PROVA SCRITTA DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI DEL 05/12/2011

Esercizio n° 1 Sia data una sezione di c.a. avente dimensioni 40 x 60 cm. I materiali impiegati sono:

a) calcestruzzo Rck=30 N/mm2, b) acciaio tipo B450C.

L’armatura, simmetrica, è costituita da 4+4 Ø 20. 1.A Costruire il dominio di interazione M-N della sezione allo

stato limite ultimo. Esercizio n° 2 Un profilato UPN200 è saldato ad una piastra di acciaio dello spessore di 25 mm, allo scopo di realizzare una mensola. La saldatura è realizzata con quattro cordoni d’angolo. Tenendo presente che la mensola è caricata alla estremità dello sbalzo con una forza P avente valore di calcolo, già comprensivo dei coefficienti parziali di sicurezza e dei fattori di combinazione, pari a 80 kN, 2.A determinare la sezione di gola “a” delle saldature. L’acciaio da carpenteria impiegato è del tipo S 235.

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SOLUZIONE DELLA PROVA SCRITTA DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI DEL

05/12/2011

ESERCIZIO n° 1

1.A Costruire il dominio di interazione M-N della sezione allo stato limite ultimo.

Data la sezione di c.a. soggetta a pressoflessione con le caratteristiche geometriche e di resistenza

sotto riportate

armatura 4+4 20

acciaio B450C

cls Rck=30 N/mm2

si determina il dominio di resistenza attraverso il calcolo dei seguenti 4 punti nel piano M-N,

corrispondenti a 4 diverse possibili modalità di rottura della sezione:

A) Compressione centrata

B) Rottura bilanciata

C) Rottura per flessione semplice

D) Trazione centrata

Calcolo delle grandezze di progetto

φπ π

φπ π

= = =

= = =

⋅ ⋅= =

= =

2 22

2 22

2

2

20' 4 4 1256,64   

4 420

4 4 1256,64   4 4

0,85 0,83 3014,11  /

1,5450

391,3  /1,15

s

s

cd

yd

A mm

A mm

f N mm

f N mm

Coordinate punto A

( )= ⋅ ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =' 400 600 14,11 2 1256,64 391,3 4369,8 KA cd s s ydN b H f A A f N

Coordinate punto D

( )= − + ⋅ = − ⋅ ⋅ = −' 2 1256,64 391,3 983,44 KD s s ydN A A f N

2

Coordinate punto B −

−

⋅= ⋅ =

⋅ + ⋅

3

3 5

3,5 10560 359,20

3,5 10 391,3 / 2 10bily mm

= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =0,81 0,81 14,11 400 359,20 1642,2 KB cd bilN C f b y N

( )

( )

⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

3

0,416 '2

6001642,2 10 0,416 359,20 1256,64 391,3 560 40 502,9 

2

B B bil s yd

HM N y A f d d

KN m

Coordinate punto C

0CN =

Dall’equazione di equilibrio alla traslazione si ricava la posizione dell’asse neutro.

Nell’ipotesi che l’acciaio compresso non sia snervato si ha:

ε

+ − =

= ⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅− − −

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

3

5 3

' 0

1256,64 391,3 491,7 10

0,81 0,81 14,11 400 4571,64

' 40 40' ' 2 10 0,0035 1256,64 879,6 10

s yd

cd

s cu s

C C T

T A f

C f b y y

y d y yC E A

y y y

L’equazione di equilibrio è pertanto: '

3 '

3 3

0,81 3,5 10 =0

404571,64 879,6 10 491,7 10 0

cd s s yd sy df by E A f A

yyy

y

− −+ ⋅ −

−⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

Sviluppando si ottiene l’equazione di secondo grado determinatrice della posizione dell’asse neutro:

( )( )

2 3 3

2 3 3 3

2 3 3

4571,64 879,6 10 40 491,7 10 0

4571,64 879,6 10 491,7 10 879,6 10 40 0

4571,64 387,6 10 35184,0 10 0

y y y

y y

y y

⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ =

⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

La posizione dell’asse neutro è:

3

( )23 3 3

3 9 9

3 3

387,6 10 387,6 10 4 4571,64 35184,0 10

2 4571,64

387,6 10 150, 23 10 643,39 109143, 28

387,6 10 890,85 10 55,09143, 28

y

mm

− ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅

− ⋅ + ⋅ + ⋅= =

− ⋅ + ⋅= =

Si controlla ora la validità dell’ipotesi di acciaio compresso non snervato.

La deformazione unitaria dell’acciaio allo snervamento è:

Si può quindi procedere al calcolo del momento ultimo:

La risultante di compressione nel calcestruzzo è:

= ⋅ = ⋅ 34571,64 55 251,44 10C N

La forza nell’acciaio compresso è:

− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅3 3 340 55 40' 879,6 10 879,6 10 239,99 10

55y

C Ny

La forza nell’acciaio teso è:

= ⋅ 3491,7 10T N

L’equilibrio è soddisfatto, poiché:

⋅ + ⋅ − ⋅ = − ≅3 3 3251,44 10 239,99 10 491,7 10 0,27 0N

( )= ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ − =

= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ =

3 3 3

6 6 6 6

(1 0,416) ' ( ') ( )

251,44 10 (1 0,416) 55 239,99 10 55 40 491,7 10 (560 55)

8,07 10 3,60 10 248,31 10 259,98 10 259,98

cM C y C y d T d y

Nmm kNm

'' 3 3 355 403,5 10 0,95 10 1,96 10

55s cy d

yε ε − − −− −

= = ⋅ ⋅ = ⋅ < ⋅

35

391,3 1,96 102 10ydε −= = ⋅⋅

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ESERCIZIO n° 2

2.A Determinare la sezione di gola “a” delle saldature.

Si suppone di adottare saldature caratterizzate tutte dalla stessa sezione di gola “a”.

Calcolo delle sollecitazioni

Il carico applicato P = 80 kN induce sui cordoni di saldatura un Momento torcente Mt ed un taglio

pari proprio a P.

Il Momento torcente vale:

= ⋅ = ⋅80 0,60 48,00 tM KN m

Il momento torcente induce, nelle due coppie di cordoni, una orizzontale ed una verticale, delle

forze F parallele alle saldature ed uguali fra loro.

Ciascuna forza F vale:

= = =⋅ ⋅

48  120 

0,20 2 0,20 2tM

F kN

Per quanto riguarda lo sforzo di taglio, si può supporre che esso si ripartisca in parti uguali fra le

quattro saldature e che quindi su ciascuna di esse agisca lo sforzo di taglio:

= =80

 20 4

T kN

La sezione resistente di ciascun cordone di saldatura è:

= ⋅ 2200saldA a mm

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Saldature orizzontali

Ciascuno dei due cordoni orizzontali è sottoposto, dopo il ribaltamento della sezione di gola della

saldatura sulla piastra, ad una tensione tangenziale parallela ad essa dovuta alla forza F (derivante

dal momento torcente):

⋅= =

⋅

32120 10

/200sald

Ft N mm

A a

e ad una tensione tangenziale perpendicolare dovuta allo sforzo di taglio:

⊥⋅

=⋅

3220 10

/200sald

Tt N mm

A a

Quindi:

β⊥

+ = ⋅ = ⋅2 21 0,85 235 ykt t f

e cioè:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 23 3120 10 20 10199,75 

200 200a a

⋅ ⋅+ =

3 3

2 2

360 10 10 10199,75 

a a

= →608,27

199,75  =3,04 mmaa

Saldatura verticale

Ciascuno dei due cordoni verticali è sottoposto, dopo il ribaltamento della sezione di gola della

saldatura sulla piastra, ad una tensione tangenziale parallela ad essa dovuta alla forza F (derivante

dal momento torcente):

⋅= =

⋅

32120 10

/200sald

Ft N mm

A a

Per quanto riguarda lo sforzo di taglio, la tensione tangenziale parallela da esso indotta è:

⋅=

⋅

3220 10

/200sald

Tt N mmA a

Nel caso però del cordone di sinistra le due tensioni si sottraggono, in quanto hanno verso opposto,

mentre in quello di destra si sommano.

Fissando l’attenzione su quest’ultimo, si avrà:

⋅ ⋅ ⋅= + =

⋅ ⋅ ⋅

3 3 32120 10 20 10 140 10

/200 200 200

t N mma a a

6

Poiché:

= ⋅0,85 235 t

Si ha:

⋅= →

⋅

3140 10199,75 =3,50 mm

200a

a

Per tutte le saldature si assume, cautelativamente, il valore massimo della sezione di gola: a=3,50

mm.