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Relativit generale

La Relativit generale una teoria fisica pubblicata da Albert Einstein nel 1915.

Come disse lo stesso Einstein, fu il lavoro pi difficile della sua carriera, poich bisonava farconverere concetti di eometria euclidea in uno spa!io che poteva non esserlo."no dei motivi che spinsero Einstein ad indaare in #uesta dire!ione fu una #uestione di simmetria$la relativit% ristrettaaveva stabilito l&uualian!a di tutti i sistemi iner!iali, lasciando fuori i sistemiaccelerati, che presentano for!e ben individuabili con un #ualun#ue esperimento. 'uesto poneva isistemi iner!iali su una posi!ioneprivilegiata, diversa rispetto ai non iner!iali. (n pi, la relativit%ristretta aveva mostrato che lo spa!io ed il tempo devono essere trattati insieme se si volionoottenere risultati coerenti) il tempo era diventato una coordinata come le altre * e ad impedire certimovimenti in #uesto spa!io a + dimensioni c& solo il principio di causalit%. (n reioni dello spa!iotempo a + dimensioni infinitamente piccole, per le #uali possibile un&accelera!ione del sistema dicoordinate in maniera da non indurre alcun campo ravita!ionale, resta valida la relativit% ristretta.

-ale, cio, che$

ds/ 0 dx120 dx20 dx*23 dx+2

(l valore del dsnon dipende dal sistema di coordinate da dove colloco l&oriine deli assi e dal suoorientamento2. 'uesto sistema fatto di + assi cartesiani e, perci4, non disenabile, sebbene seuale reole di una eometria euclidea. Einstein introduce il concetto di coordinata temporale, che siaiune ai tre assi spa!iali del sistema cartesiano. 6uttavia, necessaria una scelta convenientedel sistema di coordinate$ occorre che l&unit% di misura della coordinata temporale x+sia scelta inmodo che la velocit% della luce nello spa!io vuoto, misurata nel sistema locale, sia pari a 1. 7estalibera la scelta delle tre coordinate spa!iali.

8isurando lo spa!io e il tempo, l&e#ua!ione consente di determinare la lunhe!!a dell&elementolineare dsche coniune due punti dello spa!iotempo infinitamente vicini.

onostante si tratti di un termine #uadratico, dspu4 assumere valore neativo$

se ds: ; l&elemento ha natura di uno spa!io) viceversa, se ds< ;, l&elemento ha natura di untempo. (n definitiva, non c& una netta demarca!ione fra spa!io e tempo, ma appunto uncontinuum$ si dice che uno spa!io o un tempo, a seconda che l&elemento pi uno spa!io opi un tempo, in base alla componente che prevale.

=acendo tendere a !ero il ds, con la relativit% ristretta si ricava la propaa!ione della luce.

L&e#ua!ione, che assena un seno opposto alle coordinate spa!iali e a #uella temporale, affermache dove lo spa!io si contrae il tempo si dilata passa pi lentamente2) e viceversa dove lo spa!io sidilata, il tempo si contrae.

Come valore certo, in #uesta teoria si sa che, un punto non ha sinificato fisico. L&elemento basedella teoria detto punto piccolo infinitesimale, che in realt% un semento piccolo arbitrariamenteche tende a una lunhe!!a !ero, ossia due punti che tendono a coincidere in uno solo.

(l passo successivo la defini!ione di una eodetica, ossia di una traiettoria naturale del puntonello spa!iotempo. Come l&elemento lineare ds, essa una linea che unisce due punti dello spa!io

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tempo. La particolarit% che per una eodetica si ha un estremo per . La eodetica pertantonon dipende dal sistema di riferimento, in #uanto leata ad una somma interale nel continuo2 dielementi lineari dsla cui defini!ione non dipende dal sistema di coordinate.

(l tensore fondamentale covariante dato dalla$

ds/g>?dx>dx?.

dx>e dx?sono vettori controvariantiche possono essere scelti arbitrariamente. (nvece, vale che g>?/g?>, e perci4g>? un tensore doppio covariante.

'uindi, Einstein applica la matematica del tensoree le propriet% del tensore fondamentale, perdedurre il tensore di 7iemannChristoffel.

"n esperimento ideale per spieare in maniera semplice e concreta #uesto fenomeno, noto comeascensore di Einstein$

su un ascensore in caduta libera, sen!a possibilit% di vedere all&esterno, un&osservatore supporrebbedi essere in assen!a di ravit%) per provarlo, eli lascia cadere una moneta ed osserva che la monetaresta alla stessa alte!!a nella cabina ovvero non cade rispetto ad essa, che per l&osservatore l&unico

punto di riferimento. 'uesto porterebbe allora a dire che un sistema in caduta libera cio in uncampo ravita!ionale2 indistinuibile almeno per un certo periodo2 da un altro non sottoposto adalcuna for!a. @&altra parte, #uando l&ascensore fermo, l&osservatore sente una normale for!a diravit% e una moneta lasciata andare cade ai suoi piedi2) non appena l&ascensore ini!ia a cadere, lamoneta resta a me!!&aria$ in #uesto caso l&osservatore pu4 pensare che sia comparso all&improvviso

un campo ravita!ionale dalla dire!ione del soffitto, che bilancia esattamente #uello di parten!a) dinuovo non pu4 decidere #uale dei due casi sia #uello vero.'uindi i sistemi accelerati non dovevano essere cos ecce!ionali.

@a #uesti presupposti, Einstein cerc4 #uindi di costruire una visionedella realt% parallela a #uelladella lee d&iner!ia$ mentre in #uel caso un corpo si muove, non accelerato, luno una retta se nonviene sottoposto a for!e, in #uesto caso un corpo sottoposto alla sola ravit% si muove luno unatraiettoriache, nello spa!iotempo deformato, corrisponde ad una retta. 'uesta solu!ione vienedefinita$

Curvatura dello spaziotempo

La teoria afferma infatti che lo spa!iotempoviene pi o meno curvatodalla presen!a di una massa)un&altra massa pi piccola si muove allora come effetto di tale curvatura.Bpesso, si raffiura la situa!ione come una palla che deforma il piano del biliardo con il suo peso,

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mentre un&altra pallina viene accelerata da #uesta deforma!ione del piano ed in pratica attratta dallaprima.'uesta solo una semplifica!ione alle dimensioni raffiurabili, in #uanto ad essere deformato lospa!iotempo e non solo le dimensioni spa!iali, cosa impossibile da raffiurare e difficile daconcepire.

L&unica situa!ione che riusciamo a raffiurare correttamente #uella di un universo a 1 dimensionespa!iale ed una temporale. "n #ualun#ue punto materiale rappresentato da una linea linea diuniverso2, non da un punto, che fornisce la sua posi!ione per oni istante$ il fatto che sia fermo o inmoto far% solo cambiare l&inclina!ione di #uesta retta. ra pensiamo di curvaretale universo usandola ter!a dimensione$ #uello che prima era la retta che descriveva un punto, ora diventata unasuperficie. Bu una superficie curva non vale la eometria euclidea, in particolare possibiletracciare un trianolo i cui anoli sommati non forniscono 1D; ed anche possibile procederesempre nella stessa dire!ione, ritornando dopo un certo tempo al punto di parten!a.

Descrizione della gravitazioneFer descrivere o melio ancora definire il concetto di Gravit%, pono subito un esempio.

ni particella di materia si muove a velocit costanteluno una curva, chiamata eodeticache inoni momento cio localmente2 pu4 essere considerata retta. La sua velocit% data dal rapporto trala distan!a spaziale percorsa ed il tempo proprio, dove il tempo proprio #uello misurato nelriferimento della particella, mentre la distan!a spa!iale dipende dalla metrica che definisce lastruttura dello spa!iotempo. La curvatura determina l&effettiva forma delle eodetiche e #uindi ilcammino che un corpo seue nel tempo.(n parole pi semplici possiamo dire$ un corpo si muove nello spa!iotempo sempre luno una

eodetica, allo stesso modo in cui nella meccanica classica un corpo non sottoposto a for!e simuove luno una retta. Be la struttura dello spa!iotempo in #uel punto piatta, la eodetica sar%proprio una retta, altrimenti assumer% forme diverse, ma il corpo la seuir% comun#ue. (n #uestomodo, la ravit% viene ad essere inlobata nella struttura dello spa!iotempo. Ancora una volta, danotare che tale curvatura applicata non solo alle coordinate spa!iali, ma anche a #uella temporale.

Fondamenti della teoria

(n presen!a di sistemi accelerati o, che lo stesso, sistemi sotto l&influen!a della ravit%2, sipossono definire come iner!iali solo !one locali di riferimenti e per brevi periodi. 'uesto

corrisponde ad approssimare con un piano ci4 che sarebbe curvo su lara scala2. (n tali situa!ionivalono ancora le lei di eHton. 8atematicamente Einstein descrive lo spa!iotempo come unopseudospa!io di 7iemann a + dimensioni) la sua e#ua!ione di campo lea la curvatura in un puntoal tensore eneria in #uel punto, essendo tale tensore dipendente dalla densit% di materia ed eneria.L&equazione di campoindicata da Einstein non l&unica possibile, ma si distinue per la semplicit%dell&accoppiamento tra materiaIeneria e curvatura. 6ale e#ua!ione contiene un termine J, chiamatocostante cosmoloica, introdotto da Einstein per permettere un universo statico. eli annisuccessivi osserva!ioni dellKastronomo E. ubble mostrarono che l&universo o comun#ue appare2in espansione, ed il termine cosmoloico venne omesso lo stesso Einstein iudic4 un errore la suaintrodu!ione2. Bembra per4 che Einstein avesse raione anche #uando sbaliava$ infatti nel 199D,l&osserva!ione dello spostamento verso il rosso di supernovae lontane, ha costretto li astronomi a

impieare una costante cosmoloica per spieare l&accelera!ione dell&espansione dell&"niverso.

La forma dell&e#ua!ione di campo $

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dove$

R>?$ tensore di curvatura di 7icci,R$ scalare di curvatura di 7icci,cio la traccia diRikg>?$ tensore metrico,J$ costante cosmoloica,T>?$ tensore stresseneria,c$ velocit% della luce,G$ costante ravita!ionale.

(l tensoreg>?descrive la metrica dello spa!iotempo ed un tensore simmetrico +M+, che #uindi ha1; componenti indipendenti) date le + coordinate utili!!ate, le e#ua!ioni indipendenti si riducono aN.

Soluzioni dell'equazione di campo

8olte sono le solu!ioni dell&e#ua!ione di campo e tutte dipendono dal sistema che si staconsiderando. Fossono inoltre distinuersi in solu!ioni localioglobali.

Le solu!ioni locali, in cui si considera per esempio una massa posta nell&oriine del sistema diriferimento, presupponono una metrica che descriva uno spa!iotempo piatto per randi distan!edall&oriine. 'ueste solu!ioni si dividono a seconda dei valori assunti dai parametri m massa2, amomento anolare2, Qcarica elettrica2, tutte #uantit% espresse con la conven!ione semplificativa

G / c / 1. vviamente nel caso Q sia non nulla, oltre all&e#ua!ione di campo di Einstein, sidovranno risolvere simultaneamente le e#ua!ioni di 8aMHell del campo elettromanetico. (noltresi distinuono solu!ioni nel vuoto #uanto Tik nullo, o nella materia #uando Tik non nullo permateria si intende sia massa che eneria2.

Le solu!ioni pi conosciute utili!!ate in cosmoloia sono

la metrica di 7obertson OalPer la metrica =L7O, un ampliamento della precedente

-i sono poi #uelle utili!!ate per lo studio teorico dei buchi neri, derivate ponendo J / ; e Tik/ ;$

mQ;, a/;, '/; corpo dotato di massa, non rotante, scarico2$ solu!ione di Schwarzschild. mQ;, aQ;, '/; corpo dotato di massa, rotante, scarico2$ solu!ione di Kerr. mQ;, a/;, 'Q; corpo dotato di massa, non rotante, carico2$ solu!ione di Reissner-

Nordstrm. mQ;, aQ;, 'Q; corpo dotato di massa, rotante, carico2$ solu!ione di Kerr-Newmann.

@al precendete prospetto si pu4 vedere come, una volta ricavata la metrica ovvero il ds/gikxixk2 diRerreHmann, si possano ricavare tutte le altre per semplifica!ione, ponendo di volta in volta ivari paramentri a !ero.

!etrica di Kerr-Newmann

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La metrica di RerreHmann dun#ue con mQ;, aQ; e 'Q;, ed #uindi a simmetria assiale$

dove

S / r0 Mr3 Q3 a

raccoliendo i termini con i differen!iali simili

ds

0 TS 0 1dr

si pu4 scrivere la matrice che rappresenta il tensore metrico

!etrica di Kerr

Annullando Qnella metrica di RerreHmann si ottiene la metrica di Rerr, solu!ione dell&e#ua!ionedi campo sen!a campo elettromanetico2, anch&essa a simmetria assiale$

dove ora

S / r0 Mr3 a+

perando lo stesso tipo di raccolimento che per la metrica di RerreHmann, si pu4 scrivere larapprensenta!ione matriciale dell tensore metrico

!etrica di Reissner-Nordstrm

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Be nella metrica di RerreHmann, invece della carica elettrica Q, si annullasse il momentoanolare a, si otterrebbe la metrica di 7eissnerordstrUm, a simmetria sferica$

dove

S / r0 Mr3 QT / r

e la rappresenta!ione matriciale

!etrica di Schwarzschild

Be infine si ponono a/; e '/; si ottiene la metrica di BchHar!schild, solu!ione delle e#ua!ioni diEinstein sen!a campo elettromanetico2 in simmetria sferica. Bi avr% #uindi

sapendo che ora

S / r0 MrT / r

e in forma matriciale su avr%

Le singolarit della metricarisultano #uando , per cui, nella metrica di BchHar!schildsi verificano #uando

r/ ;

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el primo caso si ha una sinolarit% eliminabilecambiando sistema di riferimento e corrisponde alraio di BchHar!schild ovvero la distan!a dal centro del buco nero a cui si forma l&ori!!onte delieventi2. (l fatto che la sinolarit% sia eliminabile spieabile considerando che le eodetichenon siinterrompono attraversando l&ori!!onte deli eventi. el secondo caso, viceversa, si tratta di unasinolarit% non eliminabile e corrisponde ad una curvatura infinita dello spa!iotempo, spesso

raffiurata come un imbuto sen!a fine, una smaliatura nel tessuto spa!iotemporale.

Con"erme sperimentali

"na delle conferme pi recenti alla teoria della relativit%, data dall&effetto lente ravita!ionale.

La luce emessa da una sorente lontana, transitando nelle vicinan!e di un oetto molto massicciopu4 venire deviata, con un effetto complessivo che pu4 sdoppiare o melio trasformare in unanello2, l&immaine della sorente.

Illustrazione dell'effetto lente gravitazionale: la sorgente "reale" quella

presente nel riquadro in alto a destra. Il percorso della luce rappresentatodalle frecce bianche, mentre quelle arancio, permettono di ricostruire laposizione apparente (cio quella che vediamo), della sorgente ovvero laposizione delle sue immagini generate dalleffetto lente gravitazionale.

V recente inoltre, la scoperta indiretta dell&esisten!a dei buchi neri, oetti pesanti e compatti dallacui superficie non pu4 sfuire #uasi2 nulla, essendo la velocit% di fua superiore a #uella dellaluce. Quasinulla in #uanto il fisico Btephen aHPin ha dimostrato come i buchi neri evaporino

perdendo particelle, per lo pi fotoni, tanto pi velocemente #uanto pi piccola la massa del buconero. 'uesto risultato deriva direttamente dalla conserva!ione del secondo principio dellatermodinamica, ed stata la prima applica!ione coniunta di relativit% enerale e meccanica#uantistica.

Bono inoltre in atto alcuni esperimenti per la reistra!ione di onde ravita!ionali, anch&esse previstedalla teoria$ tali onde si svilupperebbero #uando due corpi con un enorme campo ravita!ionaleorbitano a distan!a ravvicinata l&uno con l&altro. "n altro risultato che confermerebbe la teoria il

cosiddettoframe dragging, ossia il trascinamento del sistema di riferimento da parte di masse inrota!ione.

el ;;+ alcuni ricercatori della Cornell "niversitW hanno provato a simulare una diversa costanteravita!ionale per fermioni e bosoni, e hanno rilevato che #uesta ipotesi sembra essere in accordocon l&abbondan!a relativa dell&elio nell&universo primordiale.