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Problema 2: Un mappamondo prezioso Lavori in un laboratorio d'arte vetraria e il responsabile del museo civico della tua citt ti chiede di progettare un espositore avente forma conica che possa contenere un prezioso e antico mappamondo. Il mappamondo ha raggio R e l'espositore deve essere ermeticamente chiuso, per impedire che il mappamondo prenda polvere. Il tuo collega Mario dice che, per costruire l'espositore, si potrebbe utilizzare il quarzo ialino ma, data la preziosit del materiale, per risparmiare necessario determinarne le dimensioni ottimali. Inoltre per proteggere l'espositore dalla polvere decidete di ricoprirlo con una sottile pellicola trasparente di nuova generazione e piuttosto costosa. 1. Trascurando lo spessore dell'espositore e attraverso unopportuna modellizzazione geometrica, determina l'altezza h e il raggio di base r dell'espositore affinch sia minima la sua superficie totale, allo scopo di utilizzare una quantit minima di pellicola1. 2. Fornisci una spiegazione adeguata e convincente del procedimento seguito, eventualmente anche con rappresentazioni grafiche.

Ora tu e Mario dovete scegliere la pellicola da sistemare sulla superficie esterna dell'espositore. La scelta va fatta tra due pellicole che hanno lo stesso costo unitario ma diverse propriet: la prima ogni anno perde il 3% della resistenza all'usura che ha a inizio anno, mentre la seconda ogni anno perde il 2% della resistenza all'usura iniziale. 3. Aiuta Mario nel capire quale pellicola convenga scegliere in funzione della durata, tenendo conto del fatto che entrambe hanno la stessa resistenza di partenza e che una pellicola va cambiata quando la sua resistenza all'usura risulta inferiore al 30% della sua resistenza di partenza.

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= = , :

= sin( ) =( )

=( )

+ = ( ( )( )

= ( ) = ( ( )( )

= sin( ) =(1 + sin( )

sin( ) cos( )

Ricordando che:

Si ha:

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Da cui:

Posto sin( ) = , si ottiene la funzione:

( ) = ( + 1)

( 1)

Passaggio #1 Dal men iniziale, scegli e seleziona il men GRAPH e trascrivi la funzione:

( ) = ( + 1)

( 1)

Digita u(DRAW)

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Passaggio #2 Per ottenere una migliore visualizzazione digitiamo e (V-WINDOWS) e imposta i dati come in figura.

Passaggio #3 Digita y(G-Solve) ed e MIN, in tal modo verr visualizzato il valore minimo della funzione x = 0,03333 Da cui si avr:

=arcsen(1/3)=20

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Passaggio #3 Tornando al men RUN Matrix puoi determinare i valori cercati.

Ora tu e Mario dovete scegliere la pellicola da sistemare sulla superficie esterna dell'espositore. La scelta va fatta tra due pellicole che hanno lo stesso costo unitario ma diverse propriet: la prima ogni anno perde il 3% della resistenza all'usura che ha a inizio anno, mentre la seconda ogni anno perde il 2% della resistenza all'usura iniziale. 3. Aiuta Mario nel capire quale pellicola convenga scegliere in funzione della durata, tenendo conto del fatto che entrambe hanno la stessa resistenza di partenza e che una pellicola va cambiata quando la sua resistenza all'usura risulta inferiore al 30% della sua resistenza di partenza.

, :

Per la prima pellicola: = (1 )

Per la seconda pellicola: = (1 )

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Passaggio #1 Seleziona il men GRAPH&TABLE e trascrivi le funzioni determinate. Dopo aver selezionato al prima funzione digita u (DRAW)

Passaggio #2 Digita q(Trace) Muovendo il tasto cursore possibile determinare il valore delle x cercato per la prima pellicola. Analizzando i dati possibile determinare che allanno 39.5 , lusura della prima pellicola si attesta al 30%

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Passaggio #3 Ripetiamo il procedimento per la seconda pellicola. Analizzando i dati possibile determinare che allanno 35 lusura della seconda pellicola si attesta al 30%

Una procedura alternativa la seguente:

Passaggio #1 Collocati nel men TABLE e trascrivi le funzioni determinate.

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Passaggio #2 Digita y (SET), potrai indicare il valore iniziale e finale delle x.

Passaggio #3 Digitando (TABLE) otterremo al tabella dei valori.

Passaggio #6 Analizzando i dati possibile determinare che lusura delle pellicole si attesteranno al 30 % allanno 39.5 per la prima e allanno 35 per la seconda.

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