richiami_teoria_taylor
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Richiami di teoria: formula di Taylor Sviluppi notevoli di McLaurin e x =1+ x + 1 2! x 2 + ··· + 1 n! x n + o (x n ), x → 0 sin x = x - 1 3! x 3 + 1 5! x 5 + ··· + (-1) n (2n + 1)! x 2n+1 + o x 2n+2 , x → 0 cos x =1 - 1 2! x 2 + 1 4! x 4 + ··· + (-1) n (2n)! x 2n + o x 2n+1 , x → 0 (1 + x) α =1+ αx + α 2 x 2 + ··· + α n x n + o (x n ), α ∈ R, x → 0 dove α n = α(α - 1) ··· (α - (n - 1)) n! , 1 1 - x = (1 - x) -1 =1+ x + x 2 + ··· + x n + o (x n ), x → 0 log (1 + x)= x - 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + ··· + (-1) n-1 n x n + o (x n ), x → 0 arctan x = - 1 3 x 3 + 1 5 x 5 + ··· + (-1) n 2n +1 x 2n+1 + o x 2n+2 , x → 0 sinh x = x + 1 3! x 3 + 1 5! x 5 + ··· + 1 (2n + 1)! x 2n+1 + o x 2n+2 , x → 0 cosh x =1+ 1 2! x 2 + 1 4! x 4 + ··· + 1 (2n)! x 2n + o x 2n+1 , x → 0 1
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cosx=1−1 2!x 2 +1 4!x 4 +···+(−1) (1+x) α =1+αx+ =α(α−1)···(α−(n−1)) n! , x n +o(x n ), α∈ R , x 2 +···+ x→0 x 2n+1 x 2n+2 x 2n+1 x 2n+2 x 2n+2 dove α 2 α n α n 1 n−1 n n Richiamiditeoria:formuladiTaylor 5)o(f(x))·o(g(x))=o(f(x)g(x)); 3)o 4)o =o(f(x)); =o(f(x)); o(f(x) o(f(x)) 6) 8) 2 p p ;
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Richiami di teoria: formula diTaylor
Sviluppi notevoli di McLaurin
ex = 1 + x +12!
x2 + · · · +1n!
xn + o (xn), x → 0
sin x = x− 13!
x3 +15!
x5 + · · · +(−1)n
(2n + 1)!x2n+1 + o
(x2n+2
), x → 0
cos x = 1− 12!
x2 +14!
x4 + · · · +(−1)n
(2n)!x2n + o
(x2n+1
), x → 0
(1 + x)α = 1 + αx +
(α
2
)x2 + · · · +
(α
n
)xn + o (xn), α ∈ R, x → 0
dove
(α
n
)=
α(α− 1) · · · (α− (n− 1))n!
,
11− x
= (1− x)−1 = 1 + x + x2 + · · · + xn + o (xn), x → 0
log (1 + x) = x− 12x2 +
13x3 + · · · +
(−1)n−1
nxn + o (xn), x → 0
arctanx = −13x3 +
15x5 + · · · +
(−1)n
2n + 1x2n+1 + o
(x2n+2
), x → 0
sinhx = x +13!
x3 +15!
x5 + · · · +1
(2n + 1)!x2n+1 + o
(x2n+2
), x → 0
coshx = 1 +12!
x2 +14!
x4 + · · · +1
(2n)!x2n + o
(x2n+1
), x → 0
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2 Richiami di teoria: formula di Taylor
Algebra degli “o” piccolo
Siano A ⊆ R, f, g : A → R due funzioni e x0 ∈ R∪{±∞} un punto di accumulazione
per A. Allora per x → x0 si ha che
1) o(k f(x)) = k o(f(x)) = o(f(x)), k 6= 0;
2) o(f(x)) + o(f(x)) = o(f(x));
3) o(o(f(x)
)= o(f(x));
4) o(f(x) + o(f(x)
)= o(f(x));
5) o(f(x)) · o(g(x)) = o(f(x)g(x));
6)[o(f(x))
]p= o (fp(x)) , per ogni p ∈ R per cui ha senso;
7)o(f(x))
g(x)= o
(f(x)g(x)
);
8)[f(x) + o(f(x)
]p= fp(x) + o (fp(x)) , per ogni p ∈ R per cui ha senso.
