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M.C.D. e m.c.m. Conoscenze

1. Segna con una crocetta le affermazioni esatte:

Il M.C.D. tra due numeri a e b è:

a. il più piccolo multiplo comune tra i numeri a e b

b. il più grande multiplo comune tra i numeri a e b

c. il più grande divisore comune tra i numeri a e b

d. il più piccolo divisore comune tra i numeri a e b

Il m.c.m. tra due numeri a e b è:

a. il più piccolo multiplo comune tra i numeri a e b, diverso da zero

b. il più grande multiplo comune tra i numeri a e b, diverso da zero

c. il più grande divisore comune tra i numeri a e b, diverso da zero

d. il più piccolo divisore comune tra i numeri a e b, diverso da zero

2. Per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri:

a. si scompongono i numeri in fattori primi e poi si esegue il quoziente di tutti i fattori,

ciascuno considerato una sola volta e con l’esponente più piccolo.

b. si scompongono i numeri in fattori primi e poi si esegue il prodotto di tutti i fattori,

comuni e non comuni, ciascuno considerato con l’esponente più piccolo.

c. si scompongono i numeri in fattori primi e poi si esegue il prodotto di tutti i fattori comuni


d. si scompongono i numeri in fattori primi e poi si esegue il prodotto di tutti i fattori,

comuni e non comuni, ciascuno considerato una sola volta e con l’esponente più grande.

3. Per calcolare il m.c.m. tra due o più numeri:

a. si scompongono i numeri in fattori primi e poi si esegue il prodotto di tutti i fattori,


b. si scompongono i numeri in fattori primi e poi si esegue il quoziente di tutti i fattori,

comuni e non comuni, ciascuno considerato con l’esponente più grande.

c. si scompongono i numeri in fattori primi e poi si esegue il prodotto di tutti i fattori,

ciascuno considerato una sola volta e con l’esponente più grande.

d. si scompongono i numeri in fattori primi e poi si esegue il prodotto di tutti i fattori,

comuni e non comuni, ciascuno considerato una sola volta e con l’esponente più grande.

4. Il M.C.D. tra 12 e 8 è:

12 4 8 24

5. Il m.c.m. tra 15 e 18 è:

18 60 90 3

6. Completa:

1) Due o più numeri si dicono primi tra loro se ...................................................................

2) Il m.c.m. tra due numeri primi tra loro è il loro ...............................................................

3) Il M.C.D. tra due o più numeri multipli tra di loro è ......................................................

4) Il m.c.m. tra due o più numeri multipli tra loro è ............................................................

7. Collega ogni coppia di numeri con il suo M.C.D.:

(15; 8) 4

(20; 4) 3

(6; 18) 1

(9; 6) 6

8. Collega ogni coppia di numeri con il suo m.c.m.:

(5; 15) 20

(4; 5) 15

(24; 20) 24

(6; 8 ) 120

9. Considera gli insiemi dei divisori dei numeri 12, 15 e 18 e poi indica il loro M.C.D.

D(12) ={1; 2; 3; 4; 6; 12} D(15) = {1; 3; 5; 15} D(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

2 6 3 1

10. Considera gli insiemi dei multipli dei numeri 5, 4 e 10 e poi indica il loro m.c.m.:

M(5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; ....}

M(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60; ....}

M(10) = {0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; ....}

60 10 30 20

11. Data la scomposizione in fattori primi dei numeri 200 e 120 individua, tra i prodotti di fattori

assegnati, quello che consente di determinare correttamente il loro M.C.D. e il loro m.c.m.:

200 = 23 5

2 120 = 2

3 3 5

M.C.D.(200; 120) = 23 3 5

2 2

3 5

23 3 5 2

3 5

2

m.c.m. (200; 120) = 23 3 5 2

3 5

23 3 5

2 2

3 5

2

12. Data la scomposizione in fattori primi dei numeri 12, 36 e 90, individua, tra i prodotti di fattori

assegnati, quello che consente di determinare correttamente il loro M.C.D. e il loro m.c.m.:

12 = 22 3 36 = 2

2 3

2 90 = 2 3

2 5

M.C.D.(12; 36; 90) = 2 3 5 22 5

22 3 2 3

m.c.m.(12; 36; 90) = 2 3 5 2

2 3

2

22 3

2 5 2 3

Abilità

1. Date le seguenti coppie di numeri scomposti in fattori primi, determina il loro M.C.D. e il loro

m.c.m.:

(24 3

2 7) e (2

3 3 7) M.C.D. = ...................... = .........

m.c.m. = ...................... = .........

(2 52 ) e (2

2 5 11) M.C.D. = ...................... = .........

m.c.m. = ...................... = .........

2. Scrivi due coppie di numeri aventi come M.C.D. il numero 15:

.................... ...................

3. Scrivi due coppie di numeri aventi come m.c.m. il numero 24:

................... ...................

4. Scrivi tre coppie di numeri primi tra loro:

..................... ...................... ....................

5. Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri (attenzione: sono casi

particolari!):

M.C.D.(25; 5) = …… m.c.m. (14; 28) = ..…

M.C.D. (7; 6) = …… m.c.m (5; 6) = .....

6. Completa le seguenti uguaglianze:

M.C.D.(5; ....) = 1 m.c.m. (18; ....) = 18

M.C.D. (36; ....) = 12 m.c.m (....; 4) = 20

7. Calcola il M.C.D.(42; 12), utilizzando il metodo insiemistico:

D(42) = .................................................. D(12) = ..............................................

8. Calcola il m.c.m.(15; 12) utilizzando il metodo insiemistico:

M(15) = .................................................. M(12) = ..............................................

9. Calcola il M.C.D.(392; 616), utilizzando il metodo della scomposizione in fattori primi.

10. Calcola il m.c.m.(600; 450), utilizzando il metodo della scomposizione in fattori primi.

11. Calcola il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri, utilizzando il metodo della

scomposizione in fattori primi:

(42; 56) (48; 54; 72 )

12. Risolvi i seguenti problemi:

a. Tre amici frequentano una stessa palestra. Il primo si allena ogni 2 giorni, il secondo

ogni 3 giorni e il terzo ogni 4 giorni. Ogni quanti giorni si allenano insieme?

b. La tua scuola partecipa ad un progetto di Educazione stradale e il coordinatore del

progetto vuole formare il maggior numero di gruppi possibili mescolando gli alunni di tutte

le classi e facendo in modo che in ciascun gruppo vi sia lo stesso numero di alunni di prima,

di seconda e di terza. Sapendo che gli alunni che frequentano la prima sono 120, quelli che

frequentano la seconda sono 150 e quelli che frequentano la terza sono 90, quanti alunni ci

saranno in ciascun gruppo? Quanti gruppi si formeranno?

Altri esercizi di abilità

1. Risolvi il seguente problema tenendo presente il concetto di multiplo, M.C.D. e m.c.m.

Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:

PER IL RECUPERO

1. Completa:

Il M.C.D.tra due o più numeri è il più ......................... dei divisori comuni.

Il m.c.m. tra due o più numeri è il più ......................... dei multipli comuni.

2. Completa gli insiemi dei divisori dei numeri assegnati, individua i divisori comuni, poi

determina il M.C.D. richiesto:

a. D(24) = {1; ....; ....; 4; ....; 8; ....; 24}

D(18) = {....; 2; ....; 6; ....; 18} M.C.D.(24; 18) = .........

b. D(15) = {1; ....; 5; ....}

D(36) = {....; 2; 4; ....; 6; 9; ....; 18; ....} M.C.D.(15; 36) = .........

c. D(30) = {1; ....; ....; 5; ....; 10; 15; ....}

D(45) = {....; 3; ....; 9; ....; 45} M.C.D.(30; 45) = .........

d. D(20) = {1; ....; 4; ....; ....; 20}

D(12) = {1; ....; ....; 4; ....; 12} M.C.D.(20; 12) = .........

3. Completa gli insiemi dei multipli dei numeri assegnati, individua i multipli comuni e poi

determina il m.c.m. richiesto:

a. M(9) = {9; ....; ....; 36; ....; 54; ....; ....; 81; ........}

M(15) = {15; ....; ....; 60; ....; 90; .............}

m.c.m.(9; 15) = .........

b. M(20) = {20; ....; ....; 80; 100; .....; .....; ...........}

M(12) = {12; 24; ....; .....; 60; ....; 84; 96; .....; 120;..........}

mc.m.(20; 12) = .........

c. M(30) = {30; ....; 90; 120; ....; 180; 210; ....; 270; ............}

M(45) = {45; ....; 135; 180; ....; 270;.............}

m.c.m.(30; 45) = .........

d. M(21) = {21; ....; 63; 84; ....; 126;.....; ................}

M(14) = {14; ....;42; ....; 70; 84; .....; ...............}

m.c.m.(21; 14) = .........

4. Dati i divisori di 28 e di 70 , completa i diagrammi di Venn ed individua il M.C.D.(28;70).

D(28) = {1; 2; 4; 7;14; 28} D(70) = {1; 2; 5; 7;10; 14; 35; 70}

D(28) D(70)

M.C.D.(28; 70) = .......

5. Dati i multipli di 6 e di 8 , completa i diagrammi di Venn ed individua il m.c.m.(6; 8).

M(6) ={6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; ....}

M(8) = {8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; ....}

M(6) M(8)

m.c.m.(6; 8) = .......

6. Utilizzando la scomposizione in fattori primi, determina il M.C.D. tra 120 e 400.

120 2 400 2 120 = 2...

..... ......

.... 2 ...... 2 400 = 2...

.........

30 2 ...... 2

.... .... 50 ..... Si prendono i fattori comuni,

5 .... ..... 5 una sola volta e con l’esponente più piccolo.

1 5 .... Poi si esegue il loro …………...

1

M.C.D.(120; 400) = ........

7. Utilizzando la scomposizione in fattori primi, determina il m.c.m. tra 180 e 160

180 2 160 2 180 = 2...

.......

.....

.... 2 ...... 2 160 = 2...

.....

45 .... ...... 2

15 .... 20 ..... Si prendono i fattori comuni e non comuni,

5 .... ..... 2 una sola volta e con l’esponente più grande.

1 5 .... Poi si esegue il loro …………..

1

M.C.D.(180; 160) = ........

8. Determina il M.C.D.(75; 45; 30), utilizzando la scomposizione in fattori primi.

9. Determina il m.c.m.(48; 72; 108), utilizzando la scomposizione in fattori primi.

Altri esercizi di recupero

1. Calcola mediante la scomposizione in fattori primi il M.C.D. dei numeri dati.

Soluzione:

2. Calcola mediante la scomposizione in fattori primi il m.c.m. dei numeri dati.

Soluzione:

3. Calcola il m.c.m. dei numeri dati completando le tracce.


Soluzione:

5. Calcola il M.C.D. dei numeri dati.


Soluzione:



Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:




Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:



Soluzione:


Soluzione:



Soluzione:


Soluzione:

PER IL POTENZIAMENTO

1. Determina il più piccolo numero che, diviso per 4, per 3 e per 9 ti dà come resto 2.

2. Determina il più piccolo numero che, diviso per 15 e per 40 ti dà come resto 3.

3. Scrivi tre coppie di numeri, di cui una con i numeri primi tra di loro, il cui m.c.m. sia 40:

.......................... .......................... ........................

4. Scrivi tre coppie di numeri il cui M.C.D. sia 9.

.......................... ......................... ........................

5. Completa:

Tra due numeri consecutivi il m.c.m è uguale al loro ....................... e il M.C.D. è uguale a

..........., perché due numeri consecutivi sono sempre ......................... tra di loro.

6. Completa, mettendo al posto dei puntini il numero che rende vere le uguaglianze indicate:

a. a = 10 b = 15 M.C.D.(a; b) = ……. m.c.m.(a; b) = …….

b. a = …. b = 12 M.C.D.(a; b) = 4 m.c.m.(a; b) = 24

c. a = 18 b = …. M.C.D.(a; b) = 3 m.c.m.(a; b) = 90

d. a = …. b = …. M.C.D.(a; b) = 1 m.c.m.(a; b) = 20

7. Calcola il M.C.D. tra i seguenti numeri: 1080; 1350; 1620; 1890

8. Calcola il m.c.m. tra i seguenti numeri: 1125; 1350; 3375; 2250

9. Verifica, con le tre coppie di numeri assegnate, che il prodotto tra due numeri è uguale al

prodotto tra il loro M.C.D. e il loro m.c.m.

12 e 40 21 e 36 90 e 30

10. Risolvi i seguenti problemi:

a. Tre navi partono dal porto di Napoli il 15 giugno .La prima vi ritorna dopo 8 giorni, la seconda

dopo 12 giorni e la terza dopo 10 giorni. In quale giorno dell’anno si incontreranno nuovamente

nel porto?

b. Tre nastri lunghi rispettivamente 72 cm, 78 cm e 90 cm, devono essere tagliati in modo che i

pezzi siano tutti uguali e della massima lunghezza possibile.

Quanto sarà lungo ogni pezzo di nastro e quanti pezzi si otterranno?

c. In un supermercato i pacchi di caffé su uno scaffale possono essere sistemati, senza che ne

avanzino, in gruppi di 3, di 4 o di 6. Determina quanti sono i pacchi di caffé, sapendo che il loro

numero è compreso tra 90 e 100.

Altri esercizi di potenziamento

1. Calcola con il metodo delle divisioni successive il m.c.m. dei gruppi di numeri dati.

Soluzione:


Soluzione:

3. Calcola con il metodo delle divisioni successive il M.C.D. dei gruppi di numeri dati.

Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:


Soluzione:

ESERCIZI DI RIEPILOGO PER DIVISIBILITA’, MCD E mcm

1. Scrivete il testo del criterio di divisibilità per 2.

Fra i seguenti numeri, segnate quelli che sono divisibili per 2:

117 121 345 382 480



37 39 184 459 8.542



112 211 300 402 530



48 324 480 485 551



111 117 127 623 8.244



244 400 725 930 1.004



374 528 711 5.454 8.210

8. Sostituite al simbolo · una cifra, in modo che il numero così ottenuto risulti divisibile per 3:

1·2 84·2

30· ·241


32· 287·

12·4 1·0


2·5 909·

111· 1·23


18· 58·3

6·1 623·

12. Risolvete il seguente problema:

In una scatola vi è un numero di fiammiferi minore di 200. Contandoli sia a gruppi di 12 che a

gruppi di 7 non ne resta alcuno.

Quanti sono i fiammiferi?


In una classe risultano iscritti meno di 25 alunni. Se li si dispone in gruppi di 4, ne resta fuori uno;

se li dispone in gruppi di 5, ne restano fuori 3.

Quanti sono i ragazzi iscritti?

14. Scomponete in fattori primi i seguenti numeri:

36 ; 80 ; 90


128 ; 231 ; 288


176 ; 672 ; 680


1480 ; 5472 ; 8520

18. Calcolate il M.C.D. dei seguenti gruppi di numeri:

(30; 40)

(20; 44)


(320; 567)

(169; 260)


(153; 345) (285; 550)


(64; 96; 128) (72; 84; 240)

22. Calcolate il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri:

(50; 60) (32; 48)


(75; 200) (36; 320)


(224; 225) (98; 196)


(120; 144; 160) (729; 810; 900)

26. Calcolate il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri:

(35; 63) (42; 48)


(192; 224) (240; 384)


(216; 336; 360) (176; 192; 400)


(162; 270; 378) (340; 680; 850)


Ad una fermata transitano tre linee di autobus. La prima linea ha una frequenza di 6 minuti, la

seconda transita ogni 10 minuti e la terza ogni 8 minuti. Se alle ore 8.20 sono giunti

contemporaneamente alla fermata gli autobus di tutte e tre le linee, a che ora avverrà il prossimo

passaggio simultaneo?


Due blocchi di metallo, uno del peso di 2.400 g e l'altro del peso di 4.000 g, devono essere divisi

entrambi in parti di peso uguale, in modo che tale peso sia il maggiore possibile. Quanto dovrà

pesare ogni pezzo così ottenuto?


In una piazza c'è un albero di Natale con tre diverse decorazioni luminose. Le prime si illuminano

ogni minuto, le seconde ogni 50 secondi e le terze ogni minuto e mezzo. Se in questo istante tutte e

tre le decorazioni sono accese, fra quanto si verificherà di nuovo tale evento?


Si devono confezionare dei sacchetti, distribuendovi 300 cioccolatini, 180 confetti e 280 caramelle,

in modo che in ogni sacchetto via sia lo stesso numero di dolciumi, ogni sacchetto contenga

dolciumi dello stesso tipo e il numero delle confezioni sia il minore possibile. Quanti dolci si

dovranno mettere in ogni sacchetto e quale sarà il numero totale delle confezioni?

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