Prof. Santi Caltabiano

Q è denso in R Si vuole dimostrare che l’insieme dei numeri razionali Q è denso in IR e questo equivale ad

affermare che comunque presi due numeri reali distinti esiste sempre almeno un numero razionale

compreso tra di essi, cioè:

∀�, � ∈ �� � � < � ∃� ∈ � �. . � < � < �

Siano �, � ∈ �� con a<b ⇒ per l’infinità dei numeri naturali sicuramente ∃� ∈ �� n>1/(b-a) quindi:

�� − �� > 1 (1)

Scegliamo il più piccolo � ∈ �� t.c. na<m segue:

� − 1 ≤ �� (2)

Dalla (1) e dalla (2) otteniamo:

�� < � = �� − 1� + 1 ≤ �� + 1 < �� + ��� − ��� = ��

Segue:

�� < � < ��

Dividendo per n:

� <�

�< �

c.v.d.

Corollario (esistenza di una successione di razionali convergente da un reale) Per ogni numero reale esiste una successione di numeri razionali convergente ad esso, cioè:

∀� ∈ �� ∃{��}�∈ ! �. . lim�→&

�� = �

Dimostrazione

Fissato � ∈ �� per il teorema precedente si ha:

∀� ∈ � � � ≠ 0 ∃�� ∈ � �. . � −1

�< �� < � +

1

�

Si costruisce così una successione {��}�∈ ! tale che:

|�� − �| <1

� ∀� ∈ � � � ≠ 0

c.v.d.