Scienza dei Materiali 1Scienza dei Materiali 1EsercitazioniEsercitazioni

2. Cristallografia dei materiali2. Cristallografia dei materiali

ver. 1.1ver. 1.1

M. Leoni - 2003

Reticoli cristalliniReticoli cristallini

nn è è unauna ““grigliagriglia” ” tridimensionaletridimensionale didi puntipunti

nn possiamopossiamo individuareindividuare un un insiemeinsieme minimominimo didi puntipunti ((cellacella) ) cheche sisi ripeteripetenelnel reticoloreticolo

nn non tutti gli arrangiamenti sono possibilinon tutti gli arrangiamenti sono possibili

nn le le cellecelle sonosono impacchettateimpacchettate per per formareformare ilil reticoloreticolo: non vi : non vi sonosono spazispazivuotivuoti tratra le le cellecelle!!

nn in ogni punto del reticolo posso porre una base costituita da unin ogni punto del reticolo posso porre una base costituita da uno o più o o più atomiatomi

Reticolo

M. Leoni - 2003

Reticoli di Reticoli di BravaisBravais

Questo invece NON è un reticolo. Abbiamo i punti, ma essi non sono ordinati e non possiamo individuare un’unità che si ripete!

Questo è un possibile reticolo bidimensionale. Sul reticolo è individuata l’unità che si ripete!

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Reticoli di Reticoli di BravaisBravais

cella unitaria

Tutte le strutture qui mostrate hanno il medesimo reticolo di Bravais!

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Reticoli di Reticoli di BravaisBravais

14 RETICOLI possibili

Non vi sono altre possibilità di individuare una cella che si ripeta all’infinito nel reticolo senza lasciare dei vuoti.

I punti rappresentati in figura sono quelli del reticolo: NON sono atomi!

E’ possibile raggruppare i reticoli basandosi su regole di simmetria: si hanno 7 possibili sistemi cristallini.

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Sistemi cristalliniSistemi cristallini

7 SISTEMI CRISTALLINI

a

b

c

αβγ

origine convenzionale0,0,0

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Direzioni e piani atomiciDirezioni e piani atomici

direzione piano

E’ spesso necessario specificare o individuare talune direzioni e piani all’interno di una cella cristallina.

Molte proprietà dei materiali sono direzionali (ad esempio l’espansione termica, le proprietà meccaniche) e molti processi sono legati a determinati piani e direzioni cristallografiche all’interno del materiale.

DIREZIONI e PIANI vengono individuati utilizzando una terna di numeri, gli INDICI DI MILLER

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Direzioni: indici di Direzioni: indici di MillerMiller

n Non ci sono virgole tra i numerin Valori negativi sono indicati con una barra posta sopra al numero

(-2 è indicato come 2) n I tre numeri vengono racchiusi tra parentesi quadre []

Esempi di direzioni cristallografiche valide:n [123]n [100]

Ricordiamo alcune convenzioni per quanto riguarda gli indici di Miller relativi alle direzioni:

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Direzioni: indici di Direzioni: indici di MillerMiller

1. Prendere la differenza tra le coordinate della punta e quelledella coda del vettore direzione (DATO). Le coordinate sonotutte relative ai parametri di cella a,b,c e quindi variano tra 0 ed 1.

2. Rimuovere le frazioni moltiplicando per il mcm (che è intero) ed eventualmente ridurre ai minimi interi

3. Racchiudere i tre numeri tra parentesi quadre

Semplice ricetta per trovare gli indici di Miller relativi ad UNA DIREZIONE cristallografica (la direzione è nota, ma non i suoi indici di Miller):

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Direzioni: indici di Direzioni: indici di MillerMiller

x

y

z

[111]

[110]

[100]

[???]

Gli indici di Miller della direzione [???] di figura si trovano quindi così:

coda (origine)x = 0, y = 0, z = 0

puntax = 1/2, y = 0, z = 1

differenza1/2-0 0-0 1-0

indici di Miller[1/2 0 1] → [1 0 2]

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Famiglie di direzioniFamiglie di direzioni

nn [123] [123] direzionedirezione ((unauna solasola))nn <123> <123> famigliafamiglia didi direzionidirezioni ((ovveroovvero [123], [213], [312], [132], [231]...)

[101] = [110] [101] ≠ [110]

cubico tetragonale

Causa la simmetria del reticoli, esistono direzioni equivalenti (indistinguibili) dal punto di vista cristallografico. Ad esempio le diagonali delle facce sono tutte uguali in un cubo ma non in un parallelepipedo:

Per Per indicare una una FAMIGLIA DI DIREZIONIFAMIGLIA DI DIREZIONI utilizziamo una notazione utilizziamo una notazione particolare:particolare:

In un reticolo CUBICO, direzioni aventi i medesimi indici (indipendentemente da segno ed ordine), sono equivalenti (es. [123] e [312])

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Piani ed indici di Piani ed indici di MillerMillerCome per le direzioni cristallografiche, anche per i piani vengono impiegate parentesi di tipo diverso per indicare piani singoli ed intere famiglie

n (hkl) piano cristallografico (UNO SOLO)

n {hkl} famiglia di piani cristallografici– esempio (hkl), (lhk), (hlk) etc.– per i reticoli CUBICI, piani cristallografici aventi i medesimi indici

(indipendentemente da ordine e segno), sono equivalenti (es. (020), (002), (200) appartengono tutti alla famiglia {002})

n Talvolta per i cristalli esagonali viene utilizzata una notazione a 4 indici (u v t w). Esistono regole per convertire tale notazione in quella a 3 indici.

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Piani ed indici di Piani ed indici di MillerMiller

1. Se il piano passa per l’origine, sceglierne uno equivalente oppure spostare l’origine

2. Determinare l’intersezione del piano con gli assi (in termini dei parametri di cella a, b, c)

3. Prendere il reciproco dei valori trovati (ricordare di porre 1/8 = 0)

4. Trovare mcm e ridurre i tre numeri agli interi più piccoli possibile (opzionale)

5. Racchiudere tra parentesi () x

y

z(111)

Semplice ricetta per trovare gli indici di Miller relativi ad UN PIANOcristallografico:

Le regole per piani e direzioni sono quindi DIVERSE tra loro!!!!!Notare che in una cella CUBICA (e SOLO in quella) la direzione [hkl] è perpendicolare al piano (hkl)

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Piani ed indici di Piani ed indici di MillerMiller

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

Piani tra i più comuni per una cella cubica e relativa indicizzazione.

(001) (111) (011)

(201) (212) (100)

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Cella cubica sempliceCella cubica semplice

02a r=

Ho un atomo in ogni punto del reticolo

La cella contiene complessivamente 1 atomo

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Cella cubica Cella cubica bccbcc

03 4a r=

a

a

v2a v2a

av3a

Ho un atomo in ogni punto del reticolo: la cella contiene complessivamente 2 atomi

M. Leoni - 2003

Cella cubica Cella cubica fccfcc

02 4a r=

a

a

v2a

Ho un atomo in ogni punto del reticolo: la cella contiene complessivamente 4 atomi

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PackingPacking factorfactor: : fccfcc

3 34 164

3 3aV r rπ π= × =

All’interno di una cella cubica a facce centrate abbiamo 4 atomi. In genere, gli atomi vengono considerati sferici (ho quindi 4 sfere)

“Volume totale di materia” Va(occupato dalle sfere)

a0

4r

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PackingPacking factorfactor: : fccfcc

Volume totale cella Volume totale cella VVcc

VVcc = a= a0033 (lato cella al cubo)(lato cella al cubo)

Ricordando che aRicordando che a00 = 2rv 2= 2rv 2

otteniamo:otteniamo:a0

4r

Le sfere, però non occupano tutto il volume della cella, ma solo una frazione di esso

( )332 2 16 2cV r r= =

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PackingPacking factorfactor: : fccfccIl fattore di impacchettamento (packing factor, PF) è il rapporto tra il volume occupato dagli atomi in una cella cristallina ed il volume totale della cella.

Il PF indica quindi come lo spazio è utilizzato (più alto è, migliore è l’occupazione dello spazio nella cella)

Nel nostro caso (fcc):

3

3

163 0.74

16 2 3 2a

fccc

rVPF

V r

π π= = = =

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Densità di lineaDensità di linea

LD = LC/LL densità di lineaLC = 2r frazione di linea che

attraversa gli atomiLL = a lunghezza totale linea

in un fcc a0 = 2rv2

LD = 2r/(2rv2) = 0.71

La densità di linea è la frazione della linea che, lungo una determinata direzione, passa attraverso gli atomi.

Densità di linea lungo la direzione (100) in un cristallo fcc

Più definizioni per densità di linea e densità planare.

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Densità planareDensità planare

A B C

D E F

AB

C

D

EF

Calcolare l’area del pianoCalcolare area dei “cerchi” nel piano

La densità di planare è la frazione di area di un determinato piano cristallografico occupata dagli atomi (il piano deve passare per il centro degli atomi)

Densità nel piano (110) in un cristallo fcc

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Densità planareDensità planare

A B C

D E F

Area totale del piano, Ap:

AC = 4 rAD = 2 r v 2

Ap = AC AD = (4r)(2rv 2) = 8r2v 2

Area occupata da atomi, Ac:

¼ cerchio per gli atomi A,C,D,F½ cerchio per gli atomi B, E

Ac = 2 cerchi = 2πr2

2

2

20.56

8 2c

p

A rPD

A rπ= = =

Densità planare risultante

ESERCIZIESERCIZI

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Ex 2.1. Indici di Ex 2.1. Indici di MillerMillerIndicare le direzioni [112], [111] e [222]

Svolgimento

1/2

1/2

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Ex 2.1. Indici di Ex 2.1. Indici di MillerMillerViene qui fornita una cella cubica sulla quale poter testare le nozioni acquisite

M. Leoni - 2003

Ex 2.2. Dimensione cellaEx 2.2. Dimensione cellaCalcolare dimensione della cella, fattore di impaccamento e densità per il ferro bcc (ferrite) ed fcc (austenite). Il raggio atomico del ferro è di 124 pmed il suo peso atomico 55.8 g/mol.

Dati: rFe= 124 pm AWFe = 55.8 g/mol

Svolgimento

Unità di misura molto usata in cristallografia è

Å (Ångström) pari a 10-10 m

La diffusione è abbastanza evidente se si pensa che parametri di cella e raggi atomici sono di questo ordine di grandezza. Ricordare però che questa unità di misura è solo TOLLERATA: è più corretto usare multipli o sottomultipli del sistema SI (di solito: nm = 10-9 m, pm = 10-12 m).

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Ex 2.2. Dimensione cellaEx 2.2. Dimensione cellaIl ferro assume strutture cristalline diverse in intervalli di temperatura diversi. In particolare la sua struttura è bcc a temperatura ambiente ed fcca temperature al di sopra dei 1000°C circa

Parametro di cella nel caso bcc (atomi si “toccano” lungo la diagonale principale del cubo):

44 3

3r a a r= ⇒ = abcc = 286 pm

Parametro di cella nel caso fcc (atomi si “toccano” lungo la diagonale della faccia del cubo):

44 2

2r a a r= ⇒ = afcc = 351 pm

La cella cristalline del ferro fcc è più grande di quella del ferro bcc. Non sono stati considerati effetti di espansione termica

M. Leoni - 2003

Ex 2.2. Dimensione cellaEx 2.2. Dimensione cella

3 3

33

4 42 2volume atomi 33 3 0.68

volu me cella 843

bccbcc

r rPF

a r

π π π= = = = =

Nei due casi valutiamo ora il fattore di impaccamento. Sappiamo già in anticipo che la struttura fcc (assieme ad hcp) sono quelle ad impaccamentomaggiore

3 3

33

4 164volu me atomi 23 3 0.74

volu me cella 642

fccfcc

r rPF

a r

π π π= = = = =

Ricordiamo che i due valori sono indipendenti dalla dimensione della cella. Nella cella fcc lo spazio è meglio utilizzato!

M. Leoni - 2003

Ex 2.2. Dimensione cellaEx 2.2. Dimensione cellaCalcoliamo ora la densità del ferro bcc ed fcc.

La densità è calcolata come massa rispetto al volume.

,[ / ]

[ / ][ / ]

Featomo Fe

AW g molw g at

N at mol= =

Il peso della cella è determinato da quanti atomi essa contiene:

, ,2cella bcc atomo Few w= , ,4cella fcc atomo Few w=

La cella fcc pesa più di quella bcc (occupo meglio lo spazio…)!

Conosciamo già il volume di una cella cristallina, dobbiamo solo valutare quanto essa pesi.

Sappiamo quanto pesa una mole di atomi di ferro (peso atomico), quindi possiamo calcolare quanto pesa un singolo atomo:

wV

ρ =

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Ex 2.2. Dimensione cellaEx 2.2. Dimensione cellaLa densità nei due casi è quindi calcolabile come:

,3

cellabccbcc

bcc

wa

ρ = ,3

cella fccfcc

fcc

w

aρ =

Ovviamente, il volume di cella può essere valutato anche conoscendo il volume di un atomo e sfruttando il concetto di packing factor.

Risultato: ρbcc = 7.89 kg/dm3

ρfcc = 8.57 kg/dm3

Notare che, pur avendo una cella più grande, il ferro fcc è più denso!

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Ex 2.3. Raggio atomicoEx 2.3. Raggio atomicoDeterminare parametro di cella e raggio atomico del piombo (fcc) conoscendone la densità (11.4g/cm3) ed il peso atomico (207 g/mol)

Dati: ρPb= 11.4 g/cm3 AWPb = 207 g/mol

Svolgimento

Parliamo di un metallo e la cella è fcc quindi ci aspettiamo 4 at/cella.

Dalla definizione di densità, invertendo il ragionamento fatto nel problema precedente, possiamo ricavare il volume di cella.Una cella infatti pesa:

, ,

[ / ]4 4 [ / ] [ / ]

[ / ]Pb

cella Pb atomo Pb

AW g molw w g cella at cella

N at mol= = =

Utilizziamo ora la definizione di densità per calcolare il volume

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Ex 2.3. Raggio atomicoEx 2.3. Raggio atomico

, ,,

,

cella Pb cella PbPb cella Pb

cella Pb Pb

w wV

Vρ

ρ= ⇒ =

Noto il volume di cella (cubo), lo spigolo (parametro di cella) è immediatamente calcolato:

3 3, ,cella Pb Pb Pb cella PbV a a V= ⇒ =

Risultato: aPb = 494 pmrPb = 175 pm

Siccome il Pb è un metallo e la cella è fcc, gli atomi si toccano lungo la diagonale delle facce del cubo e quindi il raggio atomico è:

24 24Pb Pb Pb Pbr a r a= ⇒ =

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Ex 2.4. Tipo di cellaEx 2.4. Tipo di cellaUn materiale a struttura cubica con densità di 0.855 g/cm3, ha massa atomica di 39.09 g/mol e parametro di cella di 534.4 pm. Se vi è un solo atomo per punto del reticolo, quale struttura ha il materiale?

Dati: ρ= 0.855 g/cm3 AWPb = 39.09 g/mol

a0 = 534.4 pm 1 atomo per punto di reticolo

Svolgimento

Guardando nella tavola periodica otteniamo immediatamente la soluzione (parliamo di K che in genere cristallizza con cella bcc). Cerchiamo però una via alternativa che ci dia sicurezza di questo.

Utilizziamo ancora la definizione di densità per valutare il peso di una cella

30

cellacella

cella

ww a

Vρ ρ= ⇒ = ⋅

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Ex 2.4. Tipo di cellaEx 2.4. Tipo di cellaSfruttiamo ora il fatto che abbiamo una sola specie atomica presente (1 punto di reticolo per atomo!). Valutiamo il peso di un atomo:

atomoAW

wN

=

e calcoliamo quindi il numero di atomi presenti in una cella, dividendo il peso di una cella per il peso di un atomo!

30cella

atatomo

w a NN

w AWρ ⋅ ⋅

= =

Risultato: Nat = 2 cella bcc

Dai dati forniti otteniamo Nat = 2 e perciò la cella è bcc

FINEFINE