Quaternioni - polito.it · 2008. 9. 15. · Si e voluto indicare i numeri ipercomplessi con i...

Quaternioni

Basilio Bona

DAUIN-Politecnico di Torino

2008

Basilio Bona (DAUIN-Politecnico di Torino) Quaternioni 2008 1 / 38

Introduzione

I quaternioni furono “scoperti” nel 1843 da Hamilton, che cercava ditrovare un sistema di numeri che generalizzasse allo spazio tridimensionalei numeri complessi e il loro significato di operatori di rotazione nel piano.

Il generico quaternione verra identificato con il simbolo q.


Definizione

Il quaternione e un elemento dello spazio lineare H(R) a quattrodimensioni, definito sul campo dei numeri reali R, con base {1 i j k}.i , j e k sono numeri ipercomplessi che soddisfano la seguente legge dimoltiplicazione anticommutativa

i2 = j2 = k2 = ijk =−1ij =−ji = kjk =−kj = iki =−ik = j

(1)

Si e voluto indicare i numeri ipercomplessi con i simboli i , j e k permarcare la loro differenza rispetto ai versori i, j e k


Definizione

Il quaternione q ∈H e definito come una combinazione lineare espressanella base {1 i j k}:

q = q01 +q1i +q2j +q3k (2)

dove i coefficienti {qi}3i=0 sono reali.

In analogia con i numeri complessi, dove c = a + jb e rappresentabile dauna coppia di reali, (a,b), il generico quaternione e rappresentabile da unaquadrupla di reali, (q0,q1,q2,q3).


Definizione

Il quaternione viene anche definito come il “numero complesso” i cuicoefficienti sono due numeri complessi, ossia

q = c1 + jc2,

dove c1 = q0 +kq3 e c2 = q2 +kq1.

Percio, considerando le relazioni (1), si ha:

q = c1 + jc2 = q0 +kq3 + jq2 + jkq1 = q01 +q1i +q2j +q3k .

Analogamente ai numeri complessi che sono formati da una parte reale eda una parte immaginaria, i quaternioni sono formati da una parte reale eda una parte vettoriale.

Si indica con qr la parte reale del quaternione, definita da qr = q0, e conqv la parte immaginaria o vettoriale, definita da qv = q1i +q2j +q3k .


Definizione

Si scrive dunque q = (qr , qv ) oppure q = qr + qv ; notate che non e statousato il segno di trasposto per la parte vettoriale qv in quanto ladefinizione convenzionale di “parte vettoriale di un quaternione” e una riga.

Volendo usare le convenzioni per cui i vettori sono vettori colonna,potremmo scrivere q = (qr , qT

v ).

I quaternioni sono entita matematiche generali, che comprendono i numerireali

r = (r , 0, 0, 0) , r ∈ R

i numeri complessi

a + j b = (a, 0, b, 0) , a,b ∈ R

ed i vettori in R3 (con alcuni pericoli di interpretazione)

v = (0, v1, v2, v3) , vi ∈ R.

In quest’ultimo caso si interpretano gli elementi{i j k

}come i versori{

i j k}

di un sistema di riferimento cartesiano destrorso.


Definizione

Le regole di moltiplicazione tra gli elementi i , j ,k hanno le stesse proprietadel prodotto vettoriale o esterno tra i versori i, j,k:

ij = k ⇔ i× j = k

ji =−k ⇔ −j× i =−k

ecc.

Nel seguito faremo uso di tutte le notazioni alternative per indicare iquaternioni; scriveremo dunque

q = q01 +q1i +q2j +q3k = (qr ,qv ) = qr + qv = (q0,q1,q2,q3) (3)

per indicare il fatto che il quaternione puo essere visto in tre modi distinti:a) come un numero ipercomplesso definito su una base composta da unreale e tre immaginari; b) come la somma di una parte scalare e una partevettoriale; e c) come una quadrupla di numeri reali.


Algebra dei quaternioni

Dato un quaternione q = q01 +q1i +q2j +q3k = qr + qv = (q0,q1,q2,q3),sono definite le seguenti proprieta:

esiste il quaternione nullo o zero, definito come

0 = 01 + 0i + 0j + 0k = (0,0) = 0 + 0 = (0,0,0,0) (4)

esiste il quaternione coniugato, indicato con il simbolo q∗, che ha lastessa parte reale di q e parte vettoriale opposta:

q∗ = q0− (q1i +q2j +q3k) = (qr ,qv ) = qr −qv = (q0,−q1,−q2,−q3)(5)

Il coniugato soddisfa alla proprieta (q∗)∗ = q.



esiste una funzione non negativa, chiamata norma del quaternione q eindicata con il simbolo ‖q‖, definita come

‖q‖=√

qq∗ =√

q∗q =

√3

∑`=0

q2` =

√q20 + qT

v qv (6)

Un quaternione con norma ‖q‖= 1 e chiamato quaternione unitario.Il quaternione q e il suo coniugato q∗ hanno la stessa norma

‖q‖= ‖q∗‖ (7)

Il quaternione

qv = 01 +q1i +q2j +q3k = (0,qv ) = 0 + qv = (0,q1,q2,q3),

che ha parte reale nulla, viene chiamato quaternione puro o vettore. Ilconiugato di un quaternione puro qv risulta essere l’opposto delquaternione puro originale

q∗v =−qv (8)



Dati due quaternioni

h = h01 +h1i +h2j +h3k = (hr ,hv ) = hr + hv = (h0,h1,h2,h3)

eg = g01 +g1i +g2j +g3k = (gr ,gv ) = gr + gv = (g0,g1,g2,g3)

possiamo definire le seguenti operazioni


Somma

Somma o addizione h + g

h + g = (h0 +g0)1 + (h1 +g1)i + (h2 +g2)j + (h3 +g3)k= ((hr +gr ), (hv + gv ))= (hr +gr ) + (hv + gv )= (h0 +g0,h1 +g1,h2 +g2,h3 +g3)

(9)


Differenza

Differenza o sottrazione

h−g = (h0−g0)1 + (h1−g1)i + (h2−g2)j + (h3−g3)k= ((hr −gr ), (hv −gv ))= (hr −gr ) + (hv −gv )= (h0−g0,h1−g1,h2−g2,h3−g3)

(10)


Prodotto

Prodotto

hg = (h0g0−h1g1−h2g2−h3g3)1 +

(h1g0 +h0g1−h3g2 +h2g3)i +

(h2g0 +h3g1 +h0g2−h1g3)j + (11)

(h3g0−h2g1 +h1g2 +h0g3)k

= (hrgr −hv ·gv , hrgv +grhv + hv ×gv )

dove hv ·gv e il prodotto scalare

hv ·gv = ∑i

hvigvi = hTv gv = gT

v hv

definito in Rn, dove n puo essere qualsiasi, e hv ×gv e il prodottovettoriale (definito solamente in R3)

hv ×gv =

h2g3−h3g2

h3g1−h1g3

h1g2−h2g1

= S(hv )gv

e

S(v) =

0 −v3 v2

v3 0 −v1

−v2 v1 0

(12)

e una matrice antisimmetrica, funzione del generico vettore

v =(v1 v2 v3

)T.


Prodotto

e

S(v) =

0 −v3 v2

v3 0 −v1

−v2 v1 0

(13)

e una matrice antisimmetrica, funzione del generico vettore

v =(v1 v2 v3

)T.

Il prodotto tra quaternioni non e commutativo, in quanto, essendogv ×hv =−hv ×gv , risulta

gh = (hrgr −hv ·gv , hrgv +grhv −hv ×gv ) 6= hg;

si nota che la parte reale rimane identica, mentre la parte vettorialecambia. Il prodotto commuta soltanto se hv ×gv = 0, cioe quando le partivettoriali sono parallele.

Altre proprieta del prodotto sono elencate nei lucidi successivi


Prodotto

proprieta associativa:(gh)p = g(hp)

prodotto per lo scalare unitario:

1q = q1 = (1,0)(qr ,qv ) = (1qr ,1qv ) = (qr ,qv )

prodotto per un reale λ :

λ q = (λ ,0)(qr ,qv ) = (λqr ,λqv )

bilinearita, con λ1,λ2 reali:

g(λ1h1 + λ2h2) = λ1gh1 + λ2gh2

(λ1g1 + λ2g2)h = λ1g1h + λ2g2h


Prodotto

Il prodotto puo essere scritto anche in forma matriciale:

hg =

h0 −h1 −h2 −h3

h1 h0 −h3 h2

h2 h3 h0 −h1

h3 −h2 h1 h0

g0

g1

g2

g3

=

(h0 −hT

vhv h0I + S(hv )

)g0

g1

g2

g3

= FL(h)g

(14)oppure

hg =

g0 −g1 −g2 −g3

g1 g0 g3 −g2

g2 −g3 g0 g1

g3 g2 −g1 g0

h0

h1

h2

h3

=

(g0 −gT

vgv g0I + S(gv )

)h0

h1

h2

h3

= FR(g)h

(15)


Prodotto

Il coniugato del prodotto tra quaternioni soddisfa la proprieta:

(gh)∗ = h∗g∗. (16)

La norma del prodotto soddisfa la proprieta

‖hg‖= ‖h‖‖g‖ . (17)


Quoziente

Quoziente o divisione Poiche il prodotto tra due quaternioni non ecommutativo, bisogna distinguere tra quoziente destro e quoziente sinistro.

Dati due quaternioni h e p, si dice quoziente sinistro di p per h ilquaternione qs per cui

hqs = p

mentre si dice quoziente destro di p per h il quaternione qd per cui

qdh = p

Risulta

qs =h∗

‖h‖2p; qd = p

h∗

‖h‖2


Inverso

Quaternione inverso

Dato un quaternione q, in linea di principio dovremmo definire l’inversosinistro q−1

s e l’inverso destro q−1d , definiti da

qq−1s = 1 = (1,0,0,0); q−1

d q = 1 = (1,0,0,0)

Poiche dalla (6) si ha che qq∗ = q∗q = ‖q‖2 = ‖q‖‖q∗‖, potremo scrivere

q

‖q‖q∗

‖q∗‖=

q∗

‖q∗‖q

‖q‖= 1 = (1,0,0,0) (18)

risulta che inverso destro e inverso sinistro coincidono e otteniamo

q−1s = q−1

d = q−1 =q∗

‖q‖2(19)


Inverso

E immediato osservare che, per un quaternione unitario, l’inverso coincidecon il coniugato

q−1 = q∗, ‖q‖= 1 (20)

e per un quaternione puro unitario, che coincide con un versore, vale

q−1v = q∗v =−qv . (21)

L’inverso soddisfa le proprieta

(q−1)−1 = q; (pq)−1 = q−1p−1


Funzione di selezione

E utile definire la funzione di selezione

ρ(q) = q0 = qr

che “estrae” la parte reale del quaternione.

Questa funzione ha la proprieta che

ρ(q) =q + q∗

2.


Prodotto di Hamilton

Osserviamo che, moltiplicando due quaternioni puriuv = (0,uv ) = u1i +u2j +u3k e vv = (0,vv ) = v1i + v2j + v3k, cioe duevettori, si ottiene

uv vv = (−uv ·vv , u×v). (22)

Di conseguenza, con un leggero abuso di notazione, possiamo definire unnuovo prodotto tra vettori, detto prodotto di Hamilton, che soddisfa laseguente relazione:

uv =−u ·v + u×v. (23)

Questo prodotto implica pero che uu =−u ·u, ovvero che il quadrato diun vettore reale non nullo risulti negativo

Per questa ed altre ragioni, i quaternioni furono abbandonati in favore dialtre notazioni vettoriali piu “convenienti”.

Tuttavia il prodotto tra quaternioni svolge un ruolo importante nellarappresentazione delle rotazioni.


Quaternioni unitari

Prima di passare a descrivere le relazioni tra quaternioni e rotazioni,analizziamo piu in dettaglio le proprieta dei quaternioni unitari, cheidentifichiamo con il simbolo u.

Come abbiamo gia detto, un quaternione unitario e quello per cui ‖u‖= 1;l’inverso di un quaternione unitario e il prodotto di due quaternioni unitari,per le proprieta (17) e (20), risultano ancora unitari.

Un quaternione unitario puo essere rappresentato dalla relazione

u = cosθ + usinθ (24)

dove u e un vettore a norma unitaria e θ e un angolo generico.

Va notata la somiglianza della (24) con l’analoga espressione di un numerocomplesso unitario

c = cosθ + jsinθ .


Quaternioni unitari

L’analogia si estende anche all’espressione esponenziale c = e jθ , a cuicorrisponde per i quaternioni

u = euθ = cosθ + usinθ (25)

dove l’esponenziale viene calcolato sostituendo simbolicamente il termineuθ al termine x dello sviluppo in serie di ex e ricordando che uu =−1.

La (25) mostra l’identita formale tra un quaternione unitario u el’esponenziale di un versore unitario u, moltiplicato scalarmente per unangolo θ .


Quaternioni unitari

Dalla (25) si deduce la definizione di potenza di un quaternione unitario

ut = (cosθ + usinθ)t = euθt = cos(θ t) + usin(θ t) (26)

e di logaritmo di un quaternione unitario

log u = log(cosθ + usinθ) = log(euθ ) = uθ (27)

Va notato che la non commutativita del prodotto di quaternioni impediscel’uso delle identita standard per calcolare esponenziali e logaritmi.

Ad esempio, eu1eu2 non e necessariamente uguale a eu1+u2 , come purelog(u1u2) non e necessariamente uguale a log(u1) + log(u2).


Quaternioni e rotazioni

Vediamo ora come sia possibile mettere in relazione una rotazione con unquaternione unitario e viceversa.

Dato un quaternione unitario

u = (u0,u1,u2,u3) = (u0,u) = cosθ + usinθ (28)

questo rappresenta la rotazione di un angolo 2θ intorno all’asse

rappresentato del versore u =(u1 u2 u3

)TViceversa, data una rotazione di angolo θ intorno all’asse individuato dal

versore u =(u1 u2 u3

)T, il quaternione unitario

u =

(cos

θ

2,u1 sin

θ

2,u2 sin

θ

2,u3 sin

θ

2

)=

(cos

θ

2, usin

θ

2

)= cos

θ

2+usin

θ

2(29)

rappresenta la medesima rotazione.



Sappiamo che una rotazione rigida nello spazio cartesiano R3 puo venirerappresentata dalla matrice di rotazione R ∈ R3×3, che ha la proprieta diessere ortonormale e a determinante unitario positivo, det(R) = +1.

Potremo allora associare ad ogni matrice di rotazione un quaternioneunitario e viceversa, indicando questa corrispondenza con il simbolo R(u).

Ogni quaternione unitario rappresenta una rotazione nello spaziotridimensionale, cosı come ogni numero complesso unitario rappresentauna rotazione nel piano.



Per passare da un quaternione u = (u0,u) alla matrice corrispondenteR(u), si applica la relazione

R(u) = (u20−uTu)I + 2uuT−2u0S(u) =u20 +u2

1−u22−u2

3 2(u1u2−u3u0) 2(u1u3 +u2u0)

2(u1u2 +u3u0) u20−u2

1 +u22−u2

3 2(u2u3−u1u0)

2(u1u3−u2u0) 2(u2u3 +u1u0) u20−u2

1−u22 +u2

3

(30)

dove S(u) e gia stata definita.



Inversamente, per passare dagli elementi rij della matrice R(u) alcorrispondente quaternione u, si usa la relazione seguente:

u0 =±1

2

√(1 + r11 + r22 + r33)

u1 =1

4u0(r32− r23)

u2 =1

4u0(r13− r31)

u3 =1

4u0(r21− r12)

(31)



In alternativa

u0 =1

2

√(1 + r11 + r22 + r33)

u1 =1

2sign(r32− r23)

√(1 + r11− r22− r33)

u2 =1

2sign(r13− r31)

√(1− r11 + r22− r33)

u3 =1

2sign(r21− r12)

√(1− r11− r22 + r33)

(32)

dove sign(x) e la funzione segno di x .



Le rotazioni elementari intorno ai tre assi di un sistema di riferimentocartesiano, R(i,α), R(j,β ) e R(k,γ), corrispondono ai seguenti quaternionielementari

R(i,α)→ ux =(

cosα

2, sin

α

2, 0, 0

)R(j,β )→ uy =

(cos

β

2, 0, sin

β

2, 0

)R(k,γ)→ uz =

(cos

γ

2, 0, 0, sin

γ

2

) (33)

e quindi risulta anche che la “base vettoriale” dei quaternioni corrispondealle diverse rotazioni elementari di 180◦ intorno agli assi principali:

i = (0, 1, 0, 0)→ R(i,π)j = (0, 0, 1, 0)→ R(j,π)k = (0, 0, 0, 1)→ R(k,π)

(34)



Il lettore attento osservera che, mentre il prodotto di quaternioni dellabase soddisfa le relazioni

ii = jj = kk = ijk = (−1, 0, 0, 0) ,

l’analogo prodotto di rotazioni fornisce la rotazione identita:

R(i,π)R(i,π) = R(j,π)R(j,π) = R(k,π)R(k,π) = R(i,π)R(j,π)R(k,π) = I(35)

a cui corrisponde il quaternione (1, 0, 0, 0); questa apparente discrepanza,pur essendo spiegabile, non verra discussa.



Vediamo ora alcune corrispondenze tra le operazioni con i quaternioni e leoperazioni con le matrici di rotazione:

Prodotto di rotazioniDate n rotazioni R1, R2, · · · , Rn ed i corrispondenti quaternioniunitari u1, u2, · · · , un, la rotazione prodottoR(u) = R(u1)R(u2) · · ·R(un) corrisponde al prodotto dei quaternioniunitari u = u1u2 · · ·un, nell’ordine indicato.

Matrice traspostaData la rotazione R(u) ed il corrispondente quaternione unitario u, lamatrice trasposta (che coincide con l’inversa) RT corrisponde alquaternione unitario coniugato (che coincide con l’inverso) u∗.



Rotazione di un vettoreDato un vettore qualsiasi x, a cui corrisponde il quaternione compostodalla sola parte vettoriale ux =

(0,xT

)= (0,x1,x2,x3) e data una

rotazione R(u) a cui corrisponde il quaternione unitario u, il vettoreruotato y = R(u)x coincide con la parte vettoriale del quaternioneprodotto y = (yr ,yv ) = uuxu∗, ovvero

y = R(u)x ⇔ y = yv .



Piu in generale, se per esprimere il vettore x si usano le coordinateomogenee

x =(wx1 wx2 wx3 w

)Te si definisce il quaternione x come

x = (w ,wx)

il prodotto uxu∗ fornisce il quaternione y, definito come

y = (w ,wR(u)x)

che permette di esprimere il vettore risultante y, in coordinate omogenee

y =(wy1 wy2 wy3 w

)T



Matrici prodottoIl prodotto tra due quaternioni, godendo della proprieta di bilinearita,puo essere rappresentato da operatori lineari (matrici).Dalla (14), osserviamo che il prodotto qp = FL(q)p puo essereinterpretato come il prodotto a sinistra di q per p; analogamente ilprodotto a destra, che vale pq, puo essere espresso, considerando la(15), come pq = FR(q)p.



Queste espressioni consentono poi di ricavare il prodotto pq∗ comeFR(q∗)p e successivamente il prodotto qpq∗ come FL(q)FR(q∗)p = Qp,dove si e introdotta la matrice Q ∈ R4×4

Q = FL(q)FR(q∗) =q20 +q2

1−q22−q2

3 2(q1q2−q3q0) 2(q1q3 +q2q0) 0

2(q1q2 +q3q0) q20−q2

1 +q22−q2

3 2(q2q3−q1q0) 0

2(q1q3−q2q0) 2(q2q3 +q1q0) q20−q2

1−q22 +q2

3 0

0 0 0 ‖q‖2

(36)



Nelle applicazioni spaziali spesso si usano i quaternioni avendo“organizzato” le componenti in modo diverso da quello qui introdotto,ossia ponendo la parte reale come ultimo elemento del quaternione inveceche come primo.


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