Renato - Politecnico di Torinocorsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/9050L/linee.pdf · 2 1 {Linee di...

Renato Orta

Teoria delle Linee di Trasmissione

Marzo 1999

Presentazione

Queste dispense di Teoria delle Linee di Trasmissione coprono ampiamente il programma,relativo a questo argomento, del corso di Campi Elettromagnetici tenuto al Politecnico diTorino dall'autore. Alla redazione hanno collaborato Vito Lancellotti, Angelo Maurielloe Fabio Piccione.

III

Indice

1 Linee di trasmissione senza perdite 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Richiami di elettromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Modello circuitale di linea di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Equazioni d'onda e loro soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Equazioni delle linee nel dominio della frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Propagazione dello stato elettrico e interpretazioni geometriche . . . . . . . 181.7 Soluzione delle equazioni delle linee con la tecnica matriciale . . . . . . . . . 20

2 Esempi di linee di trasmissione 232.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Cavo coassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Linea bi�lare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Filo su piano metallico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Linea bi�lare schermata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Linea a striscia (stripline) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7 Microstriscia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Circuiti contenenti linee di trasmissione 353.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 De�nizione di impedenza locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Coe�cienti di ri essione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Considerazioni energetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Diagrammi di tensione, corrente e impedenza sulla linea . . . . . . . . . . . . . 463.6 Componenti reattivi a parametri distribuiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.6.1 Induttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6.2 Condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6.3 Risonatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7 La Carta di Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8 Analisi di semplici circuiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

V

VI Indice

4 Fenomeni dissipativi nelle linee di trasmissione 654.1 Perdite nel dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Perdite nei conduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 Parametri di perdita di alcune linee di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3.1 Cavo coassiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.2 Linea bi�lare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5 Linee di trasmissione con perdite 795.1 Soluzione delle equazioni delle linee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2 Calcolo del usso di potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3 Espressioni approssimate di costante di propagazione e impedenza carat-

teristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6 Circuiti di adattamento 936.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.2 Tipi di adattamento di impedenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3 Adattatori di impedenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.3.1 Celle a L con elementi reattivi concentrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3.2 Adattatori a stub singoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.3 Adattatore a � (doppio stub) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3.4 Adattatori a �=4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7 La matrice Scattering 1097.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2 Relazione tra le matrici [S] e [Z] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3 Calcolo della potenza dissipata da un dispositivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.3.1 Propriet�a della matrice scattering [S] di un dispositivo . . . . . . . . 1147.4 Cambiamento delle impedenze di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.5 Spostamento dei piani di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.6 Connessione di strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.7 Matrice scattering di alcuni dispositivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.7.1 Attenuatore ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.7.2 Isolatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.7.3 Circolatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.7.4 Accoppiatore direzionale ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.8 Esempi di analisi di strutture descritte da matrici S . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.8.1 Connessione in cascata di un doppio bipolo e di un carico . . . . . 1247.8.2 Interconnessione di due doppi bipoli tramite un tratto di linea . 1257.8.3 Cambiamento di impedenza di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.9 Matrice di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8 Linee di trasmissione nel dominio del tempo 1318.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2 La velocit�a di gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.3 Distorsioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.4 Comunicazioni ottiche digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.5 Linee di trasmissione ideali disadattate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.5.1 Soluzione generale delle equazioni delle linee . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Indice VII

8.5.2 La linea disadattata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.5.3 Interconnessioni reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Capitolo 1

Linee di trasmissione senza perdite

1.1 Introduzione

Una linea di trasmissione �e, nell'accezione pi�u generale, un sistema di conduttori metallicie mezzi dielettrici in grado di \guidare" il trasferimento di energia da un generatore aun utilizzatore, indipendentemente (almeno con ottima approssimazione) dalle curve chela linea stessa deve e�ettuare per esigenze pratiche di installazione. Da questo punto divista, su una linea di trasmissione ha luogo un fenomeno propagativo unidimensionale.Esistono molti tipi diversi di linee di trasmissione, alcuni esempi dei quali sono ripor-

tati in Fig. 1.1. I vari tipi di linea vengono utilizzati a frequenze diverse e per applicazionimolto di�erenziate. La stripline e la microstriscia sono utilizzate solo all'interno di ap-parati in tratti che non superano mai qualche centimetro. Cavi coassiali e �bre ottiche,invece, possono essere impiegati come supporto �sico per le comunicazioni intercontinen-tali, e quindi vi sono esempi di tratte di migliaia di chilometri. In questo primo corso di

cb

a

n1

n2

n3

d e

Figura 1.1 Esempi di linee di trasmissione: (a) cavo coassiale,(b) linea bi�lare, (c) �bra ottica, (d) microstriscia , (e) stripline.

Campi Elettromagnetici ci occuperemo, per motivi didattici, esclusivamente delle strut-ture costituite da almeno due conduttori metallici, come il cavo coassiale, la linea bi�lare,la stripline e la microstriscia, nonch�e delle linee accoppiate realizzate con le strutture oracitate. Queste si possono de�nire linee di trasmissione in senso stretto. Le altre strutture

1

2 1 { Linee di trasmissione senza perdite

illustrate in Fig. 1.1 sono de�nite pi�u propriamente guide d'onda metalliche o dielettrichee verranno discusse nel corso di Campi Elettromagnetici II. (In termini pi�u precisi, tuttele strutture di Fig. 1.1 sono guide d'onda, ma quelle della prima classe si di�erenziano inquanto il loro modo di propagazione fondamentale �e TEM - o quasi TEM nel caso dellamicrostriscia - essendo esse costituite da due conduttori).

1.2 Richiami di elettromagnetismo

Il fenomeno �sico che ha luogo in una linea di trasmissione �e di tipo elettromagnetico equindi �e completamente descritto, da un punto di vista quantitativo, dalle equazioni diMaxwell. Il campo elettromagnetico �e descritto da quattro campi vettoriali: il campoelettrico E(r;t), il campo magnetico H(r;t), lo spostamento elettrico D(r;t) e l'induzionemagnetica B(r;t). Le equazioni di Maxwell speci�cano il legame tra questi campi e lesorgenti, descritte tramite la densit�a di corrente J (r;t) . Queste equazioni, gi�a ricavatee discusse nel corso di Fisica II, formano la base matematica dell'elettromagnetismoclassico, e si scrivono nella forma (unit�a MKSA)

r� E(r;t) = � @

@tB(r;t)

r�H(r;t) =@

@tD(r;t) + J

c(r;t) + J (r;t)

(1.1)

Ricordiamo il signi�cato dei simboli e le relative unit�a di misura.

E(r;t) campo elettrico [V/m]

H(r;t) campo magnetico [A/m]

D(r;t) spostamento elettrico [C/m2]

B(r;t) induzione magnetica [Wb/m2]

J (r;t) densit�a di corrente [A/m2] (sorgente)

Jc(r;t) densit�a di corrente [A/m2] (di conduzione)

A queste equazioni devono essere associate le relazioni costitutive, che descrivono illegame tra i campi e le induzioni. Il caso pi�u semplice �e quello del vuoto in cui esse sono

B(r;t) = �0H(r;t)D(r;t) = �0 E(r;t)

(1.2)

dove �0, permettivit�a dielettrica, e �0, permeabilit�a magnetica, hanno i valori

�0 � 1

36�� 10�9 F=m (1.3)

x1.2 { Richiami di elettromagnetismo 3

�0 = 4� � 10�7 H=m: (1.4)

Si dimostra che per un'onda (piana) la velocit�a di propagazione nel vuoto �e legata alleprecedenti grandezze da

c =1p�0�0

= 2: 998 � 108 m=s: (1.5)

Inoltre il rapporto tra i moduli del campo elettrico e di quello magnetico �e detto impe-denza d'onda o impedenza intrinseca del vuoto e vale

Z0 =

s�0

�0� 377 (1.6)

Nel caso di dielettrici lineari, isotropi e non dispersivi le relazioni costitutive (1.2) sonosostituite da

B(r;t) = �H(r;t)D(r;t) = � E(r;t)

(1.7)

dove

� = �0�r (1.8)

� = �0�r (1.9)

e �r, �r (numeri puri) sono le permeabilit�a e permittivit�a relative del materiale. Tutti imateriali non ferromagnetici hanno valori di �r che di�eriscono molto poco dall'unit�a.Qualora il dielettrico contenga cariche libere, la presenza di un campo elettrico E(r;t)

determina la presenza di una corrente di conduzione Jc(r;t):

Jc(r;t) = E(r;t) (1.10)

dove �e la conducibilit�a del dielettrico misurata in S/m.Dalla Fisica si sa che il campo elettromagnetico, prodotto da una generica sorgente,

si propaga da un punto all'altro dello spazio sotto forma di onde con una velocit�a che,nel vuoto, vale c = 2: 998 � 108 m/s. Anche se la dipendenza temporale del campoelettromagnetico pu�o essere qualsiasi, �e molto importante, sia da un punto di vista teoricoche applicativo, il cosiddetto regime armonico (o sinusoidale) con frequenza f . In questecondizioni, le onde elettromagnetiche sono caratterizzate dalla \lunghezza d'onda" �0 =c=f , che �e una sorta di dimensione caratteristica della struttura spaziale del campo, in

quanto ne speci�ca il tasso di variazione. �E noto dai corsi di Matematica che un campocon dipendenza temporale arbitraria pu�o essere rappresentato come sovrapposizione dicampi sinusoidali con frequenze contenute in una opportuna banda (teorema di Fourier).In tal caso con �0 �e da intendersi la lunghezza d'onda minima, cio�e quella corrispondentealla frequenza massima.La dimensione L delle strutture con cui il campo elettromagnetico interagisce devono

sempre essere confrontate con la lunghezza d'onda. Il rapporto L=�0 si de�nisce lunghezzaelettrica della struttura ed �e un numero puro. A seconda del valore di L=�0 si distinguonosostanzialmente tre regimi diversi:

. il regime quasi-statico, con L=�0 � 1, tipico dei circuiti a parametri concentrati,studiati in Elettrotecnica


. il regime delle risonanze, con L=�0 � 1, tipico dei circuiti a parametri distribuiti,oggetto di questo corso

. il regime ottico, con L=�0 � 1, tipico degli usuali componenti studiati dall'otticaclassica (lenti, specchi, ecc...)

La tecnica di soluzione dei problemi elettromagnetici o addirittura la loro modellizza-zione �e diversa a seconda del regime in cui si opera.La teoria dei circuiti a parametri concentrati studia la dinamica di sistemi costituiti da

elementi di dimensioni trascurabili rispetto alla lunghezza d'onda. Il modello impiegatoadotta come variabili di stato la di�erenza di potenziale vrs(t) tra i due nodi Pr e Ps di unarete e la corrente elettrica irs(t) che uisce nel conduttore compreso tra gli stessi nodi. Arigore, queste grandezze sono de�nite in maniera univoca solo nel caso stazionario (statoindipendente dal tempo) ma sono comunemente impiegate anche nel campo di frequenzeper cui la rete �e molto piccola rispetto alla lunghezza d'onda. A questo criterio pu�o esseredata veste diversa; infatti

L

�0=

L

c=f=L

c

1

T=�

T

dove T �e il periodo di un'oscillazione di frequenza f = 1=T e � �e il tempo impiegatoda un'onda elettromagnetica ad attraversare la rete da un'estremit�a all'altra. Quindi unsistema elettromagnetico pu�o essere descritto in termini di tensioni e correnti �nch�e ilritardo di propagazione �e trascurabile rispetto al periodo delle oscillazioni. Questo �e ilmotivo per cui si parla di regime quasi-stazionario.Consideriamo ora una delle linee di trasmissione illustrate in Fig. 1.1. Tipicamente

si tratta di strutture con dimensioni trasversali piccole rispetto alla lunghezza d'onda,ma con lunghezza che pu�o essere molto grande. Allora, mentre una rete a parametriconcentrati viene modellizzata come puntiforme, una linea di trasmissione �e un sistemaunidimensionale in cui tensione e corrente dipendono, oltre che dal tempo, da una coor-dinata spaziale che descrive la posizione sulla linea, usualmente z. Le variabili di statodi tale sistema sono quindi v(z;t) e i(z;t).Un circuito che contiene linee di trasmissione si dice spesso \circuito a parametri

distribuiti" per sottolineare il fatto che l'energia elettromagnetica �e immagazzinata nonsolo in componenti speci�ci (induttori, condensatori) ma anche nello spazio che circondai conduttori di una linea, che risulta quindi possedere una induttanza e una capacit�a perunit�a di lunghezza.Le equazioni che regolano la dinamica di una linea di trasmissione si potrebbero ri-

cavare direttamente dalle equazioni di Maxwell, ma da un punto di vista didattico ri-sulta preferibile generalizzare i concetti appresi nel corso di elettrotecnica e procedereesclusivamente in termini circuitali.

1.3 Modello circuitale di linea di trasmissione

Consideriamo un tratto di linea di trasmissione a due conduttori uniforme, cio�e consezione trasversale indipendente dalla coordinata longitudinale z. In Fig. 1.2a �e rappre-sentato, come esempio, un tratto di cavo coassiale. In Fig. 1.2b �e riportato il suo simbolo,ossia una rappresentazione schematica e convenzionale contenente due \conduttori" in

cui uisce una corrente e tra i quali esiste una di�erenza di potenziale. �E quindi evidente

x1.3 { Modello circuitale di linea di trasmissione 5

(a) (b)

Figura 1.2 (a) Tratto di cavo coassiale e (b)rappresentazione simbolica del precedente.

che tutte le linee a due conduttori hanno lo stesso simbolo circuitale di Fig. 1.2b. Comesi �e detto, una linea di trasmissione pu�o avere lunghezza anche grande rispetto alla lun-ghezza d'onda, quindi il suo funzionamento non pu�o essere analizzato con le equazioni diKirchho�, che presuppongono che il circuito sia di dimensioni insigni�canti rispetto a �.

Consideriamo allora un tratto di linea di lunghezza �z � � (Fig. 1.3a) al quale quindipossiamo applicare le equazioni di Kirchho�. Facendo poi tendere a zero la lunghezza �z,le equazioni del sistema assumono la forma di equazioni di�erenziali a derivate parziali.Per ricavare il circuito equivalente del tratto elementare di linea, osserviamo che nei

∆z

(a) (b)

v(z,t)

i(z,t)

&∆z *∆z

i(z+∆z,t)/∆z 5∆z

v(z+∆z,t)

Figura 1.3 a) Tratto �z di linea di trasmissione (cavo coassiale).�Eindicata la super�cie usata per de�nire L. b) Circuito equivalente

conduttori uisce una corrente che genera un campo magnetico con linee di forza checircondano i conduttori. Tale campo d�a luogo a un usso di induzione autoconcatenatoattraverso una super�cie appoggiata ai conduttori stessi. Il coe�ciente di proporzionalit�atra corrente e usso �e, per de�nizione, l'induttanza del tratto di linea, che scriveremoL�z per mettere in evidenza la dipendenza lineare del usso dalla lunghezza �z. QuindiL, misurata in [H/m] �e l'induttanza per unit�a di lunghezza della linea.

Analogamente, i conduttori metallici danno luogo a perdite ohmiche dovute alla lorolimitata conducibilit�a e quindi il circuito equivalente del tratto di linea comprende unaresistenza serie di valore R�z dove R �e la resistenza per unit�a di lunghezza della linea,misurata in [=m].

Ancora, i due conduttori a�acciati costituiscono un condensatore con capacit�a C�z,essendo C la capacit�a per unit�a di lunghezza della linea, misurata in [F/m].


In�ne, il dielettrico che separa i conduttori ha una conducibilit�a non nulla, responsabiledella potenza qui dissipata per e�etto Joule. Da un punto di vista circuitale questofenomeno �e tenuto in conto tramite la conduttanza totale G�z, dove G �e una conduttanzaper unit�a di lunghezza, misurata in S/m.Applichiamo le leggi di Kirchho� al circuito di Fig. 1.3b e troviamo8>>>><>>>>:

v(z;t)� v(z +�z;t) = R �z i(z;t) + L �z@

@ti(z;t)

i(z;t)� i(z +�z;t) = G �z v(z +�z;t) + C �z@

@tv(z +�z;t)

(1.11)

Dividiamo ambo i membri per �z e prendiamo il limite di ambo i membri per �z ! 0.I rapporti incrementali al primo membro diventano delle derivate parziali rispetto a z e,tenendo in conto la continuit�a di v(z;t), otteniamo le equazioni delle linee di trasmissione(o dei telegra�sti): 8>>>><>>>>:

� @

@zv(z;t) = R i(z;t) + L @

@ti(z;t)

� @

@zi(z;t) = G v(z;t) + C @

@tv(z;t)

(1.12)

�E da osservare che qualunque altra disposizione circuitale degli elementi, come ad esem-pio quelle di Fig. 1.4, porta esattamente alle stesse equazioni di�erenziali. Le eq. (1.12)

Figura 1.4 Circuiti equivalenti alternativi diun tratto elementare di linea di trasmissione.

e(t) RL

Rg

+

0 L

Figura 1.5 Schema di circuito compren-dente generatore, linea di trasmissione e

carico.

sono equazioni di�erenziali a derivate parziali del primo ordine accoppiate e, come di-scusso nei corsi di Matematica, devono essere completate da opportune condizioni al

x1.3 { Modello circuitale di linea di trasmissione 7

contorno e condizioni iniziali. Usualmente, una linea di trasmissione collega un genera-tore a un carico, come schematizzato in Fig. 1.5, dove si �e supposto per semplicit�a chesia l'impedenza interna del generatore sia l'impedenza di carico siano reali. Questo �e il

pi�u semplice circuito che comprenda un tratto di linea di trasmissione. �E chiaro alloraquali condizioni al contorno si debbano associare alla (1.12):

In z = 0 e(t)�Rgi(0;t) = v(0;t) 8t � 0

In z = L v(L;t) = RLi(L;t) 8t � 0(1.13)

dove e(t) �e una funzione causale assegnata. Inoltre la condizione iniziale, che speci�ca lostato iniziale dei componenti reattivi (e quindi solo della linea, in questo caso) �e

v(z;0) = v0(z) 0 � z � L

i(z;0) = i0(z) 0 � z � L(1.14)

dove v0(z) e i0(z) sono funzioni (reali) assegnate. Tipicamente, a t = 0 la linea �e \scarica"e quindi

v0(z) � 0 e i0(z) � 0 0 � z � L (1.15)

Osserviamo ancora che le (1.12) sono un sistema di equazioni omogeneo, cio�e privo ditermine forzante; delle condizioni al contorno (1.13) la prima �e non omogenea, la secondaomogenea. Possiamo quindi dire che, nel caso di linea inizialmente scarica, il sistema �eeccitato tramite la condizione al contorno in z = 0.Nel caso in cui la rete di carico comprenda elementi reattivi, la condizione al contorno

�e costituita da una equazione di�erenziale del tipo

D( ddt) v(L;t) = N (

d

dt) i(L;t) (1.16)

da completarsi con le opportune condizioni iniziali relative ai componenti reattivi presentinella rete di carico. D e N sono due polinomi formali nell'operatore d=dt. Per esempio,se la rete di carico �e quella di Fig. 1.6, l'equazione 1.16 assume la forma:

d

dtv(L;t) = R

d

dti(L;t) + L

d2

dt2i(L;t) +

1

Ci(L;t) (1.17)

a cui sono da associare le condizioni iniziali vc(0) e i(0), che esprimono la tensione ai capidel condensatore e la corrente che uisce nell'induttanza al tempo t = 0.In realt�a, non sempre una linea di trasmissione �e eccitata solo alle sue estremit�a. Nei

problemi di compatibilit�a elettromagnetica, si studia l'e�etto di un'onda che investe unalinea di trasmissione: il fenomeno pu�o essere modellizzato con un insieme di generatori ditensione e di corrente \distribuiti" lungo la linea stessa con densit�a per unit�a di lunghezza�

v (z;t) e�

i (z;t). In tal caso il circuito equivalente del tratto di linea ha la forma riportatain Fig. 1.7 e corrispondentemente le (1.12) diventano8>>>><>>>>:

� @

@zv(z;t) = R i(z;t) + L @

@ti(z;t)+

�

v (z;t)

� @

@zi(z;t) = G v(z;t) + C @

@tv(z;t)+

�

i (z;t)

(1.18)


vC(L,t)

v(L,t)

i(L,t)

R

L

C

Figura 1.6 Rete di carico comprendente componenti reattivi, costituitada una resistenza R, una induttanza L e una capacit�a C connesse in serie.

Le funzioni�

v (z;t) e�

i (z;t) descrivono un termine di sorgente e sono quindi da considerarsi

]io

]vo

&∆z *∆z

/∆z 5∆z+

Figura 1.7 Circuito equivalente di un tratto �z di lineadi trasmissione comprendente generatori distribuiti.

note. Le (1.18), dato che contengono un termine forzante, de�niscono un problema nonomogeneo.

�E noto dall'analisi matematica che la soluzione generale di un'equazione lineare nonomogenea �e data dalla somma di una soluzione particolare dell'equazione non omogeneain questione e della soluzione generale dell'equazione omogenea associata. Noi �ssere-mo l'attenzione innanzitutto sull'equazione omogenea associata e vedremo che la suasoluzione generale �e la combinazione lineare di due modi propri del sistema chiamationda progressiva e onda regressiva. Altri nomi consueti sono soluzioni libere, evoluzioniproprie, soluzioni risonanti.

1.4 Equazioni d'onda e loro soluzione

Una linea di trasmissione si dice ideale quando le perdite ohmiche nei conduttori e neldielettrico si possono ritenere trascurabili. Le equazioni delle linee, in assenza di sorgenti,diventano in tal caso 8>>>><>>>>:

@v

@z+ L @i

@t= 0

@i

@z+ C @v

@t= 0

(1.19)

x1.4 { Equazioni d'onda e loro soluzione 9

Da questo sistema di equazioni di�erenziali del primo ordine si pu�o ricavare un'equazionedel secondo ordine per la sola tensione v(z;t). Deriviamo la prima equazione rispetto az e la seconda rispetto al tempo:8>>>>><>>>>>:

@2v

@z2+ L @2i

@z @t= 0

@2i

@t @z+ C @

2v

@t2= 0

(1.20)

Le due derivate seconde miste sono uguali se i(z;t) �e una funzione abbastanza regolare edalle precedenti ricaviamo

@2v

@z2� LC @

2v

@t2= 0 (1.21)

Questa equazione �e conosciuta come equazione delle onde (in una dimensione) perch�e

le sue soluzioni sono onde che si propagano con velocit�a vf = 1=pLC. Naturalmente

alla (1.21) deve essere associata una delle due eq. (1.19 ), per ricavare la corrente i(z;t).Ricordiamo infatti che tensione e corrente sulla linea sono inscindibilmente legate.Si osservi che anche la corrente i(z;t) soddisfa un'equazione d'onda identica alla (1.21).

Per ottenerla basta derivare la prima delle (1.19) rispetto al tempo e la seconda rispettaallo spazio.L'equazione delle onde per una linea in�nitamente lunga, con le condizioni iniziali

v(z;0) = v0(z); i(z;0) = i0(z) (1.22)

si pu�o risolvere con un cambiamento di variabile (D'Alembert). De�niamo le due nuovevariabili indipendenti

� = z � vf t; � = z + vf t (1.23)

in termini delle quali le variabili originarie si esprimono

z =1

2(� + �); t =

1

2vf(� � �): (1.24)

Esprimiamo ora l'equazione d'onda nelle nuove variabili usando la regola di derivazionedelle funzioni composte

@v

@z=@v

@�

@�

@z+@v

@�

@�

@z=@v

@�+@v

@�(1.25)

@v

@t=@v

@�

@�

@t+@v

@�

@�

@t= �vf

@v

@�� @v

@�

!(1.26)

e ancora

@2v

@z2=

@

@�

@v

@�+@v

@�

!+

@

@�

@v

@�+@v

@�

!=@2v

@�2+ 2

@2v

@�@�+@2v

@�2(1.27)

@2v

@t2= vf

"@

@�

@v

@�� @v

@�

!vf � @

@�

@v

@�� @v

@�

!vf

#= v2

f

@2v

@�2� 2

@2v

@�@�+@2v

@�2

!(1.28)


Utilizzando queste due ultime espressioni, l'equazione delle onde diventa

@2v

@�@�= 0 (1.29)

ossia@

@�

@v

@�

!= 0 (1.30)

la cui soluzione �e@v

@�= f(�) (1.31)

dove f �e una funzione arbitraria che non dipende da �. Integrando la precedente, segue

v(�;�) =Zf(�)d� + f2(�) (1.32)

dove f2 �e una funzione arbitraria di �. Riscriviamo la precedente

v(�;�) = f1(�) + f2(�) (1.33)

che �e la soluzione generale dell'equazione delle onde. Abbiamo introdotto il simbolo f1(�)per indicare l'integrale della funzione arbitraria f(�). Ritorniamo alle variabili originarie

v(z;t) = v+(z � vf t) + v�(z + vf t) (1.34)

dove si sono introdotti i simboli pi�u appropriati v+ e v� per indicare le due funzioniarbitrarie f1 e f2.Per ricavare la corrente riprendiamo le (1.19) da cui

@i

@t= �L @v

@z(1.35)

ossia

i(z;t) = � 1

LZ

@

@zv(z;t)dt: (1.36)

Dalla (1.34) si calcola@v

@z= v+0(z � vf t) + v�0(z + vf t) (1.37)

e

i(z;t) = � 1

L�Z

v+0(z � vf t)dt +Zv�0(z + vf t)dt

�= � 1

L

(� 1

vf

Zv+0(�)d� +

1

vf

Zv�0(�)d�

)= Y1fv+(z � vf t)� v�(z + vf t)g (1.38)

dove la quantit�a Y1 =qC=L �e detta ammettenza caratteristica della linea e si misura

in siemens [S].

x1.4 { Equazioni d'onda e loro soluzione 11

La soluzione generale delle equazioni delle linee si pu�o dunque scrivere

v(z;t) = v+(z � vf t) + v�(z + vf t)

i(z;t) = Y1v+(z � vf t)� Y1v

�(z + vf t):(1.39)

Per completare la soluzione del problema al valore iniziale, dobbiamo ora determinare lefunzioni v�(�) in modo che le condizioni (1.22) siano soddisfatte. Ora, le (1.39), scritteper t = 0, danno

v0(z) = v+(z) + v�(z)

i0(z) = Y1v+(z)� Y1v

�(z):(1.40)

Risolvendo per somma e di�erenza si trova

v+(z) =1

2[v0(z) + Z1i0(z)]; (1.41)

v�(z) =1

2[v0(z)� Z1i0(z)]: (1.42)

In questo modo le funzioni v+ e v� sono determinate. La soluzione per t > 0 si ottienesostituendo l'argomento z con z � vf t in v

+ e z + vf t in v�, come risulta da (1.39):

v(z;t) =1

2[v0(z � vf t) + Z1i0(z � vf t)] +

1

2[v0(z + vf t)� Z1i0(z + vf t)] ; (1.43)

i(z;t) =Y1

2[v0(z � vf t) + Z1i0(z � vf t)] +

Y1

2[v0(z + vf t)� Z1i0(z + vf t)] : (1.44)

Alternativamente queste equazioni si possono riscrivere

v(z;t) =1

2[v0(z � vf t) + v0(z + vf t)] +

Z1

2[i0(z � vf t)� i0(z + vf t)] ; (1.45)

i(z;t) =Y1

2[v0(z � vf t) + v0(z + vf t)] +

1

2[i0(z � vf t)� i0(z + vf t)] : (1.46)

Si veri�ca immediatamente che queste funzioni soddisfano le condizioni iniziali.

Ricordiamo che la soluzione generale di un'equazione di�erenziale alle derivate or-dinarie contiene delle costanti arbitrarie mentre un'equazione di�erenziale alle derivateparziali contiene delle funzioni arbitrarie. L'arbitrariet�a viene rimossa quando si costrui-sce una soluzione particolare che soddisfa le condizioni al contorno. Si noti che lo statoelettrico sulla linea dipende da z e t solo attraverso le combinazioni t� z=vf e t+ z=vf :questo �e l'unico vincolo imposto dall'equazione d'onda.

Per la soluzione dell'equazione d'onda �e possibile seguire anche un altro approcciobasato sull'uso delle trasformate di Fourier. Esso �e l'unico applicabile quando si tengaconto anche dei meccanismi di perdita sulla linea.


1.5 Equazioni delle linee nel dominio della frequenza

�E noto dalla Matematica che di ogni funzione del tempo f(t) a modulo integrabile, cio�econ Z

1

�1

j f(t) j dt <1 (1.47)

esiste la rappresentazione spettrale

f(t) =1

2�

Z1

�1

F (!) ej!t d! (1.48)

dove F (!) �e la trasformata di Fourier, o spettro, di f(t), de�nita da

F (!) =Z1

�1

f(t) e�j!t dt = Fff(t)g (1.49)

Una propriet�a molto utile della trasformata di Fourier �e la seguente:

F(df

dt

)= j!Fff(t)g = j! F (!) (1.50)

In altre parole, all'operatore di derivazione nel dominio naturale t corrisponde, neldominio spettrale !, l'operazione algebrica di moltiplicazione per j!.Anche se la trasformata di Fourier �e de�nita per una funzione complessa del tempo,

purch�e soddis� la (1.47), le grandezze �siche quali la tensione e la corrente sono funzionireali. Questo implica che valga la relazione:

F (�!) = F �(!) (1.51)

ossia lo spettro di una funzione reale �e una funzione complessa hermitiana; la partedi spettro che corrisponde alle frequenze negative non aggiunge informazione a quellaassociata alle frequenze positive.Nelle applicazioni, molto spesso si ha a che fare con segnali sinusoidali (o armonici),

cio�e del tipof(t) = F0 cos(!0t+ �) (1.52)

Calcoliamo lo spettro di questo segnale tramite la (1.49); applicando la formula di Eulerotroviamo

F (!) =Z1

�1

F0 cos(!0t+ �) e�j!t dt =

=F0

2

Z1

�1

ej(!0t+�) e�j!t dt +F0

2

Z1

�1

e�j(!0t+�) e�j!t dt =

= �F0 ej��(! � !0) + �F0 e

�j��(! + !0) (1.53)

Questo spettro �e costituito da due \righe" (funzioni � di Dirac) alle frequenze �!0, percui il segnale 1.52 �e anche detto monocromatico.Detto questo, procediamo ora in direzione opposta e ricaviamo il segnale nel dominio

del tempo a partire dal suo spettro (1.53) tramite la formula di antitrasformazione (1.48):

f(t) =F0

2

�ej�

Z1

�1

�(! � !0) ej!t d! + e�j�

Z1

�1

�(! + !0) ej!t d!

�=

x1.5 { Equazioni delle linee nel dominio della frequenza 13

ω

F(ω)

ω0-ω0

Figura 1.8 Spettro di un segnale sinusoidale.

=F0

2

nej� ej!0t + e�j� ej!0t

o=

= RenF0 e

j� ej!0to

(1.54)

La grandezza F = F0 exp(j�) si usa chiamare fasore del segnale armonico f(t) e coincide,a meno del fattore �, con il coe�ciente della funzione � di Dirac che ha supporto in! = !0. Inoltre la (1.54) si pu�o de�nire come la formula di antitrasformazione per ifasori.Osserviamo ancora che, detta Ph la corrispondenza biunivoca che associa un segnale

armonico al suo fasore,F = Phff(t)g (1.55)

vale la propriet�a

Ph(df

dt

)= j!0F (1.56)

Questa equazione �e formalmente identica alla 1.50; si noti per altro che ! indica unafrequenza generica, mentre !0 �e la frequenza del segnale armonico che si sta considerando.A causa del legame strettissimo tra fasori e trasformate di Fourier possiamo dire che

ogni equazione nel dominio ! si pu�o interpretare sia come un'equazione tra trasformate,sia come un'equazione tra fasori e questo giusti�ca anche l'uso dello stesso simbolo F perindicare i due concetti.

�E bene tuttavia ricordare che fasore e trasformata di Fourier hanno dimensioni �sichediverse:

. il fasore ha le dimensioni della corrispondente grandezza istantanea

. la trasformata �e una densit�a spettrale.

Ad esempio il fasore di una tensione si misura in [V], mentre la sua trasformata si misurain [V/Hz]. Questo �e ovvio se si considera la 1.53 e si nota che la ben nota propriet�aZ

1

�1

�(!) d! = 1 (1.57)

implica che �(!) abbia dimensioni [Hz�1].


Riprendiamo le equazioni delle linee nel caso ideale, cio�e senza perdite, che qui riscri-viamo per comodit�a: 8>>>><>>>>:

@v

@z+ L @i

@t= 0

@i

@z+ C @v

@t= 0

(1.58)

ed e�ettuiamo la trasformata di Fourier di ambo i membri delle due equazioni, osservandoche z �e da considerarsi un parametro in tale operazione:

8>>>><>>>>:� d

dzV (z;!) = j!L I(z;!)

� d

dzI(z;!) = j! C V (z;!)

(1.59)

dove V (z;!) = Ffv(z;t)g e I(z;!) = Ffi(z;t)g sono le trasformate di Fourier di tensionee corrente. Notiamo che le equazioni delle linee nel dominio spettrale sono diventateequazioni di�erenziali ordinarie. Inoltre le componenti spettrali di tensione e corrente afrequenze diverse sono disaccoppiate, come �e ovvio che sia dato che il sistema �e lineare einvariante per traslazioni temporali (LTI). Procedendo in modo analogo con l'equazioned'onda (1.21), si ottiene

d2

dz2V (z;!) + k2V (z;!) = 0 (1.60)

e

d2

dz2I(z;!) + k2I(z;!) = 0 (1.61)

dove si �e posto k = !pLC con dimensioni dell'inverso di una lunghezza. Questa quantit�a

�e detta costante di propagazione per motivi che saranno evidenti tra poco. Queste dueequazioni sono equazioni di�erenziali ordinarie a coe�cienti costanti (a causa dell'uni-formit�a della linea di trasmissione) e la loro soluzione generale, come noto dalla Mate-matica, si esprime come combinazione lineare di due soluzioni linearmente indipendenti,per esempio exp(+jkz) e exp(�jkz). Ossia si pu�o scrivere

V (z;!) = V +0 (!) e�jkz + V �

0 (!) e+jkz

(1.62)

I(z;!) = I+0 (!) e�jkz + I�0 (!) e

+jkz

dove V �

0 (!) e I�0 (!) sono costanti arbitrarie rispetto a z (ma dipendenti da !, natural-mente, che �e un parametro). In realt�a le equazioni delle linee sono un sistema 2� 2 delprimo ordine (vedi eq. (1.19)) e quindi la sua soluzione generale contiene solo due co-stanti arbitrarie. Allora tra V �

0 (!) e I�0 (!) devono sussistere due relazioni, che possiamo


ottenere ricavando I(z;!) dalla prima delle (1.59) sostituendovi la prima delle (1.62):

I(z) =1

j!L

�dV

dz

!=

=1

j!L�jkV +

0 e�jkz � jkV �

0 (!) e+jkz� (1.63)

Notiamo chek

!L =!pLC!L =

sCL = Y1 =

1

Z1(1.64)

dove si sono introdotte le grandezze ammettenza e impedenza caratteristica della linea.L'impedenza caratteristica �e indicata col simbolo Z1 poich�e, come si vedr�a nella sezione5.1, essa coincide con l'impedenza di ingresso di una linea semiin�nita. La (1.63) siriscrive quindi

I(z;!) = Y1V+0 (!) e�jkz � Y1V

�

0 (!) e+jkz (1.65)

Dal confronto di questa equazione con la seconda delle (1.62), segue

I+0 (!) = Y1V+0 (!) e I�0 (!) = �Y1V �

0 (!) (1.66)

che sono le relazioni cercate. La soluzione generale delle equazioni delle linee nel dominiospettrale �e dunque

V (z;!) = V +0 (!) e�jkz + V �

0 (!) e+jkz

I(z;!) = Y1V+0 (!) e�jkz � Y1V

�

0 (!) e+jkz(1.67)

Per comprendere a fondo il signi�cato di queste espressioni occorre antitrasformarle perricavare l'andamento di tensione e corrente nel dominio del tempo. Consideriamo in-nanzitutto il caso pi�u semplice, in cui sia presente una sola componente spettrale al-la pulsazione !0, e quindi i segnali siano monocromatici. Possiamo usare la legge diantitrasformazione per i fasori

f(t) = RefF ej!0tg (1.68)

per cui si ottiene dalle precedenti:

v(z;t) = v+(z;t) + v�(z;t) =

= j V +0 j cos(!0t� k0z + arg(V +

0 )) +

+ j V �

0 j cos(!0t+ k0z + arg(V �

0 )) (1.69)

i(z;t) = Y1v+(z;t)� Y1v

�(z;t) =

= Y1 j V +0 j cos(!0t� k0z + arg(V +

0 )) +

� Y1 j V �

0 j cos(!0t+ k0z + arg(V �

0 )) (1.70)

dove k0 = !0pLC. Consideriamo il primo termine dell'espressione di v(z;t). Essa �e una

funzione di z e di t, diagrammata in Fig. 1.9 detta onda.La velocit�a di propagazione dell'onda (velocit�a di fase) pu�o essere de�nita come la

velocit�a che deve possedere un osservatore per vedere costante la fase dell'onda stessa. �E


Figura 1.9 Rappresentazione tridimensionale di (a) onda progressiva,(b) regressiva e (c) stazionaria per una linea chiusa in corto circuito.

chiaro che il valore della funzione �e costante se tale �e l'argomento del coseno. Imponendoche il suo di�erenziale sia nullo

d (!0t� k0z + arg(V +0 )) = !0 dt� k0 dz = 0 (1.71)

troviamo la condizione che deve essere soddisfatta:

dz

dt=!0

k0=

!0

!0pLC =

1pLC = vf (1.72)

Diciamo allora che il primo termine della (1.69) rappresenta un'onda progressiva poich�e

si muove con velocit�a di fase positiva pari a 1=pLC. Notiamo che anche il primo termine

dell'espressione della corrente descrive un'onda progressiva: in particolare la corrente �eproporzionale alla tensione tramite l'ammettenza caratteristica.Consideriamo ora i gra�ci di Fig. 1.10. Il primo (a) riporta l'evoluzione della tensione

progressiva in una sezione speci�ca della linea z = z0 in funzione del tempo. Il secondo(b) riporta la distribuzione della tensione progressiva sulla linea in un istante speci�cot = t0. Le due curve sono ovviamente periodiche e possiamo de�nire due periodi:


t0 5 10 15

-1

0

1

2T

(a)

+

+

0

0 ),(

V

tzv

z0 5 10 15

-1

0

1

2 λ

(b)

+

+

0

0),(

V

tzv

Figura 1.10 (a) Evoluzione temporale della tensione pro-gressiva in una sezione della linea e (b) distribuzione del-la tensione progressiva su una linea ad un istante di tempo

�ssato.

. il periodo temporale T = 2�=!0 �e l'intervallo di tempo durante il quale la fasedell'onda varia di 2� radianti

. il periodo spaziale o lunghezza d'onda � = 2�=k0 �e la distanza nella quale la fasedell'onda subisce una variazione di 2� radianti

Da questa de�nizione e da quella di k0 troviamo subito

f� =!0

2�

2�

k0=!0

k0=

1pLC = vf (1.73)

e anche T vf = �: in altri termini, un'onda percorre una distanza pari alla sua lunghezzad'onda in un intervallo di tempo pari a un periodo (temporale). Nel gra�co spaziotem-porale di Fig. 1.9 le rette z = vft sono chiaramente riconoscibili nella direzione delle\creste".Consideriamo ora il secondo termine dell'espressione della tensione (1.69), disegnato

in Fig. 1.9b. Troviamo subito, con ragionamenti analoghi ai precedenti, che esso descriveun'onda regressiva che si muove con velocit�a di fase negativa

vf = �!0k0

= � 1pLC (1.74)

Inoltre la corrente �e proporzionale alla tensione attraverso il fattore �Y1. Anche qui le\creste" sono allineate alle rette z = �vft.In conclusione, ritroviamo il risultato della sezione 1.4: la soluzione generale delle

equazioni delle linee di trasmissione si esprime come combinazione lineare di due onde,una progressiva che si propaga nel verso delle z crescenti e una regressiva che si propagain verso opposto. Ciascuna onda �e costituita di tensione e corrente che sono in un certo

senso le due facce di una stessa medaglia. �E importante osservare che le due onde sonoassolutamente identiche dato che la linea di trasmissione �e uniforme e quindi gode disimmetria di ri essione. Il legame di proporzionalit�a tra tensione e corrente di una stessaonda (detto relazione di impedenza)

I+0 (!) = Y1V+0 (!) e I�0 (!) = �Y1V �

0 (!) (1.75)


�e solo apparententemente diverso nei due casi. Le due relazioni sarebbero identiche seper l'onda regressiva si usasse �z come verso positivo per la corrente.Le onde progressiva e regressiva sulla linea costituiscono i due modi propri del siste-

ma. Essi sono indipendenti (disaccoppiati) se la linea �e illimitata mentre sono in genereaccoppiati dalle condizioni al contorno (generatore e carico) se la linea �e di lunghezza�nita.Quando sulla linea di trasmissione sono presenti, con la stessa ampiezza tanto l'onda

progressiva quanto quella regressiva, si dice che �e presente un'onda stazionaria. Questade�nizione, anche se consacrata dall'uso, �e impropria in quanto un'onda �e sempre inmoto con velocit�a pari alla velocit�a di fase. In realt�a ci�o che si indica con il termine dionda stazionaria �e il risultato dell'interferenza di due onde. In ogni caso, il nome datoal fenomeno nasce dal fatto che la (1.69), con j V � j=j V + j si pu�o riscrivere in formafattorizzata:

v(z;t) = 2 j V +0 j cos[!0t+ 1

2(arg(V +

0 ) + arg(V �

0 ))]�

cos[k0z +1

2(arg(V +

0 )� arg(V �

0 ))] (1.76)

e

i(z;t) = 2Y1 j V +0 j sin[!0t+ 1

2(arg(V +

0 ) + arg(V �

0 ))]�

sin[k0z +1

2(arg(V +

0 )� arg(V �

0 ))] (1.77)

cio�e in forma di prodotto di una funzione della sola z e di una funzione del solo t.La Fig. 1.9c riporta un gra�co spaziotemporale di v(z;t). Mentre le Figg. 1.9a e bsugeriscono, anche a livello intuitivo, un'idea di movimento, questo gra�co �e chiaramentecaratteristico di un fenomeno stazionario. Ulteriori considerazioni saranno fatte in 3.5.

1.6 Propagazione dello stato elettrico e interpretazioni geome-triche

Abbiamo ricavato la soluzione generale delle equazioni delle linee di trasmissione nellaforma

V (z) = V +0 e�jkz + V �

0 e+jkz

I(z) = Y1V+0 e�jkz � Y1V

�

0 e+jkz(1.78)

in cui compaiono le costanti arbitrarie V +0 e V �

0 . Per meglio comprendere il signi�catodi queste equazioni risolviamo il problema al valore iniziale associato alle (1.59). Sup-poniamo cio�e assegnato lo stato elettrico della linea in una sezione che scegliamo comez = 0, cio�e siano noti V (0) = V0 e I(0) = I0: si vuole determinare lo stato V (z), I(z)in una sezione z arbitraria. Le equazioni (1.78) valgono in ogni sezione z e quindi, inparticolare, anche in z = 0:

V (0) = V +0 + V �

0 = V0

I(0) = Y1V+0 � Y1V

�

0 = I0

(1.79)

x1.6 { Propagazione dello stato elettrico e interpretazioni geometriche 19

da cui si pu�o ricavare V +0 e V �

0 :

V +0 = 1

2(V0 + Z1I0)

V �

0 = 12(V0 � Z1I0)

(1.80)

Sostituendo queste relazioni nella (1.78) troviamo

V (z) = 12(V0 + Z1I0) e

�jkz + 12(V0 � Z1I0) e

+jkz

I(z) = 12(Y1V0 + I0) e

�jkz � 12(Y1V0 � I0) e

+jkz

(1.81)

ossia, tramite la formula di Eulero,

V (z) = V0 cos kz � jZ1I0 sin kz

I(z) = I0 cos kz � jY1V0 sin kz(1.82)

Questa forma della soluzione si usa de�nire soluzione di tipo stazionario mentre la (1.78)�e chiamata soluzione di tipo viaggiante.

�E utile descrivere la propagazione sulla linea di trasmissione in termini geometrici.Dato che tensione e corrente in una sezione di una linea de�niscono lo stato del sistema,possiamo introdurre uno spazio complesso a due dimensioni C2 (lo \spazio degli stati")tutti i punti del quale rappresentano possibili condizioni di lavoro (di eccitazione) dellalinea di trasmissione. Al variare della coordinata z cambiano tensione e corrente sullalinea e quindi cambia anche la posizione del punto rappresentativo.Alla luce di queste considerazioni, possiamo riscrivere la (1.78) in forma vettoriale:�

V (z)I(z)

�= V +

0

�1Y1

�e�jkz + V �

0

�1

�Y1�e+jkz (1.83)

In altre parole, lo stato in una generica sezione z si ottiene come combinazione linearedi due \stati di base"

1 =

�1Y1

�; 2 =

�1

�Y1�

(1.84)

con coe�cienti complessi V +0 e�jkz e V �

0 e+jkz, rispettivamente. Ovviamente, i due statidi base in questione sono le onde progressive e regressive. Come nel piano cartesianodella geometria analitica �e possibile impiegare diversi sistemi di riferimento, cos�� nellospazio degli stati possiamo descrivere l'eccitazione della linea con riferimento alla \basenaturale" V e I oppure con riferimento ai vettori 1 e 2. Tensione progressiva e regres-siva si interpretano quindi come coe�cienti di eccitazione di tali onde. Supponendo chein una sezione della linea tensione e corrente siano reali, si ha una situazione come quellaindicata in Fig. 1.11.

�E conveniente riscrivere anche la (1.82) in forma vettoriale:�V (z)I(z)

�=

�cos kz �jZ1 sin kz

�jY1 sin kz cos kz

�| {z }

[T (z;0)]

�V0I0

�(1.85)


V

I

ψ2ψ1

Figura 1.11 Rappresentazione geometrica dello stato elettrico di una linea.

dove si �e introdotta la matrice [T (z;0)] che lega lo stato in una sezione z generica aquello nella sezione iniziale in z = 0. Tale matrice �e nota come matrice di transizionenel contesto dei sistemi dinamici (in cui le variabili di stato sono reali e la variabileindipendente �e il tempo) ma coincide con la matrice catena (ABCD) del tratto di lineavisto come doppio bipolo.La base costituita dai vettori 1 e 2 ha delle propriet�a particolari rispetto a tutte le

altre che si potrebbero de�nire. Essa gode infatti di una propriet�a di invarianza: se inuna sezione una delle due onde non �e eccitata, essa non lo �e in nessuna altra sezione.Supponiamo infatti che nella sezione z = 0 l'onda regressiva non sia presente, per cui�

V0I0

�= V0

�1Y1

�(1.86)

Tramite la (1.85) troviamo subito�V (z)I(z)

�= V0

�1Y1

�e�jkz (1.87)

Possiamo dire, in termini geometrici, che il vettore di stato rimane parallelo a se stessoin quanto risulta solo moltiplicato per lo scalare expf�jkzg. In termini algebrici que-sto vettore di stato �e autovettore della matrice di transizione [T (z;0)], con autovaloreexpf�jkzg. Discorso del tutto analogo vale per l'onda regressiva (vettore 2). Per con-fronto, osserviamo che se la tensione, per esempio, �e nulla in una sezione, essa non lo�e identicamente su tutta la linea (salvo, beninteso, il caso di linea priva di eccitazione,stato nullo). Si vede dunque che a�nch�e sia eccitato uno solo degli stati di base (modipropri) del sistema, si richiede che V0=I0 = �Z1. In caso contrario entrambi i modi sonoeccitati, con ampiezze date dalla (1.80). Si noti che 1, e 2 non sono ortogonali (seZ1 6= 1).

1.7 Soluzione delle equazioni delle linee con la tecnica matri-ciale

Nelle sezioni precedenti si �e ottenuta la distribuzione di tensione e corrente su una lineaa partire dall'equazione del second'ordine. In questa sezione questo risultato si ricavadal sistema del primo ordine con una tecnica pi�u astratta, ma che fornisce direttamentel'interpretazione geometrica delle onde progressiva e regressiva come modi del sistema.

x1.7 { Soluzione delle equazioni delle linee con la tecnica matriciale 21

Riprendiamo dunque le equazioni delle linee di trasmissione nel dominio spettrale8>>>><>>>>:� d

dzV (z;!) = j!L I(z;!)

� d

dzI(z;!) = j! C V (z;!)

(1.88)

Queste due equazioni di�erenziali accoppiate si possono riscrivere come un'unica equazio-ne vettoriale, interpretando la tensione V e la corrente I come le componenti del vettore

complesso astratto (V I)T appartenente al piano delle fasi del sistema:

� d

dz

�V (z;!)I(z;!)

�= j!

�0 LC 0

��V (z;!)I(z;!)

�(1.89)

Supponiamo di conoscere tensione e corrente in una sezione z0 della linea e di voler

calcolare queste grandezze in una sezione generica z. �E noto dalla matematica che lasoluzione di questo problema al valore iniziale �e:�

V (z;!)I(z;!)

�= exp

��j!

�0 LC 0

�(z � z0)

��V (z0;!)I(z0;!)

�(1.90)

�E noto anche che la funzione di una matrice si calcola facilmente nella base costituita dagliautovettori della matrice stessa. Calcoliamo dunque tali autovettori. Occorre risolvere ilproblema ��

0 LC 0

��

�1 00 1

��u1u2

�= 0 (1.91)

Si trova subito

� =

8>>>><>>>>:�1 =

pLC [u1] =

1qC=L

!

�2 = �pLC [u2] =

1

�qC=L

! (1.92)

Gli autovettori, in quanto soluzioni di un problema omogeneo, hanno norma arbitraria esi �e scelta pari a uno la prima componente (cio�e la componente \tensione").De�niamo la matrice modale le cui colonne sono costituite dai due autovettori:

[M ] =

1 1qC

L�q

C

L

!(1.93)

La matrice [M ] soddisfa, insieme alla matrice diagonale degli autovalori, la relazione�0 LC 0

�[M ] = [M ]

��1 00 �2

�: (1.94)

Si dimostra che se f(x) �e una funzione analitica, allora

f

��0 LC 0

��[M ] = [M ]

�f(�1) 00 f(�2)

�(1.95)


da cui, moltiplicando da destra per [M ]�1,

f

��0 LC 0

��= [M ]

�f(�1) 00 f(�2)

�[M ]�1: (1.96)

Applicando questa propriet�a all'esponenziale della matrice nella (1.90), si ottiene:�V (z;!)I(z;!)

�= [M ]

�expf�jk(z � z0)g 0

0 expf+jk(z � z0)g�[M ]�1

�V (z0;!)I(z0;!)

�(1.97)

dove k = !pLC. L'inversa di [M ] risulta essere

[M ]�1 =1

2

0@ 1qL

C

1 �qL

C

1A (1.98)

per cui la (1.97) si riscrive�V (z;!)I(z;!)

�=

�cos k(z � z0) �jZ1 sin k(z � z0)

�jY1 sin k(z � z0) cos k(z � z0)

�| {z }

[T (z;z0)]

�V (z0;!)I(z0;!)

�(1.99)

Questa relazione �e identica alla (1.85), salvo la leggera generalizzazione legata al fattoche la sezione iniziale si trova in z = z0 invece che nell'origine.La (1.99) �e il risultato �nale del calcolo, ma la (1.97) �e fondamentale per l'interpre-

tazione, perch�e rende esplicito il cambiamento di base, dalla base naturale V , I a quellamodale costituita dalle onde progressive e regressive.

Capitolo 2

Esempi di linee di trasmissione

2.1 Introduzione

Nel capitolo 1 si sono ricavate le equazioni delle linee di trasmissione sulla base di unmodello fenomenologico che fa riferimento a quattro parametri primari: L (induttanzaper unit�a di lunghezza, p.u.l.), R (resistenza p.u.l.), C (capacit�a p.u.l.), G (conduttanzap.u.l.). Si �e poi discussa la tecnica di soluzione che permette di determinare l'evoluzionedello stato elettrico sulla linea. Occorre naturalmente conoscere i valori delle quattrocostanti primarie per la linea di trasmissione che si sta studiando e questo �e l'argomentodi questo capitolo. Notiamo subito che questo problema deve essere a�rontato a partiredalla teoria elettromagnetica, basata sulle equazioni di Maxwell. Per tale motivo in que-sto capitolo ci limitiamo a riportare le espressioni relative alle varie strutture, rinviandoai testi citati in bibliogra�a per ulteriori dettagli e approfondimenti. In particolare, inquesto capitolo saranno riportate solo le espressioni relative all'induttanza e alla capacit�aper unit�a di lunghezza. I parametri legati alle perdite saranno riportati nel capitolo 4.

2.2 Cavo coassiale

Il cavo coassiale �e una linea di trasmissione costituita da due conduttori cilindrici coas-siali, separati da un dielettrico (vedi Fig. 2.1). I due conduttori, qui ra�gurati comeomogenei, sono spesso costituiti da �li di piccolo diametro intrecciati. Il conduttoreesterno �e denominato \calza" in gergo tecnico.Detto �r la costante dielettrica relativa del materiale che separa i conduttori, i para-

metri della linea di trasmissione sono:

C =2��0�r

log(D=d); L =

�0

2�log

�D

d

�; (2.1)

Z1 =

s�0

�0�r

1

2�log

�D

d

�� 60p

�rlog(

D

d); (2.2)

vf =cp�r; (2.3)

23

24 2 { Esempi di linee di trasmissione

Dd

Figura 2.1 Cavo coassiale. Sono riportate le linee di forza delcampo elettrico (continue) e del campo magnetico (tratteggiate).

dove i logaritmi sono in base e.

La Fig. 2.2 riporta un gra�co di Z1, L e C in funzione del rapporto dei diametri deiconduttori. La Fig. 2.1 riporta la con�gurazione di campo elettrico e magnetico del modo

Figura 2.2 Parametri del cavo coassiale in funzione delle dimensioni geometriche.

di propagazione TEM, che �e il fondamentale di questa struttura, vista come guida d'onda.Dato che questo modo si propaga per frequenze basse a piacere, possiamo constatare cheil campo elettrico �e identico a quello relativo ad un condensatore cilindrico in condizionistatiche. Se la frequenza di lavoro cresce, si giunge a un punto in cui cominciano apropagarsi anche altri modi, detti modi superiori. Si pu�o dimostrare che la massimafrequenza a cui il cavo �e monomodale �e approssimativamente

fmax =vf

�(D + d); (2.4)

x2.3 { Linea bi�lare 25

a cui corrisponde una lunghezza d'onda minima

�min = �(D + d): (2.5)

EsempioSi calcolino i parametri del cavo RG58/U caratterizzato da d = 16 mm, D = 58 mm, �r = 2.3.

Applicando le formule precedenti si trova L = 0.2576 �H/m, C = 99.2 pF/m, Z1 = 50.95 ,

vf=c = 1=p�r = 65.9%, fmax = 34.2 GHz.

2.3 Linea bi�lare

La linea bi�lare (detta anche \piattina") �e una linea di trasmissione cosituita da dueconduttori cilindrici a�ancati. Questa struttura �e in grado di guidare un modo TEMsolo se il dielettrico in cui i conduttori sono immersi �e omogeneo. Le formule riportatequi si riferiscono a questo caso. Nella realt�a, naturalmente, i conduttori sono a�ogatiin una struttura dielettrica di supporto, che fa s��che il modo di propagazione sia soloapprossimativamente TEM. Normalmente comunque si usano le formule del caso ideale.I parametri della linea bi�lare, la cui geometria �e riportata in Fig. 2.3 sono:

C =��0�r

cosh�1(D=d); L =

�0

�cosh�1(D=d); (2.6)

Z1 =1

�

s�0

�0�rcosh�1

�D

d

�� 120p

�rcosh�1

�D

d

�; (2.7)

vf =cp�r: (2.8)

La Fig. 2.4 riporta questi parametri in funzione delle dimensioni. Si noti che

cosh�1 x = log(1 +px2 � 1) � log(2x); se x� 1: (2.9)

Questo spiega il fatto che il gra�co di Z1 tenda ad essere lineare in un gra�co semiloga-ritmico, quando la separazione dei conduttori �e grande.

D

d

Figura 2.3 Linea bi�lare. Sono riportate le linee di forza delcampo elettrico (continue) e del campo magnetico (tratteggiate).


EsempioSi calcolino i parametri di una linea bi�lare i cui �li hanno una diametro di 15 mm e unaseparazione di 50 mm e sono immersi in aria.

Si trova che C = 14.82 pF/m, L = 750 nH/m, Z1 = 224.96, vf = c.

Mentre un cavo coassiale �e una struttura sbilanciata, in quanto il conduttore esterno�e molto spesso connesso a massa, la linea bi�lare �e una struttura bilanciata. Inoltre,dato che il campo del modo TEM si estende, a rigore, in tutto lo spazio, questa lineanon �e mai isolata dagli altri conduttori eventualmente presenti e questo causa problemidi compatibilit�a elettromagnetica.

Figura 2.4 Parametri della linea bi�lare in funzione delle dimensioni geometriche.

2.4 Filo su piano metallico

Questa linea �e costituita da un �lo parallelo ad un piano metallico di massa (Fig. 2.5a).Se il piano metallico �e in�nito si pu�o applicare il teorema delle immagini che permettedi costruire una linea bi�lare (Fig. 2.5b) che �e rigorosamente equivalente alla linea chestiamo considerando. Quando il piano metallico �e limitato, l'equivalenza �e solo appros-simata. Se comunque le sue dimensioni sono molto maggiori della distanza h tra il �loed il piano stesso, gli errori sono trascurabili.I parametri di questa linea sono dunque:

C =��0�r

cosh�1(2h=d); L =

�0

�cosh�1(2h=d); (2.10)

Z1 =1

�

s�0

�0�rcosh�1

2h

d

!� 120p

�rcosh�1

2h

d

!; (2.11)

vf =cp�r: (2.12)

x2.5 { Linea bi�lare schermata 27

d

h

D= 2h

d

(a) (b)

Figura 2.5 (a) Filo su piano metallico e (b) linea bi�lare equivalente.

EsempioSi consideri un �lo di diamentro d = 32 mm in aria posto ad una altezza h = 1 cm su un piano

conduttore.

Si trova che C = 14.26 pF/m, L = 0.78 �H/m e Z1 = 233.73 .

2.5 Linea bi�lare schermata

Per evitare i problemi di compatibilit�a elettromagnetica della linea bi�lare, a volte questaviene inserita all'interno di un conduttore cilindrico. Si ottiene dunque la strutturariportata in Fig. 2.6. Si noti che questa �e una linea a tre conduttori (due pi�u uno di

2h

D d

Campo elettrico

Campo magnetico

Figura 2.6 Linea bi�lare schermata e con�gurazione di campo del modo bilanciato.

massa) e quindi si pu�o dimostrare che vi sono due modi TEM, uno bilanciato e unosbilanciato, con parametri leggermente diversi. La con�gurazione di campo riportata inFig. 2.6 �e quella del modo bilanciato, in cui i due conduttori centrali hanno potenzialisimmetrici rispetto a massa. I parametri relativi sono calcolabili tramite le seguentiequazioni:

C =��0�r

log

2h(D2 � h2)

d(D2 + h2)

! ; L =�0

�log

2h(D2 � h2)

d(D2 + h2)

!; (2.13)


Z1 =1

�

s�0

�0�rlog

2h(D2 � h2)

d(D2 + h2)

!; (2.14)

vf =c

�r: (2.15)

EsempioSi consideri una linea bi�lare schermata di diametro D = 100 mm con conduttori interni di

diametro d = 15 mm e spaziati di 2h = 50 mm.

Applicando le formule precedenti, i parametri caratteristici della linea risultano: C= 25.77 pF,L = 0.43 �H, Z1 = 129.39 .

2.6 Linea a striscia (stripline)

La linea a striscia �e una linea di trasmissione costituita da una striscia metallica postatra due piani metallici (Fig. 2.7) mantenuti allo stesso potenziale (massa). Quindi, dal

w

b

Figura 2.7 Geometria della linea a striscia.

punto di vista elettrico, si tratta di una linea a due conduttori. Anche se il modo dipropagazione fondamentale di questa struttura �e rigorosamente TEM, non �e possibilecalcolare i parametri caratteristici in termini di funzioni elementari. Diamo solo unaformula approssimata per calcolare l'impedenza caratteristica, nell'ipotesi che lo spessoredella striscia sia trascurabile:

Z1 � 30�p�r

b

we� + 0: 441b(2.16)

dove la larghezza equivalente della striscia we� si calcola da

we�

b=w

b�8<:0 se w=b > 0: 35;�0: 35� w

b

�2se w=b < 0: 35

(2.17)

La velocit�a di fase, come in tutte le strutture TEM, �e data da

vf =cp�r: (2.18)

Le equazioni precedenti sono adatte a un problema di analisi, in cui si conoscono ledimensioni della struttura. In un problema di progetto, invece, in cui le dimensioni sono

x2.7 { Microstriscia 29

da determinarsi, in modo da ottenere un valore adeguato di impedenza caratteristica, sipossono usare le seguenti, ottenute invertendo le (2.16) e (2.17):

w

b=

(x se

p�rZ1 < 120 ;

0: 85�p0: 6� x sep�rZ1 > 120

(2.19)

dove

x =30�p�rZ1

� 0: 441 (2.20)

EsempioDimensionare una stripline con Z1 = 50 , b = 0.32 cm, �r = 2.2. Trovare poi la costante dipropagazione e la lunghezza d'onda alla frequenza f = 10 GHz e il ritardo � = l=vf introdottoda un tratto di linea di 5 cm.

Dato che Z1p�r = 74.2 (< 120 ) si calcola x = 0.830 tramite la (2.20) e questo �e gi�a il

valore di w=b. Quindi w = 0.266 cm. Poi la costante di propagazione si trova da

k =!

vf=

!

c=p�r

=2�f

p�r

c= 3: 1065 cm�1

e

� =2�

k= 2: 0212 cm; � =

l

vf=

lp�r

c= 0: 247 ns:

In Fig. 2.8 sono riportate le curve dell'impedenza caratteristica di una linea a strisciadi spessore f non trascurabile.

2.7 Microstriscia

Una linea a microstriscia �e costituita da una striscia conduttrice depositata su un sub-strato dielettrico metallizzato sulla faccia posteriore, come illustrato in Fig. 2.9. Dato chela sezione trasversale della linea non �e omogenea, il modo di propagazione fondamentalenon �e rigorosamente TEM. In realt�a nelle condizioni pratiche di impiego le componen-ti longitudinali dei campi elettrico e magnetico sono molto piccole rispetto alle altre esi usa la cosiddetta \approssimazione quasi-TEM". Anche in questo ambito non si pu�oesprimere in forma analitica l'impedenza caratteristica, ma si possono usare delle for-mule approssimate. Nel caso di un problema di analisi, in cui le dimensioni della lineasono note, si calcola innanzitutto una costante dielettrica equivalente �e� che dipendenon soltanto dal dielettrico che costituisce il substrato, ma anche dalle dimensioni dellastriscia:

�e� =�r + 1

2

0@1 + 1q1 + 12h=w

1A : (2.21)

La velocit�a di fase si calcola come al solito in termini di questa costante equivalente

vf =cp�e�

(2.22)


Figura 2.8 Impedenza caratteristica di una stripline in funzione delle sue dimensioni.

Conduttore di massaε

Figura 2.9 Linea a microstriscia.

e l'impedenza caratteristica �e data da

Z1 =

8>>>>>><>>>>>>:

60p�e�

log

8h

w+w

4h

!sew

h< 1;

120�p�e�

�w

h+ 1: 393 + 0: 667 log

�w

h+ 1: 44

�� sew

h> 1

(2.23)

dove i logaritmi sono in base e. Queste formule non sono adatte al progetto e si usanoinvece le seguenti. Innanzitutto si calcolano tre grandezze ausiliarie:

A =Z1

60

s�r + 1

2+�r � 1

�r + 1

�0: 23 +

0: 11

�r

�(2.24)


B =377�

2Z1p�r

(2.25)

C = log(B � 1) + 0: 39� 0: 61

�r(2.26)

Poi si ha

w

h=

8>>>><>>>>:8eA

e2A � 2sew

h< 2;

2

�

�B � 1� log(2B � 1) +

�r � 1

2�rC

�sew

h> 2

(2.27)

EsempioCalcolare la larghezza w e la lunghezza l di un tratto di microstriscia con impedenza carat-teristica Z1 = 50 , che introduca una rotazione di fase di 90� alla frequenza f = 2.5 GHz.Inoltre lo spessore del substrato �e 1=2000 e �r = 2.2.

Calcoliamo A = 1.159, B = 7.985 e C = 2.056. Inoltre dalla prima delle (2.27) risulta w=h =3.125, che essendo maggiore di 2 non �e accettabile. Dalla seconda, invece, risulta w=h = 3.081,che, essendo nel dominio di validit�a dell'equazione, �e accettabile. Si trova allora w = 0.391 cm.Poi dalla (2.21) si calcola la costante dielettrica equivalente, �e� = 1.87. Quindi la costante dipropagazione �e data da

k =2�f

p�e�

c= 77: 622 rad/m = 44: 497�=cm:

Dovendo poi essere lo sfasamento kl = �=2, risulta l = 2.0226 cm.

Le Fig. 2.10 e Fig. 2.11 riportano i gra�ci di �e� in funzione di w=h nei due casi distriscia larga e stretta, per diversi valori di �r del substrato. Le Fig. 2.12 e Fig. 2.13riportano i gra�ci analoghi di impedenza caratteristica Z1.Si noti che la costante dielettrica �e� data dalla (2.21) non dipende dalla frequenza,

come �e giusto che sia per un modo TEM. Se invece si vuole usare un modello pi�u accuratoche tenga conto della dispersione legata al fatto che il modo di propagazione non �erigorosamente TEM, si pu�o usare la formula approssimata (Getzinger, 1973)

�e� = �r � �r � �e�(0)

1 +�f 2=f 2p

�G

(2.28)

dove �e�(0) �e il valore a frequenza nulla dato dalla (2.21) e gli altri parametri sono

fp = Z10=(2�0h) (2.29)

oppurefp(GHz) = 0: 398Z10=h(mm) (2.30)

eG = 0: 6 + 0: 009Z10: (2.31)

essendo Z10 l'impedenza caratteristica (in ) della microstriscia valutata in condizionistatiche. L'impedenza caratteristica alla frequenza di lavoro si calcola poi dalla (2.23)con questo valore di �e�(f).


Figura 2.10 Costante dielettrica equivalente �e� infunzione delle dimensioni della microstriscia (striscia

larga).

Figura 2.11 Costante dielettrica equivalente �e� infunzione delle dimensioni della microstriscia (striscia

stretta).


Figura 2.12 Impedenza caratteristica Z1 in funzionedelle dimensioni della microstriscia (striscia larga).

Figura 2.13 Impedenza caratteristica Z1 in funzionedelle dimensioni della microstriscia (striscia stretta).

Capitolo 3

Circuiti contenenti linee di trasmissione

3.1 Introduzione

Dopo aver costruito la soluzione generale delle equazioni delle linee di trasmissione nelcapitolo 1, possiamo iniziare a studiare alcuni semplici circuiti. I concetti fondamentaliche vengono introdotti a questo scopo sono l'impedenza locale sulla linea ed il coe�cientedi ri essione. La relazione tra queste due grandezze �e evidenziata in forma gra�ca nellacarta di Smith, che �e lo strumento essenziale per la rappresentazione gra�ca dello statoelettrico su una linea. Quindi viene illustrato il calcolo della potenza transitante su unalinea.In�ne si discute la possibilit�a di realizzare con tratti di linea terminata delle reattanze e

suscettanze tipiche di componenti concentrati, quali induttori, condensatori e risonatori.

3.2 De�nizione di impedenza locale

Nell'analisi di circuti a parametri concentrati una grandezza di fondamentale importanza�e l'impedenza, de�nita a una coppia di morsetti come il rapporto tra i fasori di tensione ecorrente (entrante). Nel caso di una linea di trasmissione, possiamo de�nire un'impedenza

IL

VL

LL I

VZ =

(a) 0

)(

)()(

zI

zVzZ = V(z)

I(z)

z(b)

0Z

Figura 3.1 (a) Impedenza di un bipolo e (b)impedenza locale su una linea di trasmissione.

35

36 3 { Circuiti contenenti linee di trasmissione

locale Z(z) il cui valore dipende dalla coordinata z della sezione. Poniamo dunque

Z(z) =V (z)

I(z)(3.1)

Sostituiamo in questa equazione le espressioni (1.82) della tensione e corrente sulla lineache fanno riferimento ai valori di queste quantita' nella sezione del carico z = 0:

Z(z) =V0 cos kz � jZ1I0 sin kz

I0 cos kz � jY1V0 sin kz

=V0 � jZ1I0 tan kz

I0 � jY1V0 tan kz

(3.2)

Introduciamo Z0 = V0=I0 = Z(0), impedenza locale nella sezione di riferimento z = 0 ela precedente diventa

Z(z) =Z0 � jZ1 tan kz

1� jY1Z0 tan kz(3.3)

�E conveniente introdurre l'impedenza normalizzata (o ridotta) �(z) = Z(z)=Z1. La sualegge di trasformazione si deduce subito dalla precedente equazione:

�(z) =�0 � j tan kz

1� j�0 tan kz(3.4)

Questa equazione permette ovviamente di calcolare l'impedenza di ingresso di un trattodi linea chiuso su un carico di valore (normalizzato) �0. L'equazione precedente de�nisceal variare di z una curva nel piano complesso �, che dipende da �0. Si tratta ovviamente diuna curva chiusa a causa della periodicit�a della funzione tangente, che viene interamentedescritta quando la variabile z varia di �=2. Questa curva �e ra�gurata in Fig. 3.2 esi pu�o dimostrare che �e una circonferenza. Le intersezioni con l'asse reale, rmax e rmin

godono della propriet�armax rmin = 1 (3.5)

Consideriamo ora qualche esempio particolarmente signi�cativo.

x

rrmax

0ζ

rmin 1

Figura 3.2 Rappresentazione nel piano complesso � =r + jx della curva �(z) de�nita della (3.4) al variare di z.

Esempio 1Tratto di linea di trasmissione senza perdite, di lunghezza l, chiusa in corto circuito, vedi

x3.2 { De�nizione di impedenza locale 37

Fig. 3.3a.

Si ha�0 = 0

�(z) = �j tan kzZing = jXing = jZ1 tan kl

(3.6)

∞Z

X ing

Zing

(a) (b) π2kl

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25-10

-5

0

5

10

Figura 3.3 (a) Linea di trasmissione chiusa in cortocircuito e (b) corrispondente reattanza di ingresso.

Si noti che questa impedenza di ingresso �e puramente immaginaria, come �e logico chesia, trattandosi di un circuito privo di perdite di dimensione �nita. Si noti che se lalinea fosse illimitata, la sua impedenza d'ingresso sarebbe reale (vedremo che coincidecon Z1), in quanto in queste condizioni l'energia ceduta dal generatore non ritorna algeneratore stesso, ossia non c'�e energia reattiva.Scegliendo opportunamente la lunghezza della linea si pu�o ottenere qualunque reat-

tanza di ingresso, capacitiva o induttiva. Se la linea �e lunga �=4, l'impedenza di ingresso�e addirittura quella di un circuito aperto. Osserviamo che l'impedenza di ingresso �e unafunzione periodica di kl con periodo pari a �.Supponiamo ora di �ssare a un certo valore l0 la lunghezza della linea di trasmissione.

Ricordando che k = !=vf , notiamo che la reattanza di ingresso �e una funzione dellafrequenza:

Xing = Z1 tan!l0

vf(3.7)

e naturalmente il gra�co di questa funzione �e ancora dato dalla Fig. 3.3b.Si pu�o constatare che Xing(!) �e una funzione sempre crescente della frequenza, come

accade per tutti i circuiti senza perdite sia a parametri concentrati che distribuiti (Teo-rema di Foster). Tipico invece dei soli circuiti a parametri distribuiti �e che la Xing(!)sia una funzione periodica e quindi non polinomiale, come avviene nel caso dei circuiti aparametri concentrati, bens�� meromorfa.Si pu�o notare che nell'intorno di f0 = vf=(2l0), cio�e di quella frequenza per cui la linea

�e lunga mezza lunghezza d'onda, la reattanza d'ingresso Xing(!) ha un comportamento


simile a quello della reattanza Xc(!) (c = concentrato) di un risonatore LC serie:

Xc(!) = !L� 1

!C(3.8)

Possiamo ricavare i valori di L e C del risonatore a parametri concentrati imponendo cheXc(!) si annulli in !0 e ivi abbia la stessa derivata di Xing. Si trova:

L =Z1l

2vf; C =

2l

�2vfZ1(3.9)

�E comunque evidente che l'accordo tra le due curve �e solo locale, Fig. 3.4. La realizzazionedi induttori, condensatori e risonatori con tratti di linea di trasmissione �e discussa conmaggiore dettaglio nella sezione 3.6.

π2f

0

v

l

∞Z

X ing

0 0.25 0.5 0.75 1 1.2510

-5

0

5

10

Figura 3.4 Reattanza d'ingresso di un tratto di lineachiuso in corto circuito e del risonatore serie \equivalente".

Esempio 2Tratto di linea di trasmissione senza perdite, chiuso in circuito aperto.

Si ha�0 !1�(z) = j cot kz

Zing = jXing = �jZ1 cot kl

(3.10)

Il comportamento �e analogo a quello della linea chiusa su un corto circuito, salvo una

traslazione del gra�co di kl = �=2.

Esempio 3Tratto di linea di trasmissione senza perdite chiuso su un carico reattivo.


π2kl

Zing

(a) (b)

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25-10

-5

0

5

10

∞Z

X ing

Figura 3.5 (a) Linea di trasmissione chiusa incircuito aperto e (b) corrispondente reattanza di

ingresso.

Si trova

�0 = jxL =ZL

Z1

�(z) = jxL � tan kz

1 + xL tan kz

(3.11)

�E utile porre xL = tan�L perch�e la precedente equazione diventa

�(z) = jtan�L � tan kz

1 + tan�L tan kz= j tan(�L � kz) (3.12)

da cui ricaviamoZing = jXing = jZ1 tan(kl + �L) (3.13)

Vediamo che al variare del carico le curve della reattanza di ingresso si traslano rigida-mente.

Esempio 4Tratto di linea di trasmissione senza perdite, chiuso su un impedenza pari all'impedenza carat-teristica Z1.

Si trova�0 = 1

�(z) = 1

Zing = Z1

(3.14)

Questo �e l'unico caso in cui l'impedenza di ingresso non dipende dalla lunghezza deltratto di linea. In questo caso la linea si dice adattata. Ovviamente l'impedenza diingresso continua ad essere Z1 anche quando la lunghezza tende all'in�nito. Se la linea�e ideale (senza perdite) questo risultato vale solo se la linea �e chiusa sulla sua impedenza


π2kl

(a) (b)

Zing

XL

0 0.375 0.875 1.25-10

-5

0

5

10

xL

∞Z

X ing

Figura 3.6 (a) Linea di trasmissione chiusa su uncarico reattivo e (b) e relativa reattanza di ingresso.

caratteristica. In realt�a ammettendo l'esistenza di perdite (anche arbitrariamente pic-cole), l'a�ermazione �e vera per qualunque terminazione. Questo giusti�ca la scelta delsimbolo per l'impedenza caratteristica.

π2kl

∞Z

Ring

(a) (b)

Zing

∞Z

0 0.25 0.5 0.75 1 1.250

.5

1

.5

2

Figura 3.7 (a) Linea di trasmissione chiusa sull'impeden-za caratteristica e (b) corrispondente resistenza di ingresso

(Xing = 0).

Esempio 5Tratto di linea di trasmissione senza perdite di lunghezza l = �=4 chiuso su un'impedenzagenerica ZL.

Se l = �=4, l'argomento della tangente nella equazione (3.4) �e �=2 e si �e in presenza di unaforma indeterminata. Valutando il limite di �(z) per z ! ��=4 con la regola di de l'Hospital


si ottiene

�ing =1

�0; Zing =

Z21

ZL(3.15)

Questo tratto di linea di trasmissione si comporta come un invertitore di impeden-za (normalizzata) e viene comunemente utilizzata per realizzare dei trasformatori diimpedenza, discussi pi�u avanti.

Zing

ZL

4λFigura 3.8 Linea di trasmissione di lunghezzal = �=4 chiuso su un'impedenza generica ZL.

ZA BA

Vg

Zg+ZL

Figura 3.9 Circuito costituito da un generatoree un carico connessi da una linea di trasmissione.

Esempio 6Analisi di un circuito completo.

Siamo ora in grado di svolgere l'analisi completa del pi�u semplice circuito che comprendeun tratto di linea di trasmissione, alimentato a un estremo e caricato all'altro. Calcoliamol'impedenza di carico vista dal generatore, ZA. Essa �e anche l'impedenza di ingresso del trattodi linea di trasmissione chiuso su ZL, quindi vale

ZA =ZL + jZ1 tan kl

1 + jY1ZL tan kl(3.16)

Si tratta ora di analizzare il circuito a parametri concentrati di Fig. 3.10. Si trova subito

VA =ZA

ZA + ZgVg

IA =Vg

ZA + Zg

(3.17)


Tensione e corrente in una sezione generica, e quindi anche sul carico, si possono calcolare conla matrice catena (ABCD), calcolata in sezione 1.6�

V (z)I(z)

�= [T (z;zA)]

�VA

IA

�(3.18)

dove

[T (z;zA)] =

�cos k(z � zA) �jZ1 sink(z � zA)

�jY1 sink(z � zA) cos k(z � zA)

�(3.19)

Vedremo che nella pratica non si segue questo procedimento.

Vg

Zg+ZA

Figura 3.10 Circuito equivalente nella sezione A.

Esempio 7Misura dei parametri Z1 e k di uno spezzone di linea di trasmissione.

I risultati degli esempi 1 e 2 possono essere usati come base per una tecnica di misura deiparametri Z1 e k di uno spezzone di linea di lughezza l. Ricordiamo che l'impedenza d'ingressoZcc di tale spezzone, quando �e chiuso in corto circuito vale, vale

Zcc = jZ1 tan kl (3.20)

mentre Zca dato daZca = �jZ1 cot kl (3.21)

�e la corrispondente impedenza d'ingresso quando lo spezzone �e lasciato aperto. Queste equazionisi possono facilmente risolvere rispetto a Z1 e k nella forma

Z1 =pZccZca

k =1

l

"arctg

s�Zcc

Zca+ n�

#(3.22)

La presenza dell'intero n �e legata al fatto che la funzione tangente �e periodica con periodo �. Ilsuo valore si pu�o determinare solo se si conosce a priori il valore approssimato della lunghezza

d'onda sulla linea. Il caso pi�u semplice �e quello in cui lo spezzone di linea ha lunghezza minoredi �=4, perch�e in tal caso n = 0.

3.3 Coe�cienti di ri essione

Nei circuiti a parametri concentrati i bipoli sono caratterizzati in termini di una impe-denza o di una ammettenza che gioca il ruolo di funzione di trasferimento, poich�e le

x3.3 { Coe�cienti di ri essione 43

variabili di stato sono tensione e corrente. Queste variabili, come si �e visto in sezione1.6, non sono le pi�u appropriate per descrivere lo stato elettrico su una linea di trasmis-sione. Le variabili naturali sono invece le ampiezze delle onde progressiva e regressiva, inquanto esse sono gli stati di base (modi propri) del sistema. Vediamo allora come si pu�ode�nire un carico generico con riferimento alla base delle onde progressiva e regressiva.Consideriamo una linea di trasmissione di impedenza caratteristica Z1 e costante dipropagazione k chiusa su una impedenza di carico generica ZL, eccitata da un generatoreche produce un'onda progressiva che incide sul carico, Fig. 3.11:

V +ZLV -

0z

Figura 3.11 Linea di trasmissione chiusa su una generica impedenza di carico.

V inc(z) = V +0 e�jkz

I inc(z) = Y1V+0 e�jkz

(3.23)

A�ermare che la linea in z = 0 �e chiusa sul carico ZL �e equivalente a dire che in tale

sezione tensione e corrente devono essere legati dalla relazione V (0) = ZLI(0). �E ovvioche V inc e I inc soddisfano tale relazione se �e solo se ZL = Z1: in tal caso la sola ondaprogressiva �e in grado di soddisfare la condizione al contorno. Se invece l'impedenza �earbitraria, necessariamente si deve eccitare, sul carico, l'onda regressiva (o ri essa)

V rif(z) = V �

0 e+jkz

Irif(z) = �Y1V �

0 e+jkz(3.24)

con una opportuna ampiezza V �

0 in modo che tensione e corrente totali, somma dellegrandezze corrispondenti delle due onde progressiva e regressiva, soddis�no la condizioneal contorno:

V inc(0) + V rif(0) = ZL(Iinc(0) + Irif(0)) (3.25)

ossiaV +0 + V �

0 = ZLY1(V+0 � V �

0 ) (3.26)

Da qui l'ampiezza incognita V �

0 si ricava subito

V �

0 =ZLY1 � 1

ZLY1 + 1V +0 (3.27)

Il coe�ciente di proporzionalita' che lega la tensione regressiva a quella progressiva side�nisce coe�ciente di ri essione di tensione

V�L =V�0

def=V �

0

V +0

=ZLY1 � 1

ZLY1 + 1=�L � 1

�L + 1=ZL � Z1

ZL + Z1(3.28)


Abbiamo visto nel paragrafo 1.7 che le tensioni progressive e regressive de�niscono lostato elettrico di una linea con riferimento a due \stati" di base, speci�ci della lineastessa. In quest'ottica la caratteristica ingresso uscita (funzione di trasferimento) di unbipolo lineare, che si speci�ca in termini di una impedenza, con riferimento alle variabiliV e I, risulta de�nita dal coe�ciente di ri essione di tensione nella base delle ondeprogressiva e regressiva. Naturalmente, per speci�care l'ampiezza delle onde progressivae regressiva sulla linea, si potrebbero usare le correnti I+0 e I�0 invece della tensione.Questa scelta porterebbe a de�nire un coe�ciente di ri essione di corrente:

I�L =I�0

def=I�0I+0

=�Y1V �

0

Y1V+0

= �V�0 (3.29)

Quindi uno stesso bipolo pu�o essere caratterizzato:

. tramite l'impedenza ZL o l'ammettenza YL (con ZL = 1=YL)

. tramite il coe�ciente di ri essione di tensione V� o di corrente I� (con V� = � I�)

Osserviamo che mentre l'impedenza di un bipolo costituisce una caraterizzazione assolu-ta, il coe�ciente di ri essione �e sempre relativo all'impedenza caratteristica della lineaconnessa al bipolo. Da questo punto di vista tale impedenza caratteristica gioca il ruolodi impedenza di riferimento.Le relazioni che legano i coe�cienti di ri essione alle impedenze/ammettenze norma-

lizzate sono

V� =� � 1

� + 1= �y � 1

y + 1; � =

1 + V�

1� V�=

1� I�

1 + I�(3.30)

I� = �� 1

� + 1=y � 1

y + 1; y =

1� V�

1 + V�=

1 + I�

1� I�(3.31)

con y = 1=�. Tutte queste relazioni appartengono alla classe delle trasformazioni bilinearifratte di una variabile complessa che in generale si scrivono

w =az + b

cz + d(3.32)

Questa classe di trasformazioni gode di una serie di propriet�a che saranno discusse pi�uoltre.Abbiamo visto che la legge di trasformazione dell'impedenza locale su una linea di

trasmissione �e piuttosto complicata (per inciso, �e anch'essa una trasformazione bilinearefratta). Dato che i coe�cienti di ri essione fanno riferimento alle onde progressiva eregressiva, che sono gli stati di base della linea, c'�e da attendersi che la loro legge ditrasformazione sia semplice. Questo �e esattamente ci�o che accade. Il coe�ciente diri essione di tensione in una generica sezione z �e de�nito come il rapporto tra le tensioniregressiva e progressiva in quella sezione:

V�(z) =V �(z)

V +(z)=V �

0 e+jkz

V +0 e�jkz

= V�0 e+j2kz (3.33)

Nel caso di una linea di trasmissione ideale, in cui k = !pLC �e reale, il modulo del

coe�ciente di ri essione resta costante, mentre la sua fase varia proporzionalmente a z.In altre parole V�(z) descrive un cerchio di centro l'origine nel suo piano complesso.

x3.4 { Considerazioni energetiche 45

3.4 Considerazioni energetiche

Nello studio dei circuiti a parametri concentrati, i concetti energetici occupano un postoimportante. Cerchiamo di estenderli ai circuiti che contengono linee di trasmissione.Consideriamo una linea di trasmissione ideale, in regime sinusoidale, chiusa su un'im-

pedenza generica ZL (vedi Fig. 3.12). Se in una sezione z0 tensione e corrente valgonoV (z0) e I(z0), nella stessa sezione �e de�nibile una potenza attiva entrante (valore mediosu un periodo temporale della potenza istantanea)

P (z0) =1

2RefV (z0) I�(z0)g (3.34)

come ben noto dall'elettrotecnica. Questa potenza, se positiva, �e assorbita dal circuitoche sta a valle di z0 (vista la convenzione di segno per la corrente) e si interpreta comepotenza transitante nella sezione z0 della linea.

ZL

0z’ z

Figura 3.12 Linea di trasmissione chiusa su un'impedenza di carico generica.

�E utile esprimere la potenza in termini delle ampiezze delle onde progressive e regres-sive, in quanto queste variabili, come gi�a detto pi�u volte, forniscono la descrizione pi�unaturale del sistema. Ricordando le (1.67) abbiamo

P (z) = 12Ref[V +(z) + V �(z)]Y �

1[V +�(z)� V ��(z)]g =

= 12RefY �

1[jV +(z)j2 � jV �(z)j2] + Y �

1(V �(z)V +�(z)� V +(z)V ��(z))g =

= 12RefY �

1[jV +(z)j2 � jV �(z)j2]� j2Y �

1ImfV +(z)V ��(z)gg

(3.35)Nel caso di linea ideale (senza perdite), Y1 �e reale e quindi

P (z) =1

2Y1jV +j2 � 1

2Y1jV �j2 =

jV +j22Z1

(1� jV�j2) (3.36)

Possiamo fare le seguenti considerazioni:

. Essendo jV�j = costante su una linea ideale, la potenza netta transitante non di-pende dalla sezione considerata: ci�o �e ovviamente coerente col fatto che una lineaideale �e senza perdite. Quindi la potenza assorbita dall'impedenza di carico ZL �eP (z0).

. In una linea senza perdite la potenza attiva netta transitante in una sezione �e parialla di�erenza tra le potenze attive associate all'onda progressiva e a quella regres-


siva. Ossia la potenza netta �e la di�erenza tra la potenza incidente e quella ri essa.I due modi sono disaccoppiati in potenza.

. Se V� = 0, tutta la potenza incidente �e assorbita dal carico che si dice \adattato"alla linea (matched in inglese). La potenza netta coincide con quella incidente perl'assenza dell'onda ri essa. Questa condizione si veri�ca quando ZL = Z1.

. Se jV�j = 1, la potenza ri essa �e uguale a quella incidente e quindi la potenzanetta transitante �e nulla. Questa condizione si veri�ca quando il carico �e puramentereattivo, infatti in tal caso

V� =jXL � Z1

jXL + Z1(3.37)

ed il numeratore ed il denominatore hanno lo stesso modulo.

. Per un carico passivo, la potenza ri essa �e minore o uguale a quella incidente, percui jV�j � 1. Questa condizione equivale a RefZLg � 0, come dimostreremo in 3.7.

Una quantit�a frequentemente usata in pratica per caratterizzare un carico �e il return lossRL de�nito come

RL = �10 log10 j�j2 (3.38)

Essa esprime, in dB, il rapporto tra la potenza ri essa (che �e \persa" dal punto di vistadel carico) e quella incidente. Quindi RL = 0 dB per un carico reattivo e RL !1 dBper un carico adattato. Return loss e Rapporto d'Onda Stazionaria (ROS), introdottonella prossima sezione, esprimono il disadattamento del carico rispetto alla linea in mododiverso ma equivalente. Entrambi sono molto usati in pratica (vedi Tabella 3.1).

La quantit�a 1� jV�j2 �e detto coe�ciente di trasmissione di potenza perch�e �e pari alrapporto tra la potenza assorbita dal carico e la potenza incidente. Lo stesso coe�ciente,espresso in dB, �e detto re ection loss (o perdita di ri essione).

3.5 Diagrammi di tensione, corrente e impedenza sulla linea

Consideriamo una linea di trasmissione chiusa su una impedenza generica (Fig. 3.13).Tensione e corrente sulla linea si possono esprimere nel modo seguente in termini di ondeprogressive e regressive:

V (z) = V +(z) + V �(z) = V +(z)(1 + V�(z))

I(z) = I+(z) + I�(z) = Y1V+(z)(1� V�(z))

(3.39)

Visto che i coe�cienti di ri essione per tensione e corrente sono opposti l'uno dell'altro,useremo sempre quello di tensione anche per esprimere la corrente. Se, per semplicit�a siscriver�a �(z) senza apici, �e da intendere che si tratti di un coe�ciente di ri essione perla tensione.Il nostro obiettivo ora �e quello di disegnare i diagrammi della tensione, della corrente

e dell'impedenza su una linea di trasmissione. Iniziamo dal modulo di queste grandezze,che sono rappresentate in Fig. 3.14. Cerchiamo di capire perch�e quella �e la loro forma.

x3.5 { Diagrammi di tensione, corrente e impedenza sulla linea 47

z

LZ

Lv

Figura 3.13 Linea di trasmissione ideale chiusa su una impedenza di carico generica.

Il modulo di tensione e corrente �e dato da

jV (z)j = jV +(z)j j1 + V�(z)j

jI(z)j = jY1V +(z)j j1� V�(z)j(3.40)

Il primo fattore jV +(z)j �e costante su una linea ideale. Per quanto riguarda il secondo, siricordi che V�(z) = V�0 expf+j2kzg (vedi Fig. 3.15). L'espressione analitica di jV (z)j�e quindi

jV (z)j = jV +j��1 + jV�0j exp(j(arg(V�0) + 2kz))

�� == jV +j

h1 + jV�0j2 + 2jV�0j cos(arg(V�0) + 2kz)

i1=2 (3.41)

pertanto la curva �e solo apparentemente sinusoidale. �E evidente dalla �gura che jV (z)je jI(z)j raggiungono i valori massimo e minimo quando V�(z) �e reale, e inoltre:

j1 + V�(z)jmax = 1 + jV�j

j1 + V�(z)jmin = 1� jV�j(3.42)

In Fig. 3.15 sono disegnati i vettori 1 + V� e 1� V�. Il rapporto tra i valori massimoe minimo del modulo della tensione (e della corrente) si de�nisce Rapporto di OndaStazionaria (ROS) o VSWR in inglese (Voltage Standing Wave Ratio)

S =Vmax

Vmin

=1 + jV�j1� jV�j (3.43)

Dato che (vedi paragrafo 3.4) il modulo di V�0(z) di un carico passivo �e sempre compresotra 0 (carico adattato) e 1 (carico reattivo) il ROS S �e compreso tra 1 e in�nito. Il ROS �enormalmente impiegato in pratica per speci�care il disadattamento di un carico rispettoa una resistenza di riferimento (Z1). Dunque ROS, return loss RL, re ection loss emodulo del coe�ciente di ri essione esprimono in modo equivalente il disadattamento.La Tabella 3.1 fornisce le corrispondenze per alcuni valori.Si �e visto in Fig. 3.2 che l'impedenza locale normalizzata �(z) descrive un cerchio

nel piano complesso della variabile �. Allora il modulo dell'impedenza �e una funzioneoscillante della coordinata longitudinale e i valori estremi del modulo sono assunti quando


-1.5 -1 -0.5 00

1

2

-1.5 -1 -0.5 00

1

2

-1.5 -1 -0.5 00

1

2

3

( )π2kz

+V

zV )(

+I

zI )(

∞Z

zZ )(

( )π2kz

( )π2kz

Figura 3.14 Gra�co dei moduli di tensione, corrente e impedenza locale suuna linea di trasmissione ideale chiusa sull'impedenza di carico ZL = (1 + j)Z1.

�(z) �e reale e valgono

Rmax =Vmax

Imin

=jV +j(1 + jV�j)jY1V +j(1� jV�j) = Z1S

Rmin =Vmin

Imax

=jV +j(1� jV�j)jY1V +j(1 + jV�j) =

Z1

S

(3.44)

Sulla base di questi risultati si trova che la circonferenza di Fig. 3.2 ha centro in �c eraggio R dati da

�c =1

2

�S +

1

S

�=

1 + j�j21� j�j2 (3.45)

e

R =1

2

�S � 1

S

�=

2j�j1� j�j2 (3.46)

x3.5 { Diagrammi di tensione, corrente e impedenza sulla linea 49

V−

-1

)(1 zV+

)(1 zV−

V

)(zV

Figura 3.15 Gra�co nel piano complesso del coe�ciente di ri essione.

Tabella 3.1 Corrispondenza tra valori di return loss,modulo del coe�ciente di ri essione, ROS e re ection loss

Return Loss (dB) jV�j ROS Re ection Loss (dB)

0 1 1 03 0.7079 5.8480 3.02065 0.5623 3.5697 1.650810 0.3162 1.9249 0.457515 0.1778 1.4325 0.139520 0.1 1.2222 0.043630 0.0316 1.0653 0.0043

�E chiaro che la circonferenza degenera nell'asse immaginario se j�j ! 1, cio�e quando ilcarico �e reattivo.Con semplici calcoli �e possibile veri�care che la fase di tensione, corrente ed impedenza

normalizzata sulla linea hanno le espressioni seguenti:

arg V (z) = arg V +0 � kz + arctan

jV�0j sin(2kz + arg V�0)

1 + jV�0j cos(2kz + arg V�0)(3.47)

arg I(z) = arg I+0 � kz � arctanjV�0j sin(2kz + arg V�0)

1� jV�0j cos(2kz + arg V�0)(3.48)

arg �(z) = arctanjV�0j sin(2kz + arg V�0)

1 + jV�0j cos(2kz + arg V�0)

+ arctanjV�0j sin(2kz + arg V�0)

1� jV�0j cos(2kz + arg V�0)(3.49)

Le fasi di tensione e corrente sono funzioni sempre decrescenti per valori di z crescenti(Fig. 3.16), mentre si riducono ad una costante quando il carico �e reattivo; in tal caso

argV (z) = arg V +0 +

1

2arg V�0 (3.50)


-1.5 -1 -0.5 00

5

10

arg(V(z)/V+0)

arg(I(z)/I+0)

-1.5 -1 -0.5 0-1

0

1

( )π2kz

( )π2kz

∞Z

zZ )(arg

Figura 3.16 Andamento della fase di tensione, corrente e impedenza lungo unalinea di trasmissione ideale terminata sull'impedenza di carico Z0 = (1 + j)Z1.

arg I(z) = arg I+0 +1

2arg V�0 �

�

2(3.51)

L'impedenza normalizzata, come gi�a evidenziato dall'equazione (3.4), ha invece un an-damento periodico (Fig. 3.16). In particolare in corrispondenza dei punti z lungo la lineadati da

kz = � arg V�0 +

(2m+ 1)�

4

!; m = 0;1; : : : ; z < 0: (3.52)

arg �(z) raggiunge i valori massimi e minimi �2 arctan jV�0j. Se il carico �e reattivo, lafase di �(z) assume il valore costante �=2.

3.6 Componenti reattivi a parametri distribuiti

Gli ordinari induttori e condensatori sono in genere componenti che possono essere im-piegati solo a frequenza relativamente bassa, cio�e �ntanto che i parametri parassiti nondiventanto cos�� importanti da alterare la risposta del componente. Induttori e conden-satori ideali sono caratterizzati da una reattanza e da una suscettanza, rispettivamente,proporzionale alla frequenza. I componenti realizzati con le tecnologie tipiche delle bassefrequenze hanno una frequenza massima d'impiego che pu�o essere inferiore alle necessit�a.Per superare questo problema occorre cambiare struttura e in questa sezione vedremocome si possa usare una linea di trasmissione per realizzare componenti reattivi per altefrequenze.

x3.6 { Componenti reattivi a parametri distribuiti 51

3.6.1 Induttori

Riprendiamo l'equazione (3.6) che fornisce l'impedenza d'ingresso di un tratto di lineachiuso in corto circuito:

Zl = jZ1 tan kl (3.53)

dove il pedice l sta a ricordare che questo componente �e costituito da una linea. Ricor-diamo ancora che l'argomento della tangente si pu�o scrivere

kl =!l

vf= !� (3.54)

dove si �e introdotto il tempo � di transito sulla linea. Se ora !� � 1, cio�e il componente�e quasi concentrato per le frequenze di lavoro, si pu�o sviluppare la tangente in serie diTaylor e scrivere

Zl � jZ1

�!� +

1

3(!�)3

�(3.55)

Troncando lo sviluppo al primo termine notiamo che la reattanza ha una dipendenzalineare dalla frequenza e che l'induttanza equivalente realizzata vale

Leq = Z1� =

sLC l

pLC = lL (3.56)

Possiamo chiederci qual �e la massima frequenza a cui questo componente funziona inmodo accettabile. De�niamo un errore relativo della reattanza realizzata rispetto aquella del componente ideale concentrato:��Xl �Xc

Xc

�� = ��Z1 tan!� � Z1!�

Z1!�

�� 1

3(!�)2 (3.57)

Questa stima dell'errore �e accurata al 10% se !� � 0: 45 rad. Supponendo che l'erroresulla reattanza debba essere inferiore a " su tutta la banda di lavoro, troviamo che lamassima frequenza di lavoro �e

fmax =

p3"

2��(3.58)

EsempioSi progetti un induttore da 3 nH che produca al massimo un errore dell'1% sulla reattanza sullabanda da 0 a 500 MHz. La linea ha velocit�a di fase vf = 2 � 108 m/s.

Si calcola

� =

p3"

2�fmax= 5: 51 � 10�11s

e poi

Z1 =Leq

�= 54: 41

a cui corrisponde l = 1.10 cm.

Osserviamo che questi risultati, qui ottenuti con un metodo puramenente matematico,si possono facilemente giusti�care in termini del modello a scala LC della linea. In questa


/∆z/∆z /∆z

&∆z &∆z

Figura 3.17 Rete a scala equivalente allalinea di trasmissione chiusa in corto circuito.

rete le induttanze producono una piccola reattanza, i condensatori una reattanza moltogrande. E�ettuando il parallelo, l'e�etto del condensatore �e trascurabile e l'induttanzadella prima cella si somma a quella della seconda. La cosa continua �nch�e la reattanzacomplessiva del ramo serie �e confrontabile con quella del ramo parallelo. Questo �ssa unlimite superiore alla lunghezza elettrica della linea, al di l�a della quale la linea cessa dicomportarsi come un induttore.

3.6.2 Condensatori

Se una linea corta chiusa in corto circuito approssima un induttore, si pu�o vedere sem-plicemente che una linea corta in circuito aperto approssima un condensatore. Infattil'ammettenza di ingresso di un tratto di linea di lunghezza l in circuito aperto �e

Yl = jY1 tan kl = jY1 tan!� (3.59)

dove � = l=vf �e il tempo di transito sulla linea. Se la linea �e corta, cio�e !� � 1 si pu�osviluppare la funzione tangente:

Yl � jY1

�!� +

1

3(!�)3

�(3.60)

Se tronchiamo lo sviluppo al primo termine, otteniamo un'ammettenza di ingresso condipendenza lineare dalla frequenza e la capacit�a equivalente vale

Ceq = Y1� =

sCL l

pCL = lC (3.61)

Come gi�a nel caso dell'induttore, l'approssimazione �e accettabile �ntanto che il contributodel termine cubico alla suscettanza �e trascurabile. L'errore relativo sulla suscettanzarealizzata rispetto a quela del corrispondente condensatore ideale �e��Bl �Bc

Bc

�� = ��Y1 tan!� � Y1!�

Y1!�

�� 1

3(!�)2; (3.62)

dove la stima dell'errore �e accurata al 10% se !� � 0: 45 rad. Imponendo che tale erroresia minore di una soglia ", troviamo che la massima frequenza di impiego �e

fmax =

p3"

2��(3.63)

come gi�a nel caso dell'induttore. Il risultato (3.61) si pu�o giusti�care intuitivamente sullabase del modello a scala LC della linea (vedi Fig. 3.18). In questa rete le induttanze


/∆z /∆z

&∆z &∆z

Figura 3.18 Rete a scala equivalente alla linea di trasmissione in circuito aperto.

producono una piccola reattanza e le capacit�a una piccola suscettanza, cio�e una grandereattanza. E�ettuando la serie il contributo dell'induttanza �e quindi trascurabile e i duecondensatori sono sostanzialmente in parallelo. Procedendo lungo la linea, considerandocio�e un tratto di linea via via pi�u lungo, ad un certo punto la reattanza del carico �econfrontabile con quella dell'induttanza serie. In questa maniera si giusti�ca l'esistenzadi un limite superiore alla lunghezza elettrica della linea. Per lunghezze superiori la lineanon si comporta pi�u come un condensatore.

3.6.3 Risonatori

Abbiamo visto che una linea di trasmissione chiusa in corto circuito si comporta comeun induttore se la sua lunghezza elettrica �e piccola. Quando la lunghezza elettrica �e 1/4,l'impedenza d'ingresso �e quella di un circuito aperto e per lunghezze elettriche prossimea questo valore la struttura si comporta come un risonatore parallelo concentrato. Infattila suscettanza d'ingresso della linea �e

Bl = �Y1 cot!� (3.64)

mentre quella di un risonatore concentrato LC �e

Bc = !C � 1

!L(3.65)

Scegliendo opportunamente L e C la curva Bc approssima Bl nell'intorno di ! = !0 =�=(2�). Imponiamo allora le due condizioni

Bl(!0) = Bc(!0)

dBl

d!

��!0

=dBc

d!

��!0

(3.66)

in modo da raggiungere lo scopo sopra indicato. Dalla prima si trova

�

2�= !0 =

1pLC

(3.67)

Dalla seconda

Y1�1

sin2 !�

��!=!0

= C +1

!2L

��!=!0

(3.68)

ossia

Y1� = C +1

!20L

= 2C (3.69)


Da queste due condizioni segue subito

C =�

2Y1

L =8�

�2Z1

(3.70)

Per trovare il campo di validit�a dell'approssimazione �e conveniente riscrivere Bc(!) nellaforma

Bc = !0C

�!

!0� !0

!

�= !0C� (3.71)

dove la grandezza adimensionata �

� =!

!0� !0

!(3.72)

descrive lo scostamento della frequenza di lavoro da quella di risonanza. La relazioneinversa alla precedente �e

!

!0=�

2+

s1 +

��

2

�2(3.73)

Esprimiamo ora Bl in termini della variabile �

Bl = �Y1 cot!� = �Y1 cot�

2

!

!0= �4!0C

�cot

24�2

0@�2+

s1 +

��

2

�21A35 (3.74)

dove l'espressione di Y1 si ricava da (3.69) e (3.67). Se ora sviluppiamo Bl(�) in serie diTaylor attorno a � = 0 troviamo

Bl � !0C

�� +

1

4�2�

(3.75)

Questa espressione conferma che, almeno per � piccolo, il risonatore concentrato ap-prossima quello distribuito. Introduciamo l'errore relativo sulla suscettanza della linearispetto a quella del risonatore concentrato��Bl � Bc

Bc

�� 1

4� (3.76)

Questa stima dell'errore �e accurata al 10% se � � 0: 2. Troviamo che tale errore �einferiore ad una soglia pre�ssata " se j�j � �max = 4" a cui corrisponde

p1 + 4"2 � 2" � !

!0�p1 + 4"2 + 2" (3.77)

Se " �e piccolo tale banda si riscrive

1� 2" � !

!0� 1 + 2" (3.78)

Sappiamo che la funzione Bl(!) �e periodica quindi il comportamento �e quello oradescritto anche nell'intorno delle frequenze

!0n = (2n + 1)�

2�(3.79)


I corrispondenti valori di L e C sono

C =Y1�

2

L =8�Z1

�2(2n+ 1)2

(3.80)

Osserviamo per�o che quanto pi�u n �e grande e quindi la linea �e lunga, tanto pi�u la bandarelativa su cui Bc approssima Bl �e piccola. Questo �e ovvio se si pensa che la di�erenzatra le frequenze di risonanza successive �e costante.Per quanto riguarda l'accuratezza dell'approssimazione vale ancora la (3.76) anche se

per�o quella stima dell'errore �e accurata al 10% solo per � � 0: 3=(n+0: 5). Questo esempiomette in luce una propriet�a basilare dei circuiti a parametri distribuiti: la banda di uncomponente �e tanto pi�u piccola quanto pi�u grande �e la lunghezza elettricadel componente.Se riconsidriamo la Fig. 3.4, osserviamo che nell'intorno delle frequenze

!0n =n�

2; n = 1;2; : : : (3.81)

la linea chiusa in corto circuito si comporta come un risonatore serie. I suoi elementisi trovano imponendo che le due reattanze, della linea e del risonatore concentrato, e leloro derivate coincidano alla frequenza !0n

Xl(!0n) = Xc(!0n)

dXl

d!

��!0n

=dXc

d!

��!0n

(3.82)

Esplicitando queste equazioni troviamo

n�

�= !0n =

1pLC

(3.83)

Z1� = 2L (3.84)

da cui segue

C =Z1�

2

L =2�Y1

(n�)2

(3.85)

Anche in questo caso introduciamo la grandezza � de�nita dalla (3.72) ed esprimiamo ledue reattanze Xc e Xl in termini di essa

Xc = !0nL�

Xl = !0nL2

�tan

24n�0@�2+

s1 +

��

2

�21A35 (3.86)


Sviluppiamo Xl in serie di Taylor attorno a � = 0 e troviamo

Xl � !0nL

��+

1

4�2�

(3.87)

Vediamo che per piccoli valori di � Xl �e approssimato da Xc. Per quanto riguardal'accuratezza dell'approssimazione, possiamo stimare l'errore relativo sulla reattanza con��Xl �Xc

Xc

�� 1

4� (3.88)

formula accurata al 10% per � � 0: 3=n.Anche in questo caso, ovviamente, la banda del componente distribuito �e tanto pi�u

piccola quanto pi�u la lunghezza elettrica �e grande.Oserviamo in�ne che una linea in circuito aperto ha un comportamento duale a quello

�nora descritto. In particolare nell'intorno di

!(p)0n =

n�

�; n = 1;2; : : : (3.89)

si ha un comportamento tipo risonatore parallelo, mentre nell'intorno di

!(s)0n =

2n� + 1

�; n = 1;2; : : : (3.90)

quello di risonatore serie.

3.7 La Carta di Smith

La carta di Smith �e uno strumento gra�co di grande importanza per la soluzione deiproblemi di linee di trasmissione. La sua utilit�a, attualmente, non sta pi�u nel fornirela soluzione numerica di un problema, ma nell'aiutare a visualizzare geometricamentei fenomeni che hanno luogo su una linea di trasmissione. Tutti i moderni software perl'analisi e il progetto automatico (CAD) di circuiti a parametri distribuiti, nonch�e tuttigli strumenti di misura presentano i risultati su una carta di Smith. La carta di Smith �ecostituita da una porzione del piano complesso V� su cui sono riportate opportune curvecoordinate. Essa traduce gra�camente le due relazioni, viste in 3.3:

V� =� � 1

� + 1; � =

1 + V�

1� V�(3.91)

dove � = Z=Z1 = r+ jx �e l'impedenza normalizzata e V� = V�r+ jV�i �e il coe�ciente

di ri essione per la tensione. Entrambe sono variabili complesse e per rappresentaregra�camente le precedenti relazioni in un piano si pu�o seguire l'accorgimento di tracciare,nel piano complesso V� due famiglie di curve: lungo quelle della prima famiglia �e costantela parte reale dell'impedenza (curve a resistenza costante), lungo quelle della seconda �ecostante la parte immaginaria dell'impedenza (curve a reattanza costante). In tal modo

risulta immediato fare la trasformazione � ! V� o viceversa.Si pu�o dimostrare che la trasformazione bilineare fratta (3.91) ha la propriet�a seguente:

se la variabile � descrive una circonferenza nel suo piano complesso, anche i corrispondenti

x3.7 { La Carta di Smith 57

valori di V� si dispongono su una circonferenza; questo a patto di considerare le rettecome circonferenze di raggio in�nito.Con qualche manipolazione algebrica si dimostra che:

. Il semipiano di destra Ref�g � 0, corrispondente ai carichi passivi, �e trasformato

nel cerchio di raggio 1, jV�j � 1; il semipiano di sinistra Ref�g < 0, �e trasformato

nella regione esterna al cerchio di raggio 1, jV�j > 1;

. Le rette verticali del piano �, (r=cost.) sono trasformate nelle circonferenze diequazione �

V�r � r

1 + r

�2+ V�2

i=

�1

1 + r

�2(3.92)

Esse passano tutti per il punto V� = 1, che �e punto singolare della trasformazione,e hanno i centri sull'asse reale (Fig. 3.19);

. Le rette orizzontali nel piano � (x=cost.) sono trasformate in circonferenze diequazione �

V�r � 1�2

+

�V�i � 1

x

�2=

�1

x

�2(3.93)

Anche queste circonferenze passano tutte per il punto singolare, ma hanno i centri suuna retta parallela all'asse immaginario e passante per il punto V� = 1 (Fig. 3.20);

. Le due famiglie di circonferenze si incontrano sempre ad angolo retto (eccetto che inV� = 1) a causa del fatto che le rette r = costante e x = costante sono ortogonali

nel piano � e a causa dell'analiticit�a della trasformazione (eccetto che in V� = 1).

0 2 4−5

0

5

Real( Z )

Imag

( Z

)

PIANO Z

−1 0 1−1

−0.5

0

0.5

1

Real( Γ )

Im

ag(

Γ )

PIANO Γ

Figura 3.19 Rette verticali nel piano complesso � (re-sistenza costante) e loro immagine nel piano complesso

V�.

A causa della forma della legge di evoluzione del coe�ciente di evoluzione del coe�-ciente di ri essione su una linea, il numero complesso V� �e sempre speci�cato in formapolare, cio�e V� = jV�j expfj arg(V�)g. La carta di Smith �e fornita di scale utili per

misurare modulo e fase di V�.Si �e visto (Eq. (3.30)) che la relazione tra V� e � �e formalmente la stessa che sussiste

tra I� e y. Quindi la carta di Smith pu�o essere indi�erentemente considerata come:


0 2 4−5

0

5

Real( Z )

Im

ag(

Z )

PIANO Z

−1 0 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Real( Γ)

Im

ag(

Γ )

PIANO Γ

Figura 3.20 Rette orizzontali nel piano complesso � (reattanza costante) e loro

immagine nel piano complesso V�, limitatamente all'interno del cerchio unitario.

. Il piano complesso V� su cui sono tracciate le famiglie di curve a resistenza costantee quelle a reattanza costante;

. Il piano complesso I� su cui sono tracciate le curve a conduttanza costante e quellea suscettanza costante.

Ricordando il legame tra i due tipi di coe�ciente di ri essione, I� = �V�, �e chiaroche si pu�o usare la carta di Smith per calcolare l'ammettenza corrispondente a una dataimpedenza e viceversa.

I

V

Figura 3.21 Calcolo di ammettenze e impedenze.

Data infatti l'impedenza �A, la si riporta sulla carta interpretando il graticcio di curvein termini di resistenza e reattanza; si determina cos�� V�A. Il punto diametralmente op-posto �e I�A e, leggendone le coordinate rispetto al graticcio di cerchi, interpretato questavolta come curve a conduttanza e suscettanza costanti, si ricava il valore cercato di yA.Questa propriet�a �e utile quando si analizzano circuiti comprendenti linee di trasmissionecon carichi in serie e in parallelo.Un altro problema pi�u complesso, ma che si risolve con la stessa semplicit�a �e il seguente.

Sia da determinare nel piano V�A l'insieme delle impedenze con conduttanza maggiore diuno. In Fig. 3.22a �e rappresentata con il tratteggio la regione in cui g � 1, in Fig. 3.22bsi �e trovata la regione simmetrica rispetto all'origine: i punti interni corrispondono aimpedenze che soddisfano alla condizione richiesta.Vediamo ora come si risolve, tramite la carta di Smith il problema, gi�a risolto in 3.2,

del circuito di Fig. 3.23.

x3.7 { La Carta di Smith 59

(a) (b)

Figura 3.22 Regioni della carta di Smith: (a) carichi conconduttanza g � 1, (b) impedenze dei carichi con g � 1.

ZA

BA

Zg

Vg

+ZL

z0-l

Bζ

Aζλl

(a) (b)

Figura 3.23 (a) Circuito costituito da generatore, linea ditrasmissione e carico e (b) soluzione tramite la carta di Smith.

Nota l'impedenza di carico ZL e l'impedenza caratteristica della linea Z1, calcolia-mo l'impedenza normalizzata �B nella sezione B. Riportiamo �B sulla carta di Smith,individuando cos�� V�B. Il coe�ciente di ri essione nella sezione A �e dato da

V�A = V�B exp(�j2kl) = V�B exp(�j 4��l) (3.94)

Quindi V�A si trova sulla circonferenza, di centro l'origine, passante per V�B e con unafase pari a arg(V�A)�4�l=�. Due scale disegnate sulla periferia della carta a tarate in l=�agevolano l'operazione. Il verso di rotazione da seguire, che �e quello orario, visto il segnodell'esponente nella precedente equazione, �e indicato sulla carta con la dizione TowardGenerator (verso il generatore). Tale \generatore" non ha nulla a che vedere con quelloeventualmente presente nel circuito, ma si riferisce invece al generatore driving pointimpedance che si immagina posto nella sezione di interesse (A) per de�nirvi l'impedenza.

Trovato V�A basta leggere le coordinate di tale punto in termini del graticcio di curveper ricavare �A e quindi ZA = �AZ1. Troviamo quindi

VA =ZA

Zg + ZA

Vg (3.95)

InoltreV (z) = V +(z)(1 + V�(z)) (3.96)


dove

V +(z) = V +A

e�jk(z+l) =VA

1 + V�Ae�jk(z+l) (3.97)

eV�(z) = V�B e+j2kz (3.98)

In conclusione

V (z) = VgZA

Zg + ZA

e�jkl

1 + V�A(e�jkz + V�B e+jkz) (3.99)

e

I(z) = Y1VgZA

Zg + ZA

e�jkl

1 + V�A(e�jkz � V�B e+jkz) (3.100)

dove si �e ricordato cheI+A= Y1V

+A

(3.101)

eI(z) = I+(z)(1 + I�(z))) = I+(z)(1� V�(z))) (3.102)

Da un punto di vista gra�co �e immediato disegnare il diagramma di jV (z)j e jI(z)jtenendo conto che ci si riduce a studiare l'andamento di j1 � V�(z)j. Opportune scalesono tracciate sulla carta per agevolare queste operazioni.

3.8 Analisi di semplici circuiti

A volte due linee di trasmissione con caratteristiche diverse vengono connesse insieme,oppure dei carichi concentrati sono collegati in serie o in parallelo a una linea di trasmis-sione. Vediamo come si svolge l'analisi in questi casi.

Connessione di linee di trasmissione Consideriamo dapprima la connessione didue linee con diversa impedenza caratteristica. Lo stesso schema circuitale adottato

-A+

1∞Z 2∞Z

Figura 3.24 Connessione di due linee di tra-smissione con diversa impedenza caratteristica.

suggerisce che tanto la tensione quanto la corrente siano continue nella sezione A:

VA� = VA+ IA� = IA+ (3.103)

e, dividendo membro a membro, ZA� = ZA+. L'impedenza normalizzata �e invecediscontinua (�A� 6= �A+ in quanto Z11 6= Z12).

x3.8 { Analisi di semplici circuiti 61

Per quanto riguarda le tensioni progressive, ricordando la formula generale V (z) =

V +(z)(1 + V�(z)), si trova

V +A�

(1 + V�A�) = V +A+(1 +

V�A+) (3.104)

ossiaV +A+

V +A�

=1 + V�A�

1 + V�A+(3.105)

Il rapporto delle correnti progressive si ottiene anche in modo immediato:

I+A+

I+A�

=Y12V

+A+

Y11V+A�

=Y12

Y11

1 + V�A�

1 + V�A+(3.106)

Carico concentrato in parallelo Consideriamo ora il caso di una linea con un caricoconcentrato Yp in parallelo. Per le leggi di Kirchho� al nodo A si trova

pI

A

pY

Figura 3.25 Connessione di un carico in parallelo a una linea di trasmissione.

VA� = VA+

IA� = IA+ + Ip

YA� = YA+ + Yp

(3.107)

Per la continuit�a della tensione totale possiamo ricavare, analogamente al caso preceden-te, la relazione tra le componenti progressive della tensione

V +A+

V +A�

=1 + V�A�

1 + V�A+(3.108)

e, da questa, la corrispondente per le correnti progressive

I+A+

I+A�

=Y12

Y11

1 + V�A�

1 + V�A+(3.109)

Carico concentrato in serie Sia ora il caso di un carico concentrato Zs connesso inserie.Le leggi di Kirchho� al nodo A forniscono

VA� = VA+ + Vs

IA� = IA+

ZA� = ZA+ + Zs

(3.110)


sV

A- A+

sZ

Figura 3.26 Connessione di un carico concentrato in serie a una linea di trasmissione.

Per trovare il legame tra le componenti progressive di tensione e corrente, convieneragionare sulla seconda dalle precedenti, ottenendo per quanto riguarda la corrente:

I+A+

I+A�

=1 + I�A�

1 + I�A+=

1� V�A�

1� V�A+(3.111)

e, per la tensione:

V +A+

V +A�

=Z12

Z11

1� V�A�

1� V�A+(3.112)

Si noti che in questi casi l'uso delle leggi di Kirchho� �e del tutto lecito, poich�e essesono state applicate ad una singola sezione, che per de�nizione �e concentrata (priva diestensione).Linea di trasmissione come doppio bipolo Per trattare casi pi�u complessi pu�o essereutile descrivere il tratto di linea di trasmissione come un doppio bipolo, caratterizzatotramite la sua matrice [Z], [Y ], [ABCD], ecc. e poi applicare i metodi discussi nel corsodi Elettrotecnica. Ricordiamo che tali matrici per un tratto di linea di trasmissione dilunghezza l, costante di propagazione k e impedenza caratteristica Z1 sono:

Matrice [Z] delle impedenze a vuoto

Equazioni di de�nizione �V1V2

�=

�Z11 Z12

Z21 Z22

��I1I2

�(3.113)

Risulta

[Z] = �jZ1�cot kl csc klcsc kl cot kl

�(3.114)

Matrice [Y ] delle ammettenze di corto circuito.

Equazioni di de�nizione �I1I2

�=

�Y11 Y12Y21 Y22

��V1V2

�(3.115)

Risulta

[Y ] = jY1

� � cot kl csc klcsc kl � cot kl

�(3.116)

Matrice catena [ABCD]

x3.8 { Analisi di semplici circuiti 63

Equazioni di de�nizione �V1I1

�=

�A �BC �D

��V2I2

�(3.117)

Risulta

[ABCD] =

�cos kl �jZ1 sin kl

�jY1 sin kl cos kl

�(3.118)

La corrente alla porta 2 �e assunta, come di consueto, entrante nel doppio bipolo.Sono anche utili i circuiti equivalenti a T e a � di un tratto di linea, come indicati in

�gura. I valori degli elementi sono

ZT1 = ZT2 = jZ1 tankl

2; ZT12 = �jZ1 csc kl (3.119)

YP1 = YP2 = jY1 tankl

2; YP12 = �jY1 csc kl (3.120)

Si osservi che gli elementi di tutte le matrici sono funzioni periodiche, come �e tipico deicircuiti a parametri distribuiti.

T12Z

T1Z T2Z

P2YP1Y

P12Y

(a) (b)

Figura 3.27 Circuiti equivalenti (a) a T e (b) a � di un tratto di linea.

Capitolo 4

Fenomeni dissipativi nelle linee ditrasmissione

Nel capitolo 1, quando si �e iniziato lo studio delle linee di trasmissione, si �e detto chenelle strutture reali la propagazione delle onde �e a�etta da attenuazione. Essa �e causatasia dalle perdite nel dielettrico, che ha una conducibilit�a piccola ma non nulla, sia dalleperdite nei conduttori, che hanno una conducibilit�a grande ma non in�nita.

Lo studio dettagliato di questi fenomeni richiede di risolvere le equazioni di Maxwellnelle varie strutture di interesse. In linea con l'impostazione circuitale di questa primaparte del corso ci limiteremo invece a una discussione qualitativa.

4.1 Perdite nel dielettrico

Il fenomeno della dissipazione di energia nel dielettrico �e il pi�u semplice da descrivere. Inogni dielettrico reale vi sono delle cariche libere che danno luogo a una corrente quandoviene applicato un campo elettrico.

Il materiale �e caratterizzato da una conducibilit�a d, misurata in Siemens/metro, checompare nella legge di Ohm in forma microscopica

Jc = dE (4.1)

dove E �e il campo elettrico, Jc �e la densit�a di corrente per unit�a di super�cie e il pedicec sottolinea che questa corrente non �e una sorgente, ma una corrente di campo, cio�eprodotta dal campo applicato.

Di solito questa corrente, che come indicato dalla (4.1) �e in fase con il campo elettrico,viene conglobata nella corrente di spostamento che �e in quadratura, il che porta allade�nizione di una costante dielettrica complessa.

Ricordiamo infatti la seconda equazione di Maxwell

r�H (r;t) = "@E (r;t)@t

+ dE (r;t) + J e(4.2)

65

66 4 { Fenomeni dissipativi nelle linee di trasmissione

che nel dominio spettrale diventa

r�H (r;!) = j!"E (r;!) + dE (r;!) + Je (r;!)

= j!

�"� j

d

!

�E (r;!) + Je (r;!)

= j!~"E (r;!) + Je (r;!)

(4.3)

In modo del tutto naturale quindi si �e introdotta una permettivit�a dielettrica equivalentecomplessa ~", la cui parte reale �e l'usuale costante dielettrica e quella immaginaria �e legataalla conducibilit�a.Si usa anche introdurre un angolo di perdita �, de�nito come angolo di fase del numero

complesso ~":

~" = "0 � j"00 = "0"r

�1� j

d

!"0"r

�= "0"r (1� jtg�) (4.4)

Quindi la relazione tra angolo di perdita e conducibilit�a �e

tg� = d

!"0"r(4.5)

Ovviamente, per un buon conduttore ad alta conducibilit�a l'angolo di perdita � !�=2.Osserviamo in�ne che quando si vuole studiare l'andamento in frequenza di ~" occorrericordare che sia "r, sia d sono funzioni della frequenza.Si �e visto nel capitolo 1 che le perdite nel dielettrico sono descritte in termini circuitali

tramite la conduttanza per unit�a di lunghezza G. Il calcolo di questa quantit�a, come delresto di tutti i parametri per unit�a di lunghezza, a partire dalla geometria della lineadi trasmissione e dai parametri �sici dei materiali richiede che si risolvano le equazionidi Maxwell per la con�gurazione in questione. A partire dalla conoscenza dei campisi pu�o risalire ai valori dei parametri delle linee. Questo procedimento verr�a illustratosommariamente nella prossima sezione, in cui si analizzano le perdite nei conduttori. Leformule che permettono di calcolare G per qualche esempio di linea sono riportate nellasezione 4.3.

4.2 Perdite nei conduttori

La permettivit�a dielettrica complessa introdotta prima �e in grado di descrivere ancheun buon conduttore. In realt�a, in conduttori come il rame a frequenza �no nel campodelle onde millimetriche la corrente di spostamento �e trascurabile rispetto a quella diconduzione per cui la ~" �e assunta puramente immaginaria.In una linea di trasmissione in cui i conduttori si assumono perfetti, il campo elet-

tromagnetico �e diverso da zero solo nel dielettrico: infatti, nei conduttori il campo �eidenticamente nullo. In queste condizioni, sulla super�cie dei conduttori scorre una cor-rente elettrica che �e strettamente legata al campo elettromagnetico. Si tratta, comedetto, di una corrente super�ciale la cui densit�a per unit�a di lunghezza J�, misuratalungo il contorno della sezione trasversale del conduttore, �e pari in modulo al valoredel campo magnetico nei punti del dielettrico adiacenti al conduttore stesso, vedi �gura(4.1). La sua direzione �e ortogonale al campo magnetico.Se ora immaginiamo che la conducibilit�a del materiale sia molto grande ma �nita, si

pu�o dimostrare risolvendo le equazioni di Maxwell in queste condizioni che la corrente

x4.2 { Perdite nei conduttori 67

ds

σJ

Figura 4.1 Conduttore perfetto e corrente che scorre sulla sua super�cie. Lasua densit�a J� �e la corrente che scorre attraversando l'elemento di linea ds.

elettrica non �e pi�u con�nata alla sola super�cie ma si distribuisce anche all'interno, conuna densit�a per unit�a di super�cie che decade in modo circa esponenziale verso l'internodel conduttore.Anche il campo magnetico \penetra" all'interno del conduttore, pur essendo caratte-

rizzato dallo stesso decadimento esponenziale. Questo fenomeno ha due conseguenze:

� a causa della presenza nel metallo di un campo elettrico e di una densit�a di correnteelettrica, in fase tra loro per la (4.1), si ha dissipazione di energia.

� il campo magnetico nel conduttore d�a luogo a un usso autoconcatenato che sidescrive tramite un'induttanza interna, da sommare a quella esterna che tiene contodel usso del campo nel dielettrico.

Un caso che si riesce a studiare semplicemente �e quello di una linea di trasmissioneplanare, riportata in �gura (4.2).

w

h

y

xz

d

Figura 4.2 Linea di trasmissione planare.

Supponiamo che w=h >> 1, in modo da poter trascurare le variazioni con y di campie corrente, che dunque risultano solo dipendere da z e da x.Qui ci occupiamo solo della dipendenza da x, in quanto vogliamo ricavare i parametri

per unit�a di lunghezza della linea, sulla base dei quali poi si ricaver�a la dipendenza dalla


coordinata longitudinale z. Si pu�o dimostrare, risolvendo le equazioni di Maxwell, che ladensit�a di corrente per unit�a di super�cie nel conduttore di sinistra �e diretta lungo bz ed�e data dall'espressione

Jz (x) =I

wTcosh

hTh

�x

h� 1

�isinh (Th)

(4.6)

dove T = (1 + j) =� e I=w �e la densit�a di corrente per unit�a di lunghezza lungo y chescorre complessivamente nel conduttore . Nel conduttore di destra la corrente �e opposta.La �gura (4.3) riporta in un gra�co tridimensionale la dipendenza della densit�a di

corrente per unit�a di super�cie Jz(x;!) dalla profondit�a normalizzata x=h e dal parametroh=�. Questo equivale a indicare la dipendenza dalla frequenza, perch�e si vedr�a tra poco(�g.(4.7b)) che h=� �e funzione della frequenza. Inoltre la densit�a puntuale Jz(x;!) �e�e stata normalizzata alla densit�a di corrente media I=(wh). Vediamo che se h=� ! 0la corrente �e distribuita uniformememnte nel conduttore. Viceversa, se h=� �e grande,la corrente tende a concentrarsi lungo l'interfaccia tra il metallo e il dielettrico. In

01

23

4

0

0.5

1

0

2

4

6

x / hh / δ

|Jz|

Figura 4.3 Dipendenza della densit�adi corrente Jz dalla profondit�a x e dalla

frequenza.

queste condizioni si puo' dimostrare che Jz(x) decade esponenzialmente al crescere di xverso l'interno del conduttore e il tasso di decadimento �e �ssato dal parametro �, dettoprofondit�a di penetrazione per e�etto pelle. Infatti la corrente uisce sostanzialmente inuna sottile pellicola adiacente all'interfaccia tra conduttore e dielettrico. Si dimostra chel'espressione di � �e

� =

s2

!� (4.7)


da cui si vede che � �e inversamente proporzionale alla radice quadrata della frequenza edella conducibilit�a. La tabella (4.1) riporta alcuni esempi di conduttori comuni.

Tabella 4.1 Caratteristiche di alcuni buoni conduttori

Profondit�a di penetrazione

Materiale [S/m] �f12 [m Hz

12 ] 50 Hz 1 KHz 1 MHz 3 GHz

[cm] [mm] [mm] [�m]

Alluminio 3,54 �107 0,085 1,19 2,7 0,085 1,6

Argento 6,15 �107 0,064 0,90 2,03 0,064 1,2

Cromo 3,8 �107 0,081 1,15 2,6 0,081 1,5

Gra�te 1,0 �105 1,59 22,50 50,3 1,59 29

Nickel 1,3 �107 0,014 0,19 4,4 0,014 0,26

Oro 4,50 �107 0,075 1,06 2,38 0,075 1,4

Ottone 1,59 �107 0,126 1,78 3,98 0,126 2,3

Rame 5,80 �107 0,066 0,93 2,1 0,066 1,2

Stagno 0,870�107 0,171 2,41 5,41 0,171 3,12

Zinco 1,86 �107 0,117 1,65 3,70 0,0117 2,14

A partire dall'espressione della densit�a di corrente e dei campi �e possibile calcolarel'impedenza super�ciale del metallo, de�nita come il rapporto tra il campo elettrico Ez

all'interfaccia x = 0 e la densit�a di corrente per unit�a di lunghezza lungo y (I=w). Ilcampo elettrico Ez (x = 0) si trova dalla equazione (4.6) e dalla legge di Ohm in formamicroscopica:

Ez (x = 0) =1

Jz (x = 0) =

T

I

wcoth (Th) (4.8)

Quindi l'impedenza super�ciale, per unit�a di lunghezza nella direzione z e per unit�a dilarghezza nella direzione y, vale

Z = R + j!Li = 2T

coth (Th) =

= 21 + j

�coth

"(1 + j)

h

�

#= 2Rs (1 + j) coth

"(1 + j)

h

�

# (4.9)

dove si �e introdotto il parametro Rs

Rs =1

�=

s!�

2 (4.10)


detto resistenza super�ciale, che in realt�a coincide con la parte reale di Z solo se h >> �.Questa resistenza super�ciale dipende dalla frequenza e si misura in . Vedremo altermine di questo capitolo che �e consuetudine esprimere il valore numerico in \ perquadro". (= ut). In�ne il fattore 2 nella equazione (4.9) tiene conto dell'esistenza didue conduttori identici. Se il conduttore ha la larghezza w, l'impedenza per unit�a dilunghezza lungo z vale Z=w, poich�e gli elementi di conduttore sono in parallelo.

�E da notare che questa impedenza per unit�a di lunghezza coincide con l'impedenza seriedel circuito equivalente di un tratto elementare �z di linea di trasmissione (vedi �gura1.3) a meno dell'induttanza esterna, legata al campo magnetico presente nel dielettrico.La parte immaginaria di Z nell'equazione (4.9) �e proporzionale all' induttanza interna,associata al campo magnetico presente all'interno del metallo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

x / h

( )( )whI

xJ z

Figura 4.4 Andamento di Jz (x) per h=� = 10.

L'espressione della densit�a di corrente indotta (4.6) vale per ogni frequenza di lavoro.Supponiamo ora di far crescere la frequenza, in modo che la profondit�a di penetrazione� diventi sempre pi�u piccola. In questo caso h=� >> 1 e il conduttore si comporta comese fosse di spessore in�nito. L'espressione (4.6) si sempli�ca e diventa un esponenziale,

Jz (x) � I

wT exp (�Tx) = I

w

(1 + j)

�exp

�� (1 + j)

x

�

�(4.11)

(vedi �gura (4.4)), mentre la (4.9) si riduce a

Z = R + j!Li � 2Rs

w(1 + j) (4.12)


qui scritta per il caso di un conduttore di larghezza w.All'altro estremo di frequenza molto bassa, la profondit�a di penetrazione �e grande

e h=� << 1. In queste condizioni la corrente scorre con densit�a quasi uniforme entrotutta la sezione trasversale del conduttore (vedi �gura (4.5)) e l'impedenza per unit�adi lunghezza si ricava da (4.9) ricordando lo sviluppo della cotangente iperbolica perargomento piccolo

coth (z) �= 1

z+z

3: (4.13)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.995

1

1.005

1.01

1.015

1.02

1.025

x / h

( )( )whI

xJ z

Figura 4.5 Andamento di Jz (x) per h=� = 0: 5.

Sostituendo nella equazione (4.9) si trova

Z �= 2

w

(1 + j)

�

"�

h (1 + j)+1

3(1 + j)

h

�

#=

= 2

1

hw+ j

2h

3 2w

!= 2

1

hw+ j

1

3

!�h

w

!= R+ j!Li

(4.14)

dove si �e usata l'espressione di � (eq. (4.7)) e il fattore 2 si riferisce sempre al fatto chevi sono due conduttori identici che contribuiscono al risultato.Notiamo allora che in queste condizioni di bassa frequenza la resistenza per unit�a di

lunghezza vale

R =1

wh= Rdc (4.15)


per ciascun conduttore. Dato che wh �e l'area della sezione trasversale del conduttorequesto risultato coincide con il valore di resistenza in corrente continua.Ad alta frequenza, invece, la resistenza per unit�a di lunghezza �e data, per ciascun

conduttore, dalla (4.12)

R =Rs

w=

1

�w(4.16)

Confrontando le equazioni (4.15) e (4.16) possiamo ricavare la seguente interpretazionedel parametro �: in condizioni di alta frequenza, cio�e se lo spessore del conduttore �egrande rispetto alla profondit�a di penetrazione, la resistenza equivalente per unit�a dilunghezza �e quella che si otterrebbe in continua se la corrente scorresse con densit�acostante in uno strato di spessore pari a �.In �gura (4.6a) �e riportato l'andamento dell'impedenza per unit�a di lunghezza nor-

malizzata alla resistenza super�ciale Rs in funzione dello spessore h=�. La �gura (4.6b)riporta l'andamento della stessa impedenza normalizzata rispetto alla resistenza in con-tinua Rdc = 1= ( wh). Notiamo che a bassa frequenza in �gura (4.6a) la resistenza

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Spessore normalizzato h/δ (a)

Zs /

Rs

0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Spessore normalizzato h/δ (b)

Zs /

Rdc

Figura 4.6 Impedenza serie normalizzata della linea planare. Linea continua:parte reale; linea tratteggiata: parte immaginaria. L'impedenza di normaliz-zazione �e la resistenza super�ciale Rs in (a) e la resistenza in continua Rdc in

(b).

normalizzata diventa molto grande. In realt�a, la resistenza non normalizzata tende alvalore �nito Rdc (come �e evidente dalla �gura (4.6b)) mentre la resistenza super�ciale Rs

tende a zero, come illustrato in �gura (4.7a), dove come frequenza di normalizzazione si�e assunta quella per cui � = h. Per ottenere una grandezza normalizzata, la resistenzasuper�ciale �e stata moltiplicata per la quantit�a h. Sempre in funzione della stessa fre-quenza normalizzata, la �gura (4.7b) riporta il gra�co della profondit�a di penetrazione�, normalizzata allo spessore h del conduttore. Per quanto riguarda la reattanza serie,dall'equazione (4.14) si vede che essa tende a zero per ! ! 0.In �gura (4.8) �e riportato il gra�co della parte reale dell'impedenza serie per unit�a di

lunghezza, normalizzata alla resistenza in continua Rdc. Vediamo che gli asintoti relativial comportamento a bassa e ad alta frequenza si incontrano per h=� = 1. Dato che � �e

x4.3 { Parametri di perdita di alcune linee di trasmissione 73

0.0 2.5 5.0 7.5 10 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Frequenza normalizzata (a)

γ h

Rs

0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Frequenza normalizzata (b)

δ / h

Figura 4.7 (a) Resistenza super�ciale normalizzata Rs h.(b) Profondit�a di penetrazione normalizzata �=h. La fre-quenza di normalizzazione usata in ascissa �e quella per cui

� = h.

funzione della frequenza, questa condizione determina la frequenza fd

fd =1

�� h2(4.17)

Questa frequenza, detta di demarcazione, separa il regime di bassa frequenza da quellodi alta frequenza.La �gura (4.9) riporta un gra�co dell'induttanza interna, normalizzata rispetto al

valore in continua, in funzione dello spessore normalizzato h=�. Dato che � dipende da!, anche questa induttanza �e funzione della frequenza. Notiamo che l'induttanza interna�e sempre piccola rispetto a quella esterna. Infatti l'induttanza esterna �e data da

Le =�d

w(4.18)

mentre l'induttanza interna a frequenza zero �e

Li0 =1

3

�

wh (4.19)

e ancora pi�u piccola al crescere della frequenza. Dato che in genere d >> h, l'induttanzainterna risulta trascurabile rispetto a quella esterna.

4.3 Parametri di perdita di alcune linee di trasmissione

4.3.1 Cavo coassiale

Perdite nel dielettrico

G =2� d

logD

d

(4.20)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Spessore normalizzato h/δ

R /

Rdc

Figura 4.8 Parte reale dell'impedenza serie per unit�adi lunghezza, normalizzata a Rdc. Sono anche disegnati icomportamenti asintotici, al �ne di de�nire la frequenza di

demarcazione.

Perdite nel metallo

� Bassa frequenza

Resistenza per unit�a di lunghezza:

R =

"1

d2+

1

D2e�D2

#1

c�

4

(4.21)

Induttanza interna:

Li =�

4�

"1�

�D

De

�2#�2 "� DDe

�2� 1� 2 log

�D

De

�#(4.22)

� Media frequenza

R+ j!Li =Rsj

32

p2J0

� ed��dJ1

� ed� +Rsj

12

p2K0

�fD��DK1

�fD� (4.23)

dove ed = j32

dp2�s

; fD = j12Dp2�s

e J0, J1 sono funzioni di Bessel di prima specie eK0,K1 sono funzioni di Bessel modi�cate.

� Alta frequenza


0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Spessore normalizzato h/δ

0i

i

��

Figura 4.9 Induttanza interna di una linea planare, normalizzatarispetto al valore in continua, in funzione dello spessore normalizzato

h=�.

De

Dd

Figura 4.10 Cavo coassiale.

R + j!Li = Rs

1 + j

�

�1

d+

1

D

�(4.24)

Questa formula ha una semplice interpretazione. Quando l'e�etto pelle �e ben svi-luppato, l'impedenza serie �e la stessa che si avrebbe se tutta la corrente scorresse condensit�a costante entro uno strato di spessore pari alla profondit�a di penetrazione �. La\larghezza equivalente" del conduttore vale 1=�d per il conduttore interno e 1=�D perquello esterno, quantit�a che sono le circonferenze dei conduttori stessi. La stessa inter-pretazione era gi�a stata data in connessione con l'equazione (4.16) nel caso della linea apiani paralleli.

4.3.2 Linea bi�lare

Perdite nel dielettrico

G =� d

cosh�1�D

d

� (4.25)


d

D

Figura 4.11 Linea bi�lare.

Perdite nel metallo

� Bassa frequenza

R =2

�d2 cLi =

�

4�(4.26)

� Media frequenza (se D >> d)

R + j!Li =Rsj

32

p2J0

� ed��dJ1

� ed� (4.27)

dove ed = j32

dp2�s

e J0, J1 sono funzioni di Bessel di prima specie.

� Alta frequenza

R + j!Li = 2Rs

1 + j

�d(4.28)

Per capire in�ne per quale motivo la resistenza super�ciale Rs si misura in facciamoriferimento alla �gura (4.12) dove si considera un prisma a base quadrata di lato w eprofondit�a pari a �.

δ

w

J w

Figura 4.12 Prisma a base quadrata di lato w e profondit�a pari a �.

Abbiamo gi�a detto che l'impedenza �e la stessa che si avrebbe con un usso uniformedi corrente entro lo spessore �. In tali condizioni, la resistenza super�ciale vale

R =l

S=

w

�w=

1

�


che �e indipendente dalle dimensioni del quadrato. Quindi ogni quadrato, con latoarbitrario, ha la stessa resistenza.

Capitolo 5

Linee di trasmissione con perdite

5.1 Soluzione delle equazioni delle linee

Dopo aver esaminato in dettaglio la tecnica di analisi di circuiti che comprendono lineedi trasmissione ideali, cio�e senza perdite, riprendiamo le equazioni complete delle lineereali e vediamo qual �e l'e�etto dei parametri R (resistenza per unit�a di lunghezza deiconduttori) e G (conduttanza per unit�a di lunghezza legata alle perdite nel dielettrico).Le equazioni in questione sono

� @

@tv(z;t) = R i(z;t) + L @

@ti(z;t)

(5.1)

� @

@ti(z;t) = G v(z;t) + C @

@tv(z;t)

Prendendo la trasformata di Fourier di ambo i membri si ottengono le equazioni dellelinee reali nel dominio spettrale, ossia

� d

dzV (z;!) = (R+ j!L) I(z;!)

(5.2)

� d

dzI(z;!) = (G + j! C)V (z;!)

Si potrebbe ripetere in questo caso l'analisi fatta per le linee ideali ma pi�u semplice �ericorrere all'arti�cio di introdurre una induttanza e una capacit�a per unit�a di lunghezzacomplesse

Lc = L+Rj!

= L� jR!

(5.3)

Cc = C + Gj!

= C � jG!

79

80 5 { Linee di trasmissione con perdite

z∆ z∆z∆ z∆

L RG C

sτpτ

Figura 5.1 Costanti di tempo dei gruppi RL eRC di un tratto elementare di linea di trasmissione

in modo che le equazioni delle linee reali assumono la forma

� d

dzV (z;!) = j!Lc I(z;!)

(5.4)

� d

dzI(z;!) = j! Cc V (z;!)

identica a quella delle linee reali. �E quindi su�ciente prendere la soluzione relativa alcaso ideale e \prolungarla analiticamente" da valori reali di L e C a valori complessi (Lc

e Cc). Notiamo che le induttanze e capacit�a equivalenti Lc e Cc si possono scrivere

Lc = L�1� j

1

!�s

�(5.5)

Cc = C 1� j

1

!�p

!

dove �s = L=R e �p = C=G si possono interpretare come le costanti di tempo del gruppoRL in serie e RC in parallelo, rispettivamente, nel circuito equivalente di un trattoelementare di linea, riportato in �gura (5.1).Ovviamente le costanti di tempo �s, �p tendono all'in�nito per una linea ideale.Le espressioni di tensione e corrente su una linea con perdite sono dunque dati da

V (z;!) = V +0 (!) e�jkz + V �

0 (!) e+jkz

(5.6)

I(z;!) = Y1V+0 (!) e�jkz � Y1V

�

0 (!) e+jkz

dove la costante di propagazione (complessa) �e

k = !qLcCc (5.7)

x5.1 { Soluzione delle equazioni delle linee 81

e l'impedenza caratteristica (complessa) �e

Y1 =1

Z1=

sLc

Cc

!�1(5.8)

Conviene esplicitare queste due espressioni in modo diverso a seconda del valore dellafrequenza di lavoro:

� per bassa frequenza

k =q�(R + j!L)(G + j!C)

(5.9)

Y1 =1

Z1=

sG + j!CR + j!L

� per alta frequenza

k =

s!2

�L � j

R!

��C � j

G!

�= !

pLCvuut�1� j

1

!�s

� 1� j

1

!�p

!(5.10)

Y1 =1

Z1=

vuut C � j G!

L� jR!

=

sCL

vuuut�1� j 1

!�p

��1� j 1

!�s

�Osserviamo subito che, anche se la soluzione (5.7) vale per qualunque valore diR;L;C;G,

il caso di interesse pratico �e quello in cui Lc e Cc hanno parti immaginarie molto piccole.Analizziamo ora il signi�cato delle (5.7) quando k e Y1 sono complessi. Per quanto

riguarda la costante di propagazione, il radicando nella (5.7) �e dato dal prodotto di duefattori con fase compresa tra ��=2 e 0, e quindi ha fase compresa tra �� e 0:

�� < arg(k2) � 0 (5.11)

Estraendo la radice quadrata si ottengono i valori �k = �(� � j�) con � � 0 e � � 0.Per accertare se k appartiene al quarto o al secondo quadrante basta fare il limite per

R;G ! 0, che �e il caso della linea ideale, in cui avevamo scelto k = !pLC e quindi

Refkg > 0, vedi �gura (5.2). Per continuit�a, quindi, nel caso di linea con perdite, kappartiene al quarto quadrante. Ci�o signi�ca anche che Imfkg < 0: questa scelta �edunque coerente con il fatto che l'onda progressiva si attenua per z crescente.Per quanto riguarda l'ammettenza caratteristica, il radicando nella (5.8) appartiene al

semipiano di destra: per continuit�a con il caso di linea senza perdite, scegliamo Y1 conparte reale positiva, vedi �gura (5.3).Del resto si pu�o osservare che, essendo Y1 l'ammettenza di ingresso di una linea

semin�nita, essa deve avere parte reale positiva trattandosi di una rete passiva.A volte, in alcuni testi, invece della costante di propagazione k = � � j�, si introduce

= jk = � + j�


k−

k

k

2k

2k

Figura 5.2 Piano complesso k2 e piano complesso k

2∞Y

2∞Y

∞Y

∞Y

Figura 5.3 Piano complesso Y 21

e piano complesso Y1

per cui, per esempio, l'espressione generale della tensione su una linea �e

V (z) = V +0 e� z + V �

0 e z

Inoltre gli elementi delle matrici [Z];[Y ];[ABCD], di un tratto di linea, date in (3.114)- (3.118) diventano funzioni iperboliche dell'argomento l, invece che funzioni trigono-metriche circolari di kl. Questa scelta si propone in modo naturale quando le equazionidelle linee (1.12) vengono risolte con le trasformate di Laplace anzich�e di Fourier. Noiuseremo sempre esclusivamente la costante k.Per comprendere meglio il signi�cato della soluzione delle equazioni delle linee rea-

li, ricaviamo l'andamento in funzione del tempo di tensione e corrente corrispondential primo termine delle (5.7) che, nel caso delle linee ideali, rappresentava un'onda pro-gressiva. Interpretiamo le (5.3) come equazioni tra fasori, per cui vale la formula diantitrasformazione

v+(z;t) = RefV +(z;!) ej!0tg (5.12)

otteniamo l'espressione dell'onda progressiva di tensione nella forma

v+(z;t) = Refj V +0 j ej arg(V +

0 ) e�j(�0�j�0)z ej!0tg(5.13)

= j V +0 j cos(!0t� �0z + arg(V +

0 )) e��0z


+

+

0

0 ),(

V

tzv

t

T

Figura 5.4 Evoluzione della tensione progressiva in funzione del tempo

+

+

0

0 ),(

V

tzv

z

λ

Figura 5.5 Evoluzione della tensione progressiva in funzione dello spazio

e, per la corrente progressiva:

i+(z;t) = Refj Y1 j ej arg(Y1) j V +0 j ej arg(V +

0) e�j(�0�j�0)z ej!0tg

(5.14)

= j Y1 jj V +0 j cos(!0t� �0z + arg(Y1) + arg(V +

0 )) e��0z

assumendo k0 = k(!0) = �0 � j�0, dove si sono messe in evidenza le parti reale eimmaginaria della costante di propagazione complessa.

In �gura (5.4) si riporta il gra�co dell'evoluzione della tensione progressiva in unasezione speci�ca della linea z = z0 in funzione del tempo. Notiamo che �e identico aquello analogo di �gura (1.10) relativo a una linea senza perdite.

In �gura (5.5) si riporta invece la distribuzione complessiva della tensione progressivasulla linea in un istante �ssato t = t0.

Dall'esame delle (5.14) e (5.15) possiamo concludere che:


1−e

0α

+

+

0

),(V

zV ω

z

Figura 5.6 Evoluzione della tensione progressiva infunzione dello spazio per una linea di trasmissione

dissipativa

� Il primo termine delle (5.7) rappresenta e�ettivamente un'onda che si muove nelverso delle z crescenti con velocit�a di fase

vf =!0

�0=

!0

Refk0g(5.15)

Si noti che vf non �e costante al variare di !0, poich�e Refk0g non �e funzione linearedella frequenza.

� L'ampiezza dell'onda diminuisce esponenzialmente al crescere di z, come ci si aspettaintuitivamente visto il carattere dissipativo della linea di trasmissione in esame.L'inverso della parte immaginaria della costante di propagazione (�0) �e la distanzache d�a luogo a una riduzione del fattore 1=e = 0: 36788 = 8: 68589 dB di tensione ecorrente (vedi �g.(5.6)).

� La lunghezza d'onda, de�nita come al solito come periodo spaziale dell'onda, �e datada

� =2�

�0=

2�

Refk0g (5.16)

� La corrente �e proporzionale alla tensione ma presenta rispetto a questa uno sfasa-mento pari a arg(Y1). Si noti che Y1 non �e costante rispetto alla frequenza.

� Le unit�a di misura di �0 e �0 sono

�0 ! [rad=m]

�0 ! [Np=m] oppure [dB=m]

Ricordiamo, per quanto riguarda �0 , che essendo

lnj V +(z) jj V +(0) j = ln e��0z = ��0z (5.17)


z

( )−

−

0

0,

V

tzv

Figura 5.7 Evoluzione della tensione regressiva in funzione dello spazio

risulta naturale esprimere �0 in [Np/m]. Esprimendo invece il rapporto di tensionein dB abbiamo

20 log10j V +(z) jj V +(0) j = 20 log10 e��0z = ��0z 20 log10 e def

= ��0dBz (5.18)

Quindi il fattore di conversione per la costante di attenuazione �e 20 log10 e = 8: 68589.

Le stesse considerazioni si possono svolgere per il secondo termine della (5.7) cherappresenta un'onda regressiva identica a quella progressiva (a parte ovviamente il versodi propagazione) a causa dell'uniformit�a della linea di trasmissione.Le espressioni temporali di tensione e corrente per l'onda regressiva sono

v�(z;t) = j V �

0 j cos(!0t + �0z + arg(V �

0 )) e�0z

(5.19)

i�(z;t) = � j Y1 jj V �

0 j cos(!0t + �0z + arg(Y1) + arg(V �

0 )) e�0z

Il gra�co della distribuzione della tensione regressiva sulla linea ad un istante speci�cot = t0 �e riportato in �gura (5.7).La presenza in queste espressioni di un esponenziale che cresce al crescere di z sembra

apparentemente in contraddizione con il carattere dissipativo della linea di trasmissioneche stiamo analizzando. In realt�a, non bisogna dimenticare che l'onda regressiva, unavolta eccitata, si propaga nella direzione �z, per cui, nell'evoluzione naturale del feno-meno, l'ampiezza dell'onda regressiva diventa sempre pi�u piccola. La stessa cosa si pu�ovedere introducendo il riferimento in cui l'onda appare in quiete, z = �vf t = �!0t=�0;in tale riferimento l'ampiezza decade come expf�!0�0t=�0g. Nella �gura (5.8) l'ondaprogressiva si deve intendere eccitata nella sezione A da un generatore mentre l'ondaregressiva si eccita nella sezione B in cui si trova il carico disadattato.In �gura (5.9) sono riportati i gra�ci spazio-temporali delle tensioni progressiva e

regressiva. Si pu�o osservare che le creste sono parallele tra loro. Esse sono parallele allerette z = vf t (onda progressiva) e z = �vf t (onda regressiva).


BA

g

Zg+ZL

Figura 5.8 Linea di trasmissione con perditechiusa su una impedenza di carico generica

0 1 2 30

1

2−1

0

1

t / Tz / λ

v(z

, t)

prog

r.

0 1 2 30

1

2

−5

0

5

t / Tz / λ

v(z

,t) r

egr.

Figura 5.9 Gra�ci spazio-temporali delle tensioni progressiva e regressiva

Abbiamo visto nel capitolo 3 che nell'analisi di circuiti comprendenti linee di trasmis-sione �e utile introdurre il concetto di coe�ciente di ri essione

V �(z) =V �(z)

V +(z)(5.20)

Nel caso di linee con perdite, la legge di trasformazione di V � diventa

V �(z) =V �(0) ej2kz =V �(0) ej2�z e2�z (5.21)

Possiamo concludere che muovendosi dal carico verso l'ingresso della linea non solola fase del coe�ciente di ri essione diminuisce, ma anche il suo modulo, per cui V �descrive nel suo piano complesso una spirale logaritmica con l'origine come polo, vedi�gura (5.10).Per questo possiamo a�ermare che l'impedenza di ingresso di una linea reale semin�-

nita, qualunque sia la sua impedenza di carico, coincide con l'impedenza caratteristicadella linea stessa. Questo fatto giusti�ca l'uso del simbolo Z1 .Il risultato appena trovato si spiega anche in modo intuitivo. Il fatto che l'impedenza di

ingresso di un tratto di linea sia diverso da Z1 signi�ca soltanto che un'onda progressivaeccitata in A, giunta in B produce un'onda regressiva che, a sua volta, arriva in A conuna ampiezza ancora signi�cativa. Se il prodotto �0l della costante di attenuazione perla lunghezza della linea �e molto grande (�0l!1 ), l'onda regressiva in A �e trascurabilee la linea appare adattata. In realt�a la potenza �e solo in parte trasferita al carico: il resto�e dissipato nella linea.

x5.2 { Calcolo del usso di potenza 87

)(a )(b )(c

Figura 5.10 Andamento del modulo di V � al variare di �=� = 0: 2 (a), 0: 1 (b), 0 (c)

Si �e visto nel capitolo 3 che quando una linea ideale �e chiusa su un carico reattivo, siforma su di essa un'onda puramente stazionaria. In queste condizioni il usso di potenzanetta �e nullo. Ci chiediamo ora se anche su una linea di trasmissione con perdite, chiusasu un carico reattivo, si possa formare un'onda puramente stazionaria. La risposta �enegativa per l' impossibilit�a algebrica di scrivere l'espressione della tensione sulla lineacome prodotto di una funzione di t e di una funzione di z. Vi �e anche una spiegazione�sica legata al fatto che in ogni sezione della linea esiste un usso di potenza attiva anchese il carico �e senza perdite. Questa potenza, naturalmente, si dissipa nel tratto compresotra la sezione considerata e quella di carico.

5.2 Calcolo del usso di potenza

La formula generale che permette di valutare la potenza transitante in una sezione diuna linea qualsiasi �e stata ricavata nel capitolo 3 ed �e qui riportata per comodit�a:

P (z) =1

2RefV (z) I�(z)g = 1

2

nGhj V +(z) j2 � j V �(z) j2

i+ 2B ImfV +�(z)V �(z)g

o=

(5.22)

=1

2j V +(z) j2

nGh1� jV �(z) j2

i+ 2B ImfV �(z)g

odove l'ammettenza caratteristica �e Y1 = G+ jB.Una linea si dice con piccole perdite quando B << G per cui la parte immaginaria

dell'ammettenza caratteristica pu�o essere trascurata. La potenza transitante si pu�o alloracalcolare con la formula valida rigorosamente solo nel caso di linee senza perdite:

P (z) =1

2j V +(z) j2 G

h1� jV �(z) j2

i(5.23)

Per quanto rigurda la costante di propagazione, notiamo che essa compare sempre mol-tiplicata per la lunghezza del tratto di linea, quindi si tratta di esaminare la quantit�a�l. Se questa �e piccola (�l << 1) allora l'e�etto delle perdite pu�o essere totalmentetrascurato poich�e

e��l ' 1 (5.24)


BA

g

Zg+ZL

Figura 5.11 Tratto di linea con perdite chiuso su una generica impedenza di carico

Quando la precedente condizione non �e soddisfatta si deve tenere conto delle perdite percui sia j V +(z) j sia jV �(z) j sono e�ettivamente delle funzioni di z e quindi anche lapotenza transitante.Applichiamo questa formula al circuito di �gura (5.11) Indichiamo con PA (PB) la

potenza netta transitante nella sezione A(B); ovviamente, PB �e anche la potenza dissipatadal carico ZL. Il rapporto PB=PA si trova immediatamente usando due volte, nella sezioneB e poi nella sezione A, l'equazione (5.23) precedente:

PB

PA=

12G j V +

Bj2 (1� jV �B j2)

12G j V +

Aj2 (1� jV �A j2)

= e�2�l1� jV �B j21� jV �A j2

(5.25)

dove si �e fatto uso della relazione

j V +Bj=j V +

Aj e��l (5.26)

Inoltre

jV �A j=jV �B j e�2�l (5.27)

Se l'impedenza di carico ZL coincide con l'impedenza caratteristica della linea (lineaadattata),V �B = 0 e il rapporto PB=PA coincide col fattore exp(�2�l) che viene de�nitoattenuazione nominale.Se l'impedenza di carico �e arbitraria (linea disadattata) il rapporto PB=PA si riduce,

poich�e la frazione, che esprime l'incremento di attenuazione dovuto al disadattamento,�e sempre minore di 1. Naturalmente, per il principio di conservazione dell'energia, lapotenza dissipata nel tratto AB della linea si trova da

Pdiss = PA

�1� PB

PA

�(5.28)

Spesso l'espressione (5.25) si esprime in decibel:�PB

PA

�dB

= ��dBl + (1� jV �B j2)dB � (1� jV �A j2)dB (5.29)

La carta di Smith �e corredata di una scala che consente di valutare rapidamente l'incre-mento di attenuazione dovuto al disadattamento.In�ne se �l� 1, la linea, pur avendo perdite, dissipa una potenza trascurabile rispetto

a quella transitante e quindi PB=PA � 1 come si avrebbe rigorosamente nel caso di lineapriva di perdite.

x5.3 { Espressioni approssimate di costante di propagazione e impedenza caratteristica89

5.3 Espressioni approssimate di costante di propagazione e im-pedenza caratteristica

Abbiamo gi�a detto che in tutte le linee di trasmissione di interesse pratico, la resistenzaR e la conduttanza G sono dei parametri "parassiti" che si cerca di mantenere al livellopi�u basso possibile. In tal caso, per il calcolo della costante di propagazione k e dell'im-pedenza caratteristica Z1 si possono usare delle formule approssimate. Supponendo che(approssimazione di alta frequenza)

R!L � 1

(5.30)

G!C � 1

e ricordando gli sviluppi in serie troncati al primo ordine (validi per j x j<< 1):

(1 + x)12 ' 1 +

1

2x

(5.31)

(1 + x)�12 ' 1� 1

2x

si trova da 5.11

k = !pLCs�

1� jR!L

��1� j

G!C

�(5.32)

' !pLC

�1� j

1

2

� R!L +

G!C

��e quindi

� ' !pLC

(5.33)

� ' 1

2

0@RsCL + G

sLC

1APer quanto riguarda l'impedenza caratteristica, sempre nell'approssimazione di alta fre-quenza, si trova dalla (5.11)

Z1 =

sLC

vuut1� j R!L

1� j G

!C

'

(5.34)

'sLC�1� j

1

2

� R!L �

G!C

��


Si vede che i termini R=!L e G=!C, oltre a essere piccoli per ipotesi, si sommanonell'espressione di � ma si sottraggono in quella di Z1.A bassa frequenza, invece, conviene fare riferimento alle espressioni (5.10), in cui si

assume!LR << 1

!CG << 1

Per la costante di propagazione si trova

k = �jpRG

s�1 + j

!LR��

1 + j!LG�'

(5.35)

' �jpRG

�1 + j

1

2

�!LR +

!LG��

Da questa equazione ricaviamo le espressioni di � e �

� (!) =!

2

0@CsRG + L

sGR

1A� (!) =

pRG (5.36)

Notiamo che � (!) �e lineare sia ad alta frequenza sia a bassa frequenza anche se lapendenza delle due rette �e diversa. Un semplice calcolo mostra che la pendenza a bassafrequenza �e maggiore di quella ad alta frequenza se �p > �s , cosa che normalmenteavviene in pratica.

�E importante notare che quando �p = �s = � , la curva � (!) diventa una retta, mentre� (!) �e una costante. Infatti dalla (5.11) segue

k = !pLC

�1� j

1

!�

�(5.37)

da cui

� (!) = !pLC

(5.38)

� (!) =pRG

La condizione �s = �p �e detta condizione di Heaviside ed �e molto importante in quan-to assicura la propagazione senza distorsione, come si discuter�a nel capitolo 8. Datoche in pratica i parametri della linea non soddisfano questa condizione, si usa caricareperiodicamente la linea con condensatori in parallelo spaziati di una distanza piccolarispetto alla lunghezza d'onda. Questa procedura �e detta krarupizzazione della linea esi pu�o dimostrare che permette di ottenere il soddisfacimento della condizione di Heavi-side. Alternativamente, si pu�o caricare la linea periodicamente con degli induttori; taleprocedura �e detta pupinizzazione.

x5.3 { Espressioni approssimate di costante di propagazione e impedenza caratteristica91

Per quanto riguarda l'approssimazione di bassa frequenza per l'impedenza caratteri-stica, dalla (5.10) troviamo

Z1 =

sRG

vuut1 + j !LR

1 + j !LG

(5.39)

'sRG�1� j

!

2

�CG �

LR��

Anche in questo caso, se le perdite sono piccole, la parte immaginaria di Z1 si pu�otrascurare. Se la condizione di Heaviside �e soddisfatta, Z1 non dipende dalla frequenza,in quanto risulta

Z1 =

sRG =

sLC (5.40)

In �gura (5.12) sono riportati i gra�ci di � (!), � (!), G (!), B (!) per una linea ditrasmissione realistica con i seguenti valori delle costanti primarie:

R = 25 L = 2: 5 mH G = 0: 3 �S C = 5 nF (5.41)

per cui le costanti di tempo valgono

�p = 0: 0167s �s = 10�4s (5.42)

In questo caso si �e trascurata la dipendenza da ! di R, che �e legata alle caratteristichedell'e�etto pelle, discusso nel capitolo 4. Si nota che la parte immaginaria della Y1�e massima quando la parte reale ha la massima variazione. Questa �e una propriet�agenerale (relazione di Kramers Kronig), legata solo al fatto che Z1(!) si pu�o considerarela trasformata di Fourier di una funzione causale.Si noti che se la linea ha perdite forti (B non trascurabile) il modulo del coe�ciente di

ri essione non ha interpretazione energetica e pu�o essere maggiore di 1 anche se il carico�e passivo.


1−pτ 1−

sτ 1−pτ

1−pτ 1−

pτ

1−sτ

1−sτ 1−

sτ

Figura 5.12 Gra�ci di � (!), � (!), G (!), B (!) per una linea di tra-smissione con perdite. I valori delle costanti primarie sono speci�cate nel

testo

Capitolo 6

Circuiti di adattamento

6.1 Introduzione

In questo capitolo a�rontiamo un argomento di grande rilevanza pratica nel campodei circuiti a parametri distribuiti: l'adattamento di impedenza. Vi sono due tipi diadattamento: l'adattamento di uniformit�a e l'adattamento energetico.Quando una linea di trasmissione deve essere connessa a un carico di valore diverso

dall'impedenza caratteristica occorre interporre un adattatore di uniformit�a in modo daeliminare le onde ri esse sulla linea. L'altro tipo di adattamento non �e speci�co deicircuti a parametri distribuiti. Esso �e richiesto quando si deve porre un generatore ingrado di erogare la sua potenza disponibile.Questi due obiettivi si possono raggiungere con dei trasformatori di impedenza sia

a parametri concentrati, sia a parametri distribuiti. Per quanto riguarda i secondi, sidiscuteranno varie soluzioni realizzative.

6.2 Tipi di adattamento di impedenza

Consideriamo il circuito di Fig. 6.1 dove un generatore reale e un carico qualsiasi sonocollegati con una linea di trasmissione che supporremo di perdite trascurabili. Abbiamo

ZA BA

Vg

Zg+ZL

Figura 6.1 Circuito comprendente una linea di trasmissione idealealimentata a una estremit�a e chiusa su un carico arbitrario all'altra.

gi�a analizzato questo circuito nel paragrafo 3.8 per trovare tensioni e correnti in ognipunto della linea. La potenza fornita al carico coincide, vista l'assenza di perdite nella

93

94 6 { Circuiti di adattamento

linea, con quella assorbita dall'impedenza di ingresso Zing:

PB = PA =1

2RefVA I�Ag =

1

2jIAj2 RefZingg =

=1

2

jVgj2jZg + Zingj2 RefZingg (6.1)

Il rapporto d'onda stazionaria (ROS) sulla linea �e dato da

S =Vmax

Vmin

=1 + jV�Bj1� jV�Bj (6.2)

La potenza assorbita dal carico pu�o anche essere espressa in funzione della massimatensione sulla linea. Infatti, esprimiamo dapprima tale potenza in funzione della tensioneprogressiva

PB =1

2

jV +Bj2

Z1

�1� jV�Bj2

�: (6.3)

La massima tensione della linea vale

Vmax = jV +Bj(1 + jV�Bj): (6.4)

Eliminando jV +Bj tra le due equazioni troviamo:

PB =1

2

V 2max

Z1

1

S: (6.5)

A seconda dei valori dell'impedenza interna del generatore ZG e dell'impedenza di carico,si possono veri�care due casi diversi (Pozar, 1998):

A) Adattamento del carico alla lineaSe ZL = Z1, il coe�ciente di ri essione in B �e nullo e cos�� pure quello in A, e quindiZing = Z1. In questa condizione, de�nita di adattamento di uniformit�a, il diagrammadi onda stazionaria sulla linea �e piatto (ROS = 1) dato che �e presente solo un'ondaprogressiva. La potenza fornita al carico risulta essere

PB =1

2jVgj2 Z1

jZ1 + Zgj2 : (6.6)

Osserviamo che, a parit�a di potenza attiva fornita al carico PB, la tensione massima sullalinea Vmax ha il minimo valore quando il carico �e adattato alla linea. Alternativamente,si pu�o dire che a parit�a di tensione massima sulla linea, la potenza trasferita al carico �emassima quando esso �e adattato. Questa considerazione �e importante poich�e in generaleper ogni linea di trasmissione esiste un valore massimo della di�erenza di potenziale trai due conduttori, superando la quale scocca l'arco elettrico e la linea �e irreparabilmentedanneggiata. Dalla (6.5) risulta evidente l'importanza di lavorare con un ROS quantopi�u possibile prossimo a uno.

B) Adattamento energetico del generatoreSupponiamo che nel circuito di Fig.6.1 il generatore sia �ssato, mentre si possa cambiare

x6.2 { Tipi di adattamento di impedenza 95

il valore dell'impedenza di ingresso Zing cambiando l'impedenza di carico ZL oppure lecaratteristiche della linea di trasmissione. Possiamo chiederci qual'�e il valore di Zing

che permette di estrarre la massima potenza da quel generatore e trasferirla al carico.Riscriviamo la (6.1) ricordando che RefZingg = (Zing + Z�ing)=2:

PB =jVgj24

Zing + Z�ing

(Zg + Zing)(Z�g + Z�ing)(6.7)

e calcoliamone la derivata rispetto a Zing:

@PB

@Zing

=jVgj24

1

Z�g+ Z�ing

Zing + Zg � Zing � Z�ing

(Zg + Zing)2=

jVgj24

1

Z�g+ Z�ing

Zg � Z�ing

(Zg + Zing)2(6.8)

Tale derivata si annulla quando Zing = Z�g, condizione che si de�nisce di adattamento

energetico. La potenza erogata dal generatore in tal caso �e detta potenza disponibile delgeneratore e vale

Pdisp =1

2

jVgj24Rg

(6.9)

dove Rg = RefZgg �e la resistenza interna del generatore. Questa �e la massima potenzache quel generatore �e in grado di fornire.

�E interessante osservare che la potenza erogata da un certo generatore in una condi-zione di carico generica si pu�o scrivere come

PB = Pdisp(1� j k�ingj2) (6.10)

dove k�ing �e un coe�ciente di ri essione generalizzato dell'impedenza Zing rispetto al-l'impedenza interna del generatore, introdotto da Kurokawa:

k�ing =Zing � Z�

g

Zing + Zg

=Zing + jXg � Rg

Zing + jXg +Rg

(6.11)

Si noti che quando Zg �e reale il coe�ciente di ri essione di Kurokawa coincide con quelloordinario, mentre �e un concetto diverso quando Zg �e complesso. Tuttavia coincide conl'usuale coe�ciente di ri essione dell'impedenza Zing + jXg rispetto a Rg e in questomodo pu�o essere determinato gra�camente con la carta di Smith.Posto poi

V�ing = x+ jy; (6.12)

V�g =Zg � Z1

Zg + Z1= a+ jb; (6.13)

si pu�o dimostrare che il luogo nel piano V�ing dei punti per cui �e PB=Pdisp = m con mcostante �e la circonferenza di equazione (vedi Fig. 6.2):

x2 + y2 � 2�x� 2�y + = 0 (6.14)


dove

� =ma

1� (1�m) (a2 + b2);

� = � mb

1� (1�m) (a2 + b2);

=m� 1 + a2 + b2

1� (1�m) (a2 + b2);

(6.15)

con centro nel punto di coordinate (�;�) e raggio

r =

p1�m(1� a2 � b2)

1� (1�m) (a2 + b2): (6.16)

In particolare, quando m = 0, cio�e la potenza erogata �e nulla, il luogo in questione �e lacirconferenza di raggio unitario e centro l'origine del piano V�ing, mentre, quando m = 1,ossia il generatore eroga la potenza disponibile, il luogo si riduce al punto di coordinate(a;� b).

m=0

m=0.2

m=0.4

m=0.6

m=0.8

m=1

Figura 6.2 Luoghi PB=Pdisp = m sulla carta di Smith, con V�g = 0: 5(�1 + j).

Si noti che quando �e soddisfatta la condizione di adattamento energetico, il ROSsulla linea pu�o essere maggiore di 1, essendo questo legato a jV�Bj. In altre parole,l'adattamento energetico �e indipendente dall'adattamento di uniformit�a. La condizionedi funzionamento ottimale del circuito di Fig. 6.1 �e quella in cui sia il carico sia ilgeneratore sono adattati alla linea. Infatti, in queste condizioni il generatore erogala massima potenza. Inoltre, a causa dell'adattamento di uiformit�a, la tensione sullalinea �e la massima possibile. Qualora le perdite non fossero trascurabili, l'attenuazioneintrodotta dalla linea sarebbe la minima e coinciderebbe con quella nominale. In�ne,come sar�a discusso in (dominio del tempo), la condizione di adattamento di uniformit�a�e essenziale per minimizzare le distorsioni.

Nel resto del capitolo mostreremo come si possono progettare dei trasformatori diimpedenza che permettano di raggiungere la condizione di adattamento.

x6.3 { Adattatori di impedenza 97

6.3 Adattatori di impedenza

Osserviamo innanzitutto che la rete di adattamento deve contenere almeno due elementiindipendenti, visto che devono essere soddisfatte due condizioni una sulla parte reale euna su quella immaginaria dell'impedenza di ingresso. Se la rete contiene pi�u di dueelementi indipendenti, si possono soddisfare condizioni di adattamento multiple, cio�e api�u frequenze o su una banda di frequenze. Per ora ci occupiamo del caso pi�u semplicedi adattamento a una singola frequenza.Si �e visto nella sezione precedente che per svariati motivi �e utile saper progettare dei

trasformatori di impedenza che svolgono la funzione indicata in Fig. 6.3. Nel caso dell'a-

ingZ

LZ

Figura 6.3 Schema di adattatore di impedenza.

dattamento di uniformit�a (o alla linea di trasmissione) Zing �e l'impedenza caratteristicaZ1 della linea di alimentazione. Nel caso dell'adattamento energetico, Zing �e la com-plessa coniugata dall'impedenza interna del generatore che deve alimentare il carico ZL.Esistono diverse soluzioni per questo problema, tutte costituite da reti idealmente privedi perdita. Noi discuteremo

. Cella a \L" con elementi reattivi concentrati

. Cella a singolo stub

. Cella a doppio e triplo stud

. Adattatore in �=4

6.3.1 Celle a L con elementi reattivi concentrati

Sono possibili due strutture (vedi Fig.6.4) Si vedr�a tra breve che la rete di Fig. 6.4a

jXjB LZ

ingZ

jXjB LZ

ingZ

(a) (b)

Figura 6.4 Schema di adattatore a L: (a) se Ring < RL e (b) se Ring > RL.


si usa quando Ring < RL, quella di Fig. 6.4b nell'altro caso. Ragioniamo sulla primacon�gurazione. La condizione che deve essere veri�cata ai terminali di ingresso �e

Ring + jXing = jX +1

jB + 1RL+jXL

(6.17)

Questa �e un'equazione complessa nelle due incognite reali B e X che pu�o essere risoltaseparando parte reale e immaginaria del secondo membro. Con qualche trasformazionealgebrica si trova

2� membro = jX +RL + jXL

1�BXL + jBRL

=

= jX +(RL + jXL)[(1� BXL � jBRL]

(1�BXL)2 + (BRL)2=

= jX + jXL(1�BXL)� BR2

L

(1� BXL)2 + (BRL)2+

+RL(1� BXL)� BRLXL

(1�BXL)2 + (BRL)2=

=RL

B2(R2L+X2

L)� 2BXL + 1

+

+ j

(X +

XL � B(R2L+X2

L)

B2(R2L+X2

L)� 2BXL + 1

)Imponiamo l'uguaglianza tra primo e secondo membro

Ring =RL

B2(R2L+X2

L)� 2BXL + 1

Xing = X +XL �B(R2

L+X2

L)

B2(R2L+X2

L)� 2BXL + 1

(6.18)

Dalla prima si ottiene un'equazione di secondo grado in B:

(R2L+X2

L)B2 � 2XLB + (1� RL

Ring

) = 0 (6.19)

che ha le soluzioni

B =1

R2L+X2

L

(XL �

sRL

Ring

qR2L+X2

L� RingRL

)(6.20)

I corrispondenti valori di X si trovano dalla seconda delle (6.18). Per l'applicabilit�adi queste formule si richiede naturalmente che il radicando sia positivo: si veri�ca checi�o �e assicurato se Ring < RL, come era stato anticipato. Nel caso questa condizionenon sia soddisfatta, occorre fare uso della con�gurazione di Fig. 6.4b. In questo caso lacondizione da imporre �e

1

Ring + jXing

= jB +1

jX + (RL + jXL)(6.21)


da cuiRing � jXing

R2ing +X2

ing

= jB +RL � j(X +XL)

R2L+ (X +XL)2

(6.22)

Eguagliando parte reale e parte immaginaria dei due membri si ottengono le due equazioni

Ring

R2ing +X2

ing

=RL

R2L+ (X +XL)2

� Xing

R2ing +X2

ing

= B � X +XL

R2L+ (X +XL)2

(6.23)

Dalla prima equazione si ricava X:

(X +XL)2 =

RL

Ring

(R2ing +X2

ing)�R2L

(6.24)

da cui segue

X = �XL �qR2ing +X2

ing � RLRing

sRL

Ring

(6.25)

In�ne, dalla seconda delle (6.23) si ottiene subito B. Si noti che il radicando �e certamentepositivo se Ring > RL.In tal modo abbiamo risolto il problema di adattamento con piena generalit�a. Natu-

ralmente, nel caso di adattamento di uniformit�a a una linea di trasmissione, le formule si

sempli�cano poich�e Xing = 0. �E utile riottenere la soluzione del problema di adattamentoproposto per via gra�ca, tramite la carta di Smith.La suscettanza B e la reattanza X possono essere realizzate con componenti concen-

trati (condensatori e induttori) se la frequenza �e abbastanza bassa. Il limite superiorepu�o essere �ssato a quella frequenza a cui la dimensione del componente �e dell'ordinedi �=10. Ci�o signi�ca che con le usuali tecnologie si pu�o usare questa tecnica di adat-tamento �no a frequenze di qualche GHz (vedi Pozar p. 287). Alternativamente, perfrequenze nel campo delle microonde, B e X possono essere realizzate con tratti di lineadi trasmissione chiusi in corto circuito o circuito aperto che, come discusso nel paragrafo3.6, hanno impedenza di ingresso puramente reattiva.

6.3.2 Adattatori a stub singoli

Gli adattatori di questo tipo sono costituiti sostanzialmente da un tratto di linea ditrasmissione e da una reattanza pura, che pu�o essere connessa in serie o in parallelo allalinea stessa. tale reattanza a sua volta �e realizzata con un tratto di linea di trasmissione,detto \stub", chiuso in corto circuito o lasciato in circuito aperto. Supponiamo di doverprogettare un adattatore di uniformit�a con stub in parallelo, (Fig. 6.5), realizzato contratti di linea di trasmissione con la stessa impedenza caratteristica della linea di accesso.L'adattatore �e un trasformatore di impedenza: la sua impedenza di ingresso normalizzatadeve essere yA� = 1 quando esso �e chiuso su yL. Sappiamo che il luogo delle yA+ sullacarta di Smith delle ammettenze al variare di lAB �e una circonferenza di centro l'origine eraggio pari a j�Lj. Questa circonferenza interseca la circonferenza a conduttanza costanteg = 1 nei punti I1 e I2 (vedi Fig. 6.6. Entrambi i punti indicano valori di yA+ che hanno la


-A+ B

sjb∞Z ∞ZLZ

Figura 6.5 Adattatore di uniformit�a con stub in parallelo.

zL

yL

y = 1

I1

I2

Figura 6.6 Carta di Smith relativa al progetto dell'adattatore di Fig. 6.5

parte reale richiesta. Dai punti suddetti si ariva al centro della carta di Smith scegliendola suscettanza bs:

bs = �ImfyA+g: (6.26)

Usando ancora la carta di Smith �e immediato determinare la lunghezza dello stub inmodo che la suscettanza di ingresso sia proprio quella voluta. La lunghezza del tratto dilinea AB si ricava dalla rotazione necessaria per passare da yL a I1 (o I2).

EsempioProgettare un adattatore di uniformit�a con stub in parallelo chiuso in corto circuito con ZL =125 + 125j e Z1 = 50 .

Si trova �L = ZL=Z1 = 2;5 + 2;5j e quindi yL = 0;2 + 0;2j; si ricava j I�Lj = 0;67 e lunghezzaelettrica equivalente 0,0326 (vedi Fig. 6.7). Dall'intersezione della circonferenza a modulo di

j I�j costante con la circonferenza Refyg = 1 si ottiene yA+ = 1 + 1;84j e quindi bs = �1;84.Essendo 0,1843 la lunghezza elettrica equivalente di I�A+ , la lunghezza del tratto AB risulta(0;1843 � 0;0326)� = 0;1517�. Lo stub invece �e lungo ls = (0;329 � 0;25)� = 0: 079�.

Naturalmente esiste anche la soluzione bs = 1;84 corrispondente a yA+ = 1 � 1;84j. In

tal caso la lunghezza del tratto AB diviene 0: 283� e quella dello stub (ancora chiuso in cortocircuito) risulta ls = 0: 421�.

Il tratto AB potrebbe essere allungato di un multiplo intero di �=2. L'impedenzadi ingresso dell'adattatore sarebbe sempre Z1 alla frequenza di progetto, ma la sua


banda sarebbe pi�u piccola. Vale infatti la regola generale: la banda di un componente �etanto pi�u piccola quanto pi�u grande �e l'energia che il dispositivo pu�o immagazzinare. Inassenza di componenti concentrati, la quantit�a di energia immagazzinata �e proporzionalealle dimensioni elettriche del componente stesso. Analogo discorso vale ovviamente perla lunghezza dello stub.

Ly

+Ay

+Ay

λABl

-Ay λ

ABl

0,0326

0,1843

Figura 6.7 Carta di Smith relativa al progetto dell'adattatore dell'esempio

Il procedimento descritto per progettare un adattatore di uniformit�a pu�o essere ge-neralizzato per risolvere il problema degli adattatori energetici. In questo caso il puntodi arrivo sulla carta di Smith non �e il centro, ma un punto generico, corrispondente alcomplesso coniugato dell'impedenza interna del generatore. La struttura dell'adattatore


�e ancora la stessa di prima:

1. un tratto di linea di trsmissione, che permette di ottenere la parte reale dell'ammet-tenza di ingresso desiderata;

2. una suscettanza in parallelo che modi�chi la parte immaginaria dell'ammettenza diingresso �no a portarla al valore desiderato.

Il problema, ora, �e che non sempre il passo 1 pu�o essere e�ettuato con successo. Ossia,data una ammettenza di carico YL, con un adattatore del tipo di Fig. 6.5 si possonoraggiungere i punti della carta di Smith appartenenti alla regione Rd (vedi Fig. 6.8).Infatti, al variare della lunghezza della linea AB la parte reale dell'ammettenza di ingresso

gm

gM

Rd

yL

Figura 6.8 La regione Rd contiene tutti i punti che rappresentano leammettenze di ingresso di un adattatore a stub esendo yL l'ammettenza

di carico.

�e sempre compresa tra i valori gm e gM de�niti dall'intersezione tra la circonferenza a

j�j =cost. passante per yL e l'asse reale. �E imediato trovare

gm =1

gM=

1� j�Lj1 + j�Lj =

1

S; (6.27)

dove S �e il ROS del carico. Per inciso, �e facile rendersi conto che, qualunque sia yL,la regione Rd contiene sempre l'origine, per cui l'adattameto di uniformit�a pu�o esseresempre realizzato.Qualora l'ammettenza y�

gda realizzare sia fuori della regione Rd, si pu�o ancora utilizza-

re un adattatore a stub a patto di rovesciare la struttura, come mostrato in Fig. 6.9, ossiasi impiega un adattatore a \L rovesciato", essendo detto a \L dritto" quello di Fig. 6.5.In tal caso, infatti, i valori di yA� ottenibili a partire da yL sono quelli appartenenti allaregione Rr (vedi Fig. 6.10). La regione Rr �e la corona circolare compresa tra il cerchiocon raggio j�j = 1 e quello con raggio j�j = jgL � 1j=jgL + 1j. Si vede che l'unione diRr e Rd �e pari all'intera carta di smith, quindi qualunque problema di adattamento pu�oessere risolto con un adattatore a stub (a L diritto a rovesciato). Inoltre l'intersezionedi Rr e Rd non �e vuota, per cui la soluzione pu�o essere ottenuta con entrambi i tipi diadattatore.

EsempioProgettare un adattatore energetico con stub in parallelo in circuito aperto con ZL = 150 +


-B+A

sjb∞Z∞Z LZ

Figura 6.9 Adattatore a stub a \L rovesciato".

Rr

yL

gL

Figura 6.10 La regione Rr contiene tutti i punti che rappresentano leammettenze di ingresso di un adattatore a stub esendo yL l'ammettenza di

carico.

300j , Zg = 75� 75j e Z1 = 75 .

Si calcolano ��

g = 1 + j e �L = 2 + 4j, quindi con l'ausilio della carta di Smith si passa alle

ammettenze y�

g = 0;5 � 0;5j e yL = 0;1 � 0;2j. Si trova poi yA+ = 0;5 + 2j, bs = �2;5, lalunghezza del tratto AB risulta 0;221� e quella dello stub ls = 0;3106�. Scegliendo invece

yA+ = 0;5� 2j, si ottiene bs = 1;5, la lunghezza del tratto AB pari a 0;3524� e ls = 0;1564�.

Il motivo per cui si sono sempre proposti esempi di connessione in parallelo degli stub�e che questa connessione �e pi�u facile da realizzare. Si pensi per esempio a una linea inmicrostriscia.

6.3.3 Adattatore a � (doppio stub)

Anche se gli adattatori a L diritto o rovesciato possono risolvere ogni problema di adat-tamento, a volte si usano adattatori a doppio stub, detti anche a � per la loro forma. Lo

schema �e riportato in Fig. 6.12. �E chiaro che le suscettanze degli stub e la loro separa-zione possono essere scelte in in�niti modi diversi. A volte la distanza AB viene �ssataa priori. In tal caso le soluzioni sono al pi�u due, ma non esistono sempre. Il progetto sipu�o e�ettuare in due modi equivalenti, partendo dal carico o dal generatore. Partendodal carico (vedi Fig. 6.13) si procede cos��:


1. si disegna la circonferenza a conduttanza costante passante per yL: questo �e il luogodi tutte le possibili yB� al variare dello stub in B;

∗gy

Ly

+Ay

+Ay

λABl

λABl

Figura 6.11 Carta di Smith relativa al pro-getto dell'adattatore energetico del'esempio.

2. si ruota l'intera circonferenza di d=� verso il generatore e si ottiene il luogo delleyA+;

3. tale circonferenza interseca quella a conduttanza costante passante per yA� nei puntiI1 e I2. Da questi punti si passa a yA� con lo stub di suscettanza b1 = ImfyA�g �ImfyA+g;

4. de�nito il valore di b1 si ricava yB� e quindi b2 = ImfyB�g � ImfyLg.


BA

LZ

Figura 6.12 Adattatore a doppio stub

d/λ

yL

yi

I1

I2

Figura 6.13 Progetto di adattatore a doppio stub partendo dal carico.

La procedura per il progetto dell'adattatore, partendo dale generatore �e la seguente (vediFig. 6.14):

1. si disegna la circonferenza a conduttanza costante passante per yA�: esso �e il luogodi tutte le possibili yA+ al variare dello stub in A;

2. si ruota questa circonferenza di d=� verso il carico, ottenendo cos�� il luogo delle yB�;

3. questa circonferenza ha intersezioni I3 e I4 con quella a conduttanza costante pas-sante per yL. Questi punti de�niscono yB�, per cui si pu�o trovare b2 = ImfyB�g �ImfyLg;

4. trovato b2, si ricava yA+ e da questo b1 = ImfyA�g � ImfyA+g.Naturalmente anche se i diagrammi sulla carta di Smith sono diversi nei due casi, i valoridi b1 e b2 sono gli stessi.Si �e visto che l'adattatore a doppio stub, con lunghezza della linea pre�ssata, non �e

sempre in grado di realizzare l'adattamento. Questa limitazione non �e presente nel casodell'adattatore a triplo stub con distanze pre�ssate (vedi Fig. 6.15). In tal caso, infatti,l'adattamento si sempre ottenere, a patto di scegliere opportunamente le lunghezze deglistub. Questo dispositivo pu�o essere utile in laboratorio: vi sono delle realizzazioni incavoo coassiale in cui la lunghezza degli stub �e variata con degli stantu� mobili. Volendoe�ettuare un progetto, si pu�o seguire il metodo descritto pi�u sopra. La procedura �e laseguente:


I2

I1

yL

yi

d/λ

Figura 6.14 Progetto di adattatore a doppio stub partendo dall'ingresso.

CBA

LZ

1jb 2jb 3jb

Figura 6.15 Adattatore a triplo stub.

1. si disegnano le circonferenze a conduttanza costante passanti per yL e yA�;

2. si ruota la prima verso il generatore di d2=� e la seconda verso il carico di d1=�. Esserappresentano i luoghi di yB� e yB+ rispettivamente. Si intersecano in due punti edil valore di b2 �e dato da b2 = ImfyB�g � ImfyB+g;

3. de�niti yB� e yB+ si ricavano yA+ e yC� e, sulla base di questi, b1 e b3.

6.3.4 Adattatori a �=4

Questo adattatore, nella sua forma pi�u semplice, permette solo di adattare impeden-ze reali ed �e costituito da un tratto di linea di trasmissione, di opportuna impeden-za caratteristica, lungo un quarto di lunghezza d'onda alla frequenza di progetto. Loschema �e riportato in Fig. 6.16. L'impedenza d'ingresso normalizzata �e pari all'inversodell'impedenza normalizzata di carico:

�A =1

�L; (6.28)

da cui

ZA =Z21

RL

: (6.29)


A BiR

LR∞Z

Figura 6.16 Adattatore a �=4 tra impedenze reali.

Imponendo che l'impedenza di ingresso ZA coincida con l'impedenza d'ingresso Ri, sitrova

Z1 =qRLRi: (6.30)

Quindi il tratto di line AB deve avere impedenza caratterisitica pari alla media geometricadelle due resistenze da adattare.Nel caso in cui le due impedenze da adattare siano complesse si pu�o usare un adat-

tatore costituito da un tratto �=4 inserito tra due tratti di linea il cui scopo �e quello ditrasformare le due impedenze complesse in resistenze pure, come indicato in Fig. 6.17.

A B CiZ

LZ

D

4λ1d 2d

∞Z1Z 2Z

Figura 6.17 Adattatore a �=4 tra carichi complessi.

Capitolo 7

La matrice Scattering

7.1 Introduzione

Il pi�u semplice dispositivo elettrico �e un bipolo che �e in generale caratterizzato tramite lasua impedenza ZL, (o il suo inverso, cio�e l'ammettenza YL), de�nita come rapporto trala tensione applicata ai suoi morsetti V e la corrente I che lo attraversa. Supponiamoche il bipolo sia lineare, per cui l'impedenza ZL non dipende dall'eccitazione, ma solodalla frequenza. Spesso una coppia di morsetti di un dispositivo �e chiamato \porta"; unbipolo �e quindi un circuito con una sola porta.Come �e noto dall'Elettrotecnica, questi concetti si possono generalizzare al caso di

dispositivi con molte coppie di morsetti, o porte, diciamo N . �E molto importante il casodei doppi bipoli N = 2 (vedi Fig.7.1).In generale le due tensioni V1 e V2 dipendono sia da I1 sia da I2(

V1 = Z11I1 + Z12I2

V2 = Z21I1 + Z22I2(7.1)

dove Zij sono solo funzioni della frequenza nel caso, a cui noi limiteremo sempre la nostraattenzione, di reti lineari. La relazione (7.1) si pu�o scrivere in forma matriciale:

[V ] = [Z][I] (7.2)

dove [V ] = [V1 V2]T ; [I] = [I1 I2]

T sono vettori colonna e la matrice 2 � 2, [Z] �e dettamatrice delle impedenze a vuoto. Il motivo di questo nome deriva dal fatto che i suoi

I1 I2

V1 V2

Figura 7.1 Doppio bipolo con le de�nizioni di tensione e corrente alle due porte

109

110 7 { La matrice Scattering

elementi si calcolano, come si desume dalla (7.1), in base alla seguente equazione:

Zij =Vi

Ij

��Ik=0;k 6=j

(7.3)

ossia tutte le porte, eccetto la j-esima, devono essere lasciate in circuito aperto. Ov-viamente la (7.2) pu�o descrivere anche una struttura a N porte e in tal caso, [Z] �e unamatrice complessa N �N . Notiamo che la matrice [Z(!)] si pu�o interpretare come unafunzione di trasferimento tra le varie correnti impresse (ingressi) e le tensioni a tutte leporte (uscite).Come per un bipolo si usa introdurre l'ammettenza YL = 1=ZL, cos�� per una struttura

a N porte si pu�o introdurre la matrice delle ammettenze di corto circuito [Y ]. Nel casoN = 2 la dipendenza lineare tra le correnti e le tensioni si esprime nella forma:(

I1 = Y11V1 + Y12V2

I2 = Y12V1 + Y22V2(7.4)

ossia, in formalismo matriciale,[I] = [Y ][V ] (7.5)

dove, dal confronto con la (7.2) segue che [Y ] = [Z]�1. Il nome della matrice [Y ] derivadal fatto che i suoi elementi si calcolano dalla (7.4) come:

Yij =Ii

Vj

��Vk=0;k 6=j

(7.6)

Si pu�o dimostrare [Pozar] che le matrici [Z] e [Y ] sono simmetriche (Zij = Zji) nel casodi strutture reciproche. Inoltre i loro elementi sono immaginari puri nel caso di strutturesenza perdite.La potenza totale dissipata dal dispositivo �e la somma delle potenze entranti alle varie

porte:

Pd =1

2<fV1I�1 + V2I

�

2+: : :+VNI�

Ng = 1

2<f

NXi=1

ViI�

ig = 1

2<f[V ]T [I]�g (7.7)

Tutto quanto abbiamo richiamato �e appropriato nel caso di reti a parametri concentrati.Supponiamo ora che a ciascuna delle N porte del dispositivo, siano collegate delle lineedi trasmissione, ciascuna caratterizzata dalla sua impedenza caratteristica Z1i e dallasua costante di propagazione ki. Abbiamo visto nel capitolo 1 che lo stato elettricodi una linea di trasmissione si speci�ca in modo naturale (e nel modo pi�u semplice)assegnando i valori di tensione progressiva V + e regressiva V � e cio�e con riferimento allabase delle onde progressiva e regressiva. Di conseguenza, se un bipolo �e connesso allalinea, esso risulta pi�u convenientemente descritto in termini del coe�ciente di ri essionepiuttosto che tramite la sua impedenza o ammettenza. Ebbene quello che faremo ora �egeneralizzare questo concetto al caso di strutture a N porte, introducendo un coe�cientedi ri essione matriciale, che viene normalmente chiamato matrice di di�usione o, moltopi�u frequentemente con termine inglese, matrice scattering omatrice S. Le ampiezze delleonde progressiva e regressiva sulla linea vengono per�o speci�cate tramite le cosiddetteonde di potenza (power waves) a e b, rispettivamente proporzionali a V + e V �, de�nite

x7.1 { Introduzione 111

nel modo seguente. Si �e visto nel capitolo 3 che la potenza attiva netta transitante suuna linea con impedenza caratteristica reale si ottiene da:

Pt =1

2Y1jV +j2 � 1

2Y1jV �j2 (7.8)

Se poniamo

a =qY1 V +; b =

qY1 V � (7.9)

la precedente equazione si riscrive:

Pt =1

2jaj2 � 1

2jbj2 (7.10)

In relazione all'eq. (1.83) si era data una interpretazione geometrica alla rappresentazionedello stato elettrico di una linea in termini di onde progressiva e regressiva. Con la scelta(7.9) si ha:

V (z)

I(z)

!= a(z)

0@ pZ1pY1

1A+ b(z)

0@ pZ1

�pY1

1A (7.11)

e gli stati di base hanno norma 1=2 nel senso che trasportano una potenza pari a 1=2[W]. Ovviamente, la legge di variazione dei segnali a e b �e la stessa di V + e V �:

a(z) = a(0)e�jkz

b(z) = b(0)e+jkz(7.12)

Inoltre essi sono legati dab(z) = �(z)a(z) (7.13)

dove �(z) �e il coe�ciente di ri essione del carico su cui la linea �e chiusa. Osserviamoche l'impedenza caratteristica della linea svolge il ruolo di un'impedenza di riferimento,rispetto a cui il coe�ciente di ri essione �e calcolato.Possiamo ora generalizzare questi concetti al caso di un dispositivo a N porte indivi-

duate dall'indice i = 1;2: : : N . Per ogni porta assegniamo una impedenza di riferimentoZriche si pu�o interpretare come l'impedenza caratteristica di una linea di trasmissioneconnessa alla porta stessa. Su tale linea introduciamo le onde di potenza:

ai =qYri V

+i; bi =

qYri V

�

i(7.14)

Nel caso di un doppio bipolo (N = 2) avremo (vedi Fig.7.2):

b1 = S11a1 + S12a2

b2 = S21a1 + S22a2(7.15)

ossia le onde di�use sulle linee di accesso dipendono dalle onde incidenti a tutte le portein generale. Si noti che l'asse longitudinale (asse z) per ogni linea �e orientato in modo dapuntare verso il dispositivo. Se introduciamo ora i vettori colonna [a] = [a1a2]

T e [b1b2]T ,

la (7.15) si pu�o riscrivere in forma matriciale:

[b] = [S][a] (7.16)


a1

b1

a2

b2

Figura 7.2 Doppio bipolo con le de�nizioni delle onde di potenza alle due porte

dove [S] �e una matrice complessa 2 � 2 detta matrice scattering. Ovviamente la formadella relazione (7.16) �e valida anche per una struttura a N porte, nel qual caso [S] �e unamatrice N �N . Dalla (7.15) risulta che i suoi elementi Sij si calcolano da:

Sij =bi

aj

��ak=0;k 6=j

(7.17)

da cui �e evidente il carattere di coe�ciente di ri essione generalizzato degli elementidalla matrice S. I termini sulla diagonale principale (i = j) sono gli usuali coe�cienti diri essione visti alla porta i quando tutte le altre sono chiuse sulle rispettive impedenzedi riferimento in modo da avere solo onde che si allontanano dal dispositivo. I terminifuori dalla diagonale si potrebbero de�nire coe�cienti di transri essione, sempre nellecondizioni di adattamento di cui sopra. Pi�u comunemente, si chiamano coe�cienti ditrasmissione.Anche se la caratterizzazione di un dispositivo tramite la sua matrice [S] �e, da un punto

di vista teorico, del tutto equivalente (a meno dei casi singolari) a quella in termini dimatrici [Z] o [Y ], essa �e in realt�a l'unica a essere praticamente impiegata nel campo dellemicroonde. I motivi sono svariati, tra questi:

. tensione e corrente non sempre sono grandezze ben de�nite (p. es. in una guidad'onda)

. le ampiezze a e b possono essere misurate direttamente con strumenti detti \analiz-zatori di reti" (network analyzer). In genere interessa una caratterizzazione a largabanda dei dispositivi ed �e molto pi�u facile ottenere dei carichi adattati a larga bandapiuttosto che dei corti circuiti o circuiti aperti, che sono i carichi di riferimento perle matrici [Y ] e [Z].

7.2 Relazione tra le matrici [S] e [Z]

Abbiamo dato, in (7.17) una de�nizione esplicita degli elementi della matrice [S]. Esisteuna relazione tra la matrice [S] e la matrice delle impedenze a vuoto [Z] che generalizzaquella del caso scalare (eq.(3.30)). Si dimostra infatti che:

[S] = f[�]� [1]gf[�] + [1]g�1 (7.18)

dove [1] �e la matrice identit�a di dimensione N e [�] �e la matrice delle impedenze a vuotonormalizzate del dispositivo:

[�] = [Zr]�1=2[Z][Zr]

�1=2 (7.19)

x7.3 { Calcolo della potenza dissipata da un dispositivo 113

Abbiamo indicato con [Zr] la matrice diagonale i cui elementi sono le impedenze diriferimento. Nel caso di un bipolo (N = 1) la precedente diventa � = Z=Zr, come gi�adiscusso in relazione all'eq.(3.4).L'eq. (7.18) si dimostra nel modo seguente. Partiamo dalla caratterizzazione della

struttura in termini di impedenze:

[V ] = [Z][I] (7.20)

Esprimiamo ora [V ] e [I] in termini di onde di potenza [a] e [b]:

[V ] = [V +] + [V �] = [Zr]1=2 ([a] + [b])

[I] = Y1�[V +]� [V �]

�= [Yr]

1=2 ([a]� [b])

Sostituiamo nella (7.20):

[Zr]1=2 ([a] + [b]) = [Z][Yr]

1=2 ([a]� [b])

Svolgendo i prodotti e mettendo in evidenza [Zr]1=2 da sinistra nei due membri, si trova

[Zr]1=2�[Yr]

1=2[Z][Yr]1=2 + [1]

�[b] = [Zr]

1=2�[Yr]

1=2[Z][Yr]1=2 � [1]

�[a]

Eliminando il fattore comune [Zr]1=2 le (7.18) e (7.19) seguono immediatamente.

La relazione inversa della (7.18) �e

[Z] = [Z1]1=2f[1] + [S]gf[1]� [S]g�1[Z1]1=2 (7.21)

In modo analogo si dimostrano le seguenti relazioni tra la matrice scattering e quellaammettenza di corto circuito:

[S] = f[1]� [y]gf[1] + [y]g�1 (7.22)

dove la matrice delle ammettenze normalizzate �e:

[y] = [Zr]1=2[Y ][Zr]

1=2 (7.23)

La relazione inversa a (7.22) �e:

[Y ] = [Z1]�1=2f[1]� [S]gf[1] + [S]g�1[Z1]�1=2 (7.24)

7.3 Calcolo della potenza dissipata da un dispositivo

Consideriamo un dispositivo conN porte, caratterizzato tramite la sua matrice scattering[S]. La potenza dissipata in esso �e pari alla somma delle potenze nette entranti che uiscono lungo ogni linea di trasmissione di accesso:

Pd =1

2

NXi=1

(jaij2 � jbij2) = 1

2([a]T�[a]� [b]T�[b]) (7.25)

dove [a] e [b] sono vettori colonna di dimensione N . Ora, ricordiamo che:

[b] = [S][a]; [b]T� = [a]T�[S]T� (7.26)


per cui

Pd =1

2[a]T�([1]� [S]T�[S])[a] (7.27)

�E immediato rendersi conto che questa equazione, per N = 1 si riduce alla

Pd =1

2

jV +j2Z1

(1� j�j2) (7.28)

Osserviamo che se il dispositivo �e privo di perdite, Pd = 0 per ogni eccitazione e quindila matrice [S] gode della propriet�a:

[S]T�[S] = [1] (7.29)

ovvero[S]�1 = [S]T� (7.30)

Una matrice che soddisfa la precedente relazione si dice unitaria. Nel caso N = 2 le

equazioni precedenti si esplicitano cos�i:

jS11j2 + jS21j2 = 1

jS12j2 + jS22j2 = 1

jS11j2 + jS12j2 = 1

jS21j2 + jS22j2 = 1

S11S�

12 + S21S�

22 = 0

S11S�

21 + S12S�

22 = 0

(7.31)

Queste relazioni hanno un'interpretazione geometrica: le righe (e le colonne) di unamatrice unitaria costituiscono una base ortonormale nello spazio vettoriale complesso aN dimensioni.

7.3.1 Propriet�a della matrice scattering [S] di un dispositivo

. Un dispositivo reciproco possiede una matrice scattering simmetrica: [S] = [S]T .(Ricordiamo che un circuito comprendente resistenze, capacit�a, induttanze e lineedi trasmissione �e sempre reciproco)

. Un dispositivo senza perdite possiede una matrice scattering unitaria: [S]T�[S] = [1].

. Un dispositivo passivo possiede una matrice [S] tale che tutti gli autovalori di[S]T�[S] hanno modulo minore di (o al pi�u uguale a) 1.

. Un dispositivo attivo ha una matrice [S] tale che almeno un autovalore di [S]T�[S]ha modulo maggiore di 1.

7.4 Cambiamento delle impedenze di riferimento

Supponiamo che di un dispositivo sia assegnata la matrice scattering [So] rispetto a uninsieme di impedenze di riferimento [Zro]. di accesso, Supponiamo poi di speci�care un

x7.4 { Cambiamento delle impedenze di riferimento 115

nuovo insieme di impedenze di riferimento [Zrn] e si voglia calcolare la nuova matricescattering [Sn].A�rontando il problema con gradualit�a, consideriamo il caso di un bipolo con coe�-

ciente di ri essione �o rispetto a Zro. Il suo coe�ciente di ri essione �n rispetto a Zm siricava da:

�n =Z � Zrn

Z + Zrn

(7.32)

con

Z = Zro

1 + �o

1� �o(7.33)

Sostituendo ed elaborando, troviamo:

�n =

Zro

1 + �o

1� �o� Zrn

Zro

1 + �o

1� �o+ Zrn

=(Zro � Zrn) + �o(Zro + Zrn)

(Zro + Zrn) + �o(Zro � Zrn)=

�no + �o

1 + �no�o(7.34)

dove si �e introdotto il coe�ciente di ri essione

�no =Zro � Zrn

Zro + Zrn

A�rontiamo ora il caso di un dispositivo a N porte. Dalla (7.18) �e

[S2] =[�2]� 1

[�2] + 1(7.35)

dove

[�2] = [Zr2]�1=2[Z][Zr2]

�1=2 = [Zr2]�1=2[Zr1]

1=2[�1][Zr1]1=2[Zr2]

�1=2 =

= [R][�1][R](7.36)

avendo posto [R] = [Zr2]�1=2[Zr1]

1=2. Si ricordi che queste matrici sono diagonali e quindicommutano. Esprimiamo [�1] in funzione della matrice [S1] e sostituiamo in (7.35)

[S2] =

[R][1] + [S]

[1]� [S][R]� [1]

[R][1] + [S]

[1]� [S][R] + [1]

=

[R][1] + [S]

[1]� [S]� [R]�1

[R][1] + [S]

[1]� [S]+ [R]�1

=

=([R]� [R]�1) + ([R] + [R]�1)[S]

([R] + [R]�1) + ([R]� [R]�1)[S]=

[S]12 + [S]

[1] + [S]12[S]

(7.37)

dove si �e posto

[S]12 =[R]� [R]�1

[R] + [R]�1=

[R]2 � 1

[R]2 + 1(7.38)

Osserviamo che questo risultato si pu�o ricavare anche dalle formule generali che fornisconola matrice [S] della cascata di due strutture, discusse nella sezione 7.6.


7.5 Spostamento dei piani di riferimento

La matrice [S] di un dispositivo descrive la sua caratteristica ingresso/uscita nella basedelle onde progressive e regressive su ciascuna linea di accesso. Le ampiezze di tali ondesono numeri complessi che variano con la coordinata longitudinale. Quindi una speci�camatrice S ha signi�cato univoco rispetto a una precisa scelta di piani di riferimento.Vediamo ora come si trasforma una matrice S assegnata a seguito di una traslazione diquesti piani. Consideriamo un dispositivo con N porte con matrice scattering S0 (vediFig.7.3). Le ampiezze delle onde incidenti e ri esse alla porta i sono indicate con a0i eb0i rispettivamente. Le stesse ampiezze ma ad una distanza li(> 0) allontanandosi daldispositivo sono ai, bi date da

ai = a0iejkili ; bi = b0ie

�jkili (7.39)

dove ki �e la costante di propagazione sulla linea connessa alla porta i. Ovviamente,analoghe relazioni valgono per i = 1;2; : : : ;N . Se ora introduciamo i vettori colonna [a],[b], [a0], [b0], con componenti rispettivamente ai, bi, a0i, b0i, le precedenti equazioni sipossono scrivere in forma matriciale:

[a] = [expf+jklg] [a0][b] = [expf�jklg] [b0]

(7.40)

dove [expf�jklg] �e una matrice diagonale data da:

exp(�jkl) = diagf expf�jk1l1g : : : expf�jkN lNg g (7.41)

Indichiamo con [S] la matrice scattering della nuova struttura ottenuta traslando i piani

ai

bi

[S]

[S0]

porta j

porta i

a0i

b0i

li

lj

a0j

b0j

aj

bj

Figura 7.3 Spostamento piani di riferimento

di riferimento. Se [S0] �e la matrice scattering della struttura originaria, allora si ha:

[b0] = [S0][a0] (7.42)

Sostituendovi le (7.40) si trova

[b] = [expf�jklg][S0][expf�jklg][a] (7.43)

x7.6 { Connessione di strutture 117

In altre parole, �e[S] = [expf�jklg][S0][expf�jklg] (7.44)

Esplicitiamo questa relazione. Per gli elementi della diagonale principale

Sii = S0iie�2jkili (7.45)

�E immediato riscontrare l'analogia con la legge di trasformazione (Eq.(3.33)) dei coe�-cienti di ri essione. Del resto ci�o non deve stupire, visto che tali elementi della matriceS sono proprio i coe�cienti di ri essione alla porta i quando tutte le altre sono chiusesulle rispettive impedenze di riferimento. Per gli altri elementi la relazione precedente sigeneralizza in

Sij = S0ije�j(kili+kj lj) (7.46)

7.6 Connessione di strutture

Molto spesso �e conveniente pensare un sistema complicato come costituito di vari blocchipi�u semplici interconnessi. Supponendo di conoscere le matrici scattering dei vari blocchi,sorge quindi il problema di calcolare la matrice scattering della struttura complessiva.Facendo riferimento alla Fig. 7.4, consideriamo due strutture, la prima con N + K

porte, la seconda con K + N porte, che devono essere connesse attraverso le K porte,dando luogo a una struttura complessiva con N +M porte.Nel de�nire le onde di potenza alle varie porte, �e conveniente usare un formalismo

vettoriale, distinguendo per�o quelle relative alle porte che poi saranno connesse dallealtre.

[a1]

[b1]

[a’’][b’’]

[a’][b’]

[a2][b2]

N porteK porteK porte

M porte

S’(N+K)(N+K) S’’(K+M)(K+M)

S(N+M)(N+M)

1 2

Figura 7.4 Connessione di due strutture

Questa operazione implica una partizione in blocchi delle matrici scattering delle duestrutture. La prima si scrive

Nf

Kf

0@ [b1]� � �[b0]

1A =

0BB@ [S 011]... [S 012]� � � � � �

[S 021]... [S 022]

1CCA0@ [a1]� � �[a0]

1A gN

gK(7.47)


dove i blocchi [S 0ij] hanno le seguenti dimensioni:

[S 011] ! N �N

[S 012] ! N �K

[S 021] ! K �N

[S 022] ! K �K

Implicita in questa partizione �e l'assunzione che le porte da connettere siano le ultime K.Questa condizione pu�o sempre essere ottenuta con opportuni scambi di righe e colonne.Infatti:

� lo scambio di bi con bj richiede lo scambio delle righe i e j di [S0]

� lo scambio di ai con aj richiede lo scambio delle colonne i e j di [S0]

La seconda struttura, analogamente, �e caratterizzata dalla matrice scattering [S 00] nelmodo seguente

Kf

Mf

0@ [b00]� � �[b2]

1A =

0BB@ [S 0011]... [S 0012]� � � � � �

[S 0021]... [S 0022]

1CCA0@ [a00]� � �[a2]

1A gK

gM(7.48)

dove i blocchi [S 00ij] hanno le seguenti dimensioni:

[S 0011] ! K �K

[S 0012] ! K �M

[S 0021] ! M �K

[S 0022] ! M �M

In questo caso si �e assunto che le porte da connettere siano le prime KSupponiamo che le porte da connettere usino le stesse impedenze di riferimento. In

tali condizioni, le equazioni che de�niscono la connessione sono

[a0] = [b00]

[a00] = [b0](7.49)

Operando la connessione, la struttura risultante accede al mondo esterno tramiteN portesul lato \1" e M porte sul lato \2" e quindi �e descritta da una matrice scattering [S] didimensione (M +N)� (M +N), partizionata naturalmente nel modo seguente

Nf

Mf

0@ [b1]� � �[b2]

1A =

0BB@ [S11]... [S12]

� � � � � �[S21]

... [S22]

1CCA0@ [a1]� � �[a2]

1A gN

gM(7.50)

x7.6 { Connessione di strutture 119

dove i blocchi [Sij] hanno le seguenti dimensioni:

[S11] ! N �N

[S12] ! N �M

[S21] ! M �N

[S22] ! M �M

Per determinare la matrice [S] risultante occorre eliminare le variabili [a0], [a00], [b0], [b00]dalle (7.47) e (7.48), tramite le (7.49).I passi da e�ettuare per ottenere questo risultato sono i seguenti:

1. Sostituiamo le (7.49) in (7.48), la prima delle quali diventa

[a0] = [S11][b0] + [S 0012][a2] (7.51)

2. La seconda delle (7.47) �e[b0] = [S 021][a1] + [S 022][a

0] (7.52)

Eliminando [a0] tra (7.51) e (7.52), ottenendo

[b0] = [S 021][a1] + [S 022] f[S 0011][b0] + [S 0012][a2]gda cui troviamo l'espressione di [b0] in funzione di [a1] e [a2]

[b0] = ([1]� [S 022][S00

11])�1 f[S 021][a1] + [S 022][S

00

12][a2]g (7.53)

3. Sostituendo (7.53) in (7.51) troviamo l'espressione di [a0] in funzione di [a1] e [a2]:

[a0] = [S 0011] ([1]� [S 022][S00

11])�1

[S 021][a1]+

+n[S 0011] ([1]� [S 022][S

00

11])�1

[S 022] + [1]o[S 0012][a2]

(7.54)

La parentesi gra�a che moltiplica [S 0012][a2] si pu�o sempli�care. Ponendo per pi�usemplice lettura [X] = [S 0011] e [Y ] = [S 022] si ha la catena di uguaglianze:

[X] ([1]� [Y ][X])�1

[Y ] + [1] =

raccogliamo [X] a sinistra e [Y ] a destra:

= [X]n([1]� [Y ][X])

�1+ [X]�1[Y ]�1

o[Y ] =

raccogliamo ([1]� [Y ][X])�1

a sinistra:

= [X] ([1]� [Y ][X])�1n[1] + ([1]� [Y ][X]) [X]�1[Y ]�1

o[Y ] =

raccogliamo [X]�1[Y ]�1 a destra:

= [X] ([1]� [Y ][X])�1 f[Y ][X] + [1]� [Y ][X]g [X]�1[Y ]�1[Y ] =

Sempli�chiamo:

= [X] ([1]� [Y ][X])�1

[X]�1 =


riscriviamo come inverso:

=n[X] ([1]� [Y ][X])

�1[X]�1

o�1

= f[1]� [X][Y ]g�1

In conclusione, e ritornando alla notazione usuale, la (7.54) si riscrive

[a0] = [S 0011] ([1]� [S 022][S00

11])�1

[S 021][a1]+

+ ([1]� [S 0011][S0

22])�1

[S 0012][a2](7.55)

4. Sostituiamo la (7.55) nella prima delle (7.47) per ricavare [b1] in funzione di [a1] e[a2]:

[b1] =n[S 011] + [S 012][S

00

11] ([1]� [S 022][S00

11])�1

[S 021]o[a1]+

+ [S 012] ([1]� [S 0011][S0

22])�1

[S 0012][a2](7.56)

Da questa equazione, confrontando con le (7.50) si ricavano le espressioni di [S11] e[S12].

5. Sostituiamo ora nella seconda delle (7.48) [a00] = [b0] con quest'ultimo dato da (7.53):

[b2] = [S 0021] ([1]� [S 022][S00

11])�1

[S 021][a1]+

+n[S 0021] ([1]� [S 022][S

00

11])�1

[S 022][S00

12] + [S 022]o[a2]

(7.57)

Confrontando questa equazione con la seconda delle (7.50) si desumono le espres-sioni dei restanti elementi [S21] e [S22]. Riscriviamo in conclusione per comodit�a leespressioni dei quattro blocchi:

[S11] = [S 011] + [S 012] [S00

11] ([1]� [S 022] [S00

11])�1

[S 021]

[S12] = [S 012] ([1]� [S 0011] [S0

22])�1

[S 0012]

[S21] = [S 0021] ([1]� [S 022] [S00

11])�1

[S 021]

[S22] = [S 0022] + [S 0021] ([1]� [S 022] [S00

11])�1

[S 022] [S00

12]

(7.58)

Notiamo che le strutture che si connettono sono dei doppi bipoli tutte le sottomatricisi riducono a scalari.Un altro caso particolare �e quello in cui tutte le porte della seconda struttura vengono

connesse, per cui essa si comporta come un carico con K porte. In tal caso M = 0 etutta la struttura, avendo solo N porte di accesso �e caratterizzata dal solo [S11].Il calcolo della matrice scattering della struttura complessiva richiede sempre l'inver-

sione di una matrice che ha dimensione pari al numero K di porte che vengono connes-se. Questa matrice �e non invertibile quando la struttura complessiva, risultante dallaconnessione, risuona.Se le strutture parziali sono dissipative, ci�o accade solo per valori complessi di fre-

quenza, situati nel semipiano superiore per motivi di stabilit�a.Se si applica lo sviluppo in serie di Taylor

([1]� [A])�1

= [1] + [A] + [A]2 + : : :+ [A]n + : : : (7.59)

convergente se gli autovalori di [A] sono in modulo minori di 1 (il che accade per strutturedissipative), si ottiene la caratterizzazione della struttura complessiva in termini dellaserie delle ri essioni multiple.

x7.7 { Matrice scattering di alcuni dispositivi 121

7.7 Matrice scattering di alcuni dispositivi

In questa sezione si presentano i modelli di alcuni dispositivi in termini di matriciscattering.

7.7.1 Attenuatore ideale

Un attenuatore ideale �e un dispositivo reciproco adattato a entrambe le porte e un segnaleche lo attraversa subisce un'attenuazione AdB. La sua matrice S �e dunque:

[S] =

"0 Ae�j'

Ae�j' 0

#(7.60)

dove A = 10�AdB=20.

7.7.2 Isolatore

Un isolatore ideale, il cui simbolo �e mostrato in Fig. 7.5, �e un dispositivo non reciproco,adattato ad entrambe le porte che permette il transito indisturbato del segnale dallaporta 1 alla porta 2, mentre lo impedisce nel senso contrario.La matrice S del dispositivo �e:

[S] =

�0 0

e�j' 0

�(7.61)

Si noti che la non reciprocit�a del dispositivo emerge chiaramente dal fatto che S12 6= S21.

Figura 7.5 Simbolo dell'isolatore ideale.

Costruttivamente un isolatore contiene una ferrite magnetizzata da un campo statico.La potenza che incide sulla porta 2 �e completamente dissipata nel dispositivo.

7.7.3 Circolatore

Il circolatore �e un dispositivo non reciproco, il cui simbolo �e riportato in Fig. 7.6. Esso�e adattato a tutte le porte e al suo interno la potenza circola senza attenuazione nelverso nella freccia, ma �e completamente dissipata nel verso opposto. La sua matrice S �edunque:

[S] =

264 0 0 e�j'1

e�j'2 0 00 e�j'3 0

375 : (7.62)

Tale matrice �e chiaramente non simmetrica, a causa della non reciprocit�a del compo-nente. Si pu�o dimostrare che una struttura a tre porte, senza perdite e adattata �e neces-sariamente non reciproca ed �e un circolatore. Costruttivamente un circolatore contiene


1

2

3

Figura 7.6 Simbolo del circolatore ideale.

una ferrite magnetizzata da un campo statico, che �e responsabile della non reciprocit�adella struttura.Si noti che chiudendo la porta 3 di un circolatore su un carico adattato, si ottiene una

struttura a due porte che si comporta come un isolatore, vedi Fig. 7.7. Infatti un segnaleincidente alla porta 1 transita verso la 2 senza essere in uenzato dal carico alla porta 3.Invece un segnale incidente alla porta 2 viene indirizzato alla porta 3 dove si dissipa sulcarico adattato e nulla esce dalla porta 1.

1 2

3

Figura 7.7 Isolatore ottenuto chiudendo laporta 3 di un circolatore su un carico adattato.

Un circolatore pu�o essere usato per realizzare un \diplexer" quando in un sistemadi comunicazione sia il trasmettitore che il ricevitore sono collegati alla stessa antenna,

come indicato in Fig. 7.8. �E chiaro che il dispositivo funziona se e solo se S31 �e veramentemolto piccolo.

7.7.4 Accoppiatore direzionale ideale

Un accoppiatore direzionale ideale, il cui simbolo �e riprodotto in Fig. 7.9, �e una strutturaa quattro porte adattata, reciproca, in cui le porte sono a due a due disaccoppiate. Conuna scelta opportuna dei piani di riferimento, la sua matrice S si pu�o scrivere:

[S] =

266640

p1� k2 jk 0p

1� k2 0 0 jk

jk 0 0p1� k2

0 jkp1� k2 0

37775 : (7.63)

x7.7 { Matrice scattering di alcuni dispositivi 123

1

3

2TX

RX

Figura 7.8 Circolatore usato come diplexer.

La quantit�aC = �20 log10 k = �20 log10 jS31j (7.64)

�e detta accoppiamento: vi sono accoppiatori da 3 dB (detti ibridi), da 10 dB, 20 dB, ecc.

21 k−

21 k−

jk

1

4

2

3

Figura 7.9 Simbolo di accoppiatore direzionale.

Altri parametri usati per caratterizzare un accoppiatore direzionale sono la direttivit�aD:

D = �20 log10jS41jjS31j

(7.65)

e l'isolamento I:I = �20 log10 jS14j: (7.66)

L'accoppiamento C indica la frazione di potenza incidente alla porta 1 che viene mandataalla porta di uscita 3. La direttivit�a �e una misura della capacit�a dell'accoppiatore didiscriminare le onde incidenti alla porta 1 da quelle incidenti alla porta 2, speci�candoquanto la porta 4 �e isolata dalla 1.L'isolamento I indica la stessa cosa ed evidentemente vale la relazione

I = D + C (in dB): (7.67)

Un accoppiatore ideale ha isolamento e direttivit�a in�nite.Un accoppiatore direzionale �e il cuore dell'analizzatore di reti (network analyzer), uno

strumento in grado di misurare direttamente i parametri scattering di un dispositivo.Il concetto della misura �e illustrato in Fig. 7.10. E�ettuando il rapporto dei segnali


che escono dalle porte 3 e 4, �e possibile risalire al valore del coe�ciente di ri essione inmodulo e fase.

4

1

3

2

21 k−jk

L

+− 121 Vkjk L

+1V

+1jkV

Figura 7.10 Principio della misura di uncoe�ciente di ri essione con un accoppiatore

direzionale.

7.8 Esempi di analisi di strutture descritte da matrici S

In questa sezione si illustra, tramite alcun semplici esempi, l'uso della matrice scatteringper la caratterizzazione dei dispositivi.

7.8.1 Connessione in cascata di un doppio bipolo e di un carico

Calcolare il coe�ciente di ri essione di un doppio bipolo, la cui porta 2 �e chiusa su uncarico, vedi Fig. 7.11. La struttura complessiva �e un carico con una sola porta ed �equindi caratterizzato dallo scalare �i:

�i = S11 +S12S21�L

1� S22�L=

=S11 � S11S22�L + S12S21�L

1� S22�L=

=S11 � det [S] �L

1� S22�L:

(7.68)

Si pu�o vedere che quando �L = 0, �i = S11 come �e ovvio in base alla de�nizione deiparametri scattering.

Γi

ΓLS’

Figura 7.11 Doppio bipolo, la cui porta 2 �e chiusa su un carico

x7.8 { Esempi di analisi di strutture descritte da matrici S 125

S’ S’’

l

A BS S’’

_

Figura 7.12 Interconnessione di due doppi bipoli tramite una linea di lunghezza l.

Osserviamo anche che la relazione tra �L e �i �e una trasformazione bilineare fratta.

7.8.2 Interconnessione di due doppi bipoli tramite un tratto di linea

Si consideri la struttura di Fig. 7.12, in cui due doppi bipoli sono interconnessi tramite untratto di linea di trasmissione. In pratica vi sono molti circuiti che si possono modellizzarein questo modo. La matrice S della struttura complessiva si pu�o ricavare in due passi:

� si sposta il piano di riferimento della struttura S 00 da B ad A

[ �S 00] =

�e�j� 00 1

�S 00�

e�j� 00 1

�=

S 0011e

�2j� S 0012e�j�

S 0021e�j� S

00

22

!

� si usano le (7.58) per connettere in cascata le due strutture.

Si ottiene

S11 = S 011 +S 012S

00

11e�2j�S 021

1� S 022S00

11e�2j�

(7.69)

S21 =S 021S

00

21e�j�

1� S 022S00

11e�2j�

(7.70)

dove � = kl = !l=vf �e la lunghezza elettrica della linea.Supponiamo che le matrici S dei due doppi bipoli non dipendano dalla frequenza, cio�e

da �. In pratica ci�o non �e vero ma certamente la dipendenza in questione �e molto pi�udebole di quella dell'esponenziale. In tali condizioni �e facile ricavare il gra�co del modulodel coe�ciente di trasmissione complessivo S21(�).Osserviamo che, posto

S 0011 = jS 0011j ej'11 S 022 = jS 022j ej'22il denominatore della (7.70) si esprime

D(�) = 1� jS 0011j jS 022j e�j2(��'11+'22

2)

Il gra�co di D(�) nel piano complesso �e ovviamente una circonferenza di centro 1 e raggiojS 0011j jS 022j, illustrata in Fig.7.13a. Inoltre �e noto che l'operazione di inversione trasfor-ma circonferenze in circonferenze. In particolare, D�1(�) descrive una circonferenza,simmetrica rispetto all'asse reale con centro in

C =1

1� jS 022j2 jS 0011j2


1-|S22'||S11''| 1+|S22'||S11''|

1 ℜ e

ℑ m

(1+|S22'||S11''|)-1 (1-|S22'||S11''|)

-1

ℜ e

ℑ m

Figura 7.13 A gra�co di D(�); B gra�co di D�1(�).

θθmin θmax

|S21|min

|S21|max

|S21|

Figura 7.14 Gra�co di jS21(�)j.

e raggio

R =jS 022j jS 0011j

1� jS 022j2 jS 0011j2

Quindi il gra�co di jS21(�)j �e la curva oscillante mostrata in Fig.7.14 dove

jS21jMIN =jS 021j jS 0021j

1 + jS 022j jS 0011j

jS21jMAX =jS 021j jS 0021j

1� jS 022j jS 0011j

�MIN =1

2('11 + '22 + (2m + 1)�)

�MAX =1

2('11 + '22 + 2m�)

E' anche chiaro che dalle caratteristiche della curva jS21(�)j (ad esempio acquisita tramiteuna misura) �e possibile risalire alle caratteristiche delle discontinuit�a presenti sulla lineae alla loro separazione.Qualora le discontinuit�a sulla linea avessero un coe�ciente di ri essione molto forte,

la struttura si comporterebbe come un �ltro passabanda o rigettabanda.

x7.8 { Esempi di analisi di strutture descritte da matrici S 127

Zr1

-A

ΓL

A+

Zr2

Figura 7.15 Cambiamento di impedenza di riferimento.

7.8.3 Cambiamento di impedenza di riferimento

Si consideri un carico caratterizzato tramite il suo coe�ciente di ri essione rispetto a unaimpedenza di riferimento Zr1. Si vuole calcolare il coe�ciente di ri essione dello stessocarico rispetto ad un'altra impedenza di riferimento Zr2. Possiamo far riferimento allaFig.7.15.E' facile calcolare il coe�ciente di ri essione rispetto a Zr2 passando attraverso l'im-

pedenza:

ZA+ = Zr1

1 + �L

1� �L

�A� =ZA+ � Zr2

ZA+ + Zr2

Sostituendo la prima nella seconda si pu�o ottenere un legame diretto tra �A� e �L.Ci�o per�o si pu�o anche ottenere applicando le (7.58) per analizzare la cascata delledue discontinuit�a. La prima, determinata dalla giunzione tra le due linee ha matricescattering

[S 0] =

0@ �Fq

Zr2

Zr1(1 + �F )q

Zr2

Zr1(1� �F ) ��F

1Adove �F �e il coe�ciente di ri essione

�F =Zr1 � Zr2

Zr1 + Zr2

Esso �e detto coe�ciente di Fresnel per l'analogia con il coe�ciente di ri essione de�nitoin ottica all'interfaccia tra due mezzi inde�niti.Si noti che S 012 e S

0

21 sono solo apparentemente diversi: sostituendovi le espressioni di�F si veri�ca che sono uguali, come richiesto dalla reciprocit�a della struttura.La seconda discontinuit�a �e un carico con una sola porta e quindi la sua matrice S

coincide col coe�ciente di ri essione �L.Applicando la (7.58) si trova

�A� = �F +(1� �2

F) �L

1 + �F�L=

�F + �L

1 + �F�L

che �e la formula cercata.


7.9 Matrice di trasmissione

Per le strutture per le quali �e possibile individuare due \lati" con lo stesso numero N diporte, che quindi si possono considerare come generalizzazione di doppi bipoli, �e spessousata una caratterizzazione basata sulla matrice di trasmissione.La matrice di trasmissione mette in relazione lo stato elettrico sui due lati della strut-

tura, utilizzando la base delle onde di potenza. Con riferimento alla Fig. 7.16 si introduceun unico asse z per i due lati della struttura e coerentemente con questo si introduconoonde di potenza progressive e regressive.La caratterizzazione del dispositivo tramite la matrice di trasmissione [T ] �e allora la

seguente: 0B@ [c+1 ]� � �[c�1 ]

1CA =

0BB@ [T11]... [T12]

� � � � � �[T21]

... [T22]

1CCA0B@ [c+2 ]

� � �[c�2 ]

1CA (7.71)

dove tutte le sottomatrici sono quadrate di dimensione N �N .

lato 1 lato 2

][ 1+c

1 1

NN

][ 1−c

][ 2+c

][ 2−c

Figura 7.16 Doppio bipolo generalizzato: de�nizione delleonde progressive e regressive sui due lati della struttura.

Quando due strutture del tipo ra�gurato in Fig. 7.16 con matrici di trasmissione [T1]e [T2] vengono connesse attraverso N porte come indicato in Fig. 7.17 la matrice dellastruttura complessiva si trova da

[T ] = [T 0][T 00]

La comodit�a della matrice di trasmissione nasce proprio dalla semplicit�a di questa leggedi composizione.Una caratteristica della matrice di trasmissione �e che i suoi elementi non possono

essere de�niti direttamente da equazioni di tipo circuitale, ma devono essere ricavatialgebricamente da altri gruppi di parametri, come quelli scattering.Per ricavare la relazione che sussiste tra le matrici [T ] e [S] di uno stesso dispositivo,

osserviamo innanzitutto che le onde di potenza progressive e regressive sono legate alle

x7.9 { Matrice di trasmissione 129

[T’’]

[T]

[T’]

Figura 7.17 Connessione di due dispositivi in cascata.

onde incidenti e di�use da hc+1

i= [a1]h

c�1

i= [b1]

hc+2

i= [b2]h

c�2

i= [a2]

(7.72)

La caratterizzazione del dispositivo tramite la matrice [S] �e la seguente

0@ [b1]� � �[b2]

1A =

0BB@ [S11]... [S12]

� � � � � �[S21]

... [S22]

1CCA0@ [a1]� � �[a2]

1A (7.73)

Sostituiamo in questa le (7.72)

[c�1 ] = [S11][c+1 ] + [S12][c

�

2 ]

[c+2 ] = [S21][c+1 ] + [S22][c

�

2 ](7.74)

Dato che le sottomatrici [Sij] sono quadrate, possiamo ricavare [c+1 ] dalla seconda delle(7.74)

[c+1 ] = [S21]�1[c+2 ]� [S21]

�1[S22][c�

2 ] (7.75)

Essendo [c+1 ] espresso in funzione di [c+2 ] e [c�2 ], possiamo identi�care le espressioni di[T11] e [T12]. Sostituendo la (7.75) nella prima delle (7.74), ricaviamo

[c�1 ] = [S11][S21]�1[c+2 ] +

�[S12]� [S11][S21]

�1[S22]�[c�2 ] (7.76)

da cui identi�chiamo le espressioni degli altri elementi della matrice [T ]

[T11] = [S21]�1

[T12] = �[S21]�1[S22][T21] = [S11][S21]

�1

[T22] = [S12]� [S11][S21]�1[S22]

(7.77)


Ovviamente se la sottomatrice [S21] di una struttura non �e invertibile, tale struttura nonpossiede matrice di trasmissione. Un esempio �e costituito dalla struttura di Fig. 7.18 seK < N .

K porte N porteN porte

Figura 7.18 Struttura con 2N porte risultante dalla connessione\back-to-back" di due sottostrutture conN+K porte ciascuna. SeK <

N la matrice di trasmissione della struttura completa non �e de�nita.

La struttura risultante �e perfettamente de�nita dalla sua matrice scattering [S]. Sipu�o veri�care per�o che la sottomatrice [S21] non �e invertibile, per cui la matrice ditrasmissione [T ] non esiste. Infatti, consideriamo l'espressione del blocco [S21] dato dalla(7.58). Osserviamo che le dimensioni dei vari fattori sono

[S 021] ! K �N

[S 0021] ! N �K

([1]� [S 022][S00

11])�1 ! K �K

quindi la dimensione di [S21]�e N � N . Tuttavia questa matrice ha rango K al pi�u,quindi ha determinante nullo se K < N . Dal punto di vista dell'algebra lineare, [S21]rappresenta un operatore che trasforma vettori dello spazio vettoriale complesso CN invettori di CN attraverso CK. Quindi se K < N siamo in presenza di un'operazione diproiezione, notoriamente non invertibile.Per completezza diamo anche le relazioni inverse delle (7.77), che permettono di

calcolare la matrice [S] a partire dalla [T ]:

[S11] = [T21][T11]�1

[S12] = [T22]� [T21][T11]�1[T12]

[S21] = [T11]�1

[S22] = �[T11]�1[T12]

Capitolo 8

Linee di trasmissione nel dominio del tempo

8.1 Introduzione

Nei capitoli precedenti abbiamo discusso in grande dettaglio la tecnica di analisi deicircuiti contenenti linee di trasmissione nel dominio della frequenza. Con questa tecnicasi �e in grado di prevedere il comportamento di tali circuiti in presenza di segnali armonici.�E giunto il momento di esaminare il caso reale in cui i segnali hanno una dipendenzatemporale arbitraria. La soluzione di questo problema si ottiene con il metodo dellatrasformata di Fourier, interpretando un segnale generico come una sovrapposizione disegnali armonici.Consideriamo un semplice circuito costituito da un generatore e un carico interconnessi

tramite una linea di trasmissione, come illustrato in �gura (8.1). Supponiamo che la lineasia caratterizzata da costante di propagazione k (!) e impedenza caratteristica Z1 (!),funzioni genericamente complesse della frequenza. Anche il carico ZL e l'impedenzainterna del generatore sono impedenze generalmente complesse. Si vuole calcolare latensione sul carico vB (t) conoscendo la tensione a vuoto del generatore e (t).Questo problema si pu�o schematizzare, come mostrato in �gura (8.2), nel linguaggio

della teoria dei sistemi. La forma d'onda del generatore si interpreta come ingresso, latensione vB (t) come uscita. Il sistema �e:

� lineare, perch�e i parametri della linea k e Z1, nonch�e il carico ZL sono indipendentidalle tensioni e correnti nel circuito.

� invariante rispetto al tempo, perch�e i suddetti parametri non dipendono dal tempo.

�E noto che per i sistemi LTI la relazione di ingresso-uscita si pu�o esprimere nel dominiodel tempo

vB (t) =Z +1

�1

tv (t� �) e (�) d� (8.1)

oppure nel dominio della frequenza

VB (!) = TV (!)E (!) (8.2)

131

132 8 { Linee di trasmissione nel dominio del tempo

BA

(t)+

ZL

Zg

Figura 8.1 Circuito contenente una linea di trasmissioneAB che interconnette un carico e un generatore reali

vB(t)

tv(t)TV(ω)e(t)

Figura 8.2 Il circuito di �gura (8.1) schematizzato come sistema lineare

dove la risposta all'impulso tv (t) �e legata alla funzione di trasferimento da una trasfor-mata di Fourier:

tv (t) =1

2�

Z +1

�1

TV (!) ej!td! (8.3)

La (8.2) fornisce la soluzione del nostro problema nella forma

vB (t) =1

2�

ZVB (!) e

j!td! =1

2�

Z +1

�1

TV (!)E (!) ej!td! (8.4)

Naturalmente, la funzione di trasferimento TV (!) si ricava senza di�colt�a con i metodiillustrati nei capitoli precedenti per lo studio delle linee nel dominio della frequenza. Sitrova

TV (!) =ZA (!)

ZA (!) + Zg (!)

1

1 + �A (!)e�jk(!)l (1 + �B (!)) (8.5)

�E interessante l'interpretazione che si pu�o dare alla (8.4):

� si decompone l'ingresso in una combinazione lineare di segnali armonici ej!t

e (t) =1

2�

Z +1

�1

E (!) ej!td! (8.6)

ciascuno con ampiezza E (!) d!.

� dato che il sistema �e LTI, il segnale in uscita �e ancora armonico, con ampiezzaVB (!) d! = TV (!)E (!) d!.

� sommando questi segnali armonici si ricava vB (t).

I segnali armonici ej!t costituiscono i \modi di risonanza" dei sistemi LTI, nel sensoche essi \transitano" attraverso il sistema subendo solo la moltiplicazione per un numerocompless, che �e la funzione di trasferimento del sistema valutata alla frequenza !. Questapropriet�a spiega l'utilit�a dell'analisi di Fourier per l'analisi dei sistemi LTI.

x8.2 { La velocit�a di gruppo 133

(t)

t

Figura 8.3 Andamento temporale di un segnale modulato in ampiezza.Si noti che l'inviluppo �e lentamente variabile sul periodo della portante

8.2 La velocit�a di gruppo

In genere, l'integrale (8.4) si deve calcolare con tecniche numeriche come l'FFT . Quiper�o vogliamo innanzitutto mettere in evidenza il ruolo della linea di trasmissione equindi sempli�cheremo il modello di (8.1) supponendo Zg = 0, ZL = Z1, in modo che lafunzione di trasferimento diventi

TV (!) = e�jk(!)l (8.7)

Supporremo inoltre che il segnale e (t) non si discosti troppo da un segnale armonico.Sceglieremo in particolare

e (t) = m (t) cos!0t (8.8)

dove m (t) (inviluppo) �e un segnale che varia poco in un periodo T = 2�=! del coseno(portante).Il segnale (8.8) vedi �gura (8.3) �e modulato in ampiezza e nelle condizioni appena

esposte �e quasi-monocromatico.Calcoliamo lo spettro di e (t). Detta M (!) la trasformata di m (t), si ha

E (!) = =fm (t) cos!0tg = 1

2�=fm (t)g � = fcos!0tg =

=1

2�M (!) � � f� (! � !0) + � (! + !0)g =

=1

2M (! � !0) +

1

2M (! + !0) = (8.9)

Queste funzioni sono rappresentate in �gura (8.4).Osserviamo che vB (t) �e calcolabile dalla (8.4) come un integrale sulle frequenze nega-

tive e positive. In realt�a, dato che vB (t) �e reale, il suo spettro �e hermitiano, cio�e

VB (�!) = V �

B(!) (8.10)


ωc−ωc−ω0 ω0

Μ(ω)

|Ε(ω)|

Figura 8.4 Spettro di e (t). �E indicato anche lo spettrodi m (t). Dato che !c << !0, e (t) �e quasi armonico

e l'integrale spettrale pu�o essere limitato al semiasse positivo delle frequenze. Infatti,spezzando il dominio completo in due sottodomini si ha

vB (t) =1

2�

Z 0

�1

VB (!0) ej!

0td!0 +1

2�

Z +1

0VB (!) e

j!td! (8.11)

dove la variabile di integrazione nel primo integrale �e stata chiamata !0. Ponendo ora! = �!0 e usando la (8.10), troviamo

vB (t) =1

2�

Z +1

0V �

B(!) e�j!td! +

1

2�

Z +1

0VB (!) e

j!td! =

= 2Ref 1

2�

Z +1

0VB (!) e

j!td!g (8.12)

Questa trasformazione �e equivalente a introdurre il segnale analitico associato a vB (t),che ha spettro nullo per ! < 0 e raddoppiato per ! > 0.Il problema, a questo punto, �e ricondotto alla valutazione di

vB (t) = Ref 1

2�

Z +1

0M (! � !0) e

�jk(!)lej!td!g (8.13)

Tenendo conto del fatto che il segnale �e quasi monocromatico, cio�e il supporto del suospettro �e un piccolo intorno di !0, si pu�o pensare di sviluppare la funzione k (!) in seriedi Taylor intorno a ! = !0

k (!) = k (!0) +dk

d!

��!0

(! � !0) +1

2

d2k

d!2

��!0

(! � !0)2+: : : (8.14)

In generale, la costante di propagazione �e complessa, k (!) = � (!)�j� (!). Supponiamodi troncare lo sviluppo precedente al secondo termine per la parte reale e al primo perla parte immaginaria, ossia assumiamo

� (!) ' � (!0) + � 0 (!0) (! � !0)

(8.15)

x8.2 { La velocit�a di gruppo 135

� (!) ' � (!0)

Questo troncamento, apparentemente asimmetrico, �e giusti�cato dall'andamento di k(!)nei casi usuali.Sostituiamo le (8.15) nella (8.13)

vB (t) ' Refej(!0t��(!0)l)e��(!0)l 12�

Z +1

0M (! � !0) e

�j�0(!0)(!�!0)lej(!�!0)td!g (8.16)

dove l'integrale �e in realt�a esteso al solo supporto di M (! � !0) che �e per ipotesi unpiccolo intorno di ! = !0. Ponendo = ! � !0, la precedente si riscrive

vB (t) ' Refej(!0t��(!0)l)e��(!0)l 12�

Z +1

�1

M () e+j(t��0(!0)l)dg (8.17)

dove l'estremo inferiore �e stato spostato a �1 (senza cambiare il valore dell'integrale,ovviamente) in modo da poter riconoscere l'antitrasformata di M () valutata in t �� 0 (!0) l:

vB (t) ' Refej(!0t��(!0)l)e��(!0)lm (t� � 0 (!0) l)g == m (t� � 0 (!0) l) e

��(!0)l cos (!0t� � (!0) l) (8.18)

La quantit�a � 0 (!0) l ha le dimensioni di un tempo, per cui si pu�o porre

�g (!0) = � 0 (!0) l =l

vg (!0)(8.19)

dove �g (!0) �e il ritardo di gruppo e vg (!0) la velocit�a di gruppo

vg (!0) =1

d�

d!

��!0

=d!

d�

��(!0)

(8.20)

Questi termini derivano il loro nome dal fatto che il segnale e (t) �e costituito da un\gruppo" di frequenze.Ricordando inoltre la de�nizione di velocit�a di fase

vf (!0) =!0

� (!0)(8.21)

e del corrispondente ritardo di fase �f (!0) = � (!0) l, la (8.18) pu�o essere riscritta

vB (t) ' m

t� l

vg (!0)

!e��(!0)l cos

!0t� l

vf (!0)

!=

= m (t� �g (!0)) e��(!0)l cos (!0 (t� �f (!0))) (8.22)

Di questa equazione possiamo dare la seguente interpretazione. Il segnale e (t) non �emonocromatico ma �e costituito da un \pacchetto" di componenti armoniche, ciascunadelle quali si presenta nella sezione B pesata dalla funzione di trasferimento. A causa deifenomeni di interferenza costruttiva e distruttiva che qui si veri�cano, tutto avviene comese l'inviluppo m (t) si muovesse con la velocit�a di gruppo e la portante con la velocit�adi fase. Naturalmente questa �e solo un'interpretazione della (8.22), poich�e inviluppo eportante non sono due segnali con un'esistenza indipendente.


ω0

ω

β

ϕg

ϕf

Figura 8.5 Interpretazione geometrica di velocit�a di fase e di gruppo

Nelle applicazioni, l'informazione �e associata all'inviluppo. Vediamo anche che, nellimite in cui valgono le (8.15), l'inviluppo in B �e una replica ritardata e attenuata del-l'inviluppo in A e si dice che non si sono veri�cate distorsioni. Quindi una linea �e unsistema non distorcente quando, almeno sulla banda del segnale che vi si propaga, hauna funzione di trasferimento con modulo costante e fase lineare. I termini successividello sviluppo in serie (8.14) sono responsabili delle distorsioni. Essi non si possonoovviamente trascurare quando la banda di e (t) non �e piccola.I concetti di velocit�a di fase e di gruppo si prestano a un'interpretazione geometrica.

Consideriamo una curva di dispersione come quella riportata in �gura (8.5).In base alle de�nizioni date, si ha

vf (!0) = tan'f vg (!0) = tan'g (8.23)

Si noti che il concetto �sicamente pi�u rilevante tra i due tipi di velocit�a �e quello dellavelocit�a di gruppo. Infatti (quasi sempre) essa si pu�o interpretare come la velocit�a dipropagazione dell'energia elettromagnetica. Quando questa interpretazione �e possibileessa �e sempre minore della velocit�a della luce nel vuoto, in accordo con la teoria dellarelativit�a.Osserviamo in�ne che il concetto di ritardo di gruppo pu�o essere de�nito sia per i

dispositivi a parametri distribuiti che per quelli a parametri concentrati. La de�nizionegenerale �e infatti

�g = � d

d!arg (H (!)) (8.24)

dove H (!) �e la funzione di trasferimento del dispositivo. Si pu�o rilevare che la (8.19) �ein accordo con questa de�nizione. In termini generali, si manifesta un ritardo di gruppoin quei casi in cui il dispositivo �e in grado di immagazzinare energia. Ovviamente unarete di resistenze ha funzione di trasferimento reale e quindi �g = 0 in base alla (8.24).

8.3 Distorsioni

Si �e visto nella sezione precedente che quando il segnale �e quasi monocromatico e lavelocit�a di gruppo si pu�o ritenere costante sulla banda del segnale, questo (o meglio ilsuo inviluppo) non viene distorto. In questa sezione discuteremo le distorsioni causate

x8.3 { Distorsioni 137

1

t

m(t)

T0

e-1/2

Figura 8.6 Inviluppo di un impulso gaussiano e de�nizione della sua durata T0

da una funzione di trasferimento con modulo costante e fase non lineare ma che pu�oessere approssimata con una parabola sulla banda del segnale stesso. Quindi conside-reremo l'e�etto del terzo termine nella (8.14) e pertanto supporremo che la costante dipropagazione si possa esprimere nella forma

� (!) = �0 + � 00 (! � !0) +1

2� 000 (! � !0)

2(8.25)

dove si �e posto

�0 = � (!0) � 00 =d�

d!

��!0

� 000 =d2�

d!2

��!0

e si assumer�a � (!) = 0 per semplicit�a.Ripetendo con qualche modi�ca i calcoli che hanno portato alla (8.16) troviamo

vB (t) ' Refej(!0t��0l)12

1

2�

Z +1

0[M (! + !0) +M (! � !0)] e

�j12�000 l(!�!0)

2�

�ej(t��00l)(!�!0)d!g (8.26)

Vediamo chiaramente che il termine di fase quadratico produce una distorsione, ma ilcalcolo non si pu�o esplicitare per un inviluppo m (t) generico. Il caso pi�u semplice percui il calcolo si pu�o portare avanti analiticamente �e quello di un impulso gaussiano, incui

m (t) = exp

� t2

2T 20

!(8.27)

Il tempo T0, che �e la deviazione standard della gaussiana, pu�o essere usato per spec�carela durata dell'impulso, vedi �gura (8.6). Utilizzando l'integrale notevoleZ +1

�1

e��2x2ej�xdx =

p�

�e�

�2

(2�)2 (8.28)


si ottiene la spettro M (!)

M (!) =p2�T0 exp

�T

20!

2

2

!(8.29)

Osserviamo che lo spettro dell'inviluppo �e ancora gaussiano con deviazione standard paria T�10 : in accordo con il principio di indeterminazione, un impulso breve ha una grandebanda e viceversa.L'integranda della (8.26) �e la somma di due termini. Nelle normali applicazioni la

durata dell'impulso �e molto maggiore del periodo della portante, per cui !0T0 >> 1 e ilprimo termine d�a un contributo del tutto trascurabile. Per lo stesso motivo, per quantoriguarda il secondo, il limite inferiore dell'integrale pu�o essere spostato da 0 a �1 senzacambiare il valore.Riscriviamo quindi la (8.26) nella forma:

vB (t) ' Refej(!0t��0l) 12

1

2�

Z +1

�1

M () e�j12�000 l

2

ej(t��0

0l)dg =

= Refej(!0t��0l)12

1

2�

Z +1

�1

e�12(T

20+j�

00

0 l)2

ej(t��0

0l)dg (8.30)

Applicando la (8.28) con

� = 12(T 2

0 + j� 000 l) � = t� � 00l (8.31)

si trova

vB (t) ' Re8<: T0q

T 20 + j� 000 l

exp fj (!0t� �0l)g exp(� (t� � 00l)

2

2 (T 20 + j� 000 l)

)9=; (8.32)

Trasformiamo ora l'espressione all'interno della parentesi gra�a in modo da prendere laparte reale in modo semplice. Osserviamo che il termine algebrico si pu�o riscrivere

T0qT 20 + j� 000 l

=

"1 + j

� 000 l

T 20

!#�

12

=

8><>:241 +

� 000 l

T 20

!235 1

2

ej arctan

��00

0l

T20

�9>=>;�

12

=

=

241 + � 000 l

T 20

!235� 1

4

e�j

12arctan

��00

0l

T20

�(8.33)

Separando inoltre il modulo e la fase del termine esponenziale si perviene con semplicicalcoli all'espressione �nale seguente:

vB (t) =

T0

T (l)

! 12

exp

(�(t� l=vg (!0))

2

2T 20

)cos (' (t)) (8.34)

dove la fase ' (t) vale

' (t) = !

t� l

vf (!0)

!+(t� l=vg (!0))

2

2T 20

p3(l=ld)sign (�

00

0 )

1 + 3�l

ld

�2 � 1

2arctan

p3l

ld

!(8.35)

x8.3 { Distorsioni 139

Figura 8.7 Impulso gaussiano distorto al terminedella linea. Si noti la modulazione di frequenza spuria

e

T (l) = T0

r1 + 3

�l

ld

�2ld =

p3T 20

j� 000 j(8.36)

Notiamo che il segnale al termine della linea �e ancora gaussiano: ci�o �e legato al fatto che latrasformata di una gaussiana �e una gaussiana e che la fase della funzione di trasferimento�e stata sviluppata al secondo ordine.

L'inviluppo si muove con la velocit�a di gruppo ma aumenta la sua varianza che da T 20

diventa T 2 (l). Anche se la forma gaussiana �e mantenuta, siamo in presenza di distorsioneperch�e la deviazione standard �e cambiata.La quantit�a ld �e de�nita distanza di raddoppio poich�e T (ld) = 2T0. Notiamo che ld

aumenta con la durata iniziale dell'impulso T0, perch�e diminuisce la sua banda. Essaaumenta inoltre se la dispersivit�a della linea migliora, ossia se j� 000 j diminuisce. Notiamoinoltre che il valore massimo dell'inviluppo diminuisce al crescere di l: si pu�o veri�careche l'energia nell'impulso non cambia al variare di l, coerentemente con il fatto che lalinea �e stata supposta senza perdite.Consideriamo ora il termine di fase e notiamo la dipendenza quadratica da t�l=vg(!0):

Calcoliamo la frequenza istantanea

! (t) =d'

dt= !0 +

t� l=vg(!0)

T 20

p3(l=ld)sign(�

00

0 )

1 + 3�l

ld

�2 (8.37)

Essa varia linearmente ed �e crescente o decrescente a seconda del segno di � 000 . Si �e inpresenza di una modulazione di frequenza spuria (chirp), rappresentata in �gura (8.7)Notiamo che la linea di trasmissione �e un dispositivo simmetrico, quindi se il segnale

(34) viene fatto propagare da z = l a z = 0 il segnale in uscita sar�a

vA (t) = exp

�(t� l=vg(!0))

2

2T 20

!cos(!0t)

In altre parole �e possibile comprimere un impulso sfruttando la dispersione della linea.Ovviamente �e necessario che il segnale da comprimere abbia una modulazione di fre-quenza (chirp) e che il segno di � 000 sia appropriato. Rimuovendo la modulazione spuriasi ottiene la compressione.


� � �� t

t

z=0

z=l

Figura 8.8 Interferenza intersimbolica in un collegamento digitale su linea dispersiva.

Gli impulsi ricevuti sono cos�i distorti che la parola trasmessa non �e pi�u riconoscibile

Le considerazioni svolte per l'impulso gaussiano valgono qualitativamente in generaleper qualsiasi impulso. In sostanza la durata dell'impulso cresce durante la propagazione;tuttavia, dato che la forma dell'impulso cambia, non �e facile de�nire in modo preciso ladurata n�e la velocit�a di propagazione dell'impulso.

8.4 Comunicazioni ottiche digitali

Come esempio di applicazione delle considerazioni svolte sopra, consideriamo un collega-mento in �bra ottica che sfrutti una modulazione digitale, per cui al valore logico "1" �eassociata la trasmissione di un impulso e al valore "0" l'assenza di impulso. Se nel corsodella propagazione gli impulsi aumentano la loro durata, si pu�o veri�care un'interferenzaintersimbolica per cui gli impulsi non sono pi�u riconoscibili dal ricevitore, come illustratoin �gura (8.8). Per quanti�care il fenomeno, supponiamo che il ricevitore sia in gradodi riconoscere gli impulsi �no a quando l'intervallo di tempo tra due successivi �e parialla durata degli impulsi (deviazione standard) moltiplicata per un fattore r tipico delricevitore.ChiamiamoBT il bit rate, cio�e il numero di impulsi trasmessi al secondo. La condizione

di buon funzionamento si pu�o scrivere

1

BT

� rT (l)

ossia, ricordando la (36)

BT � 1

rT0

r1 +

�B000l

T 20

�2 = BT max

Fissate le caratteristiche della �bra e del ricevitore, ci si pu�o porre il problema di sceglierela durata degli impulsi trasmessi in modo da massimizzare BT max. La �gura (8.9) mostrail gra�co di BT max(T0). Si pu�o spiegare facilmente la forma del gra�co. Se T0 �e piccolola distanza di raddoppio ld �e piccola, quindi il bit rate deve essere molto basso se si vuoleevitare l'interferenza intersimbolica. Al contrario, se T0 �e grande la distanza di raddoppio

x8.5 { Linee di trasmissione ideali disadattate 141

T0opt T0

BTmax

Figura 8.9 Dipendenza del bit rate massimo suun collegamento digitale dalla durata degli impulsi

�e grande, quindi la distorsione �e piccola; tuttavia il bit rate deve essere basso per evitarel'interferenza gi�a sul trasmettitore.Si trova che esiste una durata ottimale degli impulsi

T0opt =qj� 000 j l

BT max (T0opt) =1p

2rqj� 000 j l

Si noti che T0opt non dipende dalle caratteristiche del ricevitore ma solo da quelle della

�bra ottica. In queste condizioni la durata degli impulsi cresce del fattorep2 nel corso

della propagazione.In pratica si veri�ca che per �bre ottiche in silice il parametro � 000 si annulla a � =

1: 3�m. Ovviamente questo non signi�ca che gli impulsi non subiscano distorsione, mache l'analisi svolta qui non �e pi�u applicabile. Infatti se � 000 6= 0 �e lecito trascurare itermini di ordine superiore nella (25), ma se � 000 = 0 occorre tener conto almeno deltermine cubico che d�a luogo a un tipo diverso di distorsione. In ogni caso �e sempreconveniente far funzionare il sistema in queste condizioni e per questo motivo la bandacentrata intorno a � = 1: 3�m �e detta seconda �nestra per la sua importanza nellecomunicazioni ottiche.

8.5 Linee di trasmissione ideali disadattate

Nelle sezioni precedenti abbiamo sostanzialmente discusso il comportamento della lineadi trasmissione, supponendo che le terminazioni fossero adattate. In questa sezioneesamineremo l'e�etto del disadattamento del carico e del generatore ma, per procederecon gradualit�a, supporremo la linea ideale, cio�e non dispersiva.

8.5.1 Soluzione generale delle equazioni delle linee

Come esempio illustrativo della tecnica che useremo, ricaviamo innanzitutto la soluzionegenerale delle equazioni delle linee, ottenuta nella sezione 1.4 con un cambiamento divariabile.


Sappiamo che nel dominio ! la soluzione generale si scrive

V (z;!) = V +0 (!) exp(�jkz) + V �

0 (!) exp(jkz)

(8.38)

I (z;!) = Y1V+0 (!) exp(�jkz)� Y1V

�

0 (!) exp(jkz)

con

k = !pLC =

!

vfY1 =

sCL (8.39)

Notiamo che V +0 (!) e V �

0 (!) sono due costanti arbitrarie rispetto a z ma possono di-pendere dal parametro !, per cui esse sono da considerarsi due funzioni arbitrarie di !.La loro espressione pu�o essere de�nita quando si precisano le condizioni di carico e dialimentazione. Calcoliamo dunque l'espressione della tensione nel dominio del tempo

v (z;t) =1

2�

Z +1

�1

V (z;!) exp(j!t)d! =

=1

2�

Z +1

�1

"V +0 (!) exp(�j z

vf!) + V �

0 (!) exp(+jz

vf!)

#exp(j!t)d! =

=1

2�

Z +1

�1

"V +0 (!) exp

j

t� z

vf

!!

!+ V �

0 (!) exp

j

t+

z

vf

!!

!#d! =

= v+0

t� z

vf

!+ v�0

t+

z

vf

!(8.40)

dove v�0 sono le antitrasformate di V �

0 (!).Inoltre, per quanto riguarda la corrente, dato che Y1 non dipende da !, �e immediato

scrivere

i (z;t) = Y1v+0

t� z

vf

!� Y1v

�

0

t+

z

vf

!(8.41)

Abbiamo quindi ritrovato le espressioni ottenute, per altra via, nella sezione 1.4.Osserviamo che la soluzione generale risulta chiaramente costituita di due onde che si

propagano in direzioni opposte. Nel dominio ! questo comportamento �e indicato dallosfasamento proporzionale alla frequenza che caratterizza le due componenti progressivae regressiva. A sua volta questo comportamento �e direttamente legato al fatto che lavelocit�a di fase non dipende dalla frequenza.

8.5.2 La linea disadattata

A�rontiamo ora il problema centrale di questa sezione, illustrato in �gura (8.10). Si notiche per semplicit�a si �e assunto che sia l'impedenza interna del generatore, sia quella dicarico, siano delle resistenze pure, e quindi indipendenti dalla frequenza. Supponiamodi dover calcolare la tensione sul carico vB (t). Applicando la tecnica usuale, troviamovB (t) come antitrasformata di Fourier:

vB (t) =1

2�

Z +1

�1

VB (!) exp(j!t)d! =


BA

(t)+

RL

Rg l

Z∞ , v

Figura 8.10 Circuito elementare, comprendente una linea ideale disadattata

doveVB (!) = V +

B(1 + �B) = V +

Aexp(�j!�) (1 + �B) (8.42)

e

V +A

=VA

1 + �A=

1

1 + �A

ZA

ZA +Rg

E(!) (8.43)

dove E(!) �e la trasformata della tensione a vuoto del generatore e(t) e � = l=vf �e iltempo di transito sulla linea. Le espressioni precedenti comprendono sia impedenze siacoe�cienti di ri essione. E' conveniente eliminare le prime per ottenere un'espressioneomogenea.Poniamo dunque

Rg = Z11 + �g

1� �gZA = Z1

1 + �A

1� �A(8.44)

dove �g �e il coe�ciente di ri essione di tensione dell'impedenza interna del generatore.Si pu�o direttamente veri�care che vale la relazione

ZA

ZA + Zg

=1� �g

2

1 + �A

1� �A�g(8.45)

e, ricordando che �A = �B exp(�j2!�), la (8.42) diventa

VB (!) = E(!)1� �g

2(1 + �B) exp(�j!�) 1

1� �g�B exp(�j2!�)(8.46)

Si noti che, per le ipotesi fatte su carico e generatore, �g e �B non dipendono dallafrequenza. Per calcolare la antitrasformata si possono ora seguire due strade alternativeche permettono di scrivere la soluzione in due forme radicalmente diverse. La primamette in evidenza l'aspetto dinamico del fenomeno, la seconda produce una descrizionein termini di risonanze, ossia di stati stazionari.

Il diagramma a traliccio

Consideriamo l'ultima frazione nella (8.42) e osserviamo che essa si pu�o sviluppare colteorema del binomio:

(1� �g�B exp(�j2!�))�1 = 1 + �g�B exp(�j2!�) + �2g�2Bexp(�j4!�)+: : : (8.47)


(t)+

Rg

Figura 8.11 Circuito relativo alla de�nizione della surge impedance

Lo sviluppo �e sicuramente convergente se il carico �e passivo e l'impedenza interna delgeneratore �e una vera resistenza, perch�e in tal caso la serie geometrica ha ragione minoredi 1. Sostituendo lo sviluppo nella (8.42) si trova

VB (!) = E(!)1� �g

2(1 + �B) exp(�j!�)�

�n1 + �g�B exp(�j2!�) + �2

g�2Bexp(�j4!�)+: : :

o(8.48)

e antitrasformando termine a termine:

vB (t) =1� �g

2(1 + �B)

ne(t� �) + �g�Be(t� 3�) + �2

g�2Be(t� 5�)+: : :

o(8.49)

Apparentemente la soluzione �e data nella forma di una serie in�nita. In realt�a, in genere,si �e interessati a calcolare vB (t) per 0 � t � tmax, cio�e all'interno di una certa �nestradi osservazione. Naturalmente la funzione e(t) �e causale, cio�e �e nulla per argomentonegativo, quindi, �ssato un tempo t � tmax vi �e solo un numero �nito di termini ched�a contributo. Ci�o si spiega facilmente riconoscendo che ciascun termine della somma,diciamo

1� �g

2�ng�nBe(t� (2n+ 1)�) (1 + �B) (8.50)

rappresenta un'onda che ha percorso 2n + 1 volte il tratto AB in un senso e nell'altro,ri ettendosi n+1 volte sull'estremit�a B (carico) e n volte sull'estremit�a A (generatore).Inoltre il fattore (1 + �B) esprime il fatto ben noto che la tensione totale in B �e lasomma delle componenti progressiva e regressiva. Allora, se n �e abbastanza grande,tmax � (2n+ 1)� �e negativo e tutti i termini successivi non danno contributo.Per interpretare il primo fattore (1��g)=2 conviene riscriverlo in termini di impedenze,

Si trova1� �g

2=

Z1

Rg + Z1(8.51)

Questa funzione si interpreta immediatamente come il rapporto di partizione vA (t) =e(t)per il circuito di �gura (8.11) in cui la linea �e in�nitamente lunga. Questo circuito siapplica anche nel caso in esame di �gura (8.10) ma solo per t � 2� , perch�e in tal caso ilsegnale lanciato da A, pur avendo raggiunto l'estremit�a B, produce un eco che ritornain A solo a t = 2� . Quindi prima di questo tempo il generatore non pu�o "sapere" se lalinea �e in�nita oppure no. Possiamo dire che Z1 �e l'impedenza di ingresso della lineaper t � 2� e questo giusti�ca il nome di "surge impedance" che viene a volte usato perindicare Z1.


BA

e(t)+

ZL

Zg

z

t

ΓB

ΓB

Γg

Γg

1-Γg

2e(t)

Figura 8.12 Diagramma a traliccio per il circuito di �gura (8.10)

Sulla base di questa interpretazione �e possibile tracciare un diagramma spazio-tempo-rale, chiamato "diagramma a traliccio" e riportato in �g. (8.12), che permette di scriveredirettamente l'espressione del transitorio senza prima calcolare la risposta in frequenza.Supponiamo che la tensione a vuoto del generatore sia un segnale di durata �nita

T0. A seconda della lunghezza della linea, e quindi del tempo di transito � si possonoveri�care due condizioni diverse.

� Se � < 12T0 i supporti delle funzioni e(t� (2n+1)�), per valori successivi di n, sono

parzialmente sovrapposti; questa condizione �e detta di riverbero.

� Se � > 12T0 i supporti delle funzioni e(t� (2n+1)�), sempre per valori successivi di

n, sono disgiunti e si parla di echi multipli.

Le �gure 8.13 e 8.14 illustrano le due condizioni nel caso in cui e(t) sia un impulsorettangolare di valore 1V. La linea tratteggiata �e il gra�co della tensione che si avrebbesul carico se questo fosse connesso direttamente al generatore. La linea continua �e ilgra�co della tensione vB(t) quando e' presente la linea di trasmissione. La sua lunghezzasi deduce dal ritardo (�) con cui appare il fronte di salita dell'impulso.Si noti che gli echi successivi sono di ampiezza sempre pi�u piccola poich�e la ragione

della serie geometrica �e pi�u piccola di uno.Avendo introdotto il diagramma a traliccio per il calcolo di vB (t), possiamo utilizzarlo

per calcolare anche la tensione all'estremit�a in A e in un punto intermedio C. La �gura(8.15) mostra il diagramma relativo. La tensione vA (t) si scrive subito

vA(t) =1� �g

2fe(t) + �B(1 + �g)e(t� 2�)+


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1

-0.5

0

0.5

1 V

L(t)

(na

t)

t / T0

Time domain response Max [ Vg(t) ] = 1

Figura 8.13 Tensione sul carico in condizioni di echimultipli (� > 1

2T0) (Zg = 10;Z1 = 150;ZL = 300)

+�2B�g(1 + �g)e(t� 4�) + : : :

o(8.52)

mentre la tensione vC(t) �e data da:

vC (t) =1� �g

2fe(t� �c) + �Be(t� (2� � �c))+

+�B�ge(t� (2� + �c)) + �2B�ge(t� (4� + �c)) + : : :

o(8.53)

Si noti che le tensioni progressive e regressive in C non sono simultanee e ci�o spiegal'assenza di un fattore come 1 + �B o 1 + �g.Se il circuito contiene pi�u discontinuit�a, il diagramma a traliccio si complica enorme-

mente e diventa presto inutilizzabile.

Soluzione in termini di risonanze

Riprendiamo la (8.46) e proponiamoci di valutare direttamente l'integrale di antitrasfor-mazione con i metodi dell'analisi complessa. Si deve dunque valutare

vB (t) =1

2�

Z +1

�1

E(!)

2(1� �g) (1 + �B) exp(�j!�) exp(j!t)

1� �g�B exp(�j2!�)d! (8.54)

Il cammino di integrazione corre sull'asse reale come indicato in Fig. 8.16, ma pu�o esserecompletato nel semipiano superiore con un semicerchio di raggio tendente all'in�nito inmodo da ottenere un cammino chiuso e applicare il teorema dei residui. E' immediatoveri�care che tale semicerchio non d�a contributo all'integrale.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1

-0.5

0

0.5

1 V

L(t)

(na

t)

t / T0

Time domain response Max [ Vg(t) ] = 1

Figura 8.14 Tensione sul carico in condizioni diriverbero (� <

12T0) (Zg = 10;Z1 = 150;ZL =

300)

Le singolarit�a dell'integranda, oltre a quelle di E(!), sono indicate con una crocetta.Si tratta di poli semplici associati ai valori di ! in cui si annulla il denominatore della(8.54)

1� �g�B exp(�j2!�) = 0 (8.55)

La soluzione di questa equazione �e

!n =1

2j�[log j�B�gj+ j (arg (�B�g) + n � 2�)] =

=1

2�(arg (�B�g) + n � 2�)� j

1

2�log j�B�gj (8.56)

con n = 0; �1; �2 . . .Si ricordi che j�B�gj � 1, per cui queste singolarit�a, in numero in�nito, hanno tutte la

stessa parte immaginaria non negativa. Ci�o �e coerente con il fatto che il sistema �e statoassunto essere privo di guadagno.

Osserviamo che quando �B�g > 0 (cio�e se Rg e Rl sono entrambe maggiori o entrambeminori di Z1), il polo che corrisponde a n = 0 ha parte reale nulla. Nel caso invece incui �B�g < 0 (cio�e se Z1 �e compreso nell'intervallo Rg, RB) i poli sono sempre spaziati(per quanto riguarda la loro parte reale) di �=� e sono disposti simmetricamente rispettoall'asse immaginario.


BAz

t

1-Γg

2ΓB(1+Γg)e(t-2τ)

-Γg

2Γ2

BΓg(1+Γg)e(t-4τ)

1-Γg

2(1+ΓB)e(t-τ)

1-Γg

2ΓgΓB(1+ΓB)e(t-3τ)

C

τC

Figura 8.15 Diagramma a traliccio che illustra il calcolo della tensionealle estremit�a A e B della linea nonch�e in un punto intermedio C

ℜ e ω

ℑ m ω

� � � � � � � � �

Figura 8.16 Cammino di integrazione nel piano com-plesso ! e posizione delle singolarit�a dell'integranda

Calcoliamo ora i residui nei poli !n. In base alla de�nizione, e applicando la regola dide l'Hospital, si trova

Rn = lim!!!n

! � !n

1� �g�Be�j2!�= lim

!!!n

1

��g�Be�j2!� (�j2�)=

1

j2�(8.57)

Se supponiamo che E(!) sia una funzione priva di singolarit�a al �nito (funzione intera),il che accade se e(t) ha durata limitata, allora non vi sono altre singolarit�a e la rispostavB(t) si pu�o scrivere

vB(t) = 2�jXn

Res(Integranda; !n) =1

2�(1� �g) (1 + �B)

+1Xn=�1

E(!n)e+j!n(t��)

(8.58)


RLCZ∞

Figura 8.17 Linea di trasmissione che alimenta una porta logica

Quando si esprime la soluzione in questo modo si rappresenta la risposta dinamica del si-stema in termini delle sue risonanze proprie. Si tratta di una rappresentazione alternativama del tutto equivalente a quella delle ri essioni multiple.

8.5.3 Interconnessioni reali

In un problema di interconnessione concreto i vari meccanismi di distorsione che abbiamoconsiderato separatamente saranno presenti simultaneamente. Limitandoci a un breveelenco, possiamo ricordare:

� Il carico su cui la linea �e chiusa non �e indipendente dalla frequenza. Quindi i variechi multipli hanno forma diversa gli uni dagli altri e dal segnale incidente. Unesempio tipico �e quello di una linea che alimenta una porta logica, caratterizzata dauna capacit�a di ingresso, come illustrato in Fig.8.17.

La resistenza in parallelo a C �e Req = (RLZ1) = (RL + Z1), quindi la costante ditempo del gruppo �e CReq. In generale si pu�o dire che gli echi hanno fronti di salitae discesa pi�u arrotondati di quelli del segnale incidente, poich�e il carico si comportasostanzialmente come un �ltro passabasso.

� La non idealit�a della linea di trasmissione si manifesta nel fatto che sia il segnaleincidente sul carico, sia gli echi si distorcano nel corso della propagazione.

� Spesso, come ad esempio nel caso dei circuiti stampati, vi sono molte linee suuna stessa piastra. Queste linee si possono considerare indipendenti solo in pri-ma approssimazione. Un modello pi�u accurato le tratta come linee di trasmissionemulticonduttore in cui si manifestano e�etti di diafonia (cross-talk).

� In�ne molto spesso i carichi connessi alle linee di trasmissione sono non lineari.Questo crea distorsioni ancora pi�u violente, che si possono studiare solo con tecnichenumeriche molto so�sticate.

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