RESISTENZA A FATICA Indice argomenti Introduzione Modalità di rottura a fatica Cicli di prova e di...

RESISTENZA A FATICAIndice argomenti

IntroduzioneModalità di rottura a faticaCicli di prova e di lavoro – Nomenclatura e definizioniProve e macchine di provaProve di fatica e raccolta risultatiCurve S-NCapacità di resistenza e tensione di lavoro effettiveEffetti di riduzione della resistenzaEffetti di amplificazione delle tensioni (Effetto d’intaglio)Relazioni tra il limite di fatica ed altre proprietà del materialeDiagrammi di resistenza a faticaVerifica di resistenza per stati di sollecitazione compostaDanno cumulativo

IntroduzioneConsiderazioni generali

A Punto di innesco della faticaB Zona cha appare liscia (è quella che si è rotta inizialmente)C Zona cristallina (quella che si rompe di schianto alla fine)

Fasi principaliInnescoPropagazione Rottura

Un componente meccanico assoggettato a carico variabile,Dopo un certo numero di cicli di sollecitazione, può manifestareCedimento anche se il livello medio della tensione risulta inferioreA quello corrispondente alla rottura statica Tale fenomeno va sotto il nome di FATICA

Modalità di rottura a faticaSlipband e zone di frattura

Slipband visibili in superficie diun provino privo di singolaritàassoggettato a carico alternato

Modalità di rottura a faticaCasistica

Cicli di prova e di lavoroDefinizioni e notazioni

Ciclo affaticante, ciclo di tensione o ciclo di fatica è la parte di funzione tensione-tempo che si ripete identicamente e periodicamente

Con riferimento principalmente a cicli di tipo sinusoidale, in quanto segue si utilizzeranno le notazioni indicate.

max sollecitazione massima a cui è sottoposto il provinomin sollecitazione minima a cui è sottoposto il provinoR = min /max coefficiente di asimmetria del ciclom = (max + min)/2 sollecitazione media o precaricoa = (max - min)/ 2 ampiezza della variazione della sollecitazione2a elongazione della sollecitazione max = m + a e min = m - a N numero di cicli finali di fatican numero del ciclo generico a cui si sta lavorando

Cicli di prova e di lavoroNotazioni

A ampiezza del limite di resistenza a faticaD limite a fatica: massimo valore di tensione per cui il provino resiste ad un numero indefinito di cicli (oppure ad numero di cicli convenuto)Risulta D = m ± AA(N) ampiezza di resistenza a fatica per una durata o vita di N milioni di cicliD(N) resistenza a fatica per una vita di N milioni di ciclifr limite di fatica nel caso di flessione rotante simmetricarb rotating bending)tc limite di fatica per sollecitazione di tipo trazione-compressionetp limite di fatica nel caso di sollecitazione pulsantert limite di fatica nel caso di torsione variabile

Cicli di provaNomenclatura

Al fine di una uificazione e di una semplificazione delle prove,Dell’interpretazione, della ripetibilità e della comprensibilitàdei risultati usualmente si applicano carichi ciclicamente variabili ed in particolare variabili sinusoidalmente.

Ciclo alterno simmetrico max = - min con R = -1 e m = 0

Ciclo alterno asimmetrico max > 0 e min < 0 con R < 0 e m = 0

Ciclo dallo zero o dall'origine max > 0 e min = 0 con R = 0 e m = max /2 oppure max = 0 e min < 0 con R = e m= min /2

Ciclo pulsante max> 0 e min > 0 con 1> R > 0 e m = 0

Cicli di provaDiagrammi

max

min

m

tR = -1

max

min

m

R < 0

Ciclo Simmetrico

t

max

min

m

R > 0

t

max

min

m

t max

min

mt

R = 0

Ciclo dall’origine

Prove di fatica Macchine di prova – Trazione-compressione

Prove di fatica Schema

di macchina di prova

Prove di fatica Macchine di prova – Flessione rotante

Provetta vista dall’alto

Morsa fissa

Flessione Alternata

Provetta

Provetta

Moto alternato

Flessione Rotante

Provetta

A

Moto eccentrico

Peso

Peso

Provetta vista dall’alto

Morsa fissa

Flessione Alternata

Provetta

Provetta

Moto alternato

Flessione Rotante

Provetta

A

Moto eccentrico

Peso

Peso

Prove di fatica Flessione Alternata

Sforzo Normale

Momento Flettente

ProvinoBielletta

N F

Prove di fatica Flessione Rotante

Momento Flettente

Provino Rotante

FMax

y r

y = r sin = r sin t

F(t)

F(t) = (y/r)FMax= FMax sin t

Prove di fatica e raccolta risultati Curve di Woehler o curve S-N

a Curva tracciata per unAssegnato valore dellaTensione media m

Prove di fatica e raccolta risultati Curve di Woehler per differenti materiali

107 108

Acciaio

Alluminio

N

a = c N-k

Prove di fatica e raccolta risultati Curve di Woehler in coordinate logaritmiche

ln

107

Zona 3Resistenzaillimitata

Zona 2Resistenzaa termine

Zona 1Faticaoligociclica

ln A

ln N

log a = log c – klogNlog a

log A

log N

Prove di fatica e raccolta risultatiConsiderazioni Probabilistiche 1

Dalle prove di fatica si traggono risultati in termini relazione tra il livello di tensione indotto nel provino e la corrispondente durata dello stesso. Come per tutte le prove, anche la caratterizzazione del comportamento dei materiali sotto carichi variabili necessita di esperienze condotte su numerosi provini ed i risultati devono essere trattati con metodi statistici.

Prove di fatica e raccolta risultatiGeneralità sulla teoria della Probabilità

.

X

XAP A

X lim)(

A tal proposito si ricorda che, considerando come evento A, nel nostro caso la rottura, il risultato di un esperimento, nel nostro caso la prova, se si indica con X il numero totale di esperimenti ed XA il numero di volte che si verifica l’evento A la frequenza relativa che accada l’evento A si definisce come rapporto XA/ X e la probabilità con il limite

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità

)()( 21

2

1

xxxPdxxpx

x

D’altra parte se, x è una variabile continua associata ad un evento, viene definita la funzione p(x) che esprime la densità di probabilità che x cada nell’intervallo x1, x2 come


Modello di GaussLa funzione p(x) sopra definita può assumere diverse forme che sono caratteristiche del fenomeno che si vuole modellare. Quella che meglio esprime la densità di probabilità con riferimento alle prove di caratterizzazione dei materiali è quella introdotta da Gauss

2

2

2 2exp

2

1)(

x

xp


che viene anche chiamata distribuzione normale ed ha l’andamento mostrato in figura successiva. In essa la variabile x esprime, in questo caso, i cicli avanti rottura N e l’ordinata rappresenta il numero di provini rotti, ovvero il numero di provini rotti rapportato a tutti i provini in esame, per un assegnato livello di tensione corrispondente al numero di cicli compreso nell’intervallo (Ñ, Ñ + dN).


Curva di Gauss

Curva di Gauss: la variabile x, in questo caso, è il numero di cicli avanti rottura, l’ordinata e il numero di provini rotti in un intervallo dN

Curva di Gauss

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0,0014

0 1000 2000 3000 4000

Numero di cicli

Pro

ba

bil

ità

di

rott

ura

Curva di densità di probabilità

per un assegnato livello di tensione (a, m)

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità: media

• La curva di distribuzione fornisce, tra l’altro, il valor medio, che risulta, per la gaussiana, essere anche in corrispondenza dell’asse di simmetria del diagramma, espresso dalla relazione

dxxxpxm )(

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità: varianza e deviazione standard

dxxpxx m )(22

considerando poi il secondo ordine si ottiene

il valor medio del quadrato della variabile

espresso da

per cui è possibile definire la varianza 2

222

mm xx E di conseguenza la sua radice quadrata indicata come deviazione standard

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità: cumulativa

• Poiché la funzione densità di probabilità rappresenta, come prima detto, nel caso in esame, la probabilità che un provino si rompa con una durata compresa tra Ñ ed Ñ + dN si può aggiungere alla definizione quella della funzione cumulativa che esprime la probabilità che accada un evento per valori della variabile associata x compresi tra -∞ e quello corrente x ottenendo la funzione cumulativa

x

dxxpxP )()(

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità: cumulativa

Curva Cumulativa

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1000 2000 3000 4000

Numero di cicli

Pro

bab

ilità

Cu

mu

lati

va


Nel nostro caso, ad esempio, associando x al numero di cicli, essa può esprimere la probabilità che, ad un assegnato livello di tensione, la rottura si verifichi tra il numero di cicli compreso tra -∞ ed Ñ. Considerando quanto detto, se ci si pone al valor medio la probabilità che un provino si rompa in corrispondenza di numeri di cicli compresi tra -∞ ed Ñm è

2

1)()(

mNdxxpxP


• Nel caso di variabili discrete al posto della curva di densità di probabilità ci si si riferisce all’istogramma ottenuto suddividendo l’asse delle ascisse in intervalli Dx e riportando sulle ordinate il corrispondente numero di eventi, o meglio la frequenza relativa degli stessi, e le relazioni sopra ricordate vanno interpretate di conseguenza.


Istogramma

Curva di densità di probabilità: l’ascissa x rappresenta il numero di cicli avanti rottura e l’ordinata è la probabilità di rottura

numero di cicli N avanti rottura

Numero provini rotti rapportato al numero di provini del campione

Probabilità di rottura nell’ intervallo Ni, Nj

Ni Nj

Prove di fatica e raccolta risultati Generalità sulla Teoria delle Probabilità: istogramma

Curva di Gauss con ascisse logaritmiche (Lognormale): la variabile x è il logaritmo del numero di cicli avanti rottura logN, l’ordinata e il numero di provini rotti in un intervallo dN

Prove di fatica e raccolta risultati Determinazione del limite di fatica – Procedura generale

La procedura di raccolta dei risultati pertanto può essere articolata come segue:

-si suddivide l’ascissa che rappresenta il numero di cicli in intervalli DN;

-si definisce un’ampiezza di tensione a, per un assegnato valore di m, e si procede nelle prove registrando di volta in volta il numero di cicli;

-si riporta in corrispondenza di ciascun intervallo il numero di provini rotti rapportato al numero totale di provini sottoposti alla prova (frequenza dell’evento rottura) costruendo l’istogramma nelle coordinate N (ovvero log N);

- poichè a ciascun intervallo corrisponde una probabilità di rottura (al valore medio corrisponde la probabilità del 50%) si possono tracciare le curve di Wöhler relative alla probabilità prescelta.

Prove di fatica e raccolta risultati Determinazione del limite di fatica - Woehler

ln

p = 50 %p = 10 %

p = 90 %

ln N

loga

Log N

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase - Procedura

Applicando le formulazioni che forniscono la stima della media tenendo conto delle coordinate logaritmiche si ha il valor medio del numero di cicli a seguito di m esperimenti desumibile dalla relazione

ovvero

m

iim N

mN

1

log1

log

mmm NNNNN /1

221 ....

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase - Procedura

m

imi NN

msigma

1

2loglog1

1

e la deviazione standard

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase – Diagramma Riassuntivo

Determinazione Limite di FaticaMetodo Staircase

420430440450460470480490500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase – Tabella riassuntiva

Livell

o Ten

sione

(MPa)

Ordine

Non ro

tture

Rottu

re

Event

i men

o fre

quen

ti

s i o x n ni ni2

490 6 0 2 0 0 0480 5 2 3 2 10 50470 4 2 4 2 8 32460 3 4 4 4 12 36450 2 3 3 3 6 12440 1 2 1 1 1 1430 0 1 0 0 0 0

Somme 14 17 12 37 131Totale provini 31 N A B

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase – Calcolo Standard

d = 10 Mpa Passo dei valori delle tensionis0= 430 " Sollecitazione più bassa

ordine i = (s-s0)/dN= Numero totale di eventi meno frequentiA= Sommatoria dei prodotti n*iB= Sommatoria dei prodotti n*i^2

Se la rottura è meno frequente si sceglie +Se la rottura è più frequente si sceglie -

Valor medio del limite di fatica

Deviazione standard

valida persAm 465,8333

Nel caso particolare 1,4097222 <0,3 dev stand 22,79052

5.00 N

AdmA

029.062.1

2

2

N

ABNd

3.0/ 22 NABN

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase – Calcolo Semplificato 1

Metodo semplice della media pesata corretta

Si considerano gli eventi meno frequenti e si effettua la media pesata aggiungendo d/2 se tali eventi sono non rotturesottraendo d/2 se invece gli eventi meno frequenti sono le rotture

non rotture eventi meno frequenti490 0 0480 2 960470 2 940460 3 1380450 3 1350440 3 1320430 1 430

14 6380Media pesata 455,7143Correzione d/2=5 in detrazione 5,0000

sA 460,7143

Prove di fatica e raccolta risultati Metodo staircase – Calcolo Semplificato 2

Eventi più frequenti rottureMetodo non valido 490 2 980in questo caso 480 3 1440

470 4 1880460 4 1840450 3 1350440 1 440430 0 0

17 7930466,4706

Correzione d/2=5 in somma 5

sA 471,4706

meno cautelativomotivo per cui si utilizzano gli eventi meno frequenti

Capacità di resistenza e tensione di lavoro effettive

Considerazioni generali

Nota:

La valutazione del coefficiente di sicurezza va effettuatacon l’introduzione di fattori riduttivi della resistenza a fatica

del materiale e moltiplicativi della tensione nominale di lavoro atti a tener conto di effetti che alterano la capacità di resistenza

di riferimento o la tensione valutata.

Tensione affaticante effettiva Effetti di riduzione della resistenza su provini o

componenti privi di singolaritàNumerosi effetti contribuiscono ad alterare il limite di fatica determinato su provini normalizzati anche se privi di singolarità. Di tali effetti si tiene conto attraverso coefficienti che influiscono sul valore della tensione al limite di fatica.I valori dei coefficienti sono reperibili in letteratura o vanno accertati per casi specifici.

I principali aspetti di cui si può tener conto sono:Effetto del tipo di carico - coefficiente CL

Effetto delle dimensioni - coefficiente CD

Effetto della finitura superficiale - coefficiente CS

Effetto della forma della sezione - coefficiente Cq

Effetto dell’ anisotropia delle proprietà a fatica - coefficiente Ca

Effetti di riduzione della resistenza Effetto del tipo di carico

La resistenza a fatica in un componente meccanico privo di singolarità D, prendendo in considerazione gli effetti prima indicati a partire da valori noti in casi specifici, può essere ottenuta con relazioni, con riferimento al tipo di carico:

D = rb CL CD CS Cq Ca ; rotating bending

D = rt CL CD CS Cq Ca ; CL = 0.58 =1/ reversed torsion

D = tc CD CS Cq Ca ; CL = 1 traction compression

3

Effetti di riduzione della resistenza Effetto delle dimensioni

Effetti di riduzione della resistenza Effetto della finitura superficiale

Effetti di riduzione della resistenza Effetto della forma della sezione

Effetto dell’anisotropia delle proprietà a fatica

Tipo sezione Flessione rotante Torsione alternata Trazione Compressione

Circolare 1 1 1

Quadrata 0.9 1 0.9

Rettangolare 0.8 0,9 0.8

Fattori Cq e Ca

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio

esempi di singolarità


piastra tesa con foro ellittico

A

Premotasenzaforo

P

A

P

Arid

remota

rid

n A

A nominaleTensione

n

tTK

Tensione teoricat

Fattore Teorico d’intaglio Kt

Tensione teoricat

Effetti di amplificazione delle tensioni Effetto d’intaglio - Distribuzione tensioni in Piastra

con foro circolare


diagrammi di KT per piastre tese con foro circolare


con foro ellittico e rettangolare


con foro quadro variamente orientato


con intagli laterali


con intagli multpli

Effetti di amplificazione delle tensioni Tensioni modificate dall’Effetto d’Intaglio in un albero

con intaglio circonferenziale variamente sollecitato

Effetti di amplificazione delle tensioni Tensioni modificate dall’Effetto d’Intaglio in un albero

con passaggio di sezione raccordato


diagrammi di KT per albero in torsione e in flessione


fattore di forma, fattore effettivo e sensibilità all’intaglio

F

F

A A

B B

C C

D D

K t

n

m ax

qK

K

C B

C Af

t

1

1

K Fd

d n

Relazioni tra limite di fatica ed altre proprietà del materiale

Tipologie di relazioni di letteratura

Per acciai al carbonio ricotto rb = 0,45 r + 8,4 MPaPer acciai al carbonio rinvenuto rb = 0,515 r -24 MPaPer acciai legati rinvenuti rb = 0,38 r + 94 MPaPer acciai tipo austenitico altamente legati rb= 0,485 r Se adesso si considerano altri tipi di carichi Per leghe di acciaio tc = 0,3 r + 83 MPa rt = 0,274 r + 9,6 MPatc sollecitazione di trazione compressionerb sollecitazione di flessione rotantert sollecitazione di torsione rotante.

Relazioni tra limite di fatica ed altre proprietà del materiale

Tabella del rapporto rb/ r e massimo limite di fatica per vari materiali

Materiali rb/ r rb max inMPa

Acciaio 0,35 - 0,60 800

Ghisa 0,30 - 0,50 200

Leghe di alluminio 0,25 - 0,50 200

Leghe di magnesio 0,30 - 0,50 150

Leghe di rame 0,25 - 0,50 250

Leghe di nichel 0,30 - 0,50 400

Leghe di titanio 0,30 - 0,50 630

Diagrammi di resistenza a faticaEffetto della tensione media

max

N

Diagrammi di resistenza a faticaCostruzione del diagramma nel piano (m,a )

max

a

m2 m3 m4 m5105 105 106 107 N

m1 = 0

m

Diagrammi di resistenza a faticaRappresentazioni nel piano (m, max min)

max

m

m

A0

D

max

min

A

r

r

Diagrammi di resistenza a faticaRelazioni analitiche

a Am

r

0 1

a A

m

r

0 1

a A

m

r

m

r

0

1

1

a A

m

r

0

2

1

a A

m

s

0 1

Formula generale

Goodman

Gerber

Smith

Soderberg

Diagrammi di resistenza a faticaRappresentazione delle relazioni analitiche

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1

2

3

4

1 – Goodman2 – Soderberg3 – Gerber4 - Smith

Diagrammi di resistenza a faticaCostruzione del diagramma di Goodman

max

r

s

A0

0 m10 m

m a x

m

A

rA1 0

0

Diagrammi di resistenza a faticaGrado di sicurezza

m, max min)

Diagrammi di resistenza a faticaDiagramma di Goodman per diversi tipi di sollecitazioni

Verifiche di resistenza per sollecitazioni composte

Criterio di Gough-Pollard

Per stati di sollecitazione biassiale, dove max max sono le

sollecitazioni applicate e af e af sono le sollecitazioni

limite, si può ritenere valida la relazione

m a x m a x2

2

2

2 1a f a f

Verifiche di resistenza per sollecitazioni composte

Criterio di Gough-Pollardmax

N/mm2

0

100

200

300

100 200 300 400 5000 600

AF

AF

400AF

AF

max

Acc. al C

Acc. al Ni Cr

N/mm2

a fa f

a f

2 22

22 m a x m a x

'm a x m a x 2 2 2H

Sollecitazione di confronto

Danno cumulativo Danneggiamento lineare – Formulazione di

Miner

a

n1

n2

n3

n4

N1

N2

N3

N4

N

Un elemento di macchina sottoposto ad un’assegnata

sollecitazione per un numero di cicli ni inferiore alla

corrispondente durata in numero di cicli Ni subisce

comunque un danno che si accumula. Miner e Palmgren

ipotizzarono che il danno progredisce in modo lineare

con i cicli e per diversi tipi di sollecitazione

"Danno cumulativo lineare”

Dn

N

Danno cumulativo Danneggiamento lineare – Rappresentazioni

Danno cumulativo Danneggiamento lineare – Sollecitazioni diverse

D

D = 1

D’

n1 n2 N1 N2 N

n

N

n

N1

1

2

2

nN

Nn2

2

21

Dn

N

n

N

n

N

n

N

n

Ni

i

k

k

1

1

2

2

3

3

1. . . . . .

Formula generale

Numero di cicli a pari dannocon sollecitazione diversa

Pari danno

Danno cumulativo Danneggiamento lineare – Sollecitazioni diverse

Rapporto cicli n/N

Sequenza B - A

L2 1 -L2

L2 L1

Sequenza A - A

Rapporto cicli n/N

n

N

n

NA B

1

1

2

2

1

n

N

n

NA B

1

1

2

2

1

A B B A

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