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Schede di Impianti Navali

Proporzionamento del

pistone oleodinamico

A cura di Tommaso Coppola e Franco Quaranta ver 1.2

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Proporzionamento del pistone oleodinamico

versione: 1.2 file originale: Proporzionamento del pistone

oleodinamico 140127 ver 1_2 data di stampa: 27/1/2014

a cura di: Tommaso Coppola e Franco Quaranta

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1 generalit

Le attuazioni lineari vengono realizzate con lutilizzo di pistoni spinti dalla forza che lolio in pressione esercita sulla corona o sulla base; tali meccanismi vengono detti cilindri oleodinamici (o pistoni oleodinamici). Anche alcune attuazioni non lineari sono realizzate con pistoni e con lausilio di meccanismi che generano rotazione. Questo semplice dispositivo si compone, in sostanza, di un cilindro in cui scorre - a tenuta - un pistone collegato (vedi figura) ad un carico attraverso un asta (piston rod) che penetra (sempre a tenuta) il lato inferiore di chiusura del cilindro per collegarsi alloggetto da attuare e trasmettergli la forza che permetter lattuazione. Sebbene i vari tipi di cilindri oleodinamici in commercio siano molto simili tra loro per logica costruttiva, il movimento del pistone pu essere gestito in pi modi, sfruttando diversamente lingresso dellolio in pressione nelle camere del cilindro; in figura rappresentata la configurazione pi comune in cui lolio pu entrare ed uscire attraverso due porte poste alle sue estremit. Se lolio in pressione spinto ad entrare attraverso la porta A (pA > pB), il movimento del pistone avviene verso destra e la pressione dellolio potr essere esercitata su tutta larea Ap. La forza realizzata varr:

44)()(

22a

Bp

BAapBpAdp

dppAApApF pi

pi+==

Se lolio entra in pressione dalla porta B (pB > pA), il movimento del pistone avviene da destra verso sinistra; data la presenza dellasta, la pressione dellolio viene esercitata sulla corona circolare avente raggio esterno pari a quello del pistone ed interno pari a quello dellasta. La forza ottenibile per lattuazione vale:

44)()(

22a

Bp

ABpAapBdp

dppApAApF pi

pi==

Se la pressione nella camera a bassa pressione pu essere considerata trascurabile rispetto a quella che regna nella camera ad alta (in generale, il caso dei cilindri utilizzati nei sistemi oleodinamici), le due espressioni possono essere semplificate rispettivamente in:

)(4

2

BAp

ApA ppd

pApF >>==pi

e

A B

dp da

pB

pA

2

)(44

)(22

ABap

BapB ppddpAApF >>

==

pipi

In tutti i casi, allinterno dellasta del pistone nasce una sollecitazione dovuta alla forza che il pistone trasmette alloggetto attuato; lasta deve essere pertanto proporzionata per resistere alle sollecitazioni che lapplicazione di questa forza genera nel materiale di cui si compone. A seconda dellattuazione, che pu essere monodirezionale o bidirezionale, lasta viene caricata a trazione (in figura, se pB > pA e movimento di attuazione verso sinistra) oppure a compressione (pA > pB verso destra); gli effetti della modalit di carico sulla resistenza dellasta sono diversi e vanno trattati separatamente. Si noti che la valutazione del diametro dellasta deve essere condotta con priorit rispetto a quella del diametro del pistone in quanto occorre dapprima realizzare condizioni di sicurezza nel funzionamento nei confronti del carico che grava sul sistema pistone - asta. Definito il valore del diametro dellasta, si pu procedere al calcolo dellarea del pistone che, nel caso la spinta sia esercitata sulla base del pistone, dovr tener conto dellarea sottratta alla spinta dellolio dalla presenza della sezione dellasta. 2 asta caricata a trazione Lasta caricata a trazione quando lolio in pressione preme sulla base del pistone; in questo caso, la crisi dellasta avviene se la sollecitazione supera il limite di snervamento del materiale di cui costituita. Il criterio di proporzionamento dellasta del pistone deve quindi garantire un ragionevole margine di sicurezza tra la sollecitazione che si instaura nellasta quando su di essa grava il carico massimo previsto nellesercizio e la tensione di snervamento del materiale sn. Detta amm la tensione che si ritiene massima ammissibile nellasta e Cs il coefficiente di sicurezza che si vuole rispettare, vale lespressione:

s

snamm C

=

Per questo tipo di sistema e per la modalit di carico che subisce, in generale il coefficiente Cs si assume prossimo a 2; il valore della che si instaura effettivamente nellasta sar ovviamente calcolata come:

AF

=

Ove F la forza assiale che il pistone esercita sullasta e A la sezione resistente dellasta. Perch non ci sia crisi occorre e basta che:

amm

3 asta caricata a compressione Quando il pistone lavora a compressione, i motivi di crisi strutturale dellasta sono due: snervamento ed instabilit dellequilibrio delle sezioni. Il prevalere delluno o dellaltro dipende dalla snellezza della trave ossia dal rapporto:

MIN

l

0=

3

dove:

l0 lunghezza libera di inflessione MIN raggio di girazione minimo della sezione.

Detta lasta la lunghezza complessiva dellasta, nelle condizioni in cui lavora il pistone oleodinamico, si pu supporre che1:

l0 = lasta

Siccome lasta ha sempre sezione circolare costante, se il suo raggio r, il raggio di girazione risulta pari alla met del raggio2:

2r

=

Quindi, la snellezza dellasta pu essere espressa semplicemente in funzione della lunghezza lasta e del raggio r dellasta attraverso lespressione:

r

lasta2=

Nel caso di carico di punta senza eccentricit (azioni e reazioni dirette su uno stesso asse3), il carico critico cr nei confronti dellinstabilit pu essere valutato in base a criteri che tengono conto della snellezza del sistema e del modulo di elasticit E del materiale dellasta. La formula di Eulero limitata in validit dalla condizione che la sollecitazione critica cr non superi il valore della tensione normale al limite di proporzionalit 0 . Facendo riferimento ad un acciaio avente le seguenti caratteristiche di resistenza:

PammNPaE sn82

011 1015.3/315100.2

1 La lunghezza libera di inflessione l0 dipende dal tipo dei vincoli cui lasta assoggettata alle sue estremit; nel caso

del pistone oleodinamico si pu immaginare che alle estremit dellasta non vi sia possibilit di trasmettere momento e quindi il modello pi prossimo alla situazione fisica reale sia quello degli appoggi destremit. In queste condizioni, la lunghezza libera dinflessione coincide con quella tra gli appoggi (ossia la lunghezza stessa dellasta).

l0 = lasta 2 Per sezione circolare e rotazione attorno allasse baricentrico, il momento dinerzia di figura I vale:

2AI = da cui:

AI= Daltro canto, la sezione avr momento dinerzia di figura pari a

44rI pi= per cui:

24

2

24

4rr

r

r

===

pi

pi

3 Date le buone precisioni di lavorazione, le corrette sistemazioni in opera ed altre condizioni favorevoli al buon

funzionamento dei cilindri oleodinamici, si pu ritenere che, in linea di massima, non ci sia significativo disassamento tra la risultante delle forze di pressione sul pistone e la reazione applicata alla base dellasta.

4

e, detto 0 il valore minimo di entro il quale la cr risulta inferiore alla 0 , si ha, allincirca4:

0 = 80 Se, quindi, il dellasta superiore a 80, si possono utilizzare le risultanze della teoria di Eulero che valuta la cr in base allequazione:

formula di Eulero ( > 80) [ ]Pacr 22

11100.2 pi

=

Va considerato che lipotesi di mancanza di eccentricit, se realistica a meccanismi nuovi, viene progressivamente meno con lesercizio dei pistoni e con lusura delle parti che possono generare aumento dei laschi e disassamento tra le forze responsabili dellinstabilit; per questo motivo (ed anche perch il modello fisico di corpo soggetto a carico di punta in s poco determinato) occorre adottare un coefficiente di sicurezza Cs,inst che permetta di individuare un valore della sollecitazione ammissibile amm,inst nei confronti dellinstabilit dellequilibrio. Anche in questo caso il valore del coefficiente di sicurezza scelto dipender dal sistema, dalle condizioni di funzionamento, ecc. Sar, cos:

insts

crinstamm C

,

,

=

ed anche per il coefficiente Cs,inst si assume un valore dipendente delle condizioni di lavoro del sistema che si deve proporzionare; in generale, si assume pari a 4 5 proprio per le incertezze strutturali ed operative viste. Come nel caso precedente, determinato il massimo valore della nellacciaio dellasta durante lesercizio (quello, cio, che si instaura nellasta quando il carico al pistone assume il valore massimo previsto), al fine di evitare la crisi per carico di punta, occorre che si verifichi la condizione:

instamm,

Se la snellezza dellasta inferiore a 80 il corpo si presenta sufficientemente tozzo al punto da non essere esposto a problemi di instabilit; in tal caso, accettabile considerare lo snervamento quale motivo principale di crisi e procedere al calcolo del diametro minimo dellasta come si visto nel caso di asta sottoposta a trazione. 4 il procedimento di calcolo Il procedimento da adottare nel caso del proporzionamento a trazione consiste nel determinare il diametro dellasta che permetta, al carico nominale sul pistone, di non superare nel suo interno una sollecitazione amm massima sostenibile (per acciai speciali, normalmente utilizzati nei cilindri

4 Lespressione di Eulero valida nel caso di sollecitazione critica al di sotto di quella al limite della linearit (in caso

contrario, la rottura avviene per schiacciamento e non per instabilit) ed indica il valore della cr attraverso lespressione:

2

2

pi

E

cr =

Da questa relazione di pu ricavare il limite sostituendo a E il suo valore reale ed alla cr il valore della sollecitazione limite di proporzionalit (secondo i valori visti prima e che si possono ritenere validi per questa applicazione):

)80(7881015.3

11100.222min

===

pi

pisn

E

5

oleodinamici per la costruzione delle aste) con sn = 315 N/mm2 ed utilizzando un coefficiente di sicurezza pari a 2, amm vale circa 150 N/mm2 = 1.5 108 Pa). Nel caso di asta sollecitata a compressione, occorre determinare il valore di una amm a carico di punta tenendo conto di un coefficiente di sicurezza Cs,inst adeguato (si pu usare un numero tra 4 e 5); determinato il valore della sollecitazione massima nominale nel metallo (come rapporto tra il carico previsto e la sezione in funzione del raggio r che ancora incognito) e supponendo di trovarsi nel campo di applicabilit della legge di Eulero (condizione che andr poi verificata) si pu immaginare di applicarne il criterio esplicitando il valore di che riporta il valore del raggio r, di fatto imponendo, cos, un valore del stesso che non faccia superare (quando applicato il carico nominale) il valore della amm. Lequazione cos costituita risolvibile in termini di r. In simboli:

astaasta

insts lrE

r

lEEC 2

22

2

2

2

2

, 42 =

==

pipi

pi

e siccome 2// rFAF pi ==

si ha

astainsts l

rEr

FC 222

2, 4=

pi

pi

da cui

ElFC

rastainsts

3

2,4 4pi

=

e:

43

2,

4E

lFCr

astainsts

pi=

che permette di valutare il raggio dellasta che permette, quando il carico applicato quello nominale, di non superare il valore della sollecitazione ritenuta ammissibile nel metallo (tenuto conto del coefficiente di sicurezza scelto). Calcolato r occorre verificare che sia nel range di applicabilit della legge di Eulero (per gli acciai normalmente utilizzati, deve essere superiore ad 80). Se la verifica negativa si deve concludere che lasta non ha snellezza tale da porre significativi problemi nei riguardi del carico di punta per cui si pu procedere al dimensionamento tenendo conto della sollecitazione al limite dello snervamento, come si farebbe se fosse caricata a trazione.

Esempio 1 Si supponga di dover proporzionare un pistone oleodinamico (sezione dellasta ed area di corona e base del pistone) in acciaio ad elevata resistenza (sn = 315 N/mm2 = 3.15 x 108 Pa), caricato a trazione con un carico di 100 kN. La pressione desercizio sia di 180 bar.

Assumendo un coefficiente di sicurezza Cs pari a 2, si pu determinare larea resistente necessaria perch non si superi la amm = sn/Cs attraverso lespressione:

6

248

5

107.6105,1

10m

FAAF

amm

amm

=

===

da cui si pu ricavare il diametro minimo da dare allasta del pistone:

mmmAda 29029.0

4===

pi

Con questo valore del diametro dellasta, si pu calcolare quello del pistone ricordando che, quando il pistone spinto dalla sua base, larea su cui lolio pu esercitare la sua pressione pari alla sezione anulare avente per diametro interno quello dellasta. Vale lespressione:

237

5

106.5108,1

10m

pFA =

=

=

e, siccome A larea della corona circolare di diametri interno ed esterno risp. pari a da e dp, si ha:

mmmdAddd

A apap 89089.0029.0106.544

4)( 23222

==+

=+=

=

pipi

pi

Esempio 2 Si supponga di dover proporzionare un pistone oleodinamico (sezione dellasta ed area di corona e base del pistone) in acciaio ad elevata resistenza (sn = 315 N/mm2 = 3.15 x 108 Pa) caricato a compressione con un carico di 100 kN avendo una lunghezza di 2 m e supponendo vincoli di appoggio alle estremit. La pressione desercizio sia di 180 bar.

Considerando un Cs pari a 4, lespressione di calcolo del raggio con il criterio esposto, da:

mmmElFC

rastas 320319.0

100.2210444

4113

254

3

2

=

==

pipi

ed un diametro pari a:

mmrda 642 ==

Il risulta pari a

125032.042

===

r

lasta

il che conferma lapplicabilit dei criteri di Eulero. Si noti che il calcolo a trazione aveva portato alla valutazione di un diametro pari a 29 mm. Il diametro del pistone va calcolato tenendo conto del fatto che la pressione dellolio agisce, in questo caso, sulla corona per cui si avr:

7

237

5

106.5108,1

10m

pFA =

=

=

ove A larea della corona del pistone per cui:

mmmAd

dA p

p 84084.0106.5444

32

==

===

pipi

pi

Esempio 3 Si supponga di dover proporzionare un pistone oleodinamico (sezione dellasta ed area di corona e base del pistone) in acciaio ad elevata resistenza (sn = 315 N/mm2 = 3.15 x 108 Pa) la cui asta lunga due metri e deve reggere il carico derivante dal sollevamento di un portellone di poppa controllato attraverso funi e una demoltiplica 1:3. Il carico complessivo massimo da reggere di 20 t, la pressione desercizio di 250 bar

Data la demoltiplica, il carico complessivo sul pistone varr

kNNT 590109.5807.9100.23 54 =

Considerando un Cs pari a 4, lespressione di calcolo del raggio con il criterio esposto, da:

mmmElFC

rastas 500496.0

100.22109.5444

4113

254

3

2

=

==

pipi

ed un diametro pari :

mmrda 1002 ==

Il risulta pari a

80050.042

===

r

lasta

ai limiti dellapplicabilit dei criteri di Eulero (il calcolo a trazione avrebbe portato alla valutazione di un diametro poco inferiore: 71 mm). Il diametro del pistone va calcolato tenendo conto del fatto che la pressione dellolio agisce, anche in questo caso, sulla corona per cui si avr:

227

5

104.2105,2109.5

mp

FA =

=

=

ove A larea della corona del pistone per cui:

mmmAd

dA p

p 17017.0104.2444

22

==

===

pipi

pi

8

Esempio 4 Si supponga di dover proporzionare un pistone oleodinamico (sezione dellasta ed area di corona e base del pistone) in acciaio ad elevata resistenza (sn = 315 N/mm2 = 3.15 x 108 Pa) la cui asta lunga 0.5 metri ed sollecitata a compressione da un carico di 300 kN; la pressione desercizio di 180 bar

Considerando un Cs pari a 4, lespressione di calcolo del raggio con il criterio esposto, da:

mmmElFC

rastas 21021.0

100.25.0100.3444

4113

254

3

2

=

==

pipi

ed un diametro pari a:

mmrda 422 ==

Il risulta pari a

48021.012

===

r

lasta

Questo valore del non giustifica lapplicazione della teoria di Eulero; il corpo tozzo al punto da generare dapprima crisi per snervamento. Si calcola allora il diametro resistente con il criterio dello snervamento a compressione. Assumendo un coefficiente di sicurezza Cs pari a 2 (il che, per acciaio con sn = 315 N/mm2, genera una amm 150 N/mm2) si pu determinare larea resistente necessaria perch non si superi la amm = sn/Cs attraverso lespressione:

238

5

100.2105,1100.3

mFA

AF

amm

amm

=

===

da cui si pu ricavare il diametro minimo da dare allasta del pistone:

mmmAda 50050.0

4===

pi

che, come previsto, maggiore di quella che sarebbe stata determinata applicando il criterio di Eulero, a confermare la circostanza che la crisi avverrebbe in questo caso per snervamento e non per instabilit. Quanto al diametro del pistone, si ha:

mmmAdm

pFA p 14014.0

107.144107.1108,1100.3 222

7

5

==

===

=

=

pipi