PROGRAMMA del CORSO - Dipartimento di Ingegneria...

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE LS

PROGRAMMA del CORSOPROGRAMMA del CORSO§§ TEORIA dei MECCANISMITEORIA dei MECCANISMI

–– Richiami di composizione dei meccanismiRichiami di composizione dei meccanismi–– Richiami di cinematicaRichiami di cinematica–– I sistemi articolati piani I sistemi articolati piani

(analisi e sintesi) (analisi e sintesi) e spaziali (cenni di analisi)e spaziali (cenni di analisi)

–– Meccanismi con camme (analisi e sintesi)Meccanismi con camme (analisi e sintesi)–– Ruote dentate Ruote dentate

(geometria, correzione)(geometria, correzione)

§§ TRIBOLOGIATRIBOLOGIA–– Forze di contatto tra solidiForze di contatto tra solidi–– Coppie cinematiche lubrificateCoppie cinematiche lubrificate

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LEGGI DELLLEGGI DELL’’ATTRITO ATTRITO ““SECCOSECCO””§§ Il valore del coefficiente dIl valore del coefficiente d’’attrito dipende quasi attrito dipende quasi

esclusivamente dalla natura e dallo stato delle esclusivamente dalla natura e dallo stato delle superfici superfici a contatto. a contatto.

§§ Le prime due leggi dellLe prime due leggi dell’’attrito di strisciamento fra attrito di strisciamento fra superfici asciutte superfici asciutte -- detto anche detto anche attrito coulombiano attrito coulombiano (o (o attrito attrito ““seccosecco””) ) -- affermano infatti che:affermano infatti che:–– il coefficiente dil coefficiente d’’attrito attrito èè indipendente dal carico.indipendente dal carico.–– il coefficiente dil coefficiente d’’attrito attrito èè indipendente dallindipendente dall’’area di contatto.area di contatto.

§§ Di validitDi validitàà un poun po’’ meno generale meno generale èè invece la terza legge, invece la terza legge, la quale afferma che:la quale afferma che:–– il coefficiente dil coefficiente d’’attrito attrito èè indipendente dalla velocitindipendente dalla velocitàà di di

strisciamento. strisciamento. Intern

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TEORIE DELLTEORIE DELL’’ATTRITO DI STRISCIAMENTOATTRITO DI STRISCIAMENTO§§ Le superfici delimitanti i corpi solidi non sono mai perfettamenLe superfici delimitanti i corpi solidi non sono mai perfettamente lisce, ma te lisce, ma

sono caratterizzate da una certa rugositsono caratterizzate da una certa rugositàà..

§§ Nelle zone molto limitate in cui avviene effettivamente il contaNelle zone molto limitate in cui avviene effettivamente il contatto, nascono tto, nascono pressioni molto elevate pressioni molto elevate àà ivi la sollecitazione raggiunge il carico di ivi la sollecitazione raggiunge il carico di snervamento del materiale il quale, localmente, si plasticizza.snervamento del materiale il quale, localmente, si plasticizza.

§§ In corrispondenza delle areole di contatto, a causa dell'elevataIn corrispondenza delle areole di contatto, a causa dell'elevata pressione e pressione e dell'alta temperatura dovuta al calore che si sviluppa, si verifdell'alta temperatura dovuta al calore che si sviluppa, si verificano delle icano delle microgiunzioni (delle vere e proprie saldature locali fra i due microgiunzioni (delle vere e proprie saldature locali fra i due corpi).corpi).

§§ Per produrre il moto relativo, occorre rompere tali giunzioni: lPer produrre il moto relativo, occorre rompere tali giunzioni: la resistenza a resistenza che esse oppongono alla rottura che esse oppongono alla rottura èè, appunto, una delle cause dell'attrito. , appunto, una delle cause dell'attrito. àà il valore della resistenza d'attrito T si può valutare come:il valore della resistenza d'attrito T si può valutare come:

csis ApApN =∑=

ct ART =Intern

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TEORIE DELLTEORIE DELL’’ATTRITO DI STRISCIAMENTOATTRITO DI STRISCIAMENTO§§ Il coefficiente dattrito Il coefficiente dattrito f f si può allora valutare con l'espressione:si può allora valutare con l'espressione:

§§ La teoria esposta giustifica in modo soddisfacente le leggi dellLa teoria esposta giustifica in modo soddisfacente le leggi dell’’attrito; infatti attrito; infatti da essa risulta evidente che il valore del coefficiente dda essa risulta evidente che il valore del coefficiente d’’attrito attrito èè indipendente indipendente sia dal carico applicato, sia dallsia dal carico applicato, sia dall’’area di contatto.area di contatto.

§§ TEORIA PERFEZIONATA TEORIA PERFEZIONATA àà Se la forza che i due corpi si trasmettono ha Se la forza che i due corpi si trasmettono ha anche una componente tangenziale anche una componente tangenziale TT lo stato di plasticizzazione del lo stato di plasticizzazione del materiale viene raggiunto con valori del carico normale pimateriale viene raggiunto con valori del carico normale piùù bassi che in bassi che in assenza della assenza della TT. Ne segue che il coefficiente d'attrito risulta maggiore.. Ne segue che il coefficiente d'attrito risulta maggiore.

csis ApApN =∑=

ct ART = s

t

pR

NTf ==

pR

NTf t== ( )spp <Int

ernal

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TEORIE DELLTEORIE DELL’’ATTRITO DI STRISCIAMENTOATTRITO DI STRISCIAMENTO§§ Il perfezionamento della teoria dellIl perfezionamento della teoria dell’’adesione adesione èè applicabile essenzialmente applicabile essenzialmente

allall’’attrito fra superfici metalliche perfettamente pulite e sotto vuattrito fra superfici metalliche perfettamente pulite e sotto vuoto spinto, e oto spinto, e rende ragione del motivo per cui, in tali condizioni, il coefficrende ragione del motivo per cui, in tali condizioni, il coefficiente d'attrito può iente d'attrito può raggiungere valori molto elevati (fino a 1raggiungere valori molto elevati (fino a 1÷÷2, e anche oltre).2, e anche oltre).

§§ Il diverso valore del coefficiente d'attrito sotto vuoto spinto Il diverso valore del coefficiente d'attrito sotto vuoto spinto e in ambiente e in ambiente normale si può spiegare tenendo conto che in questo secondo casonormale si può spiegare tenendo conto che in questo secondo caso le le superfici dei corpi sono sempre ricoperte da pellicole di differsuperfici dei corpi sono sempre ricoperte da pellicole di differente natura:ente natura:

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CONDIZIONI DI LUBRIFICAZIONE LIMITECONDIZIONI DI LUBRIFICAZIONE LIMITE§§ Finora abbiamo considerato il contatto di strisciamento fra supeFinora abbiamo considerato il contatto di strisciamento fra superfici rfici

asciutte.asciutte.§§ Di solito però le superfici di contatto degli organi delle macchDi solito però le superfici di contatto degli organi delle macchine sono ine sono

lubrificate (si cerca, infatti, di evitare il contatto diretto flubrificate (si cerca, infatti, di evitare il contatto diretto fra corpi solidi, ra corpi solidi, sostituendolo con un contatto mediato solidosostituendolo con un contatto mediato solido--lubrificantelubrificante--solido).solido).–– lubrificazione perfetta: non si ha contatto diretto fra le asperlubrificazione perfetta: non si ha contatto diretto fra le asperititàà delle delle

superfici costituenti la coppiasuperfici costituenti la coppia–– lubrificazione LIMITE: lo strato di lubrificante lubrificazione LIMITE: lo strato di lubrificante èè cosi sottile da non cosi sottile da non

impedire il contatto fra le asperitimpedire il contatto fra le asperitàà delle due superfici.delle due superfici.

§§ In condizioni di lubrificazine LIMITE si ha una sensibile riduziIn condizioni di lubrificazine LIMITE si ha una sensibile riduzione del one del coefficiente di attrito di strisciamento rispetto al caso di supcoefficiente di attrito di strisciamento rispetto al caso di superfici erfici asciutte (il sottile film di lubrificante ostacola la formazioneasciutte (il sottile film di lubrificante ostacola la formazione di di microgiunzioni riducendo lmicrogiunzioni riducendo l’’ampiezza delle zone di contatto diretto e ampiezza delle zone di contatto diretto e la resistenza dei loro collegamenti).la resistenza dei loro collegamenti).

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VALORI DEL COEFFICIENTE D'ATTRITOVALORI DEL COEFFICIENTE D'ATTRITO

§§ Si tenga in ogni caso presente che il coefficiente d'attrito puòSi tenga in ogni caso presente che il coefficiente d'attrito può talvolta variare talvolta variare sensibilmente in dipendenza di circostanze quali lo stato di pulsensibilmente in dipendenza di circostanze quali lo stato di pulizia delle izia delle superfici, la temperatura, la pressione di contatto superfici, la temperatura, la pressione di contatto àà i valori riportati vanno intesi come indicativii valori riportati vanno intesi come indicativiInt

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DIPENDENZA DA ...DIPENDENZA DA ...§§ La dipendenza del coefficiente d'attrito dalla La dipendenza del coefficiente d'attrito dalla velocitvelocitàà èè in genere in genere

modesta.modesta.

§§ La dipendenza dalla La dipendenza dalla temperaturatemperatura può diventare talvolta molto può diventare talvolta molto importante, come nel caso dei freni; infatti, al di sopra di unaimportante, come nel caso dei freni; infatti, al di sopra di una certa certa temperatura critica (circa 250 temperatura critica (circa 250 °°C per la ghisa, fra i 300 e i 400 C per la ghisa, fra i 300 e i 400 °°C per C per la maggior parte degli altri materiali da guarnizione), il valorla maggior parte degli altri materiali da guarnizione), il valore del e del coefficiente d'attrito negli accoppiamenti impiegati in tali discoefficiente d'attrito negli accoppiamenti impiegati in tali dispositivi positivi subisce forti abbassamenti, con conseguente brusca diminuzione subisce forti abbassamenti, con conseguente brusca diminuzione dell'efficacia dell'azione frenante.dell'efficacia dell'azione frenante.

§§ Nelle applicazioni praticheNelle applicazioni pratiche, tenendo conto della complessit, tenendo conto della complessitàà del del fenomeno e che la velocitfenomeno e che la velocitàà di strisciamento, la pressione di contatto di strisciamento, la pressione di contatto e la temperatura (purche la temperatura (purchéé questa resti al di sotto di un valore critico questa resti al di sotto di un valore critico che, per molti lubrificanti, che, per molti lubrificanti, èè dell'ordine dei 50 dell'ordine dei 50 °°C) influiscono C) influiscono relativamente poco sul valore del coefficiente d'attrito, relativamente poco sul valore del coefficiente d'attrito, si suole di si suole di solito ammettere che il coefficiente dsolito ammettere che il coefficiente d’’attrito sia costanteattrito sia costante..Int

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DIPENDENZA DALLA VELOCITDIPENDENZA DALLA VELOCITÀÀ§§ La dipendenza del coefficiente d'attrito dalla La dipendenza del coefficiente d'attrito dalla velocitvelocitàà èè in in

genere modesta, con tendenza ad una diminuzione del genere modesta, con tendenza ad una diminuzione del valore in corrispondenza di velocitvalore in corrispondenza di velocitàà elevate.elevate.

§§ Alle Alle bassissime velocitbassissime velocitàà, fino a qualche mm/s, il , fino a qualche mm/s, il coefficiente dcoefficiente d’’attrito tende generalmente a calare attrito tende generalmente a calare allall’’aumentare della velocitaumentare della velocitàà..–– ciò, unitamente al fatto che il coefficiente dciò, unitamente al fatto che il coefficiente d’’attrito statico attrito statico èè di di

solito sensibilmente maggiore di quello cinetico, può causare solito sensibilmente maggiore di quello cinetico, può causare talvolta un avanzamento talvolta un avanzamento ««a strappia strappi»» nei moti con nei moti con strisciamento a bassa velocitstrisciamento a bassa velocitàà (STICK(STICK--SLIP). SLIP).

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STICK STICK –– SLIP SLIP §§ EsempioEsempio

0=−++ kykxTxM &&

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METODI PER RIDURRE LMETODI PER RIDURRE L’’ATTRITOATTRITO§§ Materiali Materiali ““antifrizioneantifrizione””

–– es. il politetrafluoroetilene (PTFE es. il politetrafluoroetilene (PTFE àà teflon)teflon)

§§ Lubrificanti Lubrificanti ““solidisolidi””–– pellicole di metallo tenero (es. Piombo)pellicole di metallo tenero (es. Piombo)–– grafite (ha struttura lamellare)grafite (ha struttura lamellare)–– reazioni chimiche superficialireazioni chimiche superficiali

§§ Lubrificazione perfettaLubrificazione perfetta

§§ Contatti VOLVENTIContatti VOLVENTIIntern

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CONTATTI VOLVENTICONTATTI VOLVENTI

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USURAUSURA§§ Si definisce Si definisce usurausura la perdita di la perdita di

materiale superficiale che si materiale superficiale che si verifica progressivamente sulle verifica progressivamente sulle superfici di corpi a contatto superfici di corpi a contatto soggette a moto relativo.soggette a moto relativo.

§§

§§ Il Il tasso di usuratasso di usura si può si può esprimere come volume di esprimere come volume di materiale rimosso in materiale rimosso in corrispondenza di uno corrispondenza di uno spostamento relativo unitario.spostamento relativo unitario.

§§ Pur presentandosi insieme con Pur presentandosi insieme con ll’’attrito, lattrito, l’’usura non usura non èè correlata correlata ad esso in modo semplice ed ad esso in modo semplice ed univoco: vi sono, infatti, coppie univoco: vi sono, infatti, coppie di superfici che presentano di superfici che presentano basso coefficiente dbasso coefficiente d’’attrito ed attrito ed elevato tasso di usura e elevato tasso di usura e viceversa.viceversa.

§§ Si considerano generalmente Si considerano generalmente quattro principali tipi di usura:quattro principali tipi di usura:–– usura adesivausura adesiva–– usura abrasivausura abrasiva–– usura corrosivausura corrosiva–– fatica superficialefatica superficialeInt

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USURAUSURA§§ Usura Usura ADESIVAADESIVA

–– in corrispondenza delle in corrispondenza delle asperitasperitàà a contatto sulle a contatto sulle superfici di due corpi premuti superfici di due corpi premuti uno contro l'altro si formino uno contro l'altro si formino delle microgiunzioni, che delle microgiunzioni, che durante il moto relativo dei durante il moto relativo dei due corpi si spezzano due corpi si spezzano àà ssi i verifica lverifica l’’usura (che, per il usura (che, per il meccanismo che la origina, si meccanismo che la origina, si dice adesiva).dice adesiva).

–– ÈÈ logico attendersi che il logico attendersi che il volume volume VV di materiale di materiale asportato sia proporzionale asportato sia proporzionale allall’’area effettiva di contatto area effettiva di contatto AcAce allo spostamento relativo e allo spostamento relativo ssdei due corpi.dei due corpi.

§§ IPOTESI del REYEIPOTESI del REYE

sAKV c=

cs ApN =s

pfTKs

pNKV

ss

==

attritos

LKspf

TKV '==

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USURAUSURA§§ Usura Usura ABRASIVAABRASIVA

–– èè dovuta alldovuta all’’azione di solcatura esercitata in un materiale piazione di solcatura esercitata in un materiale piùù tenero o tenero o dalle sporgenze della rugositdalle sporgenze della rugositàà superficiale del corpo accoppiato pisuperficiale del corpo accoppiato piùùduro o da particelle dure interposte fra i due corpi a contatto.duro o da particelle dure interposte fra i due corpi a contatto.

–– le particelle possono provenire dall'ambiente circostante o essele particelle possono provenire dall'ambiente circostante o essere re originate dalloriginate dall’’azione dellazione dell’’usura stessa.usura stessa.

§§ Usura Usura CORROSIVACORROSIVA–– Sulle superfici metalliche si formano degli strati di composti, Sulle superfici metalliche si formano degli strati di composti, dovuti dovuti

all'azione chimica delle sostanze presenti nellall'azione chimica delle sostanze presenti nell’’ambiente. Se queste ambiente. Se queste pellicole superficiali, a causa dello strisciamento, vengono asppellicole superficiali, a causa dello strisciamento, vengono asportate, si ortate, si riformano molto rapidamente.riformano molto rapidamente.

–– In ambiente corrosivo, lIn ambiente corrosivo, l’’azione meccanica e quella chimica possono azione meccanica e quella chimica possono esaltare reciprocamente i rispettivi effetti: gli strati superfiesaltare reciprocamente i rispettivi effetti: gli strati superficiali vengono ciali vengono continuamente rimossi e subito si riformano: si innesca cosi un continuamente rimossi e subito si riformano: si innesca cosi un meccanismo di usura che può talvolta essere molto rapida.meccanismo di usura che può talvolta essere molto rapida.Int

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USURAUSURA§§ Usura per Usura per FATICA SUPERFICIALEFATICA SUPERFICIALE

–– nel contatto fra due corpi premuti uno contro l'altro e limitatinel contatto fra due corpi premuti uno contro l'altro e limitati da superfici, da superfici, con curvatura relativa diversa da zero, la sollecitazione raggiucon curvatura relativa diversa da zero, la sollecitazione raggiunge il nge il valore massimo non sulla superficie dei corpi, ma ad una certa valore massimo non sulla superficie dei corpi, ma ad una certa profonditprofonditàà (dell'ordine di 0.1(dell'ordine di 0.1÷÷0.3mm).0.3mm).

–– Se il carico viene ripetutamente applicato e tolto, nella zona dSe il carico viene ripetutamente applicato e tolto, nella zona dove la ove la sollecitazione sollecitazione èè massima può originarsi una fessura, che può poi (anche massima può originarsi una fessura, che può poi (anche dopo milioni o miliardi di cicli di applicazione del carico) prodopo milioni o miliardi di cicli di applicazione del carico) propagarsi ed pagarsi ed estendersi fino alla superficie, con conseguente distacco di unaestendersi fino alla superficie, con conseguente distacco di una scaglia scaglia di materiale.di materiale.

–– Questo tipo di usura (pitting), Questo tipo di usura (pitting), èè tipico dei contatti di rotolamento sotto tipico dei contatti di rotolamento sotto forti pressioni, quali possono verificarsi ad esempio nei cuscinforti pressioni, quali possono verificarsi ad esempio nei cuscinetti a etti a rotolamento e nelle ruote dentate.rotolamento e nelle ruote dentate.

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PROGRAMMA del CORSOPROGRAMMA del CORSO§§ TEORIA dei MECCANISMITEORIA dei MECCANISMI

–– Richiami di composizione dei meccanismiRichiami di composizione dei meccanismi–– Richiami di cinematicaRichiami di cinematica–– I sistemi articolati piani I sistemi articolati piani

(analisi e sintesi) (analisi e sintesi) e spaziali (cenni di analisi)e spaziali (cenni di analisi)

–– Meccanismi con camme (analisi e sintesi)Meccanismi con camme (analisi e sintesi)–– Ruote dentate Ruote dentate

(geometria, correzione)(geometria, correzione)

§§ TRIBOLOGIATRIBOLOGIA–– Forze di contatto tra solidiForze di contatto tra solidi–– Coppie cinematiche lubrificateCoppie cinematiche lubrificate

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COPPIE CINEMATICHE LUBRIFICATECOPPIE CINEMATICHE LUBRIFICATE§§ LUBRIFICAZIONE PERFETTA LUBRIFICAZIONE PERFETTA àà Fra gli elementi cinematici di una coppia con contatto di striscFra gli elementi cinematici di una coppia con contatto di strisciamento iamento viene introdotto un fluido, in modo tale che al contatto direttoviene introdotto un fluido, in modo tale che al contatto diretto fra due fra due superfici asciutte venga sostituito un contatto mediato solidosuperfici asciutte venga sostituito un contatto mediato solido--fluidofluido--solido.solido.

§§ LL’’intercapedine prende il nome di intercapedine prende il nome di meatomeato..§§ Il fluido contenuto nel meato Il fluido contenuto nel meato èè comunemente un liquido, talvolta un gascomunemente un liquido, talvolta un gasàà ad esso si dad esso si dàà il nome di il nome di lubrificantelubrificante..

§§ Il lubrificante deve essere in grado di reagire alle forze normaIl lubrificante deve essere in grado di reagire alle forze normali che i due li che i due membri a contatto si trasmettono in corrispondenza della coppia membri a contatto si trasmettono in corrispondenza della coppia e, nello e, nello stesso tempo, di dare origine ad azioni tangenziali relativamentstesso tempo, di dare origine ad azioni tangenziali relativamente piccole. e piccole. Tali risultati possono essere conseguiti mediante:Tali risultati possono essere conseguiti mediante:–– una opportuna progettazione della geometria della coppiauna opportuna progettazione della geometria della coppia–– una opportuna scelta delle caratteristiche fisiche del lubrificauna opportuna scelta delle caratteristiche fisiche del lubrificante (in particolare nte (in particolare

della della viscositviscositàà).).

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LA VISCOSITLA VISCOSITÀÀ DI UN FLUIDODI UN FLUIDO§§ Nel trattare il problema della lubrificazione supporremo che il Nel trattare il problema della lubrificazione supporremo che il lubrificante sia lubrificante sia

NEWTONIANO ossia, considerati due strati adiacenti di fluido NEWTONIANO ossia, considerati due strati adiacenti di fluido –– in moto in moto LAMINARE (basso numero di Reynolds) LAMINARE (basso numero di Reynolds) –– la tensione tangenziale che si la tensione tangenziale che si trasmettono risponde alla relazione:trasmettono risponde alla relazione:

con con µµ viscositviscositàà DINAMICADINAMICA

§§ Il moto del fluido Il moto del fluido èè a regime LAMINARE se il numero di Reynolds Re della a regime LAMINARE se il numero di Reynolds Re della corrente fluida risulta sufficientemente basso.corrente fluida risulta sufficientemente basso.–– il numero di Reynolds il numero di Reynolds èè dato da:dato da:

ρρ = = massa volumica; h = altezza del meatomassa volumica; h = altezza del meato

yu

∂∂

= µτ

µρhU

=Re

§§ Nei casi pratici il moto del Nei casi pratici il moto del lubrificante lubrificante èè in genere a regime in genere a regime laminare: il numero di Reynolds laminare: il numero di Reynolds risulta infatti basso sia per i piccoli risulta infatti basso sia per i piccoli valori dello spessore di lubrificante valori dello spessore di lubrificante sia per i valori relativamente sia per i valori relativamente elevati della viscositelevati della viscositàà dei dei lubrificanti impiegati.lubrificanti impiegati.Int

ernal

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FLUIDI NEWTONIANI E NONFLUIDI NEWTONIANI E NON§§ Fluidi NEWTONIANI Fluidi NEWTONIANI

la viscositla viscositàà èè funzione solo della natura del fluido e del suo stato fisico funzione solo della natura del fluido e del suo stato fisico (ossia della temperatura e della pressione), mentre (ossia della temperatura e della pressione), mentre èè indipendente dal indipendente dal gradiente di velocitgradiente di velocitàààà gas e liquidi a basso peso molecolare, oli mineraligas e liquidi a basso peso molecolare, oli minerali

§§ Fluidi NON NEWTONIANIFluidi NON NEWTONIANIla loro viscositla loro viscositàà dipende anche dal gradiente di velocitdipende anche dal gradiente di velocitàààà grassi lubrificanti; oli multigradigrassi lubrificanti; oli multigradi

yu

∂∂

= µτ

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VISCOSITVISCOSITÀÀ DINAMICA E CINEMATICADINAMICA E CINEMATICA§§ ViscositViscositàà DINAMICADINAMICA

§§ ViscositViscositàà CINEMATICACINEMATICA

yu

∂∂

= µτ ][][

][][ 1111

22−−

−−

−−

== TLMLTL

LTLMµ

ρµ

ν =

][][

][][ 123

11−

−

−−

== TLLM

TLMν

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COPPIE CINEMATICHE LUBRIFICATECOPPIE CINEMATICHE LUBRIFICATE

§§ Fluidodinamica (idrodinamica)Fluidodinamica (idrodinamica) §§ FluidostaticaFluidostatica

§§ Per permettere al lubrificante di reagire al carico che due corpPer permettere al lubrificante di reagire al carico che due corpi a i a contatto si trasmettono occorre creare allcontatto si trasmettono occorre creare all’’interno del meato un campo interno del meato un campo di pressione superiore a quella ambiente.di pressione superiore a quella ambiente.

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Equazioni di equilibrio.Equazioni di equilibrio.

–– Consideriamo due elementi cinematici fra i quali esiste un film Consideriamo due elementi cinematici fra i quali esiste un film di di lubrificante.lubrificante.

–– Senza perdere di generalitSenza perdere di generalitàà, si suppone che uno dei membri (B) sia , si suppone che uno dei membri (B) sia fisso e che il membro mobile (A) sia limitato da una superficie fisso e che il membro mobile (A) sia limitato da una superficie piana.piana.

–– Lo spessore del meato, spesso dellLo spessore del meato, spesso dell’’ordine dei decimi o addirittura dei ordine dei decimi o addirittura dei centesimi di mm, centesimi di mm, èè molto piccolo rispetto alle altre dimensioni.molto piccolo rispetto alle altre dimensioni.àà ll’’influenza della curvatura delle superfici che delimitano il meatinfluenza della curvatura delle superfici che delimitano il meato stesso o stesso èè trascurabile e lo trascurabile e lo schema ha validitschema ha validitàà generale.generale.

–– II membro mobile trasla, con velocitII membro mobile trasla, con velocitàà UU costante, secondo lcostante, secondo l’’asse asse xx..

A

BU1=U

V2=U2=0

h = h(x,z)

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Supponiamo noti:Supponiamo noti:

–– la forma e le dimensioni del meato la forma e le dimensioni del meato –– la velocitla velocitàà del membro mobiledel membro mobile–– la viscositla viscositàà del lubrificantedel lubrificante

§§ Ci proponiamo di trovare:Ci proponiamo di trovare:–– la distribuzione della velocitla distribuzione della velocitàà del fluido entro il meato;del fluido entro il meato;–– la distribuzione della pressione entro il meato, il valore dellala distribuzione della pressione entro il meato, il valore della forza forza

risultante e la linea di azione di questa;risultante e la linea di azione di questa;–– la distribuzione delle azioni tangenziali unitarie sulla parete la distribuzione delle azioni tangenziali unitarie sulla parete del membro del membro

mobile ed il valore della loro risultante;mobile ed il valore della loro risultante;–– la portata di lubrificante necessaria per una corretta lubrificala portata di lubrificante necessaria per una corretta lubrificazione.zione.

U1=U

V2=U2=0

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Introduciamo alcune Introduciamo alcune ipotesiipotesi che permettono una decisiva che permettono una decisiva

semplificazione del problema dal punto di vista matematico semplificazione del problema dal punto di vista matematico consentendo tuttavia di mantenere una buona rispondenza consentendo tuttavia di mantenere una buona rispondenza alla realtalla realtàà fisica del modello matematico. fisica del modello matematico. In particolare poniamo che:In particolare poniamo che:–– il il motomoto del fluido entro il meato sia di tipo del fluido entro il meato sia di tipo laminarelaminare

(questa ipotesi (questa ipotesi èè giustificata sia dalla sottigliezza dello spessore giustificata sia dalla sottigliezza dello spessore del meato, sia dalldel meato, sia dall’’elevato valore della viscositelevato valore della viscositàà cinematica cinematica --rapporto fra la viscositrapporto fra la viscositàà dinamica e la densitdinamica e la densitàà -- dei comuni dei comuni lubrificanti)lubrificanti)

–– le le forze di inerziaforze di inerzia siano siano trascurabilitrascurabili rispetto alle azioni di tipo rispetto alle azioni di tipo viscoso (questa ipotesi ha le stesse giustificazioni della viscoso (questa ipotesi ha le stesse giustificazioni della precedente)precedente)

–– il il fluidofluido sia sia incomprimibileincomprimibile (ipotesi legittima nel caso di (ipotesi legittima nel caso di lubrificanti liquidi ma da abbandonare nel caso di lubrificanti lubrificanti liquidi ma da abbandonare nel caso di lubrificanti gassosi)gassosi)

–– la la viscositviscositàà del lubrificante sia del lubrificante sia costante in tutto il meatocostante in tutto il meato(tra tutte le ipotesi introdotte (tra tutte le ipotesi introdotte èè la meno attendibile; la meno attendibile; èè tanto tanto meglio giustificata quanto pimeglio giustificata quanto piùù uniforme uniforme èè la temperatura del la temperatura del lubrificante entro il meato)lubrificante entro il meato)

µρhU

=Re

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA–– il fluido riempe completamente il meatoil fluido riempe completamente il meato–– il fluido aderisce alle paretiil fluido aderisce alle paretiàà condizioni al contorno:condizioni al contorno:

A

B

U1=U

V2=U2=0

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Equilibrio di un Equilibrio di un

elemento fluido entro elemento fluido entro il meato.il meato.

A

B

U1=U

V2=U2=0Intern

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Indichiamo con:Indichiamo con:

–– pp la pressione (assoluta) normale agente su di una facciala pressione (assoluta) normale agente su di una faccia

–– ττ la tensione tangenziale agente su di una facciala tensione tangenziale agente su di una faccia–– u, v, wu, v, w le componenti della velocitle componenti della velocitàà del fluido rispettivamente del fluido rispettivamente

secondo gli assi secondo gli assi x, y, z.x, y, z.

∂∂

=u

x µτ

dx

dy

dz

∂∂

=v

y µτ

∂∂

=w

z µτ

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ OSSERVAZIONEOSSERVAZIONE

il meato il meato èè molto esteso lungo x e z ma non lungo y molto esteso lungo x e z ma non lungo y àà

yu

zu

xu

∂∂

<<∂∂

∂∂ ,

yw

zw

xw

∂∂

<<∂∂

∂∂ ,

yv

zv

xv

∂∂

<<∂∂

∂∂ ,

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Equilibrio in direzione x:Equilibrio in direzione x:

dx

dy

dz

2

2

yu

xp

∂∂

=∂∂

µ

0=

∂∂

+

∂∂

− dxdzdyy

dydzdxxp xτ

∂∂

∂∂

=∂∂

=∂∂

yu

yyxp x µ

τ

yu

x ∂∂

= µτ

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Equilibrio in direzione z:Equilibrio in direzione z:

dx

dy

dz

2

2

yw

zp

∂∂

=∂∂

µ

0=

∂∂

+

∂∂

− dxdzdyy

dxdydzzp zτ

∂∂

∂∂

=∂∂

=∂∂

yw

yyzp z µ

τ

yw

z ∂∂

= µτ

Intern

al Use

Only


LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Equilibrio in direzione y:Equilibrio in direzione y:

dx

dy

dz

0=∂∂

yp

0=

∂∂

− dxdzdyyp

Intern

al Use

Only


LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Componente di velocitComponente di velocitàà uu

212

1

2

2

2

2

21

1

1

CyCyxpu

Cyxp

yu

yu

xp

yu

xp

++∂∂

=

+∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

µ

µ

µ

µ

−+−

∂∂

=hyUhyy

xpu 1)(

21 2

µ

Intern

al Use

Only


LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Componente di velocitComponente di velocitàà ww

432

3

2

2

2

2

21

1

1

CyCyzpw

Cyzp

yw

yw

zp

yw

zp

++∂∂

=

+∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

µ

µ

µ

µ

)(21 2 hyy

zpw −

∂∂

=µ

Intern

al Use

Only


LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Componente di velocitComponente di velocitàà vv

0=∂∂

yp

0=v

Intern

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Only


LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ LL’’espressione della espressione della componente di velocitcomponente di velocitàà uu contiene:contiene:

–– un un termine linearetermine lineare in y, dovuto allin y, dovuto all’’azione di trascinamento azione di trascinamento esercitata dal membro mobile sul film di lubrificanteesercitata dal membro mobile sul film di lubrificante

–– un un termine parabolicotermine parabolico in y, proporzionale alla in y, proporzionale alla ∂∂p/p/∂∂x, dovuto alla x, dovuto alla presenza di un campo di pressione entro il meato.presenza di un campo di pressione entro il meato.

−+−

∂∂

=hyUhyy

xpu 1)(

21 2

µ

Intern

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ LL’’andamento della sovrapressione andamento della sovrapressione pp..––..ppaa entro il meato entro il meato -- come sarcome saràà

precisato in seguito precisato in seguito -- èè del tipo rappresentato in figura:del tipo rappresentato in figura:–– la la p p -- ppaa èè nulla alle estremitnulla alle estremitàà del meato (per del meato (per x = 0x = 0 e per e per x = a)x = a)–– ha un massimo in un punto di ascissa ha un massimo in un punto di ascissa x*x* ((0 < x* <a0 < x* <a))..

§§ LL’’andamento di andamento di u(y) u(y) per:per:–– x = x*x = x* èè lineare, perchlineare, perchéé in in x*x* èè ∂∂p/p/∂∂x=0x=0–– x < x* x < x* i termini a secondo membro hanno segno concordei termini a secondo membro hanno segno concorde–– x > x*x > x* i termini a secondo membro hanno segno discordei termini a secondo membro hanno segno discorde

−+−

∂∂

=hyUhyy

xpu 1)(

21 2

µ

Intern

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Componente di velocitComponente di velocitàà ww

–– Analoghe considerazioni possono essere fatte a proposito della Analoghe considerazioni possono essere fatte a proposito della ww, nella quale tuttavia manca il termine lineare (, nella quale tuttavia manca il termine lineare (dovuto alldovuto all’’azione azione di trascinamento esercitata dal membro mobile sul film di di trascinamento esercitata dal membro mobile sul film di lubrificantelubrificante))àà il lubrificante tende a sfuggire verso la periferia del meato il lubrificante tende a sfuggire verso la periferia del meato lungo llungo l’’asse asse zz sotto lsotto l’’azione della pressione.azione della pressione.

)(21 2 hyy

zpw −

∂∂=

µ

Intern

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Equazione di continuitEquazione di continuitàà..

–– Le equazioni di equilibrio non sono sufficienti a risolvere il Le equazioni di equilibrio non sono sufficienti a risolvere il problema che ci siamo proposti.problema che ci siamo proposti.

–– SarSaràà possibile pervenire ad una equazione differenziale nella possibile pervenire ad una equazione differenziale nella sola incognita sola incognita pp –– e quindi alla soluzione completa del nostro e quindi alla soluzione completa del nostro problema problema –– utilizzando altre equazioni, oltre alle equazioni di utilizzando altre equazioni, oltre alle equazioni di equilibrio, equilibrio, àà ll’’equazione di continuitequazione di continuitàà..

Intern

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Consideriamo un elemento di volume di fluido di base elementare Consideriamo un elemento di volume di fluido di base elementare

dxdz e di altezza pari alldxdz e di altezza pari all’’altezza del meato. altezza del meato. §§ Per lPer l’’ipotesi di ipotesi di incomprimibilitincomprimibilitàà del fluidodel fluido, la portata attraverso le , la portata attraverso le

facce dellfacce dell’’elemento deve essere complessivamente nullaelemento deve essere complessivamente nullaàà essendo ovviamente nulla la portata attraverso le facce a contatessendo ovviamente nulla la portata attraverso le facce a contatto to con le pareti che delimitano il meato, deve essere complessivamecon le pareti che delimitano il meato, deve essere complessivamente nte nulla la portata attraverso le rimanenti quattro facce dellnulla la portata attraverso le rimanenti quattro facce dell’’elemento.elemento.

§§ Se indichiamo con Se indichiamo con qqxx, , qqzz le le portate in volume portate in volume per unitper unitàà di larghezzadi larghezza (m(m22/s) attraverso le facce /s) attraverso le facce normali rispettivamente agli assi x e z, si ha:normali rispettivamente agli assi x e z, si ha:

0=

∂∂

+−

∂∂

+−+ dxdzz

qqdzdxx

qqdxqdzq xz

zxzx

0=∂

∂+

∂∂

zq

xq zxInt

ernal

Use O

nly


LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Equazione di continuitEquazione di continuitàà::

§§ Per definizione di portata, valgono le:Per definizione di portata, valgono le:

§§ che introdotte nelle:che introdotte nelle:

§§ forniscono:forniscono:

0=∂

∂+

∂∂

zq

xq zx

∫=h

x udyq0

∫=h

z wdyq0

−+−

∂∂

=hyUhyy

xpu 1)(

21 2

µ

)(21 2 hyy

zpw −

∂∂

=µ

3

3

121

2121

hzpq

hUhxpq

z

x

∂∂

−=

+∂∂

−=

µ

µ

Intern

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LUBRIFICAZIONE IDRODINAMICALUBRIFICAZIONE IDRODINAMICA§§ Equazione di continuitEquazione di continuitàà::

§§ Equazione di Reynolds:Equazione di Reynolds:

0=∂

∂+

∂∂

zq

xq zx

xhUh

zp

zh

xp

x ∂∂

=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

µ633

3

3

121

2121

hzpq

hUhxpq

z

x

∂∂

−=

+∂∂

−=

µ

µ

Intern

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EQUAZIONE DI REYNOLDSEQUAZIONE DI REYNOLDS§§ LL’’equazione diequazione di Reynolds Reynolds non ammette soluzione generale, ma si non ammette soluzione generale, ma si

può risolvere con procedimenti particolari per diverse configurapuò risolvere con procedimenti particolari per diverse configurazioni zioni di meato.di meato.

§§ Vale la pena di notare che se fosse Vale la pena di notare che se fosse h = costanteh = costante àà

§§ Questa Questa èè unun’’equazione di Laplace la cui soluzione, quando siano noti equazione di Laplace la cui soluzione, quando siano noti i valori della variabile i valori della variabile pp sul contorno (problema di Dirichlet), sul contorno (problema di Dirichlet), èè unica.unica.

§§ PoichPoichéé la la pp sul contorno sul contorno èè costante e uguale a costante e uguale a ppaa, lo , lo èè anche entro il anche entro il campo di validitcampo di validitàà, cio, cioèè in tutti i punti del meatoin tutti i punti del meatoàà affincaffinchhéé la coppia lubrificata sia in grado di reagire alle forze la coppia lubrificata sia in grado di reagire alle forze normali ad essa applicate, deve essere normali ad essa applicate, deve essere ∂∂h/h/∂∂x x ≠≠00..

xhUh

zp

zh

xp

x ∂∂

=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

µ633

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

zp

xp

Intern

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MODELLO SEMPLIFICATO: MODELLO SEMPLIFICATO: ““CASO PIANOCASO PIANO””§§ IPOTESIIPOTESI

–– il meato sia molto allungato nel senso dellil meato sia molto allungato nel senso dell’’asse asse zz–– il meato sia cilindrico con generatrici ortogonali al piano (x,yil meato sia cilindrico con generatrici ortogonali al piano (x,y))àà h = h(x)h = h(x)

§§ Di conseguenza:Di conseguenza:–– p = p(x)p = p(x) la pressione la pressione èè funzione solamente della variabile xfunzione solamente della variabile x

non ci sono cadute di presione ai bordi in znon ci sono cadute di presione ai bordi in z–– w = 0w = 0 non si hanno fughe in direzione znon si hanno fughe in direzione z–– u = u(x, y)u = u(x, y)

§§ Le soluzioni che troveremo potranno essere adattate allo studio Le soluzioni che troveremo potranno essere adattate allo studio di di casi pratici mediante l'introduzione di coefficienti correttivi casi pratici mediante l'introduzione di coefficienti correttivi di di provenienza teorica o sperimentale.provenienza teorica o sperimentale.

dxdhUh

dxdp

dxd

µ63 =

Intern

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““CASO PIANOCASO PIANO””: DISTRIBUZIONE delle PRESSIONI: DISTRIBUZIONE delle PRESSIONI

dxdhUh

dxdp

dxd

µ63 =

dxhCdx

hUdp 32

6+=

µ '6)(0

30

2 ChdxC

hdxUxp

xx

++= ∫∫µ

06)(0

30

2 =+=−= ∫∫aa

a hdxC

hdxUpaxp µ

apChdxC

hdxUxp =++== ∫∫ '6)0(

0

03

0

02µ

*66

03

02

hU

hdxhdx

UC a

a

µµ −=−=

∫

∫

−=− ∫∫

xx

a hdxh

hdxUpxp

03

02 *6)( µInt

ernal

Use O

nly


““CASO PIANOCASO PIANO””

§§ h*h* èè il valore il valore delldell’’altezza del altezza del meato nel punto meato nel punto x*x*, , dove la pressione dove la pressione raggiunge il suo raggiunge il suo massimo valore.massimo valore.

h = h*h = h* ((x = x*x = x* ) ) àà ddp/dx = p/dx = 00h < h*h < h* ((x > x*x > x* ) ) àà ddp/dx > p/dx > 00h > h*h > h* ((x < x*x < x* ) ) àà ddp/dx < p/dx < 00

dxhCdx

hUdp 32

6+=

µ*66

03

02

hU

hdxhdx

UC a

a

µµ −=−=

∫

∫

−=−=

hh

hU

hhU

hU

dxdp *16*66

232

µµµ

Intern

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““CASO PIANOCASO PIANO””

§§ Per la soluzione degli integrali e per il calcolo Per la soluzione degli integrali e per il calcolo di di h*h*, , èè ovviamente necessario conoscere ovviamente necessario conoscere l'andamento di l'andamento di h(x)h(x)..

§§ Nel meato nascono effettivamente delle Nel meato nascono effettivamente delle sovrapressioni (pressioni sovrapressioni (pressioni pp--ppaa positive) solo positive) solo se esso se esso èè convergenteconvergenteàà dh/dx <dh/dx < 00

h = h*h = h* ((x = x*x = x* ) ) àà ddp/dx = p/dx = 00h < h*h < h* ((x > x*x > x* ) ) àà ddp/dx > p/dx > 00h > h*h > h* ((x < x*x < x* ) ) àà ddp/dx < p/dx < 00

−=− ∫∫

xx

a hdxh

hdxUpxp

03

02 *6)( µ

∫

∫= a

a

hdxhdx

h

03

02

*

Intern

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““CASO PIANOCASO PIANO””: FORZE RISULTANTI: FORZE RISULTANTI

§§ Risultante delle pressioni Risultante delle pressioni (per unit(per unitàà di profonditdi profonditàà in z)in z)

§§ Linea di azione della Linea di azione della risultante risultante

∫ −=a

a dxppP0

1 )(

∫ −=

+

a

a dxxppeaP0

1 )(2Int

ernal

Use O

nly


““CASO PIANOCASO PIANO””: FORZE RISULTANTI: FORZE RISULTANTI

§§ Risultante delle azioni viscoseRisultante delle azioni viscose(per unit(per unitàà di profonditdi profonditàà in z)in z)

§§ Coefficiente di attritoCoefficiente di attrito della della coppia lubrificatacoppia lubrificata

00)(

==

∂∂

=y

yx yu

µτ

−+−

∂∂

=hyUhyy

xpu 1)(

21 2

µ

hUh

dxdp

yu

y

−−=

∂∂

= µ21

0

−=

hh

hU

dxdp *16

2

µ )34()( *2

10 hh

hU

yx −−==µτ

∫ ==a

yx dxT0

01 )(τ

1

1

PTf =Int

ernal

Use O

nly


MEATO LIMITATO da PARETI PIANEMEATO LIMITATO da PARETI PIANE§§ Siamo sempre nelle ipotesi Siamo sempre nelle ipotesi

di di ““caso pianocaso piano””

§§ La La Superficie SSuperficie S22 èè piana e piana e normale al piano (x,y)normale al piano (x,y)

dxdhUh

dxdp

dxd

µ63 =

§§ LL’’equazione del meato equazione del meato èè:: xa

hhhxh 011)( −

−=

0

01

hhhm −

=

−

+=a

xamhxh 1)( 0Intern

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PARETI PIANE: ALTEZZA h*PARETI PIANE: ALTEZZA h*

0

01

hhhm −

=

−

+=a

xamhxh 1)( 0

mmh

dxh

dxh

h a

a

++

==

∫

∫212

1

1

0

03

02

*

−+==

axamhhxh )(1)(

*

0*

ammx

++

=21*Int

ernal

Use O

nly


PARETI PIANE: PRESSIONI nel MEATOPARETI PIANE: PRESSIONI nel MEATO

−=− ∫∫

xx

a hdxh

hdxUpxp

03

02 *6)( µ

),(6)( 20 a

xmkh

Uapxp aµ

=−

mmhh

++

=212 0

*

2

1)2(

1),(

−++

−

=

axmmm

ax

axm

axmk

Intern

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PARETI PIANE: PRESSIONE MASSIMAPARETI PIANE: PRESSIONE MASSIMA

),(6)( 20 a

xmkh

Uapxp aµ

=−

)2)(1(46

*)(

20

max

mmm

hUa

pxppp aa

++=

=−=−µ

ammx

++

=21*

Intern

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PARETI PIANE: RISULTANTE PRESSIONIPARETI PIANE: RISULTANTE PRESSIONI

)(6)(2

0 01 m

haUdxppP

a

a ψµ∫

=−=

+

−+=)2(

2)1log(1)( 2 mmm

mmψ

)(61

0 mPUah ψµ

=

Intern

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PARETI PIANE: AZIONI TANGENZIALIPARETI PIANE: AZIONI TANGENZIALI

)()(0 0

01 mhaUdxT

a

yx ϑµτ∫ == =

mm

mm

+−+=

26)1log(4)(ϑ

Intern

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PARETI PIANE: COEFF. DI ATTRITOPARETI PIANE: COEFF. DI ATTRITO

)()(0 0

01 mhaUdxT

a

yx ϑµτ∫ == =

)(6)(2

0 01 m

haUdxppP

a

a ψµ∫

=−=

)()(

60

1

1

mm

ah

PTf

ψϑ

==

1

0 )(6P

mUah ψµ

=

)(6)()(

)()(6

)(

11

mmm

PUm

PU

mmf

ψϑ

λ

µλ

µψ

ϑ

=

==

Intern

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PARETI PIANE: LINEA DPARETI PIANE: LINEA D’’AZIONE DI P1AZIONE DI P1

]2)1log()2[(2)2(3)1log()]1(6[)(

)(2

mmmmmmmmmm

mae

−+++−+++

=

=

ε

ε

∫ −=

+

a

a dxxppeaP0

1 )(2

Intern

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MEATO LIMITATO da PARETI PIANEMEATO LIMITATO da PARETI PIANE

)(mae ε=

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Meato limitato da pareti PIANE di lunghezza FINITAMeato limitato da pareti PIANE di lunghezza FINITA

§§ I risultati ottenuti possono essere estesi al caso di meato di I risultati ottenuti possono essere estesi al caso di meato di lunghezza finita lunghezza finita bb purchpurchèè si introducano opportuni si introducano opportuni coefficienti coefficienti correttivicorrettivi. Le differenze da rilevare sono le seguenti:. Le differenze da rilevare sono le seguenti:–– la pressione non la pressione non èè pipiùù funzione della sola x funzione della sola x àà p=p(x,z)p=p(x,z)–– si ha una componente di velocitsi ha una componente di velocitàà w in direzione zw in direzione z–– la pressione si annulla per z = la pressione si annulla per z = ±± b/2b/2–– la risultante delle pressioni la risultante delle pressioni èè inferiore rispetto al caso pianoinferiore rispetto al caso piano–– il coefficiente di attrito il coefficiente di attrito èè pipiùù elevatoelevato–– la potenza dissipata per attrito la potenza dissipata per attrito èè pipiùù elevataelevata–– ll’’altezza minima del meato altezza minima del meato èè inferiore rispetto al caso pianoinferiore rispetto al caso piano

bPP1

=ξ

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Meato limitato da pareti PIANE di lunghezza FINITAMeato limitato da pareti PIANE di lunghezza FINITA

§§ Per un esame approfondito delle coppie di lunghezza Per un esame approfondito delle coppie di lunghezza finita si rimanda a trattati specializzati che riportano, i finita si rimanda a trattati specializzati che riportano, i valori del coefficiente correttivo che permette di valutare valori del coefficiente correttivo che permette di valutare la capacitla capacitàà portante.portante.

bPP1

=ξ

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SOLUZIONI TECNICHESOLUZIONI TECNICHE§§ Cuscinetti Cuscinetti REGGISPINTAREGGISPINTA a sostentazione a sostentazione

fluidodinamica:fluidodinamica:–– pattini fissi (a)pattini fissi (a)–– pattini orientabili (b)pattini orientabili (b)

§§ Pattini fissi Pattini fissi àà pipiùù semplici ed economici; hanno prestazioni scadenti semplici ed economici; hanno prestazioni scadenti alle basse velocitalle basse velocitàà..

§§ Pattini orientabili (cuscinetti Pattini orientabili (cuscinetti MichellMichell): comportamento fluidodinamico ): comportamento fluidodinamico pipiùù soddisfacente; presentano anche il vantaggio di un miglior soddisfacente; presentano anche il vantaggio di un miglior adattamento agli errori di esecuzione e di allineamento della coadattamento agli errori di esecuzione e di allineamento della coppia.ppia.Int

ernal

Use O

nly


SOLUZIONI TECNICHESOLUZIONI TECNICHE§§ La geometria del meato La geometria del meato èè aderente a quella trattata in precedenza. aderente a quella trattata in precedenza.

La circostanza che il membro mobile abbia moto rotatorio invece La circostanza che il membro mobile abbia moto rotatorio invece che che traslatorio non porta, infatti, a differenze degne di rilievo, straslatorio non porta, infatti, a differenze degne di rilievo, se non a e non a velocitvelocitàà molto elevate, alle quali può non essere trascurabile lmolto elevate, alle quali può non essere trascurabile l’’effetto effetto della forza centrifuga. della forza centrifuga.

§§ Le formule trovate si adattano bene ai due tipi di cuscinettoLe formule trovate si adattano bene ai due tipi di cuscinettoàà in esse si potrin esse si potràà introdurre per introdurre per aa la lunghezza della porzione di arco la lunghezza della porzione di arco di circonferenza in corrispondenza del raggio medio del pattino,di circonferenza in corrispondenza del raggio medio del pattino,mentre mentre UU èè la velocitla velocitàà delldell’’elemento mobile in corrispondenza del elemento mobile in corrispondenza del raggio medio.raggio medio.

Intern

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SOLUZIONI TECNICHESOLUZIONI TECNICHE§§ Pattini Pattini FISSIFISSI

Intern

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SOLUZIONI TECNICHESOLUZIONI TECNICHE§§ Pattini Pattini ORIENTABILI ORIENTABILI

(cuscinetti(cuscinetti MichellMichell))

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SOLUZIONI TECNICHESOLUZIONI TECNICHE§§ Cuscinetti Cuscinetti PORTANTI PORTANTI

(RADIALI)(RADIALI) a a sostentazione sostentazione fluidodinamicafluidodinamica::–– Pattini come quelli visti Pattini come quelli visti

finora vengono finora vengono impiegati anche per impiegati anche per realizzare cuscinetti realizzare cuscinetti portanti.portanti.Si tratta di organi molto Si tratta di organi molto raffinati e costosi, usati raffinati e costosi, usati per sostentare rotori per sostentare rotori veloci, quando si debba veloci, quando si debba evitare il rischio di evitare il rischio di instabilitinstabilitàà per fenomeni per fenomeni fluidodinamica.fluidodinamica.Int

ernal

Use O

nly


SOLUZIONI TECNICHESOLUZIONI TECNICHE§§ Cuscinetto Michell Cuscinetto Michell

REGGISPINTA e RADIALEREGGISPINTA e RADIALE

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APPLICAZIONIAPPLICAZIONI

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Cuscinetti a PATTINI FISSICuscinetti a PATTINI FISSI§§ Pattini FISSI Pattini FISSI àà a priori a priori èè noto lnoto l’’angolo angolo ββ

§§ Per un assegnato cuscinetto, noti i valori di Per un assegnato cuscinetto, noti i valori di ββ, , µµ, U, a, P, U, a, P11, , èè possibile calcolare il valore possibile calcolare il valore della funzione della funzione φφ(m)(m)

§§ con il valore di con il valore di φφ(m)(m) si determina si determina mm§§ con con mm èè possibile calcolare il valore della possibile calcolare il valore della

ψψ(m)(m) e quindi il valore delle quindi il valore dell’’altezza minima altezza minima del meato e del coefficiente di attrito.del meato e del coefficiente di attrito.

0

01

hhhm −

=

1

0 )(6)tan(P

mUmahm ψµ

ββ ==≈

+

−+=)2(

2)1log(1)( 2 mmm

mmψ

+

−+==)2(

2)1log(6)( 12

mmm

UPm

µβφ

)(61

0 mPUah ψµ

=

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Cuscinetti a PATTINI ORIENTABILICuscinetti a PATTINI ORIENTABILI§§ I pattini sono orientabili attorno ad un perno che individua la I pattini sono orientabili attorno ad un perno che individua la linea di linea di

azione della risultante delle pressioniazione della risultante delle pressioniàà ilil valore dellvalore dell’’eccentriciteccentricitàà ee èè noto a priorinoto a prioriàà mm èè costante e assegnato per costruzionecostante e assegnato per costruzione

)(mae ε=

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Cuscinetti a PATTINI ORIENTABILICuscinetti a PATTINI ORIENTABILI§§ Valori non nulli del carico Valori non nulli del carico PP11 (cio(cioèè del coefficiente del coefficiente ψψ) )

corrispondono a valori non nulli di corrispondono a valori non nulli di εε, e, quindi, , e, quindi, delldell’’eccentriciteccentricitàà ee..

§§ I pattini oscillanti non possono venire incernierati nella mezzeI pattini oscillanti non possono venire incernierati nella mezzeria, ria, altrimenti la loro capacitaltrimenti la loro capacitàà portante sarebbe nulla.portante sarebbe nulla.

)(62

01 m

haUP ψµ

=

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Cuscinetti a PATTINI ORIENTABILICuscinetti a PATTINI ORIENTABILI§§ Non Non èè possibile, una volta posizionata la cerniera con possibile, una volta posizionata la cerniera con

e e ≠≠ 00, far funzionare il cuscinetto nei due versi di , far funzionare il cuscinetto nei due versi di rotazione, altrimenti per uno di tali versi si avrebbe rotazione, altrimenti per uno di tali versi si avrebbe eccentriciteccentricitàà negativa.negativa.

§§ La possibilitLa possibilitàà di funzionamento nei due versi di di funzionamento nei due versi di rotazione si ottiene realizzando i pattini oscillanti con rotazione si ottiene realizzando i pattini oscillanti con la superficie leggermente la superficie leggermente bombatabombata, e incernierandoli , e incernierandoli nel punto di mezzo: in tal caso si ottiene capacitnel punto di mezzo: in tal caso si ottiene capacitàà di di carico non nulla anche con eccentricitcarico non nulla anche con eccentricitàà nulla.nulla.

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Cuscinetti a PATTINI FISSI: esercizio 1Cuscinetti a PATTINI FISSI: esercizio 1§§ Si consideri un cuscinetto reggispinta a pattini Si consideri un cuscinetto reggispinta a pattini

fissi, avente le seguenti caratteristiche:fissi, avente le seguenti caratteristiche:–– Spinta assialeSpinta assiale P = 10P = 1055 NN–– Numero di pattiniNumero di pattini Z = 8Z = 8–– Raggio interno del pattinoRaggio interno del pattino R1 = 80 mmR1 = 80 mm–– Raggio esterno del pattinoRaggio esterno del pattino R2 = 160 mmR2 = 160 mm–– Inclinazione del pattinoInclinazione del pattino ββ = 10= 10--33 radrad–– Angolo apertura pattinoAngolo apertura pattino αα = 38= 38°°–– VelocitVelocitàà di rotazionedi rotazione n = 1500 rpmn = 1500 rpm–– ViscositViscositàà dinamicadinamica µµ = 5 10= 5 10--22 Pa sPa s–– RugositRugositàà superficialesuperficiale Ra = 0.8 Ra = 0.8 µµmm

§§ Calcolare:Calcolare:a)a) Altezza minima del meatoAltezza minima del meatob)b) Il coefficiente di attritoIl coefficiente di attritoc)c) La potenza dissipataLa potenza dissipata

0

01

hhhm −

=

+

−+==)2(

2)1log(6)( 12

mmm

UPm

µβφ

)(mφ

Intern

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Only


Cuscinetti a PATTINI ORIENTABILI: esercizio 2Cuscinetti a PATTINI ORIENTABILI: esercizio 2§§ Si consideri un cuscinetto reggispinta a Si consideri un cuscinetto reggispinta a

pattini orientabili (cuscinetto Michell), avente pattini orientabili (cuscinetto Michell), avente le seguenti caratteristiche:le seguenti caratteristiche:–– Spinta assialeSpinta assiale P = 10P = 1055 NN–– Numero di pattiniNumero di pattini Z = 8Z = 8–– Raggio interno del pattinoRaggio interno del pattino R1 = 80 mmR1 = 80 mm–– Raggio esterno del pattinoRaggio esterno del pattino R2 = 160 mmR2 = 160 mm–– Angolo apertura pattinoAngolo apertura pattino αα = 38= 38°°–– VelocitVelocitàà di rotazionedi rotazione n = 1500 rpmn = 1500 rpm–– ViscositViscositàà dinamicadinamica µµ = 5 10= 5 10--22 Pa sPa s–– RugositRugositàà superficialesuperficiale Ra = 0.8 Ra = 0.8 µµmm

§§ Se il fulcro di ogni pattino dista dal bordo di Se il fulcro di ogni pattino dista dal bordo di ingresso di una quantitingresso di una quantitàà pari a 0.58pari a 0.58··aa(essendo (essendo aa la larghezza del pattino in la larghezza del pattino in corrispondenza del raggio medio), calcolare:corrispondenza del raggio medio), calcolare:a)a) Altezza minima del meatoAltezza minima del meatob)b) Il coefficiente di attritoIl coefficiente di attritoc)c) La potenza dissipataLa potenza dissipata

+

−+=)2(

2)1log(1)( 2 mmm

mmψ

)(mψ

0

01

hhhm −

=

Intern

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COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA§§ Una seconda importante applicazione della teoria della Una seconda importante applicazione della teoria della

lubrificazione fluidodinamica si ha nella coppia lubrificazione fluidodinamica si ha nella coppia rotoidalerotoidale..§§ Il meato Il meato èè in questo caso compreso fra due cilindri in questo caso compreso fra due cilindri

circolari, uno cavo ed uno pieno, con assi paralleli, che in circolari, uno cavo ed uno pieno, con assi paralleli, che in un primo tempo considereremo di lunghezza infinita un primo tempo considereremo di lunghezza infinita ((““caso pianocaso piano””).).

−=−=

−−=

ϑδ

δϑδϑ

ϑϑ

cos1cos)(

cos)( 12

eeh

eRRh

)cos1()( ϑχδϑ −=hIntern

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COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA§§ Lo spessore del meato Lo spessore del meato èè molto piccolo rispetto al raggio molto piccolo rispetto al raggio

del pernodel pernoàà ll’’effetto della curvatura del meato effetto della curvatura del meato èè assolutamente assolutamente trascurabiletrascurabileàà vvalgono anche per questa coppia le relazioni a suo algono anche per questa coppia le relazioni a suo tempo trovate.tempo trovate.

§§ Infatti, tagliando la coppia secondo il raggio Infatti, tagliando la coppia secondo il raggio θθ==ππ e e rettificando il meato si ottiene:rettificando il meato si ottiene:

Intern

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COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA§§ Risulta evidente come la geometria possa ricondursi a Risulta evidente come la geometria possa ricondursi a

quella precedentemente studiata.quella precedentemente studiata.

U = U = -- ΩΩ RR11x = x = θθ RR11

pernoperno

sedesede

Intern

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COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA§§ U = U = -- ΩΩ RR11

x = x = θθ RR11 p(p(θθ==ππ) = p() = p(θθ==--ππ) ) 32

6hC

hU

dxdp

+=µ

−

Ω−=

hh

hR

ddp *

2

21 16µ

ϑ

2

2

3

2*

212

1

1

χχδ

ϑ

ϑ

π

π

π

π

+−

==

∫

∫

−

−

dh

dh

h

'*6)(0

30

22

1 Chdh

hdRxp +

−Ω−= ∫∫

ϑϑ ϑϑµ

)cos1()( ϑχδϑ −=hIntern

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COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA§§ La La dp/ddp/dθθ èè una funzione una funzione PARIPARI di di

θθ, , poichpoichéé h(h(θθ)) èè funzione funzione PARIPARI..§§ Ne discende che la pressione Ne discende che la pressione èè

una funzione una funzione DISPARIDISPARIàà assume lo stesso valore non assume lo stesso valore non soltanto in soltanto in θθ = = --ππ e e θθ = = ππ, ma , ma anche in anche in θθ = = 0.0.

')cos1)(2(

sin)cos2(6)( 222

21 CRp +

−+−Ω

=ϑχχϑϑχχ

δµ

ϑ

−

Ω−=

hh

hR

ddp *

2

21 16µ

ϑ

)cos1()( ϑχδϑ −=h

Intern

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COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA

§§ La pressione La pressione èè definita a meno di una definita a meno di una costante di integrazione costante di integrazione CC’’

§§ CC’’ può essere determinata purchpuò essere determinata purchéé si si conosca il valore della pressione per un conosca il valore della pressione per un valore di valore di θθ..

§§ Se il meato fosse messo in Se il meato fosse messo in comunicazione con lcomunicazione con l’’ambiente esterno ambiente esterno in corrispondenza di in corrispondenza di θθ = = -- θθ* * (ascissa del punto (ascissa del punto MM in cui in cui h = h*h = h*))

àà p(p(--θθ*)=p*)=paa àà p(p(--θθ*)*)--ppaa = 0= 0

e rimarrebbee rimarrebbe positiva in tutti gli altri positiva in tutti gli altri punti.punti.

')cos1)(2(

sin)cos2(6)( 222

21 CRp +

−+−Ω

=ϑχχϑϑχχ

δµ

ϑ

MM

Intern

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§§ Se il meato, invece, fosse in Se il meato, invece, fosse in comunicazione con lcomunicazione con l’’ambiente esterno in ambiente esterno in un qualunque altro punto, si avrebbe una un qualunque altro punto, si avrebbe una zona con sovrapressione zona con sovrapressione p p --ppaa negativa.negativa.àà risultato fisicamente inaccettabile.risultato fisicamente inaccettabile.

§§ In realtIn realtàà in tale zona si ha rottura del film di in tale zona si ha rottura del film di lubrificante e la zona stessa non collabora lubrificante e la zona stessa non collabora alla sostentazione del perno.alla sostentazione del perno.

§§ Anche se nelle pratiche applicazioni non Anche se nelle pratiche applicazioni non sono realizzabili cuscinetti cui corrisponda sono realizzabili cuscinetti cui corrisponda un diagramma di pressioni come quello un diagramma di pressioni come quello illustrato, può avere interesse prendere in illustrato, può avere interesse prendere in esame i risultati relativi a tale caso, che esame i risultati relativi a tale caso, che costituisce un caso limite.costituisce un caso limite.

MM

MMIntern

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== ++

S1S1

S2S2

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COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA§§ Riportiamo radialmente attorno al perno la distribuzione di presRiportiamo radialmente attorno al perno la distribuzione di pressione.sione.§§ Ai fini del calcolo della risultante delle pressioni, tale distrAi fini del calcolo della risultante delle pressioni, tale distribuzione ibuzione

equivale a quella della figura.equivale a quella della figura.

§§ Le due risultanti hanno la stessa intensitLe due risultanti hanno la stessa intensitàà e, per ragioni di simmetria, e, per ragioni di simmetria, formano angoli uguali ed opposti con il raggio formano angoli uguali ed opposti con il raggio θθ = = ππ/2/2. . àà la loro somma vettoriale la loro somma vettoriale PP11 èè diretta normalmente alla direzione di diretta normalmente alla direzione di accostamento fra perno e sua sede.accostamento fra perno e sua sede.

MM

S1S1

S2S2

P1P1

pernoperno

S1S1 S2S2

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COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA§§ La risultante La risultante PP11 costituisce la capacitcostituisce la capacitàà portante del cuscinetto ed portante del cuscinetto ed

èè equilibrata dal carico esterno (equilibrata dal carico esterno (--PP11).).§§ In condizioni reali, nota la direzione del carico esterno, la In condizioni reali, nota la direzione del carico esterno, la

direzione di accostamentodirezione di accostamento fra perno e sede forma con essa un fra perno e sede forma con essa un angolo inferiore a angolo inferiore a ππ/2 misurato a partire dalla direzione del carico /2 misurato a partire dalla direzione del carico con verso concorde con quello di rotazione.con verso concorde con quello di rotazione.

P1P1

S1S1 S2S2

-- P1P1-- P1P1Int

ernal

Use O

nly


COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA§§ Il valore di Il valore di PP11 ,del momento ,del momento MM11 necessario a mantenere in rotazione necessario a mantenere in rotazione

uniforme il perno, e del rapporto uniforme il perno, e del rapporto MM1 1 / RP/ RP11 (che possiamo indicare (che possiamo indicare come coefficiente di attrito della coppia rotoidale lubrificata)come coefficiente di attrito della coppia rotoidale lubrificata) sono:sono:

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Coppie PRISMATICA e ROTOIDALE LUBRIFICATECoppie PRISMATICA e ROTOIDALE LUBRIFICATE

§§ Coppia Coppia PRISMATICAPRISMATICA §§ Coppia Coppia ROTOIDALEROTOIDALE

( )χµ k

PRf

1

Ω=Int

ernal

Use O

nly


COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA§§ Può essere interessante Può essere interessante

osservare che la funzione:osservare che la funzione:

che compare nellche compare nell’’espressione del espressione del coefficiente di attrito, si mantiene coefficiente di attrito, si mantiene molto prossima ad uno in tutto molto prossima ad uno in tutto ll’’intervallo 0.5 intervallo 0.5 ≤≤ χχ ≤≤ 11

§§ Tale intervallo comprende i valori Tale intervallo comprende i valori di di χχ pipiùù comunemente adottati comunemente adottati nel proporzionamento dei nel proporzionamento dei cuscinetti, pertanto:cuscinetti, pertanto:

χχ

321 2+

Rf δ

≅

χχ

321 2+

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COPPIA ROTOIDALE di LUNGHEZZA FINITACOPPIA ROTOIDALE di LUNGHEZZA FINITA

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χχδ

321 2+

=R

f

δRff =*

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( )ϑχδϑ cos1)( −=hδ

χe

=

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*22a

az Q

RbQq =

Ω=

δ

δRbQQ a

a Ω=*

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δRff =*

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εδ

χ ==e

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*22a

az Q

RbQq =

Ω=

δ

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COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA§§ VERIFICAVERIFICA

–– Si parte di solito dalla Si parte di solito dalla conoscenzaconoscenza del carico del carico PP, della velocit, della velocitààangolare angolare ΩΩ, del lubrificante (viscosit, del lubrificante (viscositàà μμ) e delle dimensioni (R, ) e delle dimensioni (R, δδ).).

–– Occorre Occorre trovaretrovare: l: l’’eccentriciteccentricitàà, la portata e il coefficiente d, la portata e il coefficiente d’’attrito.attrito.

§§ Si usano diagrammi che permettono di ricavare le Si usano diagrammi che permettono di ricavare le quantitquantitàà che interessano in funzione del numero di che interessano in funzione del numero di Sommerfeld (quantitSommerfeld (quantitàà adimensionaleadimensionale))

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COPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATACOPPIA ROTOIDALE LUBRIFICATA§§ CALCOLOCALCOLO

–– Si parte di solito dalla Si parte di solito dalla conoscenzaconoscenza del carico del carico PP, della velocit, della velocitàà angolare angolare ΩΩ..–– Si fissa il rapporto Si fissa il rapporto λλ = b/2R = b/2R fra larghezza e diametro (di solito fra larghezza e diametro (di solito λλ ha valori compresi fra ha valori compresi fra

0.5 e 0.5 e 2).2).–– SSi sceglie la pressione media i sceglie la pressione media ppmm, definita come rapporto fra il carico , definita come rapporto fra il carico PP e le l’’area area 2bR; 2bR;

valori tipici di valori tipici di ppmm sono fra 1 e 3 N/mmsono fra 1 e 3 N/mm22 per cuscinetti in metallo bianco e fra 1 e 8 per cuscinetti in metallo bianco e fra 1 e 8 N/mmN/mm22 per cuscinetti in bronzo.per cuscinetti in bronzo.

–– Dai valori di Dai valori di ppmm e di e di λλ si risale subito a quelli di si risale subito a quelli di b b e die di R e R e quindi quindi PP11 = P/b.= P/b.

–– Si fissano poi il gioco radiale Si fissano poi il gioco radiale δδ ((δδ/R /R èè di solito compreso fra 1/200di solito compreso fra 1/200 e 1/1000) e la e 1/1000) e la viscositviscositàà μμ del lubrificante; questdel lubrificante; quest’’ultimo valore andrultimo valore andràà poi controllato dopo la verifica poi controllato dopo la verifica termica, data la forte dipendenza della viscosittermica, data la forte dipendenza della viscositàà dalla temperatura. dalla temperatura.

–– I diagrammi visti, oppure procedimenti analitici o numerici basaI diagrammi visti, oppure procedimenti analitici o numerici basati sulla teoria esposta, ti sulla teoria esposta, permettono di valutare l'eccentricitpermettono di valutare l'eccentricitàà relativa relativa χχ (di regola, si cerca di fare in modo che (di regola, si cerca di fare in modo che χχsia nellsia nell’’intorno di 0.7).intorno di 0.7).

–– Si calcola lo spessore minimo del meato che va Si calcola lo spessore minimo del meato che va confrontato con la rugositconfrontato con la rugositàà superficiale del perno e superficiale del perno e del cuscinetto, per assicurarsi che il contatto sia del cuscinetto, per assicurarsi che il contatto sia effettivamente mediato e non diretto. effettivamente mediato e non diretto.

–– Occorre poi calcolare la portata di lubrificante ed Occorre poi calcolare la portata di lubrificante ed effettuare infine la verifica del riscaldamento.effettuare infine la verifica del riscaldamento.Int

ernal

Use O

nly


VERIFICA TERMICAVERIFICA TERMICA§§ La viscositLa viscositàà dipende sensibilmente dalla temperatura; per i dipende sensibilmente dalla temperatura; per i

lubrificanti liquidi la viscositlubrificanti liquidi la viscositàà diminuisce molto decisamente al diminuisce molto decisamente al crescere della temperatura. crescere della temperatura.

§§ àà necessitnecessitàà di calcolare l'incremento di temperatura che un di calcolare l'incremento di temperatura che un lubrificante subisce nel passaggio attraverso la coppia lubrificlubrificante subisce nel passaggio attraverso la coppia lubrificata: il ata: il calcolo permettercalcolo permetteràà di valutare il valore medio della viscositdi valutare il valore medio della viscositàà da da inserire nei calcoli ed, eventualmente, individuerinserire nei calcoli ed, eventualmente, individueràà le soluzioni le soluzioni inaccettabili per eccessivo riscaldamento del lubrificante.inaccettabili per eccessivo riscaldamento del lubrificante.

§§ LL’’aumento di temperatura del lubrificante può essere calcolato aumento di temperatura del lubrificante può essere calcolato supponendo che tutta lsupponendo che tutta l’’energia dissipata in calore venga spesa per energia dissipata in calore venga spesa per innalzare la temperatura del lubrificanteinnalzare la temperatura del lubrificante–– ipotesi non troppo aderente alla realtipotesi non troppo aderente alla realtàà, perch, perchéé il lubrificante cede calore il lubrificante cede calore

ai corpi da esso lambiti; ai corpi da esso lambiti; –– ha il vantaggio di essere semplice e cautelativa, per cui ha il vantaggio di essere semplice e cautelativa, per cui èè comunemente comunemente

adottata. adottata. Intern

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VERIFICA TERMICAVERIFICA TERMICA§§ Se indichiamo con:Se indichiamo con:

–– QQ (m(m33/s) la portata in volume del lubrificante attraverso la coppia/s) la portata in volume del lubrificante attraverso la coppia–– ρρ (kg/m(kg/m33) la densit) la densitàà del lubrificantedel lubrificante–– cc [J/(kg [J/(kg °°K)] il suo calore specificoK)] il suo calore specifico

§§ esprimiamo esprimiamo PP in N ed in N ed UU in m/sin m/s§§ ll’’incremento di temperatura incremento di temperatura ∆∆T(T(°°C) del lubrificante C) del lubrificante èè dato dalla dato dalla

relazione: relazione:

§§ Infatti si Infatti si èè supposto che tutta lsupposto che tutta l’’energia dissipata in calore venga spesa energia dissipata in calore venga spesa per innalzare la temperatura del lubrificante, cioper innalzare la temperatura del lubrificante, cioèè::

tcQUPf ∆= ρ

ρcQUPft =∆

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VERIFICA TERMICAVERIFICA TERMICA

§§ Nel caso della coppia Nel caso della coppia rotoidalerotoidale, la portata di alimentazione e il , la portata di alimentazione e il coefficiente d'attrito si valutano con lcoefficiente d'attrito si valutano con l’’ausilio dei diagrammi visti ausilio dei diagrammi visti

§§ LL’’ncremento di temperatura del lubrificante si calcola sostituendoncremento di temperatura del lubrificante si calcola sostituendo in in luogo di luogo di UU il prodotto il prodotto ΩΩRR..

§§ In linea di massima, con i lubrificanti di piIn linea di massima, con i lubrificanti di piùù comune impiego, si può comune impiego, si può dire che la temperatura di ingresso dire che la temperatura di ingresso èè spesso compresa fra 40 e 60 spesso compresa fra 40 e 60 °°C, e che la temperatura massima di regime, calcolata sommando laC, e che la temperatura massima di regime, calcolata sommando lasovratemperatura sovratemperatura TT alla temperatura di ingresso, non deve superare alla temperatura di ingresso, non deve superare i 70i 70--90 90 °°C.C.

ρcQUPft =∆

ρcQRPft Ω

=∆

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VERIFICA TERMICAVERIFICA TERMICA

§§ Nel caso dei Nel caso dei pattinipattini::–– Caso PIANOCaso PIANO àà

se ci riferiamo alla sezione in cui la pressione se ci riferiamo alla sezione in cui la pressione èè massima:massima:

–– Caso NON PIANO Caso NON PIANO (C(Caso di meato di larghezza finita)aso di meato di larghezza finita)àà alla alla QQxx deve aggiungersi la deve aggiungersi la QQzz la quale, per valori di la quale, per valori di m m prossimi ad uno, prossimi ad uno, èè delldell’’ordine del 50% di ordine del 50% di QQxx..La somma di QLa somma di Qxx e di e di QQzz ddàà il valore di il valore di Q Q da introdurre da introdurre nella:nella:

ρcQUPft =∆

0=zq

2121 3 hUh

dxdpqx +−=

µ

bhUQ

hUq

x

x

2

2*

*

=

=

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ESERCIZIOESERCIZIO

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COPPIE CINEMATICHE LUBRIFICATECOPPIE CINEMATICHE LUBRIFICATE

§§ Fluidodinamica (idrodinamica)Fluidodinamica (idrodinamica) §§ FluidostaticaFluidostatica

§§ Per permettere al lubrificante di reagire al carico che due corpPer permettere al lubrificante di reagire al carico che due corpi a i a contatto si trasmettono occorre creare allcontatto si trasmettono occorre creare all’’interno del meato un campo interno del meato un campo di pressione superiore a quella ambiente.di pressione superiore a quella ambiente.

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LUBRIFICAZIONE FLUIDOSTATICALUBRIFICAZIONE FLUIDOSTATICAIl lubrificante Il lubrificante èè mantenuto in pressione mediante mezzi esterni.mantenuto in pressione mediante mezzi esterni.

EE’’ applicabile sia a cuscinetti applicabile sia a cuscinetti reggispintareggispinta che che portantiportanti.. EE’’ impiegabile anche quando gli elementi cinematici della coppia impiegabile anche quando gli elementi cinematici della coppia

non sono in moto relativo.non sono in moto relativo. Realizza un film di lubrificante molto rigido.Realizza un film di lubrificante molto rigido. Consente lConsente l’’impiego di lubrificanti a bassa viscositimpiego di lubrificanti a bassa viscositàà cui corrisponde cui corrisponde

un basso valore del coefficiente di attrito della coppia.un basso valore del coefficiente di attrito della coppia.

LL Richiede una elevata precisione nella realizzazione dei componenRichiede una elevata precisione nella realizzazione dei componenti.ti.LL ComplessitComplessitàà dei componenti e necessitdei componenti e necessitàà di un impianto. di un impianto.

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CUSCINETTO REGGISPINTA A SOSTENTAZIONE FLUIDOSTATICACUSCINETTO REGGISPINTA A SOSTENTAZIONE FLUIDOSTATICA

§§ CERCHIAMOCERCHIAMO–– la distribuzione della velocitla distribuzione della velocitàà

del fluido entro il meato;del fluido entro il meato;–– la distribuzione della la distribuzione della

pressione entro il meatopressione entro il meato–– il valore della pressione il valore della pressione pp11

entro il pozzettoentro il pozzetto–– il valore della pressione il valore della pressione pp00 di di

alimentazionealimentazione–– il valore della forza risultante;il valore della forza risultante;–– la portata di lubrificante con la portata di lubrificante con

la quale il cuscinetto deve la quale il cuscinetto deve essere alimentato;essere alimentato;

–– la coppia necessaria per la coppia necessaria per mantenere il cuscinetto in mantenere il cuscinetto in rotazione uniforme.rotazione uniforme.

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§§ EquilibrioEquilibrio

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§§ La pressione massima La pressione massima si ha per si ha per r = R1 r = R1 e si e si ottiene dalla:ottiene dalla:

§§ Entro il pozzetto la Entro il pozzetto la pressione assume il pressione assume il valore valore p1p1

rR

hQpp a

23 ln6

πµ

=−

1

231 ln6

RR

hQpp a π

µ=−

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CUSCINETTO PORTANTE A SOSTENTAZIONE FLUIDOSTATICACUSCINETTO PORTANTE A SOSTENTAZIONE FLUIDOSTATICA

§§ Ro Ro èè la resistenza del piccolo condotto di la resistenza del piccolo condotto di alimentazione di ciascun pozzettoalimentazione di ciascun pozzetto

§§ Ri Ri èè la resistenza dal pozzetto i all'esternola resistenza dal pozzetto i all'esterno§§ pi pi èè la pressione nel pozzetto ila pressione nel pozzetto iInt

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VISCOSIMETRO ROTANTEVISCOSIMETRO ROTANTE

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PROGRAMMA del CORSO - Dipartimento di Ingegneria...

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