Politecnico di MilanoAnalisi e Geometria 1

Anno accademico 2020 / 2021

Federico Lastariafederico.lastaria@polimi.it

Dipartimento di Scienze e Tecnologie Aerospaziali

Politecnico di Milano

Materiale didattico, avvisi e informazioni sul corso:

https://home.aero.polimi.it/lastaria/

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. 1) Introduzione al calcolo infinitesimale. 1/22

Suddivisione in squadre per le esercitazioni:in base al Codice Persona di 8 cifre

(Attenzione: non e il Numero di Matricola).

Squadra 1: Codice Persona con ultima cifra dispari:Giovedı 16:15/19:15,Aula LM6 (La Masa, Edificio B15); Aula virtuale.Prof.ssa Barbara Balossi.

Squadra 2: Codice Persona con ultima cifra pari:Giovedı 16:15/19:15,Aula L14 (Campus La Masa, Edifico B12); Aula virtuale:prof. Mauro Saita.

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Alcuni testi

E. Giusti, Analisi Matematica 1, Terza edizione interamenteriveduta, Bollati Boringhieri, 2009.

G. Crasta - A. Malusa, Matematica 1, Teoria ed esercizi,Pitagora.

C.Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica I, Secondaedizione, Springer. (Anche in inglese).

P. Lax, M. Terrell, Calculus with Applications, 2nd Ed.,Springer.

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Quando nasce la scienza? Cos’e una teoria scientifica?

Aspetti caratteristici di una teoria scientifica (‘matematica’):

Due livelli: gli enti teorici (matematici) (si pensi allaGeometria; Elementi di Euclide, 300 a.C.) sono utilizzati comemodelli (semplificati) della realta fisica.Le applicazioni al mondo reale sono basate su regole dicorrispondenza tra gli enti teorici e gli “oggetti concreti”.L’ambito di validita delle regole di corrispondenza e limitato.

Metodo dimostrativo. (Carattere ipotetico-deduttivo delleteorie scientifiche matematiche).

La scienza moderna non nasce con Galileo e Newton, ma conEuclide, Archimede, Eratostene, Aristarco di Samo. Le sue originivanno retrodatate di 2000 anni: nasce verso la fine del quartosecolo a.C., nell’ambito della civilta ellenistica.(Lucio Russo, La Rivoluzione dimenticata, Feltrinelli.)

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Esistono infiniti numeri primi. (Euclide)

Teorema (“Esistono infiniti numeri primi ”. Euclide, Elementi, libroIX, Proposizione 20)

I numeri primi sono piu numerosi di qualunque assegnata quantitadi numeri primi.

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Algoritmo del massimo comun divisore. (Euclide)

Teorema (Algoritmo di Euclide. Elementi, Libro VII, Prop. 2)

Siano a, b numeri interi positivi, a > b. Effettuiamo le divisionisuccessive:

a = q1b + r1

b = q2r1 + r2

r1 = q3r2 + r3

· · · = · · ·rn−2 = qnrn−1 + rn

rn−1 = qn+1rn

Allora l’ultimo resto non nullo rn e il massimo comun divisore di ae b.

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Grandezze incommensurabili. (Euclide, Elementi, libro X.)

Teorema (“Irrazionalita di√

2”)

La diagonale e il lato di un quadrato sono incommensurabili.

L’algoritmo di Euclide (M,c.d.) applicato ai segmenti non termina mai

se, e solo se, i segmenti sono incommensurabili .Frazioni continue.

√2 = 1 +

1

2 + 12+ 1

2+ 12+ 1

2+ 12+ 1

2+ 12+···

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Approssimazione di π. ‘Misura del Cerchio’(Archimede)

3 + 1071 < π < 3 + 1

7 3.1408 < π < 3.1429

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Cos’e il Calcolo Infinitesimale?

Newton, Method of Fluxions (1671; pubblicato postumo nel 1736).

I. Data la lunghezza dello spazio in modo continuo (cioe, in tutti itempi), trovare la velocita del moto a ogni istante assegnato.

II. Data la velocita del moto in modo continuo, trovare lalunghezza dello spazio percorso a ogni tempo assegnato.

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Cos’e il Calcolo Infinitesimale?

Tentativo di descrizione (piu che una ‘definizione’):La matematica del cambiamento di grandezze che variano concontinuita e delle relazioni tra di esse.Curve: cambio nella direzione.Moto: cambio nella posizione.

Concetti, risultati e strumenti fondamentali

Derivata Rapidita di variazione di una quantita.

Integrale Somma totale di parti infinitesimali.

Teorema Fondamentale del Calcolo: relazioni tra derivazione eintegrazione.

Equazioni differenziali. (Esempio: F = ma).Modelli matematici di una evoluzione deterministica.

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Derivata: Rapidita istantanea di variazione

Definizione

La derivata di f in x0, denotata f ′(x0), e il limite del rapportoincrementale:

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0= lim

h→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

(se questo limite esiste finito).

f (x0 + h) ∼ f (x0) + f ′(x0)h (h piccolo)

Variazione ∆f = f ′(x0)h (h piccolo)

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La derivata e il Problema delle Tangenti

Problema delle Tangenti

Pendenza della secante: ∆y∆x

Pendenza della tangente ? dxdy = lim∆x→0

∆y∆x

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La derivata e il Problema della Velocita Istantanea

Caduta libera di un corpo (Galileo)

Posizione all’istante t: s(t) = 12 gt2

Velocita v(t) all’istante t: v(t) = s ′(t) = gt

Piccolo tratto percorso da t a t + dt: v(t) dt = gt dt

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Archimede (287-212 a.C.). Area del segmento parabolico.

ADB + BEC =1

4ABC e cosı via. Iterando:

Area = ABC + 14 ABC + 1

42 ABC + · · ·+ 14n ABC + · · ·

Area = ABC(1 + 1

4 + 142 + + · · ·+ 1

4n + · · ·)

= ABC 43

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Somma infinita: 1 + 14 + 1

42 + · · · · · ·+ 14n + · · · = 4

3

(Archimede)

1 2

1

2

0

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La serie geometrica. (Esempio di somma infinita).

Se 0 < q < 1,

+∞∑n=0

qn = 1 + q + q2 + · · ·+ qn + · · ·

=1

1− q

Perche? Studiare la figura. [Esercizio]

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Il Metodo (Archimede). Legge della Leva per calcolarearee, volumi e centri di gravita.

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Integrale: Somma totale di parti ‘infinitesimali’.

Definizione (Integrale come limite di somme (Riemann, 1854))

∫ b

af (x) dx = lim

|∆|→0

∑i

f (x∗i )∆xi

dove |∆| = maxi=1,...,m ∆xi e la massima lunghezza dei sotto-intervalli

della partizione a = x1 < x2 < · · · < xi < · · · < xn−1 < xn = b.

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Esempio fondamentale della relazione Derivata/Integrale

Integrale della velocita = Spazio percorso

Velocita in t: v(t) = s ′(t), (Supponiamo v continua)

Spazio percorso nell’intervallino di tempo ∆ti : v(t∗i )∆ti

Spazio s(t)− s(t0) percorso da t0 a t:

lim|∆|→0

∑i

v(t∗i )∆ti =

∫ t

t0

v(τ) dτ = s(t)− s(t0)

E una versione del Teorema Fondamentale del Calcolo (I):∫ tt0

s ′(τ) dτ = s(t)− s(t0)

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Teorema Fondamentale del Calcolo (II)

Grafico di f

Supponiamo f continua. Definiamo:

F (x) =

∫ x

af (u) du

= Area sotto il grafico di f da a fino a x

a x + hx

f (x)

F (x+h)−F (x)h = Area del ‘rettangolino’ grigio

Base Esiste x∗ ∈ [x , x + h]:

= h f (x?)h = f (x?)→ f (x) (per h→ 0). Segue:

Teorema Fondamentale del Calcolo Infinitesimale

Se f e continua, ddx

[∫ xa f (u) du

]= f (x)

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Teorema in: Newton, ‘De Quadratura Curvarum’

“Cosı, se le aree ABC , ABDG sono descritte dalle ordinate BC ,BD che avanzano con moto uniforme sulla base AB, le flussionidelle loro aree saranno tra loro in rapporto come le ordinate che

descrivono BC e BD, e possono essere rappresentate per mezzo diquelle ordinate, perche quelle ordinate stanno tra loro come gliincrementi nascenti delle aree.? (Isaac Newton, De Quadratura

Curvarum, manoscritto del 1691-1692)

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Argomenti di riflessione

1) L’attuale concetto di scienza e lontano dalla episteme(ἐπιστήμη) dei greci.2) La pretesa di risolvere il senso del mondo nella descrizionematematico-quantitativa che la scienza da del mondo stesso esuperstizione scientifica (Karl Jaspers).

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