Richiami di teoria: formula diTaylor

Sviluppi notevoli di McLaurin

ex = 1 + x +12!

x2 + · · · +1n!

xn + o (xn), x → 0

sin x = x− 13!

x3 +15!

x5 + · · · +(−1)n

(2n + 1)!x2n+1 + o

(x2n+2

), x → 0

cos x = 1− 12!

x2 +14!

x4 + · · · +(−1)n

(2n)!x2n + o

(x2n+1

), x → 0

(1 + x)α = 1 + αx +

(α

2

)x2 + · · · +

(α

n

)xn + o (xn), α ∈ R, x → 0

dove

(α

n

)=

α(α− 1) · · · (α− (n− 1))n!

,

11− x

= (1− x)−1 = 1 + x + x2 + · · · + xn + o (xn), x → 0

log (1 + x) = x− 12x2 +

13x3 + · · · +

(−1)n−1

nxn + o (xn), x → 0

arctanx = −13x3 +

15x5 + · · · +

(−1)n

2n + 1x2n+1 + o

(x2n+2

), x → 0

sinhx = x +13!

x3 +15!

x5 + · · · +1

(2n + 1)!x2n+1 + o

(x2n+2

), x → 0

coshx = 1 +12!

x2 +14!

x4 + · · · +1

(2n)!x2n + o

(x2n+1

), x → 0

1

2 Richiami di teoria: formula di Taylor

Algebra degli “o” piccolo

Siano A ⊆ R, f, g : A → R due funzioni e x0 ∈ R∪{±∞} un punto di accumulazione

per A. Allora per x → x0 si ha che

1) o(k f(x)) = k o(f(x)) = o(f(x)), k 6= 0;

2) o(f(x)) + o(f(x)) = o(f(x));

3) o(o(f(x)

)= o(f(x));

4) o(f(x) + o(f(x)

)= o(f(x));

5) o(f(x)) · o(g(x)) = o(f(x)g(x));

6)[o(f(x))

]p= o (fp(x)) , per ogni p ∈ R per cui ha senso;

7)o(f(x))

g(x)= o

(f(x)g(x)

);

8)[f(x) + o(f(x)

]p= fp(x) + o (fp(x)) , per ogni p ∈ R per cui ha senso.