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Es. Punti

1

2

3

4

5

6

Tot.

Recupero sul 1° compitino di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano

A.A. 2013/2014. Prof. M. BramantiTema n°1

Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________

codice persona (o n° di matricola)_________________________________________

n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________

Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:

Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________

1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo

tutte le soluzioni e dicendo esplicitamente quante sono:in forma esponenziale

a b# � #3 D œ D#

Recupero sul 1° compitino di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Tema n°1_________________________________________________________________________________

2

2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai

grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul

grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di

passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il

grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)

0 B œ B � "a b k ka bk kSh

(a partire dal grafico di Sh ).B

3. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o

irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi

utilizzati.

lim8Ä�_

8

#8

a b a b�" #8 � " x

8Þ


3

4. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba bB Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di

flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto

verticale ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto inábase alla sola stima asintotica.

0 B œ à B œ !Þ$B

#B � $B #Ba b a b a ba b a blog

sin

cosB †Ch

Sh

#Î$ !

5. Studio qualitativo di funzione con limiti e asintoticiÞTracciare rapidamente il grafico

qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni

elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate).

In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui si annulla e alla frontiera0dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente

orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche

dove, in base alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo.

0 B œB B

B � "a b k kk kÈlog

$.


4

6. Derivata della funzione inversa. Sia

0 B œ /B � "

B � #a b Œ ��B .

Dopo aver dimostrato che è strettamente monotona, e quindi invertibile, nell'intervallo0a b#ß�_ , detta l'inversa di in tale intervallo, calcolare 1 0 1 Þw %/ˆ ‰

$

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Tot.








1. Derivata e punti di non derivabilità. Della seguente funzione si chiede di:0 Ba bdeterminare l'insieme di definizione; determinare l'insieme in cui è derivabile; calcolare la

derivata, ove esiste; studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di

punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità...).

0 B œ B " � Ba b k kk karcsin

Attenzione: leggere attentamente che cosa è richiesto dall'esercizio e che cosa no! Questo

esercizio non è uno "studio di funzione" ma uno "studio della derivabilità e dei punti di non

derivabilità di una funzione".


2

2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E' richiesto in

particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell'insieme di definizione, eventuali

asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo

e dei valori massimi e minimi, studio degli eventuali punti di non derivabilità, determinazione

dei punti di flesso.

0 B œ B Ba b k kÈ k klog .


3

3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli

strumenti del calcolo differenziale (teorema di De L'Hospital / formula di Taylor -

MacLaurin):

limsin

BÄ!

B B � B

# � B B � # B

c da bSh

Sh Ch

4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con

precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.

"c da b8œ"

_ 8

8

#8 x

8a b#


4

5. Calcolare il seguente integrale definito e :semplificare l'espressione trovata

( È!

"#$ � #B .BÞ

6. Calcolare il seguente integrale definito:

( k k!

#

B B .BÞlog

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0 B œ " � " � Ba b Š ‹Èlog$ #Î$





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dei punti di flesso. (Non è richiesto lo studio del segno di e le intersezioni con l'asse ).0 B

0 B œ / % B � " � Ba b k kˆ ‰�B # .


3



MacLaurin):

limlog log

BÄ/

$ #

$

B B

B � /

a bˆ ‰È È$ $



"” •Œ �8œ"

_�

8/ � 8 � " �"

#8Š ‹" "8 8#


4

5. Calcolare il seguente integrale definito :e semplificare l'espressione ottenuta

( a b!

# #

1'

sin cos#B B.BÞ

6. Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando

le proprie conclusioni:

J B œ .>Þ>

> � "a b ( a bk k#

B "Î$sin

log

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A.A. 2013/2014. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n°1



a b# � #3 D œ D#

Sia D œ 3/3*

D œ /# # #33 *

D œ /3 �3*

# � #3 œ # #/È �31%

# #/ / œ /È �3 # #3 �31%3 3* *

œ È# # œ# � œ �

3 3

* *

#

%1

ā 3 3

* 1 *

œ !ß œ

$ œ � #5 œ � #5

"# #

% "# $

È1 1 1

D œ !ß D œ / 5 œ !ß "ß #Þ"

# #È 3 �#5ˆ ‰1 1"# $ per

Le soluzioni sono in tutto.%

2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai

grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul

grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di

passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il

grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)

0 B œ B � "a b k ka bk kSh

(a partire dal grafico di Sh ).B

Recupero sul 1° compitino di Analisi 1. Ing. Elettronica. A.A. 2013/14. Svoglimento Tema n°1_________________________________________________________________________________

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-3 -2 -1 1 2 3

-10

-5

5

10

-2 -1 1 2 3 4

-10

-5

5

10

Sh ShB B � "a b

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

-3 - 2 -1 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Sh Sha b k kk k a bk kB � " B � "



utilizzati.

lim8Ä�_

8

#8

a b a b�" #8 � " x

8Þ

Sia:

+ œ ß#8 � " x

88 #8

a bsuccessione a termini positivi, e studiamola col criterio del rapporto.

+ #8 � $ x

+œ

8 � "

8�"

8#8�#

a ba b † œ µ œ " "ß

8 #8 � $ #8 � # %8 %

#8 � " x 8 / /8 � " † " �

#8 #

# "8

#8 # # #a b a ba ba b ˆ ‰

quindi +8 Ä !Þ Per il criterio del confronto, anche la successione di partenza tende a zero:

º ºa b a b�"œ + Ä !Þ

8

#8

#8 � " x

88


3






sin

cosB †Ch

Sh

#Î$ !

Per B Ä !ß

0 B µ µ � œ � BB � " " B "

† # 'B "#a b cos

$B #B#Î$

#

"�#Î$"Î$

B œ ! punto di discontinuità eliminabile, flesso a tangente verticale, discendente.

5. Studio qualitativo di funzione con limiti e asintoticiÞTracciare rapidamente il grafico

qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni

elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate).

In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui si annulla e alla frontiera0dell'insieme di definizione. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente

orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche

dove, in base alle informazioni raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo.

0 B œB B

B � "a b k kk kÈlog

$.

Definita per B Á !ß B Á �"ÞPer , punto di discontinuità eliminabile, B Ä ! ß 0 B µ Ä ! B œ ! 0 ! œ !Þ„ „a b a bB Bk kk klog

Poiché nell'origine ha tangente verticale (punto di flesso a0 B ÎB µ Ä �_ßa b k kk klog Btangente verticale, ascendente).

Per B Ä �" ß„

0 B µ � µ � Ä !� �a b k k k ka bÈ È a bk klog B B � "

B � " B � "œ � B � " B � "

$ $sgn

#Î$ …

B œ �" punto di discontinuità eliminabile, di flesso a tangente verticale, discendente.


4

0 " œ !ß B Ä " ßa b per „

0 B µ µa b k k k kÈ ÈlogB B � "

# #$ $

B œ " punto angoloso e di minimo relativo.

Per B Ä „_ß

0 B µ Ä �_a b B B#Î$logk kcon crescita sottolineare (senza asintoto obliquo).

Ci saranno un punto di minimo in e un punto di massimo in .a b a b�"ß ! !ß "Grafico:


0 B œ /B � "

B � #a b Œ ��B .


$

0 B œwa b / � œ B � " B � # � $ œB � " B � # � B � " �/

B � # B � # B � #�B

# #

�B� �a ba b a b c da ba b�

œ aB − #ß�_ Þ�/

B � #B � B � " " !

�B

##a b ˆ ‰ a b

Quindi sull'intervallo considerato è strettamente decrescente. Poiché0


5

0 $ œ %/ ß 1 %/ œ œ"

0 $a b ˆ ‰ a b�$ w �$

w

œ œ � Þ" /

(�/ * � $ � "�$a b$

1

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Tot.






0 B œ B " � Ba b k kk karcsin




Definita per k kk k" � B Ÿ "ß�# Ÿ B Ÿ #ÞMi aspetto eventuali punti di non derivabilità dove si annullano i valori assoluti e dove

l'argomento di vale , cioè nei punti:arcsin "B œ !ß B œ „"ß B œ „# �#ß #. Negli altri punti dell'intervallo la funzione è derivabilea b

con:

0 B œ † B Þwa b a barcsink k a bk k k kÉ a bk k" � B � B � "B

" � " � B #sgn sgn

La funzione è dispari.

Per B Ä ! ß„

0 B Ä#

wa b 1,

perciò è derivabile in .0 !Per ,B Ä "„

0 B µ Ä „"ßwa b sgna bB � "

quindi punto angoloso. Per simmetria, anche è punto angoloso.B œ " B œ �"Per B Ä # ß�

0 B µ Ä �_ßwa b #

# # � BÈ a bB œ # punto a tangente verticale (da sinistra).

Per simmetria, anche è punto a tangente verticale (da destra).�#





2




Definita per: B Á !ÞPer .B Ä ! ß 0 B Ä !„ „a bB œ ! 0 ! œ ! punto di discontinuità eliminabile, poniamo .a bFunzione dispari, studiamola per B ā !ß

0 B œa b B BÈk klog

Per con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo). ProbabiliB Ä �_ß 0 B Ä �_a bpunti di non derivabilità dove si annulla l'argomento del modulo, cioè . Calcoliamo:B œ "

0 B œ † B œ"

B

B ā "

! " B " "wa b a b

ÚÛÜÈk k Èk kÈk kÈk klog

log

log

logB �

B

# B

B �

B �sgn

per

per log

"# B

"# B

Èk kÈk k

log

log

Per .B Ä ! ß 0 B Ä �_� wa b(Per simmetria, per ), quindi punto di flesso a tangenteB Ä ! ß 0 B Ä �_ B œ !� wa b

verticale, ascendente.

Per B Ä " ß 0 B µ „ Ä „_Þ„ wa b "# BÈk klog

B œ " 0 " œ ! punto di cuspide, verso il basso, e punto di minimo relativo. .a bPer simmetria, punto di cuspide, verso l'alto, e punto di massimo relativo.B œ �"

0 �" œ !a b .

Studiamo il segno di . Per 0 B ā "ßw

0 B � !wa b per Èk k Èk kloglog

B � � !ß"

# B

# B � "

# B� !ß B � / B ā " 0 B ā !

log

logÈ a b�"Î# w, cioè (per ) sempre.

Per ! " B " "ß


B � � !ß"

# B

�# B � "

# B� !ß B Ÿ / Þ

log

logÈk k �"Î#

Quindi punto di massimo relativo. B œ / 0 / œ Þ�"Î# �"Î# "#/

ˆ ‰ ÈPer simmetria, B œ �/ 0 � / œ ��"Î# �"Î# "

#/ punto di minimo relativo, .ˆ ‰ È

Calcoliamo la derivata seconda.

Per B ā "ß

0 B œ � œ � ! B � /Þ" " # B � "

#B B %B B %B B

ww$Î# $Î#

a b È a b a b Èlog log log

log per


3

B œ /È punto di flesso a tangente obliqua.

(Per simmetria, punto di flesso a tangente obliqua).B œ � /ÈPer ! " B " "ß

0 B œ � � œ � ! B � / !ß "" " # B � "

#B B %B B %B B

ww$Î# $Î#

a b a bÈk k k k k k Èlog log log

log per , cioè in mai.

In è concava verso il basso.a b!ß " 0Grafico:



MacLaurin):

limsin

BÄ!

B B � B

# � B B � # B

c da bSh

Sh Ch

Den. œ # � B B � � 9 B � # " � � � 9 B œB B B

' # %xŒ � Œ �ˆ ‰ ˆ ‰$ # %

$ %

œ B � � 9 B" #

' #%% %Œ � ˆ ‰ µ B Þ

"

"#%


4

Num. œ B B � � 9 B � B � � 9 B � 9 B � B œB " B

' ' '– —Œ � Œ �ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰$ $$ $ $

$

œ B B � � B � 9 B � B œ B œ 9B "

' '” •ˆ ‰ ÷ ‘ ˆ ‰$

$ $ 9 B B Þˆ ‰$ %

0 B9a b ˆ ‰

µ Ä !ÞB

B

%

""#

%



"c da b8œ"

_ 8

8

#8 x

8a b#

Serie a termini positivi. Applico il criterio della radice per le serie.

a b a b+ œ ´ , Þ

#8 x

88 8

"Î8

8

Calcoliamo ora . Per far questo usiamo il criterio del rapporto per le successioni.lim8Ä�_

8,

, # 8 � " x 8 #8 � # #8 � "

, #8 xœ œ

8 � " 8 � " " �

8�"

88�"

8

"8

8c d a ba ba ba b a b a bˆ ‰ µ œ Ä �_ß

%8 %8

8/ /

#

pertanto ,8 Ä �_ e per il criterio della radice la serie di partenza diverge.


( È!

"#$ � #B .BÞ

È È Ê Ê Ê$ � #B œ # � B à B œ >à .B œ >.>à >$ $ $

# # ## # sin cos − !ß

#

$– —Êarcsin

( (È È! !

"#$ � #B .B œ #

arcsin arcsinÉ É#$

#$Ê Ê È ” •$ $ $ > > � >

# # # #> .> œ # œcos

sin cos#

!

œ$ # " # " $ #

% $ $ # % $# � œ � # Þ

$È È� �Ê Ê ÊÈ arcsin arcsin


5


( k k!

#

B B .BÞlog

( ( (k k! ! "

# " #

B B .B œ � B B.B � B B.BÞlog log log

( (B B.B œ B � B � � -ÞB B B B

# # # %log log log

# # # #

† .B œ"

B

( k k ” • ” •!

# # # # #

! "

" #

B B .B œ B � � B � œ � # # � " � œ # # � ÞB B B B " " "

# % # % % % #log log log log log�

1

Es. Punti

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Tot.






0 B œ " � " � Ba b Š ‹Èlog$ #Î$




Definita per:

" � " � B ā !ß B " #ßÈ$ #Î$ #Î$

k k ÈB " # #.

Mi aspetto punti di non derivabilità in e B œ ! B œ „".

Altrove, nell'insieme di definizione, esiste

0 B œ † † � Þ" " #

$ $Bw

#Î$ "Î$a b a b Œ �

" � " � B " � BÈ$ #Î$ #Î$

Per B Ä ! ß„

0 B µ † † � œ � Ä …_Þ" " # "

$ $B *Bw

"Î$ "Î$a b Œ �

#

B œ ! punto di cuspide verso l'alto.

Per B Ä " ß„

0 B µ † � Ä �_ß" #

$ $w

#Î$a b a b Œ �

" � B#Î$

B œ " punto di flesso a tangente verticale, discendente.

La funzione è pari, per simmetria è punto di flesso a tangente verticale,B œ �"ascendente.






2


0 B œ / % B � " � Ba b k kˆ ‰�B # .

Definita per ogni B − ‘.

Per B Ä „_ß

0 B µ �B / Ä! C œ ! B Ä �_�_

a b œ# �B� asintoto orizzontale per

con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo)

Probabile punto angoloso per (dove si annulla il modulo).B œ �"Calcoliamo:

Per :B ā �"

0 B œ / �% B � " � B � % � #B œ / B � 'B � !w �B # �B #a b a bˆ ‰ ˆ ‰ per

�" " B Ÿ !ß B � '

B œ ! 0 ! œ %à punto di massimo relativo: a bB œ ' 0 ' œ �)/ punto di minimo relativo: a b �'

Per :B " �"

0 B œ / % B � " � B � % � #B œ / B � #B � !w �B # �B #a b a bˆ ‰ ˆ ‰ per

B Ÿ �#

B œ �# 0 �# œ ! punto di massimo relativo: a blim

BÄ �"

w

a b„0 B œ(/�/

a b œB œ �" 0 �" œ �/ punto angoloso e di minimo relativo: .a bCalcoliamo la derivata seconda.

Per B ā �"

0 B œ / �B � 'B � #B � ' œ / �B � )B � ' � !ww �B # �B #a b ˆ ‰ ˆ ‰ per

% � "! Ÿ B Ÿ % � "!È Ècon punti di flesso a tangente obliqua in .B œ %„ "!È

Per B " �"

0 B œ / �B � #B � #B � # œ / �B � # � !ww �B # �B #a b ˆ ‰ ˆ ‰ per

� # Ÿ B " �"Ècon punto di flesso a tangente obliqua in .B œ � #È


3

Grafico:



MacLaurin):

limlog log

BÄ/

$ #

$

B B

B � /

a bˆ ‰È È$ $

Per B Ä /ß

B B / # B )/ B � " B � "

B � / B � / B � /œ )/ Þ

B � /

log log log log log log$ #

$ $ $

$ $ $a b c d c dˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰È È È È È Èa b � �È È$ $ $ $ $ $ $ $µ µ

Per De L'Hospital,

lim limlog

BÄ/ BÄ/

" "B /" "

$B $/"Î$

B � " $

B � /œ œ œ

/È È$ $#Î$ #Î$

,

quindi

0 B )/ œ #($

/a b Œ �µ † ) œ #"'Þ

"Î$

$


4



"” •Œ �8œ"

_�

8/ � 8 � " �"

#8Š ‹" "8 8#

Per studiare la serie, sviluppiamo:

/ œ " � � � � � � � 9 œ" " " " " " " " "

8 8 # 8 8 ' 8 8 8Š ‹" "8 8#�

# # # $

# $Œ � Œ � Œ � Œ �

œ " � � � � � � 9 œ" " " " # " " "

8 8 # 8 8 ' 8 8Œ � Œ � Œ � Œ �# # $ $ $

œ " � � � � 9" " & "

8 #8 '8 8# $ $Œ �quindi

+ œ 8 � " � � � 9 � 8 � " � œ � � 9 �" & " " & " &

#8 '8 8 #8 '8 8 '88 # # # # #” • Œ �Œ � Œ � µ

quindi la serie è a termini definitivamente negativi e per il criterio del confronto asintotico

e il confronto con la serie armonica generalizzata convergente, .! "8# converge


( a b!

# #

1'

sin cos#B B.BÞ

( (a b a bŒ � ” •! !

# # #

1 1' '

sin cos sincos

#B B.B œ #B .B œ #B œ >à B œ .>" � #B "

# #

œ > " � > .> œ œ" "

% %( a b ” •!

#

!

1 1

$ $

sin cos> � > > >

# $�

sin cos sin$

="

% #%œ Þ

Ô ×Õ Ø

1$ �

# )�

$È$%

È 1



J B œ .>Þ>

> � "a b ( a bk k#

B "Î$sin

log

0 > œ >a b a bk ksin

log

>>�"

"Î$

è definita per Á �" > � " œ "ß; il denominatore si annulla per quindik k> œ !ß > œ �#Þ


5

Per > Ä !ß

0 > œ µ œ> "

> >a b a ba bsin

log

>

> � "

"Î$ "Î$

#Î$,

e è integrabile in un intorno di .0 !Per > Ä �"ß

0 > µ Ä !a b � "

> � "

a bk ksin

log

"Î$

,

> œ �" 0 �" punto di discontinuità eliminabile, e è integrabile in un intorno di .

Per > Ä �#ß

0 > œ µ Ä _� > � #

#a b a ba ba bsin

log

>

> � "

"Î$sin

"Î$

del prim'ordine, quindi non integrabile. Perciò l'insieme di definizione di èJ

a b�#ß�_ Þ

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Primo appello di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano



n° di matricola___________________________________________________________






a b# � #3 D œ D#



utilizzati.

lim8Ä�_

8

#8

a b a b�" #8 � " x

8Þ


0 B œ /B � "

B � #a b Œ ��B .


$






0 B œ / % B � " � Ba b k kˆ ‰�B # .

1° appello di Analisi Matematica 1. A.A. 2013/14. Prof. M. Bramanti. Tema n°1_________________________________________________________________________________

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"” •Œ �8œ"

_�

8/ � 8 � " �"

#8Š ‹" "8 8#

6. Calcolare il seguente integrale indefinito:

( B � #

B � 'B � *.BÞ

$

#


( È!

"#$ � #B .BÞ



J B œ .>Þ/ #

> > � $ $ � >a b ( – —k k

a b a b1Î#

"Î#B "Î "�>

#

a b � >

log

1

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Tot.




n° di matricola___________________________________________________________





tutte le soluzioni e dicendo esplicitamente quante sono:in forma algebrica

Œ �D � "

3œ

%

�) � )3 $È2. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba b

B Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di





sin

cosB †Ch

Sh

#Î$ !



MacLaurin):

limlog log

BÄ/

$ #

$

B B

B � /

a bˆ ‰È È$ $







1° appello di Analisi Matematica 1. A.A. 2013/14. Prof. M. Bramanti. Tema n°2_________________________________________________________________________________

2



"c da b8œ"

_ 8

8

#8 x

8a b#


( k k!

#

B B .BÞlog


( a b!

# #

1'

sin cos#B B.BÞ



J B œ .>Þ>

> � "a b ( a bk k#

B "Î$sin

log

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

7

8

Tot.





a b# � #3 D œ D#

Sia D œ 3/3*

D œ /# # #33 *

D œ /3 �3*

# � #3 œ # #/È �31%

# #/ / œ /È �3 # #3 �31%3 3* *

œ È# # œ# � œ �

3 3

* *

#

%1

ā 3 3

* 1 *

œ !ß œ

$ œ � #5 œ � #5

"# #

% "# $

È1 1 1

D œ !ß D œ / 5 œ !ß "ß #Þ"

# #È 3 �#5ˆ ‰1 1"# $ per

Le soluzioni sono in tutto.%



utilizzati.

lim8Ä�_

8

#8

a b a b�" #8 � " x

8Þ

Sia:

+ œ ß#8 � " x

88 #8

a bsuccessione a termini positivi, e studiamola col criterio del rapporto.

1° appello di Analisi Matematica 1. A.A. 2013/14. Prof. M. Bramanti. Svolgimento Tema n°1_________________________________________________________________________________

2

+ #8 � $ x

+œ

8 � "

8�"

8#8�#

a ba b † œ µ œ " "ß

8 #8 � $ #8 � # %8 %

#8 � " x 8 / /8 � " † " �

#8 #

# "8

#8 # # #a b a ba ba b ˆ ‰

quindi +8 Ä !Þ Per il criterio del confronto, anche la successione di partenza tende a zero:

º ºa b a b�"œ + Ä !Þ

8

#8

#8 � " x

88


0 B œ /B � "

B � #a b Œ ��B .


$

0 B œwa b / � œ B � " B � # � $ œB � " B � # � B � " �/

B � # B � # B � #�B

# #

�B� �a ba b a b c da ba b�

œ aB − #ß�_ Þ�/

B � #B � B � " " !

�B

##a b ˆ ‰ a b

Quindi sull'intervallo considerato è strettamente decrescente. Poiché0

0 $ œ %/ ß 1 %/ œ œ"

0 $a b ˆ ‰ a b�$ w �$

w

œ œ � Þ" /

(�/ * � $ � "�$a b$






0 B œ / % B � " � Ba b k kˆ ‰�B # .

Definita per ogni B − ‘.

Per B Ä „_ß

0 B µ �B / Ä! C œ ! B Ä �_�_

a b œ# �B� asintoto orizzontale per

con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo)

Probabile punto angoloso per (dove si annulla il modulo).B œ �"Calcoliamo:


3

Per :B ā �"

0 B œ / �% B � " � B � % � #B œ / B � 'B � !w �B # �B #a b a bˆ ‰ ˆ ‰ per

�" " B Ÿ !ß B � '

B œ ! 0 ! œ %à punto di massimo relativo: a bB œ ' 0 ' œ �)/ punto di minimo relativo: a b �'

Per :B " �"

0 B œ / % B � " � B � % � #B œ / B � #B � !w �B # �B #a b a bˆ ‰ ˆ ‰ per

B Ÿ �#

B œ �# 0 �# œ ! punto di massimo relativo: a blim

BÄ �"

w

a b„0 B œ(/�/

a b œB œ �" 0 �" œ �/ punto angoloso e di minimo relativo: .a bCalcoliamo la derivata seconda.

Per B ā �"

0 B œ / �B � 'B � #B � ' œ / �B � )B � ' � !ww �B # �B #a b ˆ ‰ ˆ ‰ per

% � "! Ÿ B Ÿ % � "!È Ècon punti di flesso a tangente obliqua in .B œ %„ "!È

Per B " �"

0 B œ / �B � #B � #B � # œ / �B � # � !ww �B # �B #a b ˆ ‰ ˆ ‰ per

� # Ÿ B " �"Ècon punto di flesso a tangente obliqua in .B œ � #È


4

Grafico:



"” •Œ �8œ"

_�

8/ � 8 � " �"

#8Š ‹" "8 8#

Per studiare la serie, sviluppiamo:

/ œ " � � � � � � � 9 œ" " " " " " " " "

8 8 # 8 8 ' 8 8 8Š ‹" "8 8#�

# # # $

# $Œ � Œ � Œ � Œ �

œ " � � � � � � 9 œ" " " " # " " "

8 8 # 8 8 ' 8 8Œ � Œ � Œ � Œ �# # $ $ $

œ " � � � � 9" " & "

8 #8 '8 8# $ $Œ �quindi

+ œ 8 � " � � � 9 � 8 � " � œ � � 9 �" & " " & " &

#8 '8 8 #8 '8 8 '88 # # # # #” • Œ �Œ � Œ � µ

quindi la serie è a termini definitivamente negativi e per il criterio del confronto asintotico

e il confronto con la serie armonica generalizzata convergente, .! "8# converge


5

6. Calcolare il seguente integrale indefinito:

( B � #

B � 'B � *.BÞ

$

#

( ( (– —a b a ba bB � # #(B � &# B #( B � $ � )" � &#

B � 'B � * #.B œ B � ' � .B œ � 'B � .B œ

B � $ B � $

$ #

# # #

œ � 'B � .B � #* œ � 'B � #( B � $ � � -B #( .B B #*

# B � $ # B � $B � $

# #

#( ( a b k k a blog


( È!

"#$ � #B .BÞ

È È Ê Ê Ê$ � #B œ # � B à B œ >à .B œ >.>à >$ $ $

# # ## # sin cos − !ß

#

$– —Êarcsin

( (È È! !

"#$ � #B .B œ #

arcsin arcsinÉ É#$

#$Ê Ê È ” •$ $ $ > > � >

# # # #> .> œ # œcos

sin cos#

!

œ$ # " # " $ #

% $ $ # % $# � œ � # Þ

$È È� �Ê Ê ÊÈ arcsin arcsin



J B œ .>Þ/ #

> > � $ $ � >a b ( – —k k

a b a b1Î#

"Î#B "Î "�>

#

a b � >

log

0 > > " $ß >a b è definita per Á !ß "ß #ÞPoiché esaminiamo i punti interi in quest'ordine:1Î# − "ß #a bPer > Ä " ß�

0 > µ Ä !% #

a b /"

"�>a blog

�

(confronto di infinitesimi), mentre per in modo esponenziale, quindi > Ä " ß Ä �_ 0�% #/

""�>a blog

non è integrabile in un intorno sinistro di , ma è integrabile in un intorno destro."Per > Ä #ß

0 > µ� >

# # � > � >a b a b/ # "

œ # � >#/ #

�" "Î#

"Î#

k kk k a bsgn

integrabile perché infinito di ordine ."Î#


6

Per > Ä $�

0 > µ Ä �_a b /

$ > � $ $ � >

�#

#a b a blog

non integrabile (di ordine maggiore di ). Quindi l'insieme di definizione di è:" J

" Ÿ B " $.

1

Es. Punti

1

2

3

4

5

6

7

8

Tot.




tutte le soluzioni e dicendo esplicitamente quante sono:in forma algebrica

Œ �D � "

3œ

%

�) � )3 $ÈSia . Risolviamo primaA œ D�"

3

A œ "'/% 3 %$1

A œ #/ ß 5 œ !ß "ß #ß $Þ3 �5ˆ ‰1 1$ #

D � "

3œ Aß D œ 3A � " œ / A � " œ31#

œ #/ � " œ3 � 5�"ˆ ‰a b1 1$ #

„ " � $3 � "à„ � $ � 3 � " œŠ ‹ Š ‹È ÈœÈ È È ÈŠ ‹ Š ‹$3à �# � $3à � $ � " � 3à $ � " � 3

le soluzioni sono quattro.






sin

cosB †Ch

Sh

#Î$ !

Per B Ä !ß

0 B µ µ � œ � BB � " " B "

† # 'B "#a b cos

$B #B#Î$

#

"�#Î$"Î$


2

B œ ! punto di discontinuità eliminabile, flesso a tangente verticale, discendente.



MacLaurin):

limlog log

BÄ/

$ #

$

B B

B � /

a bˆ ‰È È$ $

Per B Ä /ß

B B / # B )/ B � " B � "

B � / B � / B � /œ )/ Þ

B � /

log log log log log log$ #

$ $ $

$ $ $a b c d c dˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰È È È È È Èa b � �È È$ $ $ $ $ $ $ $µ µ

Per De L'Hospital,

lim limlog

BÄ/ BÄ/

" "B /" "

$B $/"Î$

B � " $

B � /œ œ œ

/È È$ $#Î$ #Î$

,

quindi

0 B )/ œ #($

/a b Œ �µ † ) œ #"'Þ

"Î$

$







Definita per: B Á !ÞPer .B Ä ! ß 0 B Ä !„ „a bB œ ! 0 ! œ ! punto di discontinuità eliminabile, poniamo .a bFunzione dispari, studiamola per B ā !ß

0 B œa b B BÈk klog


3

Per con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo). ProbabiliB Ä �_ß 0 B Ä �_a bpunti di non derivabilità dove si annulla l'argomento del modulo, cioè . Calcoliamo:B œ "

0 B œ † B œ"

B

B ā "

! " B " "wa b a b

ÚÛÜÈk k Èk kÈk kÈk klog

log

log

logB �

B

# B

B �

B �sgn

per

per log

"# B

"# B

Èk kÈk k

log

log

Per .B Ä ! ß 0 B Ä �_� wa b(Per simmetria, per ), quindi punto di flesso a tangenteB Ä ! ß 0 B Ä �_ B œ !� wa b

verticale, ascendente.

Per B Ä " ß 0 B µ „ Ä „_Þ„ wa b "# BÈk klog

B œ " 0 " œ ! punto di cuspide, verso il basso, e punto di minimo relativo. .a bPer simmetria, punto di cuspide, verso l'alto, e punto di massimo relativo.B œ �"

0 �" œ !a b .

Studiamo il segno di . Per 0 B ā "ßw


B � � !ß"

# B

# B � "

# B� !ß B � / B ā " 0 B ā !

log

logÈ a b�"Î# w, cioè (per ) sempre.

Per ! " B " "ß


B � � !ß"

# B

�# B � "

# B� !ß B Ÿ / Þ

log

logÈk k �"Î#

Quindi punto di massimo relativo. B œ / 0 / œ Þ�"Î# �"Î# "#/

ˆ ‰ ÈPer simmetria, B œ �/ 0 � / œ ��"Î# �"Î# "

#/ punto di minimo relativo, .ˆ ‰ È

Calcoliamo la derivata seconda.

Per B ā "ß

0 B œ � œ � ! B � /Þ" " # B � "

#B B %B B %B B

ww$Î# $Î#

a b È a b a b Èlog log log

log per

B œ /È punto di flesso a tangente obliqua.

(Per simmetria, punto di flesso a tangente obliqua).B œ � /ÈPer ! " B " "ß

0 B œ � � œ � ! B � / !ß "" " # B � "

#B B %B B %B B

ww$Î# $Î#

a b a bÈk k k k k k Èlog log log

log per , cioè in mai.

In è concava verso il basso.a b!ß " 0


4

Grafico:



"c da b8œ"

_ 8

8

#8 x

8a b#

Serie a termini positivi. Applico il criterio della radice per le serie.

a b a b+ œ ´ , Þ

#8 x

88 8

"Î8

8

Calcoliamo ora . Per far questo usiamo il criterio del rapporto per le successioni.lim8Ä�_

8,

, # 8 � " x 8 #8 � # #8 � "

, #8 xœ œ

8 � " 8 � " " �

8�"

88�"

8

"8

8c d a ba ba ba b a b a bˆ ‰ µ œ Ä �_ß

%8 %8

8/ /

#

pertanto ,8 Ä �_ e per il criterio della radice la serie di partenza diverge.


( k k!

#

B B .BÞlog


5

( ( (k k! ! "

# " #

B B .B œ � B B.B � B B.BÞlog log log

( (B B.B œ B � B � � -ÞB B B B

# # # %log log log

# # # #

† .B œ"

B

( k k ” • ” •!

# # # # #

! "

" #

B B .B œ B � � B � œ � # # � " � œ # # � ÞB B B B " " "

# % # % % % #log log log log log�


( a b!

# #

1'

sin cos#B B.BÞ

( (a b a bŒ � ” •! !

# # #

1 1' '

sin cos sincos

#B B.B œ #B .B œ #B œ >à B œ .>" � #B "

# #

œ > " � > .> œ œ" "

% %( a b ” •!

#

!

1 1

$ $

sin cos> � > > >

# $�

sin cos sin$

="

% #%œ Þ

Ô ×Õ Ø

1$ �

# )�

$È$%

È 1



J B œ .>Þ>

> � "a b ( a bk k#

B "Î$sin

log

0 > œ >a b a bk ksin

log

>>�"

"Î$

è definita per Á �" > � " œ "ß; il denominatore si annulla per quindik k> œ !ß > œ �#Þ

Per > Ä !ß

0 > œ µ œ> "

> >a b a ba bsin

log

>

> � "

"Î$ "Î$

#Î$,

e è integrabile in un intorno di .0 !Per > Ä �"ß

0 > µ Ä !a b � "

> � "

a bk ksin

log

"Î$

,

> œ �" 0 �" punto di discontinuità eliminabile, e è integrabile in un intorno di .


6

Per > Ä �#ß

0 > œ µ Ä _� > � #

#a b a ba ba bsin

log

>

> � "

"Î$sin

"Î$

del prim'ordine, quindi non integrabile. Perciò l'insieme di definizione di èJ

a b�#ß�_ Þ

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