Raffaele SANTORO€¦ · funzioni goniometriche e delle loro inverse, in quanto esistono sul...
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Raffaele SANTORO
Elementi di trigonometria
Scuola Europea di Lussemburgo - Anno Scolastico 1992-93/Seconda edizione 2010
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 2
1993/2010 - Tutti i diritti riservati
Riproduzione vietata con ogni mezzo
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 3
Indice
INTRODUZIONE ....................................................................................................................................................................... 4 NOTE SULLA SECONDA EDIZIONE ................................................................................................................................................ 4 1 MISURA DEGLI ANGOLI ......................................................................................................................................................... 5
Esercizi ........................................................................................................................................................................... 5 2 DEFINIZIONE DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE SIN, COS, TAN E COT. ............................................................................................. 6 3 RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA E PRIME CONSEGUENZE ...................................................................................... 8
Esempi ............................................................................................................................................................................ 9 Esercizi ........................................................................................................................................................................... 9
4 RIDUZIONE AL PRIMO QUADRANTE ED AL PRIMO OTTANTE ......................................................................................................... 10 Esercizio ....................................................................................................................................................................... 11
5 CALCOLO DI FUNZIONI GONIOMETRICHE PER ANGOLI PARTICOLARI ............................................................................................... 11 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 12
6 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE E DELLE LORO INVERSE ................................................................... 13 7 FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE ................................................................................................................................ 17
Esercizi ......................................................................................................................................................................... 19 8 FORMULE DI DUPLICAZIONE, DI BISEZIONE E FORMULE PARAMETRICHE ......................................................................................... 19
Esercizi ......................................................................................................................................................................... 21 9 EQUAZIONI GONIOMETRICHE FONDAMENTALI ......................................................................................................................... 23
a) Equazione sinx = m ............................................................................................................................................... 23 b) Equazione cosx = m .............................................................................................................................................. 24 c) Equazione tanx = m .............................................................................................................................................. 25 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 27
10 EQUAZIONI GONIOMETRICHE DI TIPO PARTICOLARE ................................................................................................................. 27 a) Equazioni del tipo 𝒂𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄 = 𝟎 (con a, b e c ) ............................................................................ 27 b) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄 = 𝟎 (con a, b e c ) ............................................................................ 28 c) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟎 (con a e b ) .......................................................................................... 28 d) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒄 (con a, b e c ) ..................................................................................... 28 e) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒅 (con a, b, c e d )..................................................... 29 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 29
11 RISOLUZIONE NUMERICA (GRAFICA) DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ........................................................................................... 30 12 RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI ............................................................................................................................. 32
Esercizi ......................................................................................................................................................................... 33 13 RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE ........................................................................................................................ 34
Area di un triangolo ..................................................................................................................................................... 34 Area di un parallelogramma ........................................................................................................................................ 34 Teorema dei seni .......................................................................................................................................................... 34 Teorema delle proiezioni .............................................................................................................................................. 35 Teorema del coseno ..................................................................................................................................................... 35 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 37
14 STUDIO DELLE FUNZIONI 𝒚 = 𝒌𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙 + 𝒃 E 𝒚 = 𝒌𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃) ..................................................................................... 38 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 42
15 DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE.......................................................................................................................................... 42 Esercizi ......................................................................................................................................................................... 48
16 APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA .................................................................................................................................. 48 Componenti di un vettore nel piano e nello spazio ..................................................................................................................... 48 Prodotto scalare di due vettori ................................................................................................................................................... 49 Prodotto vettoriale di due vettori ............................................................................................................................................... 49 Coordinate polari......................................................................................................................................................................... 50 Numeri complessi ........................................................................................................................................................................ 51 Fisica ............................................................................................................................................................................................ 54
Esercizi ......................................................................................................................................................................... 55 APPENDICE A – RISPOSTE AGLI ESERCIZI PROPOSTI ....................................................................................................................... 56 APPENDICE B: VALORI NUMERICI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE (0° X 45°) ........................................................................... 61 APPENDICE C: FORMULE DI TRIGONOMETRIA ............................................................................................................................. 62
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 4
Introduzione
Queste note di Trigonometria, se da una parte sono state scritte esplicitamente per gli studenti delle
Scuole Europee, dall'altra hanno anche l'ambizione di servire ad un triplice scopo:
1 come corso di base per studenti di scuola media superiore
2 come materiale di riferimento per una ripetizione per gli esami di maturità o per dei corsi
universitari
3 come corso rapido per qualunque persona dotata di cultura media che voglia cimentarsi per la
prima volta nello studio di tale disciplina.
Un'occhiata all'Indice mostra chiaramente i contenuti essenziali ed anche i limiti del lavoro
proposto. Infatti, se è possibile trovare chiaramente le definizioni delle funzioni goniometriche, le
loro proprietà, la loro rappresentazione grafica e quasi tutto il formulario indispensabile, manca la
discussione su come risolvere alcuni tipi particolari di equazioni goniometriche, mancano le formule
di Briggs (!), o altre applicazioni particolari alla geometria1.
Ho preferito non dedicare neanche una parola all'uso della calcolatrice elettronica, per il calcolo delle
funzioni goniometriche e delle loro inverse, in quanto esistono sul mercato diversi tipi di calcolatrici,
ciascuna delle quali munita del manuale d'uso. Per contro ho preferito mettere alla fine delle note
un'Appendice con una tavola numerica dei valori delle funzioni goniometriche per angoli che
vanno da 0 a 45.
Luxembourg, febbraio 1993
Note sulla seconda edizione
Questa seconda edizione conserva lo spirito della precedente a parte diversi cambiamenti e/o
aggiunte:
1. Tutte le figure sono state tutte rifatte (e delle nuove sono state aggiunte) con il programma
Geogebra
2. Sono stati aggiunti degli esempi e degli esercizi
3. I paragrafi 11 e 16 sono completamente nuovi
4. C’è una nuova appendice con i risultati numerici di tutti gli esercizi proposti.
Vieste, agosto 2010
1Nella speranza di non incorrere, in tal modo, nelle invettive del Prof. Giulio CORTINI, che molti anni fa scrisse sulla
terza pagina dell'Unità un articolo il cui titolo suonava vagamente: Trigonometria e patriottismo nazionale.
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 5
1 Misura degli angoli
Gli angoli si possono misurare in gradi sessagesimali, oppure in radianti.
Un grado sessagesimale () è la 360-ma parte dell'angolo giro. In questo modo:
- un angolo giro misura 360
- un angolo piatto misura 180
- un angolo retto misura 90 .
Esistono dei sottomultipli del grado, il primo ('), uguale a 1/60 di grado, ed il secondo ("), uguale
ad 1/60 di primo.
Un radiante è quell'angolo al centro di una circonferenza che si oppone ad un arco di lunghezza
uguale al raggio della circonferenza stessa. In questo modo:
- un angolo giro misura
- un angolo piatto misura radianti
- un angolo retto misura radianti.
In generale, per convertire i gradi sessagesimali in radianti e viceversa, basta tener conto della
seguente proporzione (dove indica la misura di un angolo in gradi sessagesimali e la misura
dello stesso angolo in radianti):
)2(180
)1(180
360
2
La relazione (1) consente di esprimere la misura di un angolo in radianti conoscendo la sua
misura in gradi.
La relazione (2) consente di esprimere la misura di un angolo in gradi conoscendo la sua misura
in radianti.
Esempi
1 Dalla relazione (2) si ha subito, ponendo in essa = 1, che un radiante corrisponde a circa
5717'44".
2 Dalla relazione (1), ponendo = 30, si ha per lo stesso angolo una misura in radianti = /6.
3 Si ha che 23,4126° = 23° + (0.4126x60)’ = 23°24’ + (0.756x60)’’ = 23°24’45’’.
4 Si ha che 47°25’56’’ = (47 + 25/60 + 56/3600)° = 47.4322°.
Esercizi
1 Convertire in radianti i seguenti angoli: 15, 45, 13020'18".
2 Convertire in gradi i seguenti angoli espressi in radianti: 0.123, 2.45, /8.
3 Calcolare: a) 82°17’22’’ + 13°45’54’’,
b) 82°17’22’’ – 13°45’54’’.
lunghezza circonferenza
raggio radianti radianti radianti
22
r
r
2
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 6
2 Definizione delle funzioni goniometriche sin, cos, tan e cot.
Si definisce, nel piano cartesiano, circonfe-
renza goniometrica quella circonferenza che
ha il centro nell'origine degli assi cartesiani e
raggio uguale ad 1.
Il punto P si chiama punto goniometrico
corrispondente all'angolo goniometrico
(misurato sempre a partire dalla direzione
positiva dell'asse x, in senso antiorario se
positivo, in senso orario se negativo). La
rappresentazione geometrica dell'angolo è
definita a meno di un multiplo intero di 360.
Si definisce seno dell'angolo il numero reale
indicato e dato da:
(3)
Si definisce coseno dell'angolo il numero reale indicato e dato da:
(4)
La definizione (3) consente di affermare che: il seno di un angolo goniometrico è uguale
all'ordinata del punto goniometrico corrispondente.
La definizione (4) consente di affermare che: il coseno di un angolo goniometrico è uguale
all'ascissa del punto goniometrico
corrispondente.
Si definisce tangente dell'angolo il
numero reale indicato e dato da:
(5).
Si definisce cotangente dell'angolo il
numero reale indicato e dato da:
(6).
Per trovare il significato geometrico di tan
, basta fare riferimento alla figura a lato e
scrivere che (tenendo presente la
similitudine dei due triangoli rettangoli OMP e OAT):
.
sin
sin PM
OP
PMPM
1
cos
cos OM
OP
OMOM
1
tan
tansin
cos
cot
cotcos
sin tan
1
tansin
cos
PM
OM
AT
OA
ATAT
1
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 7
Analogamente, dalla stessa figura (tenendo presente la similitudine dei triangoli rettangoli OMP e
OBQ), si ha il significato geometrico di cot:
Per completezza si riporta qui la definizione di due altre funzioni goniometriche (poco usate):
cosecante: 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 =1
𝑠𝑖𝑛𝛼
secante: 𝑠𝑒𝑐𝛼 =1
𝑐𝑜𝑠𝛼
Dalle definizioni precedenti delle funzioni goniometriche è possibile stabilire la seguente tabella
sul segno di dette funzioni al variare dell'angolo :
La figura seguente illustra graficamente le variazioni nel segno delle funzioni goniometriche
quando il punto goniometrico corrispondente si trova in uno dei quattro quadranti:
L'ultima colonna della tabella precedente ('Periodicità') fa riferimento ad una proprietà
importante delle funzioni goniometriche: i valori di dette funzioni si ripetono periodicamente
come segue:
dove k è un numero intero (positivo o negativo) qualsiasi.
cotcos
sin.
OM
PM
BQ
OB
BQBQ
1
sin sin( ) sin( ) ... sin( )
cos cos( ) cos( ) ... cos( )
tan tan( ) tan( ) ... tan( )
cot cot( ) cot( ) ... cot( )
360 720 360
360 720 360
180 360 180
180 360 180
k
k
k
k
0<<90 90<<180 0<<270 0<<360 Periodicità
sin + + - - 360
cos + - - + 360
tan + - + - 180
cot + - + - 180
cosec + + - - 360°
sec + - - + 360°
funzioneangolo
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 8
La periodicità delle funzioni goniometriche è importante in quanto consente di limitare lo studio
di tali funzioni su un sottoinsieme opportuno dell'insieme dei numeri reali .
Infine tale aspetto (la periodicità) delle funzioni goniometriche fa sì che queste funzioni siano
molto utilizzate nella descrizione matematica di fenomeni naturali che hanno una periodicità
temporale: moti periodici in generale, oscillazioni, moti rotatori, moti ondulatori, e così via.
3 Relazione fondamentale della goniometria e prime conseguenze
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OMP della figura precedente si ha:
La relazione precedente si scrive anche:
𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 (7).
La (7) è detta anche relazione fondamentale della goniometria. Da questa è possibile dedurre
alcune conseguenze immediate:
a) Le funzioni seno e coseno sono funzioni limitate:
-1 sin +1
-1 cos +1
b) (8)
(9)
c) Dividendo entrambi i membri della (7) per cos2 (supposto diverso da 0) si ha
successivamente:
(10)
2tan1
1tancostancos
cos
sinsin
(11)
Le indeterminazioni nel segno delle relazioni (8), (9), (10) e (11) vengono risolte conoscendo la
misura dell'angolo .
Le formule (8)-(11) sono molto importanti in quanto consentono di determinare i valori delle
funzioni goniometriche di un angolo a partire dalla conoscenza di uno solo di questi valori.
La relazione (8) consente di calcolare sin conoscendo il valore di cos.
PM OM OP2 2 2 2 2 1 (sin ) (cos )
sin cos 1 2
cos sin 1 2
sin
cos costan
coscos
tan
2
2 2
2
2
2
21
11
1 1
1
costan
1
1 2
sintan
tan
1 2
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 9
La relazione (9) consente di calcolare cos conoscendo il valore di sin.
La relazione (10) consente di calcolare cos conoscendo il valore di tan.
La relazione (11) consente di calcolare sin conoscendo il valore di tan.
Per tutte le formule, bisogna fare attenzione al valore dell’angolo per attribuire il giusto segno al
valore della funzione goniometrica calcolata!
Esempi
1 Sia sin=2/3 ed compreso tra 90 e 180. Si ha:
.2
5
tan
1cot
55
2
5
2
35
32
tan
3
5
3
21cos
2
2 Sia tan=-3 ed compreso tra 270 e 360. Si ha:
.
Esercizi
1 Sapendo che e che è compreso tra 180 e 270, calcolare .
2 Sapendo che cot = 2 e che è compreso tra 180 e 270, calcolare .
3 Sapendo che , calcolare , distinguendo le varie soluzioni possibili.
4 Il numero reale m rappresenta il seno di un angolo e viene dato come soluzione
dell'equazione di secondo grado: 3m2 + 10m + 3 = 0.
a) Discutere le soluzioni dell'equazione.
b) Determinare, per i valori accettabili di m, i valori delle corrispondenti funzioni
goniometriche coseno, tangente, cotangente.
5 Un angolo acuto è tale che . Determinare i valori di sin, di cos e di cot.
sin( )
cos
cot .
3
1 3
3
10
1
10
1
3
2
sin 1
3cos , tan ,cot
sin , cos , tan
cos 1
2sin , tan ,cot
tan 4
3
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 10
6 Se m rappresenta la tangente di un angolo , trovare i valori possibili di m dati dall'equazione:
. (Attenzione: per un'equazione di secondo grado, il cui coefficiente del
termine di secondo grado si annulla, una radice è infinita...)
4 Riduzione al primo quadrante ed al primo ottante
Con l'espressione 'riduzione al primo quadrante' s'intende la possibilità di calcolo di una funzione
goniometrica di un angolo qualunque a partire dal valore di una opportuna funzione goniometrica
di un angolo compreso tra 0 e 90.
La cosa è possibile grazie alle relazioni seguenti:
tan)180tan(
cos)180cos(
sin)180sin(
(12)
tan)180tan(
cos)180cos(
sin)180sin(
(13)
tan)360tan(
cos)360cos(
sin)360sin(
(14) .
La figura a lato illustra le relazioni
(12). In effetti i triangoli OMP e
OM'P' sono uguali ed allora si ha:
P'M'=PM
OM'=-OM
e dunque anche:
Considerazioni analoghe, con le opportune modifiche, consentono di dimostrare anche le (13) e le
(14).
1
1
2
11
2
2 2
m
m
m
m
sin( ) sin180
cos( ) cos180
tan( )sin( )
cos( )
sin
costan
180180
180
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 11
Con l'espressione 'riduzione al primo ottante' s'intende la possibilità di calcolo di una funzione
goniometrica di un angolo qualunque a partire dal valore di una opportuna funzione goniometrica
di un angolo compreso tra 0 e 45.
La cosa è possibile grazie alle relazioni seguenti:
cot)90tan(
sin)90cos(
cos)90sin(
(15)
Le due operazioni combinate di riduzione al primo quadrante e di riduzione al primo ottante
consentono di calcolare le funzioni goniometriche di un angolo qualunque conoscendo una
opportuna funzione goniometrica di un angolo compreso tra 0 e 45. In questo modo è stato
possibile costruire delle tavole numeriche con i valori delle funzioni goniometriche solo per
angoli compresi tra 0 e 45 (vedi Appendice a pag. 42).
Esempi
1 sin245 = sin(180 + 65) = -sin65 = -sin(90 - 25) = -cos25.
2 tan330 = tan(360-30) = -tan30 .
In ogni caso oggi, con la larga diffusione delle calcolatrici elettroniche, questo aspetto pratico ha
perduto importanza. Resta comunque l'interesse teorico di queste trasformazioni, che possono
ritornare utili per semplificare, ad esempio, espressioni contenenti funzioni goniometriche.
Esercizio
Calcolare le funzioni goniometriche degli angoli seguenti: 70, 120, 230, 345, mediante
opportune funzioni goniometriche di angoli minori o uguali a 45.
5 Calcolo di funzioni goniometriche per angoli particolari
Utilizzando la definizione delle funzioni goniometriche ed alcune proprietà
geometriche elementari dei triangoli rettangoli, è possibile determinare il
valore esatto di queste funzioni per angoli particolari per cui tale calcolo
risulta particolarmente semplice.
Ad esempio, volendo determinare i valori delle funzioni goniometriche di 60,
basta fare riferimento alla figura seguente ed applicare ad essa il teorema di
Pitagora:
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 12
.3
21
23
60tan
;2
160cos
;2
3
2
11PM60sin
2
OM
E' possibile anche avere subito i valori delle funzioni goniometriche di 30.
Infatti si ha:
La tabella seguente fornisce i valori delle funzioni goniometriche per angoli particolari (espressi
in gradi sessagesimali e in radianti):
Esercizi
1 Determinare le espressioni esatte di sin45 e cos45.
2 Tenendo presente che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è uguale alla
sezione aurea del raggio della circonferenza, dimostrare (nell'ordine) che:
510255
118tan
52104
118cos
,154
118sin
.
sin sin( ) cos ;30 90 60 601
2
cos cos( ) sin ;30 90 60 603
2
tan tan( ) cot .30 90 60 603
3
in gradi in radianti sin cos tan cot
0 0 0 1 0
30
45
1
1
60
90
1
0
0
6
1
2
3
2
3
33
4
2
2
2
2
3
3
2
1
2 33
3
2
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 13
[Suggerimento: prendendo uguale a 1 il raggio della circonferenza, il lato del decagono è
uguale ; inoltre se x è il lato del decagono, per la proprietà enunciata deve valere la
proporzione: , da cui l'equazione: ...].
2 Determinare le espressioni esatte di: sin , cos , tan72 72 72 .
4 Calcolare:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6 Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche e delle loro inverse
Siccome le funzioni goniometriche sono definite per qualunque angolo, è possibile determinarne
il valore con l'ausilio di opportune tavole numeriche o, meglio, con l'ausilio di una calcolatrice
elettronica scientifica.
In questo modo, per una data funzione goniometrica, si stabilisce una corrispondenza tra un dato
angolo ed il valore della funzione goniometrica per tale angolo, come nello schema che segue:
sin: ℝ → ℝ ∶ 𝑥 → 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∈ −1,1 ⊂ ℝ
cos: ℝ → ℝ ∶ 𝑥 → 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∈ −1,1 ⊂ ℝ
𝑡𝑎𝑛: ℝ → ℝ ∶ 𝑥 → 𝑡𝑎𝑛𝑥 ∈ ℝ
E' possibile rappresentare graficamente queste funzioni, in un sistema di coordinate ortonormali
xOy, in cui x rappresenta l'angolo (ad esempio in radianti) e y rappresenta il valore della funzione
goniometrica considerata. Si ottengono, allora i grafici seguenti:
2 18sin
1 1: :x x x x x2 1
sin sin , sin30 60 90
cos sin sin30 60 2 18 sin cos
sin cos
30 30
60 60
sin cos
tan
45 45
30
tan tan , tan18 72 90
sin sin , sin18 72 90
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 14
Dai grafici precedenti è anche evidente la periodicità delle funzioni disegnate. Infine, è da notare
che la funzione tangente non è definita per angoli che sono multipli interi dispari (positivi o
negativi) di un angolo retto, mentre la funzione cotangente non è definita per angoli multipli
(positivi o negativi) di .
Per completezza seguono i grafici della funzione cosecante e della funzione secante:
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 15
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 16
Una funzione goniometrica inversa è una funzione che fa corrispondere al valore di una funzione
goniometrica il valore dell’angolo goniometrico che lo genera. In questa sede accenneremo a 3 di
queste funzioni:
arcoseno 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛: 𝑥 → 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥: −1,1 → 0,2𝜋
arcocoseno 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠: 𝑥 → 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥: −1,1 → 0,2𝜋
arcotangente 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛: 𝑥 → 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥: ℝ → −𝜋
2, +
𝜋
2
Così, ad esempio: arcsin 1
2 =
𝜋
6, perché 𝑠𝑖𝑛
𝜋
6 =
1
2; 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3 =
𝜋
3, perché 𝑡𝑎𝑛
𝜋
3 = 3;
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 − 2
2 =
3
4𝜋, perché 𝑐𝑜𝑠
3
4𝜋 = −
2
2 .
Su una calcolatrice scientifica le funzioni di sopra sono indicate con i simboli: sin-1
, cos-1
, tan -1
.
Per brevità si mostreranno solo i grafici delle suddette funzioni:
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 17
7 Formule di addizione e sottrazione
Con le funzioni goniometriche bisogna fare attenzione a non fare alcuni errori che deriverebbero
dall'applicazione di certe proprietà che si suppongono vere, quando vere non sono. Ad esempio,
risulta che:
60sin30sin)6030sin(1
2
31
2
3
2
160sin30sin
190sin)6030sin(
.
In questo paragrafo verranno dedotte delle formule corrette per calcolare le funzioni
goniometriche della somma o della differenza di due angoli, senza incorrere in errori ingenui.
E' possibile considerare i punti goniometrici P,
corrispondente all'angolo , Q corrispondente
all'angolo , R corrispondente all'angolo - e A
corrispondente all'angolo 0.
Allora i suddetti punti, nel piano cartesiano, hanno
coordinate:
A(0,1)
P(cos, sin)
Q(cos, sin)
R(cos(-), sin(-))
Le corde AR e PQ della circonferenza goniometrica hanno la stessa lunghezza, il che comporta:
AR = PQ AR2 = PQ2
L'ultima relazione si può riscrivere (tenendo conto delle coordinate dei punti implicati):
Tenendo conto della relazione fondamentale della goniometria e dividendo successivamente
primo e secondo membro della relazione precedente per -2, si ha:
(16)
La relazione (16) è la prima delle formule di addizione e sottrazione.
A partire dalla (16), cambiando in - e tenendo presente che
cos(-) = cos e che sin(-) = -sin, si ha:
(17)
cos( ) sin( ) (cos cos ) (sin sin ) 1 02 2 2 2
cos ( ) cos( ) sin ( )
cos cos cos cos sin sin sin sin
2 2
2 2 2 2
2 1
2 2
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 18
Se, invece, sempre nella (16), si cambia in 90-, si ha:
(18)
Dimostrazione spesso trovata nella letteratura anglosassone
sin 𝛼 + 𝛽 =𝐷𝐸
𝐴𝐷=
𝐷𝐹+𝐹𝐸
𝐴𝐷=
𝐷𝐹+𝐶𝐵
𝐴𝐷=
𝐶𝐵+𝐷𝐹
𝐴𝐷=
𝐶𝐵
𝐴𝐶∙
𝐴𝐶
𝐴𝐷+
𝐷𝐹
𝐶𝐷∙
𝐶𝐷
𝐴𝐷= 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽
Se, infine, nella (18), si cambia in -, si ha:
(19)
Dalle relazioni (16)-(19) è possibile ottenere le formule di addizione e sottrazione per la tangente.
Omettendo la facile dimostrazione, si può scrivere:
(20)
(21)
cos( ) cos ( ) cos( )cos sin( )sin90 90 90 90
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
tan( )tan tan
tan tan
1
tan( )tan tan
tan tan
1
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 19
Esempi
1 Calcolare sin75. Si ha:
31
4
2
2
3
2
2
2
2
2
1=cos30sin45+cos45sin30
=)45+sin(30=sin75
.
2 Calcolare tan15. Si ha:
3239
33
33
33
3
31
3
31 2
.
Esercizi
1 Calcolare: sin15, cos15, tan75, sin105.
2 Dimostrare le formule (20) e (21).
3 e sono angoli acuti tali che . Determinare le espressioni esatte di
tan,cos,sin .
4 è un angolo acuto e un angolo ottuso tali che sin cos 1
3
1
3e . Determinare le
espressioni esatte di tan,cos,sin .
5 e sono angoli acuti tali che . Determinare le espressioni esatte di
cot,cos,sin .
6 e sono angoli acuti tali che . Determinare le espressioni esatte di
tan,cos,sin .
8 Formule di duplicazione, di bisezione e formule parametriche
A partire dalle formule di addizione è possibile stabilire le formule di duplicazione, formule che
consentono il calcolo delle funzioni goniometriche di un angolo 2 a partire dalle funzioni
goniometriche dell'angolo .
In effetti si ha:
cossin2cossincossinsin2sin
2
2
22
sin21
1cos2
sincos
sinsincoscoscos2cos
.
Riassumendo, si sono ottenuti i seguenti risultati:
tan tan( )tan tan
tan tan15 45 30
45 30
1 45 30
sin cos 1
3
1
2e
sin cos 2
3
3
2e
cos 2
390e
tan tan( )tan tan
tan tan
tan
tan2
1
2
1 2
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 20
2
2
2
22
tan1
tan22tan
sin21
1cos2
sincos
2cos
cossin22sin
(22)
Le tre relazioni (22) si chiamano formule di duplicazione.
Riscrivendo la terza espressione di cos2 nelle (22) e ponendo in essa al posto di , si ha:
Riscrivendo la seconda espressione di cos2 nelle (22) e ponendo in essa al posto di , si ha:
cos cos coscos
22
12
1
2
2
Infine, facendo il rapporto membro a membro delle ultime due relazioni, si ha:
Da questa espressione 'irrazionale' di è possibile ottenere ancora due espressioni 'razionali',
moltiplicando sotto radice, numeratore e denominatore per espressioni opportune come segue:
cos1
sin
)cos1(
cos1
)cos1)(cos1(
)cos1)(cos1(
sin
cos1
cos1
)cos1(
)cos1)(cos1(
)cos1)(cos1(
2tan
2
2
2
2
Riassumendo, si sono ottenuti i risultati seguenti:
(23)
cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2tan;
2
cos1
2cos;
2
cos1
2sin
2
cos sin
1 22
2sin
cos
2
1
2
2
tan
sin
cos
cos
cos
2
2
2
1
1
tan
2
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 21
Le tre relazioni (23) si chiamano formule di bisezione e consentono di calcolare le funzioni
goniometriche di un angolo in funzione di opportune funzioni goniometriche di un angolo
doppio.
In queste formule, un certo interesse rivestono specialmente le due espressioni razionali di
.
Infine, riscrivendo la terza delle (22), ponendo in essa al posto di , si ha:
cos cos sin
tan
tan
tan
tan
tan
2 2
2
2
2
2
22 2
1
12
2
12
12
12
Ponendo , le tre formule precedenti si riscrivono così:
)24(
1
2tan
1
1cos
1
2sin
2
2
2
2
t
tt
tt
t
e si chiamano formule parametriche, in quanto consentono di determinare (in funzione del
parametro ) sin, cos e tan, con delle espressioni razionali, in cui non compaiono
radici quadrate.
Esercizi
1 Applicando opportunamente le formule di addizione e quelle di duplicazione, dimostrare le
seguenti formule di triplicazione:
tan
2
2
tan
tan
tan
22
12
2
sin sin cos
tan
tan tan
tan
tan
22 2
2 2
12
1
12
22
12
2 2 2
t tan
2
t tan
2
sin sin sin
cos cos cos
tantan tan
tan
3 3 4
3 4 3
33
1 3
3
3
3
2
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 22
2 Combinando opportunamente le formule di addizione, dimostrare le seguenti formule di
Werner:
sin sin cos( ) cos( )
cos cos cos( ) cos( )
sin cos sin( ) sin( )
1
2
1
2
1
2
3 Combinando opportunamente le formule di addizione, dimostrare le seguenti formule di
prostaferesi:
4 Gli angoli acuti e sono tali che e . Calcolare esattamente:
a)
b)
c)
d) .
5 Gli angoli acuti e sono tali che e . Calcolare le espressioni esatte di:
.
6 Calcolare le espressioni esatte di:
54tan,54cos,54sin
,36tan,36cos,36sin .
7 Utilizzando le formule di prostaferesi (esercizio 3 precedente) e di bisezione, dimostrare che:
𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛽 − 𝛾 + 𝑠𝑖𝑛 𝛾 − 𝛼 = −4𝑠𝑖𝑛𝛼−𝛽
2𝑠𝑖𝑛
𝛽−𝛾
2𝑠𝑖𝑛
𝛾−𝛼
2
8 Utilizzando le formule di prostaferesi (esercizio 3 precedente), fattorizzare le seguenti somme:
a) sin4x - sin2x
b) cos4x + cos2x
c) sin3x + sinx
d) cos3x - cosx.
e)
f)
sin sin sin cos
sin sin sin cos
cos cos cos cos
cos cos sin sin
p qp q p q
p qp q p q
p qp q p q
p qp q p q
22 2
22 2
22 2
22 2
sin 4
5sin
2
3sin ,cos , tan ,cos( )2 2 2 45
sin ,cos , tan ,sin ( )3 3 3 2
cos ,sin , tan , tan
2 2 2 2
cot ,cot( )3
2
3
2
sin 1
2cos
2
3tan( ), tan( )2 2
sin sin4 6x x
cos cos4 6x x
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 23
9 Utilizzando le formule di prostaferesi (esercizio 3 precedente), semplificare le seguenti
frazioni:
a)
b)
c)
9 Equazioni goniometriche fondamentali
A volte è necessario trovare tutti gli angoli, se esistono, che soddisfano una determinata relazione
fra espressioni goniometriche. Relazioni di tal genere, che risultano soddisfatte solo per
particolari valori degli angoli, si chiamano equazioni goniometriche.
Per risolvere le equazioni goniometriche bisogna sempre fare riferimento ad equazioni
goniometriche fondamentali, che sono anche le più semplici possibili. Queste equazioni sono del
tipo: sinx = m, cosx = m, tanx = m, dove x è l'angolo incognito che bisogna determinare in modo
che l'equazione sia verificata.
a) Equazione sinx = m
Per questa equazione deve essere -1 m +1, altrimenti non ha significato e non ammette,
quindi, soluzioni.
Se m = 1, l'equazione sin x = 1 ammette la soluzione x = 90, se si considerano accettabili solo le
soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e la soluzione x = 90 + k360 (con k intero,
positivo o negativo), se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .
Se m = -1, l'equazione sin x = -1 ammette la soluzione x = 270, se si considerano accettabili solo
le soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e la soluzione x = 270 + k360 (con k intero,
positivo o negativo, se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .
Se -1 < m < +1, l'equazione sinx = m, ammette le due soluzioni
x = 1
x = 2 = 180 - 1,
se si considerano accettabili solo le soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e le soluzioni:
se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .
Le due soluzioni precedenti possono riassumersi nell'unica soluzione:
,
dove è il più piccolo angolo positivo tale che sin = m.
sin sin4 6x x
cos4x - cos6xcos cos
sin
6 4
2
x x
x
cos cos
sin
4 2
3
x x
x
x k k
x k k
1 1
1 1
360 2 180
180 360 2 1 180( )
x hh ( )1 180
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 24
Esempio
Risolvere l'equazione .
Essendo 210 il piú piccolo angolo positivo che verifica l'equazione data, tutte le soluzioni sono
date da:
.
In particolare, cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [-180, 180], queste sono:
(ottenuta con h = 1) e (ottenuta con h = -2); cercando solo le soluzioni
comprese nell'intervallo [0, 360], queste sono (ottenuta con h = 0) e
(ottenuta con h = 3).
Sul grafico di sopra si vedono chiaramente le soluzioni nell’intervallo [-460°, +460°], soluzioni
ottenute come punti d’intersezione della funzione xy sin con la retta 𝑦 =1
2.
b) Equazione cosx = m
Per questa equazione deve essere -1 m +1, altrimenti non ha significato e non ammette,
quindi, soluzioni.
Se m = 1, l'equazione cos x = 1 ammette la soluzione x = 0, se si considerano accettabili solo le
soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e la soluzione x = k360 (con k intero, positivo o
negativo), se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .
Se m = -1, l'equazione cos x = -1 ammette la soluzione x = 180, se si considerano accettabili solo
le soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e la soluzione x = 180 + k360 (con k intero,
positivo o negativo, se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .
Se -1 < m < +1, l'equazione cosx = m, ammette le due soluzioni
sin x 1
2
x hh ( )1 210 180
x1 30 x2 150
x1 210 x2 330
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 25
x = 1 e x = 2 = 360 - 1,
se si considerano accettabili solo le soluzioni comprese nel dominio D = [0,360[, e le soluzioni:
𝑥 = 𝛼1 + 𝑘 ∙ 360° e 𝑥 = 360° − 𝛼1 + 𝑘 ∙ 360° = −𝛼1 + 𝑘 + 1 ∙ 360°
se si considerano le soluzioni comprese nel dominio D = .
Le due soluzioni precedenti possono riassumersi nell'unica soluzione:
𝑥 = ±𝛼 + 𝑘 ∙ 360° ,
dove è il piú piccolo angolo positivo tale che cos = m.
Esempio
Risolvere l'equazione .
Essendo 60 il più piccolo angolo positivo che verifica l'equazione data, tutte le soluzioni sono
date da: .
In particolare, cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [-180, 180], queste sono:
(ottenuta con h = 0 e prendendo il segno '+') e (ottenuta con h = 0 e
prendendo il segno '-'); cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [0, 360], queste sono
(ottenuta con h = 0 e prendendo il segno '+') e (ottenuta con h = 1 e
prendendo il segno '-').
c) Equazione tanx = m
Per questa equazione m .
Sia è il più piccolo angolo positivo tale che tan = m; allora, per la periodicità della funzione
tangente, tutte le soluzioni dell'equazione sono date da: ,
dove, al solito, h .
cos x 1
2
x h 60 360
x1 60 x2 60
x1 60 x2 300
x h 180
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 26
Esempio
Risolvere l'equazione .
Essendo 120 il più piccolo angolo positivo che verifica l'equazione data, tutte le soluzioni sono
date da: .
In particolare, cercando solo le soluzioni comprese nell'intervallo [-180, 180], queste sono:
(ottenuta con h = 0) e x2 60 (ottenuta con h = -1); cercando solo le soluzioni
comprese nell'intervallo [0, 360], queste sono (ottenuta con h = 0) e
(ottenuta con h = 1).
Dal grafico di sopra si vedono chiaramente 6 soluzioni dell’equazione data nell’intervallo [-480°,
+480°].
Il riquadro che segue riassume le soluzioni associate a ciascuna equazione goniometrica
fondamentale:
hxmxh
1sin
dove è il piú piccolo angolo positivo che soddisfa l'equazione e h .
tanx 3
x h 120 180
x1 120 x2 300
cos x m x h 2
tanx m x h
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 27
Esercizi
Risolvere le seguenti equazioni:
a) , nell'intervallo [0, 360]
b) , nell'intervallo [0, 360]
c) , nell'intervallo [-360, 360]
d) , nell'intervallo [0, 360]
e) , nell'intervallo [0, 360]
f) , nell'intervallo [-180, 180]
g) , nell'intervallo [0, 360]
h) , nell'intervallo [0, 180].
10 Equazioni goniometriche di tipo particolare
In questo paragrafo si vedrà rapidamente come risolvere delle equazioni goniometriche di tipo
particolare, facendo ricorso alle formule goniometriche conosciute ed alla risoluzione delle
equazioni goniometriche fondamentali viste nel paragrafo precedente.
In linea generale, non esistono delle regole precise per risolvere una qualunque equazione
goniometrica, ma bisogna cercare di rispettare le regole seguenti:
1 evitare di avere a che fare con equazioni goniometriche irrazionali (con le funzioni
goniometriche dell'incognita che compaiono sotto il segno di radice);
2 far comparire nell'equazione un'unica funzione goniometrica;
3 risolvere l'equazione ottenuta usando la funzione goniometrica come incognita.
4 ove possibile, anche se una o più delle regole precedenti non sono applicabili, cercare di
fattorizzare il primo membro dell'equazione ed annullare il secondo.
Si considerano, qui, solo le equazioni seguenti:
a) Equazioni del tipo 𝒂𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 + 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄 = 𝟎 (con a, b e c )
Queste equazioni si risolvono trasformando innanzitutto l'equazione in una equazione di secondo
grado rispetto a , con la trasformazione
e poi risolvendo l'equazione di secondo grado rispetto a .
sin x 2
2
sin x 2
3
cos x 5
3
cos x 2
2
tanx 5
tan x 3
3
sin( )2 301
2x
tan( )3 15 2x
sin x
cos sin2 21x x
sin x
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 28
Esempio
Risolvere l'equazione .
Con la trasformazione , l'equazione data diventa:
,
che, risolta rispetto a sinx, fornisce le soluzioni:
(con h ) e
(con h ).
b) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄 = 𝟎 (con a, b e c )
Queste equazioni si risolvono trasformando innanzitutto l'equazione in una equazione di secondo
grado rispetto a cosx, con la trasformazione
e poi risolvendo l'equazione di secondo grado rispetto a cosx.
Esempio
Risolvere l'equazione: .
Con la trasformazione , l'equazione data diventa:
02cos3cos20cos3cos12 22 xxxx ,
che, risolta rispetto a cosx, fornisce le soluzioni:
360120
2
1
R2
4
53
4
1693cos
hx
x
x .
c) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟎 (con a e b )
Queste equazioni si risolvono dividendo primo e secondo membro per cosx (diverso da zero). Si
ottiene l'equazione fondamentale .
Esempio
Risolvere l'equazione .
Dividendo primo e secondo membro per cosx, si ha subito:
.
d) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒄 (con a, b e c )
Queste equazioni si risolvono trasformando e cosx in , con le formule
parametriche:
Si ottiene una equazione di secondo grado in .
Esempio
Risolvere l'equazione
Trasformando con le formule parametriche, l'equazione data diventa:
cos sin2 1 0x x
cos sin2 21x x
1 1 0 02 2 sin sin sin sinx x x x
sin x x h 0 180
sin x x h 13
2360
sin cos2 21x x
2 3 02sin cosx x
sin cos2 21x x
tan xb
a
3 0sin cosx x
tan x x h 3
3150 180
sin x tx
tan2
sin cosxt
tx
t
t
2
1
1
12
2
2
tx
tan2
3 2sin cosx x
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 29
3
1013013232
1
1
1
23
22
2
2
2
tttt
t
t
t
t
Dunque: .
e) Equazioni del tipo 𝒂𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝒅 (con a, b, c e d )
Queste equazioni si risolvono trasformando e in con le formule:
Si ottiene una equazione di secondo grado in .
Esempio
Risolvere l'equazione .
Trasformando sinx e cosx in funzione di tanx, l'equazione data diventa:
18090
180202
13
tan1tan1
3
tan1
tan2
tan1
tan222
2
hx
hxx
xx
x
x
x,
dove la soluzione infinita per tanx viene fuori in quanto si annulla, nell'equazione risolvente, il
coefficiente di .
Esercizi
1 Risolvere, in , le equazioni:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
2 Trovare A e in modo che sia: 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝛼 .
3 Tenendo conto dei risultati dell’esercizio 2, risolvere le parti d), g) e h) dell’esercizio 1.
tanx x
h x h2
1
3 230 180 60 360
sin x cosx tanx
sintan
tancos
tanx
x
xx
x
1
1
12 2
tanx
sin sin cos cos2 22 3 1x x x x
tan2 x
2 3 02cos sinx x
3 2 02sin cosx x
sin cosx x 0sin cosx x 2 1
sin sin cos cos2 22 1x x x x
sin sin cos cos2 22 3 2x x x x
sin cosx x 3 1 0
sin cosx x 2 1
sin cos2 2 1
2x x
sin sin sin4 2x x x sin sin sin4 2 2 3x x x
cos cos cos3 2x x x
cos cos cos4 8 3 2x x x
3 2 1 2 1 1cos( ) sin( )x x
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 30
11 Risoluzione numerica (grafica) di equazioni goniometriche
Non sempre (anzi raramente) è possibile risolvere un’equazione goniometrica con i metodi visti
nel paragrafo precedente. Nei casi di risoluzione di problemi concreti (dalla fisica o
dall’ingegneria) è necessario ricorrere al calcolo numerico, il cui studio esula dagli scopi del
presente corso, in quanto il calcolo numerico si appoggia su un altro grande capitolo della
matematica: il calcolo differenziale e integrale.
Perciò, in questo contesto, si farà solo un cenno ad un metodo numerico grafico che si appoggia a
software grafico gratuito che si trova facilmente sulla rete. Qui si userà il programma Geogebra,
utilizzato anche per tutte le figure del presente corso.
Esempio 1:
Sia da risolvere l’equazione 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥2, che oltre alla soluzione banale 𝑥 = 0 ammette un’altra
soluzione. Un metodo efficace per trovare questa soluzione è rappresentare graficamente le
funzioni 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 e 𝑦 = 𝑥2 sullo stesso piano cartesiano:
Da cui si evince che l’ascissa del punto del secondo punto d’intersezione A è 𝑥 = 0.877 radianti.
La precisione del risultato ottenuto è migliorabile sia zoomando ulteriormente i due grafici
attorno al punto A, sia migliorando la possibilità che il programma offre di aumentare il numero
delle cifre decimali.
Esempio 2:
Sia da risolvere l’equazione 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 3𝑥 − 1.
Disegnando graficamente le due funzioni 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 e 𝑦 =3𝑥−1
𝑥 , si ha:
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 31
Dove l’ascissa del punto A fornisce la soluzione richiesta. Ma questa dal grafico di sopra è di
difficile lettura. L’unica cosa che si può dire è che questa ascissa è maggiore di 0 e minore di 0.5
radianti. Allora il grafico seguente fornisce una lettura migliore:
da cui si ‘vede’ con una certa facilità che la soluzione richiesta è 𝑥 = 0.474 radianti.
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 32
12 Risoluzione dei triangoli rettangoli
Con questo paragrafo inizia lo studio della trigonometria vera
e propria, in quanto finora si è solo studiato la goniometria.
Con la trigonometria si studia la misura degli angoli e dei lati
di un triangolo. In questo paragrafo si vedrà la risoluzione di
un triangolo rettangolo, che consiste nella determinazione
della misura di tutti i lati e di tutti gli angoli del triangolo, a
partire da alcuni elementi noti. Nel prossimo paragrafo si
vedrà la risoluzione di un triangolo qualunque.
Si considera il triangolo ABC, rettangolo in A. Sulla semiretta
[CB) si considera il punto P tale che CP = 1 (il punto P può
essere interno o esterno al segmento [CB]). Allora, in base alla
definizione della funzione goniometrica seno, deve essere:
Analogamente si può scrivere:
Siccome il triangolo ABC è rettangolo in A, deve essere = 90 - , le tre relazioni precedenti
diventano:
Le relazioni precedenti possono riassumersi nelle regole:
1 In un triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il seno
dell'angolo acuto opposto.
2 In un triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il coseno
dell'angolo acuto adiacente.
3 In triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la tangente
dell'angolo opposto al primo cateto.
4 In triangolo rettangolo, un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto per la cotangente
dell'angolo adiacente al primo cateto.
sin sin PM
CP
AB
BCAB BC
cos MC
CP
AC
BCAC BC osc
tan tan PM
CM
AB
ACAB AC
AB BC BC BC sin sin( ) cos 90
AC BC os BC BC c cos( ) sin90
AB AC AC AC tan tan( ) cot 90
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 33
In genere, per un triangolo rettangolo, si usano le notazioni della
figura a lato.
Allora le regole precedenti danno le formule:
1: 𝑏 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐 = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝛾
2: 𝑏 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛾 𝑐 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛽
3: 𝑏 = 𝑐𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑐 = 𝑏𝑡𝑎𝑛𝛾
4: 𝑏 = 𝑐𝑐𝑜𝑡𝛾 𝑐 = 𝑏𝑐𝑜𝑡𝛽
Dalle relazioni precedenti sono deducibili tutte le formule inverse possibili.
Esempi 1 Risolvere il triangolo rettangolo che ha a = 3 cm e b = 2 cm.
Si ha: sin ' " b
a
2
341 48 37 .
Inoltre .
Infine: .
2 Risolvere il triangolo rettangolo che ha b = 3 cm e c = 5 cm.
Si ha: .
Inoltre .
Infine: .
Esercizi
1 Risolvere i seguenti triangoli rettangoli, a partire dagli elementi forniti:
a) a = 5 cm, b = 2.5 cm.
b) a = 3 cm, = 40.
c) b = 3 cm, c = 4 cm.
d) b = 3 cm, = 30.
e) b = 5 cm, = 50.
2 Di un triangolo rettangolo si conosce a = 5 cm e = 40. Calcolare:
a) b, c, ;
b) l'altezza relativa all'ipotenusa
c) la mediana relativa all'ipotenusa ed i due angoli che questa mediana forma con l'ipotenusa
stessa.
3 Di un triangolo rettangolo si conosce b = 4 cm, c = 3 cm. Calcolare:
a) a, ,
b) le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
4 L'altezza relativa ad un lato di un triangolo ABC misura 3 cm. Le proiezioni degli altri due lati
sul primo misurano 4 cm e 5 cm. Determinare le misure dei lati e degli angoli del triangolo
ABC.
90 90 41 48 37 48 11 23' " ' "
c 3 2 52 2 cm cm
tan ' " b
c
3
530 57 50
90 90 30 57 50 59 02 10' " ' "
a 3 5 342 2 cm cm
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 34
13 Risoluzione di un triangolo qualunque
Per un triangolo qualunque bisogna vedere
innanzitutto le notazioni standard, come nella
figura a lato.
La risoluzione di un triangolo qualunque
necessita della conoscenza di alcuni teoremi
generali che verranno discussi brevemente nel
seguito.
Area di un triangolo
L'area del triangolo ABC è data da
. Ma, dal triangolo rettangolo
AHC del figura a lato si ha che h = bsin;
dunque si ha:
.
Analogamente si sarebbe potuto ottenere
anche:
Dunque: l'area di un triangolo qualunque è uguale al semiprodotto di due lati qualunque per il
seno dell'angolo compreso fra questi due lati.
Area di un parallelogramma
L'area del parallelogramma ABCD si può pensare uguale a due volte
l'area del triangolo ABD. Dunque l'area del parallelogramma è
uguale a:
sinADAB
sinADAB2
12
S
Dunque: l'area di un parallelogram-ma è uguale al prodotto di due
lati consecutivi per il seno dell'angolo compreso tra questi due lati.
Teorema dei seni
Dalle formule per l'area di un triangolo, viste in precedenza, si può scrivere:
S ah1
2
S ah ab 1
2
1
2sin
S bc ac 1
2
1
2sin sin
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 35
Moltiplicando tutti i membri delle uguaglianze precedenti per , si ha:
Le relazioni precedenti esprimono il teorema dei seni: in un triangolo qualunque, è costante il
rapporto tra il seno di un angolo ed il lato opposto a questo angolo.
Teorema delle proiezioni
Dalla figura precedente risulta:
BC = BH + HC = ABcos + ACcos a = ccos + bcos.
Analogamente, si ha anche:
b = acos + ccos
c = acos + bcos
Teorema del coseno
Si possono distinguere due casi:
a) triangolo ABC acutangolo
Dal triangolo rettangolo ABH si ha (HC = x):
.
Dal triangolo rettangolo AHC si ha: , che,
sostituito nella relazione precedente, dà:
perchè .
b) triangolo ABC ottusangolo
Dal triangolo rettangolo si ha (HC = x):
.
Dal triangolo rettangolo AHC si ha: , che,
sostituito nella relazione precedente, dà:
perché .
La relazione precedente si può ricavare per qualunque altro
lato del triangolo, in modo che si possono scrivere le tre relazioni generali:
1
2
1
2
1
2bc ac absin sin sin
2
abc
sin sin sin
a b c
c h a x2 2 2 ( )
h b x2 2 2
c b x a ax x
c a b ab
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
cos
x b cos
c h a x2 2 2 ( )
h b x2 2 2
c b x a ax x
c a b ab
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
cos
x b b cos( ) cos180
a b c bc
b a c ac
c a b ab
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
cos
cos
cos
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 36
che esprimono il teorema de coseno: in un triangolo qualunque, il quadrato della misura di un
lato è uguale alla somma dei quadrati della misura degli altri due lati diminuito del doppio
prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell'angolo da essi compreso.
Il teorema precedente, detto anche teorema di Pitagora generalizzato o teorema di Carnot,
fornisce pure tre formule inverse per il calcolo del coseno di un angolo in funzione delle misure
dei tre lati di un triangolo:
.
Esempi 1 Di un triangolo si sa che a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm. Risolvere il triangolo e calcolarne
l'area.
Dal teorema del coseno si ha:
= 2623'03''.
Applicando ancora il teorema del coseno si ha:
= 3620'10''.
Inoltre si ha: .
Infine, l'area del triangolo è:
.
2 Di un triangolo si sa che a = 4 cm, b = 3 cm, = 60. Risolvere il triangolo.
Applicando il teorema dei seni, si ha:
.
Inoltre si ha: .
Applicando ancora il teorema dei seni, si ha:
.
3 Di un triangolo ABC si sa che b = 3.16, c = 4.24 e = 45°. Risolvere il triangolo.
Applicando il teorema dei seni, si ha:
𝑠𝑖𝑛𝛾 =𝑐
𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼 =
4.24
3.16
2
2= 0.9488 da cui :
cos
cos
cos
b c a
bc
a c b
ac
a b c
ab
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
cos
b c a
bc
2 2 2 2 2 2
2
4 6 3
2 4 6
43
48
cos
a c b
ac
2 2 2 2 2 2
2
3 6 4
2 3 6
29
36
180 180 62 43 13 117 16 47( ) ' ' ' ' ' '
S ab 1
2
1
23 4 117 16 47 5 332 2sin sin ' ' ' . cm cm
sin sin ' ' ' b
a
3
4
3
2
3 3
840 30 19
180 60 40 30 19 79 29 41( ' ' ' ) ' ' '
c a sin
sin
.
..
0 986
0 8664 4 55cm cm
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 37
𝛾 = 71°34′55′′ e 𝛾′ = 180° − 71°34′ 55′′ = 108°25′5′′ (vedi figura sotto).
Infine, con il teorema del coseno, si trova, rispettivamente: a = BC = 4, α = BA C =63°25′5′′, a’ = BC’ = 2, α′ = BA C′ = 26°34′55′′.
Esercizi
1 Risolvere i seguenti triangoli qualunque, a partire dagli elementi noti:
a) a = 3 cm, b = 4 cm, c = 4 cm.
b) a = 3 cm, b = 4 cm, c = 2 cm.
c) a = 2 cm, b = 3 cm, = 30.
d) a = 5 cm, = 30, = 50.
e) = 66, = 40, a = 5 cm.
f) a = 5 cm, b = 4 cm, = 43.
2 Calcolare l'area dei seguenti triangoli:
a) a = 4 cm, c = 6 cm, = 30.
b) a = 7 cm, b = 5 cm, c = 6 cm.
3 Dimostrare che il diametro di una circonferenza circoscritta ad un triangolo è uguale al
rapporto tra un lato del triangolo ed il seno dell'angolo opposto al lato.
4 Dimostrare il teorema del coseno a partire dalle tre espressioni che esprimono il teorema delle
proiezioni.
5 Un parallelogramma ABCD ha AB = 5 cm, AD = 4 cm e = 50. Calcolare:
a) l'area del parallelogramma
b) la misura dell'altezza relativa al lato AB.
c) gli angoli che la diagonale uscente da A forma con i lati AB e BC.
6 Un triangolo rettangolo ABC ha a = 5 e = 30.
a) Risolvere il triangolo.
b) Determinare sul cateto AB un punto P tale che l'area del triangolo APC sia doppia dell'area
del triangolo PCB.
c) Se Q è il punto medio del cateto AC, calcolare le misure degli angoli acuti del triangolo
BQC.
7 Utilizzando il teorema dei seni, dimostrare che, in ogni triangolo ABC, risulta:
a)
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 38
b) .
[Tenere presente che, = - (+) e che 𝑡𝑎𝑛𝛼
2=
1−𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼=
𝑠𝑖𝑛𝛼
1+𝑐𝑜𝑠𝛼 ]
8 Utilizzando la formula di addizione, il teorema dei seni e quello del coseno, dimostrare che in
un triangolo qualunque si ha:
22
22
)sin(
)sin(
cac
bab
.
9 La formula di Erone: 𝐴 = 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 consente di calcolare l’area di un
qualunque triangolo a partire dalla misura dei tre lati e del semiperimetro p del triangolo
stesso.
a) Dimostrare la formula.
[Suggerimento: tenere presente che 𝑠𝑖𝑛𝛾 = 2𝑠𝑖𝑛𝛾
2𝑐𝑜𝑠
𝛾
2= 2
1−𝑐𝑜𝑠𝛾
2
1+𝑐𝑜𝑠𝛾
2,
𝑐𝑜𝑠𝛾 =𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑎𝑏 , …]
b) Dimostrare che: 𝑠𝑖𝑛𝛾 =2
𝑎𝑏 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 . [Questa formula consente di
evitare di applicare il teorema del coseno per calcolare gli angoli interni di un triangolo
se se ne conoscono le misure dei tre lati]
10 Un triangolo ABC ha i vertici che sono centri di 3
circonferenze tangenti esternamente a due a due, con
2𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
a) dimostrare che i raggi delle circonferenze misurano
rispettivamente 𝑟𝐴 = 𝑝 − 𝑎, 𝑟𝐵 = 𝑝 − 𝑐, 𝑟𝐶 = 𝑝 − 𝑐.
b) a = 4.97 cm, b = 3.56 cm, c = 4.66 cm. Calcolare:
i) le misure dei 3 raggi;
ii) le ampiezze degli angoli , , .
iii) le lunghezze degli archi che si
oppongono, sulle rispettive
circonferenze, agli angoli , , .
iv) l’area dei 3 settori circolari aventi ampiezza , , .
v) l’area del triangolo curvilineo delimitato dalle 3 circonferenze.
14 Studio delle funzioni 𝒚 = 𝒌𝒔𝒊𝒏 𝒂𝒙 + 𝒃 e 𝒚 = 𝒌𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙 + 𝒃)
Lo studio di queste due funzioni sarà condotto 'in parallelo', cioè considerando
contemporaneamente le due funzioni e studiando la dipendenza di dette funzioni dai parametri
reali k, a e b.
Anche se esistono dei metodi generali di studio delle funzioni, metodi che fanno ricorso, in
particolare, al calcolo differenziale, in questa sede interessa per le funzioni date uno studio piú
intuitivo, che fa ricorso ad analogie immediate e alla periodicità delle funzioni considerate.
Tale studio 'intuitivo' consente di individuare subito zeri, massimi relativi, minimi relativi e flessi
di questa categoria di funzioni
Per maggiore chiarezza, si considerano prima alcuni casi particolari.
a b c
a b c
tan tan
2 2
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 39
Per tutti questi casi particolari, viene rappresentato, nello stesso riferimento cartesiano, anche la
'funzione di riferimento' y = sinx oppure y = cosx.
A) k = 3, a = 1 e b = 0. In questo caso le funzioni diventano: y = 3sinx e y = 3cosx. Le due figure
sottostanti mostrano i grafici di queste funzioni (disegnate nell’intervallo [0, 2]).
In questo caso (e negli altri analoghi in cui a = 1 e b = 0), le ascisse degli zeri, dei massimi e
minimi relativi e dei flessi della funzione y = 3sinx (rispettivamente y = 3 cosx) sono uguali a
quelle dei corrispondenti punti della funzione y = sinx (rispetti-vamente y = cosx). L'ampiezza
massima (o minima) è triplicata rispetto alle funzioni di riferimento. E' facile, allora, intuire che il
parametro k contribuisce solo a moltiplicare di un fattore k le ampiezze delle funzioni considerate.
B) k = 1, a = 2, b = 0. In questo caso le funzioni diventano: y = sin2x e y = cos2x. Le due figure
sottostanti mostrano i grafici di queste funzioni.
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 40
In questo caso, le ampiezze sono le stesse, ma il periodo è dimezzato. Il risultato è facilmente
generalizzabile, nel senso che le funzioni y = sin(ax) e y = cos(ax) avranno un periodo uguale 360
/a ed ampiezze uguali a quelle delle funzioni di riferimento.
C) k = 1, a = 1, b = 1 o b = -1. In questo caso le funzioni diventano: y = sin(x+1) o y = sin(x-1) e y
= cos(x+1) o y = cos(x-1). Le due figure sottostanti mostrano i grafici di queste funzioni.
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 41
In questo caso, le ampiezze sono le stesse, il periodo è lo stesso, ma le funzioni sono traslate di un
radiante parallelamente all'asse delle ascisse, verso sinistra se b = + 1, verso destra se b = -1. Il
risultato è facilmente generalizzabile, nel senso che le funzioni y = sin(x+b) e y = cos(x+b)
avranno un periodo uguale 360, ampiezze uguali a quelle delle funzioni di riferimento, ma
saranno traslate rispetto alle funzioni di riferimento di b radianti, verso sinistra se b > 0 oppure
verso destra se b < 0.
D) k = 3, b = 2, c = 1. Questo caso è riassuntivo dei tre casi particolari precedenti e le funzioni
diventano: y = 3sin(2x+1) e y = 3cos(2x+1). Le due figure sottostanti mostrano i grafici di queste
funzioni.
In questo caso, le ampiezze sono triplicate, i periodi dimezzati rispetto alle funzioni di
riferimento, ed i grafici complessivi sono traslati verso sinistra di 1/2 radiante, sempre
parallelamente all'asse delle ascisse x.
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 42
Riassumendo si può dire che le funzioni y = ksin(ax+b) e y = kcos(ax+b) hanno:
ampiezza k volte l'ampiezza di y = sinx (o y = cosx)
periodo uguale a 360/a
rappresentazione grafica traslata parallelamente all'asse delle ascisse di b/a radianti, verso
sinistra se b/a è positivo, verso destra se b/a è negativo.
Esercizi
Rappresentare graficamente le seguenti funzioni (specificando per ognuna anche il periodo),
nell'intervallo indicato:
a) , su D = [0,360]
b) , su D = [0,180]
c) , su D = [0,180]
d)
23
2cos3,
23
2sin3
xyxy , su D = [0,2].
e)
43
4cos,
43
4sin
xyxy , su D = [0,2].
15 Disequazioni goniometriche
Una disequazione goniometrica è una disequazione dove compaiono funzioni goniometriche.
Data la periodicità delle funzioni goniometriche per lo studio di una disequazione goniometrica
viene, in genere, fissato l'intervallo di studio.
Esempi di disequazioni goniometriche sono:
,
012sin5cos)(
2,0
01sin22cos)(
2,0
0)1cos2(sin)(
2,0
01sin2)(
x
xxd
x
xxc
x
xxb
x
xa
Come si vede dagli esempi di sopra, l'intervallo di studio di ciascuna disequazione goniometrica è
dato.
Sebbene possano essere considerati metodi diversi, il metodo migliore per studiare le
disequazioni goniometriche é quello grafico, come si vedrà dalla soluzione di alcuni esempi.
Esempi
1 Sia da risolvere la disequazione (a). S i ha:
2,0
2
1sin
2,0
01sin2
x
x
x
x
A questo punto basta disegnare, in uno stesso sistema di riferimento cartesiano, sia la
funzione sia la funzione e leggere dal grafico gli intervalli eventuali
per cui risulta: .
y x y x 1
2
1
2sin , cos
y x y x 1
23
1
23sin , sin
y x y x 2 4 5 2 4 5sin( ), cos( )
f x x( ) sin g x( ) 1
2f x g x( ) ( )
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 43
Ecco i grafici delle due funzioni in uno stesso sistema di riferimento cartesiano:
L'intervallo per cui risulta f x g x( ) ( ) è l'intervallo ],[ segnato in grassetto al disopra
dell'asse delle x. Per determinare e basta risolvere l'equazione
che dà subito = 30 = /6 radianti e = 150 = 5/6 radianti.
Dunque l'insieme soluzione della disequazione è l'intervallo aperto
6
5,
6.
2 La risoluzione della disequazione (b) conduce alla risoluzione di due sistemi di disequazioni
(in quanto il prodotto di due numeri è negativo quando il primo è positivo ed il secondo
negativo o viceversa):
2,0
01cos2
0sin
(2),
2,0
01cos2
0sin
(1)
2,0
0)1cos2(sin
x
x
x
x
x
x
x
xx
2,0
2
1cos
0sin
(2),
2,0
2
1cos
0sin
(1)
x
x
x
x
x
x
Allora, la soluzione S della disequazione data sarà: ''2'
2
''
1
'
121 SSSSSSS ,
dove S1 e S2 sono le soluzioni del primo e del secondo sistema rispettivamente, S1' e S1'' sono
le soluzioni della prima e della seconda disequazione del primo sistema, S2' e S2'' sono le
soluzioni della prima e della seconda disequazione del secondo sistema.
Passando alla soluzione S1 del primo
sistema, bisogna considerare il grafico
sottostante. L'intervallo S1', per cui risulta
sinx > 0, è l'intervallo ]0, [ segnato in
Passando alla soluzione S2 del secondo
sistema, bisogna considerare il grafico
sottostante.
L'intervallo S2' per cui risulta sinx < 0 è
sin x 1
2
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 44
grassetto al disopra dell'asse delle x. L'in-
tervallo S1'' per cui risulta, cosx < 1/2, è
l'inter-vallo ], [ segnato in grassetto al
disotto dell'asse delle x. Per determinare e
basta risolvere l'equazione cos x 1
2
che dà subito = 60 = /3 radianti e =
300 = 5/3 radianti. Dunque:
,
33
5,
3,01S .
l'intervallo ], 2[ segnato in grassetto al diso-
pra dell'asse delle x. L'intervallo S2'' per cui ri-
sulta cosx > 1/2 è l'unione degli intervalli ]0,
[ e ], 2[ segnati in grassetto al disotto
dell'asse delle x. Come in precedenza, = 60
= /3 radianti e = 300 = 5/3 radianti.
Dunque:
2,
3
52,
3
5
3,02,2S
.
Infine, la soluzione S del sistema considerato è data da:
2,
3
5,
321 SSS .
3 Sia da risolvere la disequazione:
2,0
01sin22cos
x
xx.
La disequazione precedente comporta la risoluzione dei due sistemi di disequazioni:
2,0
01sin2
02cos
)2(,
2,0
01sin2
02cos
)1(
x
x
x
x
x
x
2,0
2
1sin
02cos
)2(,
2,0
2
1sin
02cos
)1(
x
x
x
x
x
x
Allora, la soluzione S della disequazione data sarà: ''2'
2
''
1
'
121 SSSSSSS ,
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 45
dove S1 e S2 sono le soluzioni del primo e del secondo sistema rispettivamente, S1' e S1'' sono
le soluzioni della prima e della seconda disequazione del primo sistema, S2' e S2'' sono le
soluzioni della prima e della seconda disequazione del secondo sistema.
Passando alla soluzione S1 del primo sistema, bisogna considerare il grafico seguente:
L'intervallo S1' per cui risulta cos2x 0 è l'intervallo ,
segnato in grassetto al disopra dell'asse delle x. L'intervallo S1'' per cui risulta sinx 1/2 è
l'intervallo [, ] segnato in grassetto al disotto dell'asse delle x. Per determinare e basta
risolvere l'equazione che dà subito = 45 = /4 radianti e = 135 = 3/4 ra-
dianti. Dunque S1'' = [/4,3/4] e
4
3,
4
''
1
'
11 SSS .
Per la soluzione del secondo sistema bisogna considerare il grafico:
0 4 3 4 5 4 7 4 2, / / , / / ,
sin x 1
2
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 46
L'intervallo S2' per cui risulta cos2x 0 è l'intervallo
4
7,
4
5
4
3,
4,
segnato in grassetto al disopra dell'asse delle x. L'intervallo S2'' per cui risulta sinx 1/2 è
l'intervallo [0, ][, 2] segnato in grassetto al disotto dell'asse delle x.
Anche qui = 45 = /4 radianti e = 135 = 3/4 radianti. Allora:
S1'' = [0, /4][3/4, 2] e
4
7,
4
5
4
3,
4
''
2
'
22 SSS .
Dunque:
4
7,
4
5
4
3,
4221 SSSS .
Alternativamente, si sarebbero potute trarre le stesse conclusioni dall’unico grafico:
Vedendo dove le due funzioni sono nulle, entrambe positive o entrambe negative.
4 Risolvere la disequazione:
,
0cossin3
x
xx
Rapidamente, dal grafico che segue:
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 47
si trova subito che l'insieme soluzione della disequazione data è l'intervallo [-,][,],
dove e si determinano risolvendo (nell'intervallo considerato) l'equazione:
6
6
5
3
1tancossin3
xxx .
Dunque l'insieme soluzione è l'intervallo:
,
66
5, .
5 Risolvere la disequazione
2,0
04tan5tan2
x
xx.
Algebricamente, la disequazione data è equivalente alle due disequazioni:
2,0
4tan1
x
x.
Dal grafico (e con l’ausilio di una calcolatrice)
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 48
si ha subito che l'insieme soluzione è l'intervallo ], [], [, dove:
= 45 = /4,
= 7557'50'' = 1.326 radianti,
= 225 = 5/4,
= 25557'50'' = 4.467 radianti.
Esercizi
Risolvere le seguenti disequazioni goniometriche:
a)
2,0
0sincos
x
xx b)
2,0
02sincos
x
xx
c)
2,0
01sin1sin2
x
xx d)
,
02cos23cos2
x
xx
e)
,
01cos2
cos 2
x
xx
f)
2,0
03tan2tan
x
xx
16 Applicazioni della trigonometria
La trigonometria ha un vastissimo campo di applicazioni, in altri rami della Matematica, nella
Fisica, nell’Ingegneria. Non è possibile, in questa sede, affrontare sistematicamente queste
applicazioni. Basterà un rapido cenno alle principali applicazioni, facendo presente fin da ora che
i metodi appresi in questo corso sono sufficienti per affrontare in modo più puntuale le
applicazioni specifiche della trigonometria.
Componenti di un vettore nel piano e nello spazio.
Un vettore del piano 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 si può scrivere 𝑣 = 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑗 , dove 𝑣 = 𝑥2 + 𝑦2 è il
modulo (o la lunghezza) del vettore , 𝑖 , 𝑗 sono dei vettori unitari ortogonali di base dell’insieme
dei vettori del piano e 𝛼 è l’angolo che il vettore forma con il vettore 𝑖 :
Analogamente nello spazio 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 si può scrivere 𝑣 = 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 + 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑗 + 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑘 ,
dove = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 è il modulo o la lunghezza del vettore, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 sono dei vettori unitari
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 49
ortogonali di base dell’insieme dei vettori dello spazio e 𝛼, 𝛽, 𝛾 sono gli angoli che il vettore 𝑣
forma con i vettori di base.
Prodotto scalare di due vettori
Nel piano Nello spazio
𝑣 1 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 𝑣 1 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘
𝑣 2 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 𝑣 2 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘
𝑣 1 ∙ 𝑣 2 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 = 𝑣1𝑣2𝑐𝑜𝑠𝜗 𝑣 1 ∙ 𝑣 2 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 = 𝑣1𝑣2𝑐𝑜𝑠𝜗 𝒗 𝟏 ∙ 𝒗 𝟐 = 𝒗 𝟐 ∙ 𝒗 𝟏 𝒗 𝟏 ∙ 𝒗 𝟐 = 𝒗 𝟐 ∙ 𝒗 𝟏
𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑖 = 0 𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑖 = 0, 𝑖 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑖 = 0, 𝑘 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑘 = 0
𝑖 ∙ 𝑖 = 1, 𝑗 ∙ 𝑗 = 1 𝑖 ∙ 𝑖 = 1, 𝑗 ∙ 𝑗 = 1, 𝑘 ∙ 𝑘 = 1
dove 𝜗 è l’angolo formato dai due vettori.
Esempio 1
Dati i vettori 𝑎 = 3𝑖 − 2𝑗 , 𝑏 = 𝑖 + 3𝑗 , 𝑣 = 4𝑖 − 𝑗 + 2𝑘 , 𝑤 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 , calcolare 𝑎 ∙ 𝑏 e
𝑣 ∙ 𝑤 . Risulta:
𝑎 ∙ 𝑏 = 3 − 6 = −3; 𝑣 ∙ 𝑤 = 8 − 3 − 2 = 3.
Esempio 2
Calcolare l’angolo tra le coppie di vettori dell’esempio precedente.
Dalla definizione risulta:
𝑐𝑜𝑠 𝑎 , 𝑏
=𝑎 ∙𝑏
𝑎𝑏=
−3
13 10= −
3
130, da cui 𝑎 , 𝑏
= 105°15′18"
𝑐𝑜𝑠 𝑣 , 𝑤 =𝑣 ∙𝑤
𝑣𝑤=
3
21 14=
3
7 6, da cui 𝑎 , 𝑏
= 75°40′27"
Prodotto vettoriale di due vettori
Nello spazio, dati i vettori 𝑣 1 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘 e 𝑣 2 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 si definisce prodotto
vettoriale (indicato 𝑣 1 × 𝑣 2) dei due vettori il vettore che ha modulo 𝑣1𝑣2𝑠𝑖𝑛𝜗 , direzione
perpendicolare al piano definito dai due vettori e verso definito dallo schema seguente:
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 50
dove 𝜗 è l’angolo formato dai due vettori.
Come si vede dall’ultima definizione, il prodotto vettoriale di due vettori è cambia segno
(fornendo il vettore opposto) se si cambia l'ordine dei due vettori.
Esiste un modo rapido per calcolare il prodotto vettoriale di due vettori 𝑣 1 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘
e 𝑣 2 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 :
𝑣 1 × 𝑣 2 = 𝑖 𝑗 𝑘
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
= 𝑦1𝑧2 − 𝑦2𝑧1 𝑖 + 𝑥2𝑧1 − 𝑥1𝑧2 𝑗 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 𝑘
Esempio 3
Determinare il prodotto vettoriale dei vettori 𝑣 e 𝑤 dell’Esempio 1.
Si ha: 𝑣 × 𝑤 = 8𝑖 + 8𝑗 + 14𝑘 e 𝑤 × 𝑣 = −8𝑖 − 8𝑗 − 14𝑘 = −𝑣 × 𝑤 .
Coordinate polari
Nel piano, normalmente, le coordinate di un punto sono le coordinate cartesiane (x, y), riferite
ad un sistema di assi cartesiani ortogonali monometrici (stessa unità di misura). Ma è
possibile scegliere altri sistemi di riferimento. Uno di questi è quello delle coordinate polari di
un punto. Con questo sistema si fissa un punto O (detto polo) ed una semiretta, normalmente
a destra di O, detta asse polare. Le coordinate polari di un punto P sono allora due: la
distanza r di P da O e l’angolo che OP forma con l’asse polare, come in figura.
Per passare da un sistema di coordinate all’altro si usano le relazioni:
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃
.
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 51
Esempio 4
L’equazione di una circonferenza di centro O e raggio R, in coordinate polari è r = R.
Esempio 5
L’equazione della circonferenza 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑦 = 0 in coordinate polari è:
𝑟2 − 8 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0
𝑟 𝑟 − 8𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0
da cui 𝑟 = 0 (polo) oppure 𝑟 = 8𝑠𝑖𝑛𝜃.
Esempio 6
L’equazione di una retta passante per O è 𝜃 = 𝛼 , dove 𝛼 è l’angolo che la retta forma con
l’asse polare.
Numeri complessi
I numeri immaginari sono stati introdotti in matematica per rispondere alle esigenze di poter
calcolare la radice quadrata di un numero negativo. In effetti, introducendo l’unità
immaginaria:
𝑖 = −𝟏 ⇔ 𝒊𝟐 = −𝟏
è possibile scrivere che −2 = 𝑖 2 e così via.
L’insieme dei numeri della forma 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 , con 𝑥 ∈ ℝ e 𝑦 ∈ ℝ costituisce l’insieme dei
numeri complessi (): x viene detta parte reale, y parte immaginaria. Così il numero com-
plesso 2-3i ha ‘2’ come parte reale e ‘-3’ come parte immaginaria.
Con i numeri complessi è possibile definire le classiche operazioni di addizione e
moltiplicazione, rispettando le proprietà formali dell’insieme dei numeri reali e la definizione
di unità immaginaria. Se 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 e 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, si ha:
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 + 𝑦2
𝑧1𝑧2 = 𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2 + 𝑖 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1
L’opposto del numero complesso 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 è il numero complesso −𝑧 = −𝑥 − 𝑖𝑦
Si definisce complesso coniugato di un numero 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 il numero𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 e risulta che
il prodotto di un numero complesso per il suo complesso coniugato è un numero reale:
𝑧𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
L’inverso di un numero complesso 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 è il numero complesso:
1
𝑧=
𝑧
𝑧𝑧=
𝑥 − 𝑖𝑦
𝑥2 + 𝑦2
Il rapporto di due numeri complessi 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 e 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 è dato da:
𝑧1
𝑧2=
𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2
𝑥22+𝑦2
2 + 𝑖𝑥2𝑦1−𝑥1𝑦2
𝑥22+𝑦2
2
Esempio 7
Dati i numeri complessi 𝑧1 = 2 + 3𝑖 e 𝑧2 = −3 + 4𝑖, si ha:
𝑧1 + 𝑧2 = −1 + 7𝑖, 𝑧2 = −3 − 4𝑖 𝑧1𝑧2 = −18 − 𝑖
𝑧1
𝑧2=
6
25−
17
25𝑖
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 52
I numeri complessi hanno una rappresentazione grafica nel piano di Gauss-Argand:
Il numero r si chiama modulo del numero complesso 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ed è definito dalla relazione:
𝑟 = 𝑧 = 𝑧𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
Dalla figura precedente si evince anche la rappresentazione trigonometrica o polare di un
numero complesso:
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ⇔ 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃
Esempio 8
Dato i numeri complessi 𝑧1 = 2 + 3𝑖 e 𝑧2 = −3 + 4𝑖 , scriversi sotto forma trigonometrica.
Si ha:
𝑟1 = 𝑧1 = 22 + 32 = 13
𝑧1 = 13 2
13+ 𝑖
3
13 = 13 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝛼 , dove 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
2
13 e 𝑠𝑖𝑛𝛼 =
3
13 ;
𝛼 = 56°18′36"
𝑟2 = 𝑧2 = −3 2 + 42 = 5
𝑧2 = 5 −3
5+ 𝑖
4
5 = 5 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝛽 , dove 𝑐𝑜𝑠𝛽 = −
3
5 e 𝑠𝑖𝑛𝛽 =
4
5 ; 𝛽 = 126°52′12"
Esempio 9
Dato il numero complesso 𝑧 = 2 3 + 𝑖 , calcolare 𝑧10 .
Si ha 𝑧 = 4 3
2+ 𝑖
1
2 = 4 𝑐𝑜𝑠30° + 𝑖𝑠𝑖𝑛30° .
Dunque:
𝑧10 = 410 𝑐𝑜𝑠 10 ∙ 30° + 𝑖𝑠𝑖𝑛 10 ∙ 30° = 410 𝑐𝑜𝑠300° + 𝑖𝑠𝑖𝑛300° = 410 1
2− 𝑖
3
2
E, infine: 𝑧10 = 524588 1 − 𝑖 3 .
Dalla forma trigonometrica dei numeri complessi è possibile dedurre una formula interessante
(e semplice da ricordare) per il prodotto di due (o più) numeri ed una per il rapporto di due
numeri complessi:
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 53
𝑧1 = 𝑟1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃1
𝑧2 = 𝑟2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃2 ⇒
𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃1 + 𝜃2 𝑧1
𝑧2=
𝑟1
𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃1 − 𝜃2
la cui facile dimostrazione si lascia per esercizio al lettore.
Per induzione, dalla formula precedente si ricava anche la formula che dà la potenza n-sima di
un numero complesso:
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 ⇒ 𝑧𝑛 = 𝑟𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜃
Detta anche formula di De Moivre.
Per calcolare le radici n-sime di un numero complesso 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 si usa la formula:
𝑧𝑛
= 𝑟𝑛
𝑐𝑜𝑠𝜃+2𝑘𝜋
𝑛+ 𝑖𝑠𝑖𝑛
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛 , con 𝑘 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1 .
La radice corrispondente a k = 0 si chiama radice principale di z.
Esempio 10
Se 𝑧 = 3 𝑐𝑜𝑠85° + 𝑖𝑠𝑖𝑛85° e 𝑤 = 2 𝑐𝑜𝑠40° + 𝑖𝑠𝑖𝑛40° , si ha:
𝑧𝑤 = 6 𝑐𝑜𝑠125° + 𝑖𝑠𝑖𝑛125° ,
𝑧
𝑤=
3
2 𝑐𝑜𝑠45° + 𝑖𝑠𝑖𝑛45° =
3 2
4 1 + 𝑖
𝑤6 = 26 𝑐𝑜𝑠 6 ∙ 40° + 𝑖𝑠𝑖𝑛 6 ∙ 40° = 64 𝑐𝑜𝑠240° + 𝑖𝑠𝑖𝑛240° = 32 −1 − 𝑖 3
𝑤3
= 23
𝑐𝑜𝑠40°+𝑘360°
3+ 𝑖𝑠𝑖𝑛
40°+𝑘360°
3 , con k = 0, 1, 2.
k = 0 : 𝑤0 = 23
𝑐𝑜𝑠 40°
3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛
40°
3 ≈ 1.226 + 0.2906𝑖
k = 1 : 𝑤1 = 23
𝑐𝑜𝑠 400°
3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛
400°
3 ≈ −0.8646 + 0.9164𝑖
k = 2 : 𝑤2 = 23
𝑐𝑜𝑠 760°
3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛
760°
3 ≈ −0.3613 − 1.207𝑖
(le tre radici di sopra, nel piano di Gauss-Argand, sono i vertici di un triangolo equilatero
posti su una circonferenza di centro l’origine e raggio uguale a 23
)
L’osservazione precedente, si può estendere alle n radici n-sime di un numero complesso: nel
piano di Gauss-Argand sono vertici di un poligono regolare di n lati, posti su una circonferen-
za di centro l’origine e raggio uguale a 𝑟𝑛
.
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 54
Fisica
L’uso massiccio, in Fisica, del calcolo vettoriale, comprende anche le operazioni definite
prima sui vettori: somma vettoriale, prodotto scalare, prodotto vettoriale. E così il lavoro di
una forza si definisce tramite il prodotto scalare di due opportuni vettori, il momento
angolare, il momento di una forza, la forza agente su una particella carica in moto in un
campo magnetico sono esempi di grandezze fisiche definibili attraverso il prodotto vettoriale
di due opportune grandezze fisiche vettoriali. Le correnti alternate fanno un largo uso della
goniometria, così anche l’analisi armonica dei segnali. Ovviamente per una trattazione di tutto
quanto accennato sopra, si rimanda ai manuali di Fisica.
Qui si accennerà solo al caso del moto circolare uniforme e del moto armonico semplice.
Un punto si muove di moto circolare uniforme se, muovendosi lungo una traiettoria circolare,
percorre archi uguali in tempi uguali. In particolare tutta la circonferenza viene percorsa
sempre nello stesso tempo T, periodo del moto. Si chiama frequenza del moto circolare
uniforme l’inverso del periodo: 𝑓 =1
𝑇 , così se il periodo è uguale a 0.2 sec, la frequenza è
uguale a 5 giri al secondo o 5 Hz. Proiettando il moto del punto materiale che si muove di
moto circolare uniforme su un diametro della circonferenza traiettoria, si ottiene che la sua
proiezione ortogonale si muove di moto armonico semplice:
Così, mentre il punto P si muove sulla circonferenza di moto circolare uniforme, la sua
proiezione ortogonale M sul diametro AB si muove di moto armonico semplice. Il periodo di
P è anche il periodo di M: quando P fa un giro completo da B a B, M fa un percorso completo
da B ad A e di nuovo a B sul diametro AB. Con una differenza sostanziale: la velocità e
l’accelerazione di P sono costanti in modulo mentre la velocità e l’accelerazione di M
cambiano il loro valore istante per istante. La velocità di M è massima in O e nulla in A e in
B, l’accelerazione di M è nulla in O e massima in A e in B.
Se 𝜔 =2𝜋
𝑇 , 𝜃 = 𝜔𝑡 (dove t è il tempo trascorso), la posizione di M su AB è data da:
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ,
la sua velocità da:
𝑣 = −𝑟𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡,
la sua accelerazione da:
𝑎 = −𝑟𝜔2𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = −𝜔2𝑥 .
La dimostrazione delle ultime due formule si trova sui testi di Fisica.
Il moto armonico semplice risulta un utile modello matematico per studiare le piccole
oscillazioni di un pendolo semplice, di una lamina vibrante, dell’oscillazione di una massa
attaccata ad una molla...
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 55
Esercizi
1 Sono dati, nel piano, i vettori 𝑢 = 2𝑖 − 𝑗 e 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 . Calcolare:
a) I moduli u e 𝑣.;
b) 𝑢 ∙ 𝑣 ;
c) L’angolo tra i vettori 𝑢 e 𝑣 .
2 Sono dati, nello spazio, i vettori 𝑢 = 𝑖 + 𝑗 − 𝑘 e 𝑣 = 2𝑖 + 𝑗 − 3𝑘 . Determinare:
a) I moduli u e 𝑣.;
b) 𝑢 ∙ 𝑣 ;
c) L’angolo tra i vettori 𝑢 e 𝑣 .
d) 𝑢 × 𝑣 .
3 Trasformare il punto P(3, -2) in coordinate polari.
4 Trasformare il punto P(2,30°) in coordinate cartesiane.
5 Sono dati i numeri complessi 𝑧1 = 2 − 𝑖 , 𝑧2 = 3 + 𝑖 , 𝑧3 = −𝑖 . a) Rappresentare 𝑧1, 𝑧2 , 𝑧3 nel piano di Gauss-Argand.
b) Calcolare: 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 , 𝑧1𝑧2 , 𝑧1𝑧2𝑧3 .
c) Scrivere 𝑧2 sotto forma polare.
d) Calcolare 𝑧25 .
e) Determinare le radici seste di 𝑧3 e rappresentarle nel piano di Gauss-Argand.
6 Dimostrare la formula del prodotto di due numeri complessi espressi sotto forma
polare.
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 56
Appendice A – Risposte agli esercizi proposti
§ 1
1 0.2617 (/12); 0.7854 (/4); 2.2748
2 7°4’13’’; 140°22’29’’; 22°30’
3 a) 96°3’16’’;
b) 68°31’28’’
§ 3
1 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −2
3 2 ;
2 𝑡𝑎𝑛𝛼 =1
2 ; 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −
5
5 ; 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −2
5
5
3 𝛼 = 60°: 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 3
2 ; 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 3 ; 𝑐𝑜𝑡𝛼 =
3
3
𝛼 = 300°: 𝑠𝑖𝑛𝛼 = − 3
2 ; 𝑡𝑎𝑛𝛼 = − 3 ; 𝑐𝑜𝑡𝛼 = −
3
3
4 𝑚 = −1
3 , 180° < 𝛼 < 360° ; 𝑚 = −3 non accettabile
180° < 𝛼 < 270° : 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −2 2
3 ; 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
2
4 ; 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 2 2
270° < 𝛼 < 360° : 𝑐𝑜𝑠𝛼 =2 2
3 ; 𝑡𝑎𝑛𝛼 = −
2
4 ; 𝑐𝑜𝑡𝛼 = −2 2
5 𝑠𝑖𝑛𝛼 =4
5 ; 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
3
5 ; 𝑐𝑜𝑡𝛼 =
3
4
6 𝑚 = −1 ∨ 𝑚 = ∞
§ 4
𝑠𝑖𝑛70° = 𝑐𝑜𝑠20° , 𝑡𝑎𝑛70° = 𝑐𝑜𝑡20° , 𝑐𝑜𝑠70° = 𝑠𝑖𝑛20°
𝑠𝑖𝑛120° = sin 90° + 30° = 𝑐𝑜𝑠30° = 3
2; 𝑐𝑜𝑠120° = −
1
2 , 𝑡𝑎𝑛120° = − 3 , 𝑐 𝑜𝑡120° = −
3
3
𝑠𝑖𝑛230° = sin 180° + 50° = −𝑠𝑖𝑛50° = −𝑐𝑜𝑠40°; 𝑐𝑜𝑠230° = −𝑠𝑖𝑛40°; 𝑡𝑎𝑛230° = 𝑐𝑜𝑡40°; 𝑐𝑜𝑡230° = 𝑡𝑎𝑛40°
𝑠𝑖𝑛345° = −𝑠𝑖𝑛15° ; 𝑐𝑜𝑠345° = 𝑐𝑜𝑠15° ; 𝑡𝑎𝑛345° = −𝑡𝑎𝑛15° ; 𝑐𝑜𝑡345° = −𝑐𝑜𝑡15°
§ 5
1 𝑠𝑖𝑛45° = 𝑐𝑜𝑠45° = 2
2
3 72° = 𝑐𝑜𝑠18° =1
4 10 + 2 5 ; 𝑐𝑜𝑠72° = 𝑠𝑖𝑛18° =
1
4 5 − 1 ; 𝑡𝑎𝑛72° = 𝑐𝑜𝑡18° = 5 + 2 5
4 a) 3
2+
1
2; 𝑠𝑖𝑛90° = 1
b) 2 3+ 5−1
2
c) 1
d) 6
e) 1
5 25 − 10 5 + 5 + 2 5 ;
f) 1
4 5 − 1 +
1
4 10 + 5 ; 1
§ 7
1 2
4 3 − 1 ;
2
4 3 + 1 ; 2 + 3 ;
2
4 3 + 1
3 1+2 6
6 ;
2 2+ 3
6 ;
8 2+9 3
6
4 -1; −4
9 2 ; ∞
5 2 3+ 5
6 ;
15+2
6 ;
6 5−5 3
15+2 15 ;
8 5+9 3
7
6 1 ; 4
9 5 ;
5
20
§ 8
4 a) 24
25 ; −
7
25 ; −
27
7 ; −
2
10 ;
b) 44
125 ; −
23
27 ;
2
11 ; −
4
9
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 57
6 1
4 10 − 2 5 ,
1
4 5 + 1 , 5 − 2 5 ,
1
4 5 + 1 ,
1
4 10 − 2 5 ,
1
5 25 + 10 5
7 a) 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 b) 2𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 c) 2𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 d) −2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 e) 2𝑠𝑖𝑛5𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
f) 2𝑠𝑖𝑛5𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
8 a) 𝑐𝑜𝑡𝑥
b) −𝑠𝑖𝑛5𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 ; −2𝑠𝑖𝑛𝑥
§ 9
a) 45°; 135°
b) 221°48’36” ; 318°11’24”
c) 63°25’56”
d) 135° ; 225°
e) 78°41’24” ; 258°41’24”
f) -30°; 150°
g) 0°; 60° ; 90° ; 240° ; 350°
h) 18°14’43” ; 78°14’43” ; 138°14’43”
§ 10
1 𝑎) 𝑥 ∉ ℝ
b) ±2.02 + 2𝑘𝜋 ; ±0.696 + 2𝑘𝜋
c) 3
4𝜋 + 𝑘𝜋
d) 2.498 + 2𝑘𝜋 ; 3
2𝜋 + 2𝑘𝜋
e) 1.249 + 𝑘𝜋 ; 𝜋
2+ 𝑘𝜋
f) 1.9635 + 𝑘𝜋 ; 2.7489 + 𝑘𝜋
g) 𝜋
4+ 𝑘𝜋 ;
7
12𝜋 + 𝑘𝜋
h) 4.008 + 2𝑘𝜋 ; 2.67 + 2𝑘𝜋
i) ±𝜋
3+ 𝑘𝜋
j) 𝑘𝜋 ; ±𝜋
9+
2
3𝑘𝜋
k) 𝑘𝜋
3 ; 2𝑘𝜋
m) ±𝜋
4+ 𝑘𝜋 ; ±
𝜋
36+ 𝑘
𝜋
3
n) 3
4𝜋 −
1
2+ 𝑘𝜋 ;
𝜋
12−
1
2+ 𝑘𝜋
2 𝐴 = 𝑎2 + 𝑏2, 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −𝑏
𝑎 .
§ 12
1 a) 𝛽 = 30° ; 𝛾 = 60°; 𝑐 = 4.33 𝑐𝑚
b) 𝛾 = 50°; 𝑏 = 1.93 𝑐𝑚 ; 𝑐 = 2.30 𝑐𝑚
c) 𝑎 = 5𝑐𝑚 ; 𝛽 = 36°52′12" ; 53°7′48"
d) 𝑐 =3 3
3 ; 𝛽 = 60° ; 𝑎 = 2 3 𝑐𝑚
e) 𝑐 = 4.20 𝑐𝑚 ; 𝛾 = 40° ; 𝑎 = 6.53 𝑐𝑚
2 a) 𝛾 = 50° ; 𝑏 = 3.214 𝑐𝑚; 𝑐 = 3.83 𝑐𝑚
b) ℎ =𝑏𝑐
𝑎= 2.46 𝑐𝑚 ; 𝑎1 = 2.46 𝑐𝑚 ; 89.12° ; 90.88°
3 a) 𝑎 = 5 𝑐𝑚; 𝛽 = 36°52′12" ; 𝛾 = 53°7′48"
b) 3.2 𝑐𝑚 ; 1.8 𝑐𝑚
4 = 5 𝑐𝑚 ; 𝛽 = 36°52′12 ; b= 34 cm ; γ=30°57'50; 𝛼 = 112°9′58"
§ 13
1 a) = 44°2′54 ; β=γ=67°58'33"
b) 𝛼 = 46°34′ 3 ; β=104°28'39; 𝛾 = 28°57′18"
c) 𝛽 = 48°35′ 25 ; γ=101°24'35; 𝑐 = 3.92 𝑐𝑚
d) 𝛾 = 100° ; 𝑏 = 7.66 𝑐𝑚 ; 𝑐 = 9.85 𝑐𝑚
e) 𝛽 = 74° ; 𝑐 = 3.52 𝑐𝑚 ; 𝑏 = 5.26 𝑐𝑚
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 58
f) 𝑐 = 3.43 𝑐𝑚 ; 𝛼 = 84°15′8" ; 𝛽 = 52°44′52"
2 a) 𝑆 = 6 𝑐𝑚2
b) 𝑆 = 6 6 𝑐𝑚2
5 a) 𝑠 = 15.32 𝑐𝑚2
b) ℎ = 3.06 𝑐𝑚
c) 22.03° ; 27.97°
6 a) 𝑏 = 2.5 ; 𝑐 = 5
2 3
b) 𝐴𝑃 =5
3 3
c) =5
4 13 ; 𝛾 = 60° ; 𝛽1 = 13°53′52"
10 b) i) 𝑟𝐴 = 1.625 𝑐𝑚 ; 𝑟𝐵 = 3.035 𝑐𝑚 ; 𝑟𝐶 = 1.935 𝑐𝑚 ii) 𝛼 = 73° ; 𝛽 = 43.18° ; 𝛾 = 63.82°
iii) 𝑠𝐴 = 2.07 𝑐𝑚 ; 𝑠𝐵 = 2.29 𝑐𝑚 ; 𝑠𝐶 = 2.15 𝑐𝑚
iv) 𝑆𝐴 = 1.68 𝑐𝑚2 ; 𝑆𝐵 = 3.47 𝑐𝑚2 ; 𝑆𝐶 = 2.09 𝑐𝑚2
v) 𝑆 = 0.69 𝑐𝑚2
§ 14
a) periodo = 360°
b) periodo = 180°
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 59
c) periodo = 90°
d) periodo = 3
e) periodo = (3/2)
§ 15
a) 𝑥 ∈ 0,𝜋
4 ∪
5
4𝜋, 2𝜋
b) 𝑥 ∈ 0,𝜋
2 ∪
7
6𝜋,
3
2𝜋 ∪
11
6𝜋, 2𝜋
c) 𝑥 ∈ 𝜋
6,
5
6𝜋 ∪
3
2𝜋
d) 𝑥 ∈ −𝜋, −𝜋
6 ∪
𝜋
6, 𝜋
e) 𝑥 ∈ −𝜋, −1.23 ∪ 1.23, 𝜋
f) 𝑥 ∈ 1.11,𝜋
2 ∪
𝜋
2, 1.89 ∪ 4.25,
3
2𝜋 ∪
3
2𝜋, 5.03
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 60
§ 16
1 a) 𝑢 = 5 , 𝑣 = 2 ;
b) 𝑢 ∙ 𝑣 = 1
c) 𝑢 , 𝑣 = 71°33′54′′
2 a) 𝑢 = 3 , 𝑣 = 14 ;
b) 𝑢 ∙ 𝑣 = 6 ;
c) 𝑢 , 𝑣 = 22°12′28";
d) 𝑢 × 𝑣 = −2𝑖 + 𝑗 − 𝑘
3 𝑃 13 , 𝜃 , dove 𝜃 ≈ −33.69°
4 𝑃 3 , 1
5
b) 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 5 , 𝑧1𝑧2 = 1 + 2 3 + 𝑖 , 𝑧1𝑧2𝑧3 = 1 − 1 + 2 3 𝑖 ;
c) 𝑧2 = 2 𝑐𝑜𝑠30° + 𝑖𝑠𝑖𝑛30°
d) 𝑧25 = 16 − 3 + 𝑖
e) 𝑤𝑘 = 𝑧36 = 𝑐𝑜𝑠
270°+𝑘360°
6+ 𝑖𝑠𝑖𝑛
270°+𝑘360°
6 =𝑐𝑜𝑠 45° + 𝑘60° + 𝑖𝑠𝑖𝑛 45° + 𝑘60° , con k = 0, 1, 2 3 4 5.
a) e)
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 61
Appendice B: Valori numerici delle funzioni goniometriche (0° x 45°)
x sinx cosx tanx cotx
0 0,0000 1,0000 0,0000
1 0,0175 0,9998 0,0175 57,2900
2 0,0349 0,9994 0,0349 28,6363
3 0,0523 0,9986 0,0524 19,0811
4 0,0698 0,9976 0,0699 14,3007
5 0,0872 0,9962 0,0875 11,4301
6 0,1045 0,9945 0,1051 9,5144
7 0,1219 0,9925 0,1228 8,1443
8 0,1392 0,9903 0,1405 7,1154
9 0,1564 0,9877 0,1584 6,3138
10 0,1736 0,9848 0,1763 5,6713
11 0,1908 0,9816 0,1944 5,1446
12 0,2079 0,9781 0,2126 4,7046
13 0,2250 0,9744 0,2309 4,3315
14 0,2419 0,9703 0,2493 4,0108
15 0,2588 0,9659 0,2679 3,7321
16 0,2756 0,9613 0,2867 3,4874
17 0,2924 0,9563 0,3057 3,2709
18 0,3090 0,9511 0,3249 3,0777
19 0,3256 0,9455 0,3443 2,9042
20 0,3420 0,9397 0,3640 2,7475
21 0,3584 0,9336 0,3839 2,6051
22 0,3746 0,9272 0,4040 2,4751
23 0,3907 0,9205 0,4245 2,3559
24 0,4067 0,9135 0,4452 2,2460
25 0,4226 0,9063 0,4663 2,1445
26 0,4384 0,8988 0,4877 2,0503
27 0,4540 0,8910 0,5095 1,9626
28 0,4695 0,8829 0,5317 1,8807
29 0,4848 0,8746 0,5543 1,8040
30 0,5000 0,8660 0,5774 1,7321
31 0,5150 0,8572 0,6009 1,6643
32 0,5299 0,8480 0,6249 1,6003
33 0,5446 0,8387 0,6494 1,5399
34 0,5592 0,8290 0,6745 1,4826
35 0,5736 0,8192 0,7002 1,4281
36 0,5878 0,8090 0,7265 1,3764
37 0,6018 0,7986 0,7536 1,3270
38 0,6157 0,7880 0,7813 1,2799
39 0,6293 0,7771 0,8098 1,2349
40 0,6428 0,7660 0,8391 1,1918
41 0,6561 0,7547 0,8693 1,1504
42 0,6691 0,7431 0,9004 1,1106
43 0,6820 0,7314 0,9325 1,0724
44 0,6947 0,7193 0,9657 1,0355
45 0,7071 0,7071 1,0000 1,0000
R. SANTORO:Elementi di trigonometria 62
Appendice C: Formule di Trigonometria
sin cos2 2 1 sin cos 1 2 cos sin 1 2
costan
1
1 2 sin
tan
tan
1 2
Formule di addizione
sin cos tan cot
0 0 0 1 0
30
6
1
2
3
2
3
3
3
45
4
2
2
2
2
1
1
60
3
3
2
1
2
3 3
3
90
2
1
0
0
Formule di duplicazione Formule parametriche Formule di prostaferesi
sin sin cos
cos
cos sin
cos
sin
tantan
tan
2 2
2 2 1
1 2
22
1
2 2
2
2
2
sin
cos
tan
tan
2
11
12
1
2
2
2
2
2
t
tt
tt
t
t
Formule di bisezione
Formule di triplicazione
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
tan( )tan tan
tan tan
1
tan( )tan tan
tan tan
1
sin sin sin cos
sin sin sin cos
cos cos cos cos
cos cos sin sin
p qp q p q
p qp q p q
p qp q p q
p qp q p q
22 2
22 2
22 2
22 2
sincos
coscos
tan
cos
cos
cos
sin
sin
cos
2
1
2
2
1
2
2
1
1
1
1
Triangoli rettangoli Triangoli qualunque
b a a c sin cos tan
ab b b
c
sin cos; tan
a b c
sin sin sin
c a a b sin cos tan
ac c c
b
sin cos; tan
a b c bc
b a c ac
c a b ab
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
cos
cos
cos
sin2
1
sin2
1
sin2
1)ABC(
ab
ac
bcArea
A
a
b
c
b
C
a
B A C B
cos3cos43cos
sin4sin33sin
3
3