Programma del modulo di ELETTROTECNICA · laccoppiamento si dice perfetto (k=±1) e lenergia...

G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016

III-1

CAP. III – CONDIZIONI QUASI STAZIONARIE - RETI ELETTRICHE IN REGIME

SINUSOIDALE

III.1 Bipoli fondamentali in condizioni quasi stazionarie

Si considerino grandezze variabili nel tempo, ma abbastanza lentamente da poter

“ragionevolmente” considerare le tensioni indipendenti dal percorso tra due morsetti A-B

e l’intensità di corrente indipendente dalla sezione del tratto di conduttore . In tal caso si

parlerà di bipoli in regime variabile quasi stazionario. (1)

Si definirà resistore ideale in tali condizioni il bipolo (fig.III.1.1) per cui valga – con la

convenzione dell’utilizzatore - la relazione v(t)=Ri(t) qualunque siano i valori di tensione e

corrente e qualunque sia l’istante di tempo considerato.

In questo contesto, ogni bipolo per cui valga una relazione algebrica tra tensione e corrente

viene classificato come adinamico; un bipolo che presenti una caratteristica differenziale

viene classificato dinamico.

I bipoli dinamici fondamentali sono il condensatore ideale e l’induttore ideale.

fig. III.1.1 – Resistore, condensatore ed induttore ideali in condizioni quasi stazionarie

Si definirà condensatore ideale, in condizioni quasi stazionarie (2) (fig.III.1.1) il bipolo per

cui valga, con la convenzione dell’utilizzatore, la relazione i(t)=dq/dt=Cdv/dt dove la

intensità di corrente i(t) è correlata alla variazione temporale della carica sulle “armature”

A e B del condensatore. Il coefficiente C (≥0) può essere in prima approssimazione

considerato pari al rapporto tra la carica QA (=-QB) sull’armatura A e la tensione VAB in

condizioni stazionarie (capacità del condensatore).

L’intensità della corrente elettrica in un bipolo condensatore ideale è quindi in relazione

differenziale con la tensione. Tale relazione è lineare, ma non è sufficiente a fornirci le

informazioni per risalire al valore della tensione; infatti, sempre considerando la

convenzione dell’utilizzatore, si ha in un generico istante t1

1 Per richiami ed approfondimenti sulla considerazione di quasi-stazionarietà si veda l’appendice A4.

2 Per un componente reale, questa condizione può essere ragionevolmente assunta se i morsetti A e B sono

sufficientemente “lontani” (ma non troppo) dalla zona occupata dalle armature del condensatore.

R C L

A

B B B

A A

v(t) v(t) v(t)

QA

QB

i(t) i(t) i(t)

Φ(t)


III-2

o

t

t

cccc

c tvdtiC

tvdt

dvCi

1

0

11 (III.1.1)

dove to è un qualsiasi istante di riferimento. Si vede quindi che può essere ricavata la

tensione in un certo istante t1 solo se si conosce il valore della stessa in un istante

precedente e la funzione intensità della corrente nell’intervallo tra gli istanti to e t1. Pur

essendo l’integrale un operatore lineare, la tensione non è quindi funzione lineare

dell’intensità di corrente, salvo che non sia nulla la tensione nell’istante di riferimento

(condensatore a riposo).

Si definirà induttore ideale in condizioni quasi stazionarie(3) il bipolo per cui valga, con la

convenzione dell’utilizzatore, la relazione v(t)= dΦ/dt= Ldi/dt (fig.III.1.1) .

Un induttore “reale” viene realizzato attraverso un avvolgimento costituito da un

elevato numero di spire metalliche (solenoide); la tensione v(t) è correlata alla variazione

temporale del flusso Φ del campo magnetico concatenato con la linea “quasi-chiusa”

costituita dall’avvolgimento stesso. Il coefficiente L può essere in prima approssimazione

considerato pari al rapporto tra flusso concatenato ed intensità di corrente in condizioni

stazionarie (coefficiente di autoinduzione o induttanza).

La tensione ai capi di un induttore è in relazione differenziale con l’intensità della

corrente. Tale relazione è lineare, ma non è sufficiente a fornirci le informazioni per risalire

al valore dell’intensità di corrente; infatti, considerando la convenzione dell’utilizzatore, si

ha in un generico istante t1

o

t

t

LLLL

L tidtvL

tidt

diLv

1

0

11 (III.1.2)

dove to è un qualsiasi istante di riferimento. Si vede quindi che si può conoscere l’intensità

della corrente in un certo istante t1 solo se si conosce il valore della stessa in un istante

precedente e la funzione tensione nell’intervallo tra gli istanti to e t1. Quindi la grandezza

intensità di corrente non è funzione lineare della tensione, salvo che non sia nulla

l’intensità di corrente nell’istante di riferimento (induttore a riposo). Dalle caratteristiche

integrali si deduce che se le tensioni applicate agli induttori e le intensità di corrente nei

condensatori sono limitate (come nei casi reali), la tensione sui condensatori e la corrente

negli induttori sono grandezze continue. Infatti se si considera la condizione t1 to , si avrà

che gli integrali nelle caratteristiche, estesi ad intervalli infinitesimi, sono infinitesimi. In

altri termini,

oLoLoLoLoL

ccccc

tititititi

tvtvtvtvtv

00

0000

000

limlim

limlim

(III.1.3)

La tensione sul condensatore è in ogni istante legata all’energia elettrostatica 3 Per un induttore reale costituito da un avvolgimento cilindrico di N spire di area S ed altezza h questa

condizione può essere ragionevolmente raggiunta se i morsetti A e B sono a distanza molto minore di h e

sono collegati ad un circuito configurando una “spira esterna” di area molto minore di NS. Vedasi appendice

A4 e la nota al §I.24.


III-3

immagazzinata dal condensatore e l’intensità di corrente nell’induttore è legata all’energia

magnetica immagazzinata dall’induttore

22

2

1

2

1)( lmces LiwCvtw (III.1.4)

Tali grandezze sono legate quindi allo stato energetico del bipolo ed anche per tale motivo

vengono spesso indicate come grandezze di stato. Esse possono essere anche considerate

funzioni-memoria.

Tali grandezze di stato sono continue: se non lo fossero, avremmo discontinuità

dell’energia, o meglio una variazione finita dell’energia in un intervallo infinitesimo; ciò

implicherebbe la capacità del bipolo di assorbire o erogare potenza illimitata; ciò non è

concepibile nei casi pratici.

Generatori di potenza illimitata (4) possono essere tuttavia introdotti formalmente per

l’analisi più ampia dei transitori (dinamica) nelle reti con modelli lineari.(5)

III.2 Reti con bipoli e doppi bipoli dinamici

Si definisce ordine di una rete l’ordine del sistema (algebrico-)differenziale completo

associato alla rete in esame. L’ordine di una rete è quindi pari al numero di equazioni

differenziali indipendenti (del primo ordine) del sistema fondamentale.

Una rete costituita da soli bipoli adinamici è di ordine zero. Se la rete è costituita da soli

bipoli adinamici normali essa sarà classificata come rete lineare e ad essa potranno essere

applicate le considerazioni già fatte nel caso stazionario.

Se una rete ha un solo condensatore o un solo induttore, comparirà una sola relazione

differenziale e quindi si avrà una rete del primo ordine.

Se una rete ha più condensatori e/o induttori e/o parametri mutui (capacitivi e/o induttivi)

occorrerà una analisi più attenta della rete per individuare il numero delle equazioni

indipendenti. Ad esempio, occorrerà evidenziare la eventuale presenza di condensatori o

4 A parte i generatori ideali già introdotti

5 Vedere §III.15.6 e seguenti, dove sono introdotti i generatori impulsivi ideali. Esempi di generatori reali

classificati come impulsivi sono effettivamente in grado di erogare tensioni ed intensità di corrente molto

elevate per intervalli di tempo brevissimi. Ad esempio il generatore di tensione ad impulso della Sala Alta

Tensione del DIETI (vedi App.A14) è in grado di erogare tensioni di 2.4 MV e intensità di corrente di 3kA

per qualche microsecondo, con potenze istantanee dell’ordine dei gigawatt; l’energia erogabile tuttavia non

può superare qualche decina di kilojoule (si pensi che una stufetta da 1kW in un’ora consuma 1 kWh,

corrispondente a 3.6 MJ!). In tali casi il modello quasi-stazionario va preso con molta cautela; infatti al

funzionamento di tali dispositivi può essere associata un consistente campo perturbativo elettromagnetico

[come nel caso dei fulmini, per cui si parla di LEMP (ligthning electromagnetic pulse)]; nel caso di tempi con

ordine di grandezza della decina di nanosecondi si parla di “steep front” o fronte ripido [ad esempio nel caso

di particolari transitori con collasso (breakdown) sulle reti di trasmissione dell’energia elettrica] oppure di

NEMP (nuclear electromagnetic pulse) nella sciagurata ipotesi di esplosione nucleare.


III-4

induttori in serie o in parallelo. La “memoria” è legata ad esempio alla sola tensione su un

condensatore, anche se questo può essere a sua volta visto come l’equivalente di numerosi

condensatori in serie o in parallelo.

In una rete dinamica di ordine N, ogni grandezza y(t) (tensione o intensità di corrente)

può essere rappresentata da una equazione differenziale di ordine N; ai fini della unicità

della soluzione stessa a partire da un istante di tempo iniziale, il teorema di Cauchy richiede

la conoscenza di N condizioni iniziali, cioè il valore iniziale della y(t) e delle sue derivate

fino all’ordine (N-1). La ricerca delle condizioni iniziali può essere condotta a partire dai

dati iniziali, ovverosia dai valori delle N grandezze di stato corrispondenti agli N bipoli a

memoria indipendenti.

Si consideri ora un doppio bipolo con convenzione dell’utilizzatore alle due porte,

caratterizzato come segue:

dt

diL

dt

diMv

dt

diM

dt

diLv

2

2

1

2

21

11

(III.2.1)

Tale relazione è tipica del mutuo induttore ideale; in tale componente possono essere

considerati i flussi di campo magnetico concatenati con due circuiti: il flusso concatenato

con un circuito avrà un contributo collegato alla intensità della corrente del primo circuito

(flusso di autoinduzione) ed un contributo legato alla intensità di corrente dell’altro

circuito (flusso di mutua induzione).

221212

212111

iLiM

iMiL

(III.2.2)

Si può dimostrare che i due coefficienti di mutua sono uguali e che

21

2 LLM

L’accoppiamento magnetico tra due circuiti di coefficienti di autoinduzione L1, L2 e mutua

induzione M è valutato dal coefficiente di accoppiamento k=M/√ L1L2. Tale coefficiente è in

valore assoluto non superiore all’unità, dovendo essere non negativa l’energia magnetica,

funzione quadratica delle correnti, con parametri L1, L2,M

21

2

22

2

11212

1

2

1),( iMiiLiLiiwm

(III.2.3)

Nel caso sia 21

2 LLM l’accoppiamento si dice perfetto (k=±1) e l’energia magnetica

diventa un quadrato perfetto di un binomio ed è facile vedere che essa è nulla per infinite

coppie di valori non nulle delle intensità delle correnti. (│ i1/i2│= √L2 /L1); in tal caso il campo

magnetico generato dal mutuo induttore è nullo in tutto lo spazio.

Si vedrà più avanti (§III.14) che il doppio bipolo mutuo induttore è un doppio bipolo

dinamico, equivalente ad un trasformatore ideale con un induttore L1 [L2] in parallelo sulla

prima [seconda] porta. Tale doppio bipolo è equivalente quindi in genere ad un

trasformatore di tensione; per quanto riguarda le intensità delle correnti, rispetto ad un

trasformatore ideale, è presente la corrente a vuoto alla prima [seconda] porta. Tale corrente


III-5

a vuoto è nulla se alla seconda [prima] porta è collegato un bipolo cortocircuito: in tal caso

il doppio bipolo si comporta come un trasformatore di corrente, ma ambedue le tensioni

sono nulle.

Se l’accoppiamento non è perfetto si potrà considerare la scomposizione (a valori non

negativi) L1=L1‘+L1” e L2= L2‘ + L2“ tali che tra L1 “ e L2“ vi sia la condizione di

accoppiamento perfetto. Una delle due induttanze L’ può essere scelta ad arbitrio (ad

esempio nulla). Quindi la scomposizione ha un grado di libertà.

Un doppio bipolo circuito accoppiato è in genere del secondo ordine; nel caso di

accoppiamento perfetto è del primo ordine. Il trasformatore ideale è di ordine zero.

Nel caso di reti di ordine zero, non sia ha ovviamente necessità di valutare alcuna

condizione iniziale (la rete è “a risposta immediata”).

Nel caso di rete di ordine N lineare, cioè costituita da bipoli normali, da condensatori ed

induttori ideali, la soluzione è del tipo (6)

)()(1

tyekty p

N

i

t

ii

(III.2.4)

dove la sommatoria rappresenta l’integrale generale dell’omogenea associata, λi le radici

semplici (7) dell’equazione algebrica associata; i valori delle N costanti “arbitrarie” ki si

determinano attraverso le condizioni iniziali; l’integrale particolare yp(t) si ricava in genere

dalla conoscenza del termine noto (“forzamento”) dell’equazione differenziale.

L’Analisi Matematica ci fornisce numerosi strumenti per la identificazione dell’integrale

particolare; si osserva tuttavia che, nei casi di interesse dell’Ingegneria, per la presenza di

inevitabili parametri dissipativi, le radici λi sono negative (8) o complesse coniugate a parte

reale negativa, per cui l’integrale particolare viene a identificarsi con la soluzione a “tempi

lunghi” ossia con la soluzione “a regime”; questa è di immediata identificazione nei casi

ricorrenti di regime stazionario e (come si vedrà in seguito) sinusoidale.

6 È da ritenere preliminarmente che i coefficienti, ossia i parametri R,L e C siano costanti nel tempo. In

presenza di componenti reali a parametri variabili nel tempo (es. parti in movimento) la soluzione del

sistema fondamentale sarà in genere ardua. 7 Se una radice ha λ molteplicità m, ad essa viene associata la combinazione di integrali indipendenti

m

j

tj

j etk1

1

8 In caso contrario, anche in assenza di generatori, avremmo una crescita dell’”energia” del sistema.


III-6

III.2.1 Esempi di reti del primo ordine

Ogni rete del primo ordine contiene in genere un solo bipolo a memoria indipendente

(induttore o condensatore) oppure configurazioni riconducibili ad un solo bipolo

equivalente (es. serie o parallelo di soli condensatori o soli induttori). Il resto della rete è di

ordine zero e quindi riconducibile ad un generatore reale equivalente (di tensione o di

corrente). Per risolvere quindi qualsiasi rete basterà fare riferimento ad una delle possibili

reti elementari (9) :

a) generatore di tensione reale [generatore di corrente reale] alimentante un

condensatore ideale (circuito RC serie [circuito RC parallelo]);

b) generatore di tensione reale [generatore di corrente reale] alimentante un induttore

ideale (circuito RL serie [circuito RL parallelo]).

a1) Si consideri come esempio il circuito RC serie (fig.III.2.1.1):

fig. III.2.1.1 – Circuito RC serie

Si calcolino vc(t) ed ic(t) nei seguenti casi:

1) e(t)=0 per t<0, e(t)=E=10 V per t>0; C=1 mF; R=10 ;

2) e(t)=-E=-10V per t<0, e(t)=E=10 V per t>0; C=1 mF; R=1-2-10 ;

3) e(t)=-E=-10V per t<0, e(t)=E sen ωt (E=10 V; ω=314 rad/s) per t>0; C=1 mF; R=1-2-10 ;

4) e(t)=E sen ωt (E=10 V; ω=314 rad/s) per t<0, e(t)=E= e(t)=Ecos ωt per t>0; C=1 mF; R=1-2-

10 .

Il sistema fondamentale è il seguente:

9 Negli esempi che seguono saranno prese in esplicito esame solo le grandezze relative all’unico bipolo dinamico;

questo “vede” il resto della rete come un bipolo adinamico quindi riconducibile (teoremi di Thévénin e Norton) ad un

generatore equivalente di tensione o di corrente; se la grandezza su cui indagare è un’altra, ad esempio la tensione su

un resistore qualsiasi, non si può in genere applicare il teorema del generatore equivalente, perché la rete vista dal

resistore non è “algebrica”; in questo caso si valuterà a regime l’integrale particolare, mentre la condizione iniziale si

valuterà risolvendo con metodi “algebrici“ la rete “fotografata” all’istante 0+, in cui è presente per continuità il valore

della grandezza di stata valutata all’istante 0- .

vC

+ R

C

i

e

vR

vg


III-7

dt

dvCi

Riv

tev

vvv

c

R

g

CRg

)(

(III.2.1.1)

Le equazioni differenziali nelle incognite di fig. III.2.1.1 sono

dt

deRC

dt

dvRCv

dt

deC

dt

dvC

R

vdt

deC

dt

diRCi

dt

RiedC

dt

vvdCi

vdt

dvRC)t(e

RR

RR

Rg

Cc

(III.2.1.2)

Come si può osservare, qualunque sia la grandezza incognita in esame, per la linearità del

sistema, l’equazione algebrica associata all’omogenea è

msRC;sRC

RC 101001

01 1 (nel caso 1) (III.2.1.3)

La soluzione è del tipo

)t(iek)t(i

)t(vek)t(v

cp

t

ic

cp

t

vc

(III.2.1.4)

Si osservi che, per t<0, nel primo caso la tensione sul condensatore è sempre nulla, nel

secondo e terzo caso è pari a -10 V, nel quarto caso è sinusoidale e vale (10)

RCarctgsen

CR

CEv

RCarctgtsen

CR

CEtv

c

tc

1

21

1

)0(

1

21

1

)(

2

2

2

2

0

(III.2.1.5)

L’integrale particolare nel primo e nel secondo caso vale vcp(t)=E=10V, nel terzo caso vale

RC

arctgtsen

CR

CEtvcp

1

21

1

)(2

2

(III.2.1.6)

10

Essa può essere ricavata con il principio di identità dei polinomi trigonometrici o più rapidamente col

metodo simbolico di cui nei paragrafi successivi.


III-8

nel quarto caso

RC

arctgt

CR

CEtvcp

1

2cos

1

1

)(2

2

(III.2.1.7)

In tutti i casi la costante vale

)0()0( cpcv vvk (III.2.1.8)

Per quanto riguarda l’intensità di corrente , si osservi ancora che, per t<0, essa è sempre

nulla nei primi tre casi, nel quarto caso è sinusoidale e vale

RC

arctgtsen

CR

E)t(i

tc

1

12

2

0 (III.2.1.9)

L’integrale particolare dell’intensità di corrente nel primo e nel secondo caso è nullo, nel

terzo caso vale

RC

arctgtsen

CR

Eticp

1

1

)(2

2

(III.2.1.10)

nel quarto caso

RC

arctgt

CR

Eticp

1cos

1

)(2

2

(III.2.1.11)

In tutti i casi la costante vale

)0()0()0(

)0()0(

cpc

cpci iR

veiik (III.2.1.12)

Nelle figg. III.2.1.3- III.2.1.6 sono riportati i grafici relativi alla tensione sul condensatore

sul condensatore ed alla intensità di corrente rispettivamente nel caso 1), nel caso 2), nel

caso 3) e nel caso 4)..

fig. III.2.1.3 – caso 1)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tempo [s]

tensio

ne s

ul condensato

re [

V]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo [s]

corr

ente

nel condensato

re [

A]


III-9

fig.III.2.1.4 – caso 2

fig. III.2.1.5 – caso 3

fig. III.2.1.6 – caso 4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 10-5

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

tempo [s]

tensio

ne s

ul condensato

re [

V]

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 10-5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

tempo [s]

corr

ente

nel condensato

re [

A]

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

tempo [s]

tensio

ne s

ul condensato

re [

V]

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-4

-2

0

2

4

6

8

10

tempo [s]

corr

ente

nel condensato

re [

A]

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

tempo [s]

tensio

ne s

ul condensato

re [

V]

-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

tempo [s]

corr

ente

nel condensato

re [

A]


III-10

b2) Si consideri come ulteriore esempio il circuito RL parallelo (fig. III.2.1.7):

fig. III.2.1.7 – Circuito RL parallelo


dt

diLv

R

vi

tji

iii

LL

LR

g

LRg

)(

(III.2.1.13)

Le equazioni differenziali nelle incognite sono

dt

djL

dt

dv

R

Lvv

R

vj

dt

dLv

idt

di

R

Ltj

LLL

LL

LL)(

(III.2.1.14)

L’equazione algebrica associata all’omogenea è

L

R

R

L 01 ( III.2.1.15)

La soluzione è del tipo

RL

tiekti

tvektv

Lp

t

iL

Lp

t

vL

/

)()(

)()(

(III.2.1.16)

Le costanti arbitrarie si deducono dalla continuità della intensità di corrente nell’induttore

e dal sistema fondamentale, “fotografato” allo 0+.

)0()0(0)0()0(

)0(0)0(

LRvLpvL

LLpiL

ijRRikvkv

iiki (III.2.1.17)

I casi a2 (RC parallelo) e b1 (RL serie) si discutono con le stesse modalità.

III.2.2 Esempi di reti del secondo ordine

In una rete del secondo ordine sono presenti almeno due elementi a memoria

indipendenti: due induttori (non riconducibili ad un induttore equivalente), due

condensatori (non riconducibili a un condensatore equivalente), un induttore ed un

condensatore. In tal caso, l’equazione algebrica caratteristica è di secondo grado; si può

dimostrare (dalle proprietà dei polinomi) che le frequenze naturali sono reali e distinte nel

vL R L

iL

j

iR

ig


III-11

caso di due induttori o di due condensatori; nel caso di un induttore ed un condensatore,

le frequenze naturali potrebbero essere reali e distinte, reali coincidenti(11) oppure

complesse coniugate.

Si consideri come primo esempio il circuito RLC serie (fig. III.2.1.8):

Fig. III.2.1.8– Circuito RC serie

dove il tratteggio indica un eventuale bipolo attivo adinamico equivalente.


dt

diLv

dt

dvCi

Riv

tev

vvvv

L

c

R

g

LCRg

)(

(III.2.1.18)

Le equazioni differenziali nelle incognite sono

edt

vdLC

dt

dvRCvvvev

dt

edLC

dt

vdLC

dt

dvRCv

dt

deRC

dt

vdLC

dt

dvRCv

dt

deC

dt

idLC

dt

diRCi

dt

dt

diLRied

Cdt

vvvdCi

vdt

dvLRite

CCCLRC

LLL

RRR

LRg

CL

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)(

(III.2.1.19)

Come si può osservare, qualunque sia la grandezza incognita, per la linearità del sistema,

l’equazione algebrica associata all’omogenea è

11 In questo caso occorrerà considerare un appropriato integrale generale per l’omogenea associata, come già

detto.

+ R

C

i

e

vR

vg vC

vL L


III-12

02

01

2

1

22

01

2

1

2201

2

2

2

L

R

jjL

R

LCL

R

L

R

L

R

LCL

R

L

RLCRC

(III.2.1.20)

L’ultimo caso nella (III.2.2.3) corrisponde alla condizione “critica”

C

LRR c 2 (III.2.1.21)

La soluzione generica y(t) è del tipo

0)()(

0)(sin)()()(

0)()(

21

11

setytekekty

setytketyekeketyekekty

setyekekty

p

tt

p

t

p

tjtj

t

p

tjtj

p

tt

(12)

(III.2.1.22)

Per valori di R non inferiori al valore “critico” la soluzione è aperiodica (doppio

esponenziale, uno “veloce” seguito da uno più “lento”); al diminuire di R (fino al valore

critico) la “velocità” del primo esponenziale aumenta e l’altra diminuisce. Per valori di R

inferiori al valore critico la soluzione si presenta oscillatoria smorzata (funzione

pseudoperiodica di pulsazione ω) . Per R tendente a zero (circuito non dissipativo)

l’oscillazione tende ad essere permanente, con (pseudo)pulsazione massima

LCR

100

(III.2.1.23)

Si calcolino vc(t) ed i (t) nei seguenti casi:

1) generatore a gradino : e(t)=-V0 per t<0 (V0=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 V), e(t)=E=10 V per t>0;

C=1 mF; L=20 mH;

2) commutazione della tensione del generatore da costante a sinusoidale e(t)=-V0 per t<0

(V0=-10,-9,…..,0,1,…,9,10 V), e(t)=E sen ωt (E=10 V; ω=314 rad/s) per t>0; C=1 mF;

Il valore critico della resistenza vale

94.8542C

LRR c

12

Occorre notare che, nel caso di radici complesse coniugate, anche k+ e k- devono essere complesse

coniugate, risultando così “reale” la grandezza y(t).


III-13

Caso 1)

In fig. III.2.1.9 sono riportati, per i diversi casi del valore della tensione sul condensatore a

t=0, i grafici della tensione sul condensatore e della intensità della corrente nell’induttore

nel caso R=10 Ω. In fig. III.2.1.10 sono riportate le corrispondenti caratteristiche tensione

corrente del condensatore (traiettorie) (13) .

In tal caso infatti la soluzione è aperiodica e vale

)()(

)()(

tiekekti

tvekektv

p

t

i

t

i

cp

t

v

t

vc

(III.2.1.24)

L’integrale particolare della tensione sul condensatore è costante e pari a E (l’induttore si

comporta come un cortocircuito), quello dell’intensità di corrente è nullo (il condensatore

si comporta come un aperto). Le costanti di integrazione si ricavano dalle condizioni

iniziali

iiRcg

L

vvc

ii

cvvc

kkRiVE

Lvvv

LL

v

dt

di

kk

C

i

dt

dv

ikki

VvEkkv

)0(1

)0()0()0(10

00

0)0()0(

)0()0(

0

0

0

0

( III.2.1.25)

fig. III.2.1.9– Circuito RLC alimentato con tensione a gradino - Tensione sul condensatore ed intensità di

corrente, caso 1 (transitorio aperiodico)

13 Si nota (per estrapolazione) che tutte le traiettorie tendono al punto (E,0).


III-14

fig. III.2.1.10 – Circuito RLC – Caso aperiodico – Caratteristica tensione- corrente del condensatore

(traiettorie)

In fig. III.2.1.11 è riportato il grafico della tensione sul condensatore al variare di R dal 20%

al 200% del valore critico (con condizioni iniziali di riposo). In tal caso si mettono in

evidenza anche le soluzioni pseudoperiodiche:

cpC

tt

C

cpC

t

C

cpC

tt

C

RRsetvtekektv

RRsetvtketv

RRsetvekektv

)()(

)(sin)(

)()(

21

(III.2.1.26)

Le costanti arbitrarie si determinano con le condizioni iniziali

c

c

cc

cvvc

cC

cC

cC

RRsekk

C

i

dt

dv

EkRRsekC

i

dt

dv

RRsekk

C

i

dt

dv

RRseEkv

RRseEkv

RRseEkkv

21

0

0

0

1

00

,2

)(cos00

00

0)0(

sin0)0(

0)0(

(III.2.1.27)

Per l’intensità di corrente si avrà nel caso aperiodico,

ii

RcgL

ii

kkRiVE

Lvvv

LL

v

dt

di

ikki

)0(1

)0()0()0(10

0)0()0(

0

0

con facile estensione agli altri casi.


III-15

fig. III.2.1.11 – Circuito RLC alimentato da tensione costante- Tensione e intensità di corrente nel

condensatore al variare del valore di R. Condizioni iniziali di riposo.

Nella condizione pseudoperiodica, la tensione sul condensatore può essere superiore (fino

al doppio) della tensione del generatore. In questo caso è evidente che non è verificata la

proprietà di non-amplificazione (14).

Caso 2)

In fig.III.2.1.12 sono riportati, per i diversi casi del valore della tensione sul condensatore a

t=0, i grafici della tensione sul condensatore e della intensità della corrente nell’induttore

nel caso R=10 Ω.

In tal caso infatti la soluzione è aperiodica e vale

)()(

)()(

tiekekti

tvekektv

p

t

i

t

i

cp

t

v

t

vc

(28)

Gli integrali particolari sono sinusoidali e valgono

14

La proprietà di non amplificazione è legata alla proprietà della potenza assorbita 0rsrsiv , che in regime

stazionario coincide con la definizione di passività. In condizioni dinamiche la definizione di passività va

più correttamente legata all’energia piuttosto che alla potenza (come si vedrà, ad esempio, in regime

sinusoidale, la potenza assorbita da un condensatore ideale è sinusoidale, quindi sia positiva che negativa)


III-16

R

CL

arctgsen

CLR

CE

dt

dv

R

CL

arctgsen

CLR

CEv

R

CL

arctgtsen

CLR

CEtv

cp

cp

cp

1

1

/

1

21

1

)0(

1

21

1

)(

2

20

2

2

2

2

(III.2.1.29)

R

CL

arctgsen

CLR

E

dt

di

R

CL

arctgsen

CR

Ei

R

CL

arctgtsen

CLR

Eti

p

p

p

1

21

1

1

)0(

1

1

)(

2

20

2

2

2

2

( III.2.1.30)

fig. III.2.1.12 – Circuito RLC con commutazione della tensione da costante a sinusoidale - Tensione sul

condensatore ed intensità di corrente, caso 2 (transitorio aperiodico)

Le costanti di integrazione si ricavano dalle condizioni iniziali


III-17

0

0

0

00

0

)0(1

)0()0()0(10

00

0)0()0()0(

)0()0()0(

dt

dikkRiVE

Lvvv

LL

v

dt

di

dt

dvkk

C

i

dt

dv

iikki

Vvvkkv

piiRcg

L

cpvvc

pii

ccpvvc

( III.2.1.31)

Anche nel caso 2) si potrà constatare che la tensione sul condensatore può essere maggiore

della tensione prevista a regime, sia nel caso aperiodico che in quello pseudoperiodico;

poiché in quest’ultimo caso è presente una componente oscillante, è opportuno prevedere

(per il dimensionamento dei componenti reali) un valore massimo della tensione pari al

triplo (non più al doppio) della tensione prevista a regime.

III.3 Osservazioni generali sulla dinamica delle reti lineari

Riprendendo quanto già detto in precedenza, il sistema fondamentale per una rete di l lati

consta di l equazioni topologiche (sempre algebriche) e di l equazioni caratteristiche di cui

n=nL+nC equazioni differenziali relative a nL ed nc induttori e condensatori indipendenti,

nonché eventualmente (conto a parte) a bipoli dinamici di altro tipo (es. doppi bipoli

corrispondente a mutuo accoppiamento induttivo o capacitivo).

Nel caso di sistema lineare a coefficienti costanti, la soluzione è nota a meno di n costanti

arbitrarie, che andranno valutate in base alle condizioni di Cauchy (teorema di unicità), cioè

in base alla determinazione del valore iniziale della funzione e delle sue n-1 derivate.

Per ricavare i valori iniziali della funzione (in genere non si tratta di una funzione a

memoria) si considera la scrittura (foto) del sistema all’istante t0=0+.

In tale istante sono incognite i valori delle grandezze, tranne quelli delle n funzioni di

stato, note dallo 0-. Inoltre sono incogniti i valori allo 0+ delle n derivate che compaiono

nelle caratteristiche dinamiche. In definitiva si hanno n equazioni ai valori (algebrici) delle

(l-n) grandezze e delle n derivate allo 0+. Il sistema (fotografia numerica allo 0+) è

determinato e quindi si è in grado di conoscere allo 0+:

- i valori delle n grandezze di stato;

- i valori delle l-n grandezze non di stato

- i valori delle n derivate prime delle grandezze di stato.

Se occorre conoscere le derivate prime delle grandezze non di stato o le derivate seconde

delle grandezze di stato, basta considerare il sistema di 2l equazioni ottenuto derivando

una ad una le equazioni del sistema fondamentale.

In questo sistema derivato, letto allo 0+, si conoscono le derivate delle grandezze di stato

dal ragionamento precedente e quindi si può conoscere allo 0+:

- i valori delle derivate delle l-n grandezze non di stato

- i valori delle n derivate seconde delle grandezze di stato.


III-18

Tale ragionamento può essere ripetuto fino a conoscere il valore iniziale della derivata di

ordine (n-1).

La suddetta formulazione può essere espressa direttamente in forma “circuitale”. Lo

schema elettrico corrisponde infatti al sistema fondamentale e può essere letto in ogni

istante, in particolare allo 0+.

La “foto” del sistema allo 0+ vede quindi i valori delle funzioni note (in genere i

generatori) valutate allo 0+ ed i valori delle grandezze di stato note in quanto continue

dallo 0-.

Per il principio di sostituzione, si possono quindi inserire al posto dei condensatori

generatori di tensione vc(0-), al posto degli induttori, generatori di corrente iL(0-).

La rete in tal modo diventa “resistiva” e ad essa possono essere applicate tutte le proprietà delle reti

lineari.

Possono essere quindi ricavate tutte le grandezze della rete allo (0+). Restano altresì

determinate i valori iniziali delle derivate prime delle grandezze di stato.

Al sistema fondamentale “derivato” corrisponde lo schema “derivato” con gli stessi bipoli

(generatori e resistori), con tensioni e correnti “derivate”; i valori delle derivate per i

generatori sono noti dal primo sistema. Possono quindi essere ricavate le altre grandezze

derivate.

Si procede in tal modo qualunque sia l’ordine del sistema.

III.4 Grandezze periodiche – Grandezze sinusoidali

Le funzioni periodiche del tempo a(t) sono caratterizzate da un periodo T tale che, per ogni

t, sia a(t)=f(t+kT) con k intero qualsiasi. L’inverso del periodo f=1/T viene detto frequenza; f

si misura in hertz [Hz ≡ s-1].

Le funzioni periodiche sono caratterizzate da un valore massimo (o picco positivo) e da un

valore minimo (15), da un valore medio nel periodo e da un valore medio quadratico ( rms:

root mean square) o valore efficace nel periodo

Tt

t

t

t

effrmsmedio

T

dttaT

AAAdttaT

A0

0

0

0

)(1

)(1 2 (III.4.1)

Le funzioni periodiche a valor medio nullo si dicono alternative.

Una funzione alternativa rettangolare ha il valore efficace coincidente con il valore

massimo.

Una funzione sinusoidale del tipo

tsenAftsenAt

TsenAta MMM 2

2)( (III.4.2)

è periodica di periodo T, frequenza f e pulsazione , fase iniziale , è alternativa ed il suo

valore efficace è pari a

15

Ovviamente una funzione costante è un caso banale di funzione periodica.


III-19

MM

eff AA

A ...707,02 (III.4.3)

Il punto di nullo più prossimo allo zero è l’istante t*=-/. Pertanto se =0 la funzione è

tipo seno, se =/2 la funzione è del tipo coseno.

Una funzione b(t)=BM sen(t+) è sfasata dell’angolo (-) rispetto ad a(t); se tale angolo è

positivo (16) , b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t), se è negativo è sfasata in ritardo rispetto

ad a(t); se il suddetto angolo di sfasamento è nullo, le due grandezze si dicono in fase, se

l’angolo di sfasamento è le due grandezze si dicono in opposizione di fase, se l’angolo è

/2 le due grandezze si dicono in quadratura (in anticipo o ritardo).

Si osserva che

a) il prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante positiva [negativa] è una

grandezza sinusoidale della stessa pulsazione ed in fase [opposizione di fase]

;kAPtsenkA)t(katsenP)t(g MMMM

b) la somma o la differenza di due funzioni sinusoidali della stessa pulsazione è una

grandezza sinusoidale della stessa pulsazione

cosBcosA

senBsenAtg;BAC

senBsenAsenC

cosBcosAcosC

sentcosBcostsenBsentcosAcostsenAsentcosCcostsenC

tsenBtsenA)t(b)t(atsenC)t(c

MM

MMMMM

MMM

MMM

MMMMMM

MMM

222

(III.4.4)

c) la derivata di una funzione sinusoidale è una funzione sinusoidale della stessa

pulsazione, in quadratura in anticipo

2

;2

cossin)(

MMMMM ADtsenAtA

dt

datDtd (III.4.5).

III.5 Il metodo simbolico – Operatori complessi

Poiché il sistema fondamentale di una rete lineare prevede relazioni del tipo a),b) e c)

sopra detto, se ne deduce che una soluzione sinusoidale di pulsazione è compatibile con

un sistema in cui i generatori (i termini noti) siano sinusoidali della stessa pulsazione;

applicando il principio di identità dei polinomi trigonometrici, si può anche concludere

che la soluzione è unica; tutte le grandezze incognite hanno pulsazione .

Le grandezze si diversificano quindi solo per l’ampiezza e la fase iniziale; si può quindi

stabilire una corrispondenza biunivoca tra le funzioni sinusoidali e le coppie ordinate di numeri

reali (numeri complessi) ossia i punti del piano cartesiano:

yx

j

MMyMxMM jAAeAAAAAAAtsenAta )sin,cos(),()(

L’operatore di Eulero- De Moivre ej, formalmente definito come

16 Si considera in genere la determinazione principale dello sfasamento, ossia .


III-20

ej =(cos+j sen) ,

è rappresentativo del punto sulla circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine

(fig.III.5.1). Esso è un operatore di rotazione: applicandolo ad un vettore Ā (fasore) o punto

del piano della rappresentazione – corrispondente della grandezza sinusoidale a(t)- si

ottiene un vettore Ā’ ruotato di α (17). Se in particolare α=/2, si ha ej=j; un’altra rotazione

di /2 porta al vettore opposto ad Ā: infatti ej=j2=-1 (18); una ulteriore rotazione di /2 ci

porta ad una rotazione complessiva ej3=j3=-j corrispondente ad una rotazione (“negativa”)

di -/2: e-j/2=-j=1/j; una ulteriore rotazione di /2 ci riporta sul vettore originario: ej2=j4=1.

In particolare, quindi, l’operatore j (comunemente detto immaginario) indica una rotazione

di /2 nel piano cartesiano. Per evidenziare questo concetto in modo ancor più elementare,

si può osservare che il punto P≡(a,b)≡a+jb del piano può essere immaginato “raggiunto” a

partire dall’origine percorrendo un tratto a lungo l’asse x (asse “reale”) e quindi un tratto b

lungo una direzione ortogonale (asse y “immaginario”).

L’uso dei vettori del piano (numeri complessi), corrispondenti alle grandezze sinusoidali

nel tempo, prende il nome di metodo simbolico.

Si può facilmente controllare che alle operazioni di addizione, sottrazione e

moltiplicazione per costante nel dominio nel tempo corrispondono addizione, sottrazione

e moltiplicazione per costante nel dominio della rappresentazione simbolica. Tali

operazioni sono corrispondenti alle ordinarie operazioni tra vettori (moltiplicazione di un

vettore per una costante, composizione di vettori con la regola del parallelogramma).

jMyyyxxx eCCBACBACBACtbtatc

AkGtaktg

;)()()(

)()( (III.5.1)

Una importante ulteriore operazione vettoriale elementare è quella di rotazione,

formalmente eseguibile con l’operatore di Eulero. Si può facilmente controllare che

all’operazione di derivazione corrisponde una moltiplicazione per jω ovvero una

rotazione di /2 ed una modifica dell’ampiezza .

N.B. Nella corrispondenza la coppia ordinata di numeri reali può essere sostituita da un valore

univocamente legato all’ampiezza (ad esempio il valore efficace) e da un riferimento angolare qualsiasi.

Ovviamente il fattore di scala deve essere lo stesso per tutte le grandezze.

In generale le operazioni tra fasori corrispondono ad una rotazione e modifica di

ampiezza. L’operatore che le descrive avrà la forma

jMsenMjMMeMM yx

j cos

con M modulo dell’operatore, argomento dell’operatore.

17

In un sistema di coordinate cartesiano (x,y) su un piano, il senso di rotazione “positivo” è quello che porta il semiasse

positivo delle x sul semiasse positivo delle y con una rotazione di π/2; in un sistema levogiro, il senso di rotazione è

quindi antiorario. 18

Questo risultato coincide con la definizione “ scolastica primordiale” di unità immaginaria


III-21

fig.III.5.1– Operatore ejα e sua applicazione ad un vettore del piano.

III.6 Operatori di ammettenza e di impedenza

Nel caso di resistori ideali su cui si è fatta la convenzione dell’utilizzatore, se l’intensità di

corrente è sinusoidale di nota pulsazione ω e fase iniziale αR, anche la tensione è

sinusoidale della stessa pulsazione ω e fase iniziale βR=αR; se si fosse adottata la

convenzione del generatore, tensione e intensità di corrente sarebbero in opposizione di

fase.

Se la tensione su un condensatore è sinusoidale di nota pulsazione e fase iniziale βc,

l’intensità di corrente assorbita ha la stessa pulsazione, ma ha una fase iniziale αc =βc+/2,

quindi in anticipo rispetto alla tensione.

Se l’intensità di corrente in un induttore sinusoidale di nota pulsazione e fase iniziale αL, la

tensione ha la stessa pulsazione, ma ha una fase iniziale incrementata di βL =αL+/2, quindi

in anticipo rispetto alla intensità di corrente.

Le relazioni corrispondenti e la loro presentazione grafica sono appresso riportate

(fig.III.6.1).

2

2

LLLMLMLLL

L

CCCMCMccc

c

RRRMRMRRR

LIVILjVdt

diLv

CVIVCjIdt

dvCi

RIVIRVRiv

(III.6.1)

sen α

cos α

1

x

y

1 -1

α

Ā

Ā’= Ā ejα

α


III-22

fig.III.6.1 – Caratteristiche simboliche per i bipoli fondamentali

Se si considera un circuito semplice costituito da un generatore ideale di tensione

e(t)=EM sen(ωt+),

un resistore di resistenza R ed un condensatore di capacità C (v. fig.III.2.1.1), si ricava per

la corrente erogata dal generatore l’espressione

)()(

)()()(

2222 R

Xarctgtsen

XR

Etie

XR

EeI

jXR

EI

VCjIdt

dvCi

IRVRiv

VVEtvtvte

c

c

Mc

R

Xjarctg

c

Mja

M

c

ccc

c

RRR

cRcR

c

(III.6.2)

dove Xc=1/ωC è la reattanza capacitiva.

Nel metodo simbolico, il legame tra tensione e corrente per un bipolo si esprime nella

forma (legge di Ohm alle grandezze simboliche, convenzione dell’utilizzatore):

VYIoppureIZV (III.6.3)

(operatori di impedenza e di ammettenza)

2222

1

XR

Xj

XR

RjBGe

ZYee

V

I

V

IY

jXRZeeI

V

eI

eV

I

VZ

jj)(j

M

M

j)(j

M

M

j

M

j

M

(III.6.4)

L’argomento , per motivi di cui in seguito, prende il nome di angolo di potenza. La parte

reale R dell’operatore di impedenza è l’operatore di resistenza, il coefficiente della parte

VC

C ĪR

R=R L

VR

ĪL

VL

L

ĪC

C


III-23

immaginaria X è l’operatore di reattanza. L’impedenza ha le stesse dimensioni della

resistenza, cioè ohm [Ω].

La parte reale G dell’operatore di ammettenza è l’operatore di conduttanza; il coefficiente

dell’immaginario è l’operatore di suscettanza. L’ammettenza si valuta in Siemens [S]. Da

notare che G non è l’inverso di R, salvo il caso particolare di cui appresso; B non è mai

l’inverso di X.

Nel caso del resistore ideale si ha Ż=R+j0, 0jGY , con R=1/G pari al valore di

resistenza. La tensione è in fase con l’intensità di corrente.

Nel caso dell’induttore ideale si ha Ż=0+j(XL), )(0 LBjY , dove XL=L è la reattanza

induttiva (mentre BL=1/L è la suscettanza induttiva). La tensione è in quadratura ed in

anticipo rispetto all’intensità di corrente.

Nel caso del condensatore ideale si ha Ż=0+j(-XC), )(0 CBjY , dove XC=1/C è la

reattanza capacitiva (mentre BC=C è la suscettanza capacitiva). La tensione è in

quadratura ed in ritardo rispetto all’intensità di corrente.

Queste considerazioni inducono ad interpretare l’operatore di impedenza come una

“serie” formata da un resistore ideale R e da un reattore ideale X (=XL-XC), ovvero, con un

grado di libertà, come un circuito RLC serie; l’operatore di ammettenza può essere a sua

volta interpretato come un “parallelo” formato da un resistore ideale di conduttanza G e

da un reattore ideale di suscettanza B (=BC-BL), ovvero, con un grado di libertà, come un

circuito RLC parallelo.

Data la relazione tra i due operatori, si deduce che ad ogni circuito RLC serie corrisponde

un circuito RLC parallelo (19).

I casi X=0 e B=0 corrispondono ai circuiti risonanti (serie e parallelo) equivalenti a resistori

ideali (vedi prossimo paragrafo).

Se R=X=0 si è in presenza di un bipolo corto-circuito ideale.

Se G=B=0 si è in presenza di un bipolo aperto ideale.

La (III.6.4) può essere scritta per qualsiasi bipolo formalmente rappresentabile, non solo

del tipo RLC. Può essere scritta anche per un generatore reale o ideale: in tal caso il bipolo

non può essere ricondotto ad un circuito equivalente RLC.( 20)

19

Ovviamente con diversi valori di R,L,C (>0) e con un grado di libertà sulla scelta di L e C. 20 Può tuttavia essere per il caso specifico sostituito da un circuito RLC se risulta R0, G0.


III-24

III. 7 Risonanza serie e parallelo

Un circuito in regime sinusoidale, comunque complesso, nel quale siano presenti

resistenze, induttanze e capacità e un solo elemento attivo si dice in risonanza quando

rispetto al generatore che lo alimenta si comporta come un circuito puramente ohmico.

Si consideri per semplicità il circuito RCL serie illustrato in Fig.III.7.1.

. Fig. III.7.1 – Circuito RLC serie

Si consideri il funzionamento in regime sinusoidale di tale circuito.

Il fasore rappresentativo della corrente è dato da eqZ

EI

dove MEE rappresenta il fasore

relativo alla tensione del generatore e(t) Em sen(t) e Zeq R j L 1

C

è

l’impedenza equivalente della serie del resistore, dell’induttore e del condensatore.

Il modulo del fasore corrente è:

2

2 1

CLR

EI M

M

(III.7.1)

Si consideri, ora, l’andamento del modulo della corrente IM al variare della pulsazione ω.

È immediato verificare che il valore del modulo IM tende a zero per ω→0 e per ω→ ,

mentre assume il suo valore massimo in corrispondenza della pulsazione di risonanza

LC

10

E’ facile verificare che per tale valore della pulsazione la parte immaginaria

dell’impedenza eq

Z è uguale a zero, perché la reattanza capacitiva è uguale a quella

capacitiva, e quindi il modulo di eq

Z assume il valore minimo. Il valore della corrente alla

pulsazione di risonanza è quindi uguale a R

EM , cioè, alla corrente che si avrebbe se nel

circuito vi fosse solo il resistore. Inoltre, alla risonanza è immediato verificare che la

tensione del condensatore CV è l’opposto di quella dell’induttore LV , e quindi la tensione

sul resistore è uguale a quella del generatore.

+ R

C

i

e

vR

vg vC

vL L


III-25

In definitiva, alla pulsazione di risonanza il circuito, rispetto alla tensione che lo alimenta,

si comporta come se fosse puramente ohmico (la serie L-C è equivalente ad un

cortocircuito).

Si osservi che valgono analoghe considerazioni per il circuito RLC parallelo. In questo caso

tuttavia al posto della intensità della corrente va considerata la tensione sui tre bipoli in

parallelo (alla risonanza il parallelo LC si comporta come un circuito aperto).

I circuiti risonanti, almeno da un punto di vista di principio, sono quelli che si utilizzano

nelle telecomunicazioni quando si voglia selezionare un segnale di un data frequenza

presente in tutto lo spettro che il sistema ricevente raccoglie. La selezione avviene facendo

variare la frequenza di risonanza del sistema ricevente che si “accorda” con la frequenza

cercata grazie al fatto che a quella frequenza si ha un picco della intensità della corrente.

Occorre tuttavia ricordare, soprattutto nel caso di impianti di potenza, la tensione sul

condensatore e sull’induttore –RLC serie- [l’intensità di corrente nel caso del circuito

parallelo] potrebbe assumere valori elevati e quindi pericolosi. Infatti il valore efficace

della tensione sul condensatore [dell’intensità di corrente nell’induttore nel caso parallelo]

è, alla pulsazione di risonanza, pari al valore efficace della tensione del generatore

moltiplicato per il fattore di merito

][1

L

RRCQ

RCR

LQ

o

op

o

os

che può assumere valori molto elevati per R tendente a zero [per R tendente a infinito](21).

Un circuito RLC può quindi assumere il ruolo di amplificatore passivo, non valendo più in

generale le ipotesi di non amplificazione valide il regime stazionario (22).

L’esame dei circuiti risonanti (serie o parallelo) può essere ricondotto a grafici

“normalizzati” disponibili nei manuali tecnici in cui si fa riferimento a parametri

adimensionali quali il fattore di merito e lo scostamento relativo dalla pulsazione di

risonanza

0

0

Dalla (III.7.1) si ricava, per piccoli scostamenti dalla pulsazione di risonanza, la curva

universale di risonanza (fig.III.7.2)(23)

21

Si può mostrare che il massimo della tensione sul condensatore non si ha alla pulsazione di risonanza, ma

ad una pulsazione tanto più vicina ad essa quanto più elevato è il fattore di merito. 22 Si può mostrare che la proprietà di non amplificazione continua a valere anche in regime sinusoidale per le

reti resistive e per le reti RL o RC, oppure solo L o solo C. 23

La condizione ξ=0 corrisponde alla risonanza, con valore massimo dell’intensità di corrente; la condizione

ξ=±0,5 corrisponde all’attenuazione di circa il 30% rispetto al massimo ed alla “frequenza di taglio”, che

dipende quindi dal fattore di merito; quando più è alto il fattore di merito, tanto meno differisce la frequenza

di taglio dalla frequenza di risonanza (ovverosia tanto più il circuito è “selettivo”); in elettronica ed acustica

l’attenuazione si misura in decibel (dB) considerando il logaritmo in base 10 del rapporto fra le grandezze in

esame, per cui alla frequenza di taglio corrisponde l’attenuazione “standard” di 3 dB per la valutazione della

“banda passante” in frequenza del dispositivo


III-26

222

0

0

2

0

2

0

2

2

0

0

20

0

21

1

21

1

21

1

1

1

1

1

11

1

s

ss

s

M

MMM

QQQ

QRCR

LZ

R

)(I

)(I;

R

E)(I

Fig. III.7.2 Curva universale di risonanza ed angolo di potenza (argomento dell’impedenza) (da Someda,1967)

Per le considerazioni su esposte, qualsiasi rete passiva, alimentata da un generatore di

tensione o di corrente, sarà rappresentabile con un operatore di impedenza (o di

ammettenza) e quindi presenterà una o più pulsazioni di risonanza (serie o parallelo)

corrispondenti alle soluzioni dell’equazione X(ω)=0 ( ovvero B(ω)=0 ).

Si veda anche il § III.13 .

III.8 Applicazione del metodo simbolico alle reti lineari

L’applicazione del metodo simbolico al sistema fondamentale di una rete lineare

alimentata da generatori isofrequenziali consente di trasformare un sistema differenziale

(trigonometrico) di 2l equazioni in un sistema algebrico vettoriale. Si può operare quindi

indifferentemente sia in forma geometrica (rappresentazione vettoriale) sia in forma

strettamente algebrica (numeri complessi). In apparenza, dal punto di vista

computazionale (anche dal punto di vista dell’impegno dello spazio di memoria di un

calcolatore, a parità di precisione), ciò sembra un aggravio, in quanto si raddoppia il

numero di equazioni “scalari” equivalenti. In realtà, si comprende subito che anche ad


III-27

applicare il principio d’identità dei polinomi trigonometrici si arriva al raddoppio del

numero di relazioni.

L’aspetto più significativo è che le relazioni simboliche sono regolate attraverso operatori

algebrici complessi (ammettenze, impedenze o, in generale, immettenze(24)), analogamente

a quanto avveniva nel caso stazionario (in cui gli operatori algebrici erano reali). Quindi si

possono trasferire le proprietà ricavate sulla base della linearità: sovrapposizione degli

effetti (25), espressioni del partitore di tensione e di corrente, impedenza e ammettenza

equivalente, bipolo equivalente di Thévénin e Norton, metodo dei potenziali nodali e delle

correnti di maglia, matrici descrittive di n-poli e doppi bipoli, ecc.

Non potrà essere applicato il metodo simbolico al caso di bipoli con non-linearità non

eliminabili ovvero alla discussione su proprietà della rete non discendenti dalla linearità

(es. le potenze, vedasi §III.9).

24 Il termine immettenza indica in generale il legame simbolico (operatore) tra due qualsiasi grandezze in una

rete. 25 Va osservato che se i generatori sinusoidali non sono isofrequenziali, si può applicare il metodo simbolico

più volte considerando di volta in volta i generatori di ugual frequenza e quindi sovrapponendo i risultati

nel dominio del tempo.


III-28

III.8.1 Esempi numerici sul metodo simbolico

Data la rete di fig.III.10.1, in regime sinusoidale, determinare iR(t)ed iL(t) nell’intervallo (-,+).

[ e(t)=E cos ωt; R=25; L=0,1 H; C=100 F; E=100 V;ω=250 rad/s]

fig.III.8.1

Occorre sempre considerare sullo sfondo, il sistema fondamentale, valido per ogni t:

dt

dvCi

dt

diLv

Rivev

vvvvv

iii

cLL

RRg

RLgRc

LR

;

;

0;0

0

Si valutano le reattanze

40100250

10125

6

CX;LX CL

Si applica quindi il partitore di corrente

A.)arctgcos()(i)arctgtcos()t(i

)XX

)XX(Rarctgtcos(

XXR)XX(

RE)t(i

jX

IR

jX

VI

)arctgtcos())(

arctgtcos(

)XX

)XX(Rarctgtcos(

XXR)XX(

XE)t(i

)XX(jRXX

jXE

jXR

jX

jXR

jRXjX

E

jXR

jXII

LL

cL

CL

cLCL

L

L

R

L

LL

cL

CL

cLCL

LR

CLCL

L

L

L

L

LC

L

LR

1928

3

73

200

8

3

73

20

8

3

273

20

4025

1525

215254025

2500

2

222

2222

222

iR

+

vL

-

+

e R L

i iL

+

vR

-

+ vC - C


III-29

III.9 Potenze in regime sinusoidale

Si consideri un bipolo di morsetti r-s funzionante in regime sinusoidale. Si consideri la

potenza istantanea assorbita dal bipolo:

)t(pPtcoscosIV

tcoscosIV

tcoscosIV

tsinItsinVtitvtp

frsmrsrsrsrsrsrs

rsrsrsrsrsrs

rsrsrsrsMrsMrs

rsMrsrsMrsrsrsrs

22

2

22 (III.9.1)

La potenza istantanea quindi in genere non è una grandezza sinusoidale, ma è

caratterizzabile da un valore medio Pm (detto potenza media, attiva o reale) e da una potenza

fluttuante pf(t) sinusoidale a pulsazione doppia. Vale il principio di conservazione per la

potenza istantanea, la potenza media e la potenza fluttuante.

L’energia assorbita da un bipolo in un intervallo t pari ad un multiplo intero di periodi

risulta pari a Pmt, in quanto il contributo della potenza fluttuante è nullo. Se l’intervallo

t non fosse esattamente pari ad un multiplo intero di periodi, il contributo all’energia

assorbita fornito dalla potenza fluttuante sarebbe tanto più trascurabile quanto più t è

grande rispetto al periodo.

La potenza media assorbita ha quindi un significato “energetico” e con essa si possono

caratterizzare i bipoli elettrici ed avere significative informazioni sul “consumo”. Essa

viene indicata quindi in watt. Ad esempio una stufa da 500 W, tenuta in funzione per

un’ora, “consuma” 1.8 MJ. L’unità pratica usata per la indicazione dei consumi elettrici è il

kWh (kilowattora); 1 kWh corrisponde al consumo di un’apparecchiatura da 1 kW tenuta

in funzione per un’ora, quindi a 3.6 MJ.

La potenza media si esprime come

coscos2

VIIV

P MMm (III.9.2)

dove il termine cos prende il nome di fattore di potenza e per questa ragione ϕ è detto

angolo di potenza; V ed I sono i valori efficaci della tensione e dell’intensità di corrente.

La potenza fluttuante non ha peso dal punto di vista energetico, ma è purtroppo

significativa da altri punti di vista. Basti pensare che essa ha un valore massimo uguale o

superiore alla potenza media e che, considerando un bipolo reale, le eventuali

sollecitazioni meccaniche sono legate alla potenza istantanea. Ad esempio all’albero di un

motore potrebbe essere applicata una coppia istantanea ben superiore alla coppia media;

ciò porterebbe ad una sollecitazione di torsione intollerabile ovvero ad una sollecitazione

“a fatica” che limiterebbe notevolmente le prestazioni meccaniche a lungo termine, ovvero


III-30

la “vita” della macchina. A ciò si aggiungano le vibrazioni trasmesse ed il rumore acustico

(ronzio tipico a 100 Hz).

Se si trasferisce il problema dai motori industriali (potenze medie 1-100 kW) ai grandi

generatori delle reti elettriche interconnesse sul territorio europeo (potenze medie da 100

MW in su), si comprende come tali sollecitazioni sono del tutto inaccettabili: una rete per il

trasporto di energia elettrica dovrà avere generatori più “articolati” (vedi III.11 Reti trifase).

Nel caso di bipoli resistivi, la potenza media è pari a RI2, dove I è il valore “efficace” (come

se considerassimo un caso stazionario), mentre nel caso di bipoli induttore (=π/2) e

condensatore (=-π/2) la potenza media è nulla . Per un circuito RLC l’angolo di potenza

è compreso tra –π/2 e π/2 ed il fattore di potenza cos tra 0 ed 1. Se risulta cos<0 si è

sicuramente in presenza di un generatore o di un bipolo attivo (un bipolo si dirà quindi

passivo se in ogni condizione di funzionamento la potenza media assorbita risulterà non

negativa)(26).

Si definisce potenza reattiva assorbita da un bipolo la quantità

senVIsenIV

Q MM 2

(III.9.3)

dove è, al solito, la differenza tra le fasi iniziali della tensione (di valore efficace V) e

della intensità di corrente (di valore efficace I).

La potenza reattiva Q assorbita da un bipolo passivo ci dà indicazione se il bipolo è

prevalentemente di tipo ohmico-induttivo (Q>0) o di tipo ohmico-capacitivo (Q<0). La

potenza reattiva non ha un significato energetico, ma può determinare un funzionamento

non ottimale degli elementi di un impianto elettrico oppure costringe ad aumentare i costi

di realizzazione.

Infatti il dimensionamento di un bipolo è legato alla potenza apparente o potenza nominale

(compare sulla targa dei dispositivi)

22 QPVIA (III.9.4)

La potenza apparente è pari al prodotto del valore efficace della tensione per il valore

efficace della corrente; essa è una quantità assoluta (positiva). Il suo valore è direttamente

legato al volume occupato dal dispositivo (la distanza tra i morsetti aumenta con la

tensione mentre la sezione dei conduttori aumenta con l’intensità della corrente) e quindi

al suo costo.

Per ridurre i costi “fissi” occorrerà quindi diminuire (in valore assoluto ed a parità di

potenza media) la potenza reattiva assorbita dal bipolo.

26 In condizioni generali un bipolo si dirà passivo se l’energia assorbita nella sua storia non risulta mai

negativa, cioè se viene verificata la condizione (in realtà un po’ ermetica, ma in molti casi facilmente

verificabile) 0

dttitv

*t

rsrs qualunque sia l’istante t*.


III-31

III.9.1 Potenza complessa – Conservazione

Per ogni bipolo si può introdurre una grandezza complessa formale, detta potenza

complessa, che abbia come modulo la potenza apparente e come argomento l’angolo di

potenza . Considerando ad esempio il prodotto del fasore della tensione per il coniugato

del fasore dell’intensità di corrente si ha

rsrsrsrsrsrs

j

rs

j

rsrsrsrs jQPjsenIVeIeVIVP rsrs

)(cos~

(III.9.5)

Poiché la potenza complessa è una potenza virtuale (27), per il teorema di Tellegen essa si

conserva. Ne consegue la conservazione anche delle potenze reattive in una rete.(28)

E’ necessario l’ammonimento ad evitare ogni confusione ed accostamento tra potenza

reattiva e potenza fluttuante. E’ però interessante notare che la potenza istantanea vale

222212222

222

tsenQtcosPsentsenVIcostcosVIcosVI

tcosVIcosVItcosVIcosVItpP)t(p f

Il termine 221 tcosP corrisponde alla potenza istantanea assorbita dal resistore

nello schema serie R-X; tale termine non è tuttavia pari alla somma delle potenze

istantanee assorbite dai resistori in una rete passiva vista da due morsetti di cui il bipolo

R-X rappresenta l’equivalente.

Ad esempio nel parallelo di fig. III.9.1, se R=XL=Xc, v(t) ed i(t) sono in fase e quindi

221221 2 tcosRItcosP)t(p , i’(t) ed i”(t) sono in quadratura tra

loro e di pari modulo; la somma delle potenze istantanee assorbite dai due resistori è

costante essendo

0

22

222

2

)t(p)t(p

tsen"VItcos"VI)t(p;tsen'VItcos'VI)t(p

"

f

'

f

"

f

'

f

27

Basta considerare le rete in esame, interessata dalle tensioni Vrs , ed un’altra, con lo stesso grafo, in cui si

assegni ad ogni lato l’intensità di corrente rsI~

. Poiché il coniugato ha la stessa parte reale del numero

complesso originario e l’opposto del coefficiente della parte immaginaria, per le intensità di corrente

coniugate vale il I principio di Kirchhoff ai nodi. Ciò basta per affermare che 0 rsrsI~

V

28 Se avessimo considerato il prodotto formale tra il numero complesso rappresentativo della tensione e di

quello rappresentativo dell’intensità di corrente avremmo avuto un’altra potenza complessa con lo stesso

modulo ma con argomento pari a (2α+φ), assolutamente non significativo.

i R Xc

XL

i’

i”

v

R

α”=-π/4

α’=π/4 I

I’

I”

V


III-32

Fig. III.9.1

Si conclude (come del resto già osservato) che non è possibile parlare di “equivalenza”

riferendosi alle potenze.


III-33

III.9.2 Esempi numerici sulle potenze

Esempio n.1

Fig.III.9.2

La rete di fig. III.9.2 è in regime sinusoidale; sia R1=20 Ω, R2=30 Ω, ω=500 rad/s, C=(1/6) mF;

e(t)= EM sen ωt [EM=100 V], io(t)= IM cos ωt [IM=5 A].

Determinare

a) l’intensità di corrente ic(t),

b) la potenza complessa erogata dal generatore ideale di corrente.

Applicando il metodo simbolico si ha

25

60

1230

123012

106

1500

115100

2

2

30

j

j

j

)j(

jXR

jXRZ;

CX;jI;E

c

cRCc

Applicando il teorema i Norton ai morsetti del condensatore, si ha

tsentvjIjXV

ttijj

j

j

jjXZ

ZII

jIR

EI

RR

RRRZ

cccc

c

ceq

eq

ccc

ccpeq

60)(060

cos551

55

125

605

60

55

;55;5

600

121

21

La potenza complessa erogata dal generatore ideale di corrente

VArjIV

P 1502

~0

R1

e C R2 io ic

+


III-34

Esempio n.2

Fig.III.9.3

Si consideri la rete di fig. III.9.3, in regime sinusoidale, alimentata dal generatore di tensione

e(t) = EM sin t .(EM=340 V; =1000 rad/s ;R1=R3=400; R2=200; L=0,1H ; C=5 F)

1) Si valuti la potenza complessa assorbita dal bipolo a destra dei morsetti A-B.

;41720arg

;4

1

10

17arg

172

100

17200

2;5,8

2

100

17100

2;17

2

100

17200

2

5,817210

85

10

4

4

285

2

ˆ

;4

2170

4

1

10

17100200

;4120

;10

4

4

1

10

17

100600

400

4

6

40

17

;4

6

40

17

4

6

800

340

6

4800

100600

)100200(400400

2001051000

11;1001,01000

222

3

3

32

21

1

32

321

6

3

arctgtsenVtsenVtv

arctgtsenItsenIti

VArIX

QVArIX

QWIR

P

jjj

j

jIVP

j

j

jjIXXjRV

jIjXV

j

jjj

j

XXjRR

RII

j

j

j

j

Z

EI

j

j

j

j

XXjRR

XXjRRRZ

CXLX

CCc

LLL

LCC

LLL

LR

VArWLAB

AB

LCLAB

LcC

CL

L

e

CL

CLe

CL

+

e(t)

L

R

1

R

2

L

R

3

C

A

B

L

vc

i1

iL


III-35

Esempio n.3

fig.III.9.4

Si consideri la rete di fig.III.9.4, in regime sinusoidale, alimentata dai generatori di tensione

e1(t) = E 2 sin t, e2(t) = E 2 cos t . (E=1 V; =100 rad/s ; R=2; L=20 mH ; C=10 mF)

1) Si valuti la potenza complessa erogata da ciascuno dei generatori.

La potenza erogata dai due generatori vale

222111

~;

~IEPIEP

Le intensità di corrente possono essere valutate applicando il teorema di scomposizione;

introducendo le impedenze viste dai due generatori agenti singolarmente, si ottiene:

4

3

4

3

12

3

4

3

1

21

4

3

4

1

4

3~

4

3

22

2

1

1

22

2

1

2

3

1

211

~

1

21

11

)12(

2

221

1

)(

222

2)(

/

0122

4

11

;2

21

222

1

1

2

22

111

2

2

1

11

2

1

jj

jj

j

jIII

jj

jIEP

j

j

j

j

j

jXR

jX

Z

E

Z

EI

jj

jIEP

j

j

j

j

j

j

j

j

XXj

jX

Z

E

Z

EI

jjXXj

CLRZ

jj

jj

jXR

jXRjXZ

CXLX

L

L

L

ee

cL

L

ee

cL

e

L

Lce

cL

C

+

+

R

e1(t) +

vL

iL

vC

i1

i2

e2(t) L


III-36

WRIPVAIXQVAIXQ

jIRV

jIjXV

Vvj

IjXV

RCCLLL

RR

LLL

ccC

25.14

5;5.2

2

5;25.2

4

9

2

3

1

3

2

3)0(

2

31

2

2

2

1

2

1

III.10 Il rifasamento dei carichi reattivi

Per ottimizzare il dimensionamento dei sistemi di alimentazione – a parità di potenza

media in gioco e quindi di energia – occorrerebbe che fosse ovunque Q=0. Tutti i bipoli

dovrebbero essere modificati in maniera da avere tensione e correnti in fase. Ciò è in linea

di principio possibile se tutti i generatori ideali sono in fase o in opposizione di fase. In tal

caso sarebbe possibile “aggiungere” (in serie o in parallelo) una reattanza tale che la

reattanza (o suscettanza) equivalente sia nulla, ossia i bipoli siano risonanti (rifasamento

locale serie o parallelo).

In genere questa soluzione risulta molto gravosa. Dal punto di vista industriale, un

compromesso si ottiene considerando l’utenza (quasi sempre di tipo ohmico induttivo con

angolo di potenza >26°) nel suo complesso ed inserendo un bipolo (condensatore in

parallelo al carico) in maniera che l’Ente fornitore “veda” un fattore di potenza cosL>0,9

(L<26°) (fig. III.10.1).

Dal bilancio di potenza complessa o da considerazioni sul diagramma vettoriale delle

grandezze simboliche si ottiene il valore della capacità necessaria a rifasare un carico otto

tensione VAB ( a parità di potenza media Pm )

2

2

0

AB

Lm

LLABmcmL

mL

LLAB

V

)tgtg(PC

tgPVCtgPQQQ

jPP

jQPP

(III.10.1)

φL

Ic

C

φ

Pm

IL

C

I

C C

C

A

C

B

C

φ

φL

Ic

C

I

C

VAB

C

IL

C Fig.III.10.1


III-37

III.10.1 Esempio numerico sul rifasamento - commenti

Fig.III.10.1

Si consideri la rete di fig. III.10.1 in regime sinusoidale; sia R1= R2=50 Ω, L=100 mH, ω=500 rad/s,

C=80μF; e(t)=EM sen ωt [EM=40 V].

Determinare

a) la tensione sull’induttore vL(t) per t∈(-∞,+∞)

b) la potenza reattiva Qe erogata dal generatore

c) a parità di potenza media erogata dal generatore, gli accorgimenti perché risulti Qe=0

Applicando il metodo simbolico si avrà

WPPVAj

jj

j

j

j

jE

RZ

EEIEPIEQ

jRZ

EI

arctgtsentv

jej

j

j

RZ

ZEV

jjj

RCj

L

jZ

CXLXE

e

M

LCR

eeeeMMe

LCR

e

L

arctgj

LCR

LCR

L

LCRcL

6,95

48)Re(;2,3

5

163Im

5

16

5

)2(1Im16

2

1Im

50

800

50100

1

2ImImImImsin

2

1

325

4

;)2

1(58)(

;816582

140

501

50

1

50

40

1

50

50

1

2550

1

1

1;25

1;50;40

*

**2*

1

*

1

)2

1(

1

2

2

2

2

2

2

Poiché risulta Qe<0, si può inserire un induttore (rifasamento generale). Se lo si inserisce in

parallelo al generatore, il valore dell’induttanza dovrà essere tale che

HQ

ELQ

L

EQ

e

Me

ML 5,0

5

165002

1600

22

22

+ R

1 e C L

R

2 vL

ie


III-38

Commenti (*):

Si potrebbe in alternativa operare sul parallelo LC (rifasamento locale); si ricorda che la

condizione Qe=0 corrisponde alla “risonanza” alla pulsazione assegnata. Deve essere

quindi

FCsaràmHLfissatoL

mHLsaràFCCfissato

sCL

4010100

104,100

501080

104,80

][104250000

11

3

6**

6

6**

26

2

**

La condizione suddetta potrà essere ottenuta o disponendo un altro induttore da 100mH

in parallelo ad L oppure disponendo un condensatore da 80 μF in serie a C. L’induttore di

rifasamento è di induttanza molto inferiore al caso precedente.

(N.B. Vi sono infinite altre possibilità inserendo contemporaneamente un induttore in

parallelo ad L ed un condensatore in serie a C).

Inoltre, con la soluzione “locale” avremmo una potenza media erogata dal generatore pari

a

WRR

EP M 8

1002

402/ 2

21

2

inferiore al caso precedente.

Di qui la convenienza (a maggior ragione se la “resistenza equivalente R1” del generatore

non è trascurabile rispetto ad R2) di operare un rifasamento locale. Questo accade ad

esempio nel caso di utenze, nell’ambito di uno stesso impianto, molto lontane dal punto di

fornitura.


III-39

Approfondimenti sull’esercizio – grafici (*)

VARIAZIONE DELLA POTENZA REATTIVA e MEDIA al variare dell’induttanza L

Per L=0,1 H su ritrova il valore di –3,2 Var; per L tendente a 0 (cortocircuito) la potenza

reattiva tende a zero. La potenza reattiva si annulla nuovamente in caso di risonanza

(L=0,05 H). C’è un “worst case” (da studiare)

La potenza media ha un minimo in condizioni di risonanza. Per L tendente a zero, la

potenza media è la massima e corrisponde a quella dissipata in R1, cioè WR

EP M 16

2 1

2

max

.

Per alti valori di L, la potenza media corrisponde al circuito ohmico-capacitivo

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

induttanza [H]

pote

nza r

eatt

iva e

rogata

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.58

9

10

11

12

13

14

15

16

induttanza [H]

pote

nza m

edia

ero

gata


III-40

Wjj

j

j

j

RRjXRR

jXRE

jXR

jXRR

EEIEP

c

cM

c

c

eL

123Re41

2Re8

25002500

2550Re800

Re22

Re2

Re

*

**

*

2121

2

2

*

2

2

1

**

VARIAZIONE DELLA POTENZA REATTIVA e MEDIA al variare della capacità C

Anche in questo caso si riscontra il minimo della potenza media in condizioni di risonanza;

si nota altresì un estremo (negativo) della potenza reattiva (da studiare).

VARIAZIONE DELLA CAPACITÀ DI RIFASAMENTO GENERALE CON IL VALORE

DELL’INDUTTANZA L

0 1 2 3 4

x 10-4

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Capacità[F]

pote

nza m

edia

ero

gata

0 1 2 3 4

x 10-4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Capacità [F]

pote

nza r

eatt

iva e

rogata

0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.10.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

induttanza L [H]

indutt

anza d

i rifa

s g

enera

le[H

]


III-41

III.10.2 Il rifasamento dei carichi reattivi per limitare le “cadute di tensione” (*)

Considerato un collegamento reale in regime sinusoidale tra un generatore e(t) ed un

carico U (fig.III.10.2.1) attraverso una linea L, si vuole valutare la convenzionale “caduta di

tensione” pari alla differenza tra i valori efficaci della tensione ai morsetti della linea a

vuoto Vuo=E e della tensione a carico Vu: %V

VE%V

u

uu

. Si ottiene facilmente:

Fig. III.10.2.1

%V

QXPR%

V

IsenXcosIR%

V

VE%V

u

uLuL

u

uLuL

u

uu 2

Poiché nella maggior parte dei casi industriali (come in figura) è Qu>0, rifasare il carico

significa anche ridurre la caduta di tensione.

vu

φu

φu

I

E

+ RL

i

e G

LL L

U

Zu

Vu


III-42

III.11 Le reti trifase

Per sistema polifase in regime sinusoidale si intende un collegamento di n-poli

attraverso n linee o fasi caratterizzate da n intensità di correnti di linea ik(t) (k=1,2,…,n)

(fig.III.11.1). L’alimentazione può consistere in n generatori stellati indipendenti, ek(t) con

secondo morsetto 0 (centro stella) in comune. Le tensioni tra i poli v12(t), v23(t),…, vn1(t) si

dicono concatenate.

Considerato un n-polo lineare in regime sinusoidale, i vettori (fasori) rappresentativi delle

tensioni concatenate formano una figura chiusa, perché la somma di dette tensioni è

sempre nulla. Lo stesso si può dire per i vettori rappresentativi delle ik(t).

fig.III.11.1– Sistema polifase (n-polo)

Il sistema di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica in Italia è un sistema trifase.

Esistono, per diverse applicazioni, sistemi con un numero di fasi superiore, in genere un

multiplo di tre (6,12,48,…).

Sistema puro e spurio : se gli n-poli sono a stella di centro stella Y (fig.III.11.2), è possibile

calcolare la tensione tra i centri stella utilizzando gli stessi metodi adoperati nel caso

stazionario; indicando con ŻYk l’impedenza equivalente della singola linea, si ritrova (cfr.

la formula di Millmann)

Yk

Ykkn

Yk

n

Yk

k

YZ

VEI

Z

Z

E

V

0

1

1

0 ;1

(III.11.1);

si nota che in generale la tensione tra i centri stella non è nulla e l’intensità delle corrente di

linea dipende dalle tensioni e dalle impedenze relative alle altre linee. E’ possibile imporre

la condizione di nullo sulla tensione tra i centri stella collegandoli tra loro con un (n+1)-

mo conduttore ( neutro) ideale. In questo caso il sistema si dice spurio (fig. III.11.3) e si avrà:

Yk

k

kYZ

EIjV

;000 (III.11.2)

+

e1(t) +

e2(t)

+

en(t)

1

2

n

i2(t)

i1(t)

in(t)

0


III-43

con intensità delle correnti della linea k indipendenti dai generatori e dalle impedenze

relative alle altre linee.

In Italia, ad esempio, il sistema trifase nazionale di bassa tensione (detto anche sistema di

utilizzazione) è un sistema spurio: oltre ai tre conduttori di fase, normalmente indicati con

la sequenza R-S-T, è disponibile un quarto conduttore “neutro” N (oltre ad un eventuale

ulteriore conduttore di protezione P, normalmente non funzionale al sistema RSTN)(29). Il

sistema di distribuzione in media tensione è invece un sistema puro, con tre sole linee.

Fig.III.11.2- Sistema polifase puro

Fig.III.11.3 - Sistema polifase spurio

Sistemi simmetrici ed equilibrati: un sistema polifase si dice simmetrico (diretto o inverso)

se le tensioni di alimentazione sono simmetriche (dirette o inverse) , ossia se i moduli sono

uguali ed ogni tensione è in ritardo (in anticipo per la simmetria inversa) di 2π/n rispetto

alla tensione che la precede nella sequenza. Se le tensioni sono simmetriche, i fasori

29 Nella realtà il conduttore di neutro potrà essere schematizzato con una impedenza (di neutro)

normalmente di modulo molto piccolo rispetto alle altre impedenze; la tensione tra i centri stella

n

Yk

kNn

NYk

n

Yk

k

YZ

EZ

ZZ

Z

E

V1

1

1

011

risulta piccola rispetto alle tensioni stellate e le intensità delle correnti di linea molto poco dipendenti dal

valore dell’impedenza di neutro

+ vC

- +

e2(t)

+

en(t)

1

2

n

i2(t)

i1(t)

0 Y

+

e1(t) +

e2(t)

+

en(t)

1

2

n

i2(t)

i1(t)

in(t)

0 Y

N


III-44

rappresentano i lati di un poligono regolare (30). Se anche le correnti di linea sono

simmetriche, ossia le impedenze equivalenti sono uguali tra loro, il sistema si dice

equilibrato.

In un sistema simmetrico ed equilibrato l’intensità di corrente nell’eventuale conduttore

neutro è nulla31.

k

kk

n

k

n

k

n

k

n

k

k

YZ

EIj

n

E

Z

n

EZ

Z

Z

E

V

;00

1

111

1

1

0 (III.11.3)

In fig.III.11.4 sono riportate, per un sistema trifase puro simmetrico diretto con impedenze

di carico a stella, le relazioni tra tensioni stellate, tensioni concatenate e correnti di linea. Il

poligono delle tensioni stellate forma un triangolo equilatero. Facendo poi corrispondere

al centro stella 0 un punto del piano della rappresentazione simbolica e riportando a

partire da esso i tre vettori simmetrici rappresentativi delle tensioni stellate del generatore,

si possono rappresentare i punti 1,2 e 3 e quindi costruire le tensioni concatenate che a loro

volta formano un triangolo equilatero e risultano in semplice relazione geometrica rispetto

alle tensioni stellate. Infatti posto

3

4

33

3

2

22

11

3

42

3

22

2

j

j

j

EeEtsenEte

EeEtsenEte

EeEtsenEte

(III.11.4)

si ha

3

4

6233

3

2

6233

6233

31

3

4

6

13

4

1231

12

3

2

6

13

2

1223

126

112

tsenEtveEeVV

tsenEtveEeVV

tsenEtveEV

jj

jj

j

(III.11.5)

30

In un sistema di trasporto dell’energia elettrica (es. quello ENEL, sistema trifase simmetrico diretto) per tensione

nominale si intende il valore efficace della tensione concatenata; ad esempio la tensione nominale del sistema italiano

trifase di utilizzazione in bassa tensione è di 400V, mentre le utenze domestiche hanno a disposizione una linea (fase)

ed il neutro ed vengono alimentate quindi dalla tensione stellata che è quasi sempre pari a 230 V. 31

Questa considerazione è vera anche se il conduttore di neutro non è un cortocircuito ideale; infatti

00

1

1

111

1

1

0 j

ZZ

n

EZ

ZZ

Z

E

V

N

n

k

n

Nk

n

k

k

U


III-45

Il modulo della tensione concatenata si ottiene da quello della tensione stellata

moltiplicandolo per √3. Tipicamente, ad una tensione concatenata di 380-400 V

corrisponde una tensione stellata di 220-230 V.

Con la (III.11.1) è possibile determinare la posizione sul piano del centro stella Y

(spostamento del centro stella), le tensioni sulle impedenze e l’intensità delle correnti di linea

(fig.III.11.4):

kj

Yk

k

Yk

kk

Ykkn

Yk

n

Yk

k

Y

eZ

E

Z

EI

VEE

Z

Z

E

V

''

0

'

1

1

0 ;1

(III.11.6)

Fig.III.11.4 Sistema trifase simmetrico

Se si considera un carico a triangolo (o un carico a triangolo equivalente a quello della

fig.III.11.5), le correnti di lato possono essere ricavate direttamente dalle tensioni

concatenate; le relazioni tra le impedenze a stella e quelle a triangolo possono essere

ricondotte a quelle tra resistenze analoghe.

1I1E

+

Y

+

+

1

2

3

0 2I

3I 3E

2E

3E

2E

1E

12V

31V

23V

x

y

0

YZ1

YZ2

YZ3

Y

'

1E '

3E

'

2E

1

2

3

1I 3I

2I


III-46

Fig.III.11.5- Sistema trifase simmetrico; carico a triangolo

Nel caso di carico equilibrato (fig. III.11.6)

lo spostamento del centro stella è nullo; le intensità delle correnti di linea e di lato sono

simmetriche e si ha JI 3 . Si mantiene nella trasformazione l’angolo di potenza

(nello schema a stella, tra tensione stellata e intensità di corrente di linea; nello schema a

triangolo, tra tensione concatenata e corrente di fase).

Si nota che la simmetria suggerisce di considerare uno schema base, da cui riportare le

altre grandezze simmetriche. La pratica suggerisce di adottare lo schema equivalente

stellato, per la opportunità di indicare con evidenza i centri stella 0 e Y, corrispondenti a

punti fisici.

Lo schema monofase equivalente è una semplificazione dello schema a stella, in cui si

evidenzia un generico generatore stellato ed i carichi a stella o stella equivalente

(fig.III.11.7).

Nelle applicazioni, potranno essere utilmente considerati carichi a triangolo solo se si è in

presenza di carico equilibrato, esempio un motore trifase per sollevamento. La presenza

tuttavia di un centro stella Y accessibile permette – se considerato opportuno – di poter

collegare un conduttore neutro per i seguenti scopi:

YYYYY ZZZZZZZZZ 3; 312312321

3E

2E

1E

12V

31V

23V

x

y

0

1

2

3

1I

3I

1I1E

+

+

+

1

2

3

0 2I

3I 3E

2E12Z

23Z

31Z

31J

23J

12J

12J

2I

23J

31J

12J23J

31J


III-47

a) consentire di mantenere una tensione sui carichi pari alla tensione stellata dei

generatori nel caso di carichi diversi (ad es. tre fabbricati) anche se statisticamente

rappresentabili con carichi “confrontabili”.

b) Consentirebbe di “sentire” un guasto su una linea di un’apparecchiatura che è

rappresentabile (in assenza di guasto) come un carico equilibrato (32).

Fig.III.11.6 Sistema trifase simmetrico ed equilibrato

32

L’analisi dei principali guasti trifase è affrontata in § III.12.5

1I1E

+

+

+

1

2

3

0 2I

3I 3E

2E Z

Z

Z

31J

23J

12J

1I1E

+

Y

+

+

1

2

3

0 2I

3I 3E

2E

x 3E

2E

1E

12V

31V

23V

y

0≡Y

YZ

YZ

YZ

2I

12J

31J

23J

1I

2I

12J

3I

1I


III-48

Fig.III.11.7 - Schema monofase equivalente.

III.11.1 Potenze nei sistemi trifase

In un sistema trifase simmetrico ed equilibrato la potenza fluttuante erogata dai generatori è

nulla. Infatti, in questo caso, con le solite notazioni,

cosEItcosEItcosEItcosEIcosEI

)t(i)t(e)t(i)t(e)t(i)t(e)t(pg

33

82

3

4223

332211

(III.11.1.1)

costituendo i tre termini fluttuanti una terna simmetrica inversa e quindi a somma

(istantanea) nulla.

La potenza istantanea quindi coincide con la potenza media: la sollecitazione meccanica

sull’albero dell’alternatore, legata alla coppia istantanea non ha quindi un termine di

“fatica”, determinando così prestazioni decisamente migliori soprattutto in termini di

durata. Lo stesso dicasi per il tripolo utilizzatore (es. un motore).

Da ciò nasce l’esigenza di pianificare al meglio l’alimentazione di utenze monofasi sulle tre

linee 33.

Un sistema trifase simmetrico ed equilibrato equivale (vedi fig. III.11.7) a tre sistemi

“monofasi”; quindi consentirebbe, a parità di energia trasmessa dal generatore al carico,

un risparmio del 50% sui conduttori rispetto a tre sistemi monofasi. In un sistema spurio,

il carico è di norma “quasi” equilibrato, il conduttore neutro viene realizzato della stessa

sezione dei conduttori di fase e quindi si ha un risparmio di 1/3 rispetto a tre sistemi

monofase.

Teorema di Aron: in un sistema trifase puro (anche dissimmetrico e squilibrato), assegnate

le tensioni (stellate) tra i morsetti ed il centro stella O’ del generatore, la potenza complessa

assorbita da un carico (così come la potenza istantanea) può essere calcolata valutando le

33

Le utenze monofasi vengono distribuite tra le tre linee su base statistica (carichi “ragionevolmente” equilibrati).

I E

Y

+ 1

0

YZ


III-49

tensioni rispetto ad un riferimento qualsiasi O* (teorema di Aron o della invarianza della

potenza rispetto al centro stella). Infatti

3

*

32

*

21

*

1321'*3

*

32

*

21

*

1

3'*

*

32'*

*

21'*

*

13

'

32

'

21

'

1

~~~~~~~~~

~~~~~~

IEIEIEIIIVIEIEIE

IVEIVEIVEIEIEIEP

OO

OOOOOO

(III.11.1.1);

prendendo come riferimento O* il morsetto corrispondente ad una linea k , essa può

essere quindi espressa con somma di solo due termini (essendo nullo *

kE )considerando il

prodotto del fasore delle tensioni concatenate di una delle due linee rispetto alla terza

linea k con il coniugato del fasore della corrente della linea.

Per la misura della potenza media e della potenza reattiva in un sistema puro bastano

quindi due wattmetri e due varmetri.

III.11.2 Rifasamento nei sistemi trifase

Nei sistemi trifase si può procedere a rifasare un carico equilibrato, tipicamente ohmico-

induttivo), che assorba una potenza P=3EIcos inserendo una terna di condensatori a stella

o a triangolo (34); nel primo caso la terna di condensatori assorbirà la potenza reattiva

2

22

333

E

QCEC

X

EQ Y

YY

c ;

nel secondo caso

2

22

333

EV

QCVC

X

VQ

c

A parità di potenza reattiva si ha quindi che la capacità dei condensatori a triangolo è un

terzo della capacità dei condensatori a stella.

Volendo rifasare al valore dell’angolo di potenza, il valore della capacità nella

connessione a triangolo sarà

22 3

)(

33

1

V

tgtgP

V

QCC Y

y

Da tale espressione si evince l’opportunità di valutare la convenienza di un rifasamento a

triangolo (35).

34 nei rari casi di carico ohmico-capacitivo si inseriranno opportuni induttori. 35 Nel caso di tensione-medio alta, tuttavia, potrebbero intervenire considerazioni riguardo all’affidabilità dei

componenti tali da far preferire la configurazione a stella, che comporta sollecitazioni e perdite più contenute

negli isolanti.


III-50

III.11.3 Esempio numerico

Si consideri l’alimentazione costituita da una terna simmetrica diretta e sia e1(t)=EM cos ωt

[EM =200√2 V]; sia (Pa=15 kW,Qa=-15kVAr) un carico equilibrato e un bipolo tra le linee 1 e

3 (Pb=5kW, Qb=5kVAr).

_Valutare l’intensità di corrente i1(t)_

Si può assumere come riferimento la tensione del primo generatore stellato. Il carico (a) è

un carico ohmico-capacitivo (dal segno della potenza reattiva), il carico (b) è un bipolo

ohmico-induttivo inserito tra la linea 1 e la linea 3. Nel complesso il carico non è

equilibrato: i generatori erogano correnti non simmetriche ma sempre a somma nulla.

1I1E

+

+

+

1

2

3

0 2I

3I 3E

2E

x

3E

2E

1E

12V

13V

23V

y

0 a

aI1

aI1

bI

bb QP

a

a

Q

P

a

3

2

1 bI

b

bI

b

bI

aI1

1I 1


III-51

1017,0;8,30)cos(2)(

;8,308,304.53.30

6.193.53

225

131332

125

2

3

2

1

2

1

2

3

3

125

2

2

2

3

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

3

3

225

46sin

46cos

3

225

2525225

4.203

225

23

250

2003

25000

3

4.352252

250

2003

215000

33

4;

4

2

1

2

332003;0200

11111

1017,0

11

12

5

4sin

6cos

4cos

6sin

4sin

6sin

4cos

6cos

3

225

466

4111

22

13

22

1

611311

AItIti

eejIII

je

jj

j

j

eIeIeII

jeeIeII

AE

QP

V

PI

AE

QP

E

PI

jeEVjEte

jj

ba

j

j

j

b

j

b

j

bb

jj

a

j

aa

bbnbb

aanaa

ba

j

bb

aa


III-52

III.11.4 Dissimmetrie nelle reti trifase (*)

La presenza di carichi squilibrati e/o “monofasi”, i guasti transitori e/o ricorrenti, il

comportamento non ideale dei componenti delle linee di trasmissione, distribuzione ed

utilizzazione dell’energia elettrica, portano alla progressiva dissimmetria delle grandezze

man mano che ci si allontana dal generatore. Poiché una terna di correnti non simmetrica

può essere scomposta in terne simmetriche (diretta, inversa ed omopolare), si deve tener

conto, secondo i casi, di grandezze a sequenza inversa ed omopolare. L’uso delle

componenti simmetriche per lo studio generale delle reti trifase è riportato nel § III.12.

III.11. 5 Distorsione di tensioni e correnti (*)

Il comportamento non lineare di alcuni carichi (es. convertitori per l’elettronica di potenza)

e la presenza in rete di componenti non lineari (es. trasformatori in ferro, limitatori di

tensione, ecc) comportano notevoli inconvenienti pratici e metodologici; ad esempio, non è

più corretto l’uso del metodo simbolico. Tuttavia potrebbe essere esaminata la possibilità

della scomposizione in serie di Fourier della grandezza in esame; va ricordato il diverso

comportamento dei bipoli a memoria al variare della frequenza.

Dissimmetrie e distorsioni possono portare serie conseguenze sul funzionamento della

rete; la loro limitazione è lo sforzo degli studiosi e dei tecnici del settore nel nome della

qualità dell’energia.


III-53

III.12 – Studio dei sistemi trifase - Le Componenti Simmetriche (36) (*)

III.12.1 Introduzione

Si consideri, nel piano cartesiano, l’operatore di rotazione (di modulo unitario)

2

3

2

13

2

jej

. Si definiscono le seguenti terne simmetriche di sequenza (unitarie):

terna di sequenza uno o “diretta” ),,1(,, 3

2

3

2

20

jj

d eeS

terna di sequenza due o “ inversa” ),,1(,, 3

2

3

2

20

jj

i eeS

terna di sequenza zero o “omopolare” )1,1,1(,, 000

0 S

Risulta che le componenti di sequenza (diretta o inversa) sono le radici cubiche dell’unità

[(1++2)=1] ed inoltre

6262 31;31;3

jj

eej

; (III.12.1)

Una terna di vettori si dice pura se la somma è nulla (i tre vettori formano una figura

chiusa ossia un triangolo). In caso contrario i vettori costituiscono una terna spuria.

Proprietà di scomposizione delle terne di vettori: è sempre possibile scomporre una terna di

vettori in una terna diretta, una inversa ed una omopolare. Posto infatti

id

id

id

AAAA

AAAA

AAAA

2

01

2

02

01

(III.12.2)

si ricava

)(3

1

)(3

1

)(3

1

32

2

1

3

2

21

3210

AAAA

AAAA

AAAA

i

d

(III.12.3)

La (3) indica anche la costruzione grafica dei primi vettori di sequenza.

Esempio numerico: posto

241

1030

1520

3

2

1

jA

jA

jA

si ha

36 Formulazione introdotta da Fortescue nel 1918


III-54

49,1319,6

45,2781,10

130

jA

jA

jA

i

d

Considerazione: per le terne pure la terna omopolare è costituita da vettori nulli. Quindi

una terna di tensioni concatenate può essere descritta da una terna diretta e da una inversa.

III.12.2 Tensioni nei sistemi trifase

Fig.II.12.2.1

Si consideri un sistema trifase. Per quanto detto, si possono calcolare le terne di sequenza

diretta e inversa di tre tensioni concatenate (fig.II.12.2.1). I primi vettori sono:

d

j

d

EeEEE

EEEEEEVVVV

63

2

21

2

13

2

322131

2

2312

313

1

3

1

3

1

(III.12.4)

(come del resto già sapevamo dalle lezioni precedenti)

i

j

i

EeEEE

EEEEEEVVVV

632

2

1

1332

2

213123

2

12

313

1

3

1

3

1

(III.12.5)

(anche questo risultato era scontato) .

Le tensioni stellate di vertici 1-2-3 hanno quindi tutte la stessa terna diretta e la stessa terna

inversa.

Le tensioni stellate non costituiscono in genere una terna pura. Se la somma delle tensioni

stellate è nulla, il centro stella si trova nel baricentro del triangolo. Quindi tutte le possibili

tensioni stellate di un sistema trifase puro 1-2-3 hanno la stessa terna diretta ed inversa; la

tensione omopolare è pari alla distanza del punto corrispondente al centro stella dal

baricentro del triangolo 1-2-3.

V23

1

2 3

V12

V31


III-55

III.12.3 Correnti nei sistemi trifase

Le correnti di linea in assenza di conduttore neutro costituiscono un sistema puro e quindi

la componente omopolare è nulla. Relazioni analoghe alle (56)-(57) legheranno i primi

vettori di sequenza diretta o inversa delle correnti di linea a quelli omologhi delle correnti

di lato.

III.12.4 Terne di impedenze

Formalmente si possono definire le componenti di sequenza diretta, inversa ed omopolare

a partire da tre operatori di impedenza

32

2

1

3

2

21

3210

3

1

3

1

3

1

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

i

d

(III.12.6)

Analogamente per le ammettenze.

Nel caso di carico equilibrato sarà diversa da zero solo la componente omopolare.

Considerando le tensioni stellate su un carico squilibrato

333222111 ;; IZEIZEIZE

si possono calcolare le componenti di sequenza delle tensioni stellate.

iddii

iiddd

iddiididid

IZIZIZEEEE

IZIZIZEEEE

IZIZIZIIIZIIIZIIIZ

IZIZIZEEEE

0032

2

1

003

2

21

00

2

03

2

0201

3322113210

)(3

1

)(3

1

3

1

)(3

1)(

3

1

(III.12.7)

Si può constatare che in genere le componenti di sequenza delle tensioni stellate sono legate a

tutte le componenti di sequenza delle correnti di linea.

Nel caso di alimentazione dissimmetrica su una stella di impedenze di ugual valore Z, si

ottiene:

ii

dd

IZE

IZE

IZE

0

0

000

In altre parole, il sistema può essere visto come la “sovrapposizione” di tre sistemi

simmetrici con impedenza Ż=Ż0. Se il sistema è puro (I0=0), anche la componente

omopolare delle tensioni stellate è zero, quindi in tal caso il centro stella del carico

corrisponde al baricentro del triangolo (scaleno) delle tensioni di alimentazione.


III-56

Applicazione 1 : Equilibratura di un carico monofase Z* sotto alimentazione simmetrica diretta

(Ei=E0=0)

I1 Z*

I2

I3

0

3

1

3

1

3

1

3

1

0

0

2

2

2

1

21

321

I

IIII

IIII

IIII

i

d

(III.12.8)

Per “riequilibrare” tale carico basta annullare la componente inversa, ossia collegare un

carico (Z1,Z2,Z3) che, sotto alimentazione diretta, assorba solo una terna inversa di correnti

pari a ii II ' . Se l’alimentazione è simmetrica diretta, le tre tensioni stellate su tale carico

(non equilibrato) potranno essere espresse attraverso lo spostamento del centro stella e

quindi saranno composte da una terna diretta (quella dei generatori) ed una omopolare.

Si riscrivano le (III.12.7) con questo obiettivo:

'

0

'

'

0

ii

iid

id

IZE

IZE

IZE

(III.12.9)

Dovendo essere Ei=0, risulta che la somma delle tre impedenze, pari a Z0/3, dev’essere

nulla. Poiché somma delle parti reali è nulla, non si può pensare a dei bipoli ohmici, ma a

dei bipoli puramente reattivi sia capacitivi che induttivi. La scelta può essere fatta in vari

modi. Ad esempio, se si pone Z1,=-jXc, Z2=Z3=jXL=-jXc/2 , si avrà

d

i

dcid EE

I

EXjZZ 0'2

Il primo vettore di sequenza diretta delle tensioni risulta in tal caso uguale (“allineato”)

alla componente omopolare, per cui risulta agevole il diagramma vettoriale.

2

1

3

Ed

Eo

E2

E3

I’i1

I’i2

I’i3


III-57

1

2

3

N=1’=2’=3’

I

1

I

2

I

3

I

o

III.12.5 Studio sistematico delle reti trifase

I consideri un sistema spurio. In tal caso il carico trifase può essere visto come un triplo-

bipolo con tre morsetti in comune (neutro), per cui si può considerare ad esempio il

modello (alimentazione con tensioni stellate alle porte)

3332321313

3232221212

3132121111

EYEYEYI

EYEYEYI

EYEYEYI

(III.12.10)

Nel collegamento comune sarà

3210 IIII (11)

Si potrà anche considerare un modello in cui le tensioni stellate vengono ricavate dalle

correnti di linea attraverso una matrice d’impedenza (inversa della matrice di

ammettenza).

Nel caso di sistema puro (Io=0) la matrice delle ammettenze è definibile ma non invertibile,

per cui la matrice di impedenza come sopra definita resta senza significato.

Si nota espressamente che il modello dell’N-bipolo, valido per le reti di bipoli, viene in

letteratura esteso anche al caso di “reti equivalenti” a sistemi, accessibili a più morsetti

fisicamente individuabili, contenenti organi in movimento. Nel modello algebrico

(III.12.10) delle “macchine rotanti” non risulta in genere verificata la “reciprocità”, ossia la

matrice delle ammettenze o delle impedenze non è simmetrica.

Per questa ragione tecnica si può anche considerare l’ipotesi che sia srrs YY .

Se si impone l’eguaglianza delle tre autoammettenze e delle ammettenze mutue 12-23-31 e

21-32-13, si possono ricavare le correnti di sequenza dalla (61)

iiii

dddd

ididid

ididid

ididid

EYEYYYIIII

EYEYYYIIII

EYEYYYEYYYYYYYYY

EEEYEEEYEEEY

EEEYEEEYEEEY

EEEYEEEYEEEY

EYEYEYEYEYEYEYEYEY

IIII

21121132

2

1

2112

2

113

2

21

0002112110333231232221131211

2

033

2

032031

2

023

2

022021

2

013

2

012011

333232131323222121313212111

3210

2

)(3

1

)(3

1

3

1

)

(3

1

)(3

1

)(3

1

( III.12.11)


III-58

Si ricavano pertanto tre reti di sequenza indipendenti (reti monofase equivalenti) da cui si

possono ricostruire le correnti e le tensioni effettive.

Le tre ammettenze prendono il nome rispettivamente di

- ammettenza alla sequenza zero (ammettenza omopolare) 0Y

- ammettenza alla sequenza diretta (ammettenza sincrona) dY

- ammettenza alla sequenza inversa (ammettenza asincrona) iY

Nel caso di reti tradizionali, valendo la reciprocità, l’ammettenza asincrona e quella

sincrona sono uguali.

Nel caso di sistemi puri (reti a neutro isolato), essendo nulla la componente omopolare delle

correnti (e di valore qualsiasi quella delle tensioni stellate), l’ammettenza omopolare è

nulla; nel caso di reti tradizionali, l’ammettenza diretta e quella inversa sono uguali alle

ammettenze equivalenti dello schema monofase elementare; i due contributi alle correnti

si ricaveranno dall’applicazione a tale schema una volta della terna diretta ed una volta

della terna inversa.

Una significativa applicazione delle reti di sequenza si ha nello studio di reti trifase in

condizioni di guasto.

III.12.6 Reti di sequenza - Determinazione delle correnti e delle tensioni di guasto

La definizione delle ammettenze ( e delle impedenze) alla sequenza diretta, inversa ed omopolare

comporta che in una rete (di sequenza) a correnti una di una certa sequenza corrispondono

tensioni della stessa sequenza.

Per ovvia estensione, si può affermare che le leggi di Kirchhoff sono soddisfatte, in una

rete simmetrica, separatamente per le singole sequenze (e per gli omologhi vettori

all’interno della stessa sequenza).

Si ha cioè in un nodo:

000 0III id

per una maglia

000 0VVV id

Si potranno quindi studiare separatamente le tre reti (monofase) di sequenza diretta, inversa ed

zero (omopolare). Le correnti della rete reale si potranno dedurre sommando le componenti

delle tre sequenze, ricordando che note le prime componenti di sequenze, le altre due sono

ricavabili con semplici operazioni.


III-59

L’uso delle reti di sequenza risulta di grande aiuto in numerosi casi di notevoli “squilibri”

come nel caso dei guasti (es. guasto traverso come un “cortocircuito” fra fase e terra o fra

fasi, guasto longitudinale quale rottura di un conduttore, ecc). A tale squilibrio

corrisponde, in generale, la presenza di tre correnti non più simmetriche, dotate dunque di

componenti inversa ed omopolare

Se la rete è ordinariamente una rete equilibrata con alimentazione simmetrica, in caso di

guasto esso potrà essere visto come “carico non simmetrico”, mentre la restante rete resta

simmetrica.

Vista dal punto di guasto, la restante rete simmetrica potrà essere studiata (“alla Thévénin

o alla Norton”)in generale a partire da tre reti monofase equivalenti simmetriche diretta

(rete equivalente “a vuoto” cioè in assenza di guasto traverso o “in cortocircuito” cioè in

assenza di guasto longitudinale); il collegamento fra le diverse reti di sequenza sarà

determinata dal particolare guasto. Se l’alimentazione è simmetrica diretta, solo nella rete

di sequenza diretta compariranno i veri generatori; le reti di sequenza inversa ed

omopolare determinano tensioni e correnti di sequenza inversa ed omopolare.

Sezione

di guasto

Rete

simmetri

ca

Rete

simmetric

a

Rete

simmetrica

equivalente

(“a vuoto”)

1

1

2

2

3

3

N

N

“rete”

del

guasto

Rete di seq

diretta

I’1

I’2

I’3

I’N

Rete di seq

inversa

Rete di seq

omopolare


III-60

Caso a) guasto traverso : guasto franco fra fase e neutro ( o terra nei sistemi TN).

In tal caso si ha

0

3

1

3

00

'''

'

'

0

''

''

1

'

3

'

2

'

1

oid

eq

dg

id

g

EEE

Z

EIIII

IIIIE

Si ha quindi che le tre reti di sequenza sono “in serie” e collegate su un cortocircuito.

Nel caso di alimentazione simmetrica diretta, la rete di sequenza diretta contiene il

generatore Ed e l’impedenza Zeq, la rete di sequenza inversa e quella di sequenza zero solo

l’impedenza Zeq.

Caso b) guasto non franco (su impedenza Zg) fra fase e neutro ( o guasto franco fase-terra nei

siatemi TT; nel guasto non franco fase-terra nei sistemi TT va considerata nell’impedenza

di guasto anche l’impedenza di terra).

In tal caso si ha

''

1

'''

'

'

0

''

''

1

'

3

'

2

''

1

3

3

1

3

0

dgoid

geq

dg

id

ggg

IZEEEE

ZZ

EIIII

IIIIIZE

Si ha quindi che le tre reti di sequenza sono “in serie” e collegate su un’impedenza pari a

tre volte l’impedenza di guasto.

E’d E’i E’o

Id= Ii= Io= Ig /3


III-61


generatore Ed e l’impedenza Zeq, la rete di sequenza inversa e quella di sequenza zero solo

l’impedenza Zeq.

Caso c) guasto franco fra due fasi .

In tal caso si ha

0

2

00

20

''

1

'

'

0

'

0

''

'

3

'

2

'

1

''''2''''2'

3

'

2

do

d

id

idd

id

eq

d

id

did

idoidoid

EEE

E

ZZ

ZEE

IIII

Z

E

ZZ

EIIIII

EEEEEEEEEE

Si ha quindi che due delle tre reti di sequenza sono collegate direttamente, la rete

omopolare è isolata e spenta.


generatore Ed e l’impedenza Zeq, la rete di sequenza inversa solo l’impedenza Zeq.

Caso d) guasto non franco fra due fasi (coincide con il caso di carico “monofase” su impedenza

Zg).

Id=- Ii= Ig

E’d

E’i

E’o

E’d E’i E’o

Id= Ii= Io= Ig /3

3Zg


III-62

In tal caso si ha

0

)()(

00

20

''

1

'

''

0

'

0

''

'

3

'

2

'

1

do

gid

idi

gid

gid

d

id

geq

d

gid

d

id

EEE

ZZZ

ZEE

ZZZ

ZZEE

IIII

ZZ

E

ZZZ

EIIIII

Si ha quindi che due delle tre reti di sequenza sono collegate tramite l’impedenza di

guasto, la rete omopolare è isolata e spenta.


generatore Ed e l’impedenza Zeq, la rete di sequenza inversa solo l’impedenza Zeq.

Caso e) guasto franco fra tre fasi .

In tal caso si ha

00

0

''

3

'

2

'

1

'''

3

'

2

'

1

0

IIII

EEEEEid

Si ha quindi che la rete di sequenza diretta e quella di sequenza inversa sono chiuse su un

cortocircuito, la rete di sequenza zero è aperta: il guasto (“equilibrato”) non determina

collegamento tra le reti di sequenza, ossia se vi sono ad esempio solo generatori di

sequenza diretta, si avranno solo correnti di sequenza diretta.

E’d

E’i

E’o

Id=- Ii= Ig


III-63

Caso f) guasto franco fra tre fasi e neutro (terra).

In tal caso si ha

0

00

''

3

'

2

'

1

'

0

'''

3

'

2

'

1

NIIII

EEEEEEid

Si ha quindi che tutte le rete di sequenza sono chiuse su un cortocircuito

E’d

E’i

E’o

E’d

E’i

E’o

Id=- Ii= Ig


III-64

Caso g) guasto tra due fasi e neutro

In tal caso si ha

00

3

10

0

'

1

'

1

'

0

'''

3

'

2

id IIII

EEEEEEid

si ha quindi che tutte le rete di sequenza sono in parallelo

Caso h) guasto longitudinale: apertura di una fase.

Nel caso di guasto di apertura si può procedere in modo duale immaginando che la rete di

guasto abbia N porte (coppie di morsetti) che, in condizioni ordinarie, sono in

cortocircuito. Pensando al teorema di Norton, si può immaginare che le reti di sequenza

derivino dalle condizioni ordinarie (“di cortocircuito”) e dalle condizioni imposte dalla

rete di guasto. Nel caso di apertura di una fase si avrà:

id IIII 0

'

1 0

Le tre reti di sequenza devono pertanto essere collegate tra loro in un nodo

Sezione

di guasto

Rete

simmetri

ca

Rete

simmetric

a

1

2

3

N

E’d

E’i

E’o

E’d E’i E’o


III-65

Caso h) guasto di apertura di due fasi.

In tal caso si ha

'

0

'

'

0

2'

'

03

21

3

0

II

II

III

II

i

d

N

Si ha una situazione analoga alla precedente, ma con un vincolo sulle fasi dei primi vettori

di sequenza diretta ed inversa.

Ovviamente se il neutro è isolato, tutte le correnti sono nulle.

III.12.7 Potenza complessa nei sistemi trifase

Si riscriva l’espressione della potenza complessa assorbita da un carico trifase sotto

alimentazione dissimmetrica, tenendo conto dei componenti simmetrici:

di

iddiiid

ddiid

idiiddid

idiiddid

idiiddid

PPP

IEIEIEIEEE

IEEEIEEE

IIIEIIIEIIIE

IIIEIIIEIIIE

IIIEIIIEIIIEIEIEIEP

0

000

22

2

0

2

0

22

0

2

0

22

0

2

00

2

0

2

0

22

00

00003

'

32

'

21

'

1

~3

~3

~3

~)1()1(3

~)1()1(3

~)1()1(3

)~~~

()~~~

()~~~

(

)~~~

()~~~

()~~~

(

)~~~

()~~~

()~~~

(~~~

dove i tre termini di potenza complessa corrispondono a termini di sequenza omopolare,

inversa e diretta (37).

III.12.8 Potenza fluttuante

La potenza fluttuante assorbita da un bipolo è una grandezza sinusoidale a pulsazione 2

e fase iniziale pari alla somma delle fasi iniziali di tensione e corrente. Essa può essere

rappresentata da un fasore

jj IeVeIVP ˆ

La potenza fluttuante assorbita da un carico trifase vale:

iddi IEIEIEIEIEIEP 333ˆ003

'

32

'

21

'

1

37

E’ da notare infatti che il coniugato di una terna diretta è una terna inversa. Si può inoltre mostrare che il

prodotto di una terna di assegnata sequenza per una terna di altra sequenza è una terna di vettori nulli.


III-66

Questa espressione mostra che condizione necessaria e sufficiente perché un sistema a

neutro isolato alimentato con tensioni simmetriche dia luogo a potenza istantanea costante

(potenza fluttuante nulla) è che dia luogo solo a correnti simmetriche della stessa sequenza

delle tensioni di alimentazione.

III.13 Reti di bipoli reattivi (*)

Si osserva che l’operatore di reattanza di un induttore ideale e quello di un condensatore

ideale sono funzioni monotone crescenti della pulsazione.

L’operatore di reattanza di un bipolo LC serie vale

CLX

1)(

Come si può controllare, anche in questo caso X è una funzione strettamente crescente

della pulsazione nell’intervallo (0,+∞): per valori tendenti a zero (dalla destra), X tende a -

∞; X tende a +∞ per valori della pulsazione tendenti a ∞; X si annulla alla pulsazione di

risonanza (serie)

LC

10

La pulsazione di risonanza costituisce uno zero per la funzione X(ω).

L’operatore di reattanza di un bipolo LC parallelo vale

LC

CL

X

1

1

)(

Come si può controllare, anche in questo caso X è una funzione strettamente crescente

della pulsazione nell’intervallo (0,+∞): per valori tendenti a zero (dalla destra), X tende a 0

per valori positivi; X tende a 0 valori negativi, per valori della pulsazione tendenti a ∞; X

non è definita (discontinuità di seconda specie) alla pulsazione di risonanza (parallela o

antirisonanza)

LC

10

assumendo valori positivi infinitamente grandi a sinistra della pulsazione di antirisonanza

ed negativi (in valore assoluto) infinitamente grandi a destra.

La pulsazione di antirisonanza costituisce un polo per la funzione X(ω).

Si può dimostrare (per induzione o attraverso il teorema di Foster38) che se si ha una

qualsiasi connessione di induttori e condensatori (bipoli reattivi) facenti capo ai morsetti

38

Per la dimostrazione si può prendere a riferimento il teorema di Cohn per le reti in regime stazionario che

stabilisce che la resistenza equivalente ai morsetti AB di una rete resistiva non decresce al variare in aumento

della resistenza di un ramo qualsiasi; poiché l’operatore di reattanza di un bipolo elementare è funzione

strettamente crescente della pulsazione, basterà applicare la regola di derivazione delle funzioni composte


III-67

A-B, l’operatore di reattanza equivalente ai morsetti A-B è funzione strettamente crescente

della pulsazione negli intervalli (aperti) tra i poli. C’è quindi, a partire da pulsazioni molto

basse fino a pulsazioni infinitamente grandi, una alternanza tra poli e zeri.

III. 14 - Circuiti magneticamente accoppiati in regime sinusoidale

Si è visto nel § II.20 che l’accoppiamento magnetico tra due circuiti di coefficienti di

autoinduzione L1, L2 e mutua induzione M è valutato tramite il coefficiente di

accoppiamento magnetico k=M/√ L1L2. Per k=±1, l’accoppiamento si dice perfetto: l’energia

magnetica è nulla (il campo magnetico è nullo in tutto lo spazio) anche se le correnti non sono

nulle, ma nel rapporto │ i1/i2│= √L2 /L1.

Due circuiti accoppiati possono essere studiati in regime sinusoidale con il modello del

doppio bipolo, matrice Z

2

1

2212

2111

LjMj

MjLjZ

ILjIMjV

IMjILjV

Nel caso di accoppiamento perfetto, il doppio bipolo è equivalente ad un trasformatore

ideale con un induttore L1 [L2] in parallelo sulla prima [seconda] porta. Tale doppio bipolo

è equivalente quindi in genere ad un trasformatore di tensione e non è trasparente alla

potenza reattiva; per quanto riguarda le correnti, rispetto ad un trasformatore ideale, è

presente la corrente a vuoto alla prima [seconda] porta. Tale corrente a vuoto è nulla se alla

seconda [prima] porta è collegato un bipolo cortocircuito: in tal caso il doppio bipolo si

comporta come un trasformatore di corrente, ma ambedue le tensioni sono nulle.

L’intensità della corrente a vuoto è tanto più trascurabile (rispetto ad i1 ed i2 ) quanto più

grande è la reattanza ωL1 rispetto al modulo di Z1eq=a2Zu

Se l’accoppiamento non è perfetto si può considerare la scomposizione (a valori non

negativi) L1=L1‘+L1” e L2= L2‘ + L2“ tali che tra L1 “ e L2“ vi sia la condizione di

accoppiamento perfetto. Una delle due induttanze L’ può essere scelta ad arbitrio (ad

esempio nulla). Quindi la scomposizione ha un grado di libertà.

Un doppio bipolo circuito accoppiato è in genere del secondo ordine; nel caso di

accoppiamento perfetto è del primo ordine. Il trasformatore ideale è di ordine zero.

Vedere anche il § IV.1.

(in realtà occorrerà anche considerare che in una rete reattiva, alimentata da un solo generatore, le correnti

sono in fase o in opposizione).


III-68

III.15 Dinamica nelle reti lineari : studio nel dominio del tempo - £-trasformata (*)

III.15.1 Sistema fondamentale – Dati iniziali

Si è precedentemente osservato che il sistema fondamentale per una rete lineare di l lati

consta di l equazioni topologiche (sempre algebriche) e di l equazioni caratteristiche di cui

n=nL+nC+nM*+2nM equazioni differenziali relative a nL ed nc induttori e condensatori

indipendenti, nonché a nM* doppi bipoli ad accoppiamento magnetico perfetto ed a nM

doppi bipoli ad accoppiamento magnetico non perfetto.

Nel caso di sistema lineare a coefficienti costanti, la soluzione è nota a meno di n costanti

arbitrarie, che andranno valutate in base al teorema di unicità di Cauchy, cioè in base alla

determinazione del valore della funzione e delle sue (n-1) derivate.

Considerato lo zero come istante di riferimento, considerato un intervallo infinitesimo (0-

ε,0+ε) nell’intorno dello zero si indicherà con f(0-) ed f(0+) il limite sinistro e destro, per

ε→0, della funzione f(t) nel punto zero.

III.15.2 Condizioni iniziali -Determinazione delle costanti arbitrarie

Per ricavare le condizioni iniziali della funzione (in genere non si tratta di una funzione a

memoria) si considera la scrittura (foto) del sistema all’istante 0+.

In tale istante sono incognite quasi tutti i valori tranne quelli delle n funzioni di stato, note

dallo 0-.Inoltre sono incogniti i valori allo 0+ delle n derivate che compaiono nelle

caratteristiche dinamiche. In definitiva si hanno n equazioni ai valori (algebrici) delle (l-n)

grandezze e delle n derivate allo 0+. Il sistema è determinato e quindi si è in grado di

conoscere allo 0+:

- i valori delle n grandezze di stato;

- i valori delle l-n grandezze non di stato

- i valori delle n derivate prime delle grandezze di stato.

Se occorre conoscere le derivate prime delle grandezze non di stato o le derivate seconde

delle grandezze di stato, basta considerare il sistema di 2l equazioni ottenuto derivando

una ad una le equazioni del sistema fondamentale.

In questo sistema derivato, letto allo 0+, si conoscono le derivate delle grandezze di stato

dal ragionamento precedente e quindi si può conoscere allo 0+:

- i valori delle derivate delle l-n grandezze non di stato

- i valori delle n derivate seconde delle grandezze di stato.

Tale ragionamento può essere ripetuto fino a conoscere il valore iniziale della derivata di

ordine (n-1).


III-69

La suddetta formulazione può essere espressa direttamente in forma “circuitale”. Lo

schema elettrico corrisponde infatti al sistema fondamentale e può essere letto in ogni

istante, in particolare allo 0+.

La “foto” del sistema allo 0+ vede quindi i valori delle funzioni note (in genere i

generatori) valutate allo 0+ ed i valori delle grandezze di stato note in quanto continue

dallo 0-.

Per il principio di sostituzione, si possono quindi inserire al posto dei condensatori

generatori di tensione v(0-), al posto degli induttori, generatori di corrente.

La rete in tal modo diventa “resistiva” e ad essa possono essere applicate tutte le proprietà

delle reti lineari. Possono essere quindi ricavate tutte le grandezze della rete allo (0+).

Restano altresì determinate i valori iniziali delle derivate prime delle grandezze di stato.

Al sistema fondamentale “derivato” corrisponde lo schema “derivato” con gli stessi bipoli

(generatori e resistori), con tensioni e correnti “derivate”; i valori delle derivate per i

generatori sono noti dal primo sistema. Possono quindi essere ricavate le altre grandezze

derivate.

Si procede in tal modo qualunque sia l’ordine del sistema.

III.15.3 Reti di ordine superiore - Determinazione delle frequenze naturali e

dell’integrale particolare

Il principio di sostituzione ci permette di “truccare” la foto del sistema non solo allo 0+

(per la determinazione delle costanti arbitrarie), ma in qualsiasi istante t, sostituendo ai

condensatori un generatore di tensione vc(t) e agli induttori un generatore di corrente iL(t).

La rete diventa in questo modo resistiva e possono essere facilmente valutate, con gli

ordinari metodi:

a) le intensità di corrente ic(t) nei condensatori;

b) le tensioni vL(t) sugli induttori.

Queste grandezze risulteranno quindi in relazione algebrica con le grandezze dei

“generatori”, in particolare con le vc(t) e le iL(t); le relazioni differenziali potranno essere

quindi organizzate come segue:

)()()()()(

)()()()()(

321

321

txbtibtvbdt

diLtv

txatiatvadt

dvCti

gLcL

L

gLc

c

c

dove sono indicate le costanti di proporzionalità dei singoli contributi dovuti ai generatori

noti [indicati genericamente con xg(t)] e ai generatori fittizi corrispondenti ai condensatori

ed agli induttori. Da notare che dalle relazioni del tipo (α) si possono esprimere le correnti

negli induttori in funzione delle tensioni sui condensatori e della loro derivata prima:


III-70

)()(

1)( 31

2

txadt

dvCtva

ati g

ccL

La sostituzione, nelle equazioni del tipo (β) di una relazione di questo tipo e della sua

derivata

dt

dxa

dt

vdC

dt

dva

adt

di gccL32

2

1

2

1

porta ad equazioni differenziali nelle sole vc ;in un circuito con una sola L ed una sola C,

ad una equazione del secondo ordine in vc

dt

dx

LC

Latx

LC

abbatv

LC

abba

dt

dv

LC

CbLa

dt

vd

txbtxadt

dvCtva

abtvb

dt

dxa

dt

vdC

dt

dva

aL

g

gccc

ggc

cc

gcc

33232121221

2

2

331

2

2132

2

1

2

)()(

)()()(1

)(1

L’integrale particolare, nella vc, può essere valutato a partire dal secondo membro di

quest’ultima equazione, con gli ordinari metodi dell’Analisi matematica; si ricorda che, nel

caso di regime stazionario o sinusoidale, tale integrale può essere valutato per vie più

brevi (es. con il metodo simbolico).

Per quanto riguarda le frequenze naturali, esse possono essere ricavate dalla equazione

algebrica associata all’omogenea delle (α)-(β), ossia

)'(0)()(

)'(0)()(

21

21

tibtvbdt

diL

tiatvadt

dvC

LcL

Lc

c

LC

abba

LC

)CbLa(

LC

)CbLa(

abba)CbLa(CLA

bLb

aaCA

,2121

2

212121

212121

2

21

21

22

0

N.B. Occorre ricordare che, nei circuiti dissipativi, tali radici devono risultare negative o a

parte reale negativa.

I coefficienti della matrice A possono essere ricavate per via “circuitale”. Infatti nella

rete “fotografata” all’istante t generico si può sostituire al condensatore un generatore di

tensione ed all’induttore un generatore di corrente; una volta spenti i generatori “veri”

(equazioni “omogenee”), si ha


III-71

0)(

2

0)(

1

0)(

2

0)(

1

;

;

tvL

L

tic

L

tvL

c

tic

c

CL

CL

i

vCb

v

vb

i

iCa

v

ia

I coefficienti suddetti possono essere considerati parametri ibridi, facilmente calcolabili

(sulla rete “resistiva associata”):

a1 è la conduttanza a vuoto (induttore sostituito da un “aperto”) vista ai morsetti del

condensatore

b1 è la resistenza di cortocircuito (condensatore sostituito da un “corto circuito”) vista ai

morsetti dell’induttore;

a2 è un fattore di partizione (di cortocircuito) della intensità di corrente nel condensatore

rispetto all’intensità di corrente nell’induttore;

b2 è un fattore di partizione di tensione (a vuoto) della tensione condensatore rispetto alla

tensione sull’induttore.

In generale, in presenza di nc condensatori indipendenti e di nL induttori indipendenti, le

(α’)-(β’) e la matrice A potranno essere così riscritte

)"(n......k)t(ib)t(vbdt

diL

)"(n......k)t(ia)t(vadt

dvC

L

n

j

LjL,k

n

i

cic,kLk

k

c

n

j

LjL,k

n

i

cic,kck

k

L

j

c

i

L

j

c

i

10

10

11

11

.

bL....bb....bb

............................

b....bLb....bb

a....aaC....aa

............................

a....aa....aCa

a....aa....aaC

A

LnLLLcnLLL

Lncn

Lncccncccc

Lncn

Lncn

L,nnL,nc,nc,nc,n

L,L,c,c,c,

L,nL,nc,nnc,nc,n

L,L,c,c,c,

L,L,c,c,c,

121

121

121

121

121

111111

222222

111111

Il numero di righe e di colonne di questa matrice è pari al numero degli induttori e dei

condensatori indipendenti. I coefficienti corrispondono a parametri ibridi quali quelli

prima elencati.

Le frequenze naturali sono gli autovalori di questa matrice.


III-72

III.15.4 Risposte canoniche delle reti lineari (*)

L’esame di una grandezza di risposta y(t) (tensione o intensità di corrente in un ramo) ad

una grandezza di ingresso o forzamento x(t) (es. generatore di tensione o di corrente) può

essere condotta su una rete che abbia le seguenti proprietà:

a) sia tempo-invariante, ossia non si verificano variazioni nella topologia della rete o

nel valore dei parametri caratteristici [ se la rete è tempo-variante, occorrerà

restringere l’esame della dinamica in ogni intervallo in cui la rete sia tempo-

invariante ];

b) sia lineare, ossia costituita da bipoli la cui caratteristica risponda a requisiti di

linearità; se una rete è costituita da bipoli fondamentali resistori, induttori

(inizialmente scarichi) e condensatori (inizialmente scarichi), la rete è lineare;

c) sia passiva, ossia vi sia solo un generatore (ingresso); se vi sono più generatori (più

ingressi), la risposta potrà valutarsi dalla somma dei contributi legati ai singoli

ingressi, se la rete è lineare.

Nei casi suddetti la risposta prende il nome di evoluzione forzata: essa dipenderà dalla

topologia della rete e dal forzamento. Se vi sono più forzamenti, l’evoluzione forzata sarà

pari alla somma dei contributi dei singoli forzamenti.

Nel caso di reti non a riposo nell’istante iniziale di osservazione della dinamica e

sottoposte a forzamento nullo, la risposta prende il nome di evoluzione libera.

Se la rete non è a riposo, essa non è lineare; infatti, nella caratteristica tensione-corrente dei

bipoli a memoria C ed L (convenzione dell’utilizzatore)

o

t

t

ccc

c

c tvdtitvdt

dvCi

1

0

1 (*)

o

t

t

LLLL

L tidtvtidt

diLv

1

0

1 (**)

occorre precisare il “valore iniziale” della variabile di stato; le relazioni suddette sono

lineari solo se tale valore è nullo.

Se la rete non è a riposo e il forzamento è nullo, si potrà tuttavia considerare, ai fini del

calcolo della evoluzione libera per t>0, la rete a riposo allo 0-, inserendo in parallelo ai

condensatori [scarichi] un generatore impulsivo di corrente di valore Qo=C Vo pari alla

carica sulle armature del condensatore per t=0 ed in serie agli induttori [scarichi] un

generatore impulsivo di tensione di valore pari al flusso iniziale ossia LIo. Tale generatore

fittizio, nullo per t<0 e per t>0, ricostruirà allo 0+ le condizioni di carica del bipolo. E’

possibile dimostrare, utilizzando le equazioni del sistema fondamentale e valutazioni

basate sul bilanciamento degli impulsi, che il generatore impulsivo di corrente [di

tensione] caricherà il solo condensatore indipendente in parallelo [induttore indipendente

in serie] e nessun altro bipolo a memoria nella rete.


III-73

In generale, quindi, se la rete non è a riposo si potrà considerare, ai soli fini della risposta

per t>0, la rete a riposo per t<0 ed aggiungere ai forzamenti ordinari tanti generatori impulsivi

fittizi quanti sono gli elementi a memoria carichi.

I contributi dei generatori impulsivi ricostruiranno l’evoluzione libera, mentre i contributi dei

forzamenti formeranno l’evoluzione forzata.

Si avrà quindi in generale che la risposta è pari alla somma dell’evoluzione libera e

dell’evoluzione forzata.

Nella caratterizzazione dinamica delle reti assumono un ruolo fondamentale sia le

soluzioni della equazione algebrica associata all’omogenea (esprimibili come frequenze

naturali k o attraverso le costanti di tempo k =-1/k, reali o complesse coniugate) sia

l’integrale particolare. Poiché le soluzioni k sono negative o a parte reale negativa nei circuiti

reali (dissipativi), l’integrale particolare può essere costituito, se individuabile, dalla

soluzione secolare (a tempo infinito) ossia dalla soluzione a regime (es. stazionario,

sinusoidale, periodico, etc). Nel caso di forzamento polinomiale, esponenziale o cisoidale

(ossia costituito da una combinazione di funzioni esponenziali, trigonometriche ed

iperboliche), la soluzione secolare sarà del tipo polinomiale, esponenziale o cisoidale; il

principio di identità applicato al sistema differenziale ci permette di valutare completamente

l’integrale particolare e quindi l’integrale completo.

Laddove il forzamento non fosse del tipo suddetto o addirittura non esprimibile

analiticamente (si pensi ad esempio ad una tensione indotta da un fulmine o, più

semplicemente, al segnale derivante da un microfono), l’evoluzione delle grandezze nella

rete potrà essere ricondotta a delle risposte “canoniche” ossia a forzamenti tipo

(“standard”).

Forzamenti-tipo fondamentali sono la sollecitazione “a gradino” e la sollecitazione “ad

impulso”. La prima sembra più “accessibile” anche dal punto di vista sperimentale, la

seconda si presenta più adatta ad una formulazione analitica compatta. Rientrano nelle

sollecitazioni-tipo gli impulsi di ogni ordine, ricavabili per derivazione successiva della

funzione a gradino, nel senso delle distribuzioni.

III.15.5 La funzione a gradino

Per una utile presentazione della funzione a gradino (che ci permetterà di interpretare

meglio la funzione impulsiva), si consideri una funzione continua e generalmente

derivabile del tipo

)(1

)()()(2

1

)(0

)(

0

000

0

0

ttper

tttpertt

ttper

ttU

Si definisce funzione a gradino di valore unitario applicato nel punto t0 la funzione

t0

U

1

t


III-74

)(lim

)(1

)(0

)( 00

0

0

0 ttU

ttper

ttper

ttU

La funzione a gradino risulta discontinua nel punto di applicazione39.

III.15.6 La funzione impulsiva

Si consideri la funzione

)(0

)()(2

1

)(0

)(

0

00

0

0

ttper

tttper

ttper

ttP

Tale funzione può essere considerata la derivata dalla funzione U.

Una proprietà notevole della funzione suddetta è la seguente

1)()(0

0

00

t

t

dtttPdtttP

Al tendere a zero di , il valore di P tende ad infinito, mentre l’integrale resta unitario.

La funzione impulsiva unitaria del 1° ordine (impulso di Dirac nell’istante t0) viene definita nel

modo seguente:

b

abatse

batsedttt

ttper

tt

),(0

),(1)(

0

)(

0

0

0

0

0

Nell’ambito della teoria delle distribuzioni, la funzione impulsiva può essere considerata

la derivata della funzione a gradino.

La funzione P può essere considerata come la differenza tra due funzioni a gradino, uno

di valore 1/2 applicato in t0- e l’altro di valore -1/2 applicato in t0+. Si può quindi

pensare di reiterare il procedimento precedente ed arrivare alla definizione di impulso del

2° ordine (doppietto, costituito da due impulsi del primo ordine “contigui” e di segno

opposto, di valore illimitato) ed alla definizione degli impulsi di ordine superiore.

III.15.7 Campionamento di una funzione

Si consideri una funzione f(t) generalmente continua e derivabile. Volendo descrivere

tale funzione in un intervallo (0,t1) si può immaginare di suddividere l’intervallo in N

sottointervalli di ampiezza = t1/N e di considerare la funzione f*(t) (di tipo “a

scaletta) di valore costante nei sottointervalli e pari al valore della funzione f(t)

nell’estremo sinistro.

39

Si è soliti assegnare alla funzione a gradino nel punto di discontinuità il valore 0,5, desunto dalla UΔ.

t0

P

1/(2

)

t


III-75

La funzione f*(t) si “compone” con funzioni “finestra” del tipo P(t-k), ma di

ampiezza pari al valore che la funzione f(t) ha nell’estremo sinistro del

sottointervallo:

N

k

kk tPftf1

)()()(*

Per N, 0 e f*(t)f(t). Pertanto si può concludere che la funzione f(t) può

essere descritta, nell’intervallo suddetto, attraverso infiniti “campioni” f() “filtrati”

da impulsi di Dirac (40):

1

0

)()(

t

dttftf

III.15.8 Risposta forzata (integrale di convoluzione)

Considerata una rete lineare passiva, tempo-invariante, a riposo all'istante to,

sollecitata dal forzamento f(t) (in tensione o corrente), la risposta (tensione o corrente

di lato) yf(t) (evoluzione forzata) può quindi essere espressa, per ogni istante t>to, dalla

sovrapposizione “contemporanea” dei contributi dovuti ai termini componenti la f(t) e

quindi dall'integrale di convoluzione

dthfty

t

t

f

0

)()(

dove h(t-) è la risposta ad un forzamento impulsivo unitario centrato nell'istante

generico (to<<t)41.

40 In realtà in questa presentazione non viene considerato il campione nello zero [nell’estremo destro t1]. Per tener conto

di tale campione, occorre considerare inizialmente non il valore nell’estremo sinistro ma al centro del sottointervallo e

considerando di estendere “temporaneamente” l’intervallo (0, t1) di /2 a sinistra dello zero e a destra di t1.

L’espressione del campionamento diventa

1

0

)()(

t

dttftf .

41poiché vale il principio di causalità (ossia la risposta non può dipendere dal forzamento futuro), h(t-) è nulla per t>t1 e

l'integrale di convoluzione può essere riscritto come dthfty f

)()(

t1

f*(t)

f(t)

1

k k+

1


III-76

Se la rete non è a riposo, essa può essere ricondotta ad una rete a riposo

considerando degli opportuni “forzamenti impulsivi” per la ricostruzione delle variabili di

stato. La risposta a questi forzamenti fittizi (a forzamento f(t)=0) rappresenta l’evoluzione

libera per cui, per una rete non a riposo, la risposta y(t) è la somma dell’evoluzione libera e

dell’evoluzione forzata:

)()()( tytyty liberaf .

L’uso della funzione impulsiva permette quindi:

a) di introdurre propedeuticamente generatori fittizi (impulsivi) per ricostruire “in un

attimo” lo stato di non-riposo di una rete; se si ha interesse a conoscere l’evoluzione delle

grandezze per t>0, basterà inserire in parallelo ad un condensatore C (nella realtà carico ad

una tensione Vo all’istante t=0, ma che si suppone scarico per t<0) un generatore di

corrente

)()( tCVti o (42)

ovvero basterà inserire in serie ad un induttore L (nella realtà carico ad una intensità di

corrente Io all’istante t=0, ma che si suppone scarico per t<0) un generatore di tensione

)()( tLIte o 43

b) di determinare la risposta impulsiva h(t) ad un generico forzamento f(t) applicato ad una

rete a riposo, tramite l’integrale di convoluzione.

Si vuole nel seguito riportare alcune considerazioni generali sulla h(t), che possono essere

di aiuto nelle applicazioni per la determinazione della stessa.

Seguiranno alcuni esercizi per la valutazione della risposta impulsiva basati

essenzialmente sulla osservazione che, nel sistema fondamentale, devono essere bilanciati

gli impulsi di tensione e corrente ( ossia non è possibile che in un’equazione compaia un

solo termine impulsivo); basteranno semplici considerazioni per distinguere le grandezze

impulsive da quelle non impulsive e per valutare eventuali discontinuità delle grandezze

di stato.

42 In tal modo al condensatore viene trasferita, nell’intervallo (0-,0+) una carica Qo=CVo; tale operazione (si

ripete,fittizia) è indipendente dalla presenza del resto della rete, come si potrà anche verificare dagli esercizi

esposti appresso. Si sottolinea comunque che in questa “simulazione” si perde tutta l’informazione

sull’evoluzione reale delle grandezze fino allo 0- (si consideri la rete perfettamente a riposo) ed anche

nell’intervallo infinitesimo (0-,0+), in cui le grandezze di stato raggiungono i valori effettivi. 43 In tal modo nell’induttore viene creato , nell’intervallo (0-,0+) un flusso concatenato Φ=LIo; tale operazione

(si ripete,fittizia) è indipendente dalla presenza del resto della rete, come si potrà anche verificare dagli

esercizi.


III-77

III.15.9 La risposta impulsiva di reti di ordine zero

Si consideri una rete costituita da soli resistori44. Essa è di ordine zero (nel sistema

fondamentale non vi sono relazioni differenziali).

E' immediato riconoscere che per un forzamento impulsivo f(t)=(t) unitario, ogni

risposta h(t) è impulsiva (fig.III.15.9.1); è da sottolineare che h(t)=0 per t>0, essendo la

rete senza memoria.

f(t)= (t) y(t)=h(t)=k (t)h

fig.III.15.9.1

Quindi la risposta forzata generica è la "copia modificata" attraverso il fattore di

riporto kh (dimensionale o adimensionale a seconda dei casi) (fig.III.15.9.2)

f(t) y(t)= =k f(t)h

fig.III.15.9.2

44 ed altri bipoli, n-poli o n-bipoli di ordine zero quali il trasformatore ideale.

y (t) k f(tf h

f t dt

t

( ) )

0


III-78

III.15.10 La risposta impulsiva di reti del primo ordine

Si considerano i due casi rilevanti:

a) un solo bipolo condensatore di capacità C (fig.III.15.10.1a);

b) un solo bipolo induttore di induttanza L (fig.III.15.10.1b)(45);

fig.III.15.10.1

Nel caso a) si può affermare, salvo le eccezioni di cui appresso, che l'impulso in ingresso

carica il condensatore. Infatti la rete a monte dei morsetti AB è resistiva e ad essa si può

sostituire il bipolo equivalente di Norton (fig. III.15.10.2a); l'intensità di corrente del

generatore equivalente di Norton e la tensione che si ritrova immediatamente ai capi del

condensatore valgono rispettivamente

iABcc(t)= kABN (t)

dove kABN è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di

tempo (0-,+)

45Il caso del mutuo induttore ad accoppiamento perfetto si riconduce immediatamente al caso del singolo

induttore:

v 0k

CAB

ABN

vk

C

k

CAB

ABN ABNt e e

t

CR

t

eq c

i kv

Rk

k

CRk

kAB ABN

AB

eq

ABN

ABN

eq

ABN

ABN

c

t tt

t e t e

t

CR

t

eq c


III-79

fig. III.15.10.2

Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica risposta

h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato (fig.

III.15.10.3a):

Il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto kh; esso sarà nullo se la risposta è

la tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può immaginare

"in parallelo" al condensatore (come tensione e correnti della resistenza equivalente del

bipolo equivalente di Norton); negli altri casi tale fattore si determina in una rete di ordine

zero, ottenuta sostituendo al condensatore un corto circuito (46). Il fattore kc si ottiene

invece considerando il “riporto” della tensione sul condensatore alla grandezza di uscita

prescelta (anche in questo caso il calcolo del riporto viene effettuato su una rete di ordine

zero, in cui tra l’altro il forzamento, valutato dallo 0+, è nullo per definizione)(47). Il fattore

kABN dipende invece dalla posizione del condensatore rispetto al forzamento.

a b

fig. III.15.10.3

Le tensioni e correnti della porzione di rete N" nella fig.III.15.10.4a certamente non

contengono termini impulsivi, mentre le grandezze della porzione N' sono genericamente

interessati da termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica è necessaria per

meglio determinare il comportamento della porzione N'.

46

La sostituzione con un cortocircuito è legittimata dal fatto che la tensione sul condensatore è comunque

limitata e quindi “trascurabile” rispetto alle altre tensioni impulsive presenti nella rete. 47 In altri termini, la tensione sul condensatore è la sola tensione nota, da “ripartire”.

δ(t

)

δ(t

)

C L

h k k k v kk k

Ch h c AB h

c ABNt t h e t e t e

t t t

c c c

0 0

c

t

ett

0vkkh ABch L

t

ett

0ikkh ABLh


III-80

a)

f(t)= (t)C

A

B

N' N"

risposte impulsive risposte non impulsive

b)

N"

risposte non impulsive

f(t)= (t)

N'

risposte impulsive

A BL

fig.III.15.10.4

E' tuttavia da sottolineare che vi sono casi banali e "patologici":

- se la corrente di cortocircuito iABcc(t) è nulla (perchè la tensione a vuoto ai morsetti AB è

nulla: ad es. parallelo con un cortocircuito o condensatore inserito sulla diagonale di un

ponte di Weathstone bilanciato), la rete è di ordine zero e senza memoria ( il condensatore

non si carica);

- se lo stesso condensatore è alimentato con un generatore di tensione impulsivo, il

condensatore si carica ad una tensione impulsiva, la corrente nel condensatore è

un'impulso del secondo ordine, le grandezze nella rete sono impulsive come in una rete di

ordine zero e la rete non ha memoria.

Trattasi, come si vede, di casi marginali.

In presenza di un induttore (caso b), l'impulso in ingresso carica l'induttore. Infatti la rete a

monte dei morsetti AB è resistiva e ad essa si può sostituire il bipolo equivalente di

Thévénin (fig.III.15.10.1); la tensione del generatore equivalente di Thévénin e la intensità

della corrente che si ritrova immediatamente nell'induttore valgono rispettivamente

voAB(t)= kABT (t)

iAB(0+)= kABT /L

dove kABT è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di

tempo (0-,+)

Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica risposta

h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato :

il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto kh; esso sarà nullo se la risposta è

la tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può immaginare

"in serie" dall'induttore (come la resistenza equivalente del bipolo equivalente di

ik

L

k

LAB

ABT ABTt e e

tR

L

teq

L

v k R i kk R

Lk

kAB ABT eq AB ABT

ABT eq

ABT

ABT

L

t t t t e t e

tR

L

teq

L

h k k k i kk k

Lh h L AB h

L ABTt t h e t e t e

t t t

L L L

0 0


III-81

Thévénin); negli altri casi tale fattore si determina in una rete i ordine zero, ottenuta

sostituendo all’induttore un circuito aperto. Il fattore kL si ottiene invece considerando il

“riporto” corrente dell’induttore alla grandezza di uscita prescelta (anche in questo caso il

calcolo del riporto viene effettuato su una rete di ordine zero, in cui tra l’altro il

forzamento, valutato dallo 0+, è nullo per definizione). Il fattore kABT dipende invece dalla

posizione dell’induttore rispetto al forzamento.

Le tensioni e correnti della porzione di rete N" nella fig. fig.III.15.10.4b certamente non

contengono termini impulsivi, mentre le grandezze della porzione N' sono genericamente

interessati da termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica sarebbe necessaria

per migliorare l'analisi del comportamento della porzione N'.

E' tuttavia da sottolineare che anche qui vi sono casi banali e "patologici":

- se la tensione a vuoto è nulla (perché la corrente di cortocircuito nel ramo AB è nulla: ad

es. serie con un circuito aperto o induttore inserito sulla diagonale di un ponte bilanciato),

la rete è di ordine zero e senza memoria ( l'induttore non si carica);

- se lo stesso induttore è alimentato con un generatore di corrente impulsivo, esso si carica

ad una corrente impulsiva, la tensione sull'induttore è un impulso del secondo ordine, le

grandezze nella rete sono impulsive come in una rete di ordine zero e la rete non ha

memoria.

III.15.11 La risposta impulsiva di reti di ordine superiore

Per le reti del secondo ordine si possono considerare i seguenti casi fondamentali:

a) reti con due condensatori C1 e C2;

b) reti con due induttori L1 ed L2;

c) reti resistive con un accoppiamento magnetico non perfetto M;

d) reti con un induttore ed un condensatore.

Nei primi due casi non si considereranno i casi di bipoli in serie o parallelo, in quanto si

rientrerebbe in problemi del primo ordine.

Nel caso a) si consideri il caso fondamentale di forzamento impulsivo di corrente Qo(t) su

C1 (fig.III.15.11.1). In tal caso C1 si carica istantaneamente alla tensione di valore Qo/C1,

mentre C2 non si carica in quanto le correnti nella rete N” non possono essere impulsive.

La tensione su C2 resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche per il caso

del tipo d) descritto dalla fig.III.15.11.2; in questo vaso infatti, non potendo essere

impulsive neanche le tensioni in N”, non si può dar luogo ad una brusca variazione della

corrente nell’induttore, che resta quindi continua.

Nel caso b) si consideri il caso fondamentale di forzamento impulsivo in tensione o(t)

su L1 (fig.III.15.11.3). In tal caso L1 si carica istantaneamente alla corrente di valore o/L1,

mentre L2 non può caricarsi istantaneamente in quanto tutte le tensioni in N” sono

limitate. La corrente in L2 resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche per il

caso del tipo d) descritto dalla fig.III.15.11.4; in questo vaso infatti, non potendo essere


III-82

impulsive neanche correnti in N”, non si può dar luogo ad una brusca variazione della

tensione sul condensatore, che resta quindi continua.

In generale, nei casi di tipo a) [di tipo b)] occorrerà considerare se le correnti [le tensioni]

nei condensatori [sugli induttori] prodotti dai generatori impulsivi di tensione e di

corrente siano o meno impulsive. Per avere questa informazione, ricordando che le

grandezze di stato – escluso i casi patologici – possono avere nello zero al più un salto

limitato e quindi trascurabile rispetto all’impulso, basterà considerare al posto dei

condensatore [degli induttori] un generatore di tensione [di corrente] di valore trascurabile

e valutare in una rete “praticamente” resistiva la distribuzione delle correnti [delle

tensioni] relativi ai rami dove sono ubicati i suddetti generatori di valore trascurabile. Se le

correnti [le tensioni] risulteranno impulsive di valore Ak, si avranno dei corrispondenti

salti di tensione [di intensità di corrente] pari a Ak/Ck [Ak/Lk]. Tali considerazioni possono

essere estese anche a casi più complessi. Ad esempio, in fig.III.15.11.5A (in fig.III.15.11.5B è

disegnata la rete resistiva associata) l’induttore L1 si carica al valore

321

32

1

)0(1 RRR

RR

LiL

,

il condensatore C1 al valore

3211

1)0(

1 RRRCvC

,

l’induttore L2 al valore

321

2

1

)0(2 RRR

R

LiL

,

mentre il condensatore C2 non si carica nello zero perchè interessato da corrente di

intensità limitata.

I casi del tipo c) rientrano nei casi di due induttori, potendo per un accoppiamento mutuo

non perfetto considerare una rete equivalente contenente un trasformatore ideale (senza

memoria) e quattro induttanze fittizie L’1,L”1,L’2,L”2 (L1=L’1+L”1; L2=L’2+L”2) di cui una (L’1

o L’2) può essere scelta arbitrariamente mentre L”1 ed L”2 danno luogo ad una

accoppiamento perfetto (ossia ad una sottorete del primo ordine).

Si può controllare che i casi a),b),c) danno luogo a frequenze naturali (o a costanti di

tempo) reali e distinte.

Le considerazioni sopra esposte possono essere facilmente estese a reti di ordine superiore

contenenti:

a’) un numero qualsiasi di condensatori;

b’) un numero qualsiasi di induttori;

c’) un numero qualsiasi di mutui accoppiamenti ed induttori;

d’) un numero qualsiasi di condensatori, induttori e mutui accoppiamenti.

In particolare, si può notare che la configurazione di fig.3.6 “protegge” la rete N” da

impulsi di tensione, la rete di fig.3.7 protegge la rete N” da impulsi di corrente.


III-83

Considerando gli impulsi come “disturbi”, le due figure presentano un primo esempio di

“filtri”. Ovviamente il filtro va opportunamente dimensionato.

fig.III.15.11.1

fig.III.15.11.2

fig.III.15.11.3

fig.III.15.11.4

N”

C1

i=Q0δ(

t)

C2

N” i=Q0δ(t)

C1 L

N”

v=Φδ(t)

L1

C2

v=Φδ(t)

L1

L2

N”


III-84

A)

fig.III.15.11.5

B)

fig.III.15.11.6

fig.III.15.11.7

N”

L

C

i=Q0δ(t)

N”

v=Φδ(t)

L

C

+ Φδ(t) R1

R3

R2

C1

L1 L2

C2

+ Φδ(t) R1

R3

R2

C1

L1 L2

C2


III-85

III.15.12 Conclusioni dello studio nel dominio del tempo (*)

La metodologia tipica di valutazione della risposta impulsiva può essere parallelamente

riportata sia per la risposta al gradino (dove potranno essere rapidamente distinte le

grandezze discontinue da quelle continue –non solo di stato-), sia per la risposta a

sollecitazioni impulsive di ordine superiore.

La convenienza di approfondire il caso degli impulsi del primo ordine sta sia nel

considerare tali sollecitazioni di ampio interesse applicativo (basti pensare ai disturbi

transitori veloci introdotti nei circuiti elettrici -tali disturbi sono ovviamente intesi quali

ingressi indesiderati-), oppure, di converso, ai segnali digitali, che sono ingressi voluti di

breve durata e che si vuole siano riportati nella rete quali grandezze di notevole intensità

rispetto ai “rumori” di varia origine).

L’ulteriore convenienza dell’impiego delle funzioni impulsive risiede nella semplicità

delle trasformate integrali lineari quali quella £ di Laplace in cui risulta

0

1)()()(£ dtetsFt st

L’applicazione di trasformate di tale tipo al sistema fondamentale di una rete lineare lo

rende algebrico; con le debite attenzioni, si possono quindi definire in questo caso

(analogamente a quanto visto in regime sinusoidale) operatori quali impedenze ed

ammettenze e si potranno ancora applicare proprietà e teoremi fondamentali quali

sovrapposizione degli effetti ed equivalenze di bipoli attivi e passivi.

L’allievo informatico troverà nel seguito dei suoi studi la sistematica applicazione di

metodi operatoriali del tipo suddetto, che potranno avvalersi di numerosi e consolidati

algoritmi di calcolo automatico.

Ci è sembrato utile in questa sede – data anche la ristrettezza del tempo a disposizione –

insistere, per motivi di formazione, sull’analisi della risposta impulsiva nel dominio del

tempo, che consente una verifica diretta della sintesi personale dell’allievo sulla dinamica

delle reti lineari.

III.15.13 Uso della trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è un operatore lineare che fa corrispondere ad una funzione del

tempo f(t) – nulla per t<0 - una funzione di variabile complessa

js

dtetftfsF st

0

)(£)(

Il valore minimo di α, se esiste, per cui l’integrale converge è detto ascissa di convergenza.

Valgono le seguenti relazioni fondamentali


III-86

)s(G)s(F]d)t(g)(f£[)]t(g*)t(f£[

s

sen)s(costsene£

sse

!n

t£

sse£

s

!nt£

st£

s)t(U£

s)t(£

s)t('£

)t(£

)(f)s(Fsdt

df£

sFcsFctfctfc£

t

n

tsn

ts

n

n

nn

0

22

1

1

1

1

2

22112211

1

1

1

1

1

0

1

1

Le relazioni suddette sono particolarmente utili nell’analisi dei circuiti in regime dinamico

e possono costituire un utile riferimento – senza aggravio di calcoli - per

l’antitrasformazione.

E’ infatti facilmente controllabile che il sistema fondamentale di una rete lineare è £-

trasformabile se sono £-trasformabili le caratteristiche dei generatori.

Si può quindi considerare una rete simbolica alle £-trasformate; le relazioni tensioni-

correnti sono quindi ricavabili dalla risoluzione di un sistema algebrico, in cui compare,

tra i coefficienti, l’operatore s.

Si potranno applicare il principio di sostituzione, i metodi semplificati ed in genere tutti i

teoremi basati sulla linearità quali sovrapposizione, generatore equivalente, ecc.

Il legame tra un forzamento d’ingresso x e una grandezza di interesse y (uscita) per una

rete tempo-invariante, a riposo per t<0, lineare ed alimentata da un solo generatore potrà

quindi essere da un operatore formale (funzione di trasferimento)

)(

)()(

sX

sYsH

che, per quanto detto a proposito della convoluzione, risulta essere la trasformata della

risposta impulsiva.

La funzione di trasferimento risulta anche interpretabile quale operatore formale di

impedenza, ammettenza (o, in generale, immettenza), a seconda delle grandezze in esame.

L’ operatore di impedenza per un resistore vale R, quello per un induttore vale sL;

l’operatore di ammettenza per un condensatore vale sC.


III-87

Se la rete è a riposo per t<0, è pienamente soddisfatta la condizione sulla f(t) ai fini della £-

trasformazione. In tal caso la Y(s) risulta essere la trasformata dell’evoluzione forzata.

La funzione di trasferimento, data la linearità del sistema, risulta essere un rapporto di

polinomi in s, con grado del numeratore N(s) in genere inferiore al grado del

denominatore (48). L’antitrasformazione è immediata se si considerano le radici del

polinomio al denominatore (reali e distinte e/o complesse coniugate, con le loro

molteplicità) (49) .

In caso di rete non a riposo, la tensione del condensatore e l’intensità di corrente

nell’induttore, allo 0+, non potranno essere considerate nulle, quindi le relazioni

)0()()(£)(£

)0()()(£)(£

LLLL

L

cccc

c

LissLIsVdt

diLtv

CvssCVsIdt

dvCti

possono essere interpretate circuitalmente, rispettivamente, come un generatore di

corrente costante (rispetto a s) in parallelo ad un condensatore di ammettenza sC e come

un generatore di tensione costante (rispetto ad s) in serie ad un induttore di impedenza sL.

Nel dominio del tempo, questo modello corrisponde all’attivazione di corrispondenti

generatori impulsivi che istantaneamente caricano condensatori e induttori scarichi.

48

Per averne una idea, basta pensare alla regola di Kramer, per cui la risoluzione di un sistema lineare si

ottiene tramite il rapporto di due determinanti contenenti il parametro s; se i generatori “noti” sono regolari,

le loro trasformate abbassano il grado del numeratore rispetto a quello del denominatore. Se i generatori

sono impulsivi del primo ordine, la funzione di trasferimento può avere la forma

)(

)(

)(

)()(

)(

)()(

sD

sBAs

sD

ssQ

sD

sNsH

dove nel quoziente Q(s) compare il termine B se la risposta impulsiva contiene un termine impulsivo di

valore B; il coefficiente A vale L nel caso di tensione (uscita) sull’induttore di induttanza L con ingresso

impulsivo unitario in corrente; il coefficiente A è pari a C nel caso di corrente (uscita) nel condensatore di

capacità C con ingresso in tensione impulsivo. In questi due casi si è in presenza di un impulso del secondo

ordine (doppietto); come detto, in questo caso il sistema non ha memoria. In tutti gli altri casi A vale zero.

Ovviamente resta un rapporto di polinomi in cui al numeratore c’è un resto.

49 ......)!()('

)(

)()()(

)(£

)(

)(£

1"

'

' '

'

22

1

11 "

1

m

r

rm

r

k

tt

k k

k

mm

r

m rm

tBee

D

N

bassssss

sN

sD

sNkk

r


III-88

III.15.14 Esercizi sulla risposta impulsiva

a. Carica istantanea di un condensatore scarico C e di un induttore scarico L (50)

a) b)

Nel caso a) l’impulso di corrente del generatore deve essere “bilanciato” da almeno un

altro termine nell’equazione al nodo A; la corrente ik nella rete non può essere impulsiva

(escluso i casi patologici di generatore di tensione ideale o di altro condensatore in

parallelo): in tal caso infatti se la rete fosse resistivo e/o induttiva, la tensione v sarebbe

impulsiva (del primo o secondo ordine) e quindi ic sarebbe di ordine superiore e non

bilanciabile nel nodo A. Quindi ik è trascurabile (nello zero) rispetto a i e ic ; la tensione v

sul condensatore diventa:

0

0

0

0

0

0

0

0

)(111

)0( VdttCVC

idtC

dtiC

v c

Nel caso b) l’impulso di tensione del generatore deve essere “bilanciato” da almeno un

altro termine nell’equazione alla maglia; la tensione vk ai capi della rete non può essere

impulsiva (escluso i casi patologici di generatore di corrente ideale o di altro induttore in

serie): in tal caso, infatti, se la rete fosse resistiva e/o capacitiva, la corrente i sarebbe

impulsiva (del primo o secondo ordine) e quindi vL sarebbe di ordine superiore e non

bilanciabile nella maglia. Quindi vk è trascurabile (nello zero) rispetto a e e vL ; l’intensirà

di corrente nell’induttore diventa:

0

0

0

0

0

0

0

0

)(111

)0( IdttLIL

edtL

dtvL

i L

2) Nei casi non riconducibili agli schemi a) e b) di cui sopra, occorre valutare caso per caso

il bilanciamento degli impulsi; nel caso di reti non elementari, potrà essere di notevole

aiuto la considerazione che le tensione sui condensatori è limitata e quindi, nell’ambito di

un bilancio di impulsi, il condensatore può essere considerato un … “quasi” cortocircuito;

inoltre l’intensità della corrente negli induttori, per la presenza di generatori impulsivi,

potrà al più avere un salto limitato e quindi l’induttore può essere considerato un “quasi-

50

Notare che, in relazione alle fissate grandezze di stato, sui generatori “impulsivi” va applicata la

convenzione del generatore.

i(t)=CVoδ(t

) e(t)=LIoδ(t) L

i

Vk

VL

ic

ik

v C


III-89

aperto”. Se l’intensità della corrente nei “cortocircuiti” è impulsiva di valore Q, il

condensatore di capacità C si caricherà alla tensione Vo=Q/C; se la tensione ai capi degli

“aperti” è impulsiva di valore Φ, l’intensità di corrente nell’induttore di induttanza L avrà

un salto Φ/L.

b) Calcolare i1(t) – La rete è a riposo per t<0.

i2

L’espressione generale della risposta è la seguente: tt

ekektAti 21

211 )()(

I valori di λ1 e di λ2 si ricavano dall’equazione caratteristica (51); i valori di k1 e k2 si

ricavano “fotografando” la rete allo 0+ e ricavando i valori in tale istante della intensità di

corrente i1(t) e della sua derivata. Per tale “fotografia” occorre conoscere gli effetti

dell’impulso, ossia quali elementi a memoria si sono caricati allo 0+.

Con riferimento a grandezze impulsive (nello zero), i due condensatori sono assimilabili a

“cortocircuiti” e quindi i due resistori risultano in parallelo; i1 è impulsiva e carica il

condensatore al valore

2121

2

1

0

0 2121

2

1

0

0

21

2121

2

1

0

0

1

1

1

1)(

1)(11)0(

RRRRRR

R

Cdtt

RRRRRR

R

Cdt

RR

RRR

t

RR

R

Cdti

Cv

Analogamente si carica l’altro condensatore:

2121

1

2

0

0 2121

1

2

0

0

21

2121

1

1

0

0

2

2

2

1)(

1)(11)0(

RRRRRR

R

Cdtt

RRRRRR

R

Cdt

RR

RRR

t

RR

R

Cdti

Cv

51 Nel nostro caso

212121

212121

2

22112211

2,12

4

RRRRRRCC

RRRRRRCCCRRCRRCRRCRR

V1 C1 C2

V2 i1

e=Φδ(t)

R1

R

R2


III-90

La “foto” allo 0+ è la seguente

da cui

1

22

2

1

2

2121

2

2121

1

22

2121

22

1

2121

221

1

1

1

2

2

2

2

1

1

211

)(

)()(

1

)(

1

00)0(

C

RRR

C

RR

RRRRRRRRRRRR

R

CRRRRRR

RRR

C

RRRRRR

RvRRv

RR

R

RR

RRR

V

RR

RRR

Vkki

(52)

Il circuito bloccato allo 0+ per il calcolo della seconda condizione iniziale è il seguente

2121

2'

2

'

1

1

1

1

2

2'

2

2

1

1'

2211

'

1

00)0(

RRRRRR

RvRRv

RR

R

RR

RRR

V

RR

RRR

Vkki

dove

52

Se le tre resistenze hanno ugual valore R e le due capacità ugual valore C, si ha

2221212

22

4219

;0;3

1;

1;

9

2

900

CRkk

RCRCCRC

R

C

R

Rii

, con carica e scarica “simultanea” dei due

condensatori, che (solo) in questo caso risultano sottoposti sempre alla stessa tensione e quindi possono considerarsi in

parallelo. Per il calcolo della costante di tempo τ2 basterebbe quindi considerare la capacità del “parallelo” pari a 2C e la

resistenza vista dal detto parallelo, pari a 3R/2. Si ritrova quindi

2

2

13)

2

3)(2(

RCRC . L’altra costante di tempo

comparirebbe esplicitamente (k1≠0) se i due condensatori, nelle stesse condizioni, non sono inizialmente caricati a

tensioni di valore uguale.

i2

i1

V1

R1 R

R2

V2

V’1

R1 R

R2

V’

2 i’

1


III-91

2

11

1

2

2

212122

2'

2

1

22

2

1

2

212111

1'

1

)(

)(

)0(0

)(

)(

)0(0

C

RRR

C

RR

RRRRRRCC

iv

C

RRR

C

RR

RRRRRRCC

iv

==========================================================

c) Calcolare le gradezze di stato allo 0+ – La rete è a riposo per t<0.

La corrente nell’induttore è limitata, quindi quel ramo può considerarsi “aperto”. Il

condensatore si carica al valore

211

0

0 211

0

0

1

1

1

1)(11)0(

RRCdt

RR

t

Cdti

Cv

Tuttavia anche la tensione sull’”aperto” è impulsiva, a causa della corrente impulsiva su

R1; quindi l’induttore si carica al valore

21

1

0

0 21

1

0

0

11

0

0

1)(111)0(

RR

R

Ldt

RR

tR

LdtiR

Ldtv

Li LL

R2

L i1

V1

e=Φδ(t)

C1

R1

R

iL vL


III-92

d) Il circuito RLM

Si consideri la dinamica di una rete contenente un doppio bipolo mutuo induttore (fig.

RLM1) con alimentazione in tensione. Quanto visto a suo tempo per tale doppio bipolo in

regime sinusoidale, utilizzando anche il doppio bipolo trasformatore ideale, può essere

facilmente esteso al dominio del tempo, ricordando che il trasformatore ideale è di tipo

adinamico (di ordine zero).

Fig. RLM1

Si ha infatti, nel caso di accoppiamento perfetto (Fig. RLM2), detto a il rapporto di

trasformazione del trasformatore ideale e considerando l’intensità io della corrente a vuoto

primaria

o

oo

o

MiiLa

M

dt

diLi

a

iM

dt

diLiiM

dt

d

dt

diL

dt

diMv

aMiiaMLdt

daMiaiMiL

dt

daiMiL

dt

d

dt

diM

dt

diLv

iiiai

i

av

v

122202

220

'

12

21

2

11111

'

11121

11

'

11

2

'

1

2

1

)()(

)(

;;1

;1

Ponendo2

1

LM

ML

a si ha

dt

diLva

Midt

d

aMidt

d

v

v o

o

o

11

2

1 ;

e quindi la rete di fig Fig. RLM1 (sempre nell’ipotesi di accoppiamento perfetto) si può

ricondurre allo schema di fig. Fig. RLM3.

Fig. RLM2

L1, L2 ,M

Ru

+

E(t)

R1

1

1’

2

2’

a

i1

v1

i’1

i2

io

V2

-E

e(t)

E


III-93

Fig.RLM3

In assenza di altri bipoli a memoria, la rete è del primo ordine. La variabile di stato,

continua nei casi ordinari di grandezze limitate, è la corrente io, combinazione delle

correnti al primario e al secondario, misurabile direttamente solo a secondario aperto.

Un esempio: si supponga (fig.RLM1) che la tensione del generatore sia pari a (-E) per t<0 e

pari a (+E) per t>0. Si valuti l’intensità di corrente i1(t). Si avrà

tL

R

u

u

tL

R

tL

R

uu

tL

R

tL

R

uu

u

ut

L

R

ttoo

eRaR

ERaiti

Ra

Re

R

Etititi

eRRa

ER

Ra

tvtie

R

ER

dt

diLtv

eR

Eti

R

E

R

Eik

RaRdoveRR

RRR

R

Eekti

R

E

R

vtEtiti

R

Eiii

tper

R

E

R

vtei

dt

diLtvt

1

1

11

1

*

1

'

12

2

*

1

0

'

11

*

1

22

1'

1

*

1

011

*

1

0

1

01

2'

'

1

'

1

1

*

10

11

110

1

1

11

11

11

*2)(

*2121)()()(

*2)()(;

*2)(

21)(;2

)0(

*;)(

)()()(;)0()0()0(

0

)(;0)(0

Nel caso di accoppiamento non perfetto, si potrà sempre ricondurci al caso

dell’accoppiamento perfetto “spacchettando” i coefficienti di autoinduzione. Si avrà

"

2

"

1

2"

2

'

22

"

1

'

1121 ;;; LLMLLLLLLLLM

1

1’

2

2’

a

i1

v1

i’1

i2

io

V2 L1

+

e(t)

R1

R Ru


III-94

In tal caso la rete diventa come in fig.RLM4. Nonostante la presenza di 3 induttori, la rete è

del 2° ordine (53). Se si conoscono le correnti (misurabili) i1 ed i2, si conosce

immediatamente la io.

Fig.RLM4

53

salvo la presenza di altri bipoli a memoria indipendenti all’esterno del doppio bipolo. E’ appena il caso di notare che, comunque,

eventuali induttori esterni “in serie” (cioè interessati da i1 o da i2) non modificano l’ordine della rete.

1

1’

2

2’

a

i1

v1

i’1

i2

io

V2 L”

1

+

e(t)

R1

L’1

L’2

R

Programma del modulo di ELETTROTECNICA · laccoppiamento si dice perfetto (k=±1) e lenergia...

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