Scienza Delle Costruzioni - 03 - Travi Rigide Piane

7/23/2019 Scienza Delle Costruzioni - 03 - Travi Rigide Piane

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3-1

CAPITOLO 3

STATICA DELLA TRAVE E DEI SISTEMI DI TRAVI

3.1. Travi rigide piane ad asse rettilineo

Si definisce trave l'elemento strutturale corrispondente ad un corpo descritto nella

configurazione di riferimento da un solido cilindrico, generato dal movimento nello spazio

di una superficie piana A, dettasezione trasversale, descritto da una linea continua L, detta

linea d'asse della trave, mutuamente ortogonali (figura 3.1). Il solido che ne risulta ha una

dimensione dominante, la lunghezza della linea d'asse tra gli estremi A e B, rispetto alla

sezione trasversale A.

L

B0

B0

AA

B

Fig. 3.1. Trave, sezione trasversale Ae linea d'asse L.

Lipotesi di piccolezza delle dimensioni della sezione trasversale A rispetto alla

lunghezza || AB = consente di trattare la trave con un modello cinematico e statico pisemplice: il modello di solido cilindrico esteso nelle tre dimensioni (modello solido di

trave tridimensionale) viene ridotto ad un modello monodimensionale, esteso secondo

l'asse della trave, denominato modello strutturale di traveo semplicemente trave.

Mentre travi ad asse curvilineo possono rappresentare diversi elementi strutturali,

quali ad esempio l'arco (L una curva piana), la trave elicoidale (L un'elica), etc., nel

seguito si far riferimento alla geometria pi semplice, ovvero la trave ad asse rettilineo, in


2/23

3-2

cui l'asse L una retta.

f_

L

A

B

Fig. 3.2. Trave piana ad asse rettilineo.

Si consideri inoltre il caso di una trave avente asse rettilineo contenuto in un piano

e sezione trasversale Asimmetrica rispetto allo stesso piano (figura 3.2). Si supponga,inoltre, che i movimenti del corpo cos definito siano piani, ovvero che siano nulle le

componenti di spostamento ortogonali al piano , e che anche le forze applicate sianocontenute in tale piano.

Tali ipotesi consentono di studiare la cinematica e la statica della trave piana ad asse

rettilineo facendo riferimento ad un dominio piano in cui contenuto l'asse della trave, le

forze applicate e i movimenti.

Nel seguito verr considerata l'ulteriore ipotesi di rigidit della trave, che pur

essendo esemplificativa del comportamento della trave, tuttavia consente di effettuare

l'analisi dell'efficacia dei vincoli sia mediante l'analisi cinematica sia mediante l'analisi

statica. Un aspetto metodologico di notevole importanza nel progetto e nella verifica

dell'efficacia dei dispositivi di vincolo per la costruzione.

3.2. Analisi cinematica della trave piana rigida

Si consideri la trave piana descritta mediante il segmento della linea d'asse A0B0su

cui si istituisce un asse s con origine in A0 che consente di individuare i punti sull'asse

stesso. L'ipotesi di rigidit, consente di esprimere lo spostamento di un generico punto Q0,

nella configurazione di riferimento definita nel dominio bidimensionale della trave, in


3/23

3-3

termini dello spostamento del corrispondente punto P0 sull'asse, individuato portando la

perpendicolare passante per Q0 alla linea d'asse stessa (figura 3.3). E' quindi sufficiente

limitare la descrizione cinematica ai soli spostamenti dei punti sull'asse della trave .

u

u

2

1

e1

2

O

e

P0

Q0

Q

P

B

B0

A0

A

s

s

Figura 3.3. Spostamento rigido piano.

Inoltre, l'ipotesi di rigidit consente di esprimere lo spostamento dei punti

appartenenti alla linea d'asse della trave in termini delle tre componenti di spostamento di

un punto LC generico, di posizione { }1 2c= c cT

, e rappresentate dal vettore

{ }T2c1c uud = ,come illustrato in figura 3.4.Restringendo l'analisi ai piccoli spostamenti, che comporta la sovrapponibilit dei punti

della configurazione di riferimento e di quella spostata 0 0 0A A , B B , P P , lo

spostamento { }1 2u u uT

= di un punto generico L0P individuato dal vettore

{ }1 2p= p pT

espresso dalle relazioni di moto rigido in termini dello spostamento d del

punto C (figura 3.5.), secondo la relazione:

=

=2c

1c

11

22

2

1

u

u

100

)cp(10

)cp(01

u

u

)p(u . (3.1)

Introducendo la matrice cinematica:

=

100

)c(p10

)c(p01

)c,p(D 11

22

, (3.2)

che dipende dalla posizione del punto generico p e del punto di riferimento c , l'equazione

dello spostamento si pu porre nella forma:


4/23

3-4

u(p)=D(p,c) d (3.3)

su

u

c2

c1

C

O

1e

2e

B0

A0

c 2

c 1

Fig. 3.4. Componenti di spostamento rigido della trave.

u

u

2

1

e1

2

O

eP

0

B

B0

A0

A

s

s

Cc 2

c 1 p1

p2

P

c2u

uc1

Fig. 3.5. Componenti di spostamento rigido.

La rappresentazione dello stato di spostamento in termini di spostamenti dei punti sulla

linea dasse comporta dispositivi di vincolo pi complessi di quelli considerati per il corposoggetto a moti piani introdotti in 2.X. Infatti, nel corpo esteso nel piano i vincolisemplici impediscono lo spostamento di un punto sulla frontiera nella direzione efficace

del vincolo stesso. Tali condizioni possono essere trattate nel modello strutturale di travemediante ulteriori dispositivi di vincolo. Ad esempio, mentre nel modello di corpo

rettangolare lungo possono essere assegnati vincoli ai punti sulle basi ( == 11 x,0x ),come illustrato in figura 3.6, ci non possibile in modo diretto nel modello a trave. Si

consideri a titolo di esempio il caso illustrato in figura 3.6.


5/23

3-5

4_

_2

_3

1_

s

uc2

uc1C

h


6/23

3-6

Tabella 3.1 - Vincoli semplici, doppi e triplo per la trave.

Incastro semplice

Cerniera

Appoggio semplice

Carrello

Incastro scorrevole

Glifo

Incastro

S

S

D

D

T

_trave

u =0

1_

2_

1_

=_0

1

2_ 1_ =0

Incastro scorrevoleT

_2

1_

Canotto

trave

trave

1112 u =01 u =0

0

=2

_ 22 2

21

_3=, , , , ,

0

10

_2

0

_= ,01 u =0

0=_ 0 ,

1=0

2u =0u =0

0

=1

_ ,12 1

11

0

2_=, 2 ,2 21

u =0

1=_

1,

20

11

,1

=1

2_= ,

00 0

1

u =0_=

11

2 ,0

1 2

_,1 ,0= 1

0

0=

I dispositivi di vincolo riguardano, quindi, non solo i vincoli semplici di traslazione,

denominati appoggi semplici e descritti mediante il versore della direzione efficace delvincolo e la condizione di spostamento nullo:

0u0

2

1

=

= v

, (3.4)

dove 21 , rappresentano le componenti ovvero i coseni direttori del versorev e u

rappresenta lo spostamento proiettato su tale versore. L'ulteriore vincolo semplice quellosulla rotazione della sezione, che viene denominato incastro semplicee descritto mediante

il versore ortogonale al piano dello spostamento () e la condizione di rotazione nulla:

0u

1

0

0

==

= v

, (3.5)

dove la rotazione che viene impedita dal vincolo.Si possono cos ottenere i sei tipi di vincolo rappresentati in Tabella 3.1 mediante i

quali possibile impedire gli spostamenti di moto rigido della trave.

Il problema quindi ricondotto alla determinazione dell'efficacia del sistema di vincolo

agente sulla trave. A tal fine si pu estendere quanto gi trattato nel capitolo precedente eosservare che la condizione di vincolo semplice, sia a traslazione sia a rotazione, pu

essere espressa nella forma:

0)p(u = vvT , (3.6)


7/23

3-7

essendo v l'indicatore di vincolo ( 1,v m= ) e pv il vettore posizione del vincolo

considerato. Sostituendo l'equazione (3.3) che esprime lo spostamento del punto vincolato

in termini della posizione pv e della posizione c del punto C, si ottiene l'equazione di

vincolo semplice:

{ } 0uu

100

)c(p10

)c(p01

2c

1c

11

22

321 =

v

v

vvv . (3.7)

Sviluppando il prodotto tra il vettorevT e la matrice D(p , c)v si ottiene l'equazione di

vincolo semplice nella forma:

{ }0u

u

cpcp2c

1c

311222121 =

++

vvvvvvv )()( . (3.8)

Le equazioni di vincolo semplice sono me definiscono un sistema omogeneo di equazioni

lineari:

=

++

++

++

0

0

0

u

u

)c(p)c(p

)c(p)c(p

)c(p)c(p

2c

1c

311222111

311222121

131

11

122

12

11

12

11

mmmmmmm

vvvvvvv , (3.9)

dove con A si denota la matrice dei coefficienti di ordine (m3) e con d il vettoreincognito degli spostamenti rigidi d . Tali equazioni possono essere poste nella forma

compatta 0dA = . Il giudizio sulla sufficienza dei vincoli assegnati alla trave ad escluderespostamenti rigidi, e quindi sulla idoneit a definire ununica configurazione, viene

stabilito mediante la discussione del sistema di mequazioni in tre incognite. In particolare

si osserva che i coefficienti della matrice A dipendono dalla disposizione dei vincoli (p )v

,

dalla direzione efficace )(v e dal vettore c che definisce la posizione del punto C che

arbitrario (si veda la figura 3.8).

Essendo il problema formalmente analogo a quello discusso nel caso di spostamenti rigidi

piani, ad esclusione del vincolo sulle rotazioni di incastro semplice, la discussione ricalca

quella gi sviluppata nel 2.X . Si procede quindi alla seguente classificazione:

(a) Condizione necessariaper escludere spostamenti rigidi che 3m .


8/23

3-8

m_

_2

1_

uc2

uc1

C _v

c p1

v

1

Fig. 3.8. Esempio di trave vincolata.

(b) Se la condizione necessaria soddisfatta possono verificarsi diverse condizioni di

risolubilit del sistema a seconda del rango ( )A della matrice dei coefficienti A

secondo quanto enunciato dal teorema di Rouch- Capelli:

(b.1) == 3)A(m la soluzione esiste, unica ed quella banale )0d( = epertanto i vincoli sono efficaci ad impedire spostamenti rigidi. la trave

cinematicamente isodeterminata.

(b.2) = 3m3)A( , la soluzione esiste, unica ed quella banale )0d( = epertanto i vincoli sono efficaciad impedire spostamenti rigidi. Poich il numero

di vincoli semplici maggiore dei gradi di libert di corpo rigido, la trave

cinematicamente iperdeterminatacongrado di iperdeterminazione ( )3m .

Di seguito sono riportati alcuni esempi applicativi di tale metodologia.

Esempio (1) Assegnata la trave rigida appoggiata agli estremi, di luce , discutere

l'efficacia dei vincoli applicati e classificare cinematicamente il sistema.

Si assume l'origine O coincidente con l'estremo sinistro della trave ( 1s=x ). Si assume,

inoltre, il punto OC= , pertanto c 0= . I vincoli semplici sono definiti come:

=

==

=

=

=

0

0

1

,0

pp,

0

1

0

,0

0p,

0

1

0332211

.


9/23

3-9

1_ _2

_3

Cc1u

c2u

Il sistema di m=3 equazioni (3.9) risulta:

0dA

0u

0u

0u

0

0

0

u

u

001

10

010

1c

2c

2c

2c

1c

=

=

=+

=

=

e la matrice dei coefficienti ha rango m== 3)A( , pertanto (b.1) la trave risultacinematicamente isodeterminata.

Esempio (2) Assegnata la trave rigida incastrata all'estremo sinistro e libera all'estremo

destro, di luce ,discutere l'efficacia dei vincoli applicati e classificare cinematicamente il

sistema.

Si assume l'origine O coincidente con l'estremo sinistro della trave )x(s 1= . Si assume,inoltre, il punto OC= , pertanto c 0= . I vincoli semplici sono definiti come:

0ppp,

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1321321 ===

=

=

=


0u

u

100010

001

2c

1c

=

1_

_2

_3

Cc1u

c2u

e la matrice dei coefficienti ha rango m== 3)A( , pertanto (b.1) la trave risulta


10/23

3-10

cinematicamente isodeterminata.

Esempio (3) Assegnata la trave rigida continua su tre appoggi, discutere l'efficacia dei

vincoli applicati e classificare cinematicamente il sistema.

Si assume l'origine O coincidente con l'estremo sinistro della trave )x(s 1= . Si assume,inoltre, il punto OC= , pertanto c 0= . I vincoli semplici sono definiti come:

=

+

=

=

=

=

=

0

1

0

;0

p;

0

1

0

;0

p;

0

1

0

;0

0p

321321211

_2

c1C u

c2u 1_3_

s 1 s2


0u

u

10

10

010

2c

1c

21

1 =

+

.

e la matrice dei coefficienti ha rango m== 2)A( , pertanto (b.2) la trave risultacinematicamente indeterminata o labile.

Aggiungendo un quarto vincolo, si ottiene il seguente schema:

_2

C

1

_3

_

4_

=

++

=

0

0

1

,0

sp

4214 .

Il sistema di 4=m equazioni (3.9) risulta:


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3-11

0u

u

001

10

10

010

2c

1c

21

1 =

+

,

e la matrice dei coefficienti ha rango 43)A( =


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3-12

m(s)

q(s)_

_f

m

A

Q1

Q2

R1 R2

s

O

e 2

1e

Fig. 3.11. Forze e coppie concentrate e distribuite agenti sullatrave.

m(s)

q (s)_

_f

m

A

s

2

_f1

2

1_q (s)

O

e 2

1e

(a)

mf

m

A

s

2

f1

h

h

hA

h

fq

2

q

1f

Aq

O

e 2

1e

(b)

Fig. 3.12. (a)Sistemi di forze e coppie concentrate e distribuite;

(b)sistemi staticamente equivalenti alla distribuzione (a).


13/23

3-13

Il sistema di forze attive viene descritto mediante una distribuzione F(Ah, f h; h=1,

n) di forze e coppie applicate ad npunti, il cui generico elemento descritto in termini di

forza generalizzata { 1 2f f f mT

h h h h= di componenti h1f ,h2f e coppia di momento m

h

applicata al punto Ah individuato dal vettore { }Thhh 21 aaa = , come illustrato in figura3.12.

Essendo la trave rigida, le Equazioni cardinali della staticarisultano necessarie e

sufficienti per l'equilibrio e assumono la forma:

0f

f

r

rr

2

1

12

1 =

=

= hhn

h ,

(3.10)

[ ] 0m)i(af)i(af(I)m 1122211

=++= hhhhhn

hr ,

essendo r e m (I)r , rispettivamente, il risultante ed il momento risultante della

distribuzione F rispetto al polo I individuato dal vettore { }1 2i i iT

= . Le equazioni

possono essere poste nella forma:

( ) 0fi,aDm

f

f

1)i(a)i(a

010

001

(I)m

r

r

12

1

1122

12

1

==

=

hTh

n

h

h

h

h

hh

n

h

r

, (3.11)

dove stata inserita la matrice Th

)i,a(D gi introdotta nell'analisi cinematica, ma con una

differente dipendenza dagli argomenti; tale matrice riduce la forza generalizzata hf

applicata in Ahal punto I.

Poich l'analisi riguarda la trave vincolata necessario considerare le forze reattive

associate ai vincoli descritti nel paragrafo precedente. Oltre al vincolo semplice che

impedisce lo spostamento secondo il versore { }Thhv 021 = ed a cui associata laforza reattiva incognita, necessario considerare anche il vincolo semplice alla rotazione

secondo il versore { }Tv 100= a cui associata una coppia reattiva di momento

incognito. In generale, per qualunque tipo di vincolo semplice, la forza reattiva

corrispondente data dalla relazione seguentevvv = zz , con il significato dei simboli

precedentemente illustrato.

Nel caso di vincolo alla traslazione zv rappresenta l'intensit della forza reattiva,

mentre nel caso di vincolo alla rotazione zv rappresenta l'intensit della coppia reattiva (il

verso del vettore { }Tv 100= definisce come positive le rotazioni e le coppie

antiorarie). Ne risulta, pertanto che:

vv

v

v

v

v =

= z

z

z

z

z

3

2

1

. (3.12)


14/23

3-14

Il problema statico viene riferito al la trave nella configurazione di riferimento,

soggetta ad un sistema F(Ah, f

h; h=1, n) di forze e coppie attive, vincolata da un insieme

di mvincoli semplici applicati ai punti p ( 1 , )v

v m= , di direzione efficace descritta dal

versorev

, che esercitano un sistema di forze reattive , 1,v

z v m= incognito.

_2

1_I _v

fh

2

h

1f

mh

(a)

s

fh

2

h

1f

mhz12z

zv (b)

Fig.3.13. (a)Trave vincolata soggetta alle forze attive; (b)travelibera soggetta alle forze attive ed alle forze reattive incognite.

Innanzi tutto necessario applicare il Postulato fondamentale della Meccanica

mediante il quale si sostituiscono ai vincoli (figura 3.13.a) le reazioni vincolari (figura

3.13.a).

Tabella 3.2 - Vincoli semplici, doppi e triplo: reazioni vincolari.

Incastro semplice

Cerniera

Appoggio semplice

Carrello

Incastro scorrevole

Glifo

Incastro

S

S

D

D

T

_trave

u =0

1

_

2_

1_

2_ 1_

Incastro scorrevoleT

1_ Canotto

1_ =

00

2 =_ 00

1

_2=001

_3=1

00

_z

_2

z_

z2

1

z _1

z11

_2z _2

_11

z

22_z

z11 _ z

_22

_z33

Il problema dell'analisi statica della trave rigida (e del sistema di travi rigide) consiste


15/23

3-15

nel verificare l'idoneit dei vincoli, ovvero delle forze reattive, ad equilibrare un

generico sistema di forze attive e quindi nel determinare, qualora possibile, i valori

delle reazioni vincolari corrispondenti ad un assegnato sistema di forze.In questo caso le Equazioni cardinali della statica assumono la forma:

.

0

0

0

z

1)i(p)i(p

010

001

m

f

f

1)i(a)i(a

010

001

(I)m

r

r

1122

1

2

1

1122

12

1

=

+

+

=

vv

vv

m

v

h

h

h

hh

n

h

r(3.13)

Definito il vettore risultante e momento risultante delle forze e coppie attive:

=h

h

h

hh

n

he

m

ff

1)i(a)i(a

010001

r 2

1

1122

1

, (3.14)

le equazioni di equilibrio divengono :

0

(I)m

r

r

z

)i(p)i(p

2

1

3112221

2

1

1

=

+

++

er

e

e

v

vvvvv

v

v

m

v . (3.15)

In analogia con le equazioni (2.xx), il sistema di 3 equazioni lineari nelle mequazioni (3.xx) pu essere posto nella forma canonica :

=

+

+

+

+

+

+

)(

e

e

m

v

mmm

mm

vvv

vv

mv

mv

Im

r

r

z

z

z

)i(p

)i(p

)i(p

)i(p

)i(p

)i(pcr

2

1

1

3112

221

3112

221

131

11

12

212

11

2212

1111

. (3.16)

Tale sistema di equazioni viene espresso in forma compatta:B z= r

e , (3.17)

dove si definisce la matrice B dei coefficienti di ordine m)(3

z il vettore delle incognite { }1z z z zT

v m= e re il vettore dei termini noti ovvero

delle componenti del risultante e del momento risultante definito in equazione (3.??).


16/23

3-16

+

+

+

+

+

+

=

mmm

mm

vvv

vv

mv

mv

3112

221

3112

221

131

11

12

212

11

2212

1111

)i(p

)i(p

)i(p

)i(p

)i(p

)i(p

B

, (3.18)

Confrontando la matrice B del problema statico con quella A definita nel problema

cinematico (3.9) si pu osservare che se si assume il polo I coincidente con il centro C

definito nell'analisi cinematica )ic( = , i quali si ricorda che sono punti arbitrari, lamatrice A e B risultano legate dalla relazione di trasposizione:

B=AT ,

aspetto che evidenzia la relazione tra la cinematica e la statica.Le equazioni di equilibrio (3.xx) qui formulate in modo generale, possono essere

ottenute imponendo direttamente lequilibrio tra le forze attive e reattive agenti sulla trave.

Pertanto, quando possibile, verr anche seguita tale tecnica risolutiva, che nei casi pi

usuali e semplici risulta pi diretta.

Si considerino ora le condizioni per l'esistenza della soluzione del problema lineare

per qualunque condizione di carico. Dal teorema di Rouch-Capelli possibile

individuare le seguenti informazioni in relazione alla matrice B.

(a)Se il numero di vincoli semplici 3m < non esiste soluzione. Infatti la matrice B costituita da tre righe ed un numero di colonne minore di tre e quindi ha rango minore

di tre, mentre la matrice completa B r

e , assumendo il vettore r

e

valori arbitrari, ha

rango maggiore. Pertanto )rB()B(e

| e quindi per il teorema di R.C. non esistesoluzione, ovvero non esistono reazioni vincolari in grado di equilibrare sistemi

arbitrari di forze attive.L'equilibrio della trave rigida (o del sistema di travi rigide)

impossibile per generiche condizioni di carico ed il sistema (di vincolo) detto

staticamente impossibile. Data la corrispondenza tra la matrice B e A il sistema

denominato labile. Per equilibrare le forze attive necessario aggiungere vincoli

semplici opportunamente collocati e orientati.

(b)Se il numero di vincoli semplici 3m < si rende necessario discutere la soluzione aseconda del rango della matrice B e del numero di vincoli semplici m:

(b.1) )rB()B(3)B(e

|m === la soluzione esiste ed unica. Le forzereattive sono in grado di equilibrare qualunque sistema di forze attive. Il sistema

staticamente determinato per ogni condizione di carico o isostatico. I vincoli

sono efficaci.

(b.2) )rB()B(3)B(e

|


17/23

3-17

(b.3) )rB()B(3,3)B(e

|m =>= la soluzione esiste ed unica ma indeterminata. Infatti il numero di incognite m maggiore delle tre equazioni. Il

sistema staticamente indeterminato - iperstaticoin quanto possono esistere m-

3 soluzioni possibili che soddisfano le equazioni cardinali. I vincoli sono efficaci

e possono realizzare m-3 combinazioni di valori delle forze reattive per

soddisfare l'equilibrio. Il modello di trave rigida non in grado di fornire una

soluzione determinata allo schema di vincolo considerato. L'eccesso di vincoli

pu essere in generale a favore di sicurezza, tuttavia esistono casi in cui ci viene

contraddetto.

Se si considerano particolari condizioni di carico, pu accadere che sistemi labili

( 3)B( .

Di seguito sono riportati alcuni esempi di analisi statica di travi e sistemi di travi rigide.

Esempio (1) Assegnata la trave rigida appoggiata agli estremi, di luce , discuterel'efficacia dei vincoli a equilibrare una generica condizione di carico e determinare, se

possibile, le reazioni vincolari equilibrate al sistema di forze e coppie applicate.

Si assume l'origine O coincidente con l'estremo sinistro della trave ( 1xs= ). Si assume,inoltre, il punto I=O, pertanto i 0= . La trave vincolata con tre vincoli semplici m=3.

1_

_2

_3

f

Om

1z

m /4

/2f

z2

z3O=I


18/23

3-18

Le equazioni di equilibrio considerato il polo I risultano:

0m43

2fzI)

02fzz)x

0z)x

2

212

31

=

=+

=

/

e in forma matriciale:

rzB

f8

3m

2f

0

z

z

z

00

011

100

23

2

1

=

+

=

/.

La matrice dei coefficienti ha rango m== 3)B( , pertanto (b.1) la trave risulta essereisostatica. Risolvendo il sistema di equazioni si ottengono le reazioni vincolari incognite:

mf

8

1z,f

8

3mz,0z 123 =+== .

E' necessario osservare che la collocazione del polo I sulla retta dazione della

reazione 1z semplifica la soluzione in quanto l'equazione di equilibrio alla rotazione

presenta una sola incognita, che viene cos determinata direttamente. L'assetto statico della

trave risulta illustrato in figura.

mf

mf

8

1

f

8

3m+

Esempio (2) Assegnata la trave rigida incastrata all'estremo sinistro e libera all'altro

estremo, denominata anche trave incastrata, di luce , discutere l'efficacia dei vincoli a

equilibrare una generica condizione di carico e determinare, se possibile, le reazionivincolari equilibrate al sistema di forze e coppie applicate.

Si assume l'origine O coincidente con l'estremo sinistro della trave ( 1xs= ). Si assume,inoltre, il punto I=O, pertanto i 0= . La trave vincolata con tre vincoli semplici m=3.


19/23

3-19

/2m

z2

I=0

z1z3

2 2__f

f2 2__

_1

/4

/2

0

_2

m

f

Le equazioni di equilibrio considerato il polo I risultano:

0f2

2

2mzI)

0f2

2z)x

0f2

2z)x

3

22

11

=++

=+

=+


=

f2

2

2

m

f2

2

f2

2

z

z

z

100

010

001

3

2

1

.

La matrice dei coefficienti ha rango m== 3)B( , pertanto (b.1) la trave risultaessere isostatica. Risolvendo il sistema di equazioni si ottengono le reazioni vincolari

incognite:

f2

2

2

mz;f

2

2z;f

2

2z 321 === .

Anche in questo caso necessario osservare che la collocazione del polo I nellasezione di incastro semplifica la soluzione. L'assetto statico della trave risulta illustrato in

figura.


20/23

3-20

f2 2__ m

f

f__2 2

m__2

+2 2__f

Esempio (3)Assegnata la traverigida continua su tre appoggi, in cui si indentificano due

campate centrali di luce di luce e due sbalzi di lunghezza s, discutere l'efficacia dei

vincoli a equilibrare una generica condizione di carico e determinare, se possibile, lereazioni vincolari equilibrate al sistema di forze e coppie applicate.

Si assume l'origine O coincidente con il primo appoggi. Si assume, inoltre, il punto I=O,

pertanto i 0= . La trave vincolata con tre vincoli semplici m=3.Le equazioni di equilibrio considerato il polo I risultano:

0)/22s)(f()(zzI)

02s)f(zzz)x

00)x

2121213

12

21321

2

1

=+++++

=++++

=

,

_2

0

f

s s1 2

1

z 1 z 2 z 3

2( + ) /2

f ( + +2s)1 2



21/23

3-21

rzB

2/))(s2(f

)s2(f

0

z

z

z

0

111

000

2121

21

3

2

1

211

=

+++

++=

+.

La matrice dei coefficienti ha rango m=


22/23

3-22

Dallequazione di equilibrio (3. ) risulta:

1 1

D(a , c) f D(p ,c) zn m

h h v ve T T

h vr = = , (3.21)

che sostituita nella (3. ) porge:

1 1

1

d D(p ,c) z D(p ,c)d z

u(p ) z ,

m m TT v v v vT

A v v

mv vT

v R

L

L

= = =

= =

(3.22)

dove RL rappresenta il lavoro virtuale compiuto dal sistema di forze reattiveR(Pv, zv;

v=1,m) sugli spostamenti u(p )v

dei punti vincolati.

Considerato che la (3. ) stata ottenuta considerando un sistema di forze e coppie attive e

reattive date ed un sistema di spostamenti rigidi arbitrari, piccoli e indipendenti dallecondizioni di vincolo, si pu quindi enunciare il teorema dei lavori virtuali:

Il lavoro virtuale compiuto dalle forze attive (lavoro attivo AL ) e dalle forze reattive

(lavoro reattivo RL ) agenti su una trave piana rigida su un generico spostamento

rigido piccolo nullo

0=+ RA LL

se e solo se il sistema di forze attive e reattive equilibrato.

Esempio.Determinazione delle reazioni vincolari di una trave semplicemente appoggiata

su luce e soggetta ad un carico trasversale uniforme di intensit f.

Si considera il sistema di forze attive f e reattive z1, z2, z3rappresentato in figura (b) ed il

sistema di spostamenti rigidi virtuali, rappresentato in figura (c), ottenuto attribuendo

spostamenti e rotazioni piccole e arbitrarie al punto C=I collocato nell'origine del sistema

di riferimento.

f

x1

z 1 z 2z 3

f

u

u

+ x1 + c2

c2u

c2u

c1u

1c

(a)

(b)

(c)

C=I


23/23

Il lavoro attivo LAviene determinato considerando la risultante rdella distribuzione f di

intensit fr= applicata alla mezzeria della trave 2

1x1= ed il corrispondente

spostamento virtuale += 21

u)21

(u 22 c :

= 22 f2

1uf cAL .

In alternativa, il lavoro virtuale attivo pu essere determinato considerando il lavoro

compiuto dalla forza elementare 1f xd sullo spostamento += 212 u)(xu c perl'estensione della trave stessa:

=+== 2

20 1120 112f

2

1ufx)xf(ux)(xfu

ccA ddL .

Il lavoro reattivo risulta:

13

22

21 uz)(uzuzL cccR +++= .

L'equilibrio tra forze attive e reattive viene stabilito imponendo alla somma dei lavori

virtuali di annullarsi per ogni spostamento rigido:

0)f2

1(zu)fz(zuz0LL 222

211

3 =+++=+ ccRA .

Tale equazione, considerata larbitrariet degli spostamenti rigidi ( 00u0u 21 ,, cc ),richiede l'annullarsi dei corrispondenti fattori:

=

=+

=

0f2

1z

0fzz

0z

22

21

3

che comporta un sistema di equazioni che corrispondono alle equazioni di equilibrio della

trave.

Scienza Delle Costruzioni - 03 - Travi Rigide Piane

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