POTENZA 25=2*2*2*2*2 2 è la BASE

5 è l’ESPONENTE

PROPRIETA’ PRODOTTO DI POTENZE DI UGUALE BASE 32*37=32+7=39

QUOZIENTE DI POTENZE DI UGUALE BASE 312:37=312-7=35

POTENZA DI POTENZA (32)7=32*7=314

PRODOTTO DI POTENZE DI UGUALE ESPONENTE 32*22=(3*2)2=62

QUOZIENTE DI POTENZE DI UGUALE ESPONENTE 42:22=(4:2)2=22

ANGOLO

ANGOLI CLASSIFICAZIONI

COMPLEMENTARI: la loro somma è congruente ad un angolo retto.

SUPPLEMENTARI: la loro somma è congruente ad un angolo piatto. ANGOLI

ANGOLI OTTUSI: la loro ampiezza è maggiore (>) di quella dell’angolo retto e

minore (<) di quella dell’angolo piatto.

α β

V lato

lato

ACUTI: la loro ampiezza è minore (<) di quella dell’angolo retto.

ESPLEMENTARI: la loro somma è congruente ad un angolo giro.

ANGOLI CONVESSI

CONCAVI CONVESSO

CONCAVO

ANGOLI ADIACENTI: sono consecutivi e i lati non comuni ai due angoli sono semirette opposte.

CONSECUTIVI: se hanno in comune il vertice e un lato.

vertice

DIVISORI I DIVISORI DI UN NUMERO SONO TUTTI QUEI NUMERI CHE DIVIDONO IL NUMERO SENZA DARE RESTO.

ESEMPIO: 2 È DIVISORE DI ….. PERCHÉ ….. : 2 = ….. RESTO 0

2 NON È DIVISORE DI 5 PERCHÉ: 5 : ….. = ….. RESTO ….

L’INSIEME DEI DIVISORI DI UN NUMERO È UN INSIEME FINITO.

ESEMPIO: D30 = { 1, 2, ….., 5, ….., ……, 15, 30}

MULTIPLI

I MULTIPLI DI UN NUMERO SONO L’INSIEME DI NUMERI CHE SI OTTIENE MOLTIPLICANDO IL NUMERO PER LA

SUCCESSIONE DEI NUMERI NATURALI.

ESEMPIO: I MULTIPLI DI 3 SONO 3 * 1 = 3 ; 3 * 2 = 6 ; 3 * 3 = 9 E COSÌ VIA.

L’INSIEME DEI MULTIPLI DI UN NUMERO È UN INSIEME INFINITO.

ESEMPIO: M5 = { 5, 10 , ….., 20, ….., ……, 35, 40, ….}

NUMERI PRIMI I NUMERI PRIMI SONO QUEI NUMERI CHE POSSONO ESSERE DIVISI SOLO PER 1 E PER SE STESSI.

ESEMPI DI NUMERI PRIMI: 3, 5, 13, 17

IL NUMERO 1 NON VIENE CONSIDERATO NUMERO PRIMO.

TUTTI I NUMERI CHE NON SONO PRIMI SI DEFINISCONO COMPOSTI, PERCHÉ POSSONO ESSERE SCRITTI

ATTRAVERSO LA FATTORIZZAZIONE COME PRODOTTO DI NUMERI PRIMI. ESEMPIO: 6 = 3 * 2 (6 È IL NUMERO

……………., 3 E 2 I FATTORI ………..)

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI SERVE A TROVARE I FATTORI PRIMI PER POTER SCRIVERE I NUMERI COMPOSTI.

PER POTERLA FARE VELOCEMENTE DEVO RICORDARE I CRITERI DI DIVISIBILITÀ

CRITERIO PER 2 TUTTI I NUMERI LA CUI UNITÀ SIA UNA CIFRA PARI SONO DIVISIBILI PER 2. ESEMPIO: 4 , 8 , 10 , 30

CRITERIO PER 3 SE SOMMANDO TUTTE LE CIFRE CHE COMPONGONO UN NUMERO LA SOMMA RISULTA UN MULTIPLO DI 3 ALLORA IL

NUMERO È DIVISIBILE PER 3. ESEMPIO: 120 (LA SOMMA DELLE CIFRE È 1+2+0 = 3) , 3045 (LA SOMMA DELLE CIFRE È …+…+…+… = 12)

CRITERIO PER 4 SE LE ULTIME DUE CIFRE DEL NUMERO FORMANO UN NUMERO MULTIPLO DI 4 ALLORA IL NUMERO È DIVISIBILE PER 4.

ESEMPIO: 120 (LE ULTIME DUE CIFRE DA DESTRA SONO 20, 20 E’ UN MULTIPLO DI 4 PERCHE’ 4*5=20)

CRITERIO PER 5 TUTTI I NUMERI CHE TERMINANO IN 0 O 5 SONO DIVISIBILI PER 5. ESEMPIO: 15 , 100 , 325

CRITERIO PER 9 SE SOMMANDO TUTTE LE CIFRE CHE COMPONGONO UN NUMERO LA SOMMA RISULTA UN MULTIPLO DI 9 ALLORA IL

NUMERO È DIVISIBILE PER 9. ESEMPIO: 720 (LA SOMMA DELLE CIFRE È 7+2+0 = 9) , 3843 (LA SOMMA DELLE CIFRE È …+…+…+… = 18)

CRITERIO PER 10 TUTTI I NUMERI CHE TERMINANO CON UNO O PIÙ ZERI SONO DIVISIBILI PER 10. ESEMPIO: 100 , 1250 , 670

CRITERIO PER 11 SE SOTTRAENDO LA SOMMA DELLE CIFRE DI POSIZIONE PARI (CONTANDO DA SINISTRA) ALLA SOMMA DELLE CIFRE DI

POSIZIONE DISPARI OTTENGO UN MULTIPLO DI 11 O IL NUMERO 0, ALLORA IL NUMERO È DIVISIBILE PER 11.

ESEMPIO: 1320 (CIFRE DI POSIZIONE PARI: 3 E 0, CIFRE DI POSIZIONE DISPARI : 1 E 2, 3 – (1+2) = 0 1320 È DIVISIBILE PER 11)

CRITERIO PER 25 SE LE ULTIME DUE CIFRE SONO ENTRAMBE 0 O SE LE ULTIME DUE CIFRE SONO UN MULTIPLO DI 25 ALLORA IL NUMERO E’

DIVISIBILE PER 25. ESEMPIO: 1750 (LE ULTIME DUE CIFRE SONO 50, MULTIPLO DI 25), 2600 (LE ULTIME DUE CIFRE SONO ENTRAMBE 0).

M.C.D MASSIMO COMUNE DIVISORE

Il M.C.D. tra due numeri è il divisore più grande tra i divisori comuni dei due numeri.

m.c.m. MINIMO COMUNE MULTIPLO

Il m.c.m. tra due numeri è il multiplo più piccolo che i due numeri hanno in comune.

REGOLE PER TROVARE IL M.C.D. E IL m.c.m. ATTRAVERSO LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI

M.C.D. prendere dalla scomposizione fattori primi SOLO i fattori comuni con esponente minore.

m.c.m. prendere dalla scomposizione in fattori primi i fattori comuni e non comuni con esponente maggiore.

I divisori comuni a 24 e 16 sono in grassetto.

Tra questi il più grande, il M.C.D. ,è ……

ESEMPIO: D24 = { 1, 2, …., 4, 6, 8, …., 24}

D16 = { 1, 2, 4, 8, …..}

Tra quelli elencati i multipli comuni a 3 e

12 sono in grassetto.

Tra questi il più piccolo, m.c.m, è ……

ESEMPIO: M3 = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, …}

M12 = { 12, 24, 36, …}

1

2 4

8

3

6 12

16

D24 D16

sono uguali le due scritture: 4 : 5 e

FRAZIONE

il suo significato è analogo al segno di DIVISIONE Si legge quattro quinti o quattro fratto cinque.

L’unità frazionaria (con n diverso da zero) rappresenta una sola delle n parti uguali in cui è stato diviso l’intero.

DENOMINATORE è il numero di parti uguali in cui è stato diviso l’intero (non può essere zero)

NUMERATORE indica il numero di parti considerate

LINEA DI FRAZIONE

La frazione è un OPERATORE che divide l’intero in tante parti uguali quante ne indica il denominatore e ne prende in considerazione tante quante ne indica il numeratore.

Operiamo con la frazione sul rettangolo seguente: 1. Dividiamo il rettangolo in 4 parti uguali

2. Consideriamo 3 parti

Si classificano in: •PROPRIE: se il numeratore è minore del denominatore. Es.

•IMPROPRIE: se il numeratore è maggiore del denominatore. Es.

•APPARENTI: se il numeratore è uguale o è un multiplo del denominatore. Es. o

REGOLE DI CALCOLO TRA FRAZIONI

ADDIZIONE

SE LE FRAZIONI HANNO LO STESSO DENOMINATORE ALLORA LA FRAZIONE SOMMA HA PER NUMERATORE LA SOMMA DEI NUMERATORI E

PER DENOMINATORE IL DENOMINATORE DELLE FRAZIONI DI PARTENZA.

SE LE FRAZIONI HANNO DENOMINATORE DIVERSO DEVO SEGUIRE IL SEGUENTE SCHEMA:

a) CALCOLO IL MINIMO COMUNE MULTIPLO TRA I DUE DENOMINATORI

b) TRASFORMO LE FRAZIONI DI PARTENZA IN FRAZIONI EQUIVALENTI DI DENOMINATORE UGUALE AL MINIMO COMUNE MULTIPLO. IL

NUMERATORE SI OTTIENE DIVIDENDO IL MINIMO COMUNE MULTIPLO PER IL DENOMINATORE DELLA FRAZIONE DI PARTENZA E POI

MOLTIPLICO IL NUMERO CHE TROVO PER IL NUMERATORE DELLA FRAZIONE DI PARTENZA.

SOTTRAZIONE

PER LA SOTTRAZIONE VALGONO LE STESSE REGOLE DELL’ADDIZIONE, OVVIAMENTE AL POSTO DI SOMMARE LE DUE FRAZIONI DI PARTENZA

LE DEVO SOTTRARRE!

REGOLE DI CALCOLO TRA FRAZIONI

MOLTIPLICAZIONE

LA FRAZIONE RISULTANTE DALLA MOLTIPLICAZIONE DI DUE FRAZIONI HA PER NUMERATORE IL PRODOTTO DEI NUMERATORI E PER

DENOMINATORE IL PRODOTTO DEI DENOMINATORI.

POSSIAMO ANCHE SEMPLIFICARE IL CONTO ATTRAVERSO LA SEMPLIFICAZIONE A CROCE: SEMPLIFICO QUANDO È POSSIBILE IL

NUMERATORE DELLA PRIMA FRAZIONE PER IL DENOMINATORE DELLA SECONDA E IL NUMERATORE DELLA SECONDA CON IL NUMERATORE

DELLA PRIMA.

DIVISIONE

REGOLA: RISCRIVO LA PRIMA FRAZIONE E LA MOLTIPLICO PER LA FRAZIONE RECIPROCA DELLA SECONDA. POI PROCEDO COME PER LE

MOLTIPLICAZIONI.

FRAZIONI PARTICOLARI

FRAZIONE COMPLEMENTARE

DUE FRAZIONI SONO COMPLEMENTARI SE LA LORO SOMMA È UGUALE ALLA FRAZIONE UNITÀ.

PER SCRIVERE LA FRAZIONE COMPLEMENTARE AD UNA DATA DEVO SCRIVERE LO STESSO DENOMINATORE E PER NUMERATORE LA

DIFFERENZA TRA IL DENOMINATORE E IL NUMERATORE DELLA FRAZIONE DATA.

FRAZIONI RECIPROCHE

DUE FRAZIONI SONO RECIPROCHE SE IL LORO PRODOTTO È UGUALE ALLA FRAZIONE UNITÀ.

PER SCRIVERE LA FRAZIONE RECIPROCA DI UNA DATA BASTA SCAMBIARE NUMERATORE E DENOMINATORE.

•Nel triangolo ……………………. i tre punti notevoli appartengono tutti ad uno stesso segmento.

•Nel triangolo ………………..…. i tre punti notevoli coincidono in un unico punto detto ………………

TRIANGOLI sono poligoni con ….. lati e 3 angoli.

Vertici: A , B , …. Lati: AB , ….., CA Angoli: ….. , β , γ

Vengono classificati in base ai:

A

C B

α

γ β

LATI

……………..

ISOSCELI

……………….

• Lati e angoli tutti diversi

•Due lati congruenti (……. e …….)

•Un lato diverso detto base ( ……)

•Angoli adiacenti alla base congruenti

( …… e …….).

A

C B

α

γ β

•Tre lati congruenti

•Tre angoli congruenti di misura ……..

ANGOLI ………..ANGOLI

…………ANGOLI

………..ANGOLI

•Un angolo ottuso (maggiore di …… e minore di 180°)

•Un angolo di 90°

• i lati adiacenti all’angolo retto si dicono ……………

•Il lato opposto all’angolo retto si dice …………..…...

•Tutti angoli acuti

(maggiori di 0° e minori di …..)

Punti notevoli dei triangoli

……….CENTRO BARICENTRO

INCENTRO

Punto di incontro delle 3 altezze (h)

Punto di incontro delle 3 …………... (m) Punto di incontro

delle 3 bisettrici (b)

L’altezza è un segmento

che esce da un vertice e

cade ……………………….al

lato opposto.

La mediana è un

segmento che

esce da un vertice

e cade a ………….

del lato opposto.

La bisettrice è un

segmento che esce da

un vertice dividendo

l’…………….. in due

parti congruenti.

A B

C

M 90°

…..

…..

…..

•Nel triangolo ISOSCELE i tre punti notevoli appartengono tutti ad uno stesso segmento.

•Nel triangolo EQUILATERO i tre punti notevoli coincidono in un unico punto detto CENTRO

TRIANGOLI sono poligoni con 3 lati e 3 angoli.

Vertici: A , B , C Lati: AB , BC , CA Angoli: α , β , γ

Vengono classificati in base ai:

A

C B

α

γ β

LATI

SCALENI

ISOSCELI

EQUILATERI

• Lati e angoli tutti diversi

•Due lati congruenti ( AB e AC)

•Un lato diverso detto base ( BC)

•Angoli adiacenti alla base congruenti

( β e γ ).

A

C B

α

γ β

•Tre lati congruenti

•Tre angoli congruenti di misura 60°

ANGOLI ACUTANGOLI

OTTUSANGOLI

RETTANGOLI

•Un angolo ottuso (maggiore di 0° e minore di 180°)

•Un angolo di 90°

• i lati adiacenti all’angolo retto si dicono CATETI

•Il lato opposto all’angolo retto si dice IPOTENUSA

•Tutti angoli acuti

(maggiori di 0° e minori di 180°)

Punti notevoli dei triangoli

ORTOCENTRO BARICENTRO

INCENTRO

Punto di incontro delle 3 altezze (h)

Punto di incontro delle 3 mediane (m) Punto di incontro

delle 3 bisettrici (b)

L’altezza è un segmento

che esce da un vertice e

cade perpendicolare al

lato opposto.

La mediana è un

segmento che

esce da un vertice

e cade a metà del

lato opposto.

La bisettrice è un

segmento che esce da

un vertice dividendo

l’angolo in due parti

congruenti.

A B

C

M 90°

…..

…..

…..

QUADRILATERI

SONO POLIGONI CON 4 LATI E 4 ANGOLI

Vertici: A , B , …. , … Lati: AB , ….., CD, … Angoli: ….. , β , γ , δ

VENGONO CLASSIFICATI IN BASE A ANGOLI E LATI IN:

QUADRILATERI SCALENI

TRAPEZI

PARALLELOGRAMMI

NESSUNA PROPRIETÀ PARTICOLARE SU LATI E ANGOLI

QUADRILATERI CON UNA COPPIA DI LATI OPPOSTI PARALLELI

QUADRILATERI CON LATI OPPOSTI PARALLELI

DELTOIDI QUADRILATERI CON DUE COPPIE DI LATI CONSECUTIVI CONGRUENTI

CARATTERISTICHE LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI È AMPIA 360°

LA SOMMA DEGLI ANGOLI ESTERNI È AMPIA 360°

IL NUMERO DELLE DIAGONALI È SEMPRE UGUALE A 2

B

A

C

D

α δ

β γ

OGNI LATO È MINORE DELLA SOMMA DEGLI ALTRI TRE LATI

TRAPEZIO È UN QUADRILATERO CHE HA DUE LATI OPPOSTI PARALLELI

TIPOLOGIE:

TRAPEZIO RETTANGOLO

TRAPEZIO ISOSCELE

TRAPEZIO SCALENO

GLI ANGOLI ADIACENTI AD UNO STESSO LATO OBLIQUO SONO SUPPLEMENTARI

•AB e CD SONO I LATI OBLIQUI •BC È LA BASE MAGGIORE (B) •AD È LA BASE MINORE (b) •DH (O AK) È L’ALTEZZA (h, SEGMENTO PERPENDICOLARE ALLE BASI) •HC E KB SONO LE PROIEZIONI DEI LATI OBLIQUI SULLA BASE MAGGIORE

B

A

C

D

H K

LATI OBLIQUI NON CONGRUENTI E NESSUNO DI ESSI È PERPENDICOLARE ALLE BASI

UNO DEI LATI OBLIQUI È PERPENDICOLARE ALLE DUE BASI

LATI OBLIQUI CONGRUENTI

•IL LATO PERPENDICOLARE È CONGRUENTE ALL’ALTEZZA •LA MISURA DELLA PROIEZIONE DEL LATO OBLIQUO È CONGRUENTE ALLA DIFFERENZA TRA LE DUE BASI

•GLI ANGOLI ADIACENTI ALLA BASE MAGGIORE SONO CONGRUENTI TRA LORO •GLI ANGOLI ADIACENTI ALLA BASE MINORE SONO CONGRUENTI TRA LORO •ANGOLI OPPOSTI SONO SUPPLEMENTARI •LE DIAGONALI SONO TRA LORO CONGRUENTI •LE PROIEZIONI DEI DUE LATI OBLIQUI SULLA BASE MAGGIORE SONO CONGRUENTI E SONO PARI ALLA SEMIDIFFERENZA DELLE BASI

PARALLELOGRAMMO È UN QUADRILATERO CON LATI OPPOSTI PARALLELI

A SECONDA DELL’AMPIEZZA DEGLI ANGOLI E DELLA MISURA DEI LATI POSSIAMO DISTINGUERE:

ROMBO

QUADRATO

RETTANGOLO

CARATTERISTICHE:

•AB e CD SONO I LATI OBLIQUI •BC È LA BASE (b) •AD È LA BASE MINORE (b) •AK È L’ALTEZZA RELATIVA A BC • AY È L’ALTEZZA RELATIVA A DH

PARALLELOGRAMMO CON QUATTRO ANGOLI RETTI (È UN PARALLELOGRAMMO EQUIANGOLO)

PARALLELOGRAMMO CON QUATTRO LATI CONGRUENTI (È UN PARALLELOGRAMMO EQUILATERO)

PARALLELOGRAMMO CON QUATTRO ANGOLI RETTI E QUATTRO LATI CONGRUENTI (QUINDI È UN PARALLELOGRAMMO EQUILATERO ED EQUIANGOLO)

CARATTERISTICHE: •DIAGONALI TRA LORO PERPENDICOLARI •LE DIAGONALI SONO BISETTRICI DEI RISPETTIVI ANGOLI •LE DIAGONALI DIVIDONO IL ROMBO IN QUATTRO TRIANGOLI RETTANGOLI CONGRUENTI

B

A

C

D

H

K

ANGOLI OPPOSTI CONGRUENTI

ANGOLI CONSECUTIVI SUPPLEMENTARI

LE DIAGONALI SI DIMEZZANO SCAMBIEVOLMENTE

LATI OPPOSTI SONO CONGRUENTI

CARATTERISTICA: DIAGONALI CONGRUENTI

CARATTERISTICHE: •DIAGONALI TRA LORO PERPENDICOLARI •LE DIAGONALI SONO BISETTRICI DEI RISPETTIVI ANGOLI •LE DIAGONALI SONO TRA LORO CONGRUENTI

DELTOIDE È UN QUADRILATERO CHE HA DUE COPPIE DI LATI CONSECUTIVI CONGRUENTI

CARATTERISTICHE: •LE DIAGONALI SONO TRA LORO PERPENDICOLARI •LA DIAGONALE MAGGIORE (AC) È BISETTRICE DEI RISPETTIVI ANGOLI •LA DIAGONALE MINORE (BD) È DIVISA DALL’ALTRA DIAGONALE IN DUE SEGMENTI CONGRUENTI •GLI ANGOLI OPPOSTI LUNGO LA DIAGONALE MINORE SONO CONGRUENTI