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Controlli automatici

Schemi classici di controllo del moto

Prof. Paolo Rocco ([email protected])Politecnico di MilanoDipartimento di Elettronica, Informazione e Bioinge gneria

Controllo di un servomeccanismo

Come è noto, nei suoi tratti essenziali un servomeccanismo di posizione è costituito da un motore, un riduttore ed un carico.

� Il problema di controllo si pone nei termini di governare il moto del carico, modulando opportunamente la coppia erogata dal motore.

� Possono presentarsi diversi scenari per quanto riguarda la disponibilità di sensori: misure di posizione /velocità del motore e/o del carico.

� Tuttavia noi disponiamo anche di una misura di corrente del motore: nel seguito vedremo un modo intelligente per usare questa misura

motore

trasmissione

carico

Controlli automatici – Schemi classici di controllo del moto −−−− P. Rocco [2]

La dinamica elettrica

Supponiamo di adottare un motore a corrente continua, il cui circuito elettrico è, come è noto, il seguente:

rotore (armatura)

spazzola

spazzola

commutatore

alloggiamento

statore

(magnete)

R L

EV

I

1

� Applicando una tensione V, si genera nel circuito di armatura una corrente I legata a V dalla dinamica elettrica (circuito R-L). È anche presente una forza contro-elettromotrice E, proporzionale alla velocità ωm del motore

� Grazie al meccanismo di conversione elettromeccanica associato al sistema spazzole-collettore, il motore eroga una coppia τm proporzionale alla corrente I

� Nella robotica industriale si usano più comunemente motori brushless, per i quali tuttavia si può dare una descrizione simile, riferita all’asse in quadratura


La dinamica elettrica

Il sistema è retto dalle seguenti equazioni:

Traducibili nello schema a blocchi:

R L

EV

I

1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )ttq

tJt

tKIt

tKtE

tEtILtRItV

mm

mm

m

ω=

ω=τ

=τ

ω=

++=

&

&

&

V −+ KsL+R1

Jms1

s1

K

I τm

Eqmωm

Si osservi che la forza controelettromotrice accoppia la dinamica elettrica con la dinamica meccanica.


Il controllo di corrente

Disponendo della misura di corrente, si può chiudere un anello di controllo sulla corrente stessa:

� vista la dinamica veloce legata ai transitori elettrici si potrà progettare RI(s) per ottenere una banda passante molto ampia, dell’ordine delle migliaia di rad/s.

� nel progetto del regolatore di corrente si potrà inoltre assumere la forza controelettromotrice come un disturbo di bassa frequenza.

� una volta chiuso l’anello di controllo della corrente, questo potrà ritenersi praticamente istantaneo ai fini del progetto del controllore di posizione esterno:

� potremo quindi assumere come variabile di controllo per il controllo posizione/velocità direttamente la coppia motrice τm

V −+ KsL+R1

Jms1

s1

K

I τm

E

RI(s)+−

Io qmωm

( ) ( ) ( )tKItKIt om ≈=τ


L’approssimazione rigida

Un primo modo di affrontare il problema di controllo del moto consiste nell’assumere l’insieme motore, riduttore e carico come un sistema complessivamente rigido. In questo caso le equazioni del sistema sono le seguenti:

(Dm: coefficiente di attrito viscoso motore, Jm e Jl: momento di inerzia di motore e carico, n: rapporto di trasmissione, τlm: coppia trasmessa lato motore, τl: coppia esterna lato carico).Possiamo eliminare ql e τlm dalle equazioni, ottenendo:

con:

Jq m Jl

m ql

τm τl

lm

llmll

lmmmmmm

nqq

nqJ

qDqJ

=

τ−τ=

τ−τ=+

:netrasmissio

:carico

:motore

&&

&&&

( ) lrmmmmlrm qDqJJ τ−τ=++ &&&

nn

JJ l

lrl

lrτ=τ= ,

2


L’approssimazione rigida

Il sistema rigido si può quindi descrivere in termini di funzione di trasferimento:

con:

Gv(s) s1τm qmqm

.τlr+

Se il coefficiente di attrito Dm è trascurabile (caso più sfavorevole, perché l’attrito dà un contributo stabilizzante), si ha:

( ) ( )lrmmv JJsD

sG++

= 1

( )

lrm

v

JJ

ssG

+=µ

µ=

1


Il controllo P/PI

Chiudiamo un controllore PI sulla velocità, ed un controllore proporzionale sulla posizione:

Lo schema prevede di disporre di due misure indipendenti di posizione e velocità. Tipicamente la misura di velocità è fornita da una dinamo tachimetrica.

Si tratta di uno schema di controllo in cascata:

� si progetta dapprima l’anello interno di velocità su banda ampia, in modo da fornire anche una buona reiezione dei disturbi

� l’anello esterno, di posizione, si progetta su una banda più ristretta

� si osservi che di fatto gli anelli innestati sono tre (corrente, velocità, posizione)

τm qmqm

.τlr

+ 1/sGv(s)RPI(s)Kpp++

− −qo

m


Progetto del regolatore PI di velocità

τm qm

.τlr

+ Gv(s)RPI(s)+−

qom

.

Funzione d’anello:

Se Tiv è sufficientemente grande, ossia se lo zero del PI è sufficientemente in bassa frequenza, la pulsazione critica è ben approssimata prendendo l’approssimazione di alta frequenza di L:

posizionamento dello zero del PI

100

101

102

103

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

dB

w (rad/s)

cvωivT1

( ) ( ) ( )iv

ivpvvPIv sT

sTs

KsGsRsL

+µ== 1

µ=ω pvcv K

( )iv

ivpv

ivpvPI sT

sTK

sTKsR

+=

+= 11

1

( ) cvivT

ω÷= 3.01.01

Controllore PI

selezione del guadagno del PI

( )s

sL cvv

ω≈


Progetto del regolatore P di posizione

Il regolatore dell’anello di posizione “vede” l’anello chiuso di velocità, di funzione di trasferimento:

La funzione d’anello è quindi:

È sufficiente prendere Kpp << ωcv per garantire una pulsazione critica ωcp≈ Kpp.

qmqm

.

1/sFv(s)Kpp+−

qom qo

m

.

100

101

102

103

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

dB

w (rad/s)

cpω cvω( )cv

v ssF

ω+≈

11

( ) ( ) ( )cv

ppvppp ss

K

ssFKsL

ω+==

11

ppcp K=ω selezione del guadagno P


Anticipo di velocità

Per rendere la risposta al riferimento di posizione più pronta, è possibile inserire un contributo di feedforward, noto come “anticipo di velocità”: si deriva il riferimento e si somma questo contributo nel nodo sommatore dell’anello di velocità.Spesso il contributo di feedforward viene pesato da un coefficiente kff compreso tra 0 e 1:

τm qmqm

.τlr


− −qo

m

s

+

τm qmqm

.τlr


− −qo

m

kffs

+


Anticipo di velocità e PID

Se si usa un solo sensore sulla posizione motore e la velocità si ottiene differenziando la misura di posizione, si ottiene uno schema di controllo del tutto equivalente ad un regolatore PID:

τm qmqm

.τlr

+ 1/sGv(s)RPID(s)+−

qom

τm qmqm

.τlr


− −qo

m

s

+

s


Anticipo di velocità e PID

Dimostriamo l’equivalenza con un PID:τm

qm

RPI(s)Kpp++

− −qo

m

s

+

s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )sqsqsRsqsqKs

sTK

sqsqKssqssqsRs

momPIDm

ompp

ivpv

momppm

omPIm

−=−+

+=

=−+−=τ

11

( )

++= D

IPPID sT

sTKsR

11

=

=

+=

pvpp

ivpI

p

pvD

ivpppvP

KK

TKT

K

KT

TKKK

1


Limitazioni del modello rigido

� Il modello rigido non mette in evidenza nessun significativo limite di banda. In linea di principio si potrebbe quindi rendere il sistema in anello chiuso arbitrariamente veloce.

� All’atto pratico tuttavia emergono chiaramente limitazioni, sotto forma di vibrazioni, rumore, saturazioni, ecc..

� Evidentemente il modello rigido non è in grado di spiegare bene come si comporta un servomeccanismo.

� Occorre quindi complicare il modello.


L’approssimazione a due masse

Un secondo modo di affrontare il problema di controllo consiste nell’assumere l’insieme motore, riduttore e carico come un accoppiamento elastico tra due corpi rigidi. In questo caso le equazioni del sistema sono le seguenti:

Schema a blocchi:

( ) ( )lmellmellm

llmll

lmmmmmm

qnqDnqqK

nqJ

qDqJ

&&

&&

&&&

−+−=τ

τ−τ=

τ−τ=+

netrasmissio

carico

motore JD

K

m Jlmel

el

q ,m

q ,lτ lτ

−Jls

11s

τ lmDels+Kel

Jms + Dm

1 1s

.qm −

n

−

n

τ l

qm

.ql

ql

τm +

+

+

È un sistema di ordine 4 (ci sono 4 variabili di stato)


Un sistema “SITO”

Concentriamoci sulla risposta del sistema al comando di coppia τm (poniamo τl =0)

Il sistema è interpretabile come sistema ad un ingresso e due uscite (SITO: Single Input Two Outputs).

τm

qmqm

.

1/sGvm(s)

nql1/sGvl(s)

nql

.

Risolvendo lo schema a blocchi si ottiene:

i numeratori sono diversi

( ) ( ) elmelmelmlrelmlr

elellrvm

KDsDDJKsDJJDsJJ

KsDsJsG

+++++++

=23

2

)(

( ) ( ) elmelmelmlrelmlr

elelvl

KDsDDJKsDJJDsJJ

KsDsG

++++++

=23

)(

+== mlrl

lr JJJn

JJ ,

2


Parametri notevoliPoniamo Dm=0 ed introduciamo i seguenti parametri:

Si ottiene:

(rapporto di inerzia)

(pulsazione naturale e smorzamento degli zeri)

(pulsazione naturale e smorzamento dei poli)

2

2

2

2

21

21

)(

pp

p

zz

z

vmss

ss

ssG

ω+

ωζ

+

ω+

ωζ+

µ=

ellr

elz

lr

elz

KJ

D

J

K 12

, =ζ=ω

zpzp ζρ+=ζωρ+=ω 1,1

m

lr

JJ

=ρ

=µJ1

2

2

21

21)(

pp

p

z

z

vlss

s

ssG

ω+

ωζ

+

ωζ+

µ=

modello rigido

effetto elastico


Natural frequency e locked frequency

Il sistema libero oscilla alla pulsazione dei poli di Gvm, ossia ωp: questa pulsazione è detta natural frequency.

JD

K

m Jl

el

el

JD

K

m Jlel

el

Le pulsazioni ωp e ωz hanno un’interpretazione fisica molto chiara:

Se invece si blocca meccanicamente il motore, il sistema oscilla alla pulsazione degli zeri di Gvm, ossia ωz: questa pulsazione è detta lockedfrequency.


Disposizione di poli e zeri

Come sono messi nel piano complesso poli e zeri di Gvm?

I poli sono a più alta frequenza e più smorzati

2

2

2

2

21

21

)(

pp

p

zz

z

vmss

ss

ssG

ω+

ωζ

+

ω+

ωζ+

µ=

11 >ρ+=ζζ

=ωω

z

p

z

pIm

Re

ωzωp

−ζzωz−ζpωp


Risposta in frequenza

Che aspetto assume la risposta in frequenza di Gvm?

ρ=1ζz=0.1

2

2

2

2

21

21

)(

pp

p

zz

z

vmss

ss

ssG

ω+

ωζ

+

ω+

ωζ+

µ=

10-2

10-1

100

101

-20

-10

0

10

20

30

40

ω/ωz

|Gvm

|

risonanza

antirisonanza


Una rappresentazione formale

Se τl = 0, possiamo rappresentare il sistema con il seguente schema a blocchi:

2

2

21

21)(

zz

z

z

z

lmss

s

sG

ω+

ωζ+

ωζ+

=

τm qmqm

.

1/sGvm(s) Glm(s)nql

dove posizione del motore e posizione del carico (riportata all’asse motore) sono formalmente legate dalla funzione di trasferimento:


Controllo P/PI sul motore

Nella robotica industriale i sensori sono di norma disposti solo dal lato motore. Concentrandoci sulla risposta al riferimento (τl=0) si ha:

τm qmqm

.

1/sGvm(s)RPI(s)Kpp++

− −qo

m

s

+Glm(s)

nql

τm qmqm

.


− −qo

m

s

+Glm(s)

nql

s

Nel caso di velocità ottenuta per derivazione della posizione:


Controllo PI di velocità motore

τm qm

.Gvm(s)RPI(s)

+−

Funzione d’anello:

Introduciamo il seguente parametro di progetto adimensionale:

È la pulsazione critica di progetto, valutata sul modello rigido (Kpvµ), normalizzata alla pulsazione ωz:

� ωcv elevato: progetto “aggressivo”

� ωcv piccolo: progetto “prudente”

( )iv

ivpv

ivpvPI sT

sTK

sTKsR

+=

+=

111

( ) ( ) ( )2

2

2

2

21

211

pp

p

zz

z

iv

ivpvvmPIv

ss

ss

sTsT

s

KsGsRsL

ω+

ωζ

+

ω+

ωζ+

+µ==

z

pvcv

K

ωµ

=ω~~

~


Analisi in frequenza

ρ=1ζz=0.1

Posizioniamo lo zero del PI una decade prima della pulsazione di antirisonanza ωz:

Il margine di fase è elevato in entrambi i casi

Tracciamo il diagramma di Bode della funzione di trasferimento d’anello:

5.0~ =ωcv 5.1~ =ωcv

zivT

ω= 10

10-3

10-2

10-1

100

101

-50

0

50

100

ω/ωz

|Lv|

10-3

10-2

10-1

100

101

-200

-100

0

100

ω/ωz

arg(

L v)

10-3

10-2

10-1

100

101

-50

0

50

100

ω/ωz

|Lv|

10-3

10-2

10-1

100

101

-200

-100

0

100

ω/ωz

arg(

L v)


Dal criterio di Bode non riusciamo a differenziare i due progetti. Entrambi sembrano condurre a un sistema di controllo con elevato grado di stabilità.

Tuttavia se guardiamo la risposta in frequenza in anello chiuso, lato motore e lato carico, nel caso di progetto “aggressivo”:

C’è una evidente risonanza lato carico, associata a oscillazioni.

Analisi in frequenza

5.1~ =ωcv


10-2

10-1

100

101

102

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

ω/ωz

dB

motorecarico

Anello di velocità: luogo delle radici

Tracciamo il luogo delle radici al variare di ωcv:

Ci sono dei poli complessi il cui smorzamento prima aumenta e poi diminuisce.

Lo smorzamento massimo si ottiene per:

~

N.B. In questo e nei successivi luoghi, per maggiore generalità, gli assi sono normalizzati rispetto a ωz

( )zcv

cv

ω≈ω≈ω

7.0

7.0~ linea guida di progetto

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Axis

Ima

gin

ary

Axi

s


Controllo P di posizione

qmqm

.

1/sFv(s)Kpp++

−qo

m

s

+Glm(s)

nql

Anello chiuso di velocità

La funzione d’anello per il controllo di posizione è:

Introduciamo anche in questo caso un parametro di progetto normalizzato:

È la pulsazione critica di progetto, valutata sul modello rigido (Kpp), normalizzata alla pulsazione ωz.

( ) ( )( )sL

sLsF

v

vv +

=1

( ) ( )ssF

KsL vppp =

z

ppcp

K

ω=ω~


Anello di posizione: luogo delle radici

Tracciamo il luogo delle radici al variare di ωcp (o Kpp) per diversi valori di ωcv:

All’aumentare della banda dell’anello di velocità si generano dei poli in anello chiuso poco smorzati.

-1 -0.5 0 0.5 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

-2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

-3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

~

5.0~ =ωcv 1~ =ωcv 5.1~ =ωcv

( ) ( )ssF

KsL vppp =

~


Simulazioni

Simuliamo in Simulink il sistema completo, compreso un gradino di coppia esterna lato carico (disturbo di coppia):


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

t

motorecarico

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

t

motorecarico

Simulazioni

Sistema: ωz = 200 rad/s, ρ = 1, ζz = 0.1

PI di velocità: Tiv=10/ωz

P di posizione: ωcp=0.1

5.0~ =ωcv 5.2~ =ωcv

disturbo di coppia

~


Limiti di prestazione

Abbiamo visto che all’aumentare della banda dell’anello di velocità degradano le prestazioni del sistema di controllo, lato carico. È possibile quantificare questo degrado di prestazioni?Consideriamo la funzione di trasferimento dal riferimento alla posizione lato carico:

)()(

)(sF

sq

snqlm

mo

l =

ρ=1

ζz=0.03

Tiv=10/ωz

ωcp=0.1

Il picco di risonanza aumenta all’aumentare di ωcv

~

~


10-2

10-1

100

101

102

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

ω/ωz

dBωcv


Studiando l’andamento del picco di risonanza della risposta in frequenza (cosiddetta norma H∞) si trova un andamento approssimabile dalla seguente funzione:

ρ+ρ

ω+ζ=ζ

ζ≈≡

∞∞

1~21ˆ

ˆ2

1)(

cvz

l sFQL

La relazione approssimata supporta il progetto congiunto (progetto meccatronico) di meccanica e controllo

La norma dipende da:� parametri dimensionali del

servomeccanismo� un parametro di progetto del

controllo


10-1

100

101

-5

0

5

10

15

20

ωcv/ωz

dB

QL∞

esatta

QL∞

approx.

Controllo P sul carico e PI sul motore

In molte altre applicazioni, come nelle macchine utensili, l’anello di posizione è chiuso lato carico:

Nel caso di velocità motore ottenuta per derivazione della posizione:

τm qmqm

.


− −

s

+Glm(s)

nqlnqol

τm qmqm

.


− −

s

+Glm(s)

nql

s

nqol


Controllo P di posizione

Anello chiuso di velocità: nulla cambia nel suo progetto

La funzione d’anello per il controllo di posizione è ora:

qmqm

.

1/sFv(s)Kpp++

−

s

+Glm(s)

nqlnqol

( ) ( )( )sL

sLsF

v

vv +

=1

( ) ( ) ( )sGssF

KsL lmv

ppp =

2

2

21

21)(

zz

z

z

z

lmss

s

sG

ω+

ωζ+

ωζ+

=


-3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

-3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

s

-3 -2 -1 0 1 2-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Axis

Imag

Axi

sLuogo delle radici

All’aumentare della banda dell’anello di velocità si complica il progetto dell’anello di posizione. Anche per piccoli valori di Kpp il sistema può diventare instabile

Tracciamo il luogo delle radici al variare di ωcp (o Kpp) per diversi valori di ωcv:~~

5.0~ =ωcv 1~ =ωcv 5.1~ =ωcv

07.1~max ≈ωcp

( ) ( ) ( )sGssF

KsL lmv

ppp =

63.0~max ≈ωcp 5.0~

max ≈ωcp


Simulazioni

Simuliamo in Simulink il sistema completo, compreso un gradino di coppia esterna lato carico (disturbo di coppia):


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

t

motorecarico

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

motorecarico

Simulazioni

5.0~ =ωcv 5.2~ =ωcv

disturbo di coppia



P di posizione: ωcp=0.1~


Simulazioni



P di posizione: ωcp=0.7~5.1~ =ωcv

Il sistema è instabile


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

6

t

motorecarico


Anche in questo caso è possibile quantificare il degrado di prestazioni connesso all’aumento della banda dell’anello di velocità.Consideriamo la funzione di trasferimento dal riferimento alla posizione lato carico:

)()(

)(sF

sq

snqlm

mo

l =

ρ=1

ζz=0.03

Tiv=10/ωz

ωcp=0.1

Il picco di risonanza aumenta all’aumentare di ωcv

~

~


10-2

10-1

100

101

102

-150

-100

-50

0

50

ω/ωz

dBωcv


Studiando anche in questo caso l’andamento del picco di risonanza della risposta in frequenza (la norma H∞) si trova un andamento approssimabile dalla seguente funzione:

ρ+ωω

+

ω−ρ+

ρω

+ζ=ζ

ζ≈≡

∞∞

11

~

~1

~5.01~2

1

ˆ

ˆ2

1)(

cv

cp

cpcv

z

l sFQL

Il degrado di prestazioni è ancora più evidente rispetto al caso di chiusura dell’anello di posizione lato motore.


10-1

100

101

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

ωcv/ωz

dB

QL∞

esatta

QL∞

approx.

Identificazione dei parametri

Per il progetto del controllore, o anche per valutare i limiti di prestazione, occorre disporre di stime di ζz, ωz e ρ. Per identificarne sperimentalmente i valori, si possono utilizzare gli strumenti di analisi forniti da alcuni prodotti commerciali.

0 5 10 15 20 25 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

( )22

2 14

1)(

)(

ρ+ρ

ζ≈

ω

ω=

zzm

pm

jF

jFr

Utilizzando un controllore che conferisce banda passante molto blanda, la risposta in frequenza d’anello si sovrappone a quella in anello chiuso. Si può dimostrare che:

R(s)

qm

−

qm

Gm(s)

sweepsinusoidale

risposta infrequenza

+ + +τm

10-1

100

101

102

103

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

ω

dB

Anello chiuso

Anello aperto


Procedura d’identificazione

Possiamo formalizzare una procedura di identificazione nei seguenti passi:

ρ+ρ=ζ

−ω

ω=ρ

=

12

1

1

10

2

2

20

r

r

z

z

p

rdB

^ ^

100

101

102

103

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

ω

dB

ωp

rdB

ωz

1. Progettare un controllore PID con ωc << ωz dove ωz è una stima approssimata di ωz

2. Eseguire un esperimento in anello chiuso e riportare su grafico l’andamento del modulo |Fm(jω)|

3. Dal diagramma ricavare ωz and ωpe rdB=|Fm(j ωp)|dB − |Fm(j ωz)|dB

4. Calcolare:


Regolatori PID: due aspetti realizzativi

Si è visto che nel controllo del moto si utilizzano in larga misura regolatori PID (o P o PI). Il comportamento dinamico del regolatore PID è, come è noto, rappresentato dall’equazione nel dominio del tempo:

( ) ( ) ( ) ( )

+σσ+= ∫ dt

tdeTde

TteKtu D

t

IP

0

1

In termini di funzioni di trasferimento:

( )

++= D

IPPID sT

sTKsR

11

Questa espressione (talvolta detta “scolastica”) cattura il comportamento di massima del regolatore ma non fa emergere una serie di problemi applicativi connessi al suo utilizzo.Due di questi problemi saranno analizzati nel seguito:

� realizzazione dell’azione derivativa� wind-up dell’integratore


Azione derivativa

L’azione derivativa ideale:

corrisponde ad un sistema dinamico non fisicamente realizzabile. Per ottenerne una versione realizzabile occorre filtrarla in alta frequenza, il che consente anche di tagliare il rumore di misura di alta frequenza.L’azione derivativa filtrata assume l’espressione:

( ) sTKsR DPD =

dove N è un parametro che determina la costante di tempo del polo di alta frequenza. Più elevato è N, più ampia sarà la banda in cui l’azione derivativa ideale verrà approssimata, ma più alta sarà anche l’amplificazione di eventuali rumori di misura. Tipicamente si sceglie N=5÷10.

( ) ( )dt

tdeTKtu DP=

( )NsT

sTKsR

D

DPD +

=1


Forma standard ISA

La realizzazione della legge di controllo PID nei regolatori commerciali si differenzia da quella scolastica. Un’espressione che racchiude le diverse versioni come casi particolari è la cosiddetta forma standard ISA:

dove Ysp è il set-point, mentre b e c sono due coefficienti che consentono di pesare, rispettivamente nell’azione proporzionale e nell’azione derivativa, il set-point in maniera diversa dalla misura. Per b=c=1 si ricade nella forma “scolastica”.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

−

+++−= sYscY

NsTsT

sEsT

sYsbYKsU spD

D

IspP 1

1

sKP/TI

+−

Ysp

b

c

+

+

−

−sTD

1+sTD/N++ KP

1

++

Y

U


Forma standard ISA

La forma standard ISA è un regolatore a “due vie”: il set-point e la misura vengono elaborati da due funzioni di trasferimento diverse:

In questo modo si possono scegliere gli zeri della funzione di trasferimento dal set-point in modo opportuno. Se ad esempio il sistema sotto controllo è un doppio integratore (G(s)=µ/s2), si ottiene:

( )

( )

+++=

+++=

NsTsT

sTKsG

NsTsT

csT

bKsG

D

D

IPfb

D

D

IPff

11

1

11

Ysp

Y

Gff(s) +−

U

Gfb(s)

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

11 23

2

+++µ

++=+

=IID

P

I

IID

fbff

sp sTTTsKT

s

bsTTTcssGsG

sGsG

sYsY


Il wind -up

Tutti gli attuatori presentano una saturazione, che può essere rappresentata nel sistema di controllo come nel seguente schema :

Il blocco “Sat” costituisce una caratteristica di saturazione, che assumeremo simmetrica:

Se il regolatore presenta azione integrale, come il PID, la combinazione di questa con la saturazione dell’attuatore può dar luogo ad un effetto indesiderato, noto come carica integrale (o integral wind-up), che può pregiudicare le prestazioni del sistema di controllo.

m yG(s)SatR(s)+

−yo ue

m

uuM

uM

−uM

−uM


Il wind -up

Facciamo riferimento a un regolatore puramente integrale (R(s) = kI/s). Supponiamo che l’errore e resti a lungo dello stesso segno, ad esempio positivo.

La variabile di stato dell’integratore, e quindi la variabile u, cresce indefinitamente e può superare, anche di molto, il valore di saturazione uM

L’attuatore opera quindi in regime di saturazione (m ≡ uM)

m yG(s)SatR(s)+

−yo ue m

uuM

uM

−uM

−uM


Il wind -up

Poiché la variabile di controllo è al valore massimo, a un certo punto y supererà il valore del suo riferimento yo

L’errore e diventa negativo per cui la variabile m dovrebbe lasciare il valore massimo uM ed assumere valori inferiori.

Bisogna però attendere che la variabile u rientri dai valori elevati raggiunti nella fase precedente (wind-up o carica integrale), fino ad assumere valori inferiori al

limite di saturazione uM.

Questa fase di scarica, o desaturazione, dell’azione integrale, può essere di durata rilevante e dà luogo ad un comportamento anomalo del sistema di controllo.


Regolatori anti wind -upUn primo modo di ovviare al problema del wind-up consiste nel realizzare il regolatore in modo alternativo. Si supponga di dover implementare un regolatore PI:

( )

+=

IP sT

KsR1

1

e se ne consideri il seguente schema anti wind-up:

KP++

mue

1+sTI

1

Satq

z

Si osservi che quando la saturazione non è raggiunta, il blocco Sat equivale ad un guadagno unitario, e la funzione di trasferimento da e a m diventa:

( )

+=

+−

=I

P

I

P sTK

sT

KsR1

1

11

1

1 Il comportamento dinamico nominale è quindi quello del regolatore PI.


Regolatori anti wind -up

KP++

mue

1+sTI

1

Satq

z

Si supponga nuovamente che l’errore e rimanga dello stesso segno, ad esempio positivo, a lungo.

Se KP è positivo, anche q assumerà valori positivi. Si supponga quindi l’attuatore in saturazione con m=uM.

Poiché il blocco in retroazione ha guadagno unitario, anche la variabile z si assesterà sul valore uM.


Regolatori anti wind -up

Quando, per effetto della prolungata azione dell’attuatore, l’errore cambia segno, anche la variabile q cambierà segno, istantaneamente.

Il fatto che q assuma valori negativi, unito al fatto che z= uM, implica poi che uassuma immediatamente valori inferiori a uM, facendo subito uscire l’attuatore dalla

saturazione.

Se la variabile manipolabile m non è disponibile, si può fare riferimento alla saturazione propria dell’uscita del regolatore.

KP++

m'ue

1+sTI

1

Sat Satm


Integrazione condizionataUn modo alternativo, di largo utilizzo, per far fronte al problema del wind-updell’integratore consiste nell’interrompere l’integrazione quando l’attuatore si trova in saturazione (integrazione condizionata):

Il modo più sicuro di implementare questo schema di anti wind-up consiste nel far uso di un sensore che rilevi quando l’attuatore entra in saturazione (ad esempio un fine corsa elettrico per un motore). In assenza di questo, si può fare riferimento alla saturazione dell’uscita propria del regolatore.

sKP/TI

+−

Ysp

b

c

+

+

−

−sTD

1+sTD/N++ KP

1

++

Y

USat

0

M

|.| |.|

+−

=0

<0


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