ≠ 0

Riduciamo le frazioni allo stesso denominatore, cioè al m.c.m. fra i denominatori. Eseguiamo poi le somme algebriche al numeratore

�rsv rvs uoru

rus rvs= �rsvr

uv'rsvsuoru

rus rvs= �rsvsu

rus(rvs)

Scomponiamo in fattori il numeratore per semplificare la frazione e scriviamo il risultato

𝑏(7𝑎 + 𝑏)𝑎'𝑏(𝑎 + 𝑏) =

7𝑎 + 𝑏𝑎'(𝑎 + 𝑏)

La moltiplicazione di frazioni algebriche Il prodotto tra due o più frazioni algebriche è una frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Esempio:𝑎' + 2𝑎𝑏 + 𝑏'

𝑎𝑏 − 𝑏' R𝑎' − 𝑎𝑏𝑎" + 𝑎7𝑏

Scomponiamo in fattori numeratori e denominatori e poniamo le C.E.

𝑎 + 𝑏 '

𝑏 𝑎 − 𝑏 R𝑎 𝑎 − 𝑏𝑎7 𝑎 + 𝑏 𝐶. 𝐸. : 𝑎 ≠ 0 ∧ 𝑏 ≠ 0 ∧ 𝑎 + 𝑏 ≠ 0 ∧ 𝑎 − 𝑏 ≠ 0

Semplifichiamo𝑎 + 𝑏𝑏 R

1𝑎'

Moltiplichiamo numeratori e denominatori𝑎 + 𝑏𝑎'𝑏

La divisione di frazioni algebriche

Il quoziente di due frazioni algebriche è la frazione algebrica che si ottiene moltiplicando la prima frazione per la reciproca della seconda.

𝐴𝐵 :

𝐶𝐷 =

𝐴𝐵 R

𝐷𝐶

N.B.: Le condizioni di esistenza sono 𝐵 ≠ 0,𝐷 ≠ 0 per l’esistenza delle frazioni algebriche, e 𝐶 ≠ 0perché sia possibile eseguire la devisione.

Esempio 1:6𝑎'𝑏5𝑐𝑑 :

8𝑎'

𝑑' =6𝑎'𝑏5𝑐𝑑 R

𝑑'

8𝑎' =3𝑏𝑑20𝑐 𝐶. 𝐸. : 𝑐 ≠ 0 ∧ 𝑑 ≠ 0 ∧ 𝑎 ≠ 0

Esempio 2:𝑥 + 𝑦

𝑥'𝑦 − 𝑥𝑦' :𝑥𝑦

𝑥' − 𝑦' =𝑥 + 𝑦

𝑥𝑦 𝑥 − 𝑦 R𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦

𝑥𝑦 =𝑥 + 𝑦 '

𝑥'𝑦'

𝐶. 𝐸. : 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑦 ≠ 0 ∧ 𝑥 + 𝑦 ≠ 0 ∧ 𝑥 − 𝑦 ≠ 0

La potenza di frazioni algebriche

La potenza di una frazione algebrica è la frazione algebrica che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore.

Esempio 1:

𝑎 + 𝑏'

𝑎' − 2𝑏

7

=𝑎 + 𝑏' 7

𝑎' − 2𝑏 7

Esempio 2:3𝑎'

2𝑏

'

=9𝑎"

4𝑏'