Sollecitazioni semplici La torsione

Considerazioni introduttive

•  Un elemento strutturale è soggetto a sollecitazione di torsione quando su di esso agiscono due momenti uguali ed opposti giacenti su un piano perpendicolare al suo asse longitudinale

•  In pratica, si può avere torsione anche se agisce una sola coppia

allorquando l’elemento è vincolato. Infatti alla coppia applicata, si oppone quella prodotta dalla reazione dei vincoli

•  Dunque, in definitiva la trave risulta soggetta a due momenti uguali ed opposti (T e T’) normali all’asse longitudinale della struttura (in questo caso la barra)

Considerazioni introduttive

F l

Considerazioni introduttive

•  Per effetto dell’applicazione dei momenti torcenti alle estremità, si ipotizza che le sezioni trasversali ruotino rigidamente l’una rispetto all’altra rispetto all’asse longitudinale, rimanendo quindi piane

•  Segmenti radiali appartenenti alle sezioni rimangono rettilinei ed inoltre, se gli spostamenti sono piccoli, anche la lunghezza dell’asse del solido non cambia

•  Ci occuperemo di analizzare Il caso della torsione pura quella, cioè, che si verifica in solidi cilindrici circolari retti e la trattazione parte dal considerare le deformazioni che avvengono nel solido quando è sottoposto a momento torcente

•  La rotazione relativa tra le sezioni inziale e finale prende il nome di angolo di torsione, e si indica generalmente con φ

•  Una generatrice del cilindro (AB) si deforma secondo un arco di elica cilindrica poiché l’estremo A si sposta in A’ .

•  Una fibra interna, parallela alla generatrice, subisce lo stesso tipo di deformazione ma di entità minore poiché è più vicina al centro.

Considerazioni introduttive

•  Se si considera una porzione del solido compresa tra due sezioni trasversali poste alla distanza dx, l’elementino di superficie abcd si deforma secondo uno stato di scorrimento puro nel quale, però, i lati non variano di lunghezza, mentre si modifica l’angolo tra i lati prima e dopo l’applicazione del momento.

•  Questa variazione di forma è quantificata dalla deformazione angolare

abbb

e'=γ che è legata alla rotazione dφ dalla relazione rddxe ⋅=⋅ ϕγ

Angolo di torsione

La relazione rddxe ⋅=⋅ ϕγ

si può esprimere come Φ⋅=⋅= rdxdreϕγ

nella quale la quantità Φ=dxdϕ

prende il nome di angolo unitario di torsione

•  Nel caso di torsione pura, la rotazione relativa tra la sezione iniziale (quella nella quale è applicato il momento torcente) ed una generica sezione posta alla distanza x vale:

x⋅Φ=ϕ

•  Tutte le considerazioni fatte finora non tengono in conto le caratteristiche del materiale ma sono puramente di carattere geometrico. Tuttavia è possibile introdurre il legame tra sforzi e deformazioni che, come visto in precedenza, per i materiali a comportamento lineare elastico, è descritto dalla legge di Hooke

Sforzi tangenziali causati dalla torsione

•  Per un elementino di materiale posto sulla superficie del cilindro possiamo scrivere:

Φ⋅⋅=⋅= rGG ee γτ•  Ciò può essere facilmente esteso ad un elementino qualsiasi posto alla generica

distanza radiale � dall’asse x.

•  Infatti poichè i segmenti radiali si mantengono rettilinei, le relazioni viste in precedenza sono ancora valide purchè si sostituisca ad r il valore di � e quindi:

Φ⋅=⋅= ρϕργdxd

e Φ⋅⋅=⋅= ργτ GG ee

•  Si osserva, quindi, che gli sforzi tangenziali dovuti alla torsione sono, in ogni punto della sezione, diretti circonferenzialmente e variano linearmente con la distanza dall’asse dando luogo ad una distribuzione triangolare caratterizzata da valore massimo sulla superficie esterna

Legame tra angolo di rotazione e momento

•  Nota la distribuzione degli sforzi, possiamo ora determinare il legame tra l’angolo di rotazione � e il momento torcente applicato Mt calcolando il momento risultante delle forze agenti sull’intera sezione, che deve essere appunto in equilibrio con il momento applicato

•  Si consideri l’anello di raggio � e spessore d�.

•  Sull’elementino anulare di area dA esiste una distribuzione di sforzi tangenziali �, che produce risultante nulla di forze ma un momento attorno all’asse. La somma di questi momenti vale:

pAA

et JGdAGdAM ⋅Φ⋅=⋅Φ⋅=⋅= ∫∫ 2ρρτ

Φ⋅⋅= ρτ Gee l’espressione del momento di inerzia polare

ricordando che: ∫=A

p dAJ 2ρ

•  Per una sezione circolare 32

4dJ p⋅= π dunque l’angolo unitario

di torsione vale: p

t

JGM⋅

=Φ

•  La rotazione tra due sezioni estreme vale: p

t

JGLMLx

⋅⋅=⋅Φ=⋅Φ=ϕ

Rigidezza torsionale e �max

p

t

JGLM

⋅⋅=ϕ La grandezza:

LJG p⋅

prende il nome di rigidezza torsionale

•  La rigidezza torsionale rappresenta il momento torcente che occorre applicare per produrre un angolo di rotazione unitario (gli angoli sono espressi in radianti)

•  Per calcolare lo sforzo tangenziale massimo si ha:

Φ⋅⋅= rGmaxτp

t

JGM⋅

=Φma quindi p

t

JGMrG⋅

⋅⋅=maxτ

p

t

JrM ⋅=maxτ

•  Essendo per una sezione circolare il momento di inerzia 32

4dJ p⋅= π

344max16

232

32

2dM

ddM

d

dMtt

t

⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅

⋅=

πππτ

Sezione circolare cava

p

t

JrM ⋅=maxτ

•  Nel caso della sezione cava, il momento di inerzia vale ( )32

44 dDJ p−⋅= π

( ) ( )dDDM

dD

DMt

t

−⋅⋅⋅=

−⋅

⋅⋅= 444max

16232

ππτ

D/2

d/2 quindi

•  Le sollecitazioni torsionali devono essere rappresentate sul piano della sezione a differenza di quanto accade per la flessione

Esempio 1

Un albero cilindrico cavo in acciaio è lungo 1.5 m ed ha diametri interni ed esterni rispettivamente uguali a 40 mm e 60 mm. Qual è il massimo momento torcente che può essere applicato all’albero se il valore della tensione tangenziale non deve essere superiore a 120 MPa ? Qual è il corrispondente minimo valore della tensione tangenziale nell’albero ?

Esempio

Per l’albero cavo mostrato in figura, sottoposto ad un momento torcente pari a 2400 Nm, determinare a) la massima tensione tangenziale b) il diametro di un albero pieno nel quale la massima tensione tangenziale è la stessa ottenuta al punto a)

Esempio

Nell’asta di ottone AB la tensione ammissibile è di 50 MPa, mentre per l’asta di alluminio BC il valore scende a 25 MPa. Sapendo che all’asta è applicato un momento torcente di 1250 Nm nella sezione di estremità (A), determinare i diametri necessari per le due aste.

Esempio

L’albero AB è costruito in acciaio con tensione tangenziale massima ammissibile pari a 90 MPa, mentre l’albero BC è realizzato in alluminio, con tensione tangenziale massima ammissibile pari a 60 MPa. Sapendo che il diametro dell’albero BC è pari a 50 mm determinare a)  La massima coppia torcente che può essere applicata in A se non si deve

superare la sollecitazione ammissibile nell’albero BC b)  Il corrispondente diametro dell’albero AB

Nel corpo umano...

•  Il corpo umano si trova spesso soggetto all’azione di sollecitazioni torsionali.

•  La colonna vertebrale, per esempio, consente di effettuare movimenti torsionali, limitati dall’azione di muscoli e strutture tendinee/legamentose.

•  Queste devono essere in grado di resistere alla sollecitazione esterna, contrastandola con un momento torcente uguale e contrario affinché sia ripristinato l'equilibrio.

Momento torcente massimo sopportabile in funzione del diametro dell’osso

Momento torcente massimo sopportabile in funzione della sezione resistente

•  L’articolazione di ginocchio è frequentemente interessata da traumi distorsivi provocati da eccessive sollecitazioni torsionali.

•  Nei casi più gravi, si osservano lesioni dei legamenti crociati, che sono quelli che assicurano la stabilità e la rotazione dell’articolazione

Nel corpo umano...