Università degli Studi di Bologna II Facoltà di Ingegneria...

Università degli Studi di Bologna II Facoltà di Ingegneria con sede a Cesena

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica

Dispense del Corso di DINAMICA DELLE MACCHINE E DEI SISTEMI MECCANICI LM

Anno Accademico 2010-2011

prof. Alessandro RIVOLA Tel. 0543 374441 e-mail: [email protected]

INDICE

1. Introduzione. 2. Dinamica delle macchine e degli impianti. 3. Fondamenti di meccanica delle vibrazioni. 4. Sistemi ad un grado di libertà. 5. Sistemi a due gradi di libertà. 6. Sistemi a molti gradi di libertà. 7. Sistemi continui. 8. Misure di vibrazione e analisi modale. 9. Modellazione a parametri concentrati. 10. Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink. 11. Introduzione al metodo degli elementi finiti. Esercitazioni.

Parte 1 – Introduzione

Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 1 – 1

PARTE 1 – Introduzione MACCHINA Una macchina è un sistema di organi disposti in modo tale da compiere, muovendosi sotto l'azione di forze opportunamente applicate, lavoro di interesse industriale. In sostanza una macchina ha il compito di trasformare una energia, in essa entrante, di un certo tipo, in energia da essa uscente, in generale di tipo diverso: ad esempio di trasformare energia meccanica in altre forme di energia (come avviene nelle macchine operatrici, nelle macchine generatrici elettriche), oppure di trasformare in energia meccanica energia di tipo generalmente diverso (come nelle macchine motrici), oppure anche di trasformare energia meccanica in energia meccanica, variandone i fattori (come avviene ad esempio nei riduttori di velocità). Possiamo dunque dire che una macchina ha la duplice funzione di trasmettere movimento e di trasmettere forze. DINAMICA DELLE MACCHINE In conseguenza del movimento impresso agli organi delle macchine, nascono in questi delle azioni d’inerzia, alle quali sono connessi molti importanti problemi. Quelli che possono venire studiati prescindendo, almeno in linea di principio, dalla deformabilità dei corpi, vengono studiati nella Dinamica delle macchine: si tratta dei problemi relativi al calcolo e al bilanciamento delle azioni di inerzia, all'accoppiamento fra motore e macchina utilizzatrice, al funzionamento delle macchine e degli impianti a regime periodico, ai transitori meccanici. I problemi strettamente connessi con la deformabilità elastica dei corpi vengono invece trattati nella Meccanica delle vibrazioni, che affronta problemi di grande rilevanza tecnica come, fra gli altri, l'isolamento delle vibrazioni, l'analisi modale, la diagnostica industriale. Una grande rilevanza tecnica hanno infine, come è evidente, i problemi relativi alla Dinamica dei rotori, quali il bilanciamento statico e dinamico, le velocità critiche flessionali, le oscillazioni torsionali, i problemi di instabilità. SISTEMA Un sistema è un insieme di oggetti materiali che interagiscono a ben determinati fini. Gli oggetti materiali costituenti il sistema sono connessi fisicamente fra loro. È facile vedere come dalla definizione precedente possano essere esclusi molti sistemi, anche di grande interesse per l'ingegneria meccanica. Così, per esempio, mentre il sistema costituito da un motore a combustione interna rientra nella definizione data, quello di un'officina per il collaudo del motore non vi ricade: in questo caso infatti fanno parte del sistema anche le procedure di collaudo che si intendono adottate e queste non sono individuabili come oggetti materiali, anche se il sistema, nel suo complesso, è fisicamente realizzabile. Nel corso ci si occuperà in larga parte di sistemi meccanici. In altre parole, in conformità alla definizione di sistema fisico, di quei sistemi in cui le connessioni fisiche fra gli oggetti costituenti diano luogo a considerevoli scambi energetici in forma di energia meccanica – quindi esprimibili attraverso le variabili forza e velocità , momento e velocità angolare – e nei quali si possano verificare variazioni dell'energia potenziale e cinetica del sistema. Dato che nella definizione sopra riportata un sistema è inteso come costituito da oggetti materiali, è possibile definire tutto ciò che non fa parte di tali oggetti come esterno (o ambiente) del sistema, riconoscendo una superficie fisica (o concettuale) di separazione fra sistema e ambiente esterno. Gli oggetti costituenti un sistema possono essere indicati come sottosistemi, ossia come parti di un sistema a loro volta rispondenti alla definizione già data, o come componenti, ossia come enti primitivi caratterizzati da opportuni parametri che, per un dato fine, non è necessario ritenere ulteriormente suddivisibili. Si noti che la definizione di componente dipende dal fine che ci si propone nell'effettuare la

oggetto, l'interazione dinamica fra stantuffo e fasce elastiche; altrimenti il pattino è un sottosistema, mentre stantuffo e fasce ne sono i componenti. Allo stesso modo il meccanismo articolato biella-manovella può costituire un sistema qualora se ne voglia studiare la dinamica; diventa un sotto sistema se si vuol compiere l'analisi dell'intero motore; questo è a sua volta un sottosistema se, per esempio, si sta



analizzando la macchina su cui tale motore è operante, e così via. Il fatto che uno stesso ente possa essere considerato sotto differenti aspetti è un punto fondamentale della dinamica e deve fin d'ora essere tenuto presente. LA MODELLAZIONE – IL MODELLO FISICO Vedere un sistema come un insieme di elementi interconnessi tra loro, ci porta a dover stabilire come il comportamento dei singoli elementi e quello delle connessioni tra essi influenza il comportamento dell'intero sistema. Dal punto di vista metodologico l'elemento caratterizzante è la modellazione dei sistemi meccanici, che fornisce il mezzo fondamentale per affrontare in modo corretto ed efficiente l'ampia gamma dei problemi di dinamica delle macchine.

Modeling of a forging hammer ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 19)

Per affrontare lo studio di un qualsiasi sistema meccanico è necessario infatti formularne dapprima un adeguato modello fisico e successivamente dedurre da questo il relativo modello matematico. Per modello fisico si intende qui un sistema fisico immaginario che sia equivalente al sistema reale nell'ambito di una prefissata approssimazione e rispetto alle caratteristiche che riguardano lo studio a cui si è interessati. Prerogativa essenziale del modello fisico, ai fini della sua effettiva utilità, deve essere la possibilità di studiarlo con gli strumenti a disposizione, di regola di tipo matematico. Il passaggio dal sistema reale al suo modello fisico comporta un certo numero di approssimazioni consapevolmente accettate, la più importante delle quali consiste nel trascurare tutto quanto provoca effetti piccoli, o comunque ritenuti trascurabili, sul comportamento del sistema. Il modello fisico deve includere un numero sufficiente di effetti e dettagli in modo da poter descrivere il meglio possibile il sistema in termini di equazioni, senza divenire allo stesso tempo troppo complesso. Il modello fisico può essere lineare o non lineare, in funzione del comportamento dei componenti del sistema. Modelli lineari permettono una soluzione rapida e sono semplici da trattare. Modelli non lineari a



volte rivelano certe caratteristiche del sistema che non possono essere correttamente predette impiegando modelli lineari. A volte il modello viene gradualmente migliorato in modo da ottenere risultati più accurati. Inizialmente viene usato un modello elementare per investigare rapidamente il comportamento globale del sistema. Successivamente il modello viene raffinato includendo altri componenti ed effetti in modo che il comportamento del sistema possa essere osservato più nel dettaglio.

Modellazione di un motociclo con pilota ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 21)

IL MODELLO MATEMATICO Una volta individuato il modello fisico del sistema, si può procedere a determinarne il modello matematico, cioè un insieme di relazioni matematiche che descrivono il comportamento del modello fisico stesso. La scrittura di tali equazioni avviene impiegando i principi della dinamica: si possono seguire approcci differenti tra i quali il principio di d'Alembert, il principio dei lavori virtuali, il principio di conservazione dell'energia, le equazioni di Lagrange. Le equazioni del moto sono solitamente equazioni differenziali ordinarie, per un sistema discreto, ed equazioni differenziali alle derivate parziali, per un sistema continuo. Le equazioni possono essere lineari o non lineari a seconda della tipologia dei componenti il sistema. Si passerà infine alla realizzazione di un algoritmo di risoluzione delle equazioni del modello matematico. Solo in casi semplici la soluzione può venire ottenuta in forma chiusa: di solito si ottiene la soluzione per via numerica, mediante l'uso di un calcolatore. In funzione della natura del problema si può usare una delle seguenti tecniche per trovare la soluzione: metodi standard per la soluzione di equazioni differenziali, metodi basati sulla trasformata di Laplace, metodi matriciali, metodi numerici. Se le equazioni sono non lineari difficilmente possono essere risolte in forma chiusa.



INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI ED ANALISI La soluzione delle equazioni del moto fornisce il comportamento del modello del sistema. Il modello deve ora essere verificato, in altre parole vanno verificate le ipotesi fatte nel modellare il sistema reale. Tale verifica può essere condotta tramite prove sperimentali; tale procedura è fondamentale per una corretta progettazione, ma può non essere necessaria se si stanno considerando componenti il cui comportamento è noto essere ben descritto da modelli specifici sulla base dell'esperienza acquisita. Per esempio si è sicuri di poter usare il modello di resistenza v = i R senza bisogno di alcuna verifica, almeno fino a quando le condizioni operative (tensione, temperatura, …) si mantengono entro certi limiti. Una volta che il modello è validato, esso può essere usato per prevedere il comportamento del sistema in questione. CONTROLLO Spesso un sistema che opera sotto azioni esterne e in condizioni mutevoli nel tempo, richiede un sistema di controllo, in modo da produrre i risultati desiderati. Il ruolo del sistema di controllo è duplice: deve portare le condizioni operative del sistema ai valori desiderati e deve mantenerle anche in presenza di disturbi e/o variazioni delle condizioni esterne. Il progetto di un sistema dinamico spesso implica anche lo studio del sistema di controllo più appropriato. D'altra parte i progettisti del sistema di controllo richiedono modelli che descrivano le proprietà dinamiche dominanti del sistema da controllare. Pertanto, modellazione e controllo dei sistemi dinamici costituiscono una unica area di studio.

Sistema di controllo computerizzato per impianto

con turbina a vapore per generazione di energia elettrica ("Modeling, analysis, and Control of Dynamic Systems", W. J. Palm, p. 5).

BIBLIOGRAFIA * E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. I e II,

ed. Pàtron, Bologna. * W. J. Palm, Modeling, analysis, and Control of Dynamic Systems, John Wiley & Sons, 1999. * S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995. * R. Ghigliazza, U. Galletti, Meccanica applicata alle macchine, Utet, 1986.

Parte 2 – Dinamica delle Macchine


PARTE 2 – Dinamica delle Macchine ANALISI DINAMICA

DIRETTA Date le forze attive sulla macchina e la legge di moto, determinare quale forza ulteriore deve essere applicata per realizzare la legge di moto desiderata. Questo problema è detto analisi cinetostatica. Rientrano tra gli argomenti che riguardano il problema diretto la determinazione delle azioni di inerzia, il bilanciamento di tali azioni e l’analisi cinetostatica dei meccanismi. INVERSA Date tutte le forze attive agenti sulla macchina (sia le azioni resistenti, sia quelle motrici), determinare la legge di moto dei membri in funzione del tempo. In questo caso si parla di analisi dinamica in senso stretto. Questo tipo di problema si presenta ad esempio quando si vogliano studiare i transitori di avviamento o di arresto.

Per entrambi i problemi, diretto ed inverso, possono poi essere determinate le forze reattive (le reazioni vincolari). AZIONI DI INERZIA Vedi Appendice A1 ENERGIA CINETICA (Vedi Appendice A2) L’energia cinetica di un corpo rigido può essere posta nella forma:

[ ]zyyzzxxzyxxyzzyyxxo JJJJJJmvT ωω−ωω−ωω−ω+ω+ω+= 2222

1 2222

essendo (O, x, y, z) una terna di assi con origine baricentrica. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI Il principio dei lavori virtuali (PLV) può enunciarsi asserendo che: condizione necessaria a sufficiente per l’equilibrio di un sistema meccanico, è che sia nullo il lavoro delle forze attive su di esso agenti a seguito di spostamenti virtuali, invertibili, dei loro punti di applicazione. Per spostamenti virtuali si intende spostamenti infinitesimi e compatibili con i vincoli cui il sistema è soggetto. In termini matematici, indicando con Fj (j=1,2,…N) tutte le forze esterne e con δrj (j=1,2,…, N) i relativi spostamenti virtuali invertibili, si ha:

01

=⋅∑=

j

N

j

j rF δ (2.1)

PRINCIPIO DI D'ALEMBERT Per illustrare il principio di d'Alembert (Parigi 16 Novembre 1717 - Ottobre 1783) iniziamo osservando che la celebre equazione di Newton (seconda legge)

Fa =m (2.2) può riscriversi nella forma

0=− Fam (2.3) Se si definisce il vettore Fi delle forze di inerzia

im Fa =− (2.4) la (2.3) si trasforma nella

0FF =+ i (2.5) Apparentemente nulla si è guadagnato da tale semplice operazione algebrica, tuttavia ciò che rende geniale il principio di d'Alembert è l'interpretazione della relazione (2.2) quale condizione di equilibrio.



In altri termini, da quest'ultima relazione si deduce che la somma delle forze d'inerzia a tutte le altre forze agenti sul sistema produce equilibrio. In definitiva il principio di d'Alembert afferma che è in equilibrio un sistema di forze ottenuto aggiungendo alle forze F agenti su un sistema le forze di inerzia Fi. Ciò introduce la possibilità di trattare problemi di dinamica avvalendosi delle metodologie proprie della Statica e, in particolare, del PLV. PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI IN DINAMICA In Dinamica, il PLV può essere matematicamente formulato come segue:

( ) 01

=⋅−∑=

j

N

j

jjj m raF δ (2.6)

essendo δrj (j=1,2,…N) spostamenti virtuali reversibili (invertibili). L'osservazione del perché una massa in movimento possa essere trattata come una in equilibrio viene superata considerando il significato di spostamenti virtuali. Come è noto, il criterio di equilibrio di un arbitrario sistema di forze richiede che sia nullo il lavoro virtuale di tutte le forze agenti. Pertanto, essendo gli spostamenti virtuali e non effettivi il principio è applicabile tanto alle masse in movimento quanto a quelle a riposo. In definitiva il PLV in dinamica può essere enunciato come segue: condizione necessaria a sufficiente per l’equilibrio di un sistema, è che sia nullo il lavoro delle forze su di esso agenti, comprese quelle di inerzia, a seguito di spostamenti virtuali (infinitesimi e compatibili con i vincoli), invertibili, dei loro punti di applicazione. Nello studio della dinamica delle macchine il PLV viene, di regola, utilizzato per la determinazione delle forze incognite: si sceglie arbitrariamente un insieme di spostamenti virtuali e si uguaglia a zero la somma dei lavori virtuali delle forze applicate al sistema, imponendo così che le forze stesse siano in equilibrio. Volendo calcolare il valore della reazione incognita, si può sostituire il vincolo con la reazione stessa, dando al sistema spostamenti virtuali per i quali la razione incognita compia lavoro non nullo. Nell’applicazione allo studio dinamico delle macchine ad un grado di libertà, si prendono comunemente come spostamenti virtuali gli spostamenti che il sistema effettivamente subisce durante il movimento. Allora l’equazione dei lavori virtuali si riconduce a quella dell’energia. EQUAZIONE DELL'ENERGIA L’equazione energetica è una formulazione particolare del PLV, a cui ci si riconduce allorquando si scelgono come spostamenti virtuali gli spostamenti che il sistema effettivamente subisce durante il movimento. Se si suppone che l’energia interna (elastica, termica, ecc.) del sistema in studio non subisca modifiche (e quindi in particolare, che i membri che costituiscono il sistema siano rigidi) e che il sistema stesso non scambi energia con l’esterno se non sotto forma di energia meccanica, l’equazione dell’energia si scrive:

idW dL dV+ = (2.7) dove dW e dLi sono i lavori elementari compiuti rispettivamente dalle forze attive esterne non conservative (che non ammettono potenziale) e da quelle d’inerzia, mentre dV è la variazione d’energia potenziale del sistema. La (2.7) si può scrivere anche nella forma: m r p idL dL dL dL dV+ + + = (2.8)

dove dLm, dLr, dLp sono i lavori elementari compiuti rispettivamente dalle forze motrici e da quelle resistenti utili e passive. D’altro canto, il lavoro elementare compiuto dalle forze d’inerzia è uguale all’opposto della variazione d’energia cinetica del sistema:

21

2j

i j j j j j j j j j jj j j j

dPdL m P dP m dP m P dP d m P dT

dt − = = = = =

∑ ∑ ∑ ∑!

!! ! ! ! (2.9)



per cui l’eq. (2.8) può essere scritta nella forma:

m r pdL dL dL dV dT− − = + (2.10)

dove si è evidenziato il fatto che il lavoro compiuto dalle forze motrici è positivo, mentre quello compiuto dalle forze resistenti utili e passive è negativo. Se poi si suppone che sul sistema non agiscano forze conservative (che ammettono potenziale), la (2.10) diventa:

m r pdL dL dL dT− − = (2.11)

TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA Quando in un sistema vincolato le forze attive siano conservative, ovvero ammettano potenziale U, allora si ha:

dU = dT (2.12) da cui la quantità (T – U) si mantiene costante nel tempo. Considerando l’energia potenziale V = –U il teorema di conservazione dell’energia meccanica assume la forma:

T(t)+V(t)=E (2.13) dove E è una costante che rappresenta l’energia totale del sistema e che possiamo calcolare mediante le condizioni iniziali. GRADI DI LIBERTÀ Il minimo numero di coordinate indipendenti richiesto per determinare univocamente la posizione di tutti gli elementi di un sistema ad ogni istante di tempo, definisce il numero di gradi di libertà del sistema. Nel seguito si parlerà indifferentemente di gradi di libertà (gdl) o, nell'accezione anglosassone, di degrees of freedom (dof). Indicato con n il numero di gdl di un generico sistema è sempre possibile definire un set di cosiddette coordinate generalizzate, usualmente indicate con qk (k=1,2,…,n), ossia di coordinate indipendenti in numero uguale a quello dei gdl del sistema. EQUAZIONI DI LAGRANGE Oltre ai citati mezzi di indagine, nello studio dinamico delle macchine altri mezzi trovano conveniente impiego allorché si debbano studiare sistemi complessi a molti gdl. Per lo studio di questi problemi è, ad esempio particolarmente utile l’uso delle equazioni di Lagrange. Se n è il numero di gdl del sistema considerato, n sono le equazioni di Lagrange che ne individuano il moto. La generica di queste equazioni può essere scritta nella forma:

, 1, ,kk k k

d T T VQ k n

dt q q q

∂ ∂ ∂− + = = ∂ ∂ ∂ …

! (2.14)

dove: qk è la generica coordinata generalizzata, T e V sono rispettivamente l’energia cinetica e l’energia potenziale e la quantità:

jk jj

k

Qq

∂= ⋅

∂∑r

F (2.15)

è la generica forza generalizzata di tipo non conservativo. L’impiego delle equazioni di Lagrange nello studio dei sistemi complessi è vantaggioso rispetto a quello delle equazioni di d’Alembert perché presenta minori difficoltà concettuali; come contropartita l’interpretazione fisica delle equazioni di Lagrange non è sempre immediata.



RIDUZIONE DI MASSE (MOMENTI DI INERZIA) E FORZE (COPPIE) Nello studio dinamico di un sistema può essere conveniente ricondursi allo studio dell’equilibrio di un particolare membro, la cui posizione caratterizzi facilmente la configurazione del sistema stesso. La sostituzione del sistema reale con uno più semplice è lecita purché i due sistemi siano equivalenti dinamicamente. Tale equivalenza si ottiene imponendo che i due sistemi diano origine, per spostamenti corrispondenti, ad uguali valori dei lavori elementari delle forze applicate e ad uguali valori dell’energia cinetica. A questo scopo viene effettuata la riduzione delle forze (o dei momenti) e delle masse (o dei momenti di inerzia) ad un punto (o ad un asse) del sistema semplificato. La riduzione di una o più forze si ottiene sostituendo le forze stesse con un’unica forza applicata nel punto di riduzione, in modo che il lavoro della forza ridotta per uno spostamento elementare del sistema uguagli quello delle forze prese in esame. La riduzione di una o più masse ad un punto di riduzione si ottiene sostituendo le masse stesse con un’unica massa, tale che non venga alterata l’energia cinetica del sistema nell’intorno della configurazione desiderata. Effettuata la riduzione delle forze e delle masse, lo studio dinamico del sistema può essere effettuato applicando l’equazione dell’energia, ovvero il principio dei lavori virtuali, allo schema meccanico semplificato. DINAMICA DELLE MACCHINE E DEGLI IMPIANTI MECCANICI IL PROBLEMA DINAMICO DIRETTO Assegnato il moto ed alcune azioni attive sulla macchina, si devono determinare le azioni ulteriori da applicare per realizzare il moto desiderato. Spesso si ipotizza che il membro movente si muova con velocità angolare costante. In questi problemi, il momento resistente utile è di solito un dato, mentre il momento motore figura fra le quantità da determinare. In altri casi, può succedere che la legge di moto nota sia quella di un transitorio di avviamento o di arresto: in tal caso, fra le azioni note sono da mettere in conto anche quelle di inerzia, mentre fra quelle incognite vi può essere il momento frenante. IL PROBLEMA DINAMICO INVERSO Assegnate sia le azioni resistenti, sia quelle motrici, si deve determinare la legge di moto della macchina in funzione del tempo. Questo tipo di problema si presenta ad esempio quando si vogliano studiare i transitori di avviamento o di arresto. Un particolare problema di tipo inverso è quello dello studio del moto delle macchine funzionanti a regime periodico.

TRANSITORI DI AVVIAMENTO Il problema dei transitori di avviamento è quello dello studio del moto di una macchina che venga avviata applicando ad essa il momento erogato da un motore. Questo momento motore è, di solito, funzione della velocità angolare, e talvolta anche di altre quantità; esso deve vincere le varie resistenze utili e passive e deve inoltre accelerare le masse mobili della macchina, portandole da velocità nulla alla velocità di regime. TRANSITORI DI ARRESTO I transitori di arresto si presentano quando la macchina, partendo da condizioni di moto, viene portata a fermarsi: di solito ciò avviene annullando il momento motore, ed eventualmente applicando un momento frenante noto, che si aggiunge alle altre azioni presenti nella macchina. REGIME PERIODICO Tale regime di moto è tipico delle macchine in cui sono presenti masse (traslanti od oscillanti) dotate di moto alterno.

BIBLIOGRAFIA * E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. II, ed.

Pàtron, Bologna. * M. Fabrizio, La Meccanica Razionale e i suoi metodi matematici, ed. Zanichelli, Bologna. * E. Pennestrì, Dinamica Tecnica e computazionale (in corso di pubblicazione).



APPENDICE A1 – Azioni di inerzia Dato un sistema di punti materiali Pj di massa mj, il baricentro G del sistema è definito dalla:

( ) 0=−∑ j jj GPm ovvero: m

PmG j jj∑

=

Proprietà del baricentro sono: - G non dipende dalla posizione del punto assunto come origine dello spazio euclideo; - se il corpo è omogeneo, G non dipende dalla densità; - se le masse sono distribuite lungo una retta o su una superficie piana, G appartiene a quella retta o a

quella superficie; - se il sistema è dotato di un piano di simmetria, G giace su di esso; - comunque si scomponga il sistema in sottosistemi, G coincide con il baricentro dei punti materiali che

costituiscono i baricentri dei singoli sottosistemi. La quantità di moto del sistema è definita come:

∑=j

jj dt

dPmQ

#

Dalla definizione di baricentro si ricava:

Gj jj mGmPm vQ#!!#

===∑

Il momento della quantità di moto rispetto ad un generico punto O risulta:

( )∑ ∧−=j jjjO PmOP !#

K

La risultante delle forze d’inerzia è:

∑−=j jji Pm !!#

F (A1.1)

Dalle definizioni di baricentro e quantità di moto si ricava:

dt

dmGm Gi

QaF

##!!#

−=−=−= (A1.2)

Il momento risultante delle forze d’inerzia rispetto a O è:

( )∑ ∧−−=j jjjOi PmOP !!#

,M (A1.3)

Derivando rispetto al tempo l’espressione del momento della quantità di moto si ottiene:

( ) ( )( )∑∑∑

∑∑∧−+∧−∧=

=∧−+∧−=

j jjjj jjj jjj

j jjjj jjjO

PmOPPmOPPm

PmOPPmOPdt

Kd

!!!!!!

!!!!!#

(A1.4)

Osservando che il primo addendo a secondo membro della (A1.4) è nullo e tenendo presente la definizione di baricentro e la (A1.3), si ricava:

OiO GmO

dt

d,M

K #!!#

−∧−=

ossia: QvK

M##

##∧−−= O

OOi dt

d, (A1.5)



Se O è un punto fisso ( 0=O! ) oppure la velocità di O è parallela a quella di G (ovvero quando O coincide con G), l’eq. (A1.5) diventa:

dt

d OOi

KM

##−=, (A1.6)

Risulta dunque sempre conveniente assumere O coincidente con un punto fisso o con il baricentro. CASO DEL CORPO RIGIDO CONTINUO Sia ωωωω#

la velocità angolare del corpo rispetto ad un riferimento inerziale e sia O un punto appartenente al corpo. La velocità di un qualunque altro punto è data da:

( )OPOP −∧+= ωωωω#!!

Assumendo come polo dei momenti lo stesso punto O, si ha: ( ) [ ]

[ ] dmOPOPOdmOP

dmOPOPdmOOPdmPOP

mm

mm mO

∫∫∫∫ ∫

∧−∧−−∧−=

=−∧∧−+∧−=∧−−=

ωωωω

ωωωω

#!

#!!#

)()()(

)()()( K (A1.7)

Assumiamo che O coincida con un punto fisso (qualora esista) ovvero con il baricentro.

Nel primo caso si ha: 0=O! ; nel secondo: ( ) ( )∫∫ =−=−mm

dmGPdmOP 0 .

Comunque, il primo addendo che compare a secondo membro dell’eq. (A1.7) diventa nullo, per cui risulta:

( ) ( )[ ]∫ ∧−∧−−=m

O dmOPOP ωωωω##

K (A1.8)

Si ha:

ωωωω##

OO JK =

dove la matrice simmetrica

−−−−−−

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

O

JJJ

JJJ

JJJ

J è detta tensore di inerzia

Si dimostra che è:

( ) ( )[ ] Om

O dmOPOPdt

dK

K ##!##

∧+∧−∧−−= ∫ ωωωωωωωω (A1.9)

La (A1.9) si può anche scrivere nella seguente forma:

ωωωωωωωωωωωω OOO

dt

dJJ

K ~+= ! (A1.10)

dove ωωωω~ è la matrice antisimmetrica:

−−

−=

0

0

0~

xy

xz

yz

ωωωω

ωωωωωω

Per la (A1.6) risulta infine: ωωωωωωωωωωωω OOOi JJM ~

, −−= ! (A1.11)



APPENDICE A2 – Energia cinetica L’energia cinetica di un sistema di punti materiali è per definizione:

∑=j jj PmT 2

21 ! (A2.1)

Nel caso particolare del corpo rigido continuo, l’eq. (A2.1) diventa:

( )[ ]∫ −∧+=m

dmOPOT2

21 ωωωω

#! (A2.2)

Se si assume che O sia fisso ( 0=O! ) o coincidente con G ( ( ) 0=−∫m dmGP ) e si espande l’eq. (A2.2):

( ) ( )[ ] ( )[ ]∫∫ −∧⋅−∧+−∧⋅+=mm

dmOPOPdmOPOOmT ωωωωωωωωωωωω###!!

21

21 2

Nelle ipotesi assunte, il secondo addendo a secondo membro è nullo, per cui:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]∫∫

∧−∧−⋅−=

=−∧∧−⋅+=

m

m

dmOPOPOm

dmOPOPOmT

21

21

21

21

2

2

ωωωωωωωω

ωωωωωωωω

##!

##! (A2.3)

Proiettando l’eq. (A2.3) nel sistema di riferimento assunto, si ottiene:

[ ]zyyzzxxzyxxyzzyyxx

O

JJJJJJOm

OmT

ωω−ωω−ωω−ω+ω+ω+=

=+=

22221

21

21

2222

T2

!

! ωωωωωωωω J (A2.4)

ovvero ωωωωωωωω OT JT

21= se O è un punto fisso;

e ωωωωωωωω GGmT Jv T2

21

21 += # se O≡G.

Parte 3 – Fondamenti di MdV


PARTE 3 – Fondamenti di MdV GRADI DI LIBERTÀ Il minimo numero di coordinate indipendenti richiesto per determinare univocamente la posizione di tutti gli elementi di un sistema ad ogni istante di tempo, definisce il numero di gradi di libertà del sistema. Indicato con n il numero di gdl di un generico sistema è sempre possibile definire un set di cosiddette coordinate generalizzate, usualmente indicate con qk (k=1,2,…,n), ossia di coordinate indipendenti in numero uguale a quello dei gdl del sistema. SISTEMI CONTINUI E DISCRETI Un gran numero di sistemi meccanici può essere descritto impiegando un numero finito di gdl; ciò accade quando sono presenti elementi dotati di elevata elasticità e scarsa massa e, al contempo, elementi di notevole massa ed elevata rigidezza. Quando, al contrario, il sistema ha un numero infinito di "punti di massa" e presenta membri deformabili, è necessario un numero infinito di coordinate per specificare la sua configurazione deformata. Sistemi aventi un numero di gdl finito sono detti discreti o a parametri concentrati, mentre quelli con un numero infinito di gradi di libertà sono detti continui. Spesso, i sistemi continui sono approssimati come discreti; in tal modo è più semplice ottenere la soluzione del problema dinamico. Sebbene trattare un sistema come continuo dia risultati esatti, i metodi di analisi per i sistemi continui sono limitati ad una tipologia di sistemi molto ridotta, come ad esempio travi a sezione uniforme, piastre sottili, membrane, etc. Di conseguenza, la maggior parte dei sistemi viene studiata impiegando modelli discreti. In generale, risultati più accurati sono ottenibili aumentando il numero di gdl.

Fig. 3.1 – Single-degree of freedom (SDOF) systems ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 14)

Fig. 3.2 – Two degree of freedom systems ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 14)



Fig. 3.3 – Three degree of freedom systems ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 15)

Fig. 3.4 – An infinite number of dof system: a cantilever beam ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 16)

ELEMENTI ELASTICI Diversi sono i modelli impiegati per i membri dotati di elevata elasticità rispetto agli altri elementi del sistema meccanico. Tali membri non si considerano dissipare energia e solitamente sono considerati privi di massa. Molle lineari Se la molla funziona nel campo elastico entro il limite di proporzionalità, la forza che si sviluppa quando la molla si deforma è proporzionale alla deformazione stessa. La costante di proporzionalità è detta rigidezza ed il suo inverso è chiamato cedevolezza.

Deformazione (x)

Forza (F)

xx1 2

F = k x x = x2 – x1

Il lavoro compiuto per deformare una molla di rigidezza k, viene immagazzinato come energia potenziale V:

2

2

1xkV =



Anche altri elementi elastici, quali ad esempio travi, si comportano come molle. Per esempio si consideri la trave incastrata di figura, avente all’estremo libero una massa concentrata m e si assuma per semplicità che la massa della trave sia trascurabile nei confronti della massa m.

La freccia statica all’estremo libero vale: EI

lWst 3

3

=δ

dove W=mg è il peso della massa m, E è il modulo di Young del materiale, I è il momento di inerzia di sezione e l è la lunghezza della trave.

Di conseguenza la costante elastica (la rigidezza) della trave vale: 3

3

l

EIWk

st

==δ

Fig. 3.5 – Cantilever with end mass ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 23)

Molle non lineari Gli elementi elastici seguono un comportamento lineare solo entro certi limiti della deformazione. Oltre certi valori di deformazione, la tensione eccede il limite di proporzionalità del materiale e la relazione tra fora e deformazione diviene non lineare. In molte applicazioni pratiche si assume che le deformazioni siano piccole e pertanto si considerano le molle come aventi comportamento lineare. In altri casi, anche se la molla è non lineare, si approssima ad una molla lineare mediante un processo di linearizzazione: Sia F un carico statico agente su una molla non lineare causandone una deformazione x*. Se la forza F viene incrementata di una quantità ∆F, la molla si deforma ulteriormente di una quantità ∆x. La nuova forza F+∆F può essere espressa in serie di Taylor (vedi Appendice 1) attorno alla posizione di equilibrio statico:

n

xn

n

xx

xdx

Fd

nx

dx

Fdx

dx

dFxFxxFFF )(

!

1...)(

!2

1)(*)()*(

*

2

*2

2

*

∆++∆+∆+=∆+=∆+

Forza (F)

Deformazione (x)

Forza (F)

Deformazione (x)

F+∆ F

F(x*)

x* x*+∆ x

k



Per piccoli valori di ∆x, i termini contenenti derivate di ordine elevato possono essere trascurati ottenendo:

)(*)()*(*

xdx

dFxFxxFFF

x

∆+=∆+=∆+

e poiché F = F(x*), si può esprimere ∆F come: ∆F = k ∆x

dove k è la rigidezza linearizzata della molla in corrispondenza della deformazione x*: *xdx

dFk =

Molle in serie

neq kkkk

1...

111

21

+++=

Molle in parallelo keq = k1 + k2 + … + kn

ELEMENTI SMORZANTI In molti sistemi meccanici, l’energia di vibrazione è gradualmente convertita in energia termica o energia acustica. A causa della riduzione di energia, la risposta vibratoria del sistema subisce un graduale decremento. Tale meccanismo prende il nome di smorzamento delle vibrazioni. Sebbene la quantità di energia convertita in calore o suono sia relativamente piccola, considerare lo smorzamento è di fondamentale importanza per una adeguata previsione del comportamento vibratorio del sistema. Solitamente si assume che un elemento smorzante sia privo di massa ed elasticità. La forza che esercita uno smorzatore esiste solo in presenza di velocità relativa tra i due estremi dello smorzatore stesso. E’ piuttosto difficile determinare le cause di smorzamento nei sistemi meccanici; solitamente lo smorzamento viene modellato come una combinazione dei seguenti: Smorzamento viscoso E’ quello usato più frequentemente nello studio delle vibrazioni.



Quando un sistema meccanico si muove in un fluido, la resistenza che il fluido offre al movimento dei corpi causa dissipazione di energia. L’ammontare di questa energia dipende da molti fattori quali ad esempio le dimensioni e la forma dei corpi, la viscosità del fluido, la velocità dei corpi. Nello smorzamento di tipo viscoso, la forza è proporzionale alla velocità relativa dei corpi e la costante di proporzionalità dipende dalla viscosità del fluido e dalla geometria dei corpi.

vcAh

vA

dy

duAF ==== µµτ

+=

D

d

d

lDc

21

4

33

3πµ

Attrito Coulombiano (attrito secco) La forza è costante in ampiezza ma ha verso opposto a quello della velocità relativa tra i corpi.

V

N

T

|T| = f N F = – sign (V) |T|

Smorzamento isteretico (smorzamento strutturale) Quando un corpo si deforma, l’energia di deformazione è assorbita e dissipata dal materiale. Tale effetto è dovuto all’attrito nello scorrimento tra le fibre interne del materiale all’atto della deformazione. Quando un corpo soggetto a questo tipo di fenomeno è sottoposto alternativamente a trazione e compressione o, nello specifico, vibra, la relazione tra tensione e deformazione è del tipo rappresentato in figura. L’energia dissipata ad ogni ciclo vale:



∫∫ −=UL

ddD εσεσ

MOTO ARMONICO

Fig. 3.6 – Meccanismo per moto armonico ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 46)

In fig. 3.6 è rappresentato un meccanismo mediante il quale alla massa m è impartito un moto armonico semplice (l’accelerazione è proporzionale allo spostamento) quando alla manovella OP si impone un moto rotatorio continuo uniforme. Se ω è la velocità angolare della manovella e A è la sua lunghezza, la massa si muove con legge di moto x(t):



x = A sin ω t con ω pulsazione del moto armonico. Si ha inoltre :

tAxdt

dx ωω cos== ! xtAxdt

xd 222

2

sin ωωω −=−== !!

Rappresentazione vettoriale Un moto armonico può anche essere rappresentato mediante un vettore OP, di ampiezza A, rotante con velocità angolare ω. Con riferimento alla fig. 3.7, le proiezioni di questo vettore lungo le due direzioni x e y forniscono: y = A sin ω t ; x = A cos ω t

Fig. 3.7 – Proiezioni di un vettore rotante ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 47)

Rappresentazione con numeri complessi Si può ricorrere anche alla rappresentazione mediante numeri complessi. Infatti, ogni vettore X nel piano xy può essere rappresentato con il numero complesso: X = a + i b dove a e b sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria.



Se si indica con A l’ampiezza del vettore X e con θ il suo argomento (l’angolo compreso tra il vettore e l’asse x), X può essere espresso come:

X = A cos θ + i A sin θ con: 22 baA += ; a

b1tan−=θ

Introducendo le relazioni di Eulero, si ha anche: X = A cos θ + i A sin θ = A eiθ Usando la rappresentazione con numeri complessi, il vettore rotante di fig. 3.7 può essere scritto come: X = A e i ω t dove ω è anche detta frequenza circolare di rotazione ed è espressa in rad/s.

Derivando rispetto al tempo si ha:

( ) XX ωω ωω iAeiAe

dt

d

dt

d titi ===

( ) ( ) XX 22

2

2

2

2

ωωω ωωω −=−=== tititi AeAeidt

dAe

dt

d

dt

d

Fig. 3.8 – Spostamento, velocità e accelerazione come vettori rotanti

("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 50) da cui si vede che l’operazione di derivazione si traduce nel moltiplicare il vettore per iω, od anche nel moltiplicare l’ampiezza del vettore per ω e ruotarlo in avanti di 90 gradi (vedi fig. 3.8). Lavoro compiuto in moti armonici Un importante concetto in molte applicazioni è quello del lavoro compiuto da una forza, che varia armonicamente con una certa pulsazione, per uno moto armonico avente la stessa pulsazione. Sia data la forza P = P0 sin (ωt + ϕ) agente su un corpo dotato di legge di moto x = x0 sin ωt. Il lavoro compiuto dalla forza in un periodo 2π/ω vale:

=+==== ∫∫∫∫ππωπωπ

ωωϕωωω

2

000

2

0

/2

0

/2

0

)(cos)sin()(1

tdttxPtddt

dxPdt

dt

dxPdxPW



=+= ∫π

ωϕωϕωω2

000 )(]sincoscos[sincos tdtttxP

∫∫ +=ππ

ωωϕωωωϕ2

0

200

2

000 )(cossin)(cossincos tdtxPtdttxP

Il primo integrale è nullo mentre il secondo vale π per cui in definitiva si ha: ϕπ sin00 xPW =

OTTAVA Quando il massimo valore di una banda di frequenza è il doppio del minimo, tale banda è detta banda d’ottava. Ad esempio, ciascuna banda 75 – 150 Hz, 150 – 300 Hz, e 300 – 600 Hz, è una banda d’ottava. In ciascun caso, il massimo ed il minimo valore della frequenza, che hanno un rapporto pari a 2:1, si dice che differiscono di un’ottava. DECIBEL Le varie quantità che si incontrano nel campo delle vibrazioni e del rumore, come ad esempio, spostamento, velocità, accelerazione, pressione, potenza, sono spesso rappresentate usando la notazione dB (decibel). In origine il decibel è stato definito con riferimento a potenze elettriche come:

=

0

log10P

PdB dove P0 è un valore di riferimento.

Poiché la potenza elettrica è proporzionale al quadrato della tensione (X), il decibel può anche essere espresso come:

=

=

0

2

0

log20log10X

X

X

XdB dove X0 è un valore di riferimento.

Naturalmente il dB è usato anche per esprimere il rapporto tra altre quantità (spostamenti, velocità, accelerazioni, pressioni, …). BIBLIOGRAFIA * E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. II, ed.

Pàtron, Bologna. * S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995. * W.J. Palm. Modeling, Analysis, and Control of Dynamic Systems, 2nd ed., John Wiley & Sons.



APPENDICE A1 – Serie di Taylor Il teorema di Taylor afferma che una funzione può essere rappresentata in prossimità di un punto x = x0, dall’espansione:

nk

xxk

k

xxxx

Rxxdx

fd

kxx

dx

fdxx

dx

dfxfxf ++−

++−

+−

+=

===...)(

!

1...)(

!2

1)()()( 0

202

2

00

000

dove il termine Rn è dato da: n

bxn

n

n xxdx

fd

nR )(

!

10−

=

=

con b compreso tra x0 e x.

Il risultato è valido se la funzione ammette derivate continue fino all’ordine n. Se Rn tende a zero, l’espansione è detta serie di Taylor della funzione f(x) attorno a x = x0. Se x0 = 0, la serie è anche detta serie di McLaurin. Esempio

...!7!5!3

sin753

+−+−= xxxxx

...!6!4!2

1cos642

+−+−= xxxx

...!4!3!2

1432

+++++= xxxxex dove x0 = 0.

Si noti che se x è piccolo le prime due danno luogo a due approssimazioni largamente usate delle funzioni seno e coseno: sin x ≈ x e cos x ≈ 1.

Inoltre se nella terza si considera x = i θ, si ottiene: ...!5!4!3!2

15432

+++−−+= θθθθθθ iiiei ;

separando la parte reale da quella immaginaria:

++−−+

++−+= ...

!5!3...

!4!21

5342 θθθθθθ iei

si ottengono le identità di Eulero:

θθθ sincos iei +=

θθθ sincos ie i −=− (avendo sostituito θ con – θ).



APPENDICE A2 – Espressioni trigonometriche utili

ϕωϕωϕω sinsincoscos)cos( tmtmtm −=+

ϕωϕωϕω sincoscossin)sin( tmtmtm +=+

tmntmntmtn ωωωω )cos(21)cos(2

1sinsin +−−=

tmntmntmtn ωωωω )sin(21)sin(2

1cossin −++=

)2cos1(21cos2 tt ωω +=

)2cos1(21sin 2 tt ωω −=

θθθ sincos iei +=

θθθ sincos ie i −=−



APPENDICE A3 – Rigidezze e equivalenti



APPENDICE A4 – Momenti di inerzia di massa

Parte 4 – Sistemi ad 1 gdl


PARTE 4 – Sistemi ad 1 gdl VIBRAZIONI LIBERE DEL SISTEMA MOLLA – SMORZATORE Equazione del moto: 0=+ kxxc! Si tratta di un sistema del primo ordine, la cui equazione caratteristica è:

0=+ kcz

La radice dell’equazione caratteristica: ckz −=1 è reale.

La soluzione dell’equazione del moto è: t

c

k

eAtx−

= 1)( 0 0.05 0.1

0

0.5

1

la costante A1 si determina in funzione della condizione iniziale: x(0)=x0 da cui si ha: A1=x0

L’integrale generale è pertanto: t

c

k

extx−

= 0)(

VIBRAZIONI LIBERE SISTEMA MASSA – SMORZATORE Equazione del moto: 0=+ xcxm !!! Si tratta di un sistema del primo ordine, infatti si può scrivere:

==+

xy

cyym

!! 0

L’equazione caratteristica della 0=+ cyym! è: 0=+ cmz

la cui radice è: mcz −=1 (reale)

m c

x(t)

La soluzione dell’equazione del moto in y(t) è:

tm

c

eBty−

= 1)( La costante B1 si determina in funzione della condizione iniziale: y(0)=v0 da cui si ha: B1=v0

E’ pertanto: t

m

c

evty−

= 0)(

da cui: t

m

c

evc

mBtx

−−= 02)(

La costante B2 si determina in funzione della condizione iniziale: x(0)=x0

da cui si ha: 002 vc

mxB +=

L’integrale generale è pertanto:

−+=

− tm

c

evc

mxtx 1)( 00

0 0.5 10

0.5

1

1.5

x0>0 v0<0

x0>0 v0>0



VIBRAZIONI LIBERE DEL SISTEMA MASSA – MOLLA Equazione del moto: 0=+ kxxm !! Si tratta di un sistema del secondo ordine, la cui equazione caratteristica è:

02 =+ kmz

Le radici dell’equazione caratteristica: nimkz ω±=−±=2,1

sono immaginarie.

Il rapporto mk

n =ω viene detto pulsazione naturale del sistema.

m

kx(t)

La soluzione dell’equazione del moto è:

titi nn eCeCtx ωω −+= 21)(

Introducendo le relazioni di Eulero: tite nnti n ωωω sincos ±=±

si ottiene: tCCitCCtx nn ωω sin)(cos)()( 2121 −++=

da cui: tEtDtx nn ωω sincos)( +=

Imponendo le condizioni iniziali:

0

0

)0(

)0(

vx

xx

==

! si ottiene: t

vtxtx n

nn ω

ωω sincos)( 0

0 +=

0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Si noti che, posto: ψsinGD = e ψcosGE = , si ha: )sin()( ψω += tGtx n

oppure ponendo: ϕcosFD = e ϕsinFE = , si ha: )cos()( ϕω −= tFtx n

Osservazione La risposta di un sistema ad un gdl può essere rappresentata nel piano spostamento–velocità, noto anche come spazio degli stati o piano delle fasi.

Consideriamo la risposta nella forma: )cos()( ϕω −= tAtx n

e la corrispondente velocità: )sin()( ϕωω −−= tAtx nn! da queste possiamo ricavare:

)cos()( ϕω −= t

A

txn e )sin(

)( ϕωω

−=− tA

txn

n

!

che quadrando e sommando membro a membro danno luogo alla:

122

2

2

2

=+A

x

A

x

nω!

ossia all’equazione di una ellisse i cui semiassi sono funzioni della costante A da determinarsi in funzione delle condizioni iniziali.



VIBRAZIONI LIBERE DEL SISTEMA MASSA – MOLLA – SMORZATORE Equazione del moto: 0=++ kxxcxm !!! . Si tratta di un sistema del secondo ordine, la cui equazione caratteristica è:

02 =++ kczmz

Le radici dell’equazione caratteristica sono: m

k

m

c

m

cz −

±−=

2

2,1 22

La soluzione dell’equazione del moto è: tztz eCeCtx 2121)( +=

m

c

kx(t)

Si definisce smorzamento critico ccr il valore della costante di smorzamento per il quale si ha:

02

2

=−

m

k

m

c da cui: ncr mkm

m

kmc ω222 ===

Per un sistema smorzato si definisce fattore di smorzamento ζ il rapporto tra la costante i smorzamento c e lo smorzamento critico ccr:

ζ = c / ccr da cui: nm

c

ωζ

2=

Utilizzando il fattore di smorzamento,

le due radici dell’equazione caratteristica diventano: ( )122,1 −±−= ζζωnz

e la soluzione dell’equazione del moto diventa: ( ) ( )tt nn eCeCtx 12

11

22

)( −−−−+− += ζζωζζω La natura delle due radici, e di conseguenza il comportamento del sistema, dipende dall’ammontare dello smorzamento. Occorre distinguere tre casi: Caso 1 (sistemi “poco smorzati”: ζζζζ < 1, o c < ccr) La quantità (ζ 2 – 1) è negativa e le due radici sono complesse e coniugate e si possono esprimere come:

( )22,1 1 ζζω −±−= iz n

Introducendo la nuova costante ωs, detta pulsazione naturale del sistema smorzato: 21 ζωω −= ns

si ha: sn iz ωζω ±−=2,1

e l’integrale dell’equazione del moto diventa: titit ssn eCeCetx ωωζω −− += 21)(

Introducendo le relazioni di Eulero: tite ssti s ωωω sincos ±=±

si ottiene: tCCitCCetx sstn ωωζω sin)(cos)()( 2121 −++= −

da cui: tEtDetx sstn ωωζω sincos)( += −

L’ultima espressione può anche assumere la forma: )sin()( ϕωζω += − teXtx stn

oppure la: )cos()( 00 ϕωζω −= − teXtx stn

Le costanti (D, E), (X, ϕ) oppure (X0, ϕ0) si trovano imponendo le condizioni iniziali:

0

0

)0(

)0(

vx

xx

==

! si ottiene:

s

n xvE

xD

ωζω 00

0

+=

=



Il moto risulta oscillatorio, pseudoperiodico, smorzato:

+

+= − txv

txetx ss

ns

tn ωωζωωζω sincos)( 00

0

0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Caso 2 (sistemi con smorzamento critico: ζζζζ = 1, o c = ccr) Le due radici dell’equazione caratteristica sono reali, coincidenti, negative e pari a: nzz ω−== 21

L’integrale dell’equazione del moto diventa: tztz teCeCtx 1121)( +=

ovvero: ttz netCCetCCtx ω−+=+= )()()( 21211

Si ha inoltre: tztztz teCzeCeCztx 11121211)( ++=!

Le costanti C1 e C2 si trovano imponendo le condizioni iniziali:

0

0

)0(

)0(

vx

xx

==

! si ottiene:

002

01

xvC

xC

nω+==

Il moto risulta aperiodico smorzato:

tn

netxvxtx ωω −++= ])([)( 000

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0

0.05

0.1

0.15

Caso 3 (sistemi “molto smorzati”: ζζζζ > 1, o c > ccr) Le due radici dell’equazione caratteristica sono reali, distinte ed entrambe negative:

( ) 0121 <−+−= ζζωnz , ( ) 012

2 <−−−= ζζωnz

L’integrale dell’equazione del moto è: tztz eCeCtx 2121)( +=

e la sua derivata: tztz eCzeCztx 212211)( +=!

Le costanti C1 e C2 si trovano imponendo le condizioni iniziali:

0

0

)0(

)0(

vx

xx

==

! da cui:

02211

021

vCzCz

xCC

=+=+

ed infine:

( )

( )12

1

12

1

2

02

02

2

02

01

−

−−−−=

−

+−+=

ζω

ζζω

ζω

ζζω

n

n

n

n

vxC

vxC

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.05

0.1

0.15



Il moto risulta aperiodico smorzato:

( ) ( ) ( ) ( ) t

n

nt

n

n nn evx

evx

tx 1

2

02

01

2

02

0 22

12

1

12

1)( −+−−+−

−

−−−−+

−

+−+= ζζωζζω

ζω

ζζω

ζω

ζζω

La seguente figura confronta il moto del sistema massa – molla – smorzatore nei tre differenti casi (caso 1: sistema “poco smorzato”; caso 2: sistema con smorzamento critico; caso 3: sistema “molto smorzato”).

Osservazione La natura delle due radici dell’equazione caratteristica, z1 e z2, e i corrispondenti valori del fattore di smorzamento ζ, possono essere rappresentati in un piano complesso. La semicirconferenza di raggio ωn rappresenta il luogo delle radici per valori di ζ compresi tra 0 ed 1. Questo tipo di rappresentazione permette di vedere l’effetto del fattore di smorzamento ζ sul comportamento del sistema. Infatti per ζ = 0, si hanno le due radici immaginarie z1 = iωn e z2 = −iωn ; per 0 < ζ < 1, le radici sono complesse e coniugate e collocate simmetricamente rispetto all’asse reale; quando ζ = 1, le due radici sono coincidenti e pari a −ωn; infine per ζ > 1, entrambe giacciono sull’asse reale (per ζ → ∞, una tende a 0 mentre l’altra tende a −∞).

Luogo delle radici dell’equazione caratteristica del sistema massa – molla – smorzatore.



Osservazione La risposta libera del sistema massa – molla smorzato può essere rappresentata nel piano delle fasi, come indicato in figura.

DETERMINAZIONE DEL FATTORE DI SMORZAMENTO: METODO DEL DECREMENTO LOGARITMICO A differenza dei componenti massa e rigidezza, lo smorzamento non può essere determinato mediante prove statiche. Il valore del fattore di smorzamento può essere ricavato sperimentalmente misurando l’ampiezza decrescente di oscillazioni successive. Si consideri infatti l’oscillazione libera di un sistema con smorzamento inferiore a quello critico (ζ < 1). Presi due istanti di tempo corrispondenti a due massimi consecutivi, il rapporto tra le ampiezze dell’oscillazione risulta:

)cos(

)cos(

)(

)(

020

010

2

1

2

1

2

1

ϕωϕω

ζω

ζω

−−

== −

−

teX

teX

x

x

tx

tx

st

st

n

n

Ma t2 = t1 + T, dove T è il periodo dell’oscillazione (T = 2π/ωs) di conseguenza si ha:

TTt

tn

n

n

ee

e

x

x ζωζω

ζω== +−

−

)(2

1

1

1

Si definisce decremento logaritmico il logaritmo naturale del rapporto x1/x2: Tx

xnζωδ =

=

2

1ln

Dalla definizione di pulsazione naturale del sistema smorzato si ha poi:

21

22

ζπζ

ωπζωδ

−==

s

n

Per valori del fattore di smorzamento sufficientemente piccoli (ζ < 0.4), si può porre con buona approssimazione:

πζδ 2≈ Se si considerano, anziché due oscillazioni successive, n oscillazioni successive, si ottiene:

Tn

n

n

n

nex

x

x

x

x

x

x

x

x

x ζω==++ 14

3

3

2

2

1

1

1 ... il cui logaritmo naturale vale: δζω nTnx

xn

n

==

+1

1ln



In definitiva risulta:

=

+1

1ln1

nx

x

nδ

In conclusione, se si riesce a misurare in via sperimentale il rapporto x1/xn+1 è poi possibile risalire al valore del fattore di smorzamento ζ. VIBRAZIONI LIBERE CON ATTRITO COULOMBIANO (SMORZAMENTO COULOMBIANO) Una comune causa di smorzamento nei sistemi meccanici è l’attrito secco, denominato anche attrito coulombiano. L’attrito Coulombiano è caratterizzato dalla relazione:

<−=>

=0

00

0

xN

x

xN

F

!!!

µ

µ

dove F è la forza d’attrito, N la forza normale e µ il coefficiente di attrito cinetico. La forza di attrito F si oppone sempre alla velocità relativa tra i corpi a contatto. Facendo riferimento alla fig. 4.1, l’equazione del moto si modifica a seconda del verso della velocità della massa m:

0>−=+ xmgkxxm !!! µ 0<=+ xmgkxxm !!! µ

Fig. 4.1 – Sistema massa – molla con attrito coulombiano.

L’equazione del moto si può scrivere nella forma: 0)sgn( =++ kxxmgxm !!! µ

dove sgn(τ), detta funzione segno, è definita come segue:

<−=>

=01

00

01

)sgn(

τττ

τ

L’equazione del moto è pertanto una equazione differenziale non lineare e, in quanto tale, non può essere risolta con i metodi tradizionali. Si può procedere suddividendo il dominio dei tempi in intervalli corrispondenti ai cambiamenti di verso della velocità (vedi pagine 8 – 10 ). In alternativa, si può procedere con metodi numerici di integrazione.



Fig. 4.2 – Risposta libera del sistema massa–molla con attrito coulombiano.



Infine, si notino le seguenti caratteristiche di un sistema con attrito coulombiano: * L’equazione del moto è non lineare (è lineare se il sistema ha smorzamento viscoso). * Il sistema conserva la frequenza naturale del sistema non smorzato (la frequenza naturale del sistema con smorzamento viscoso è inferiore a quella del sistema non smorzato). * Il moto è periodico (in un sistema con smorzamento viscoso può essere aperiodico). * Il sistema giunge all’arresto in maniera lineare (se lo smorzamento è viscoso il sistema si avvicina asintoticamente alla quiete, senza raggiungerla mai).



VIBRAZIONI LIBERE CON SMORZAMENTO STRUTTURALE (ISTERETICO) Si prendano in esame la molla e lo smorzatore viscoso disposti in parallelo come in figura 4.3(a). Se si considera un moto armonico tXtx ωsin)( = , la forza esercitata vale:

2222 )sin(cossin)( xXckxtXXckxtcXtxXxckxtF −±=−±=+=+= ωωωωωω!

Fig. 4.3 – Molla – smorzatore viscoso.

L’andamento della forza F(t) in funzione della deformazione x è una curva chiusa come illustrato in figura 4.3(b). L’area interna a tale curva corrisponde all’energia dissipata dallo smorzatore in un ciclo del moto armonico ed è data da:

2/2

0

cXFdxFdxW πωωπ

===∆ ∫∫

Fig. 4.4 – Molla – smorzatore isteretico.

Come accennato in precedenza, quando un corpo è sottoposto alternativamente a trazione e compressione, lo smorzamento causato dall’attrito nello scorrimento tra le fibre interne del materiale all’atto della deformazione è chiamato smorzamento isteretico o strutturale. Il fenomeno da luogo ad un loop nella curva tensione – deformazione (o forza e spostamento), come rappresentato in figura 4.4(b). L’energia dissipata ad ogni ciclo di carico e scarico del materiale è uguale all’area racchiusa dal loop di isteresi. L’analogia tra le figure 4.3(b) e 4.4(b) può essere impiegata per definire una costante di smorzamento strutturale. Infatti si è trovato sperimentalmente che l’energia perduta per ciclo a causa dello smorzamento



strutturale è indipendente dalla frequenza del carico, ma approssimativamente proporzionale al quadrato della sua ampiezza. Pertanto si può porre:

22 XcaXW eqπω==∆ da cui: ωωπha

ceq ==

Introducendo ora la rappresentazione del moto armonico mediante numeri complessi, tieXtx ω=)( , la forza nel sistema di figura 4.3(a) vale:

xickeXiceXxckxtF titi )()( ωω ωω +=+=+= ! . Analogamente, la forza nel sistema molla – smorzatore isteretico di figura 4.4(a), può essere espressa come:

xkxikxk

hikxihktF

~)1()1()()( =+=+=+= η

dove k~

è nota come rigidezza complessa del sistema e η è una costante adimensionale detta fattore di smorzamento strutturale. METODI ENERGETICI (INTRODUZIONE AL METODO DI RAYLEIGH) Si osservi che in sistemi non smorzati, come il sistema massa – molla, l’equazione del moto può essere scritta sfruttando il principio di conservazione dell’energia. Infatti, in assenza di forze non conservative, l’energia totale del sistema si mantiene costante, ovvero:

0)( =+VTdt

d

Nel caso specifico si ha: 2

2

1xmT != 2

2

1xkV =

da cui si ottiene:

0)(2

1

2

1 22 =+=+=

+ xkxmxxxkxxmxkxm

dt

d !!!!!!!! ed infine: 0=+ kxxm !!

Il principio di conservazione dell’energia può essere impiegato anche per determinare direttamente la pulsazione naturale del sistema. Indicate con 1 e 2 le configurazioni del sistema corrispondenti a due istanti generici, si ha: T1 + V1 = T2 + V2 Se si considera come istante 1 quello in cui il sistema passa per la posizione di equilibrio statico (scelta come riferimento per l’energia potenziale) e, di conseguenza, l’energia cinetica è massima, si avrà: U1 = 0 T1= TMAX Se come istante 2 si prende quello in cui è massimo lo spostamento del sistema dalla sua posizione di equilibrio statico (e quindi è nulla la velocità), l’energia potenziale è massima e si annulla l’energia cinetica: T2 = 0 U2= UMAX Per il principio di conservazione dell’energia segue che: MAXMAX VT =



L’applicazione di questa equazione, permette di determinare direttamente la frequenza naturale del sistema. Ci si proponga infatti di trovare la pulsazione naturale del sistema conservativo massa – molla. Se si assume il moto armonico nella forma:

)cos()( ϕω −= tAtx n ,

allora risulta: 222

2

1

2

1AmxmT nMAXMAX ω== ! 22

2

1

2

1AkxkV MAXMAX ==

che eguagliate forniscono: km n =2ω da cui: mk

n =ω

Il metodo energetico per il calcolo della frequenza naturale è di fondamentale importanza. Infatti, per sistemi più complessi, la determinazione delle frequenze naturali spesso è così complicata da divenire praticamente impossibile. In tali casi si vedrà come una generalizzazione del metodo energetico, nota come metodo di Rayleigh conduce, anche se con una certa approssimazione, al risultato. Vengono ora presentati alcuni esempi di applicazione del metodo. Effetto di una molla con massa non trascurabile Si consideri il sistema massa–molla di figura 4.5 in cui la molla ha massa non trascurabile. Indicata con l la lunghezza della molla, se x è lo spostamento del suo estremo inferiore, lo spostamento alla generica distanza y dall’estremo fisso è pari a y(x/l). Indicata con M la massa della molla e con dm la massa di un tratto di molla di lunghezza infinitesima dy (dm = dy M/l), l’energia cinetica e l’energia potenziale del sistema si esprimono come segue:

2

0

22

222

32

1

2

1

2

1

2

1

2

1x

Mmdyx

l

y

l

MxmydmxmT

l

!!!!!

+=

+=+= ∫∫ ; 2

21

xkV =

Fig. 4.5 – Sistema massa – molla.

Fig. 4.6 – Manometro a tubo.

Se si assume il moto armonico della massa m nella forma )cos()( ϕω −= tAtx n , si ha:

222

2

1

32

1AkVA

MmT MAXnMAX ==

+= ω

da cui si ricava la pulsazione naturale del sistema:

3M

m

kn

+=ω

In conclusione l’effetto della massa della molla può essere messo in conto aggiungendo un terzo della sua massa alla massa principale del sistema.



Manometro I sistemi fluidi, come quelli solidi, sono soggetti a moti vibratori. Con riferimento al manometro a tubo illustrato in figura 4.6, impiegando il metodo energetico, si può calcolare la frequenza naturale di oscillazione del fluido nel tubo. Detta S la sezione del tubo, ρ la densità del fluido e g l’accelerazione di gravità, se x è lo spostamento del liquido dalla posizione di equilibrio, l’energia potenziale e cinetica del fluido sono date da:

2

22gSx

xgSx

xgSxV ρρρ =+= ; 2

2

1xSlT !ρ=

Assunto un moto armonico del liquido nella forma tAtx nωcos)( = , si ha:

222

2

1gSAVASlT MAXnMAX ρωρ ===

da cui si ricava la pulsazione naturale del fluido: l

gn

2=ω

Si osserva che la pulsazione naturale è indipendente dalla natura del fluido, ma dipende solo dalla lunghezza del tubo. Ad esempio per un tubo avente lunghezza pari a l = 0.5 m, la pulsazione naturale è circa uguale a 1 Hz.

Pulsazione naturale di una trave appoggiata (metodo di Rayleigh) Si consideri la trave appoggiata di figura 4.7, avente massa m, con una massa concentrata M in mezzeria. Si tratta ora di assumere una “ragionevole deformata” per la trave vibrante. A questo scopo si consideri la deformata statica corrispondente ad un carico in mezzeria (vedi Appendice A3):

204

3)( max

3l

xyl

x

l

xxy ≤≤

−=

Fig. 4.7 – Trave appoggiata con massa in mezzeria.

Assunta quest’ultima come “ragionevole deformata” per la trave vibrante [v(x,t) = y(x) cosωnt ], l’energia cinetica massima si può scrivere come:

∫∫

−+=

−+=

2

0

232max

22max

22

0

2max

2322

max2 4

32

2

1

2

14

32

2

1

2

1l

nn

l

nnMAX dxl

x

l

xy

l

myMdmy

l

x

l

xyMT ωωωω

che diviene:

+= mMyT nMAX 35

17

2

1 2max

2ω

Mentre per l’energia potenziale si ha: 2max2

1ykVMAX = dove k è la rigidezza flessionale della

trave pari a: 3

48

l

EIk = . In conclusione risulta:

+

=mMl

EIn

35

1748

3ω

Il metodo di Rayleigh è una generalizzazione del metodo dell’energia: viene assunta una “ragionevole deformata” per il sistema vibrante e in base a questa vengono determinati ed eguagliati i valori massimi di energia cinetica e potenziale. Ovviamente, il risultato sarà tanto più accurato quanto più la deformata assunta si avvicina a quella reale.



VIBRAZIONI FORZATE Scrittura delle equazioni del moto Si consideri il semplice sistema di fig. 4.8 costituito da un disco omogeneo di raggio R, massa m e momento di inerzia baricentrico JG. Si analizzi per semplicità il solo moto piano e si supponga che il disco rotoli senza strisciare su una guida rettilinea richiamato da una molla di costante elastica k e da uno smorzatore viscoso di caratteristica c. Nel baricentro del disco è applicata una forza esterna f(t). Il moto del sistema è descritto da due variabili fisiche, ad esempio, la traslazione x del baricentro del disco e la rotazione θ subita dallo stesso, ma poiché il disco rotola senza strisciare, il sistema è dotato di un solo gdl, essendo la coordinate x e θ correlate dalla relazione: x(t) = R θ(t) Assunta ora, come variabile indipendente per descrivere il moto del sistema vibrante, la traslazione x del baricentro, si procede alla scrittura dell'equazione del moto impiegando diversi metodi.

m, J

c

k

F(t)

G

G

R

x

θ

Fig. 4.8 – Sistema ad 1 gdl.

Principio di d'Alembert La risultante delle forze applicate ad un sistema meccanico, comprese quelle di inerzia, è nulla; pertanto, scrivendo le equazioni di equilibrio dinamico nelle direzioni orizzontale e verticale e il momento alla rotazione rispetto al baricentro G del disco, si ottengono le seguenti tre equazioni:

0

0

0)(

=−=−−

=++−−−

Nmg

TRJ

Ttfkxxcxm

Gθ!!!!!

0

0

0)(

=−

=−−

=++−−−

Nmg

TRR

xJ

Ttfkxxcxm

G

!!!!!

dove g è l’accelerazione di gravità, mentre N e T sono rispettivamente la componente normale e tangenziale della reazione esercitata dal vincolo sul disco. Tenendo conto del legame tra x e θ, si ha: ossia tre equazioni, di cui due differenziale a coefficienti costanti, nelle tre incognite x, T e N; la terza equazione è disaccoppiata dalle prime due. L’applicazione del principio di d’Alembert presenta perciò uno svantaggio e un vantaggio: si ha un numero di equazioni superiore al numero di gdl, ma insieme alla legge di moto si riescono a determinare anche le reazioni vincolari T e N.

Dalle prime due equazioni si riesce ad eliminare l’incognita T giungendo alla:

)(2

tfkxxcxR

Jm G =++

+ !!!



Essendo il sistema particolarmente semplice, era possibile giungere direttamente all’equazione del moto scrivendo l’equilibrio dinamico alla rotazione rispetto al centro di istantanea rotazione tra disco e guida. Principio dei lavori virtuali Condizione necessaria a sufficiente per l’equilibrio di un sistema, è che sia nullo il lavoro delle forze attive esterne e interne su di esso agenti, comprese quelle di inerzia, a seguito di spostamenti virtuali (infinitesimi e compatibili con i vincoli), invertibili, dei loro punti di applicazione. Considerato uno spostamento infinitesimo e compatibile con i vincoli δx, si ha:

lavoro virtuale compiuto dalle forze inerziali: δθθδδ !!!! Gi JxxmW −−=

lavoro virtuale compiuto dalle forze elastiche e viscose: xxcxxkWkc δδδ !−−=

lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne: xtfWe δδ )(=

Applicando il PLV, si ha: 0)( =+−−−−=++ xtfxxcxxkJxxmWWW Gekci δδδδθθδδδδ !!!!!

Che, tenuto conto del legame tra x e θ e della seguente: xR

xx

δδθδθ 1=∂∂=

diventa: 0)(2

=

+−−−− xtfxcxk

R

xJxm G δ!!!!!

In altre parole l’equazione del moto è: )(2

tfkxxcxR

Jm G =++

+ !!!

Equazioni di Lagrange Per un sistema ad un gdl l’equazione di Lagrange può essere scritta come segue (vedi anche App. A2):

Qq

V

q

T

q

T

dt

d =∂∂+

∂∂−

∂∂!

in cui q è la generica coordinata indipendente scelta per descrivere il moto del sistema. Risulta conveniente scrivere le varie forme di energia esprimendole dapprima in funzione di coordinate fisiche: tali coordinate possono essere per esempio spostamenti dei baricentri (o rotazioni) dei diversi corpi che compongono il sistema, allungamenti relativi delle estremità di elementi elastici, spostamenti dei punti di applicazione delle forze, ecc… In seguito si introducono i legami tra le variabili fisiche e la coordinata generalizzata prescelta. Se si considera, come unica variabile indipendente, lo spostamento x del baricentro del disco: q = x, e come variabili fisiche la rotazione θ e l’allungamento ∆l della molla, le espressioni delle varie forme di energia risultano le seguenti:

energia cinetica: 22

2

1

2

1 θ!! GJxmT += energia potenziale: 2

2

1lkV ∆=

lavoro virtuale compiuto dalla forza dissipativa viscosa: xlcWd δδ ∆−= !

lavoro virtuale compiuto dalla forza esterna: xtfWe δδ )(=

Introducendo i legami tra le variabili fisiche e la coordinata generalizzata q=x, i vari termini dell’equazione di Lagrange risultano:

xR

Jxmx

R

Jxm

dt

d

R

xJxm

xdt

d

x

T

dt

d GGG !!!!!!!!

!! 222

22

2

1

2

1 +=

+=

+

∂∂=

∂∂

02

1

2

12

22 =

+

∂∂=

∂∂

R

xJxm

xx

T

dt

dG

!!

xkxkxx

V =

∂∂=

∂∂ 2

2

1



)(tfxcx

WQ +−== !

δδ

In definitiva: )(2

tfkxxcxR

Jm G =++

+ !!!

ECCITAZIONE ARMONICA Si consideri il sistema ad un gdl di figura 4.9, dove la massa m è soggetta ad una forza armonica F(t) = F0

cosωt. L’equazione del moto è:

tFkxxcxm ωcos0=++ !!!

L’integrale è somma dell’integrale dell’omogenea associata e di un integrale particolare che, visto che l’eccitazione è armonica, sarà anch’esso di tipo armonico e avrà la stessa frequenza:

)cos()()()()( 0 ψω −+=+= tXtxtxtxtx gopgo

In particolare, l’integrale della omogenea (che caratterizza la fase di transitorio), per valori di smorzamento inferiori a quello critico, si può esprimere nella forma:

tAtAetx sst

gon ωωζω sincos)( 21 += −

m

c k

F(t)

x(t)

Fig. 4.9 – Sistema ad un gdl smorzato.

dove A1 e A2 sono costanti che dipendono dalle condizioni iniziali e ωs è la pulsazione naturale del

sistema smorzato ( 21 ζωω −= ns ). Si tratta di un moto periodico smorzato che, dopo un certo tempo, si annulla. Trascorso il transitorio, resta l’integrale particolare le cui costanti X0 e ψ dipendono dalle caratteristiche del sistema e dell’eccitazione. Si trova facilmente, ad esempio impiegando la rappresentazione di figura 4.10, che:

22

2

2

20

2222

00

21)(

+

−

=+−

=

nn

nmF

cmk

FX

ωωζ

ωω

ωωω

; 22

1

2

−

=−

=

n

n

mk

ctg

ωωω

ωζ

ωωψ

Fig. 4.10 – Rappresentazione dell’equazione del moto nel piano complesso.



Gli andamenti, corrispondenti a diversi valori del fattore di smorzamento ζ, di ampiezza X0 e fase ψ della risposta forzata a regime, sono riportati in figura 4.11, in funzione del rapporto (ω/ωn)

2. In figura 4.11(a), l’ampiezza è stata divisa per la freccia statica, ossia per la deformazione della molla sotto l’azione della forza statica F0.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Xo

k/F

o

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

psi

(a) (b)

Fig. 4.11 – Ampiezza (a) e fase (b) della risposta forzata a regime, in funzione del rapporto (ω/ωn)2.

Si parla di risonanza di ampiezza quando l’ampiezza dell’oscillazione a regime

X0 raggiunge il valore massimo. Tale condizione si ha per 221 ζωω −=

n e il

valore dell’ampiezza vale: Si parla, invece, di risonanza di fase quando 1=nωω , ovvero quando la fase

ψ è pari a π/2. In tale condizione il valore dell’ampiezza a regime vale:

2

0

12 ζζ −= k

F

X RA

ζ2

0k

F

X RF =

In figura 4.12 è riportato l’andamento del rapporto tra XRF e XRA in funzione del fattore di smorzamento ζ. Si nota come le due risonanze tendono a coincidere al diminuire di ζ.

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 10

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

Fig. 4.12 – Rapporto tra XRF e XRA in funzione del fattore di smorzamento ζ.

FUNZIONE RISPOSTA IN FREQUENZA (FRF) Si consideri l’eccitazione armonica rappresentata in forma complessa tieFtF ω

0)( = .

L’equazione del moto per un sistema ad un grado di libertà con smorzamento viscoso risulta nella forma:

tieFzkzczm ω0=++ !!!

Poiché l’effettiva eccitazione è costituita dalla sola parte reale di F(t), la risposta del sistema sarà anch’essa costituita dalla sola parte reale di z(t), x(t)=Re[z(t)], dove z(t) è una quantità complessa che soddisfa l’equazione differenziale del moto.



Ipotizzata una soluzione particolare del tipo: titiiti ZeeeZeZz ωωψψω === −−0

)(0 ,

se si sostituisce nella equazione differenziale, si ha: 02 FkZZicZm =++− ωω

e si ottiene: ωω icmk

FZ

+−= 2

0 .

Quest’ultima può essere scritta come: )(

21

11

2

220

ω

ωωζ

ωωωω

iH

i

kicmkF

Z

nn

=+−

=+−

=

che è nota come funzione risposta in frequenza del sistema.

Si tratta naturalmente di una quantità complessa: ψωω ieiHiH −= )()( , in cui:

22

2

2

21

1)(

+

−

=

nn

kiH

ωωζ

ωω

ω e

2

2

1

2

n

ntg

ωωωωζ

ψ−

=

Infine, ricordando che ψieZZ −= 0 , risulta:

( ) ( ) 22

2

2

0

222

00

21

+

−

=+−

=

nn

kF

cmk

FZ

ωωζ

ωωωω

;

2

22

1

2

n

n

mk

ctg

ωωωωζ

ωωψ

−=

−=

La risposta del sistema è, come detto, costituita dalla sola parte reale di z(t), ovvero:

[ ] )cos(Re)](Re[)( 0)(

0 ψωψω −=== − tZeZtztx ti .

In definitiva, come ovvio, si ritrova il risultato del paragrafo precedente. DETERMINAZIONE DELLO SMORZAMENTO: METODO DELLA BANDA DI MEZZA POTENZA Si considerino i valori del rapporto nr ωω= per i quali l’ampiezza della risposta a regime vale 21

l’ampiezza in condizioni di risonanza di fase. In altre parole:

( ) ( ) 22221

0

222

0

ζζk

FX

rr

kF

RF ==+−

Si ottiene l’equazione: ( ) ( ) 2222 821 ζζ =+− rr cioè: ( ) 081122 2224 =−+−+ ζζ rr le cui radici sono:

22224222,1 12218144121 ζζζζζζζ +±−=+−−+±−=r

Per valori piccoli dello smorzamento si ha ζ2<<1 per cui si può approssimare: ζ2122,1 ±≈r



da cui si ricava il valore del fattore di smorzamento: 4

21

22 rr −=ζ .

In definitiva, se si approssima 2)( 12 ωωω +≈n , si ha:

nnω

ωωωω

ωωωωω

ωωζ 122

12

12122

21

22

2

1

)(

))((

4

−≈+

+−≈−=

L’intervallo di pulsazioni comprese tra ω1 e ω2 viene chiamato banda di mezza potenza. Tale denominazione deriva dal fatto che la potenza media dissipata ad ogni ciclo per effetto dell’attrito viscoso, in corrispondenza di ω1 e ω2, è approssimativamente la metà di quella dissipata in condizioni di risonanza di fase. Infatti, in generale, l’espressione della potenza media dissipata in un ciclo dallo smorzatore viscoso, per un moto armonico )cos()( ψω −= tXtx è:

22

02

11 ωXcdtxxcT

PT

m == ∫ !!

Si ha quindi: 2

1

2

21

2

22,1

22

22,1

22,12,1 ≈±≈== ζ

ωω r

Xc

Xc

P

P

nRFm

m

RF

Quanto detto fornisce la base per un metodo di rilevazione sperimentale dello smorzamento. Infatti, trovato sperimentalmente l’andamento dell’ampiezza della risposta a regime in funzione del rapporto r, si possono determinare ω1, ω2 e ωn, e quindi si può calcolare ζ.

Fig. 4.13 – Banda di mezza potenza.

ECCITAZIONE PROPORZIONALE AL QUADRATO DELLA FREQUENZA Un caso particolare si ha quando la forza eccitatrice ha ampiezza proporzionale al quadrato della pulsazione ω. Tale situazione si verifica, ad esempio, nelle macchine con rotori squilibrati. L’equazione del moto è:

tAkxxcxm ωω cos2=++ !!!



La risposta a regime risulta del tipo: )cos()( 0 ψω −= tXtx

con: 22

2

2

2

0

21

+

−

=

nn

nm

A

X

ωωζ

ωω

ωω

; 2

1

2

−

=

n

ntg

ωωω

ωζψ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

Xo

m/A

Fig. 4.14 – Ampiezza del rapporto X0 m/A in funzione del rapporto (ω/ωn)

2 nel caso di oscillazioni forzate con eccitazione sinusoidale di ampiezza proporzionale a ω.

ECCITAZIONE ARMONICA IN RISONANZA (DI FASE) Si consideri il caso particolare in cui la forza eccitatrice ha pulsazione ω coincidente con la pulsazione naturale ωn del sistema. In altre parole siamo in condizione di risonanza di fase. Per il sistema non smorzato, l’equazione del moto è:

tFkxxm nωcos0=+!! ovvero: tmFxx nn ωω cos02 =+!!

L’integrale particolare è: ttXtx nnp ωω sin)( = con: k

FX 0

2

1=

L’integrale generale dell’omogenea associata è del tipo: tAtAtx nngo ωω sincos)( 21 +=

Fig. 4.15 – Risposta del sistema non smorzato all’eccitazione armonica in risonanza.



Pertanto, l’integrale generale dell’equazione completa è:

ttk

FtAtAtx nnnn ωωωω sin

2

1sincos)( 0

21 ++=

Introducendo le condizioni iniziali si ha: ttk

Ft

xtxtx nnn

n

ono ωωω

ωω sin

21

sincos)( 0++=!

Si può osservare che l’integrale particolare dell’equazione completa è una oscillazione di ampiezza che cresce linearmente nel tempo. Il suo andamento è rappresentato in figura 4.15. Per il sistema smorzato, l’equazione del moto è:

tFkxxcxm nωcos0=++ !!! ovvero: tmFxxx nnn ωωζω cos2 02 =++ !!!

L’integrale particolare è: tXtx np ωsin)( = con: ζ2

0k

F

X =

L’integrale generale dell’omogenea associata è del tipo:

tAtAetx sst

gon ωωζω sincos)( 21 += −

in cui, se le condizioni iniziali sono nulle, risulta:

2

0

2

1

12

0

ζζ −−=

=

kF

A

A

Pertanto, l’integrale generale dell’equazione completa, il cui andamento è riportato in figura 4.16, è:

+

−−=

−tt

ekF

tx ns

tn

ωωζζ

ζωsinsin

12)(

2

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.5

0

0.5

1

Fig. 4.16 – Risposta del sistema smorzato all’eccitazione armonica in risonanza.



FENOMENO DEL BATTIMENTO Si consideri il caso dell’eccitazione armonica in cui il sistema sia privo di smorzamento. L’equazione del moto si riduce alla seguente:

tFkxxm ωcos0=+!! ovvero: tmFxx n ωω cos02 =+!!

E l’integrale generale dell’equazione completa è: tXtxtxtxtx gopgo ωcos)()()()( 0+=+=

dove: tAtAtx nngo ωω sincos)( 21 += e tXtxp ωcos)( 0=

con

2

2

0

22

0

20

0

1n

n

kF

mF

mk

FX

ωωωωω

−=

−=

−=

Introdotte le condizioni iniziali, risulta: ( ) tXtx

tXxtx nn

ono ωω

ωω cossincos)( 00 ++−=

!

Fig. 4.17 – Risposta del sistema non smorzato all’eccitazione armonica (ω < ωn).

Fig. 4.18 – Risposta del sistema non smorzato all’eccitazione armonica (ω > ωn).

Il moto risulta la sovrapposizione di due moti: uno ha pulsazione pari a quella della forzante, l’altro ha pulsazione pari a quella naturale del sistema. La figura 4.17 rappresenta il caso in cui la pulsazione della forzante è inferiore a ωn (ω < ωn), mentre la situazione opposta è rappresentata in figura 4.18 (ω > ωn). Ora, se la pulsazione ω della forzante è molto vicina alla pulsazione naturale del sistema, pur mantenendosi distinta da quest’ultima, nasce un fenomeno noto come battimento. In questo tipo di vibrazione l’ampiezza aumenta e diminuisce con andamento regolare. Il fenomeno può essere spiegato considerando il caso in cui entrambe le condizioni iniziali siano nulle; allora si ha:

( ) ( )ttmF

ttXtx n

n

n ωωωω

ωω coscoscoscos)(22

0

0 −−

=−=



che si può scrivere anche come:

−⋅+

−= ttm

F

tx nn

n2

sin2

sin2)(22

0 ωωωωωω

Ipotizzando che ω sia poco più piccola di ωn e ponendo: εωω 2=−n ,

dove ε è una piccola quantità positiva, risulta ωω ≈n e: ωωω 2≈+n .

Pertanto: εωωω 422 =−n

In conclusione la legge di moto assume la forma: ttmF

tx ωεεω

sinsin2

)(0

=

Il moto può essere inteso come un moto avente pulsazione ω la cui ampiezza varia lentamente (ε è piccolo) con periodo 2π/ε (vedi figura 4.19). La frequenza di battimento ωb è definita come: ωωεω −== nb 2

Fig. 4.19 – Fenomeno del battimento.

VIBRAZIONI FORZATE CON SMORZAMENTO STRUTTURALE (ISTERETICO) L’equazione del moto per un sistema ad un grado di libertà con smorzamento strutturale è:

tFkxxh

xm ωω

cos0=++ !!!

Se si introduce la variabile complessa z, con x = Re(z), si ha: tieFzkzh

zm ω

ω 0=++ !!!

Ipotizzata una soluzione particolare del tipo: titiiti ZeeeZeZz ωωψψω === −−0

)(0 ,

se si sostituisce nella equazione differenziale, si ottiene: 02 FkZihZZm =++− ω

che, introducendo il fattore di smorzamento strutturale η, si può scrivere: 02 )1( FZikZm =++− ηω

e si ottiene: kimk

FZ

ηω +−=

20

Ricordando che ψieZZ −= 0 , risulta:

( ) ( ) 2

2

2

2

0

222

00

1 ηωωηω

+

−

=+−

=

n

kF

kmk

FZ ;

22

1

−

=−

=

n

mk

ktg

ωω

ηω

ηψ



La risposta del sistema, x(t), è costituita dalla sola parte reale di z(t), ovvero:

[ ] )cos(Re)](Re[)( 0)(

0 ψωψω −=== − tZeZtztx ti .

Si può notare che, nel caso di smorzamento strutturale, la risposta x(t) raggiunge il suo valore massimo, F0/(kη), in corrispondenza della risonanza ω = ωn, al contrario di quanto avviene nel caso di smorzamento viscoso in cui il massimo è raggiunto per ω < ωn. Inoltre, per valori non nulli di η, l’angolo ψ non si annulla mai (nemmeno per ω = 0); ciò significa che nel caso di smorzamento struturale l’eccitazione e la risposta non possono mai essere in fase.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Xo

k/F

o

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ps

i

(a) (b)

Fig. 4.20 – Smorzamento strutturale: ampiezza (a) e fase (b) della risposta forzata a regime, in funzione del rapporto (ω/ωn)

2. RISPOSTA ALL’IMPULSO Si consideri una forza F nulla ovunque tranne che per l’intervallo di tempo ∆t in cui ha un’ampiezza costante F0.

La quantità: ∫+∞

∞−

∆== tFdttFI 0)( si dice impulso della forza F.

Si faccia ora tendere a zero l’intervallo ∆t, imponendo che sia: ∫+∞

∞−→∆

= IdttFt

)(lim0

.

La forza F(t) che soddisfa questa condizione si dice impulsiva. Ricordando che l’impulso di una forza è uguale alla variazione della quantità di moto, se una forza trasmette un impulso I ad un corpo di massa m inizialmente in quiete, il corpo stesso acquista una quantità di moto Q = I, e quindi una velocità data da v0 = I / m. Ne segue che la risposta forzata ad un’eccitazione impulsiva di impulso I di un corpo di massa m, inizialmente fermo, coincide con il moto libero relativo alle condizioni iniziali:

0)0( =x e m

Ix =)0(!

Infatti, a causa della durata molto breve (teoricamente nulla) della forza impulsiva, durante la sua applicazione il corpo rimane nella posizione iniziale. Pertanto si avrà:

tm

Itx n

n

ωω

sin)( = per il sistema non smorzato



tem

Itx s

t

s

n ωω

ζω sin)( −= per il sistema smorzato (con ζ<1)

Ovvero: )()( thItx = avendo indicato con: tem

th st

s

n ωω

ζω sin1

)( −=

la risposta del sistema ad un impulso unitario. RISPOSTA ALL’ECCITAZIONE GENERICA Si consideri una forza eccitatrice F(t) di forma arbitraria. Essa può essere immaginata come una successione di forze impulsive, ciascuna agente per un intervallo di tempo elementare dτ, alle quali corrispondono gli impulsi elementari F(τ)dτ. La risposta del sistema, all’istante t, per effetto dell’impulso elementare dI = F(τ)dτ agente al tempo τ, sarà:

)()(sin)( )( ττωω

τζω −=−= −− thdItem

dItdx s

t

s

n

essendo h(t) la risposta del sistema al generico impulso unitario (I = 1). Se il sistema è lineare, la risposta sarà la somma delle risposte ai singoli impulsi elementari, ovvero:

∫∫ −==tt

dthFtdxtx00

)()()()( τττ

L’integrale a secondo membro viene detto integrale di convoluzione o integrale di Duhamel.

Fig. 4.21 – Forza eccitatrice di forma arbitraria e risposta del sistema all’impulso F(τ)dτ.


Pàtron, Bologna. * W. J. Palm, Modeling, analysis, and Control of Dynamic Systems, John Wiley & Sons, 1999. * S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995. * G. Diana, F. Cheli, Dinamica e Vibrazione dei Sistemi, vol. I, ed. Utet, Torino, 1993. * E. Pennestrì, Dinamica Tecnica e computazionale, vol. I, ed. Ambrosiana, 2001.



APPENDICE A1 – Equazioni differenziali ordinarie (EDO)

)()()(

...)()(

011

1

1 tFtxadt

tdxa

dt

txda

dt

txda

n

n

nn

n

n =++++ −

−

− (A1.1)

L’integrale generale è: x(t) = xO(t) + xp(t) (A1.2) dove xo(t) è l’integrale dell’equazione omogenea associata (A) e xp(t) è un’integrale particolare della EDO (B). A) Integrale generale dell’omogenea associata è:

tzn

tztzo

neCeCeCtx +++= ...)( 2121 (A1.3)

dove z1, z2, …, zn sono radici distinte dell’equazione caratteristica:

0... 011

1 =++++ −− azazaza n

nn

n

e C1, C2, …, Cn sono in generale numeri complessi. Se l’equazione caratteristica ha m radici coincidenti, allora:

tzn

tzm

tzmm

tztzo

nm eCeCetCteCeCtx ++++++= ++

− ......)( 11111

121 (A1.4)

Le eventuali radici complesse vanno a coppie: z1 = a + ib; z2 = a – ib Le costanti di integrazione si determinano in funzione delle condizioni iniziali che possono riguardare la posizione e/o la velocità:

0

0

)0(

)0(

vx

xx

==

!

B) Integrale particolare dell’equazione completa (A1.1), xp(t), dipende dal termine F(t).



APPENDICE A2 – Equazioni di Lagrange EQUAZIONI DI LAGRANGE Se n è il numero di gdl del sistema considerato, n sono le equazioni di Lagrange che ne individuano il moto. Per un sistema ad un gdl l’equazione può essere scritta nella forma:

Qq

V

q

T

q

T

dt

d =∂∂+

∂∂−

∂∂!

dove: q è la coordinata generalizzata, T e V sono rispettivamente l’energia cinetica e l’energia potenziale e la quantità:

q

W

qQ j

j j δδ=

∂∂

⋅=∑r

F

è la forza generalizzata di tipo non conservativo. In altri termini Q è la componente lagrangiana di tutte le forze agenti sul sistema, non comprese quelle inerziali (il cui effetto è considerato in T) e quelle che ammettono potenziale, tipicamente le forze peso e le forze elastiche (queste ultime sono considerate in V). Q viene calcolata come rapporto tra il lavoro virtuale δW delle forze non conservative (per uno spostamento virtuale δq della coordinata generalizzata q) e lo spostamento virtuale stesso.



APPENDICE A3 – Deformata trave appoggiata

Tratto AC

−

−=

l

x

l

x

l

l

l

l

EI

Plxy

2222

3

16

)( (A3.1)

Tratto CB

−

−−

−=

l

xl

l

xl

l

l

l

l

EI

Plxy

2222

3

16

)( (A3.2)

Punto C lEI

lPllxy

22

21

1 31

)( == (A3.3)

Se l1 = l2 = l/2, la (A3.1) diventa:

−=

33

4

3

12)(

l

x

l

x

EI

Plxy

(A3.4)

e in mezzeria, si ha: EI

Ply

lxy

482

3

max ==

=

(A3.5) Pertanto la freccia in una sezione a distanza x è:

−=

−=

3

max

33

43

43

48)(

l

x

l

xy

l

x

l

x

EI

Plxy

(A3.6) Infine, essendo la rigidezza pari all’inverso della freccia corrispondente ad un carico unitario, la rigidezza flessionale della trave con carico in mezzeria è (vedi (A3.5)):

3

48

l

EIk =



PARTE 5 – Sistemi a 2 gdl EQUAZIONI DEL MOTO Si consideri il sistema a due gdl rappresentato in figura, costituito da masse molle e smorzatori viscosi. Il moto del sistema è completamente descritto dalle coordinate x1(t) e x2(t), che definiscono la posizione delle masse m1 e m2 a partire dalle rispettive posizioni di equilibrio.

Fig. 5.3 – Sistema vibrante a due gradi di libertà. L’applicazione del principio di d’Alembert fornisce le equazioni del moto:

)()()(

)()()(

2122321223222

1221212212111

tFxkxkkxcxccxm

tFxkxkkxcxccxm

=−++−++=−++−++

!!!!!!!!

che possono essere scritte in forma matriciale:

)()(][)(][)(][ tFtxKtxCtxM =++ !!!

dove:

=

2

1

0

0][

m

mM

+−

−+=

322

221][kkk

kkkK

+−

−+=

322

221][ccc

cccC

sono dette rispettivamente matrice massa, rigidezza e smorzamento, e:

=)(

)()(

2

1

tx

txtx

=)(

)()(

2

1

tF

tFtF

sono chiamati rispettivamente vettore spostamento e forza.

Le matrici possono risultare, a seconda delle coordinate scelte: * complete e non simmetriche * simmetriche * diagonali.



Esempio

Si consideri il sistema di figura e si assumano le nuove coordinate z1 e z2 definite dalle relazioni:

)( 211 zzx −= )( 212 zzx += sostituendo nelle equazioni del moto:

0)())(()(

0)())(()(

2122132212

2122121211

=−−++++=+−−++−

zzkzzkkzzm

zzkzzkkzzm

!!!!!!!!

cioè: 0)2(

0)2(

223132212

221112111

=++++=+−+−

zkkzkzmzm

zkkzkzmzm

!!!!!!!!

Risulta pertanto:

−=

22

11][mm

mmM

++−

=233

211

2

)2(][

kkk

kkkK

cioè le due matrici sono complete e non simmetriche. Se, in particolare, m1 = m2 = m e k1 = k2 = k3 = k, le due equazioni diventano:

03

03

2121

2121

=+++=−+−

zkzkzmzm

zkzkzmzm

!!!!!!!!

e le matrici:

−=

mm

mmM ][

−=

kk

kkK

3

3][

Sommando e sottraendo membro a membro le equazioni del moto, si ottiene:

03

0

22

11

=+=+

zkzm

zkzm

!!!!

con

=

m

mM

0

0][

=

k

kK

30

0][

Le matrici massa e rigidezza sono ora diagonali e le due equazioni sono disaccoppiate.

Inoltre si vede subito che le due pulsazioni naturali sono: m

k=21ω ;

m

k322 =ω .

Le coordinate z1 e z2 si dicono coordinate principali.



VIBRAZIONI LIBERE



VIBRAZIONI FORZATE Le equazioni del moto per un generico sistema a due gdl soggetto a forzanti esterne possono essere scritte come:

=

+

+

2

1

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

F

F

x

x

kk

kk

x

x

cc

cc

x

x

mm

mm

!!

!!!!

(5.19)

Se si considerano forzanti esterne armoniche di pulsazione ω:

tijj eFtF ω0)( = j = 1, 2 (5.20)

le soluzioni a regime sono del tipo: tijj eXtx ω=)( (5.21)

dove X1 e X2 sono, in generale, quantità complesse che dipendono da ω e dai parametri del sistema. Sostituendo le (5.20) e (5.21) nelle (5.19) si ha:

=

++−++−++−++−

20

10

2

1

2222222

2121212

1212122

1111112

)()(

)()(

F

F

X

X

kcimkcim

kcimkcim

ωωωωωωωω

(5.22)

Se si definisce la quantità:

rsrsrsrs kcimiZ ++−= ωωω 2)( (5.23)

le (5.22) possono scriversi: [ ] 0)( FXiZ =ω (5.24)

dove: [ ]

=)()(

)()()(

2221

1211

ωωωω

ωiZiZ

iZiZiZ ;

=2

1X

XX ;

=20

100

F

FF .

La matrice [Z(iω)] è detta matrice impedenza.

La (5.24) può essere risolta ottenendo: [ ] 01)( FiZX −= ω (5.25)

dove l’inversa della matrice impedenza è data da:

[ ]

−

−−

=−

)()(

)()(

)()()()(1

)(1121

1222

21122211

1

ωωωω

ωωωωω

iZiZ

iZiZ

iZiZiZiZiZ (5.26).

Le equazioni (5.25) e (5.26) conducono alla soluzione:

)()()()(

)()()(

21122211

201210221 ωωωω

ωωωiZiZiZiZ

FiZFiZiX

−−=

)()()()(

)()()(

21122211

201110212 ωωωω

ωωωiZiZiZiZ

FiZFiZiX

−+−= (5.27)

che, sostituita nella (5.21), fornisce x1(t) e x2(t).



Esempio

Trovare la risposta a regime del sistema di figura quando la massa m1 è eccitata dalla forzante armonica F1(t) = F cosωt. Le equazioni del moto sono:

=

−−

+

+

0cos

22

000

00

2

1

2

1

2

1 tFxx

kkkk

xx

cxx

mm ω

&&

&&&&

Assunte come soluzioni le: ti

jj eYty ω=)( j = 1, 2 con [ ]tijj eYtytx ωℜ=ℜ= )]([)(

la (5.23) fornisce: kmiZ 2)( 2

11 +−= ωω ; kicmiZ 2)( 222 ++−= ωωω kZZ −== )()( 2112 ωω

di conseguenza si ha:

( )( )( ) 222

2

1 222)(

kkmkicmFkicmiY

−+−++−++−

=ωωω

ωωω

( )( ) 2222 22)(

kkmkicmkFiY

−+−++−=

ωωωω

Ponendo: mk

=20ω ;

kmc

mca

22 0==

ω

e sostituendole nelle relazioni che forniscono Y1 e Y2, si ha:

1222

22)(

20

2

02

0

20

20

2

1

−

−

++−

++−

=

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωai

kFai

iY e 1222

)(

20

2

02

0

22

−

−

++−

=

ωω

ωω

ωω

ωai

kF

iY .



Graficando la prima in funzione del rapporto adimensionale ω/ω0. e per diversi valori del parametro a si vede che quando a >> 1 il sistema si comporta come un sistema ad un gdl con un’unica risonanza che vale:

mkn 2=ω e risulta quindi: 20 =ωωn .

In altre parole è come se la massa inferiore fosse solidale al telaio.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

om/om0

abs(

Y1)

*k/F

a=0.2

a=1

a=10

SMORZATORE DINAMICO Si consideri il caso di un macchinario sottoposto ad una eccitazione con pulsazione molto prossima ad una pulsazione naturale del macchinario stesso. In tale caso, le vibrazioni eccessive del sistema possono essere ridotte impiegando un cosiddetto smorzatore dinamico di vibrazioni (o assorbitore dinamico), costituito da una massa collegata al macchinario da una molla. Lo smorzatore dinamico deve essere progettato in modo che le frequenze naturali del sistema siano il più possibile lontane dalla frequenza dell’eccitazione. Per studiare il problema si schematizzi la macchina come un sistema ad un grado di libertà (v. figura)

sottoposto ad una forzante armonica F(t) = F cosωt , in cui 11 mk=ω , ossia il sistema è in risonanza.



A questo punto si supponga di collegare al macchinario una seconda massa m2 mediante una molla di costante elastica k2.

Le equazioni del moto sono: 0

cos)(

122222

2212111

=−+=−++

xkxkxm

tFxkxkkxm

!!!! ω

o anche:

=

−−+

+

0

cos

0

0

2

1

22

221

2

1

2

1 tF

x

x

kk

kkk

x

x

m

m ω!!!!

Assunte come soluzioni le: tXtx jj ωcos)( = j = 1, 2

la (5.23) fornisce:

)()( 212

111 kkmZ ++−= ωω 22

222 )( kmZ +−= ωω 22112 )()( kZZ −== ωω di conseguenza si ha:

( )( )( ) 2

222

2212

1

22

21 )(

kkmkkm

FkmX

−+−++−+−=

ωωωω

( )( ) 222

2221

21

22 )(

kkmkkm

FkX

−+−++−=

ωωω

Se è soddisfatta la condizione: 2

2

1

1

m

k

m

k ==ω

si ha per x1(t) una antirisonanza, ossia la massa m1 non vibra.

Posto: 1

110 m

k=ω 2

220 m

k=ω

le espressioni di X1(ω) e X2(ω) risultano:

1

22

10

2

210

2

1

2

12

20

2

1

11

1

)(

k

k

k

k

k

F

X

−

−

−+

−

=

ωω

ωω

ωω

ω e

1

22

10

2

210

2

1

2

12

11

)(

k

k

k

k

k

F

X

−

−

−+

=

ωω

ωω

ω

che possono essere diagrammate in funzione del rapporto adimensionale ω/ω10.

Si nota che quando ω10 = ω20 = ω, risulta: 0)(1 =ωX 2

2 )(k

FX −=ω .

In altre parole, la massa m1 non oscilla poiché la massa m2 trasmette alla massa m1 una forza uguale ed opposta all’eccitazione; infatti:

tFtFtFk

mtXmxmxxk ωω

ωωωωωω coscoscoscos)(

220

22

2

22

2222122 −=−=−==−=− !!



0 0.5 1 1.5 2-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

om/om10

X1

*k1/

F0

0 0.5 1 1.5 2-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

om/om10

X2*

k1/F

0

L’aggiunta di una massa introduce però nel sistema una seconda risonanza. Il sistema ha quindi due risonanze che si possono trovare ponendo a zero il denominatore di X1(ω) (o di X2(ω)):

0111

22

10

2

210

2

1

2 =−

−

−+

k

k

k

k

ωω

ωω

ossia: 0121

22

10

2

410

4

=+

+−

k

k

ωω

ωω

Osservando che quando ω10 = ω20 = ω, si ha: 1

2

1

2

m

m

k

k =

le due pulsazioni sono tanto più lontane da 1110 mk=ω quanto più grande è il rapporto 12 mm :

2

4222

1

2

1

2

2,12

10

2−

+±

+

=

m

m

m

m

ωω

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

m2/m1

om/o

m10



MOTI RIGIDI Si consideri il sistema a due 2gdl rappresentato in figura (potrebbe essere, ad esempio, il modello di due vagoni ferroviari). Le equazioni del moto libero sono le seguenti:

0)(0)(

1222

2111

=−+=−+

xxkxmxxkxm

&&

&&

Assunto il moto nella forma: )cos()( jjj tXtx φω += j = 1, 2 risulta:

0)(

0)(

22

21

212

1

=+−+−

=−+−

XkmkX

kXXkm

ω

ω

e l’equazione caratteristica diviene: 0)]([ 21

221

2 =+− mmkmm ωω

da cui si ottengono le pulsazioni naturali: 01 =ω 21

212

)(mm

mmk +=ω

Una delle due pulsazioni è nulla: il sistema non vibra a tale pulsazione. In altre parole il sistema si muove come un unico corpo rigido senza moto relativo tra le due masse; si dice pertanto che il sistema ha un moto rigido.

Come ovvio, alla pulsazione ω1 corrisponde il modo di vibrare: 111

21 =

==ωωX

Xr

mentre alla pulsazione ω2 corrisponde il modo di vibrare: 2

1

1

22

2mm

XXr −=

==ωω

che è una quantità negativa; pertanto il secondo modo ha un nodo. BIBLIOGRAFIA * E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. II, ed.

Pàtron, Bologna. * S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995.

Parte 6 – Sistemi a N gdl


PARTE 6 – Sistemi a N gdl SISTEMI NON SMORZATI Le equazioni del moto si scrivono applicando il principio di D’Alembert, il principio dei lavori virtuali o le equazioni di Lagrange. Per le vibrazioni libere di un sistema non smorzato le equazioni del moto sono del tipo:

0)(][)(][ =+ txKtxM && (6.1) dove [M] è la matrice massa e [K] è la matrice rigidezza:

=

nnnn

n

n

mmm

mmmmmm

M

...............

...

...

][

21

22221

11211

=

nnnn

n

n

kkk

kkkkkk

K

...............

...

...

][

21

22221

11211

e x è il vettore delle coordinate. La matrice massa [M] e la matrice rigidezza [K] possono essere, in generale, complete e non simmetriche. Se però ad ogni massa (generalizzata) è associata una coordinata (generalizzata), allora la matrice massa risulta diagonale. Analogamente, se ogni molla (generalizzata) ha ogni estremo mobile collegato ad una massa (cioè posto in corrispondenza dell'origine di una coordinata), allora la matrice rigidezza risulta simmetrica. Nel seguito, supporremo sempre che la matrice massa e la matrice rigidezza siano simmetriche. Ciò è lecito, in quanto scegliendo opportunamente le coordinate è sempre possibile ricondursi a tale situazione. Gli elementi mij e kij che compongono le matrici massa e rigidezza hanno il significato che ora chiariamo. Scriviamo per esteso l’equazione del moto della massa i-esima. Si ha:

011

=+ ∑∑==

n

jjij

n

jjij xkxm && (i = 1, 2, …, n) (6.2)

Come si può vedere dalla (6.2), gli elementi mij della matrice massa rappresentano l’azione inerziale agente sulla massa i-esima in corrispondenza di una accelerazione unitaria del punto in cui è concentrata la massa j-esima (essendo nulle le accelerazioni dei restanti n-l punti). Gli elementi mij sono detti coefficienti di influenza inerziali. Gli elementi kij della matrice rigidezza rappresentano l’azione elastica agente sulla massa i-esima in corrispondenza di uno spostamento unitario del punto in cui è concentrata la massa j-esima (essendo nulli gli spostamenti dei restanti n-1 punti). Essi sono noti anche come coefficienti di influenza per la rigidezza. Al fine di determinare i modi propri di vibrare del sistema imponiamo che sia:

tijj eXtx ω=)( j = 1, 2 , …, n

Si ottiene: 0][][2 =+− XKXMω (6.3) dove T

nXXXX ]...[ 21= è il vettore delle ampiezze di spostamento delle masse.



Si perviene ad un sistema di equazioni analogo a quello già visto nel caso dei si-stemi a due gradi di libertà:

0][ =− XIA µ (6.4) per il quale deve essere: 0]det[ =− IA µ (6.5) avendo posto [A] = [M]-l [K] (matrice dinamica). Le radici µi dell’equazione caratteristica (6.5) sono gli autovalori e le pulsazioni naturali del sistema sono definite dalla relazione:

ii µω =2 Sostituendo µi nelle equazioni (6.4) si ottengono gli autovettori, che forniscono i modi di vibrare corrispondenti alle pulsazioni trovate ωni.

;...

...;...

;...

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

=

=

=

nn

n

n

n

nn X

XX

X

X

XX

X

X

XX

X

Si ricordi che, essendo la (6.4) un sistema di n equazioni omogenee, gli elementi degli autovettori risultano definiti a meno di una costante arbitraria. Talvolta può essere utile formulare le equazioni del moto delle masse del sistema in modo diverso dalle (6.1). A ciò si perviene utilizzando i coefficienti di influenza per la cedevolezza (flessibilità) δij. Essi vengono definiti come lo spostamento del punto i-esimo provocato da una forza unitaria applicata nel punto j-esimo. Nel caso delle oscillazioni libere di un sistema ad n gradi di libertà devono considerarsi come forza applicata solo quelle inerziali e, pertanto, lo spostamento della massa i-esima vale:

∑∑==

−=n

jjij

n

jiji xmx

11

&&δ (i = 1, 2, …, n) (6.6)

La (6.6) può essere scritta nella forma matriciale:

]][[ xMDx &&−= (6.7)

La matrice:

=

nnnn

n

n

D

δδδ

δδδδδδ

...............

...

...

][

21

22221

11211

è detta matrice cedevolezza (flessibilità).

Confrontando la (6.7) con la (6.1) scritta nel modo seguente: ][][ 1 xMKx &&−−= si riconosce che: 1][][ −= KD ossia la matrice flessibilità è l’inversa della matrice rigidezza.



Se si sostituiscono le tijj eXtx ω=)( nelle (6.7), si ottiene:

]][[ 2 XMDX ω= (6.8)

dalla quale si perviene al sistema di equazioni:

0][ =− XIA µ (6.9) con ]][[][ MDA = e 2

1i

i ωµ = .

Come si vede, la (6.9) è analoga alla (6.4). Inoltre, essendo: ][][]][[][]][[ 11 IMKKMAA == −− si ricava: 1][][ −= AA In conclusione, sia partendo dalle (6.1), sia impiegando le (6.7), il problema della determinazione delle frequenza proprie e dei modi di vibrare viene ricondotto a quello della ricerca degli autovalori di una matrice, per il quale sono disponibili algoritmi assai efficienti. Proprietà di ortogonalità Gli autovettori godono di una proprietà, che prende il nome di ortogonalità, rispetto alle matrici massa e rigidezza. Consideriamo le equazioni del moto scritte per il modo i-esimo:

iii XMXK ][][ µ= (6.10) Premoltiplicando per il trasposto dell’autovettore j-esimo, si ottiene:

iT

jiiT

j XMXXKX ][][ µ= . (6.11) Ripetiamo ora l’operazione scambiando i modi i-esimo e j-esimo:

jT

ijjT

i XMXXKX ][][ µ= . (6.12) Poiché le matrici [K] e [M] sono simmetriche, valgono le:

jT

iiT

j XKXXKX ][][ = jT

iiT

j XMXXMX ][][ = tenendo conto delle quali, se sottraiamo le (6.12) dalla (6.11) otteniamo:

iT

jji XMX ][)(0 µµ −= (6.13) ed essendo µi ≠ µj, risulta: i

Tj XMX ][0 = (6.14)

ed anche: i

Tj XKX ][0 = (6.15)



Le (6.14) e (6.15) definiscono il carattere di ortogonalità dei modi propri di vibrare. Tale proprietà è di fondamentale importanza per procedere al disaccoppiamento delle equazioni del moto del sistema. Se poniamo i = j, la (6.13) risulta soddisfatta per ogni valore finito del termine i

Ti XMX ][

Chiamiamo massa modale e rigidezza modale rispettivamente i prodotti:

iT

ii XMXM ][= iT

ii XKXK ][= Le relazioni sopra scritte consentono di adottare come criterio di normalizzazione degli autovettori la condizione: 1][ == i

Tii XMXM

Dalla (6.10) risulta: 2][][ iii

Tjii

Tji XMXXKXK ωµµ ====

La matrice modale Se raccogliamo gli n autovettori in una matrice, otteniamo la cosiddetta matrice modale:

=Φ

nnnn

n

n

XXX

XXXXXX

...............

...

...

][

21

22221

11211

Per l’ortogonalità dei modi propri, il seguente prodotto è una matrice diagonale:

P

n

T M

M

MM

M ][

...00............0...00...0

]][[][ 2

1

=

=ΦΦ (6.16)

Gli elementi della diagonale principale della (6.16) sono le masse modali. La matrice (6.16) prende il nome di matrice massa principale. Analogamente si ha:

P

n

T K

K

KK

K ][

...00............0...00...0

]][[][ 2

1

=

=ΦΦ (6.17)

In questo caso gli elementi della diagonale principale sono le rigidezze modali e la matrice prende il nome di matrice rigidezza principale. Se si adotta la normalizzazione rispetto alla matrice massa, le matrici massa principale e rigidezza principale diventano, rispettivamente:



=

1...00............0...100...01

][ PM

=

2

22

21

...00............0...00...0

][

n

PK

ω

ωω

La matrice massa principale e la matrice rigidezza principale permettono di disaccoppiare le equazioni del moto. Disaccoppiamento delle equazioni del moto Scriviamo le equazioni del moto (6.1) premoltiplicando i termini per [Φ]T e postmoltiplicandoli per [Φ][Φ]-1 = [I] Si ottiene: 0]][][[][]][][[][ 11 =ΦΦΦ+ΦΦΦ −− xKxM TT && (6.18) ossia: 0][][ =+ qKqM PP && (6.19) avendo posto: ][ 1 xq −Φ= (6.20) Le (6.20) definiscono le coordinate principali. Poiché [M]P e [K]P sono matrici diagonali, le equazioni del moto (6.19), scritte in termini di coordinate principali, risultano disaccoppiate. Risolto il sistema (6.19) in termini di coordinate principali, si passa da queste a quelle di origine con la trasformazione: ][ qx Φ= Partendo dagli autovettori precedentemente calcolati, si ottengono gli autovettori normalizzati rispetto alle masse moltiplicando gli elementi di ogni autovettore per uno scalare pi dato da:

iT

ii

XMXp

][

1= (i = 1, 2, …, n)

Moti di corpo rigido Consideriamo un sistema a n g.d.l. che ammetta più moti rigidi, siano per esempio i primi due: ω1 = ω2 = 0. Risulterà: 0][ 1 =XK 0][ 2 =XK

iii XMXK ][][ 2ω= (i = 3., 4, …, n) Dalle prime due si ricava: 0][][ 21 == XKXXKX T

iT

i che è la relazione di ortogonalità.

Risulta altresì: 0][ 21 =XKX T ma 0][ 21 ≠XMX T perché non vale la relazione da cui si ricava l’ortogonalità. Pertanto, la presenza di moti di corpo rigido può dare luogo alla presenza nella matrice massa principale di termini al di fuori della diagonale.



Vibrazioni libere Il più generale moto libero è la sovrapposizione di tutti i modi propri. Ogni modo vi partecipa in una certa porzione, dipendente dalle condizioni iniziali. Se le condizioni iniziali eccitano un solo modo, alle vibrazioni libere partecipa solo quel modo. SISTEMI CON SMORZAMENTO Se nel sistema c’è smorzamento, le equazioni del moto diventano:

0][][][ =++ xKxCxM &&& La matrice [C] è di regola simmetrica. Introducendo le coordinate principali, ][ 1 xq −Φ= si ottiene:

0][]][[][][ =+ΦΦ+ qKqCqM PT

P &&& In generale, la matrice ]][[][ ΦΦ CT è simmetrica ma non diagonale, per cui le equazioni del moto non sono più disaccoppiate. Se però lo smorzamento è proporzionale, cioè si può scrivere: [C] = α[M] + β[K] con costanti (scalari), allora valgono le seguenti:

PPPTTT CKMKMC ][][][]][[][]][[][]][[][ =+=ΦΦ+ΦΦ=ΦΦ βαβα

dove la matrice [C]P è una matrice diagonale detta matrice smorzamento principale:

=

n

P

C

CC

C

...00............0...00...0

][ 2

1

e i

Tii XCXC ][= sono gli smorzamenti modali.

Le equazioni del moto risultano così disaccoppiate. Si può definire inoltre lo smorzamento (modale) critico: iiiiCR MKMC

i22 == ω

e, quindi, il fattore di smorzamento modale: 222

i

iii

i

CR

ii M

CCC

i

βωωα

ωζ +===



VIBRAZIONI FORZATE Le equazioni del moto di un sistema ad n g.d.l., con smorzamento viscoso, si possono scrivere nel modo seguente: )(][][][ tfxKxCxM =++ &&& (6.21) dove [M] e [K] sono le matrici massa e rigidezza, [C] è la matrice smorzamento, x è il vettore degli spostamenti ed f(t) è il vettore delle forze applicate:

=

)(...

)()(

2

1

tf

tftf

f

n

(6.22)

Introducendo nelle (6.21) le coordinate principali, definite dalle (6.20), si ottiene:

)(]][[]][[]][[ tfqKqCqM =Φ+Φ+Φ &&& (6.23) Premoltiplicando ambo i membri della (6.23) per [Φ]T, si ha:

)(][]][[][]][[][]][[][ tfqKqCqM TTTT Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ &&& (6.24) Facendo l’ipotesi di smorzamento proporzionale, le (6.24) divengono:

)(][][][][ tfqKqCqM TPPP Φ=++ &&& (6.25)

Le (6.25) costituiscono un sistema di equazioni disaccoppiate. Le componenti del vettore [Φ]Tf(t) sono dette forze generalizzate:

+++++++++

=Φ)(...)()()(...)()()(...)()(

)(][

2211

2222112

1221111

tfXtfXtfXtfXtfXtfXtfXtfXtfX

tf

nnnnn

nn

nnT (6.26)

Risulta:

)(...)()(.....................

)(...)()()(...)()(

2211

2222112222222

1221111111111

tfXtfXtfXqKqCqM

tfXtfXtfXqKqCqMtfXtfXtfXqKqCqM

nnnnnnnnnnn

nn

nn

+++=++

+++=+++++=++

&&&

&&&

&&&

(6.27)

Le equazioni differenziali del sistema (6.27) vengono risolte singolarmente con i procedimenti visti nel caso dei sistemi ad un singolo grado di libertà. In tal modo si ottengono le componenti del vettore delle coordinate principali e, tramite le (6.20), quelle del vettore delle coordinate effettive.



Metodo modale Il sistema sia non smorzato o con smorzamento proporzionale ed abbia N g.d.l. Troviamo i primi n autovalori ed autovettori (con n<<N). Introduciamo le coordinate principali q1, q2, …, qn, con:

][...

...............

...

...

...2

1

21

22221

11211

2

1

q

q

qq

XXX

XXXXXX

x

xx

nNnNN

n

n

N

Φ=

=

Ad esempio, se N=10 e n=3, sarà:

=

3

2

1

3,102,101,10

3,22,21,2

3,12,11,1

10

2

1

............qqq

XXX

XXXXXX

x

xx

Introduciamo nelle equazioni del moto )(][][][ tfxKxCxM =++ &&& premoltiplicando per T][Φ :

)(][]][[][]][[][]][[][ tfqKqCqM TTTT Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ &&& Si ottengono così n (n<<N) equazioni disaccoppiate e quindi semplici da integrare. Una volta trovate le coordinate generalizzate q, le coordinate effettive si trovano con la ][ qx Φ= . Il metodo è valido se la pulsazione Ω della forzante è inferiore alla pulsazione ωn del modo n-esimo. Metodo pseudo–modale Se lo smorzamento è piccolo ma non proporzionale (come capita abbastanza spesso), si può usare un metodo “pseudo modale”. Si trovano prima gli N autovalori ed autovettori trascurando lo smorzamento, e se ne utilizzano – come prima – i primi n, con n<<N:

][...

...............

...

...

...2

1

21

22221

11211

2

1

q

q

qq

XXX

XXXXXX

x

xx

nNnNN

n

n

N

Φ=

=

Questa volta si ottiene un sistema di n equazioni accoppiate per i termini in q& , ma integrabili abbastanza facilmente perché n<<N:

)(][]][[][]][[][]][[][ tfqKqCqM TTTT Φ=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ &&& La soluzione è valida solo se la pulsazione Ω della forzante è inferiore alla pulsazione ωn del modo n-esimo.



METODO DI RAYLEIGH-RITZ Si tratta di una generalizzazione, dovuta a Ritz, del metodo di Rayleigh. Il metodo viene impiegato per valutare le prime (le più basse) frequenze proprie di un sistema. Il procedimento si basa sulla scelta di una “ragionevole deformata” per i primi n modi del sistema a N g.d.l. (n << N). E’ evidente che, nel caso in cui n=1, il metodo di Ritz coincide con quello di Rayleigh. Sia [γ] la matrice contenente le stime dei primi n modi. Si può scrivere:

][ px γ= dove x è il vettore di dimensione N delle coordinate “fisiche”, [γ] è una matrice di dimensioni N×n le cui colonne sono le “ragionevoli forme modali”, e p è un vettore di dimensione n<<N. Naturalmente, la deformata prescelta deve soddisfare le condizioni al contorno. Le espressioni dell’energia cinetica T e dell’energia potenziale V assumono la forma:

pMpxMxT TTT &&&& ]][[][21][

21 γγ== pKpxKxV TTT ]][[][

21][

21 γγ==

e pertanto le equazioni di Lagrange assumono la forma: 0]][[][]][[][ =+ pKpM TT γγγγ && Il sistema così ottenuto è costituito da n equazioni, mentre quello di partenza ne conteneva N >> n. La soluzione del sistema fornirà una stima delle prime n pulsazioni proprie del sistema. Come esempio di applicazione del metodo si consideri il sistema a N = 3 g.d.l. rappresentato in figura, le cui soluzioni esatte sono:

mk4450.01 =ω

mk2470.12 =ω

mk8019.13 =ω

TX 4940.38020.21 1 =

TX 6040.24451.11 2 −=

TX 1099.01470.01 3 −=

Caso n=1 (metodo di Rayleigh). Si assuma come ragionevole deformata, la deformata statica sotto l’azione del peso. Risulta:

T652 =γ che, normalizzato, diventa: T35.21 =γ e si ottiene:

mm

mm

MT 5.2235.2

1

0002000

35.21][ =

=γγ

kkkkkk

kkKT 5.4

35.2

1

02

0335.21][ =

−−−

−=γγ

da cui l’equazione del moto diventa: 05.45.22 =+ pkpm &&

La stima della prima pulsazione del sistema è pertanto: mk

mk 4472.0

5.225.4~

1 ==ω



Caso n=2 (metodo di Ritz). Considerando lo stesso sistema dell’esempio precedente, si vogliano ora stimare le prime due frequenze proprie. Si assumano come prime due ragionevoli forme modali lo stesso T35.21 1 =γ impiegato in precedenza e, arbitrariamente, T121 2 −=γ , cioè in definitiva:

−=

1325.211

][γ ovvero:

−=

2

1

3

2

1

1325.211

pp

xxx

Si ottiene allora: mm

mm

MT

=

−

−

=10885.22

1325.211

0002000

12135.21

]][[][ γγ

kkkkkk

kkKT

=

−

−−−

−

−

=12225.4

1325.211

02

03

12135.21

]][[][ γγ

Le equazioni del moto sono pertanto: 012225.4

10885.22

=

+

pkpm &&

L’equazione caratteristica è: 050283161 2242 =+− kmkm ωω Si ottengono dunque le seguenti stime delle prime due pulsazioni naturali:

mk4464.0~

1 =ω mk2484.1~

2 =ω

i cui corrispondenti modi sono:

−

=

0405.01

12

1

PP

−

=

9199.21

22

1

PP

da cui si ricavano:

==

169.3521.21

][~ 11 PX γ

−==

084.3739.11

][~ 22 PX γ

Si osservi che se si fosse assunto:

=

1325.211

][γ ,

si sarebbe ottenuto: mMT

=

1014145.22

]][[][ γγ ; kKT

=

4335.4

]][[][ γγ

da cui: mk4461.0~

1 =ω mk2488.1~

2 =ω

i cui corrispondenti modi sono:

−

=

1066.01

12

1

PP

−

=

6242.11

22

1

PP

da cui si ricavano:

==

2386.35596.21

][~ 11 PX γ

−==

204.2199.11

][~ 22 PX γ



QUOZIENTE DI RAYLEIGH

Energia cinetica xMxT T && ][21

=

Energia potenziale xKxV T ][21

=

Assunta una soluzione del tipo: tieXtx ω=)( si ha:

tiT eXMXT ωω 22 ][21

−= tiT eXMXV ω2][21

=

Se il sistema è conservativo vale il principio di conservazione dell’energia meccanica (TMAX = VMAX), per cui si ottiene:

XKXVXMXT TMAX

TMAX ][

21][

21 2 === ω

da cui si può ricavare il seguente rapporto:

( )XRXMXXKX

T

T

==][][2ω noto come quoziente di Rayleigh.

Proprietà del quoziente di Rayleigh Si può dimostrare che il quoziente di Rayleigh R(X) ha un valore stazionario per X arbitrario appartenente ad un intorno di Xj. In altre parole, se: ( ) 2

jjXR ω= , allora risulta: ( ) [ ])(1 22 εω OXR j += con X arbitrario in un intorno di Xj. Questa proprietà è molto utile in quanto permette di usare il quoziente di Rayleigh per determinare un valore approssimato della prima frequenza naturale di un sistema. Infatti, è sufficiente assumere un ragionevole primo modo di vibrare (l’autovettore X1) ed il quoziente di Rayleigh fornirà una buona approssimazione del quadrato della pulsazione naturale ω1. Ovviamente la stima di ω1 sarà tanto migliore quanto più il primo modo ipotizzato è vicino a quello vero. Osservazione Si noti che il quoziente di Rayleigh si ottiene anche dall’equazione del moto del sistema libero non smorzato:

0][][ =+ xKxM && si sostituisce la soluzione ottenendo: 0][][2 =+− XMXMω . Ora è sufficiente pre-moltiplicare per XT per ottenere il quoziente di Rayleigh:

0][][2 =+− XMXXMX TTω XMX

XKXT

T

][][2 =ω



MODIFICHE STRUTTURALI Il quoziente di Rayleigh può venire impiegato per valutare l’effetto di piccole modifiche strutturali. Si consideri il quoziente di Rayleigh per il modo j-esimo:

( )jj

Tj

jT

jj XR

XMXXKX

==][

][2ω

esso non è altro che il rapporto tra la rigidezza modale kj e la massa modale mj. Supponiamo ora che alcune masse e/o rigidezze del sistema subiscano una modifica. Siano ][ MM ∆+ e ][ KK ∆+ le nuove matrici massa e rigidezza. Ovviamente anche le frequenze e i modi cambiano. Avremo rispettivamente:

jjj ωωω ∆+=* e jjj XXX * ∆+= .

La nuova pulsazione j-esima è dunque:

( )*

**

**2*

][

][j

jT

j

jT

jj XR

XMMX

XKKX=

∆+

∆+=ω

Ora se si assume che jj XX * = , ossia che la forma modale conseguente alle modifiche coincida con quella relativa al sistema senza modifiche, si può scrivere:

j

Tjj

Tj

jT

jjT

j

jT

j

jT

jj XMXXMX

XKXXKXXMMXXKKX

][][][][

][][2*

∆+

∆+=

∆+

∆+≅ω

ovvero:

j

Tj

jT

j

jT

j

jT

j

jj

XMXXMX

XKXXKX

][][

1

][][

122*

∆+

∆+

≅ ωω



Modifiche strutturali: Esempio No. 1 Come esempio di applicazione del metodo si consideri il sistema a N = 3 g.d.l. rappresentato in figura, le cui matrici massa e rigidezza sono riportate a lato:

=

mm

mM

30000002

][

−−−

−=

kkkkk

kkK

032

023][

Le soluzioni esatte sono le seguenti: m

k3243.01 =ω

mk8992.02 =ω

mk9798.13 =ω

TX 0378.23948.11 1 =

TX 4849.06914.01 2 −=

TX 2249.04195.21 3 −= Impieghiamo il metodo di Rayleigh per trovare il nuovo valore *

3ω della terza pulsazione naturale se la rigidezza della seconda molla viene portata da 2k a 2.5k. L’energia potenziale e cinetica massime del terzo modo sono rispettivamente:

3333 21][

21 KXKXV T

MAX== ; 3

2333

233 2

1][21 MXMXT T

MAXωω ==

dove K3 e M3 sono rispettivamente la terza rigidezza modale e la terza massa modale. A seguito della modifica di rigidezza, si ha:

333 ][21* XKKXV T

MAX∆+= ; 3

2333

233 *

21][*

21* MXMXT T

MAXωω ==

Applicando il metodo di Rayleigh, risulta:

MAXMAXTV 33 = e ** 33 MAXMAX

TV = Dividendo membro a membro si ha poi:

33

33

3

3

3

32

3

23

][][***

XKXXKKX

VV

TT

T

T

MAX

MAX

MAX

MAX ∆+===

ωω

o, anche:

3

33

3

332

3

23 ][

1][*

KXKX

KXKKX TT ∆

+=∆+

=ω

ω

Ora, sostituendo i valori, la matrice rigidezza vale:

−−−

−=

kkkkk

kkK

032

023][

−−−

−=∆+

kkkkk

kkKK

05.35.2

05.25.3][



Ossia, la variazione di matrice rigidezza vale:

−

−=

−

−=∆

00000

00005.05.005.05.0

][ kk

kk

kkkk

K δδδδ

La terza rigidezza modale K3 è: 333 ][ XKXK T= = 31.38 k Inoltre è: 22

231333 )4195.21(5.0)(][ +=−=∆ kXXXKX kT δ

Infine:

mk

kk

mk

KXKX T

1563.238.31

)4195.21(5.019798.1][

1*2

3

3333 =

++=

∆+= ωω

Il valore esatto della terza pulsazione a seguito della variazione della rigidezza della seconda molla è:

mk

ESATTO 1549.2*3 =ω , ovvero si è compiuto un errore pari a 0.1%.

Modifiche strutturali: Esempio No. 2 Consideriamo ora lo stesso sistema ma supponiamo di dover calcolare la terza frequenza naturale qualora la seconda massa passi al valore 1.3m. Questa volta risulta:

3

33

3

332

3

23

][1

1][

1*

MXMX

MXMMX TT ∆

+=

∆+=

ωω

=

=∆

00000000

00003.00000

][ mmM δ

La terza massa modale M3 è: 333 ][ XMXM T= = 8.006 m Inoltre è: 22

2333 )4195.2(3.0)(][ −==∆ mXXMX mT δ

mk

mmm

k

MXMX T 793.1

006.8)4195.2(3.01

19798.1][1

1* 2

3

3333 =

−+

=∆

+= ωω

Il valore esatto della terza pulsazione a seguito della variazione della seconda massa è:

mk

ESATTO 807.1*3 =ω , ovvero si è compiuto un errore pari a −0.77%.



ESEMPIO – Sistema a 3 gradi di libertà: vibrazioni libere e forzate

Si consideri il sistema a N = 3 g.d.l. rappresentato in figura, le cui matrici massa e rigidezza sono riportate a lato:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

mm

mM

30000002

][

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

kkkkk

kkK

032

023][

Le pulsazioni e i modi propri (normalizzati) sono i seguenti:

mk3243.01 =ω

mk8992.02 =ω

mk9798.13 =ω

TX 0378.23948.11 1 =

TX 4849.06914.01 2 −=

TX 2249.04195.21 3 −=

La matrice modale è pertanto: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=Φ

2249.04849.00378.24195.26914.03948.1111

][

Si possono ricavare le masse e le rigidezze modali:

mMMM

Mdiag T

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ΦΦ

006.8183.3403.16

])][[]([

3

2

1

kKKK

Kdiag T

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ΦΦ

38.31574.2725.1

])][[]([

3

2

1

Il moto libero generale è: )cos()cos()cos()()cos()cos()cos()(

)cos()cos()cos()(

3333223211313

3323222211212

3313221211111

ϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕωϕω

+++++=+++++=+++++=

tXtXtXtxtXtXtXtx

tXtXtXtx

cioè: )cos(2249.0)cos(4849.0)cos(0378.2)()cos(4195.2)cos(6914.0)cos(3948.1)(

)cos()cos()cos()(

3313221211113

3313221211112

3313221211111

ϕωϕωϕωϕωϕωϕω

ϕωϕωϕω

+++−+=+−+++=

+++++=

tXtXtXtxtXtXtXtx

tXtXtXtx

dove 313212111 ,,,,, ϕϕϕ XXX sono costanti che soddisfano le condizioni iniziali.



Per lo studio delle vibrazioni forzate, si consideri una forzante armonica applicata alla massa centrale:

Il vettore delle forzanti è dunque: tFt

FFF

tF Ω⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=Ω

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧= sin

0

0sin)( 2

3

2

1

Ricordando che la matrice modale è: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=Φ

2249.04849.00378.24195.26914.03948.1111

][

il vettore delle forzanti modali risulta: [ ] tFtFT Ω⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=Φ sin

4195.26914.03948.1

)( 2

Introducendo le coordinate modali: [ ] )()( 1 txtq −Φ=

il sistema di equazioni di equilibrio si disaccoppia: tFqKqM

tFqKqMtFqKqM

Ω−=+Ω=+Ω=+

sin4195.2sin6914.0

sin3948.1

21313

21312

21111

le cui soluzioni sono: tQtqtQtqtQtq

Ω=Ω=Ω=

sin)(sin)(sin)(

33

22

11

con:

23

2

2

23

23

2

233

23

22

2

2

22

22

2

222

22

21

2

2

21

21

2

211

21

1

0711.0

1

4195.24195.2

1

2686.0

1

6914.06914.0

1

8085.0

1

3948.13948.1

ωω

ωω

ωω

Ω−

−=

Ω−

−=

Ω−−

=

Ω−

=Ω

−=

Ω−=

Ω−

=Ω

−=

Ω−=

kF

KF

MKFQ

kF

KF

MKFQ

kF

KF

MKFQ

Tornando alla coordinate fisiche: [ ] )()( tqtx Φ= essendo anche: [ ] QX Φ=

risulta: tXtxtXtxtXtx

Ω=Ω=Ω=

sin)(sin)(sin)(

33

22

11

con:

3213

3212

23

2

22

2

21

22

3211

2249.04849.00378.24195.26914.03948.1

1

0711.0

1

2686.0

1

8085.0

QQQXQQQX

kFQQQX

+−=−+=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Ω−

−Ω

−+

Ω−

=++=

ωωω



Posto m = 1, k = 1, F2 = 2, le seguenti figure riportano l’andamento delle oscillazioni delle tre masse per due valori della pulsazione della forzante: Ω = 1.1 e Ω = 2.5

La seguente figura riporta (in valore assoluto) l’ampiezza delle oscillazioni delle tre masse al variare della pulsazione della forzante. In altre parole si tratta delle tre FRF tra un generico grado di libertà ed il grado di libertà in cui è applicata la forzante.




Pàtron, Bologna. * S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995. * D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1994. * M. Lalanne, P. Berthier, J. Der Hagopian, Mechanical Vibrations for Engineers, John Wiley and Sons,

1983.



APPENDICE A1 – Problema agli autovalori simmetrico.



APPENDICE A2 – Eccitazione in un nodo Supponiamo che il secondo modo di vibrare di un sistema a 4 gdl abbia un nodo in corrispondenza della coordinata 3 ed andiamo ad eccitare il sistema in tale nodo. E’ facile verificare che la risposta del sistema non contiene la componente relativa al secondo modo di vibrare.

=Φ

44434241

343331

24232221

14131211

0][

XXXXXXXXXXXXXXX

=

0)(

00

3 tf

f

=

++++++

++++++

=Φ

)()(

0)(

0)(000)(00

00000)(00

)(][

334

333

331

334

333

331

tfXtfX

tfX

tfXtfX

tfX

tfT

==

=

ti

ti

ti

ti

eQeQ

eQ

Qe

qq

q

q

4

3

1

4

3

1

4

3

1

0

0

ω

ω

ω

ω

=Φ=

)()(

0)(

0][

4

3

1

44434241

343331

24232221

14131211

tqtq

tq

XXXXXXXXXXXXXXX

qx

++++++++++++

=Φ=

tititi

tititi

tititi

tititi

eQXeQXeQXeQXeQXeQXeQXeQXeQXeQXeQXeQX

qx

431

431

431

431

444343141

434333131

424323121

414313111

0000

][

ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

Parte 7 – Sistemi continui


PARTE 7 – Sistemi continui INTRODUZIONE L’analisi di un sistema continuo (ossia a infiniti gradi di libertà) può essere vista come estrapolazione, per N tendente a infinito, dell’analisi di sistemi discreti a N gdl: il problema è quello di realizzare analiticamente questo passo formale in quanto, nel continuo, le equazioni saranno, a differenza del caso dei discreti, alle derivate parziali, poiché le grandezze che definiscono il moto del sistema in questo caso dipendono sia dal tempo t, sia dallo spazio. Tutti i sistemi reali dovrebbero, in realtà, essere studiati come continui: la soluzione rigorosa si ha però soltanto in casi particolarmente semplici: in strutture complesse la soluzione analitica, utilizzando le equazioni proprie del continuo, non è ottenibile. In tali situazioni diventa perciò indispensabile ricondursi a schemi discreti, mediante opportune metodologie: a parametri concentrati o a elementi finiti. Lo studio che verrà condotto sul continuo assume perciò un aspetto principalmente didattico, propedeutico anche alla descrizione dei metodi di discretizzazione; ci limiteremo inoltre a casi particolarmente semplici, per i quali sia possibile una trattazione analitica in forma chiusa.



VIBRAZIONI TRASVERSALI NELLE FUNI Detta x l’ascissa corrente lungo la fune, si introducono alcune ipotesi semplificative: * Si assume costante lungo la fune la tensione T, ottenuta precaricando assialmente la fune. * Il moto della fune avviene in un piano qualunque contenente l’asse della fune: a tale scopo si deve ritenere la fune dotata di simmetria rispetto al suo asse baricentrico



Osservazione

Dalla relazione ρ

πω Tl

ii =

si ricavano infiniti valori ωi, ognuno associato a un preciso valore assegnato al parametro intero i. È interessante notare come, in questo caso, le ωi risultino tutte multiple di una frequenza fondamentale:

ρπω Tl

=1

Sostanzialmente risultano definite per il sistema vibrante, schematizzato come continuo, infinite pulsazioni proprie ωi, come estrapolazione delle N frequenze proprie dei sistemi discreti a N gdl, poiché il sistema vibrante ha infiniti gd1. A ogni pulsazione propria ωi, corrisponde un modo proprio di vibrare ( )ix)(ϕ definito dalla deformata spaziale assunta dal sistema in corrispondenza della generica ωi a esso associata:

( ) ( ) xxl

ixT

Tl

ixT

xxxi

iii i λππρ

ρπρωγϕϕ ωω

2sinsinsinsinsin)()( ====== =

avendo definito con λi la lunghezza d’onda corrispondente al generico i-esimo modo di vibrare, intesa come distanza fra punti omologhi in periodi spaziali successivi della deformata:

il

i2

=λ

La deformata del generico modo di vibrare è ora descritta da una funzione, nel caso analizzato di tipo sinusoidale, e non da un numero finito di termini contenuti nell’autovettore come avevamo visto nei discreti, in quanto stiamo trattando un sistema continuo ossia a infiniti gdl.

Consideriamo, a esempio, la deformata del primo modo: ( ) xxl

x1

12sinsin)(λππϕ ==

Si osserva che essa ha un solo massimo (ventre o antinodo) in centro campata essendo la lunghezza d’onda λ1 del primo modo: l21 =λ .

Essendo per il generico modo i-esimo di vibrare: ( ) xxl

ixi

i λππϕ 2sinsin)( ==

appare evidente come la deformata dell’i-esimo modo presenti “i” ventri o antinodi e “i + 1” nodi ossia punti con spostamento nullo. La precedente definizione di lunghezza d’onda λi può entrare nella scrittura della pulsazione propria del sistema:

ρλπ

ρπ

ργω TT

liT

iii

2===

Osserviamo che il valore della generica pulsazione, oltre a crescere con la tensione T e a decrescere con la massa per unità di lunghezza della fune, risulta anche inversamente proporzionale alla lunghezza d’onda del modo associato.



Studiando un sistema continuo qualunque si avranno, dunque, sempre infinite pulsazioni proprie e, corrispondentemente, infiniti modi di vibrare. Nel sistema continuo è inoltre possibile descrivere la generica deformata del moto a regime come combinazione lineare dei modi propri di vibrare. Nella figura seguente si riportano, a titolo di esempio, le prime cinque frequenze proprie e relative deformate di una fune tesata con i seguenti dati:



VIBRAZIONI LONGITUDINALI NELLE TRAVI Analizziamo le vibrazioni longitudinali nell’intorno della condizione di equilibrio statico in travi aventi una dimensione, quella longitudinale, preponderante rispetto alle altre. Ipotizzeremo che si tratti di travi omogenee, ossia a sezione trasversale S, rigidezza assiale ES e densità ρ costanti.



Esempio

La seguente tabella riporta le espressioni delle pulsazioni naturali e delle forme modali per alcune condizioni di vincolo.

ρEc =

( )nn xxU )()( ϕ=



Condizione di ortogonalità delle forme modali



VIBRAZIONI TORSIONALI NELLE TRAVI Analizziamo le vibrazioni torsionali in travi aventi una dimensione, quella longitudinale, preponderante rispetto alle altre. Ipotizzeremo che si tratti di travi omogenee, ossia a sezione trasversale, rigidezza torsionale G Ip e densità ρ costanti. Si suppone inoltre che il centro di torsione coincida con il baricentro della trave in modo tale che la torsione si possa considerare disaccoppiata dalla flessione.



VIBRAZIONI FLESSIONALI NELLE TRAVI Analizziamo le piccole oscillazioni trasversali nell’intorno della condizione di equilibrio statico in una trave ipotizzando che si tratti di una trave omogenea, ossia a sezione trasversale S, rigidezza flessionale EI e densità ρ costanti. Si supporrà inoltre l’assenza di carichi assiali e si analizzerà il moto solo in direzione trasversale, coincidente con una direzione principale di inerzia della trave. Indichiamo con v(x, t) lo spostamento trasversale, con ϑ(x, t) la rotazione, con M(x, t) il momento flettente, con T(x, t) il taglio, con S(x) l’area della sezione trasversale, con I(x) il momento di inerzia della sezione resistente, con γ il fattore di taglio, con E il modulo di Young, con G il modulo di elasticità tangenziale, con ρ la densità del materiale. L’equilibrio alla traslazione porta a:

2

2 ),()(),(),(),(t

txvdxxStxTdxx

txTtxT∂

∂ρ∂

∂=−

+

Mentre l’equilibrio alla rotazione fornisce:

dxt

txxIdxdxx

txTtxTtxMdxx

txMtxM 2

2 ),()(),(),(),(),(),(∂ϑ∂ρ

∂∂

∂∂

=

++−

+

Semplificando: 2

2 ),()(),(t

txvxSx

txT∂

∂ρ∂

∂= ; 2

2 ),()(),(),(t

txxItxTx

txM∂ϑ∂ρ

∂∂

=+

dove: ( , )( , ) ( ) x tM x t EI xx

∂ϑ∂

= e ( , ) ( , )( , )T x t v x tx tSG x

∂ϑγ ∂

= −

Questa è la teoria di Timoshenko. Secondo, invece, la teoria di Eulero, si possono trascurare alcuni effetti; in particolare:

0),()( 2

2

=t

txxI∂ϑ∂ρ ( , ) 0T x t

SGγ= à ( , )( , ) v x tx t

x∂ϑ

∂=

Le equazioni di equilibrio diventano allora:

2

2 ),()(),(t

txvxSx

txT∂

∂ρ∂

∂= ; 0),(),(

=+ txTx

txM∂

∂

Sostituendo la seconda nella prima si ha quindi:

−=−= 2

2

2

2

2

2

2

2 ),()(),(),()(x

txvxEIxx

txMt

txvxS∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

ρ ;

cioè: 0),()(),()( 2

2

2

2

2

2

=

+

xtxvxEI

xttxvxS

∂∂

∂∂

∂∂

ρ che, nel caso in cui E I(x) = cost, diventa:

0),(),()( 4

4

2

2

=+x

txvEIt

txvxS∂

∂∂

∂ρ

Poniamo ora: )()(),( tfxtxv ϕ= ,

sostituendo: 0)()()()()( 4

4

2

2

=+dx

xdtfEIdt

tfdxxS ϕϕρ

T M

dx

dxx

MM∂

∂+

dxxTT

∂∂+

),( txv



da cui: cost)()(

1)()(

12

2

4

4

==−dt

tfdtfdx

xdxS

EI ϕϕρ

Ponendo: 2cost ω= , si ottengono le due equazioni ordinarie:

0)()( 22

2

=+ tfdt

tfd ω 0)()( 24

4

=− xEIS

dxxd ϕωρϕ i cui integrali sono:

xFxExDxCxtBtAtf

ββββϕωω

coshsinhcossin)(cossin)(

+++=+=

con: 4 2ωρβEIS

=

Le pulsazioni si determinano imponendo le condizioni al contorno. Ad esempio, per la trave a mensola, incastrata in x=0 e libera all’estremo x=l, si ha:

0),(0),(0),0(0),0(

====

tlTtlMttv

ϑ à

0)(

0)(

0)(

0)0(

3

3

2

2

=

=

=

=

ldx

vd

ldx

vd

ldxdϕϕ

à

0sinhcoshsincos0coshsinhcossin

00

=+++−=++−−

=+=+

lFlElDlClFlElDlC

ECFD

ββββββββ

ovvero:

0sinhcoshsincos0coshsinhcossin

=++−=+++

−=−=

lFlElFlElFlElFlE

ECFD

ββββββββ

Si hanno soluzioni non tutte nulle per C, D, E, F se il determinante dei coefficienti è nullo, cioè se (ricordando che 1coshsinh 22 −=− ):

( ) 0coshcos22sinhsincoshcos

coshcossinhsin=⋅−−=

+−+++

llllllllll

ββββββββββ

à 1coshcos −=⋅ ll ββ Questa, una volta risolta, fornisce una infinità discreta di prodotti lβ da cui si ricavano le infinite pulsazioni ω.



Esempio: Trave semplicemente appoggiata



La seguente tabella riporta i valori del prodotto βiL per le condizioni di vincolo più comuni.

( )nn xxW )()( ϕ=



RIEPILOGO Si riepilogano nel seguito le espressioni dell’energia cinetica T e potenziale V per i sistemi continui studiati in precedenza.

Vibrazioni longitudinali Vibrazioni torsionali Vibrazioni flessionali Equazione del

moto 2

2

2

2

xuES

tuS

∂∂

=∂∂ρ 2

2

2

2

xGI

tJ po ∂

∂=

∂∂ ϑϑ 04

4

2

2

=∂∂

+∂∂

xvEI

tvSρ

Rigidezza modale,

Massa modale e pulsazione

i-esima i

iL

i

Li

i MK

dxS

dxdxdES

=

=∫

∫

0

2

0

2

2

ϕρ

ϕ

ωi

iL

io

Li

p

i MK

dxJ

dxdxdGI

=

=∫

∫

0

2

0

2

2

ϕ

ϕ

ωi

iL

i

L i

i MK

dxS

dxdxdEI

=

=∫

∫

0

2

0

2

2

2

2

ϕρ

ϕ

ω

Energia cinetica ∫

∂∂=

Ldx

tuST

0

2

21 ρ ∫

∂∂=

L

o dxt

JT0

2

21 ϑ ∫

∂∂=

Ldx

tvST

0

2

21 ρ

Energia potenziale ∫

∂∂=

Ldx

xuESV

0

2

21 ∫

∂∂=

L

p dxx

GIV0

2

21 ϑ ∫

∂∂

=L

dxxvEIV

0

2

2

2

21

METODI APPROSSIMATI Metodo di Rayleigh Procedimento:

- si formula una “ragionevole ipotesi” sulla deformata; - si esprimono, sulla base di tale ipotesi, l’energia cinetica e quella potenziale (di deformazione); - si scrivono le equazioni del moto (equazioni di Lagrange); - si ricavano frequenza proprie e modi di vibrare.

N.B. La deformata assunta per ipotesi deve soddisfare le condizioni al contorno. Esempio di applicazione del Metodo di Rayleigh: vibrazioni flessionali trave a mensola

Assumiamo come deformata

−

=

32

3)(lx

lxxϕ ,

per cui risulta )()()(3),(32

tpxtplx

lxtxv ϕ=

−

=

Sono soddisfatte le condizioni geometriche al contorno:

0),0( =tv ; 0)(3)()(),(

0

32

00

=

−

=

=

∂∂ tp

lx

lx

dtxdtp

xtxv ϕ



Essendo:

dttdp

lx

lx

dttdpx

ttxv )(3)()(),( 32

−

==

∂∂ ϕ )(66)()(),(

322

2

2

2

tplx

ltp

dxxd

xtxv

−==

∂∂ ϕ

risulta:

ldt

tdpSdxxdt

tdpSdxtvST

ll

3533)(

21)()(

21

21 2

0

22

0

2

=

=

∂∂= ∫∫ ρϕρρ

32

0

2

2

22

0

2

2

2 12)(21)()(

21

21

ltpEIdx

dxxdtpEIdx

xvEIV

ll=

=

∂∂

= ∫∫ϕ

Se si scrive l’equazione del moto secondo Lagrange, si ha:

0=∂∂

+

∂∂

pV

pT

dtd

& dove: pSl

pT

&& 35

33ρ=∂∂ pSl

pT

dtd

&&& 35

33ρ=

∂∂ p

lEI

pV

312

=∂∂

da cui: 0123533

3 =+ pl

EIpSl &&ρ 033420

3533

4 =+ pSlEIpρ

&&

ed infine: 42

33420~

SlEIρ

ω = S

EIl ρ

ω 25675.3~ =

Ricordando che il valore esatto è: S

EIl ρ

ω 25160.3

= si ha un errore del 2%

In alternativa, la prima pulsazione naturale si può ricavare anche dal principio di conservazione dell’energia meccanica:

MAXMAX VT = dove :

22

~3533

21

3533)(

21 ωρρ lSl

dttdpST

MAXMAX =

= 33

2 122112)(

21

lEI

ltpEIV MAXMAX ==

da cui si ha ancora: S

EIlSl

EIρρ

ω 242 5675.3

33420~ == .



Metodo di Rayleigh – Ritz Se la ragionevole deformata che si assume è funzione di più di un parametro, il procedimento prende il nome di metodo di Rayleigh-Ritz. Esempio di applicazione del metodo di Rayleigh – Ritz: vibrazioni flessionali trave a mensola

Si assuma questa volta: )()()()(),( 2211 tpttpttxv ϕϕ += con: )()(),( 2

3

1

2

tplxtp

lxtxv

+

=

Essendo:

)()(),(2

3

1

2

tplxtp

lx

ttxv

&&

+

=

∂∂ )(6)(2),(

23122

2

tplxtp

lxtxv

+=∂

∂

risulta:

++=

∂∂= ∫ 21

22

210

2

31

71

51

21

21 ppppSldx

tvST

l&&&&ρρ

( )212

22

130

2

2

2

1212421

21 pppp

lEIdx

xvEIV

l++=

∂∂

= ∫

Se si scrive l’equazione del moto secondo Lagrange, si ha:

0=∂∂

+

∂∂

ii pV

pT

dtd

&

+=

∂∂

211 6

151 ppSl

pT

&&&

ρ

+=

∂∂

211 6

151 ppSl

pT

dtd

&&&&&

ρ ( )2131

64 pplEI

pV

+=∂∂

+=

∂∂

122 6

171 ppSl

pT

&&&

ρ

+=

∂∂

122 6

171 ppSl

pT

dtd

&&&&&

ρ ( )1232

612 pplEI

pV

+=∂∂

da cui: ( ) 06461

51

21321 =++

+ pp

lEIppSl &&&&ρ ( ) 0126

71

61

21321 =++

+ pp

lEIppSl &&&&ρ

012664

71

61

61

51

3 =

+

plEIpSl &&ρ ed infine:

SEI

l ρω 21

533.3~ = S

EIl ρ

ω 2281.34~ =



Ricordando che i valori esatti sono:

SEI

l ρω 21

5160.3=

SEI

l ρω 22

0345.22=

risultano rispettivamente degli errori pari a: 0.5% e 58%. Volendo ora determinare i modi di vibrare approssimati, si devono prima determinare gli autovettori P e poi sostituirli nell’espressione generale dei modi approssimati:

12

121 )()(

PP

xx ϕϕ 22

121 )()(

PP

xx ϕϕ

Gli autovettori P risultano:

−

=

3837.01

12

1

PP

−

=

18221.0

22

1

PP

e l’espressione dei modi approssimati è:

32

12

132

12

121 3837.0)()(

−

=

=

lx

lx

PP

lx

lx

PP

xx ϕϕ

32

22

132

212

121 )8221.0()()(

+−

=

=

lx

lx

PP

lx

lx

PP

xx ϕϕ

La loro forma è riportata nelle seguenti figure:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1ApproxEsatta

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1ApproxEsatta

I modo approssimato II modo approssimato

Infine, l’equazione del moto approssimato è:

),(),()()()()()()(),( 2122112,1

txvtxvtpxtpxtpxtxvi

ii +=+== ∑=

ϕϕϕ

con: tPxtPxtxv 121211111 sin)(sin)(),( ωϕωϕ += tPxtPxtxv 222221212 sin)(sin)(),( ωϕωϕ +=



VIBRAZIONI FORZATE Asta soggetta a vibrazioni longitudinali forzate

Equazione del moto:

2

2

2

2 ),(),(x

txuEt

txu∂

∂=

∂∂

ρ

L’integrale è: )()(),( tfxtxu ϕ=

con: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω= x

EDx

ECx ρρϕ cossin)( tBtAtf Ω+Ω= cossin)(

Le condizioni al contorno: 0)()0(),0( == tftu ϕ ; tFdxdtfES

xuEStlN

lxlx

Ω=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

===

sin)(),( ϕ

da cui risulta: 0)0( == Dϕ e

( )

( ) tFlEE

tKtHES

lEE

CtBtAESdxdtfES

lx

Ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΩΩΩ+Ω=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΩΩΩ+Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

sincoscossin

coscossin)(

ρρ

ρρϕ

con CBKCAH⋅=⋅=

Deve quindi essere:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΩΩ

=→=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΩΩ

=→=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΩΩ

lEE

ES

FHFlEE

HES

KlEE

KES

ρρρρ

ρρ

coscos

00cos

Si vede che ∞→H per ,...2,12

)12( =−=Ω iilE

πρ cioè quando la pulsazione della

forzante coincide con una delle pulsazioni naturali del sistema: ρ

πω El

ii 2)12( −==Ω

L’oscillazione alla generica ascissa x vale: txUtxE

Htfxtxu Ω=Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω== sin)(sinsin)()(),( ρϕ

con )(xU ampiezza dell’oscillazione:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΩΩ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

=

lEE

ES

xE

FxU

ρρ

ρ

cos

sin)(

La seguente figura riporta l’andamento di

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΩΩ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω

=

2*cos

2*

2*sin

|)(|ππ

π

FlESlU

in funzione del rapporto π

ρω

2)12(* lE

ii

Ω=−Ω

=Ω



Vibrazioni flessionali forzate di una trave semplicemente appoggiata

i-esima pulsazione S

EIl

ii ρ

πω 2

2)(=

i-esimo modo xl

ixiπϕ sin)( =

Il moto vibratorio ∑∑ ==i

iii

i tfxtxvtxv )()(),(),( ϕ

Energia cinetica ∑∫∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

==i

L i

ii dx

tvSTT

0

2

21 ρ ∑=

ii tflST )(

41 2ρ

Energia potenziale ∑∫∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

==i

L i

ii dx

xvEIVV

0

2

2

2

21 ∑=

ii tf

liEIV )(

41 2

3

44π

Massa Modale i-esima SldxxSML

ii ρϕρ21)(

0

2 == ∫

Rigidezza Modale i-esima 3

44

0

2

2

2

2)(

lEIidx

xxEIK

L ii

πϕ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂= ∫

La k-esima equazione di Lagrange (ce ne sono infinite) è kk kk

d T T V Qdt f ff⎛ ⎞∂ ∂ ∂

− + =⎜ ⎟ ∂ ∂∂⎝ ⎠

Con ( / 2, )sinkk

v l tQ F tf

∂= Ω ⋅

∂

2sin)2/(

)()2/(),2/(),2/( πϕ

ϕkl

f

tfl

f

tlv

ftlv

kk

iii

k

ii

k

==∂

∂=

∂

∂=

∂∂ ∑∑

Quindi 12

0 k parisin sin

2 sin ( 1) k disparikk

kQ F tF t

π−

⎧⎪= Ω ⋅ = ⎨⎪ Ω ⋅ −⎩

Si ottengono infinite equazioni disaccoppiate.

L’equazione generica è ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−⋅Ω

==+ −

,...5,3,1)1(sin

,...6,4,20)(

21)(

21

21

3

44

ktF

ktf

lkEItflS k

kkπρ

Introducendo le masse e le rigidezze modali risulta

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−⋅Ω

==+ −

,...5,3,1)1(sin

,...6,4,20)()(

21

ktF

ktfKtfM k

kkkk



I modi pari non risultano eccitati. Al contrario, per quelli dispari, l’integrale particolare è:

tFEIk

ltKF

tf

k

kk

k

kk Ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω−

−=Ω−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω−

=

−−

sin

1

)1(2sin)1(

1

)( 2

21

44

32

1

2

ω

π

ω

In conclusione, la risposta è:

∑∑∑=

−

==

Ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

,...5,3,12

21

44

3

,...5,3,1,...5,3,1sin

1

)1(2sin)(sin)()(),(k

k

k

kk

kkk tF

EIkl

lxktf

lxktfxtxv

ω

πππϕ

Che si può scrivere anche come: txVtxv Ω= sin)(),(

Con ∑=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ω−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

,...5,3,12

21

44

3

1

)1(1sin2)(k

k

k

klxk

EIlFxV

ω

ππ

La seguente figura riporta, in scala logaritmica, l’andamento di 3)2/(

FlEIlV

in funzione del rapporto

SEI

lkk

ρπω

22

1)(

* Ω=

Ω=Ω



BIBLIOGRAFIA * S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995. * M. Lalanne, P. Berthier, J. Der Hagopian, Mechanical Vibrations for Engineers, John Wiley and Sons, 1983. * W.T. Thomson, Vibration Theory and Applications, Prentice Hall, 1965. * G. Diana, F. Cheli, Dinamica e Vibrazione dei Sistemi, vol. I, ed. Utet, Torino, 1993.



APPENDICE A1 – Condizioni al contorno ed iniziali per la corda tesa Equazione del moto e sua soluzione

2

2

2

2 ),(),(x

txyTt

txy∂

∂=

∂∂

ρ )()(),( tfxtxy ϕ=

0)()(

0)()(

22

2

22

2

=+

=+

xTdx

xd

tfdt

tfd

ϕωρϕ

ω (A1)

xDxCxtBtAtf

γγϕωω

cossin)(cossin)(

+=+=

2

222

cTωωργ == (A2)

Soluzione generale: ( )( )∑∑∞

=

∞

=

++==11

cossincossin)()(),(i

iiiiiiiii

ii tBtAxDxCtfxtxy ωωγγϕ (A3)

Condizioni al contorno Caso 1: Estremi fissi

0)()0(),0( == tfty ϕ 0)0( =ϕ 0)()(),( == tfltly ϕ 0)( =lϕ

Caso 2: Estremo scorrevole ed estremo fisso

0),0(=

∂∂

xtyT 0)0(

=dx

dϕ

0)()(),( == tfltly ϕ 0)( =lϕ Caso 3: Estremo fisso ed estremo collegato ad una molla

0)()0(),0( == tfty ϕ 0)0( =ϕ

0),(),(=−

∂∂ tlyk

xtlyT 0)()(

=−∂

lkxldT ϕϕ



Condizioni iniziali con condizioni al contorno del Caso 1 (estremi fissi): Imponendo le condizioni al contorno nella (A3) si ha:

( )( ) 0cossin),0(1

=+= ∑∞

=iiiiii tBtADty ωω 0=iD

( )( ) 0cossinsin),(1

=+= ∑∞

=iiiiiii tBtAlCtly ωωγ

li

iπγ = ;

liciπω = (i=1,2,...)

Quindi la (A3) diventa: ( )∑∑∞

=

∞

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

11cossinsin)()(),(

iiiiii

iii tBtAx

liCtfxtxy ωωπϕ

ovvero: ∑∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1cossinsin),(

iii ct

liFct

liEx

litxy πππ (A4)

dove: iii ACE = iii BCF =

Inoltre si ha: ∑∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂

1sincossin),(

iii ct

li

licFct

li

licEx

li

ttxy πππππ (A5)

Imponiamo ora le condizioni iniziali:

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1sin)0,(

ii x

liFxy π (A6)

∑∞

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

10

sin),(i

it

xl

il

icEt

txy ππ (A7)

Ricordando ora che una arbitraria funzione g(x) della variabile indipendente x compresa nell’intervallo [0, l] può essere sviluppata in serie di Fourier nel seno secondo la:

∑∞

=

=1

sin)(i

i lxiGxg π con ∫=

l

i dxl

xixgl

G0

sin)(2 π

i coefficienti Fi e Ei che compaiono nelle (A6) e (A7) possono essere scritti come:

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

l

i dxxl

ixyl

F0

sin)0,(2 π ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

==

l

ti dxx

li

ttxy

ciE

00

sin),(2 ππ

(A8)

Assumiamo ora che all’istante iniziale la velocità sia nulla. Dalla (A7) risulta Ei = 0 e la (A4) diventa:

∑∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1cossin),(

ii ct

liFx

litxy ππ



Esempio 1 Supponiamo di afferrare la fune in mezzeria (vedi deformata di figura) e di rilasciarla.

La deformata iniziale è esprimibile attraverso le:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤−

≤≤=

lxllhxh

lxlhx

xy2/22

2/02

)0,( (A9)

Sostituendo la (A9) nella prima delle (A8) si ottiene:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫

2sin8

2sin42

cos2sin2cos2

cos2sin2

2

sin222sin22

22

2

2/

2

2/

0

2

2/

2/

0

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ii

hiil

lh

l

xl

ixi

hxl

iil

lhx

li

ihl

xl

ixil

lhx

li

il

lh

l

dxxl

ixlhh

ldxx

lix

lh

lF

l

l

l

l

l

l

i

In definitiva: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

===parii

dispariiii

hii

hFi0

2sin8

2sin8

2222

ππ

ππ

Per i dispari si può scrivere anche: 2/)1(22 )1(8 −−= i

i ihFπ

i = 1, 3, 5, ...

In conclusione, vengono eccitate solo le armoniche dispari.

Per le prime armoniche (i = 1, 3, 5, ...) risulta: =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∑

∞

=1cossin),(

ii ct

liFx

litxy ππ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ...5cos5sin

2513cos3sin

91cossin8

2 ctl

xl

ctl

xl

ctl

xl

h πππππππ

La seguente figura rappresenta la deformata della fune ad un istante generico (linea grossa) ottenuta considerando solo la prima (°), la terza (*) e la quinta (+) armonica.

Parte 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale


PARTE 8 – Misura di vibrazioni e Analisi Modale Sperimentale LA CATENA DI MISURA Le misure di vibrazioni possono essere effettuate con mezzi e fini diversi. Ad esempio:

• per vedere se un sistema meccanico rispetta le norme di sicurezza o di igiene del lavoro, se ne rileva il livello di vibrazione;

• per dimensionare le sospensioni di una macchina, si esegue la misura delle azioni eccitatrici che nascono nella macchina stessa;

• se si vuole trovare un adeguato modello matematico del sistema meccanico vibrante, si effettua la misura della sua risposta ad una eccitazione nota.

La strumentazione per rilevare le vibrazioni comprende almeno un trasduttore, un amplificatore ed un indicatore. La catena di misura più completa è costituita da:

• trasduttore • pre-amplificatore • condizionatore di segnale • convertitore analogico - digitale • analizzatore di segnale • altri dispositivi (visualizzatore, stampante, plotter, …)

In pratica è spesso presente anche un registratore magnetico (ora sostituito spesso dalla memoria del calcolatore), che può essere situato prima o dopo il condizionatore di segnale ed è sempre presente un convertitore analogico–digitale. Il trasduttore ha in uscita un segnale elettrico (in pratica una tensione) proporzionale alla grandezza meccanica da rilevare. Spesso il trasduttore è un accelerometro, per cui in uscita si ha una tensione proporzionale all’accelerazione. L’amplificatore amplifica l’ampiezza del segnale proveniente dall’accelerometro, che è debolissimo. Il segnale viene poi trattato dal condizionatore di segnale che compie alcune eventuali operazioni, come il filtraggio, una ulteriore amplificazione, l’integrazione nel tempo, e così via. Il filtraggio si intende in frequenza: il segnale in entrata ha un certo spettro di frequenza, il filtro permette il passaggio solo di certe componenti. Un filtro passa–basso, ad esempio, permette il passaggio delle sole componenti a frequenza più bassa: il risultato del filtraggio è allora il segnale iniziale, in cui sono state eliminate le componenti alle frequenze più alte. L’integrazione permette il passaggio dall’accelerazione alla velocità e/o dalla velocità allo spostamento.

Trasduttore AmplificatoreCondizionatore

di segnale

ConvertitoreA/D

AnalizzatorePlotter

Stampante

...

Registratore

Fig. 8.1 – Catena di misura

Il convertitore analogico digitale (A/D) è uno strumento a rigore non indispensabile, ma usualmente presente perché permette di trattare il segnale con un calcolatore: il segnale proveniente dal trasduttore è un segnale "analogico" continuo, il cui andamento è analogo a quello della grandezza misurata; il



convertitore A/D rileva il valore istantaneo del segnale a intervalli regolari di tempo, trasformandolo in un insieme discreto di numeri (segnale “digitale”). In questo modo in uscita si hanno dei numeri che possono essere gestiti ed elaborati da un calcolatore. L’analizzatore di segnale è infatti un computer, dotato di software adatto per elaborare il segnale. Un altro strumento non indispensabile ma molto utile è il registratore magnetico, che permette di conservare i dati sperimentali. ANALISI IN FREQUENZA Serie di Fourier Come è noto, una funzione x(t) periodica di periodo T si può rappresentare mediante la serie di Fourier:

)2cos(...)22cos()2cos()( 112121110 ntnfXtfXtfXXtx ϕπϕπϕπ +++++++= ,

ovvero:

∑∞

=++=

110 )2cos()(

nnn tnfXXtx ϕπ

dove: f1 è la frequenza fondamentale (frequenza dell’armonica fondamentale, che ha ampiezza X1) X0 è il valore medio di x(t) Xn è l’ampiezza della n–esima armonica, di frequenza nf1 ϕn è la fase della n–esima armonica Abbiamo riportato la notazione più usata, cioè quella solo in coseno ma, naturalmente, si può trovarla anche solo in seno o in seno e coseno. Se si ha una funzione periodica, effettuarne l’analisi di Fourier significa ricavare le ampiezze Xn e le fasi ϕn. Si può pensare di compiere l’analisi di Fourier con un filtro che abbia la caratteristica di lasciar passare solo le componenti comprese tra una certa frequenza f* e la f* più un certo incremento. Ricordiamo che il filtro è un circuito elettronico (dato che il segnale è elettrico). In figura è rappresentato un filtro ideale; in realtà è presente una certa dispersione.

Frequenza

Rapporto uscita/ingresso

f*

Fig. 8.2 – Filtro ideale Trasformata di Fourier Per una funzione x(t) non periodica, con la condizione che l’integrale da –∞ a +∞ del valore assoluto di x(t) sia una quantità finita, al posto della serie si definisce la Trasformata di Fourier:

∫∞

−==0

2)()()( dtetxtxfX tfi πF



La trasformata di Fourier è una funzione complessa, per cui si rappresenta con la parte reale e la parte immaginaria:

)]([)]([)( fXifXfX ℑ+ℜ=

oppure mediante modulo e fase: )()()( fiefXfX Φ=

in cui: 22 )]([)]([)( fXfXfX ℑ+ℜ= )]([

)]([)]([

fX

fXftg

ℜℑ=Φ

La X(f) si rappresenta graficamente mediante gli andamenti della parte reale e di quella immaginaria, o di ampiezza e fase in funzione della frequenza. In realtà, però, il segnale che si ha a disposizione non permette, a rigore, di calcolare la trasformata di Fourier. Infatti ciò che si possiede è un segnale rilevato da un certo istante iniziale fino ad un tempo T* finito. Le conseguenze sono che:

• ∫ −

∞→==

Ttfi

TdtetxtxfX

0

2)(lim)()( πF può non esistere

• se si elabora questo segnale calcolandone la trasformata di Fourier, è come se si considerasse il

segnale “prolungato” da –∞ a +∞ prima e dopo l’intervallo di acquisizione T*. Cioè, è come se il segnale si ripetesse periodicamente, con periodo T*, per t da –∞ a +∞.

Si deve perciò calcolare in realtà: ∫ −==*

0

2)()(*),(T

tfi dtetxtxTfX πF

chiamata Trasformata Finita di Fourier. In questo modo la funzione che si considera non è più non periodica, ma “periodica” di periodo T*, definita da –∞ a +∞. Se si riportano le ampiezze in funzione delle frequenze, si ottiene uno spettro discontinuo, appunto per il fatto che la funzione viene trattata come periodica di periodo T*. Lo spettro ha una risoluzione (distanza tra due linee contigue): ∆f=1/T* È importante sottolineare che la frequenza ∆f non è (in generale) una frequenza del segnale, ma dipende solo dal tempo di acquisizione T*. Non è detto che tale frequenza, o qualcuno dei suoi multipli, siano effettivamente presenti nel segnale. Supponiamo, ad esempio, di avere una struttura che vibra: essa avrà una certa frequenza fI del primo modo, fII del secondo modo e così via. Se si rileva il segnale mettendo il trasduttore sulla struttura, tali frequenze saranno presenti nel segnale. Se si rileva il segnale per un tempo T*, nello spettro compaiono componenti alle frequenze pari ad un multiplo intero della frequenza fondamentale ∆f=1/T*. Di regola succederà che fI e fII non siano dei multipli di ∆f: nello spettro si trova allora solo un “addensamento” attorno a tali valori.



In corrispondenza delle componenti fI e fII, che non si ritrovano perché hanno una frequenza che non esiste sullo spettro discreto, compaiono allora delle componenti a frequenze vicine (vedi figura 8.3), la cui energia totale coincide con quella delle componenti fI e fII. Questo fenomeno è detto leakage (dispersione): poiché si rileva la funzione in un tempo T* finito, cioè guardando il segnale attraverso una finestra rettangolare, le frequenze effettivamente presenti si “disperdono” nelle frequenze prossime ad esse, ma sempre multiple di ∆f=1/T*.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

100

200

300

400

500

600

Frequenza

X(f

)

Fig. 8.3 – Dispersione

Per diminuire la dispersione si utilizzano finestre di forma diversa; uno dei tipi più usati è la finestra Hanning, che ha la proprietà di annullare il segnale all’inizio e alla fine dell’acquisizione, per cui si elimina la discontinuità che altrimenti si avrebbe all’inizio del periodo. Utilizzando le finestre si ottengono degli spettri più vicini alla realtà rispetto alla finestra rettangolare, che dà spettri più dispersi. CAMPIONAMENTO È possibile analizzare il segnale con un computer se è presente nella catena di misura un convertitore A/D che lo trasformi in una serie di numeri. L’operazione viene chiamata campionamento: ad intervalli regolari di tempo il convertitore legge il valore istantaneo del segnale.

0 2 4 6 8 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tempo

x(t)

Fig. 8.4 – Campionamento



All’uscita dal convertitore A/D non si ha più un segnale continuo ma un segnale discreto. L’intervallo di tempo ∆tc tra due acquisizioni successive è detto intervallo di campionamento; il suo inverso fc = 1/ ∆tc è detto frequenza di campionamento. Il campionamento permette un’analisi del segnale veloce e sofisticata, ma occorre che la fc sia adeguata per non alterare il segnale. ALIASING Supponiamo che il segnale sia sinusoidale: effettuandone il campionamento con una fc troppo bassa, il segnale viene interpretato come un segnale a frequenza più bassa. Qualsiasi analisi successiva dà allora risultati errati, perché è fatta su un segnale diverso da quello effettivo. Questo fenomeno è detto aliasing (alterazione). Per evitare l’aliasing deve essere soddisfatto il Teorema di Shannon o del campionamento, secondo il quale deve essere:

max2 ffc ≥ essendo fmax la più alta frequenza contenuta nel segnale.

Dato che non si conosce a priori il contenuto in frequenza del segnale da analizzare, affinché sia soddisfatta tale condizione bisogna usare un filtro antialiasing (AA), che è un filtro passa-basso che lascia passare solo le componenti con frequenza inferiore alla frequenza massima di interesse fmax. La frequenza di campionamento dovrà essere non inferiore a 2 fmax. Solitamente si assume fc = 2.5 fmax.

Valgono le seguenti relazioni: ff

NtNTc

c ∆==∆⋅= 11

*

in cui: ∆f è la risoluzione dello spettro fc è la frequenza di campionamento, che in pratica vale 2.5 volte la massima frequenza di interesse T* è il tempo di acquisizione ∆tc è l’intervallo di campionamento N è il numero di campioni In Appendice A1 è riportato un esempio di scelta dei parametri di acquisizione. TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER Ritornando all’analisi di Fourier, nel caso di un segnale campionato si parla di trasformata discreta di Fourier (DFT), perché l’analisi viene effettuata su una funzione discreta (segnale campionato):

∑−

=

−∆=∆

1

0

2)(

N

n

N

nki

nc extfkXπ

dove: xn è il generico valore n–esimo di x(t), cioè x(t) = x(n ∆tc) X(k ∆f) rappresenta il termine k-esimo dello spettro di x(t) N è il numero di campioni, cioè il numero di valori di x(t) rilevati a intervalli regolari ∆tc k è l’ordine dell’armonica, che va da 0 a (N-1)/2. Se il numero di campioni elaborati è una potenza di 2, il calcolo viene effettuato con algoritmi chiamati FFT (Fast Fourier Transform), che velocizzano l’operazione (sono da 100 a 200 più veloci della procedura normale) e consentono di avere la trasformata di Fourier in tempo reale.



INTRODUZIONE ALL’ANALISI MODALE SPERIMENTALE L’analisi modale è un procedimento sperimentale per l’identificazione dei sistemi mediante la determinazione di: • FREQUENZE PROPRIE • SMORZAMENTI • MODI DI VIBRARE L’analisi modale viene usualmente eseguita per mezzo della FUNZIONE RISPOSTA IN FREQUENZA. L’analisi modale è impiegata soprattutto per • VALIDARE MODELLI A PARAMETRI CONCENTRATI O AD ELEMENTI FINITI • EFFETTUARE MODIFICHE STRUTTURALI • …………… Le ipotesi fondamentali alla base dell’analisi modale sono: • SISTEMA LINEARE • SISTEMA TEMPOINVARIANTE • SISTEMA OSSERVABILE FUNZIONE DI TRASFERIMENTO E FUNZIONE RISPOSTA IN FREQUENZA Consideriamo un sistema ideale ossia quel sistema che ha parametri costanti ed è lineare tra due punti di interesse chiaramente definiti, detti ingresso o punto di eccitazione e uscita o punto di risposta. Un sistema ha parametri costanti se tutte le proprietà fondamentali del sistema sono invarianti rispetto al tempo. Un sistema si dice lineare se le caratteristiche della risposta sono additive ed omogenee. Il termine additivo significa che l’uscita corrispondente alla somma di più ingressi è uguale alla somma delle uscite prodotte da ciascun ingresso individualmente. Il termine omogeneo significa che l’uscita prodotta da un ingresso moltiplicato per una costante è uguale alla costante per l’uscita prodotta dal solo ingresso. L’ipotesi relativa alla costanza dei parametri è ragionevolmente valida per molti sistemi fisici. L’ipotesi di linearità per i sistemi reali è, in qualche modo, più critica. Tutti i sistemi fisici manifestano caratteristiche di risposta non lineari in condizioni di eccitazione estreme. Ciononostante, per molti sistemi fisici è lecito assumere l’ipotesi di linearità, almeno per campi di valori limitati dell’ingresso, senza commettere errori significativi. Un sistema può essere identificato con l’uscita che corrisponde ad una determinata entrata. Nel caso di sistemi meccanici è più comune parlare di eccitazione e di risposta:

SistemaUscitaIngresso

SistemaRispostaEccitazione

f(t) x(t)

Le caratteristiche di un sistema lineare a parametri costanti possono essere descritte dalla funzione risposta all’impulso unitario h(τ), che viene definita come la risposta del sistema in dato istante t ad un impulso unitario applicato all’istante t –τ . L’utilità della funzione risposta all’impulso unitario deriva dal fatto che la risposta x(t) di un sistema ad un ingresso arbitrario f(t) è data dall’integrale di convoluzione:

∫∞

∞−

−= τττ dthftx )()()(



Un sistema lineare a parametri costanti può anche essere caratterizzato dalla funzione di trasferimento H(s) , che è definita come la trasformata di Laplace della ( )h τ :

0( ) ( ) sH s h e d s jττ τ σ ω

∞ −= = +∫ .

Le caratteristiche dinamiche del sistema possono essere descritte anche dalla funzione risposta in frequenza H(ω) (FRF), che è definita come la trasformata di Fourier della ( )h τ :

0( ) ( ) jH h e dωτω τ τ

∞ −= ∫

La funzione risposta in frequenza è semplicemente un caso particolare della funzione di trasferimento dove, nell’esponente s = σ + jω si ha σ = 0. Per sistemi fisici la funzione risposta in frequenza può sostituire la funzione di trasferimento senza alcuna perdita di informazione. Una importante proprietà della funzione risposta in frequenza dei sistemi lineari a parametri costanti può essere evidenziata operando la trasformata di Fourier su entrambi i membri dell’integrale di convoluzione:

( )

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) )

( ) ( ( )

j t j t

j t

j

j j

X x t e dt f h t d e dt

f h t e dt d

f h e d d

f h e d e d

f H

ω ω

ω

ω τ η

ωη ωτ

ω τ τ τ

τ τ τ

τ η η τ

τ η η τ

τ ω

+∞ +∞ ∞− −

−∞ −∞ −∞

+∞ +∞ −

−∞ −∞

+∞ +∞ − +

−∞ −∞

+∞ +∞ − −

−∞ −∞

−

= = − =

= − =

= =

= =

=

∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

)

( ) ( ) ( ) ( )

j

j

e d

H f e d H F

ωτ

ωτ

τ

ω τ τ ω ω

+∞ −

∞

−+∞

−∞

=

= =

∫

∫

dove X(ω) e F(ω) sono, rispettivamente, le trasformate di Fourier dell’uscita e dell’ingresso. Come si vede, nel dominio delle frequenze l’integrale di convoluzione si riduce ad una semplice espressione algebrica.

f(t) x(t)h(t)

F(ω)H(ω)

X(ω)

La FRF di un sistema è dunque il rapporto fra le trasformate di Fourier (FT) della risposta e dell’eccitazione:

)()()(

ωωω

FXH =

In appendice A2 è riportato un esempio di funzione di trasferimento e di FRF per un sistema ad un gdl. Nella pratica, per diminuire gli errori di misura, si impiegano degli stimatori della FRF effettuando la media di più misure (vedi Appendice A3).



RILIEVO SPERIMENTALE DELLA FRF Teoricamente, per rilevare la FRF Hlm di una struttura, occorre: * eccitare la struttura nel punto l con una forza sinusoidale di ampiezza e frequenza nota; * rilevare la vibrazione della struttura nel punto m; * valutare il modulo Hlm della FRF come rapporto del modulo della risposta diviso quello della

forzante, e la fase ϕ lm come differenza fra la fase della risposta e quella della forzante; * ripetere l’operazione facendo variare ogni volta il valore della frequenza della forzante. La risposta può essere costituita dallo spostamento, dalla velocità o dall’accelerazione rilevati nel punto m. In realtà, non occorre eseguire l’operazione per ogni singola frequenza. Basta eccitare nel punto l con una eccitazione che abbia adeguato contenuto in frequenza in tutto il campo che interessa: rilevate sperimentalmente l’eccitazione e la risposta, se ne calcolano le trasformate di Fourier e si calcola poi il rapporto di tali trasformate, che è la FRF cercata.

Definizioni INGRESSO USCITA FRF 1/FRF

Accelerazione Inertanza Massa apparente Velocità Mobilità Impedenza

Forza

Spostamento Ricettanza Rigidezza dinamica SISTEMI A N GRADI DI LIBERTÀ E SISTEMI CONTINUI Sistemi a N gdl Un sistema con N gradi di libertà si può studiare come se fosse costituito da N sistemi con un singolo gdl. Ad ogni modo corrispondono: * una pulsazione propria * uno smorzamento modale * una forma modale Se in un punto del sistema con N gdl si applica una forzante sinusoidale tFtf ωcos)( 0= , tutto il sistema

vibra con pulsazione ω; le ampiezze (e le fasi) delle risposte dipendono da ω; si hanno N condizioni di risonanza. La risposta del sistema viene descritta mediante funzioni risposta in frequenza (FRF):

""

""

jineeccitazion

iinrispostaHij =

La FRF presenta N picchi di risonanza. La FRF del sistema è la “somma” delle FRF dei singoli modi propri. Sistemi continui Un sistema continuo ha infiniti gradi di libertà e infiniti modi propri, cioè infinite pulsazioni proprie e infinite forme modali. Però, le pulsazioni proprie sono distinte e costituiscono pertanto una infinità discreta; inoltre al di sopra di una certa frequenza, i modi di vibrare non hanno più senso fisico e, comunque, non vengono mai eccitati.



Quando ad un sistema continuo si applica una forzante armonica: * il sistema vibra con la stessa pulsazione della forzante, * tutti i punti si muovono in fase fra loro ma con un certo sfasamento rispetto alla forzante. Se siamo interessati al comportamento del sistema fino ad una certa pulsazione ωm, è sufficiente che teniamo conto solo dei modi propri - siano N - con pulsazione non superiore ad ωm. Il moto libero generale è dato dalla somma dei primi N modi propri. Anche la risposta del sistema ad una forzante di pulsazione inferiore ad ωm è dato dalla somma delle risposte degli N sistemi ad un solo gdl, corrispondenti ai primi N modi propri. Un sistema continuo può essere modellato con un sistema discreto, con un numero finito di gdl, ad esempio: * con un modello modale (MM), * con un modello a parametri concentrati (PC), * con un modello a elementi finiti (EF). Il modello modale è costituito da tanti sistemi ad un solo gdl quanti sono i modi che si vogliono mettere in conto. Il modello modale rappresenta bene il sistema per frequenze inferiori alla massima presente nel modello, cioè a quella del modo più alto. FONDAMENTI ANALITICI DELL’ANALISI MODALE Per effettuare l’analisi modale, si sceglie sulla struttura in esame un certo numero di punti, tali da definire adeguatamente la geometria della struttura e le sue forme modali. Si eccita in un punto e si rilevano le risposte negli altri punti; oppure si rileva la risposta in un punto e si eccita in corrispondenza degli altri punti. L’eccitazione ed il rilievo vengono effettuati in un intervallo ωmin ÷ ωmax (di solito è ωmin ≈ 0): gli N modi rilevati sono tutti e solo quelli interni a tale intervallo. Siano nm i punti scelti sulla struttura e a questi si facciano corrispondere altrettanti gradi di libertà. Scriviamo l’equazione del moto di un sistema a nm gdl: )(][][ tfxx =+ KM Eccitando nel punto corrispondente al grado di libertà k: ( ) tiT

k etf ω⋅= 0...,0 ,F ..., 0, 0, e introducendo le coordinate modali: [ ] qx ⋅Φ= dove la matrice modale è in generale rettangolare, (nm ×N), si ottiene: [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) tfqq =⋅Φ⋅+⋅Φ⋅ KM e premoltiplicando per [Φ]T: [ ] [ ] [ ] ( ) tfqq T

pp ⋅Φ=⋅+ KM Se si normalizzano gli autovettori rispetto alla matrice massa, la generica r-esima equazione è:

tikkrrrr eFqq ωω ⋅⋅=⋅+ X2



Scritta la soluzione nella forma: tirr eQq ω⋅=

si ha: tikkr

tirr

tir eFeQeQ ωωω ωω ⋅⋅=+− X22 da cui:

22X

ωω −

⋅=

r

kkrr

FQ

ed infine: ti

r

kkrr eFq ω

ωω⋅

−⋅

= 22X .

Si ottiene pertanto: ( ) ∑∑==

⋅−

⋅⋅==

N

r

ti

r

kkrlrN

rrlrl eFqtx

122

1

XXX ω

ωω od anche: ( ) ti

ll eXtx ωω)(=

Si può scrivere: ( ) ∑= −

⋅==

N

r r

krlr

k

llk F

X

122

XX)(ωω

ωωα

che rappresenta il rapporto tra la vibrazione della coordinata l e la forza impressa alla coordinata k in funzione della pulsazione. Se il sistema è smorzato, l’equazione del moto assume la forma:

)(][][][ tfxxx =++ KCM &&& Se lo smorzamento è proporzionale, tutto il procedimento svolto per il sistema non smorzato può venire ripetuto; si perviene così alla seguente espressione:

( ) ( ) ( )∑= ⋅+−

⋅⋅=

N

r

ti

rr

kkrlrl e

iF

tx1

22r

.2

XX ω

ωωζωω ( ) ti

ll eXtx ωω)(=

E si può scrivere: ( ) ( ) ( )∑= ⋅+−

⋅==

N

r rrr

krlr

k

llk iF

X

122 2

XX)(ωωζωω

ωωα

ESTRAZIONE DELLE FORME MODALI: METODO DEL SISTEMA AD UN SOLO GDL (METODO SDOF) L’espressione del generico αlk(ω) mostra che esso è funzione di ω, e che per ogni valore di ω è somma di termini relativi a tutti gli N modi di vibrare del sistema. Mettendo in evidenza il contributo di un particolare modo s-esimo, scriviamo l’espressione di αlk nella forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∑

≠= ⋅+−⋅

+⋅+−

⋅=

N

srr rrr

krlr

ss

kslslk ii 1

2222s 2

XX2

XXωωζωωωωζωω

ωα

Nell’ipotesi (non sempre accettabile) che quando ω = ωs i contributi degli altri modi siano trascurabili rispetto a quelli del modo s-esimo, possiamo scrivere:

( ) 22XX

ss

kslslk i ωζ

ωα⋅

= Ponendo k = l, si ricava Xls: ( )sllssls ωαζω ⋅= 2X

e successivamente Xks: ( )

ls

lkssks X

2X

2 ωαωζ ⋅= cioè le forme modali.



SCHEMA DEL PROCEDIMENTO 1. Si scelgono i vincoli della struttura: se possibile, si preferiscono di solito vincoli molto cedevoli, a cui

corrispondono moti di corpo rigido a frequenze molto basse, che non interferiscono con i modi di vibrare della struttura.

2. Si scelgono i punti (e quindi i corrispondenti nm gradi di libertà) sulla struttura. 3. Si eccita in un punto (ad es. con uno shaker elettrodinamico) e si rilevano (ad es. con accelerometri)

le risposte negli altri punti; oppure si rileva la risposta in un punto (ad es. con un accelerometro) e si eccita (ad es. con un martello strumentato) in corrispondenza di tutti gli altri punti.

4. L’eccitazione ed il rilievo vengono effettuati in un intervallo ωmin ÷ ωmax (di solito è ωmin ≈ 0): i modi

rilevati sono tutti e solo quelli interni a tale intervallo. 5. Si trovano così nm FRF. 6. Su ciascuna delle FRF così ottenute sono presenti N picchi, corrispondenti alle N pulsazioni proprie

comprese nell’intervallo ωmin ÷ ωmax considerato, salvo l’eventuale presenza di nodi: se un gdl l cade in corrispondenza di un nodo del modo s, nella relativa FRF il picco in corrispondenza di ωs non compare.

7. Si possono così ricavare, con la semplice osservazione dei picchi di risonanza (“peak picking”), le N

pulsazioni proprie del sistema nell’intervallo di interesse. 8. Nell’intorno di ogni pulsazione naturale ωs, trattando il sistema come se fosse ad un solo gdl, si ricava

il coefficiente di smorzamento ζs (per esempio con il metodo della banda di mezza potenza). 9. Con il metodo del sistema ad un solo grado di libertà (SDOF), si ricavano infine X

ls e X

ks:

( )sllssls ωαζω ⋅= 2X ( )ls

lkssks

X

2X

2 ωαωζ ⋅=

È opportuno mettere bene in evidenza che: * il numero di modi che si prendono in considerazione dipende solo dal campo di frequenza; * il numero e la posizione dei punti di rilievo vanno scelti in modo da rappresentare in modo accurato e

corretto le forme modali della struttura. Esempio La figura illustra sommariamente l’attrezzatura ed il procedimento: la mensola viene eccitata nel punto 1, gli accelerometri A1, A2, A3 rilevano le risposte nei punti 1 , 2, 3 e l’analizzatore di segnale calcola le tre FRF H11, H21, H31. I picchi delle FRF individuano le frequenze proprie. L’acutezza delle FRF in corrispondenza di ciascuna frequenza propria permette di valutare il corrispondente smorzamento. Le ampiezze e le fasi delle tre FRF in corrispondenza di ciascuna frequenza propria permettono di determinare la corrispondente forma modale.



BIBLIOGRAFIA * S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995. * D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1994.



APPENDICE A1 – Scelta dei Parametri di acquisizione Individuata la frequenza di interesse (futile) si sceglie la FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO. Per evitare il fenomeno dell’aliasing deve essere: fcamp ≥ 2 futile (teorema di Shannon) Nella pratica: fcamp ≥ 2.5 futile (per tener conto dell’imperfezione del filtro anti-aliasing) La RISOLUZIONE dello spettro è pari a: ∆f = 1/T* T* = PERIODO DI ACQUISIZIONE ∆f = distanza tra due linee spettrali Se ∆f risulta “piccolo” si parla di elevata RISOLUZIONE dello spettro. Scelte la frequenza di campionamento e la risoluzione, il NUMERO DI CAMPIONI risulta: N = T* / ∆t ∆t = 1 / fcamp ∆t = TEMPO DI CAMPIONAMENTO N = T* fcamp Generalmente il numero N di campioni deve essere potenza di 2

(per poter usare l’algoritmo veloce FFT). Esempio Si vogliano rilevare le frequenze proprie di un sistema libero-libero nel range 0-3000 Hz. Da uno studio preliminare (eseguito utilizzando, per esempio, il metodo degli elementi finiti) tali frequenze risultano essere le seguenti: f1 = 800 Hz f2 = 1300 Hz f3 = 1500 Hz f4 = 2300 Hz f5 = 2315 Hz f6 = 2800 Hz Fissiamo innanzitutto la frequenza di campionamento. Per evitare il fenomeno dell’aliasing deve essere: fcamp ≥ 2.5 futile futile = 3000 Hz ==> fcamp ≥ 2.5 * 3000 = 7500 Hz La distanza tra due linee spettrali adiacenti della Trasformata Finita di Fourier è pari a: ∆f = 1/T* T* = periodo di acquisizione Dal momento che la quarta e la quinta frequenza differiscono tra loro di 15 Hz, è necessario che la risoluzione dello spettro sia piuttosto alta (∆f sufficientemente piccolo). Imponiamo che sia: ∆f = 2 Hz ==> T* = 1/∆f = 0.5 s A questo punto calcoliamo il numero di campioni che sono contenuti in 0.5 secondi: N = T* / ∆t ∆t = 1/fcamp N = T* fcamp = 3750 Perché possa essere eseguita la FFT (Fast Fourier Transform) il numero N di campioni deve necessariamente essere potenza di 2. Scegliamo quindi il primo numero potenza di 2 superiore a 3750: N = 4096 A questo punto abbiamo due possibilità: Manteniamo la risoluzione ∆f = 2 Hz Numero di campioni N = 4096 Durata dell’acquisizione T* = 0.5 s Frequenza di campionamento fcamp = N / T = 8192 Hz Frequenza utile futile = fcamp / 2.5 = 3276.8 Hz

Manteniamo la frequenza di campionamento fcamp = 7500 Hz Numero di campioni N = 4096 Durata dell’acquisizione T* = N / fcamp = 0.546 s Risoluzione dello spettro ∆f = 1 / T* = 1.831 Hz Frequenza utile futile = fcamp / 2.5 = 3000 Hz



APPENDICE A2 – Funzione Risposta in Frequenza e Funzione di Trasferimento

Modello del sistema:

m

c k

F(t)

x(t)

Equazione del moto )(tfkxxcxm =++

Forzante armonica

tFkxxcxm ωcos0=++

Risposta a regime )cos(0 ψω −= tXx

Introducendo la Trasformata di Laplace, l’equazione del moto delle vibrazioni forzate si scrive: )(tfLkxxcxmL =++ o anche, posto: )()( txLsX = e )()( tfLsF =

( ) [ ])0()0()0()()(2 cxxmxmssFsXkcsms +++=++ ovvero, se le condizioni iniziali sono tutte nulle: ( ) )()(2 sFsXkcsms =++ Si scrive anche: )()()( sFsHsX =

dove: kcsms

sH++

= 21)( è la funzione di trasferimento del sistema.

Nella pratica, si impiega la Trasformata di Fourier, il che significa che in luogo della variabile s = σ + iω si usa la variabile iω. Pertanto in luogo della funzione di trasferimento si introduce la funzione risposta in frequenza (FRF):

nn

i

kkicm

iH

ωωζ

ωωωω

ω21

11)(

2

22+−

=++−

= dove: mk

n =ω nm

ckmc

ωζ

22==

La funzione risposta in frequenza può venire misurata sperimentalmente. Trattandosi di una funzione complessa, si rappresenta con parte reale e parte immaginaria oppure con modulo e fase.

22

2

221

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

nn

kiH

ωωζ

ωω

ω

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

2

22

1

2arctanarctan)(

n

n

mkciH

ωωωωζ

ωωω

Valgono infine le seguenti: 22

2

20

0

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

nn

kFX

ωωζ

ωω

2

21

2

n

ntg

ωωωωζ

ψ−

=



APPENDICE A3 – Stima sperimentale della FRF AUTOCORRELAZIONE (AUTOCORRELATION) L’autocorrelazione Rxx (τ) di una funzione x(t) indica quanto la funzione stessa è correlata con sé stessa. La definizione è:

∫−

∞→+=

2/

2/

)()(1

lim)(T

TT

xx dttxtxT

R ττ

L’autocorrelazione di una funzione periodica è periodica. L’autocorrelazione di una funzione casuale tende a zero per τ ≠ 0. La trasformata di Fourier di Rxx(τ) è detta densità di potenza spettrale (PSD) o densità di autospettro (ASD) e si indica di solito con Sxx(ω):

)()( τω xxxx RS F=

La funzione Sxx(ω) è legata alla trasformata di Fourier di x(t) dalla relazione:

2)()()(*)( ωωωω XXXSxx ==

dove il simbolo * indica il complesso coniugato. La funzione Sxx(ω) è reale e contiene le informazioni sulle frequenze presenti in x(t), ma non quelle sulle fasi.

Per diminuire gli errori di misura, si effettua la media di più misure: ∑=

=N

kkkxx XX

NS

1

)()(*1

)( ωωω

CORRELAZIONE INCROCIATA (CROSS-CORRELATION) La correlazione incrociata Rxy (τ) di due funzioni x(t), y(t) indica quanto le due funzioni sono correlate fra loro. La definizione è:

∫−

∞→+=

2/

2/

)()(1

lim)(T

TT

xy dttytxT

R ττ

La trasformata di Fourier di Rxy(τ) è detta densità di spettro incrociato (CSD) e si indica di solito con Sxy(ω):

)()( τω xyxy RS F=

La funzione Sxx(ω) è legata alle trasformate di Fourier di x(t) e di y(t) dalla relazione:

)()(*)( ωωω YXSxy =

La funzione Sxx(ω) è una funzione complessa e contiene informazioni sulle frequenze e sulle fasi; inoltre risulta:

)(*)( ωω xyxy SS =

Per diminuire gli errori di misura, si effettua la media di più misure: ∑=

=N

kkkxy YX

NS

1

)()(*1

)( ωωω



STIMA DELLA FRF Se f(t) è l’eccitazione e x(t) è la risposta del sistema, la FRF si definisce come rapporto delle loro trasformate di Fourier:

)(

)()(

ωωω

F

XH =

Per diminuire gli errori di misura, si impiegano degli stimatori della FRF effettuando la media di più misure.

Stimatore H1: )()(

)(

)()(*

)()(*)( 1 ω

ωω

ωωωωω H

S

S

FF

XFH

ff

fx ===

Lo stimatore H1 riduce gli effetti dei disturbi all’uscita.

Stimatore H2: )()(

)(

)()(*

)()(*)( 2 ω

ωω

ωωωωω H

S

S

FX

XXH

xf

xx ===

Lo stimatore H2 riduce gli effetti dei disturbi all’ingresso. In assenza di errori di misura, sarebbe H1(ω) = H2(ω) = H(ω). Per giudicare l’attendibilità della misura si può usare la funzione coerenza γ2 che indica quanto la risposta è coerente con l’eccitazione:

)()(

)(

)(

)()(

2

2

12

ωωω

ωωωγ

xxff

fx

SS

S

H

H == ; risulta: 10 2 ≤≤ γ .

Se γ2 < 0.75, i risultati sono poco attendibili, cioè il rapporto segnale/rumore è basso. Altre cause che danno luogo a bassi valori della coerenza sono le seguenti: * sono presenti altre eccitazioni che però non vengono misurate * il sistema presenta delle non linearità



APPENDICE A4 – Prova sperimentale no.1 Si vogliono misurare le frequenze naturali di un tratto di tubo a sezione circolare. Una prima indagine con il metodo degli elementi finiti ha portato al risultato sintetizzato nella tabella seguente.

Modo Modo Frequenza naturale [Hz]

1454

1813

4085



Modo Modo Frequenza naturale [Hz]

4630

7770

8370



Autospettro della risposta ad una eccitazione impulsiva Fcamp = 25600 Hz N = 1024

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

Frequency [Hz]

dB

Fcamp = 25600 Hz N = 8192

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Frequency [Hz]

dB



Autospettro della risposta ad una eccitazione impulsiva Fcamp = 5120 Hz N = 1024

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000-80

-60

-40

-20

0

20

40

Frequency [Hz]

dB

Fcamp = 5120 Hz N = 8192

1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Frequency [Hz]

dB



APPENDICE A5 – Prova sperimentale no.2 Misura delle frequenze naturali di una struttura “ad elle” in acciaio.

600 Hz

1465 Hz

755 Hz

2070 Hz



APPENDICE A6 – Prova sperimentale no.3 Prove con shaker elettrodinamico su lamina in alluminio.

Dimensioni: Larghezza = 34 mm Spessore = 1 mm Lunghezza = 245 mm Materiale: Alluminio E = 7.1e10 N/m2 ρ = 2770 kg/m3 Preventivamente, le frequenze possono essere calcolate con la teoria delle vibrazioni dei sistemi continui. Dalla teoria delle vibrazioni flessionali di una trave, nel caso di condizioni al contorno “incastro-libero”, risulta l’equazione:

01coshcos =++ ll ββ dove: 42

EIS i

iωρβ = (i=1,2,...)

Risolvendo l’equazione nel termine βl si determinano le pulsazioni naturali: 2

2)(ll

SEI i

iβ

ρω =

i βi l ωi [rad/s] fi [Hz] 1 1.875104069 85.61 13.632 4.694091133 536.50 85.393 7.854757438 1502.21 239.084 10.99554073 2943.74 468.515 14.13716839 4866.22 774.486 17.27875953 7269.28 1156.947 20.42035225 10152.97 1615.898 23.56194490 13517.26 2151.34

IV modo della trave a mensola

In alternativa, le si possono valutare tramite una semplice analisi FEM.

I

II IIIIV

V

Parte 9 – Modellazione a Parametri Concentrati


PARTE 9 – Modellazione a Parametri Concentrati ASTA SOGGETTA A VIBRAZIONI ASSIALI Primo modello

m/3m/3 m/6

=

6/0003/0003/

][m

mm

M

−−−

−=

kkkkk

kkK

02

02][

−−−

−== −

660363

036][][][ 1

mkKMA

Autovalori mk80385.0

mk6

mk196.11

Pulsazioni calcolate

ρE

L553.1

ρE

L243.4

ρE

L796.5

Pulsazioni esatte

ρE

L571.1

ρE

L712.4

ρE

L854.7

Errore % −1.14 −9.97 −26.21



Secondo modello

m/3m/3 m/3

=

3/0003/0003/

][m

mm

M

−−−

−=

kkkkk

kkK

02

03][

−−−

−== −

330363

039][][][ 1

mkKMA

Autovalori mk80385.0

mk6

mk196.11


ρE

L553.1

ρE

L243.4

ρE

L796.5

Pulsazioni esatte

ρE

L571.1

ρE

L712.4

ρE

L854.7

Errore % −1.14 −9.97 −26.21



Terzo modello

m/3m/3 m/3

=

3/0003/0003/

][m

mm

M

−−−

−=

kkkkk

kkK

02

02][

−−−

−== −

330363

036][][][ 1

mkKMA

Autovalori mk5942.0

mk665.4

mk741.9


ρE

L335.1

ρE

L741.3

ρE

L406.5

Pulsazioni esatte

ρE

L571.1

ρE

L712.4

ρE

L854.7

Errore % −15.00 −20.61 −31.17



Primo modello con N gdl m/N m/N m/2N m/N

LNESk =

=

Nm

Nm

Nm

M

20......00...0.........0...0.........00

0......0

][

−−−

−−−−

−

=

kkkkk

kkkkk

kk

K

0...020...

0...0...020...02

][

−−−

−−−−

−

== −

120...01210...

01...10...01210...012

][][][ 1

mNkKMA

Pulsazioni

esatte ρπ

ωE

Li

i 2)12( −

=

i

2)12( π−i

Pulsazioni modello

con N=10

* EL ρ

Errore

%

1 1.5708 1.5692 −0.10 2 4.7124 4.6689 −0.92 3 7.8540 7.6537 −2.55 4 10.9956 10.4500 −4.96 5 14.1372 12.9890 −8.12 6 17.2788 15.2081 −11.98 7 20.4204 17.0528 −16.49 8 23.5619 18.4776 −21.58 9 26.7035 19.4474 −27.17 10 29.8451 19.9383 −33.19



TRAVE SU DUE APPOGGI SOGGETTA A VIBRAZIONI TRASVERSALI

a = L - b b

P

x

y(x)

m/4 m/4 m/4

L/4 L/4 L/4 L/4

Dati: m = 226.4 kg E = 2.1 × 1011 N/m2 I = 7.2 × 10 -7 m4 L = 12 m

per x ≤ a l’equazione della linea elastica è: ( )222

6)( xbl

lxb

EIPxy −−=

il generico termine della matrice cedevolezza [D] vale: [ ] ( )2221 6

1)( ijij

Pij xbllxb

EIxy −−== =δ

Risultati modello con 3 masse

0.134 × 10–3 0.164 × 10–3 0.104 × 10–3 D = 0.164 × 10–3 0.238 × 10–3 0.164 × 10–3 [m/N] 0.104 × 10–3 0.164 × 10–3 0.134 × 10–3

55200 –52800 21600

K = D–1 = –52800 76800 –52800 [N/m] 21600 –52800 55200

Pulsazioni calcolate [rad/s] 6.134 24.365 51.732 Pulsazioni esatte [rad/s] 6.136 24.543 55.221 Errore % −0.031 −0.726 −6.320

Risultati modello con 4 masse

Pulsazioni calcolate [rad/s] 6.135 24.482 54.197 89.246 Pulsazioni esatte [rad/s] 6.136 24.543 55.221 98.172 Errore % −0.012 −0.248 −1.856 −9.092



ESEMPIO DI MODELLAZIONE A PARAMETRI CONCENTRATI: AEREO Per studiare le vibrazioni verticali di un aereo e delle sue ali si può utilizzare il modella a tre gdl di figura. Le masse sono quelle della fusoliera e delle ali più i motori, le rigidezze sono quelle delle ali.



MODELLO A DUE GDL DI UN AUTOVEICOLO Per studiare i moti di saltellamento e di beccheggio di un autoveicolo si può utilizzare il modello a due gdl di figura.

Dati: Massa m = 4000 kg Momento di inerzia I = 2560 kg m2 Distanza delle sospensioni dal baricentro l1 = 0.9 m l2 = 1.4 m Costanti elastiche delle molle k1 = k2 = 20000 N/m Costanti degli ammortizzatori c1 = c2 = 2000 Ns/m

c) Introduzione dei dati numerici

−

=Φ9698.02439.0

2439.09698.0][

e) Matrici principali (diagonali):

][]][[][][ IIM TP =ΦΦ=

=ΦΦ=

4265.220

02141.9]][

~[][][ KK T

P

=ΦΦ=

2426.20

09214.0]][

~[][][ CC T

P



f) Fattori di smorzamento modali e pulsazioni smorzate: 21

2 iiisip

pi

i

i

m

cζωω

ωζ −==

Risulta: ζ1 = 0.152 ζ2 = 0.237 ω s1 = 3.00 rad /s ω s2 = 4.60 rad/s Risposta ad un momento impulsivo Si consideri come eccitazione un momento impulsivo: )()( 0 tMtM δ=

)sin(0048.0

)( 11

01

11

1

tem

Mtq s

t

sp

ωω

ωζ−−= )sin(0192.0

)( 22

02

22

2

tem

Mtq s

t

sp

ωω

ωζ−=

j) Coordinate fisiche:

=

−

)(

)(][

)(

)(

2

121

tq

tqΦ

t

txM

ϑ

0 2 4 6 8 10-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015Coordinata X [mm]

Time [s]0 2 4 6 8 10

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3 Coordinata THETA [deg]

Time [s]



Caso disaccoppiato Si osservi ora la struttura delle matrici C e K:

=

I

mM

0

0][

++−+−+

= 222

2112211

221121][lklklklk

lklkkkK

++−+−+

= 222

2112211

221121][lclclclc

lclcccC

Si ha che se – k1 l1+ k2 l2=0, e, analogamente, – c1 l1+ c2 l2=0, le matrici K e C risultano diagonali. In tal caso le equazioni del moto sono disaccoppiate nelle coordinate fisiche. In pratica significa che se si applica, ad esempio, una coppia, non si ha traslazione lungo l’asse x e, viceversa, se si applica una forza lungo x non si hanno rotazioni. Poiché nei dati è k1=k2, e c1=c2, si ha che tale condizione è soddisfatta quando l1=l2:

l1=l2 = l !

+

+= 2

22

1

21

0

0][

lklk

kkK

+

+= 2

22

1

21

0

0][

lclc

ccC

Se, ad esempio, si assume l1=l2 = 1.15 m, risulta:

=Φ

10

01][

=

10

01][ PM

=

664.200

0000.10][ PK

=

066.20

0000.1][ PC

Pulsazioni naturali: ω n1 = 3.1623 rad /s ω n2 = 4.5458 rad/s Fattori di smorzamento modali: ζ1 = 0.1581 ζ2 = 0.2273 Pulsazioni del sistema smorzato: ω s1 = 3.1225 rad /s ω s2 = 4.4268 rad/s



MODELLO A TRE GDL DI UNA PRESSA Per studiare le vibrazioni di una pressa si considera il modello a tre gdl di figura.

Dati: Masse m1 = 400 kg m2 = 2000 kg m3 = 8000 kg Rigidezze k1 = 3 × 106 N/m k2 = 8 × 105 N/m k3 = 8 × 106 N/m Costanti degli ammortizzatori: si adotta l’ipotesi di smorzamento proporzionale. [C] = α [M] + β [K] con α = 1, β = 0.004.

Matrici massa e rigidezza:

=

3

2

1

00

00

00

][

m

m

m

M

+−−+−

−=

322

2211

11

0

0

][

kkk

kkkk

kk

K

Autovalori ed autovettori con il metodo della matrice simmetrica: 21

21

**~ −−= MKMK

Dagli autovalori di K

~si ricavano le

pulsazioni naturali 17.036 rad/s 33.759 rad/s 95.237 rad/s

0.4116 – 0.1021 0.9056

Autovettori di K~

(modi propri) Φ = 0.8848 – 0.1935 – 0.4239

0.2185 0.9758 0.0106

Matrici principali (diagonali): ][]][[][][ IIM T

P =ΦΦ=

=ΦΦ=

1.907000

07.11390

002.290

]][~

[][][ KK TP

=ΦΦ=

280.3700

0559.50

00161.2

]][~

[][][ CC TP



I fattori di smorzamento modali e pulsazioni smorzate risultano: ζ1 = 0.0634 ζ2 = 0.0823 ζ3 = 0.1957 ω s1 = 17.00 rad /s ω s2 = 33.64 rad/s ω s3 = 93.40 rad/s Si consideri come eccitazione una forza impulsiva: )(1000)( ttF δ=

La forzante modale vale: )(

2814.45

1026.5

5805.20

0

0

)(1000

][][ 21

t

t

MT δδ

−−

=

Φ −

Le equazioni del moto sono: )(5805.202.290161.2 111 tqqq δ−=++ !!!

)(1026.57.1139559.5 222 tqqq δ−=++ !!!

)(2814.451.9070280.37 333 tqqq δ=++ !!!

Gli integrali: )00.17sin(2105.1)( 0804.11 tetq t−−=

)64.33sin(1517.0)( 7793.22 tetq t−−=

)40.93sin(4848.0)( 6402.183 tetq t−+=

Le coordinate fisiche:

Φ=

−

)(

)(

)(

][][

)(

)(

)(

3

2

1

21

3

2

1

tq

tq

tq

M

tx

tx

tx

La figura mostra il grafico del moto della massa m1 ed del moto relativo tra le masse m1 ed m2, rispettivamente.

0 1 2 3 4 5-20

-10

0

10

20

30Coordinata X1 [mm]

Time [s] 0 1 2 3 4 5

-10

-5

0

5

10

15

20

25Coordinata X1-X2 [mm]

Time [s]



MODELLAZIONE A PARAMETRI CONCENTRATI DI MECCANISMI

3Dinamica delle Macchine e dei Sistemi MeccaniciModellazione a Parametri Concentrati

" Perché studiare il comportamento dinamico di un meccanismo ?

# Un meccanismo, in linea teorica, deve seguire una determinata legge di moto.

# Nella realtà esiste uno scostamento tra il moto effettivo e la legge di moto teorica del cedente.

# Il meccanismo vibra con oscillazioni che si sovrappongono al moto di corpo rigido.

# Possono aversi picchi di accelerazioneindesiderati ai quali sono associate elevate forze di inerzia e fenomeni dinamici che:

$ producono elevate sollecitazioni e possibili guasti

$ peggiorano la qualità del prodotto

$ producono vibrazioni e rumore


" Esempio

Accelerazione teorica

1

2

3

45

tangentialaccelerometer

CAM MECHANISM

FLYWHEEL

MOTOR

ROCKER

CAMSHAFT AXIS

CAM FOLLOWER AXIS

ROCKER AXIS

Ra

0 0.05 0.1Time [s ]

Theore tica l





0 0.05 0.1Time [s ]

Theore tical

Rilievi sperimentali a diverse velocità di funzionamento

0 0.1 0.2 0.3Time [s]

Experimenta l - 160 rpm

0 0.05 0.1 0.15 0.2Time [s]


0 0.05 0.1 0.15Time [s ]

Experimental - 320 rpm

0 0.05 0.1Time [s]



" Osservazioni# I fenomeni dinamici risultano più intensi con l’aumentare

della velocità della macchina e possono risultare inaccettabili per macchine di elevate prestazioni (velocità, precisione).

# Occorre individuare le cause che danno origine agli effetti dinamici indesiderati, al fine di ridurli entro limiti accettabili per le specifiche funzionali della macchina.

# A questo scopo, è particolarmente utile l'impiego di modelli atti a simulare adeguatamente l'effettivo comportamento dinamico dei meccanismi; infatti risulta possibile:

$ individuare i parametri costruttivi critici per il comportamento dinamico

$ verificare gli effetti della modifica di tali parametri a livello di simulazione




" Il 'dilemma' della modellazione

# Cosa includere nel modello fisico per renderlo sufficientemente preciso ?

# Come mantenerlo semplice per rendere possibile e ragionevolmente rapida la soluzione del corrispondente modello matematico con gli strumenti di calcolo a disposizione ?

Quale è il “MIGLIOR MODELLO” ?

Il miglior modello è sempre il più semplice modello che risponde agli scopi e ai criteri che lo studio si propone.

Il passaggio dal sistema reale al modello fisico comporta necessariamente delle approssimazioni consapevolmente accettate, che consistono principalmente nel trascurare tutto quanto provoca effetti piccoli sul comportamento del sistema.


" Modellare i meccanismi

# Il modello fisico per lo studio del comportamento vibratorio di un meccanismo è necessariamente più complesso di quello impiegato per l'analisi cinematica o per l'analisi dinamica di corpo rigido, nelle quali si fanno le seguenti approssimazioni:$ membri perfettamente rigidi$ assenza di gioco nelle coppie cinematiche

# I meccanismi sono composti da membri elasticiche si deformano sotto l'azione delle forze trasmesse e delle forze di inerzia.




" Modellare i meccanismi

# Trascurare tale deformabilità(cedevolezza) elastica è possibile solo se$ le forze trasmesse sono piccole$ velocità ed accelerazioni sono

ridotte.

# Un meccanismo progettato “cinematicamente” può non essere in grado di svolgere correttamente la propria funzione se fatto operare ad alte velocità.


" Modellare i meccanismi# Per macchine automatiche di elevate prestazioni, l'attenzione va

rivolta all'analisi CINETO-ELASTO-DINAMICA dei meccanismi, che permette di simulare adeguatamente l'effettivo comportamento dinamico e vibratorio.

# In tale analisi si tiene sempre conto di:$ cedevolezza elastica dei membri

$ proprietà inerziali dei membri

# Diverse indagini hanno inoltre mostrato che il comportamento vibratorio è influenzato in modo determinante da:

$ giochi nelle coppie cinematiche$ attriti$ variabilità dei parametri con la configurazione del

meccanismo




" Cedevolezza elastica e proprietà inerziali

# Sono messe in conto correttamente se il modello è in grado di riprodurre i primi modi di vibrare di ciascuno membro (spesso èsufficiente tenere conto del primo modo), le cui frequenze proprie cadono nel campo di frequenza di effettivo interesse.


" Giochi

# Durante il moto possono aversi perdite di contatto tra due membri:

$ il sistema si modifica (non linearità !)$ si hanno urti che eccitano vibrazioni

# I giochi sono destinati ad aumentare per usura:$ occorre tenerne conto per prevedere l'evoluzione

temporale del comportamento del meccanismo in conseguenza dell'usura.




" Attriti# Non possono essere trascurati (determinano lo smorzamento

delle vibrazioni libere e influenzano l'ampiezza delle vibrazioni forzate).

# Le resistenze passive :$ smorzamento strutturale$ resistenza di fluidi$ attriti nelle coppie cinematiche$ ....................

possono essere spesso modellate in maniera 'globale' con resistenze viscose equivalenti.

# A volte è necessario modellare alcune azioni dissipative in maniera specifica, in particolare nel caso di attrito secco (di tipo Coulombiano): ciò introduce non linearità.


" Variabilità dei parametri

# Spesso è necessario considerare i valori numerici di alcuni parametri del modello come variabili (non linearità).




" Metodologie di modellazione

Realtà fisica

Modello aParametriConcentrati

Modello a Elementi Finiti


" Il Modello a Parametri Concentrati

# E’ caratterizzato dai soli g.d.l. essenziali (generalmente non più di 3 g.d.l. per membro)

# Ha un significato fisico chiaro ed intuitivo dei g.d.l.

# E’ facile modellare le non linearità

# E’ facile includere nel modello le caratteristiche di componentielettromeccanici e gli algoritmi di controllo, ottenendo un modello dinamico omogeneo

# E’ una metodologia 'classica' e molto impiegata per l'analisi cinetoelastodinamica di meccanismi a camma e di meccanismi per macchine automatiche




" Gradi di libertà ed elementi inerziali

# Ad ogni elemento inerziale (massa o momento di inerzia) è associata un coordinata (spostamento lineare od angolare), che corrisponde ad uno dei g.d.l. del modello.

# Il numero di elementi inerziali necessari per modellare un membro cresce con il numero di modi di vibrare del membro stesso che si vogliono mettere in conto.

1 Masse; Modo # 1

2 Mass e; Modo # 1

2 Mass e; Modo # 2

3 Masse ; Modo # 1

3 Masse; Modo # 2

3 Masse; Modo # 3


" Gradi di libertà ed elementi inerziali# Di solito si considera il primo modo di

vibrare di ciascun membro, al più anche il secondo.

# Teoricamente i risultati possono essere migliorati aggiungendo ulteriori gradi di libertà.

# Per i campi di frequenze solitamente considerati, si ottiene generalmente una adeguata modellazione di un meccanismo con l'impiego di un numero relativamente basso di g.d.l.

# Gli elementi inerziali devono possedere la stessa energia cinetica del sistema reale, sia per il moto rigido, che per i moti vibratori ad esso sovrapposti.

# Tra due masse sono sempre interposti:$ Rigidezze$ Elementi

dissipativi(smorzamenti)

$ Giochi(eventualmente)




" Esempio

# Modello a 2 g.d.l.: coordinate θθθθ1, Y2

Y2

M2

J1

θ1

X1

Y2

M2

M1

1

2

1

21 1

2

1 1

2

J M XΘ• •

=

Θ•

•

=11X

R

MJ

R112

=

# Modello a 2 g.d.l.: coordinate X1, Y2


" Esempio

# Le inerzie distribuite sono concentrate negli elementi inerziali

JaJ

J+Ja/3

θ1

θ1 θ2

θ2

K

θ θ θ θ

θ θ θ θ

( ) ( )

( ) ( )

zzl

zz

l

= + −

= + −• • • •

1 2 1

1 2 1

EJ

lz dz

J J

a

l

a a

= =

= + + =

•

• • • • •

∫12

12 3

12 3

2

0

12

1 2 22

22

θ

θ θ θ θ θ

( )

( )

Jaq

1 2

z

q




" Come valutare i parametri inerziali

# Elementi associati a coordinate lineari ---> masse

JD h MD

z = =ρπ 4 2

32 8

h

D

z

# Elementi associati a coordinate angolari ---> momenti di inerzia

$ forma semplice

$ forma complessa (modellatore solido)


" Rigidezze# Le rigidezze modellano la deformabilità elastica dei membri,

che fa sì che lo spostamento relativo tra le coordinate sia diverso da quello cinematico.

# Una rigidezza interposta tra due masse (momenti di inerzia) si valuta come la forza (coppia) necessaria a produrre lo spostamento (rotazione) relativo unitario tra le coordinate delle due masse (momenti di inerzia).

# La cedevolezza è l'inverso della rigidezza (1/K).

# Un membro può considerarsi perfettamente rigido, se si può ritenere che la sua deformazione influenzi poco i modi di vibrare del meccanismo assemblato: in tal caso se ne ripartisce la massa fra i membri adiacenti.




" Rigidezze

# Forma semplice

1K

l

GIp

=

# Forma complessa (FEM)

1 1

K

l1 1

K


" Rigidezze

# Si tenga presente che:

# Le rigidezze ottenute dal calcolo sono spesso superiori alle rigidezze effettive. In letteratura si afferma che può esistere un rapporto 2-4 tra le rigidezze stimate e quello effettive.

# Ciò è dovuto alla presenza di:$ coppie cinematiche

$ cedevolezze locali (cedevolezze di contatto)$ distribuzione delle tensioni in prossimità dei carichi di cui è

difficile tenere conto con accuratezza.# Le rigidezze del sistema si possono valutare in maniera

accurata solo mediante prove sperimentali (su prototipi o meccanismi già esistenti).

# E' necessario operare una validazione sperimentale del modello.




" Attriti e fenomeni dissipativi

# Le resistenze passive possono essere modellate in vari modi:

$ smorzatori viscosi$ smorzatori non-lineari

$ attrito coulombiano

# Generalmente il primo e l’ultimo utilizzati in combinazione danno buoni risultati.

# Il punto chiave è la stima dell’entità dello smorzamento:

# In letteratura si afferma che non esistono regole chiare per quantificarne il valore.

# Anche su questo punto è necessario operare una validazione sperimentale del modello.


" Smorzatore Viscoso

# La forza è proporzionale alla velocità.

C

X2X1F C X XV = − −( ! ! )2 1

# Per un modello a più gradi di libertà è comune adottare l’ipotesi di smorzamento proporzionale: si considera la costante dello smorzamento proporzionale alla rigidezza corrispondente.

Ci

Ki

C q Ki i=# Il coefficiente qi può essere

determinato mediante il confronto con i dati sperimentali nel corso della validazione.




" Attrito Coulombiano

# Esempi:

$ Attrito tra slitte e guide$ Attrito tra organi in moto e tenute

# A volte si dispone di dati di catalogo

V

N

T

V

T

-T

T f N

F sign V T

== − ( )


" GiochiK

CM

g

X0 X1

X1-X0

-g/2

g/2

FEL

F K X X g X g

F K X X g X g

F X g

EL

EL

EL

= − − − − >= − − + − < −

= − ≤

( / ) /

( / ) /

/

1 0 1 0

1 0 1 0

1 0

2 2

2 2

0 2

X

X

X




" Contatto Hertziano

K

CM

g

K H

X0 X1

F K X X g

K K K

E L

H

= − −

= +

~( / )

~

1 0 2

1 1 1

∓

Kb E

D

a

H = ⋅ ⋅

⋅ −

1

2 2

'

ln 'ν

= ; =-

aF D

b E D D DE

Ec=⋅ ⋅

⋅+ = ⋅

−4 1 1 1

1 11 22'

; ' ; 'π

νν ν

ν

Fc

Fc

a

D1

D2

a

b


" Schiacciamento del Lubrificante

K

CM

g

K H

X0 X1

F C X X X g

F Csq X X X g

V

V

= − − − >

= − − − ≤

( ! ! ) /

( ! ! ) /

1 0 1 0

1 0 1 0

2

2

X

X

[ ]Csq b D h= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅12 43 2π µ / ( )/ 1 1 1

1 2D D D= +

µ = viscosità dinamicadel lubrificante

h = altezza del meato




" Integrazione delle equazioni:impiego di SIMULINK

K

CM

g

X0 X1

M X K X X C X X!! ( ) ( ! ! )1 1 0 1 0= − − − −


" SIMULINK: esempio modello 1 gdl

K

CM

g

X0 X1

M X K X X C X X!! ( ) ( ! ! )1 1 0 1 0= − − − −

Legge di moto m_1

k_c_1

0 Constant

X0

Scope

Look-Up

Table

du/dt

Derivative

Mux

Mux

6*rpm

Gain

f(u)

Fcn Clock 1

out_1




" SIMULINK: esempio modello 2 gdl

g

X0 X1

M1

K1

C1M2

X2K2

C2

M X K X X C X X K X X C X X

M X K X X C X X

1 1 1 1 0 1 1 0 2 2 1 2 2 1

2 2 2 2 1 2 2 1

!! ( ) ( ! ! ) ( ) ( ! ! )

!! ( ) ( ! ! )

= − − − − + − + −

= − − − −

Legge di moto m_1

k_c_1 k_c_2

m_2 Scope

0 Constant

X0


" Blocco “massa”

2

Fev_1

+

-

Sum

1

Fev_2

1

X1

1/s

Integ_1

1/s

Integ

*

Prod

1/2 1/M1Mux

Mux


M X K X X C X X

1 1 1 1 0 1 1 0 2 2 1 2 2 1

2 2 2 2 1 2 2 1

!! ( ) ( ! ! ) ( ) ( ! ! )

!! ( ) ( ! ! )

= − − − − + − + −

= − − − −




" Blocco “visco-elastico”

2

X1

1

X0

Demux

Demux1

Demux

Demux

-+

Sum1

*

Product

1000 K1

1.e-5q

G1

-+

Sum2

*

Product1

++

Sum3

1

Fev_1


M X K X X C X X

1 1 1 1 0 1 1 0 2 2 1 2 2 1

2 2 2 2 1 2 2 1

!! ( ) ( ! ! ) ( ) ( ! ! )

!! ( ) ( ! ! )

= − − − − + − + −

= − − − −


" La validazioneMECCANISMO

MODELLORILIEVI

SPERIMENTALI

CONFRONTO

AGGIORNAMENTODEL MODELLO

# Si tratta di "aggiustare" i valori dei parametri del modello in base al confronto del risultato numerico con il rilievosperimentaledella legge di moto.

# La validazione del modello è una fase essenziale, a causa delle incertezze presenti nel calcolo dei parametri, soprattutto rigidezze e smorzamenti.




" Esempio di validazione

0 0.005 0.01 0.015tempo [s]

acc

[m/s

^2]

rile va mento s perimenta le

0 0.005 0.01 0.015tempo [s ]

acc

[m/s

^2]

modello non va lidato

0.015 0.02 0.025 0.03tempo [s]

acc

[m/s

^2]

modello valida to


" Impiego del modello

# Dopo la validazione il modello è utilizzabile per:

$ prevedere il comportamento del meccanismo:• a seguito di modifiche di alcuni suoi

componenti• in altre condizioni operative

$ come base di partenza per la modellazione di meccanismi simili (in cui la struttura generale resta invariata), senza la necessità di ulteriore validazione.




" Impiego del modello

# I risultati della simulazione forniscono informazioni su:$ effettiva legge di moto del cedente

$ effettivo moto degli organi del meccanismo, in corrispondenza delle coordinate del modello

$ forze (coppie) scambiate tra gli organi del meccanismo

# Questi risultati possono risultare molto utili per la risoluzione di problemi funzionali, riscontrati sia su macchine in esercizio sia su prototipo, e permettono di individuare i possibili problemi dinamici e la loro soluzione anche nella fase di progetto.


" Impiego del modello: sul prototipo

MECCANISMO

MODELLO

PRESTAZIONIFUNZIONALI

SIMULAZIONEPRESTAZIONI

MODIFICHE SULMECCANISMO

MODIFICHE SUL MODELLO

OK ?

OK ?

SI' NO

SI'

NO




" Impiego del modello: in fase di progetto

MODELLO

MODIFICHE SUL MODELLO

OK ?SI' NO

DISEGNO

SIMULAZIONE

MODIFICHE SULDISEGNO

(EVENTUALI)


" 1° Esempio

# Impiego di un modello matematico a parametri concentrati per simulare il comportamento dinamico di un meccanismo.

0 1

1

k

c c 1 2

1 2 k

g 1 g 2

2 m m

x x x 2




" Parametri

m1 = 1.5 kg k1 = 1.5 106 N/mm2 = 1 kg k2 = 1.8 106 N/mq = c/k = 10-4 s

f1 = 114 Hz f2 = 297 Hz

Legge di moto cicloidaleCorsa 120 mm

Due condizioni:g1 = g2 = 0 g1 = g2 = 0.02 mm

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

20

40

60

80

100

120

Legge di Moto X0 [mm]

Tempo [s ]

0 1

1

k

c c 1 2

1 2 k

g 1 g 2

2 m m

x x x 2


" Legge di moto

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

20

40

60

80

100

120

Legge di Moto X0 [mm]

Tempo [s]0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

-150

-100

-50

0

50

100

150Acce le razione Teorica [m/s^2]

Tempo [s]




0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-150

-100

-50

0

50

100

150Acce le razione Massa M2 [m/s^2]

Tempo [s ]0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

-150

-100

-50

0

50

100

150Acce lerazione Mas sa M2 [m/s^2]

Tempo [s]

" Simulazione: Accelerazione massa m2

g1 = g2 = 0 g1 = g2 = 0.02 mm


0 100 200 300 4000

10

20

30

40

50Spettro Acc. Massa M2

Frequenza [Hz]0 100 200 300 400

0

10

20

30

40

50Spettro Acc. Mass a M2

Frequenza [Hz]

" Analisi in frequenza

g1 = g2 = 0 g1 = g2 = 0.02 mm

0 100 200 300 4000

10

20

30

40

50Spe ttro Acc. Teorica

Frequenza [Hz]





0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5- 0 . 1

- 0 . 0 5

0

0 . 0 5

0 . 1 S p o s t . R e la t iv o X 2 - X 1 [ m m ]

T e m p o [ s ]

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5- 1 5 0

- 1 0 0

- 5 0

0

5 0

1 0 0

1 5 0A c c e le r a z io n e M a s s a M 2 [ m / s ^ 2 ]

T e m p o [ s ]

Spostamento relativo X2 - X1

Accelerazione massa m2

" Analisi effetti dinamici


0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5- 0 . 1

- 0 . 0 5

0

0 . 0 5

0 . 1 S p o s t . R e la t iv o X 2 - X 1 [ m m ]

T e m p o [ s ]

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5- 1 5 0

- 1 0 0

- 5 0

0

5 0

1 0 0

1 5 0A c c e le r a z io n e M a s s a M 2 [ m / s ^ 2 ]

T e m p o [ s ]

" Analisi effetti dinamici




" 2° EsempioMeccanismo per moto rettilineo alterno


# Con riferimento alla coppia cinematica camma-rulli, sono state esaminate due condizioni:

$ Condizioni Normali

$ Gioco Incrementato• è stato introdotto artificialmente un gioco quattro volte

superiore a quello in condizioni normali;la condizione è ancora accettabile per il funzionamento in produzione ma richiede ispezioni più frequenti;la condizione simula il malfunzionamento dovuto a usura.

" Condizioni di prova




" Analisi Sperimentale

Legge di moto Teorica

0 20 40 60 80 100 120Time [ms]

0 20 40 60 80 100 120Time [ms]

acc.

Y3

0 20 40 60 80 100 120Time [ms]

acc.

Y3

Legge di moto Sperimentale del cedente


" Analisi Sperimentale in frequenza

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

Frequency [Hz]

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

Frequency [Hz]

FF

T a

cc.

Y3

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

Frequency [Hz]

FF

T a

cc.

Y3

Legge di moto Teorica

Legge di moto Sperimentale del cedente




Modello a Parametri Concentrati

Y3

X2

Y2

Z0, Z1


Riduzione delle coordinate

X2

Y3

Y2

M2

M3

K1

K3

X0 X1

M1 K2




Rapporto di Riduzione

X2

Y2

idYdX

YX

= =2

2

2

2

0 100 200 3000.7

0.8

0.9

1

1.1

[deg]


La rigidezza K3

X21

Y3

1

αtg α

0 100 200 3005

6

7

8

9

10

11

12x 10

6

[deg]

K3 [N

/m]

La cedevolezza 1/K3 si valuta come lo spostamento Y3prodotto da una forza unitaria agente sulla coordinata Y3(mantenendo fissa la coordinata X2).




La forza di attrito Fa3

F T resistenza tenute

f coefficiente di attrito

N componente normale forza di contatto perno-boccola

0 20 40 60 80 100 120Time [ms]

acc.

Y3

F sign y F f Na T3 3= − +•

( ) ( )

333

33333

a

ave

FymFFFym

=++=


Integrazione equazioni del moto: SIMULINK

33333

332222

221111

)()(

ave

veve

veve

FFFymFFiFFxm

FFFFxm

++=+⋅−+=

+−+=

Leggedi moto

X0

kc_10

MASSA 2X2

kc_32

MASSA 3Y3

kc_21

MASSA 1X1




Validazione

0 20 40 60 80 100 120Time [ms]

acc.

Y3

0 20 40 60 80 100 120Time [ms]

acc.

Y3

0 20 40 60 80 100 120Time [ms]

acc.

Y3

Velocità rotazione camma: 500 rpm


Risultati: tempo

0 20 40 60 80 100 120Time [ms]

acc.

Y3

0 20 40 60 80 100 120Time [ms]

acc.

Y3

0 20 40 60 80 100 120Time [ms]

acc.

Y3

0 20 40 60 80 100 120Time [ms]

acc.

Y3




" Risultati: frequenza

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

Frequency [Hz]

FF

T a

cc.

Y3

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

Frequency [Hz]

FF

T a

cc.

Y3

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

Frequency [Hz]

FF

T a

cc.

Y3

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

Frequency [Hz]

FF

T a

cc.

Y3


" 3° Esempio - Modellazione di unadistribuzione desmodromica

Conjugate cam

Rocker spring

Negative rocker

Positive rocker

Adjuster

Valve-head

1 2x8

θ3θ6

k6

x4

x5

θ ,θ

x7




kc_34

m_3

zeros(2,1)

Constant4

kc_6m_6

kc_12

m_1

m_2

kc_01

kc_13

kc_26

zeros(2,1)

Constant3

kc_8

m_8

zeros(2,1)

Constant2

kc_7

m_7

kc_45

m_4kc_46

zeros(2,1)

Constant5

kc_5

m_5

x0

" Implementazione in SIMULINK


# Rilievo sperimentale

# Risultato numerico

0 0.005 0.01 0.015tempo [s]

acc

[m/s

^2]

rilevame nto spe rimenta le

0.015 0.02 0.025 0.03tempo [s ]

acc

[m/s

^2]

mode llo va lida to

" Risultati: accelerazione valvola




" 4° Esempio -

Modellazione di una

macchinadi prova

ingranaggi


" Risultati: accelerazione tangenziale ruota n. 9

# Nel tempo

# In frequenza

c) sperimentaled) simulato




" 5° Esempio

Modellazione di un

meccanismo per moto rotatorio alterno

1

2

3

45


CAM MECHANISM

FLYWHEEL

MOTOR

ROCKER

CAMSHAFT AXIS

CAM FOLLOWER AXIS

ROCKER AXIS

Ra


" Modello a parametri concentrati

1

2

3

45


CAM MECHANISM

FLYWHEEL

MOTOR

ROCKER

CAMSHAFT AXIS

CAM FOLLOWER AXIS

ROCKER AXIS

Ra




" Analisi preliminare

# Indagine sulle cause dello scostamento della legge di moto effettiva da quella teorica.

ExperimentalTheoretical

a

1 ciclo camma

Accelerazione angolare [rad/s2]

160 rpm

a


400 rpm


Frequency [Hz]

Ang

ular

acc

eler

atio

n [d

B]

0

20

40

0 50 100 150 20020

40

60

Experimental

Theoretical

Experimental

Theoretical

160 rpm

400 rpm

" Banda di risonanza tra 100 e 200 Hz

# L’interazione tra le frequenze della legge di moto teorica e le risonanze del meccanismo nel campo di frequenze 100- 200 Hzproduce oscillazioni nella accelerazione del levetto.




Frequency [Hz]

Ang

ular

acc

eler

atio

n [d

B]

0

20

0 5 10 15 20

0

20

40

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3

160

rpm

400

rpm

" Altre risonanze: 6 e 14 Hz

# Le oscillazioni ad alta frequenza non sono esattamente sovrapposte al valore teorico. Cio èdovuto per lo più ad oscillazioni a bassa frequenza della velocità angolare dell’albero a camme. Tali oscillazioni sono legate alle proprietàdinamiche della trasmissione meccanica a monte dell’oscillatore.


" Validazione: modifica dei parametri# Si sono ridotte le rigidezze

K3, K4, K5 del 40% in modo da far cadere la terza frequenza naturale nelrange 100-200 Hz.

J1 = 0.12060 kg m2

J2 = 0.09220 kg m2

J3 = 0.01304 kg m2

J4 = 0.00049 kg m2 fn1 = 5.6 ÷ 6.0 Hz

J5 = 0.00131 kg m2 fn2 = 13.8 ÷ 14.2 Hz

k1 = 391.00 Nm/rad fn3 = 131.7÷163.7 Hz

k2 = 319.00 Nm/rad fn4 = 367.5÷422.5 Hz

k3 = 22346÷51498 Nm/rad fn5 = 938.6÷939.4 Hz

k4 = 4378.0 Nm/rad

k5 = 9745.0 Nm/rad

q = 1.2 10-4 s

# Si sono modificati opportunamente i parametri J1, J2, K1, K2 in modo da far coincidere le prime due frequenze del modello con le due basse risonanze del meccanismo.




" Risultati

# Velocità albero a camme 400 rpm

Time [s]0.00 0.05 0.10 0.15

Ang

ular

acc

eler

atio

n [r

ad/s

2 ]

a

b


NumericalTheoretical


" Risultati

Time [s]0.0 0.1 0.2 0.3

Ang

ular

acc

eler

atio

n [r

ad/s

2 ]


a

b






" Impiego del modello: inerzia del volano

Ang

ular

acc

eler

atio

n [r

ad/s

2 ]

Time [s]0.0 0.1 0.2 0.3Time [s]

0.0 0.1 0.2 0.3

Cam

shaf

t spe

ed [

rpm

]

100

120

140

160

180

200

Nominal speed


# Inerzia del volano aumentata di un fattore 3


" Impiego del modello: usura e giochi

# Previsione del comportamento in vista dell’usura nelle coppie cinematiche camma-rullodell’intermittore.

Time [s]0.00 0.05 0.10 0.15

Ang

ular

acc

eler

atio

n [r

ad/s

2 ]

a

b

Theoretical


Numerical Gioco = 0 mm

Gioco = 0.1 mm


# Gioco = 0.1 mm




" Indicazioni Bibliografiche# M. P. Koster, 1974, Vibrations in Cam Mechanisms. London: McMillan Press.# S. Levy and J. P. Wilkinson, 1976, The Component Element Method in Dynamics. New York: McGraw-Hill.

# K.L. Johnson, 1985, Contact Mechanics. Cambridge University Press.

# A. O. Andrisano and G. Dalpiaz, 1990, Atti X Congresso Nazionale AIMETA, Pisa, Italy, 633-638. Un modello a più gradi di libertà per l'analisi dinamica di trasmissioni con croce di Malta.

# G. Dalpiaz and A. Maggiore, 1992, Mechanical Systems and Signal Processing, 6, 517-534. Monitoring Automatic Machines.

# T. L. Dresner and R. L. Norton, 1993, Modern Kinematics: Developments in the Last Forty Years, edited byA. Erdman. New York: John Wiley.

# A. Rivola and G. Dalpiaz, 1993, Pubbl. DIEM, University of Bologna, No. 76. Analisi Dinamica di un Meccanismo per Macchina Automatica.

# G. Dalpiaz and A. Rivola, 1995, Proceedings of the Ninth World Congress on the Theory of Machines andMechanisms, Milano, Italy. Milano: Edizioni Unicopli SpA, Vol. 1, pp. 327-332. A Kineto-Elastodynamic Model of a Mechanism for Automatic Machine.

# G. Dalpiaz, A. Rivola and R. Rubini, 1996, Proceedings of the Congress of Technical Diagnostics, KDT ‘96,Gdansk, Poland, 2, 185-192. Dynamic Modelling of Gear System for Condition Monitoring and Diagnostics.

# G. Dalpiaz, A. Rivola and R. Rubini, 1997, Proceedings of International Conference on Mechanical Transmissions and Mechanisms, MTM'97, Tianjin, China, 549-553. A Kineto-Elastodynamic Model of aGear Testing Machine.

# G. Dalpiaz, A. Rivola, 1999, Proceedings of the 10th World Congress on the Theory of Machines andMechanisms, Oulu, Finland, 20-24/6/1999. A Model for the Elastodynamic Analysis of a Desmodromic Valve Train.

# G. Dalpiaz and A. Rivola, 2000, Mechanism and Machine Theory, 35(11), 1551-1562. A Non-Linear Elastodynamic Model of a Desmodromic Valve Train.

BIBLIOGRAFIA * S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995. * D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1994.

Parte 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink


PARTE 10 – Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink INTRODUZIONE A SIMULINK Simulink,prodotto dalla Mathworks Inc. è un programma per la simulazione di sistemi dinamici. Estende le potenzialità di Matlab,aggiungendo molte funzioni specifiche e mantenendo le caratteristiche generali. Simulink viene utilizzato attraverso due fasi: quella di definizione del modello da simulare e quella di analisi del sistema stesso. Spesso questi due passi vengono eseguiti sequenzialmente modificando i parametri del sistema al fine di ottenere il comportamento desiderato. Affinché la definizione del modello possa essere immediata, Simulink utilizza un ambiente a finestre,chiamate Block diagram windows attraverso cui creare i modelli semplicemente impiegando il mouse. L’analisi del modello avviene sia scegliendo le opzioni dai menu di Simulink che riutilizzando i comandi Matlab attraverso la Matlab Command Windows. I risultati della simulazione sono disponibili durante la fase di simulazione stessa e l’esito finale disponibile nello spazio di lavoro di Matlab. Istruzioni di base di Simulink Per aprire Simulink si deve digitare all’interno della Matlab Command Window il comando: >> simulink che provoca la visualizzazione della finestra (Simulink Library Browser) contenente le icone delle librerie standard di Simulink (vedi Fig. 1). L’istruzione New della tendina File apre un nuovo file Simulink, mentre Open carica un file Simulink salvato precedentemente. Creando un nuovo file si apre una seconda finestra in cui costruire il modello del sistema da simulare. I blocchi possono essere copiati dalla prima finestra alla seconda trascinandoli col mouse nella posizione desiderata. Tali blocchi possono essere connessi da linee disegnate sempre col mouse: tenendo premuto il tasto sinistro, partendo dall’uscita di un blocco, col puntatore si crea una nuova connessione all’ingresso ad un altro blocco, mentre premendo il tasto destro posizionati su una connessione preesistente, si genera una diramazione per collegare un altro blocco. Lo schema viene salvato utilizzando le istruzioni Save e Save as della tendina File. Ciascuna icona della Fig. 1 contiene i blocchi relativi alla libreria a cui si riferisce. Per aprire una libreria basta cliccare due volte sulla relativa icona oppure premere il tasto destro del mouse per aprire la libreria in una nuova finestra. In seguito verranno descritti brevemente i blocchi contenuti in ciascuna libreria.

Fig. 1 – Simulink Library Browser



SOURCES contiene alcuni generatori di segnale come si vede nella Figura 2.

Fig. 2 – Signal Source Library

• Constant: genera un valore costante programmabile. • Signal Generator: generatore di segnali sinusoidali, onde quadre, denti di sega e segnali casuali. Si

possono impostare ampiezza e frequenza. • Step: genera un gradino di ampiezza prefissata, specificando il valore iniziale e quello finale. • Sine Wave: genera un’onda sinusoidale di ampiezza, frequenza e fase determinate. • Repeating Sequence: ripete una sequenza di valori e ad istanti predeterminati. • Discrete Pulse Generator: genera impulsi ad intervalli regolari, specificando l’ampiezza, il periodo e

ritardo di fase come interi multipli del tempo di campionamento. • Pulse Generator: genera impulsi, specificando il periodo in secondi, il duty cicle (percentuale del

periodo), l’ampiezza e l’istante di partenza. • Chirp Signal: genera un segnale sinusoidale con frequenza crescente. Si devono specificare la

frequenza iniziale e dopo quanti secondi deve essere raggiunta una certa frequenza predeterminata. • Clock: generatore della base dei tempi. • Digital Clock: genera il tempo di simulazione secondo il tempo di campionamento impostato. Durante

il periodo di campionamento vengono mantenuti i valori della simulazione fino al successivo istante di campionamento.



• From File: legge il contenuto di una matrice specificata dal <file>.mat. La prima riga della matrice deve contenere i valori degli istanti di campionamento e in quelle successive sono memorizzati i corrispondenti valori delle uscite.

• From Workspace :legge i valori specificati in una matrice presente nel WorkSpace di Matlab. La matrice deve contenere nella prima colonna i valori corrispondenti agli istanti di campionamento. Le successive colonne rappresentano i valori delle uscite.

• Random Number: genera valori con distribuzione normale gaussiana, dati il valore medio, la varianza e un valore iniziale per il seme.

• Uniform Random Number: genera numeri aventi distribuzione uniforme tra due valori prefissati. Si deve specificare anche il seme.

• Band-Limited White Noise: genera rumore bianco per sistemi continui. Si specifica la potenza del rumore, istante di campionamento e il seme.

SINKS contiene alcuni rivelatori di segnale, come si vede nella Figura 3. • Scope: visualizza in funzione del tempo il segnale di ingresso applicato. • XY Graph: visualizza un grafico (x,y ) utilizzando la finestra grafica di Matlab. Il primo ingresso

corrisponde all’ascissa del grafico e generalmente coincide con la base dei tempi. Si possono introdurre i valori del range del grafico.

• Display: display numerico dei valori dell’ingresso. Si specifica il formato del parametro da visualizzare.

• To File: salva gli ingressi applicati all’interno di una matrice in un file <untitled>.mat. Si specifica il nome del file e il nome della variabile. I valori vengono salvati per righe. La prima riga della matrice contiene la base dei tempi.

• To Workspace: vengono scritti gli ingressi applicato nel WorkSpace di Matlab. La matrice ha una colonna per ciascun ingresso ed una riga per ogni istante della simulazione. Il dato si perde se la simulazione viene interrotta o messa in pausa. Si specifica il nome della variabile di ingresso e il massimo numero di righe.

• Stop: arresta la simulazione quando l’ingresso applicato è diverso da zero.

Fig. 3 – Signal Sinks Library



DISCRETE contiene i blocchi necessari all’analisi dei sistemi lineari tempo-discreti (vedi Figura 4).

Fig. 4 – Discrete-Time Library

CONTINUOUS contiene i blocchi necessari all’analisi dei sistemi lineari tempo-continui evidenziati nella Figura 5.

Fig. 5 – Continuous Library



• Integrator: calcola l’integrazione tempo continua del segnale di ingresso, stabilite le condizioni iniziali ed eventuali limiti superiore ed inferiore di saturazione.

• Transfer Fnc: espressione per la funzione di trasferimento, in cui il numeratore viene rappresentato da una matrice e il denominatore da un vettore. Il numero delle uscite eguaglia il numero delle righe della matrice al numeratore, i cui elementi sono i coefficienti del polinomio secondo potenze decrescenti di s. Anche il vettore al denominatore rappresenta i coefficienti del polinomio secondo potenze decrescenti di s.

• State-Space: modello nello spazio degli stati. Occorre inserire le matrici del modello (A,B,C,D) e le relative condizioni iniziali.

• Zero-Pole: funzione Guadagno, Zeri e Poli. Gli zeri vengono rappresentati da una matrice, mentre i poli da un vettore. Il numero delle uscite coincide con il numero delle colonne della matrice degli zeri.

• Derivative: effettua la derivata numerica dell’ingresso. • Memory: rappresenta un ritardo di durata unitaria. L’uscita coincide con il valore assunto

precedentemente dall’ingresso. Occorre specificare le condizioni iniziali. • Transport Delay: ritarda di una quantità specificata il segnale di ingresso. Il ritardo deve essere più

grande del passo utilizzato nella simulazione. • Variable Transport Delay: ritarda il primo segnale di ingresso di una quantità specificata dal secondo

ingresso. Il ritardo deve essere più grande del passo utilizzato nella simulazione. NONLINEAR contiene i blocchi che svolgono funzioni non lineari (vedi Figura 6).

Fig. 6 – Nonlinear Library



• Rate limiter: limita lo slew-rate (velocità di variazione) del segnale di ingresso. Si imposta lo slew-rate positivo e negativo.

• Saturation: limita superiormente ed inferiormente il segnale di ingresso secondo due limiti prefissati. • Quantizer: quantizza l’ingresso all’interno di un intervallo prefissato. • Backlash: simula una zona d’isteresi o un certo “gioco” di ampiezza prefissata. • Dead Zone: l’uscita rimane a zero per valori interni alla “deadzone”. Si specifica l’inizio e la fine

dell’intervallo. • Relay: l’uscita assume due valori impostati se l’ingresso è maggiore dell’estremo superiore o minore

dell’estremo inferiore di un certo intervallo specificato attraverso due parametri. Lo stato del Relay non dipende dall’ingresso quando questo assume un valore interno dell’intervallo.

• Switch: l’uscita coincide con il primo ingresso quando il secondo ingresso è maggiore od uguale ad una certa soglia, altrimenti assume i valori del terzo ingresso.

• Manual Switch: commutatore regolabile col mouse senza parametri. • Multiport Switch: coincide con gli ingressi secondo i valori arrotondati assunti dal primo di questi. • Coulomb & Viscous Friction: funzione di attrito viscoso e forza di Coulomb. La forza coulombiana è

modellata da una discontinuità nello zero (y=sign(x)) mentre l’attrito viscoso è rappresentato da una relazione lineare (Gain*abs(x)+Offset). Complessivamente l’uscita risulta y=sign(x)*(Gain*abs(x)+Offset). Gain e Offset sono parametri del blocco.

MATH contiene blocchi per le funzioni matematiche e relazioni logiche (vedi Figura 7). • Sum: effettua la somma o la differenza degli ingressi. Si deve inserire la lista dei segni con cui ogni

ingresso entra nel blocco. • Product: Moltiplica o divide gli ingressi. Occorre specificare il numero degli ingressi. • Dot Product: effettua il prodotto (prodotto scalare) elemento per elemento degli ingressi u1 e u2

secondo l’espressione y =sum (u1 .* u2). • Gain: guadagno scalare o vettoriale. Si imposta il guadagno k e il blocco calcola l’uscita y dato

l’ingresso u secondo l’espressione y = k * u. • Slider Gain: guadagno regolabile tra un valore superiore ed uno inferiore. • Matrix Gain: restituisce in uscita l’ingresso moltiplicato per una matrice predefinita. • Math Function: implementa funzioni matematiche come quelle logaritmiche, esponenziali, potenze e

modulo. • Trigonometric Function: implementa diverse funzioni trigonometriche ed iperboliche: sin, cos, tan,

asin, acos, atan, atan2, sinh, cosh e tanh. • MinMax: restituisce il minimo od il massimo dell’ingresso. Prevede la scelta del numero degli

ingressi e quale operazione deve essere svolta su ogni ingresso. • Abs: dato l’ingresso u, calcola l’uscita y = |u |. • Sign: signum. Restituisce il valore 1 se l’ingresso è positivo, -1 per ingresso negativo e 0 per ingresso

nullo. • Rounding Function: contiene le operazioni di arrotondamento: floor, ceil, round e fix. • Combinatorial Logic: ricerca gli elementi specificati nel vettore d’ingresso (trattati come valori

booleani) nella tabella della verità impostata e restituisce le righe della tabella della verità stessa. • Logical Operator: effettua una operazione logica per un prefissato numero di ingressi: AND, OR,

NAND, NOR, XOR, NOT. Per un singolo ingresso, l’operazione iene effettuata tra tutti i valori dell’ingresso memorizzati in un vettore. Per ingressi multipli, l’operazione logica viene eseguita sugli elementi dei diversi vettori di ingresso che occupano la stessa posizione.

• Relational Operator: effettua confronti tra gli ingressi: ==, =, >, >=, < e <=. • Algebraic Constrain: vincola il segnale d’ingresso f(z) a zero e restituisce il corrispondente valore

algebrico z .Quindi il blocco fornisce il valore z tale per cui f(z)=0. L’uscita deve influenzare l’ingresso attraverso una certa retroazione. Occorre fornire un valore di tentativo per z.



Fig. 7 – Math Library

FUNCTIONS & TABLES (Figura 8)

Fig. 8 – Functions & Tables Library



• Look-Up Table: effettua una interpolazione mono-dimensionale dei valori dell’ingresso usando quelli nella tabella specificata. I valori esterni a quelli della tabella vengono estrapolati.

• Look-Up Table (2D): effettua una interpolazione bidimensionale dei valori dell’ingresso usando quelli nella tabella specificata. I valori esterni a quelli della tabella vengono estrapolati.

• Fnc: permette di specificare una funzione arbitraria dell’ingresso u, y =f(u). • MATLAB function: passa i valori dell’ingresso ad una funzione Matlab affinché possa essere

valutata. La funzione Matlab deve restituire un vettore la cui lunghezza deve essere definita. • S-Function: blocco che può essere progettato dall’utente in Matlab, C, Fortran o usando le funzioni di

Simulink standard. I parametri t, x, u e flag sono passati automaticamente alla funzione di Simulink. Possono essere specificati anche altri parametri.

SIGNAL & SYSTEMS (Figura 9)

Fig. 9 – Signals & Systems Library

• In: fornisce una porta d’ingresso per un modello. Occorre specificare il tempo di campionamento. • Out: fornisce una porta d’uscita per un modello. Quando il modello non è disabilitato, occorre fornire

il corrispondente valore dell’uscita. • Enable: il blocco viene posto all’interno di un modello affinché sia abilitato. • Trigger: il blocco fornisce una porta di trigger predefinito. • Mux: raggruppa scalari o vettori in un vettore di dimensioni maggiori. • Demux: disaggrega i vettori d’ingresso in scalari o vettori di dimensioni inferiori. • Selector: seleziona e riordina gli elementi specificati del vettore d’ingresso.



• From: riceve i segnali dal blocco Goto secondo l’etichetta (tag) specificata. • Goto Tag Visibility: viene usato con i blocchi From e Goto e permette di specificare la visibilità di

una etichetta. • Goto: invia i segnali al blocco From avente l’etichetta specificata. Permette di definire la visibilità

dell’etichetta. • Data Store Read: legge i dati memorizzati in una certa regione definita dal blocco Data Store Memory

secondo un nome prefissato. Occorre definire il nome della zona di memoria e il tempo di campionamento.

• Data Store Memory: permette di definire nome e valore iniziale di una regione di memoria utilizzata dai blocchi Data Store Read e Data Store Write.

• Data Store Write: scrive la zona di memoria specificata dal nome. Viene definito anche il tempo di campionamento.

• Ground: viene utilizzato per mettere a zero i segnali di ingresso. Si evitano i problemi dovuti agli ingressi non collegati. Fornisce una uscita nulla.

• Terminator: usato per isolare un segnale di uscita e per prevenire così i problemi provocati dalle uscite non connesse.

• Subsystem: fornisce una finestra in cui costruire un modello di subsystem. • Hit Crossing: segnala quando il segnale di ingresso attraversa lo zero secondo un certo margine

prefissato. Si può specificare la direzione di attraversamento dello zero. • IC: permette di specificare le condizioni iniziali per un segnale. • Width: fornisce in uscita l’ampiezza del segnale d’ingresso.



Esempio 1

)()( tutx =&

Esempio 2

)()(2)( tutxtx +−=&

Esempio 3

)()()()( tFtxktxctxm =++ &&&

)()()()( tFtxktxctxm +−−= &&& m

c

kF

x(t)



Esempio 4 Sistema ad un gdl con gioco: moto imposto della base.

K

CM

g

X0 X1

M X K X X C X X&& ( ) ( & & )1 1 0 1 0= − − − − F K X X g X gF K X X g X g

F X g

EL

EL

EL

= − − − − >

= − − + − < −

= − ≤

( / ) /( / ) /

/

1 0 1 0

1 0 1 0

1 0

2 22 2

0 2

XX

X



Esempio 5 Impiego della Look-up Table Occorre definire nel workspace una matrice di due colonne (nell’esempio seguente è la matrice A) dt = 1/100; time = [0:dt:1]; x = sin(2*pi*time); A = [time; x].';

Con un doppio click sul blocco Look-Up Table si apre la seguente finestra di dialogo in cui andare ad inserire i valori di input (ascissa) e output (ordinata) della table.



Esempio 6 Sistema ad un gdl con gioco: moto della base (legge arbitraria). E’ come l’esempio 4, ma in questo caso non si utilizza il blocco signal generator per generare la legge di moto. Quest’ultima viene caricata in workspace e poi opportunamente interpolata (con la look-up table).

K

CM

g

X0 X1

M X K X X C X X&& ( ) ( & & )1 1 0 1 0= − − − −



Esempio 7 Sistema ad un gdl con gioco: moto della base (legge arbitraria). Accorpamento di blocchi. E’ come l’esempio 6, ma in questo caso i blocchi necessari per definire la legge di moto sono accorpati in un unico blocco denominato “legge di moto”. Il contenuto di quest’ultimo è mostrato nella figura in basso.

Blocco “legge di moto”



Esempio 8 Sistema ad un gdl con gioco: moto della base (legge arbitraria). Accorpamento di blocchi. E’ come l’esempio 7, ma in questo caso i blocchi necessari per calcolare la forza elasto-viscosa e quelli per integrare sono accorpati in due soli blocchi.

Blocco “Forza elasto-viscoa”

Blocco “integrazione”



Esempio 9 Sistema ad due gdl con gioco: moto della base.

g

X0 X1

M1

K1

C1M2

X2K2

C2


M X K X X C X X1 1 1 1 0 1 1 0 2 2 1 2 2 1

2 2 2 2 1 2 2 1

&& ( ) ( & & ) ( ) ( & & )&& ( ) ( & & )

= − − − − + − + −

= − − − −



Esempio 10 Impiego di S-function E’ possibile inserire delle funzioni utilizzando il blocco S-function la cui struttura è mostrata nel seguito. Occorre scrivere uno script (file *.m). function[out,aux1,aux2,aux3] = sfunction_es10(t,x,u,flag,gain); if flag = = 0 out = [0,0,2,1,0,1,0]; aux1 = []; aux2 = []; aux3 = []; elseif flag = = 3, out(1) = u; out(2) = gain*u; end Spiegazione: u è la variabile in ingresso out è la variabile di uscita flag = = 0 il terzo e quarto campo della variabile di uscita devono essere rispettivamente la dimensione

dell’output e dell’input. Devono inoltre essere definite come vettore vuoto ( [ ] ) tre variabili di uscita ausiliarie (aux1, aux2, aux3).

flag = = 3 cuore dell’algoritmo

Con un doppio click sul blocco S-function si apre la seguente finestra di dialogo in cui andare ad inserire il nome della function ed, eventualmente, i parametri aggiuntivi (gain nell’esempio).



Esempio 11 Modello di un azionamento con controllo di posizione e velocità Nel seguito viene mostrato un esempio di modello di una trasmissione meccanica e del relativo azionamento. L’azionamento, mostrato in Fig. E.1, è costituito da un motore elettrico a corrente continua con controllo in loop di corrente (vedi Fig. E.4) che applica una coppia motrice ad un mandrino che, a sua volta, trasmette il moto ad una pinza terminale attraverso un albero intermedio. Il moto viene controllato in posizione ed in velocità confrontando le letture di posizione e velocità fornite da due encoder montati in prossimità del mandrino. In Fig. E.4 è mostrato uno schema del sistema di controllo.

PINZAMANDRINO

θ3

MOTORE

1θ

ENCODER

2θ

Fig. E.1 – Schema della trasmissione.

Fig. E.2 – Schema dell’intero azionamento.



Fig. E.3 – Legge di moto, regolatore di posizione e di velocità.

Fig. E.4 – Modello Motore Elettrico con controllo in loop di corrente



Modello Motore Elettrico a Corrente Continua

Fig. E.5 – Schema del motore elettrico Equazione del circuito d’armatura (iq corrente di armatura, vq forza contro-elettromotrice, eq tensione ai capi del circuito di armatura, R resistenza di armatura, L induttanza di armatura):

( ) ( ) ( ) ( )te tvtti

LtiR qqq

q =+⋅+⋅ d

d

( ) ( ) ( ) ( )sE sVsIsLsIR qqqq =+⋅⋅+⋅

La forza contro-elettromotrice si può esprimere in funzione della velocità del rotore (Kb costante di forza contro-elettromotrice):

( ) ( )tKtv mbq ϑ&⋅=

( ) ( )ssKsV mbq Θ⋅⋅=

La coppia motrice Cm è proporzionale alla corrente (Kc costante di coppia):

( ) ( )tiKtC qcm ⋅= ( ) ( )sIKsC qcm ⋅= Le due precedenti, sostituite nell’equazione del circuito di armatura, forniscono:

( ) ( ) ( ) )( ssKsEK

sCsLR mbqc

m Θ⋅⋅−=⋅+ ( ) ( )

sLRssKsE

KsC mbqcm ⋅+

Θ⋅⋅−=)(

Infine, ricordiamo che è: Kc = Kb.

Campo fisso

R L

eq(t)

iq

vq(t)

θm(t )

Cm(t )



Modello Meccanico Il modello meccanico ha tre gradi di libertà. La prima coordinata è associata all’inerzia del motore elettrico. La seconda e la terza sono associate a due inerzie della trasmissione meccanica a valle del motore elettrico. Le equazioni del moto sono le seguenti:

( ) ( )mmmmm ckCJ ϑϑϑϑϑ −+−+= 2121

( ) ( ) ( ) ( )232232212122 ϑϑϑϑϑϑϑϑϑ −+−+−−−−= ckckJ mm

( ) ( )23223233 ϑϑϑϑϑ −−−−= ckJ I trasduttori di posizione e velocità sono montati in corrispondenza dell’inerzia J2 per cui si ha:

2ϑϑ =E e 2ϑϑ =E

Fig. E.6 – Schema del modello meccanico

Dati numerici Dati del motore elettrico: L = 0.003 [Vs/A] R = 0.4 [Ohm] Jm = 0.6 kgm2 Kc = 5 [Nm/A] Kb = 5 [Vs/rad]

Parametri dei controllori ad azione Proporzionale – Integrale

+=

sTKsG

ip

11)(

Anello di corrente Kpc = 8 [V/A] Tic = 0.002 [s]

Anello di velocità Kpv = 95 [Nm/(rad/s)] Tiv = 0.1 [s]

Anello di posizione Kpp = 72 [1/s] Tip = 1000 [s] (di fatto è un controllo ad azione Proporzionale)

Parametri del modello meccanico J2 = 0.085 kgm2 J3 = 0.085 kgm2

k1 = 1.15 106 Nm/rad k2 = 1.15 105 Nm/rad

c1 = q k1 c2 = q k2

q = 10–5 s

Velocità di rotazione = 20 rpm



Fig. E.7 – Schema dell’intero modello



Risultati

0 100 200 3000

10

20

30

40

50Legge teorica - spostamento [deg]

[deg]

Fig. E.8 – Legge teorica (spostamento).

0 100 200 300-50

0

50Legge teorica - velocita' [deg/s]

[deg]

Fig. E.9 – Legge teorica (velocità).

0 100 200 300-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10-5 Errore meccanico X2-X1 [deg]

[deg]

Fig. E.10 – Errore meccanico (differenza tra la coordinata 2 e la posizione del motore).



0 100 200 300-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2x 10-4 Errore meccanico X3-X2 [deg]

[deg]

Fig. E.11 – Errore meccanico (differenza tra la coordinata 3 e la coordinata 2).

Osservazione Il regolatore di posizione è ad azione proporzionale. Ne consegue un moto effettivo ritardato rispetto a quello imposto. Sarebbe improprio considerare come errore la semplice differenza tra la coordinata 2 e il moto imposto (vedi Fig. E.12). E’ più opportuno considerare l’errore a meno del ritardo (Fig. E.13).

0 100 200 300-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Errore del controllo X2-Xrif [deg]

[deg]

Fig. E.12 – Errore del controllo (differenza tra la coordinata 2 e il moto di riferimento).

0 100 200 300-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02Errore del controllo X2-Xrif senza ritardo [deg]

[deg]

Fig. E.13 – Errore del controllo (differenza tra la coordinata 2 e il moto di riferimento) a meno del ritardo.

Parte 11 – Introduzione al FEM


PARTE 11 – Introduzione al metodo degli elementi finiti (FEM) INTRODUZIONE Quando si devono studiare sistemi continui - come sono le strutture e gli organi delle macchine - nella maggior parte dei casi di interesse pratico la forma geometrica e le condizioni al contorno sono troppo complesse per poter applicare procedimenti analitici: per analisi sia statiche sia dinamiche si deve allora fare ricorso ad altri metodi, per lo più basati sull’uso del calcolatore. Tra tali metodi, ampiamente impiegato è quello degli elementi finiti, che considera il sistema continuo costituito da elementi “finiti”, cioè di dimensioni finite, anziché di dimensioni infinitesime, come nel caso dei metodi analitici. Il metodo degli elementi finiti (“MEF”, o “FEM”) è strettamente collegato con il metodo di Rayleigh-Ritz, del quale anzi si può considerare, in senso lato, una versione “a tratti”. Infatti, mentre nel metodo di Rayleigh-Ritz la deformata dell’intera struttura è approssimata mediante una somma di funzioni, il metodo degli elementi finiti impiega molte di tali funzioni, ciascuna relativa ad una parte della struttura stessa. In altre parole il metodo degli elementi finiti suddivide la struttura in tante parti e applica a ciascuna il metodo di Rayleigh-Ritz. L’idea di definire non un’unica funzione per l’intera struttura, ma una funzione per ciascun tratto della struttura stessa, permette di applicare il metodo a strutture anche molto complesse, adottando peraltro funzioni di forma molto semplici. Il principio è che se le funzioni di forma assunte per i vari elementi sono scelte opportunamente, la soluzione può convergere a quella esatta per l’intera struttura al diminuire delle dimensioni degli elementi finiti. Durante il processo di risoluzione, vengono soddisfatti l’equilibrio e la congruenza degli spostamenti ai nodi, così che l’intera struttura si comporta come un’unica entità. Schema generale del metodo. Il metodo degli elementi finiti può venire riassunto nel modo seguente: 1. la struttura da analizzare viene suddivisa in parti di dimensioni finite, ciascuna delle quali costituisce

appunto un elemento finito; i vari elementi sono collegati fra loro solo in alcuni punti dei rispettivi contorni, detti punti nodali o nodi;

2. si formula quindi un’ipotesi ragionevole (funzione di spostamento o funzione di forma) sull’andamento delle deformazioni all’interno di ciascun elemento e - tenendo presenti le caratteristiche fisiche del materiale - si trovano, per il generico elemento i-esimo, le espressioni dell’energia cinetica Ti e dell’energia di deformazione Ui in funzione degli spostamenti nei nodi;

3. se N è il numero degli elementi in cui è stata suddivisa la struttura, l’energia cinetica e l’energia di deformazione dell’intera struttura saranno:

∑=

=N

iiTT

1

(1’)

∑=

=N

iiUU

1

(1’’)

Utilizzando le (1’) e (1’’) per scrivere le equazioni di Lagrange, si ottengono quindi le equazioni del moto libero dell’intera struttura, che permettono di determinarne le frequenze ed i modi propri. Eventuali forze generalizzate (forze o momenti) esterne si potranno pure introdurre nelle equazioni di Lagrange, esprimendole attraverso il loro lavoro virtuale.

Discretizzazione. Per discretizzazione si intende la suddivisione in elementi finiti della struttura data. Per prima cosa occorre scegliere il tipo e la distribuzione degli elementi. Queste scelte devono tenere conto sia della geometria della struttura, sia del suo comportamento: una buona discretizzazione richiede perciò molta attenzione ed una certa esperienza. In particolare, occorre che la discretizzazione sia fatta tenendo conto delle discontinuità geometriche e di quelle del materiale, delle condizioni al contorno e delle forze agenti. Per una valutazione ragionevolmente precisa delle frequenze e dei modi propri o per la determinazione della risposta dinamica di una struttura, la distribuzione degli elementi finiti (reticolo o mesh) può anche



essere a maglie relativamente grandi. In altri casi, ad esempio quando il FEM viene impiegato per il calcolo delle tensioni, il reticolo deve invece essere più fine, con un infittimento ancora maggiore nelle zone di concentrazione delle tensioni. EQUAZIONI DEL MOTO DI UN ELEMENTO A scopo illustrativo, la fig. 1 mostra come può essere modellata una macchina utensile. Le colonne ed il montante superiore sono modellati con elementi triangolari piani, mentre la slitta trasversale ed il braccio porta-utensile sono modellati con elementi trave (elementi beam). Gli elementi sono connessi gli uni agli altri ai nodi. Ogni nodo di un elemento possiede uno o più gradi di libertà, a ciascuno dei quali corrisponde uno spostamento o una sua derivata spaziale. Chiameremo l’insieme di tali spostamenti e derivate vettore spostamenti nodali δ di quell’elemento. Esprimendo gli spostamenti all’interno di un elemento in funzione degli spostamenti nodali dei suoi nodi, in ogni punto dell’elemento resta definito un vettore degli spostamenti d, funzione delle coordinate del punto stesso.

Fig. 1.

La relazione fra lo spostamento d di un generico punto dell’elemento e il vettore δ degli spostamenti nodali dell’elemento stesso sarà esprimibile mediante un’opportuna matrice [N]:

d = [N] δ (2) In altre parole, il vettore d che rappresenta lo spostamento di un punto interno dell’elemento, è esprimibile, mediante [N], in funzione del vettore δ che rappresenta gli spostamenti dei nodi. La matrice [N] dipende dall’ipotesi che si adotta riguardo l’andamento dello spostamento entro l’elemento e prende il nome di funzione di forma. A chiarimento, si faccia riferimento al generico elemento triangolare di fig. 1(b). Con w(x, y, t) si indichi lo spostamento di un punto interno in direzione normale. I valori di w e delle sue derivate spaziali nei nodi sono trattati come incognite e si possono indicare come:

=

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

)(

...

...

...

...

...

)(

)(

)(

),,(/

),,(/

),,(

),,(/

),,(/

),,(

),,(/

),,(/

),,(

9

3

2

1

33

33

33

22

22

22

11

11

11

t

t

t

t

tyxyw

tyxxw

tyxw

tyxyw

tyxxw

tyxw

tyxyw

tyxxw

tyxw

δ

δδδ



Lo spostamento di un punto interno all’elemento, w(x, y, t), può essere espresso in termini degli spostamenti incogniti δi(t) nella forma:

∑=

=n

iii tyxNtyxw

1

)(),(),,( δ

Per determinare il vettore δ degli spostamenti nodali, occorre scrivere le equazioni del moto. L’energia cinetica T e l’energia di deformazione U dell’elemento possono essere espresse rispettivamente come:

][2

1 δδ !! mT T= ][2

1 δδ kU T=

dove [m] e [k] sono le matrici massa e rigidezza dell’elemento. Ora, applicando l’equazione di Lagrange, l’equazione del moto risulta:

)(][][ tfkm =+ δδ!! dove f(t) è il vettore delle forze nodali. A tale proposito occorre osservare che, se sull’elemento agisce un carico distribuito f(x, y, t), questo può essere facilmente ricondotto a forze equivalenti agenti sui nodi. Sebbene le equazioni del moto di un singolo elemento non siano direttamente utili, le matrici massa e rigidezza ed il vettore delle forze nodali sono necessarie per pervenire alla soluzione dell’intera struttura. Si noti infine che la forma dell’elemento finito ed il numero di incognite (componenti del vettore spostamenti nodali) differisce a seconda dei casi. MATRICE RIGIDEZZA Ci proponiamo ora di esprimere l’energia potenziale elastica (energia di deformazione) di un elemento generico. Per semplificare le notazioni, ometteremo il pedice i che dovrebbe contraddistinguere le quantità relative all’elemento i-esimo. Le tensioni sono legate alle deformazioni, e quindi agli spostamenti, da legami dipendenti dal comportamento fisico dei materiali: in ogni punto di un elemento è pertanto definito un vettore deformazione. Differenziando la (2) rispetto alle coordinate si ottiene la relazione fra le deformazioni ε all’interno dell’elemento e gli spostamenti nodali (nell’ipotesi di piccoli spostamenti e piccoli gradienti di spostamento): ε = [B] δ (3) Per un materiale elastico lineare isotropo, se non ci sono tensioni iniziali (cioè se nell’elemento non vi sono tensioni fino a che alla struttura non vengono applicate delle sollecitazioni), fra tensioni e deformazioni sussiste la relazione:

σ = [D] ε (4) dove [D] è una matrice quadrata simmetrica i cui elementi dipendono dalle caratteristiche del materiale, cioè - di solito - dal modulo di Young E e dal coefficiente di Poisson v. Come è noto, l’energia potenziale di deformazione elastica di un elemento si può esprimere nella forma:

∫=V

T dVU 2

1 σε (5)



dove ε è il vettore delle deformazioni, σ è il vettore delle tensioni e V è il volume dell’elemento. Introducendo la (3) e la (4) nella (5) si ottiene:

][][][2

1][

2

1 δδδδ ∫∫ ==V

TT

V

T dVBDBdVBDBU (6)

che si può scrivere:

][2

1 δδ kU T= (7)

dove

∫=V

T dVBDBk ][][][][ (8)

è la matrice rigidezza dell’elemento. La matrice [k] è simmetrica perché, essendo simmetrica [D], è simmetrica anche la matrice prodotto [B]T [D] [B]. MATRICE MASSA L’espressione generale dell’energia cinetica di un elemento di volume V e densità ρ è:

∫=V

T dVddT 2

1 !!ρ (9)

dove d! è la derivata rispetto al tempo del vettore spostamento d. Utilizzando la (2), e tenendo conto che la matrice [N] è costante, si ricava l’espressione:

][ δ!! Nd = (10) Sostituendo nella (9) si ottiene:

][][2

1

2

1 δρδδδρ !!!! ∫∫ ==V

TT

V

T dVNNdVNNT (11)

che si può scrivere:

][2

1 δδ !! mT T= (12)

dove:

∫=V

T dVNNm ][][][ ρ (13)

è una matrice simmetrica e costituisce la matrice massa dell’elemento. La matrice definita dalla (13) è detta matrice massa coerente se viene ottenuta utilizzando la stessa funzione di forma impiegata per ottenere la matrice rigidezza (le determinazioni di [k] ed [m] sono coerenti tra loro). Spesso, al posto di una matrice massa coerente viene impiegata una matrice massa concentrata. Questa matrice è ottenuta assumendo che la massa dell’elemento sia concentrata ai nodi dell’elemento stesso. Il vantaggio di concentrare la massa è che la matrice che ne deriva è facile da costruire e, soprattutto, è



diagonale. Una matrice diagonale presenta diverse vantaggi quali ad esempio il minor costo computazionale e la semplificazione maggiore degli algoritmi per la soluzione dell’autoproblema. Per alcuni elementi, come ad esempio le aste vibranti longitudinalmente, la matrice massa concentrata si rivela essere efficiente quanto la matrice massa coerente. VIBRAZIONI LONGITUDINALI DI UN’ASTA. La fig. 2 mostra un elemento soggetto a vibrazioni assiali (asta con moto longitudinale). Esso ha due nodi, l e 2, ciascuno con un solo grado di libertà, cioè lo spostamento longitudinale u. Il vettore spostamento nodale in questo caso è:

=2

1u

uδ (14)

Fig. 2. Elemento asta con moto longitudinale.

Poiché vi sono due spostamenti nodali, la funzione spostamento va scelta con almeno due costanti:

xaaxu 21)( += (15) Le costanti al, a2 si ottengono dai valori di u(x) in corrispondenza dei due nodi:

2

1

)(

)0(

ulu

uu

==

(16)

dove con l si è indicata la lunghezza dell’elemento; dalle (16) si ricava:

221

11

ulaa

ua

=+=

(17)

Le (17) permettono di esprimere al e a2 in funzione di ul, u2 :

luua

ua

/)( 122

11

−==

(18)

Introducendo le espressioni (18) nella (15) si ottiene:

−=

2

11)(u

u

l

x

l

xxu (19)

La (19) corrisponde, per il particolare elemento considerato, all’espressione generale (2). I polinomi che compaiono nella matrice [N], in questo caso (1 - x/l) e (x/l), sono detti funzioni di forma. Può risultare comodo scrivere:



=2

121 ])()([)(

u

uxNxNxu (20)

con:

−==

l

x

l

xxNxNN 1])()([][ 21 (21)

Vengono ora determinate l’energia di deformazione U, la matrice rigidezza [k], l’energia cinetica T e la matrice massa [m]. Matrice Rigidezza Poiché è:

εεσσ EE xx ≡=≡ (22)

con:

x

u

∂∂=ε (23)

la matrice [D] si riduce in questo caso alla quantità scalare E. Per la (20), la (23) diventa:

−=

2

111u

u

llε (24)

che corrisponde alla espressione generale (3), per cui in questo caso la matrice [B] è:

−=

=

lldx

dN

dx

dNB

11][ 21 (25)

Sostituendo la (25) nella (6) ed eseguendo il prodotto [B]T [D] [B] si ottiene:

−

−=

=

−

−=

=

=

∫

∫

2

121

2

1

022

22

21

2

1

0

21

2

1

21

11

11

2

1

11

11

2

1

2

1

u

uuu

l

EA

u

udx

ll

llEAuu

u

udx

dx

dN

dx

dN

dx

dNdx

dN

EAuuU

l

l

(26)

per cui, infine, la matrice rigidezza dell’elemento”asta con moto longitudinale” è:

−

−=

11

11][

l

EAk (27)

Come si vede, questa matrice è singolare, cioè il suo determinante è nullo. Ciò è conseguenza del fatto che la funzione di forma (10) permette anche un moto (traslatorio) di corpo rigido.



Matrice Massa Impiegando le stesse funzioni di forma usate per la determinazione della matrice rigidezza, dalla (21) abbiamo la matrice delle funzioni di forma:

−=

l

x

l

xN 1][

Inserendo la (21) direttamente nell’espressione (13), si ottiene:

∫

−

−

−

=l

dx

l

x

l

x

l

x

l

x

l

x

l

x

Am0

2

2

1

11][ ρ (28)

cioè:

=

3

1

6

16

1

3

1

][ lAm ρ (29)

Pertanto la matrice massa è:

=

21

12

6][

lAm

ρ (30)

La matrice definita dalla (30) è una matrice massa coerente poiché è stata ottenuta utilizzando la stessa funzione di forma impiegata per ottenere la matrice rigidezza (27). La matrice massa concentrata si può ottenere concentrando la massa dell’elemento ai nodi e scrivendo l’energia cinetica in forma matriciale:

=+=

2

121

22

21 10

01

22

1)(

22

1u

uuu

Aluu

AlT

!!

!!!! ρρ

da cui risulta immediatamente:

=

10

01

2][

Alm

ρ (31)

Vettore delle forze nodali Il vettore delle forze nodali può essere ricavato tramite l’espressione del lavoro virtuale. Se l’asta è soggetta ad una forza distribuita f(x, t), il lavoro virtuale può essere scritto come:

)(),()(1),(

)()(1),(

),(),()(

20

10

021

0

tudxl

xtxftudx

l

xtxf

dxtul

xtu

l

xtxf

dxtxutxftW

ll

l

l

δδ

δδ

δδ

+

−=

=

+

−=

==

∫∫

∫

∫

(32)



Esprimendo la (32) in forma matriciale, si ha:

=)(

)()()()(

2

121 tf

tftututW δδδ (33)

Pertanto il vettore delle forze nodali è:

−

=

=

∫

∫l

l

dxl

xtxf

dxl

xtxf

tf

tftf

0

0

2

1

),(

1),(

)(

)()( (34)

VIBRAZIONI TORSIONALI DELLA TRAVE Consideriamo un elemento di trave di sezione uniforme soggetto a vibrazioni torsionali e avente l’asse x diretto come in figura 3. Sia G il modulo di elasticità tangenziale e con GJ si indichi la rigidezza torsionale essendo J la costante di torsione della sezione (per sezioni circolari J si riduce al momento d’inerzia polare della sezione).

Fig. 3. Elemento trave soggetto a vibrazioni torsionali.

L’elemento ha due nodi, l e 2, ciascuno con un solo grado di libertà, cioè la rotazione. Il vettore spostamento (rotazione) nodale in questo caso è:

=)(

)(

2

1

t

t

θθ

δ

La rotazione all’interno dell’elemento può essere assunta lineare in x, ovvero può essere espressa come segue:

xtbtatx )()(),( +=θ

o, in alternativa, anche come:

=)(

)(])()([),(

2

121 t

txNxNtx

θθ

θ

dove N1(x) e N2(x) si determinano in maniera analoga a quanto fatto per le vibrazioni longitudinali, ossia imponendo le condizioni al contorno (vedi equazioni 15 – 21). Risulta:

−==

l

x

l

xxNxNN 1])()([][ 21

Scriviamo ora le espressioni dell’energia cinetica, dell’energia di deformazione e del lavoro virtuale; si ha rispettivamente:



][2

1),(

2

1

0

2

0 δδθ !! mdxt

txJT T

l

=

∂∂= ∫ ][

2

1),(

2

1

0

2

δδθkdx

x

txGJU T

l

=

∂∂= ∫

)(),(),(0

tftxtxfW Tl

δδδθδ == ∫

dove f(x,t) è una coppia distribuita per unità di lunghezza. Sostituendo l’espressione di θ(x,t) ed eseguendo le operazioni di integrazione, si ottengono le matrici massa e rigidezza ed il vettore delle forze nodali:

−

−=

11

11][

l

GJk

=

21

12

6][ 0 lJ

m

−

=

=

∫

∫l

l

dxl

xtxf

dxl

xtxf

tf

tftf

0

0

2

1

),(

1),(

)(

)()(

Nel caso di sezione circolare risulta essere: J = Ip con Ip momento di inerzia polare della sezione, J0 = ρIp, con ρ densità del materiale, per cui le matrici rigidezza e massa diventano rispettivamente:

−

−=

11

11][

l

IGk p

=

21

12

6][

lIm pρ

Nel caso di sezione generica, la costante di torsione J si può ricavare in base alla seguente espressione approssimata:

pIAJ 4025.0≈ dove A è l’area della sezione

oppure impiegando apposite tabelle come, ad esempio, quella che segue:

Tabella – Valori della costante di torsione per sezioni diverse da quella circolare.



VIBRAZIONI FLESSIONALI DELLA TRAVE (ELEMENTO BEAM) Consideriamo ora un elemento trave secondo la teoria di Eulero-Bernoulli (si trascurano l’effetto taglio e l’inerzia rotazionale). La fig. 4 mostra un elemento trave soggetto ad una forza trasversale distribuita f(x,t).

Fig. 4. Elemento beam.

I nodi possiedono due gradi di libertà ciascuno: la traslazione in direzione trasversale e la rotazione. Pertanto, il vettore degli spostamenti nodali è il seguente:

=

)(

)(

)(

)(

4

3

2

1

tw

tw

tw

tw

δ

Si avranno pertanto due forze nodali f1(t) e f3(t) corrispondenti ai due spostamenti nodali w1(t) e w3(t) e due momenti flettenti f2(t) e f4(t) corrispondenti rispettivamente alle rotazioni nodali w2(t) e w4(t). Per lo spostamento trasversale di un generico punto dell’elemento trave può essere assunto un polinomio di terzo grado in x, come nel caso della deformata statica:

3

2 )()()()(),( xtdxtcxtbtatxw +++= Le quattro costanti a, b, c, d, si ricavano dai valori assunti da w(x,t) e dalla sua derivata spaziale in corrispondenza dei due nodi:

)(),()(),(

)(),0()(),0(

43

21

twtlx

wtwtlw

twtx

wtwtw

=∂∂=

=∂∂=

Si ha dunque:

])()(2)()(2[1

)(

])()(3)(2)(3[1

)(

)()(

)()(

43213

43212

2

1

ltwtwltwtwl

td

ltwtwltwtwl

tc

twtb

twta

+−+=

−+−−=

==

Che sostituite nell’espressione di w(x,t) forniscono:

+

−

−

+

−

+

−=

4

3

2

132323232

232231),(

w

w

w

w

l

xl

l

xl

l

x

l

x

l

xl

l

xlx

l

x

l

xtxw



In altre parole, le funzioni di forma sono:

32

4

32

2

32

3

32

1

)(2)(

23)(231)(

+

−=

+

−=

−

=

+

−=

l

xl

l

xlxN

l

xl

l

xlxxN

l

x

l

xxN

l

x

l

xxN

L’energia cinetica, quella di deformazione ed il lavoro virtuale compiuto dalla forza distribuita f(x,t), si possono esprimere rispettivamente come:

][2

1),(

2

1

0

2

δδρ !! mdxt

txwAT T

l

=

∂∂= ∫

][2

1),(

2

1

0

2

2

2

δδ kdxx

txwEIU T

l

=

∂∂= ∫

)(),(),(0

tftxwtxfW Tl

δδδδ == ∫

con ρ densità del materiale, E modulo di Young, I momento di inerzia della sezione trasversale, A area della sezione trasversale della trave e dove:

=

)(

)(

)(

)(

4

3

2

1

tw

tw

tw

tw

δδδδ

δδ

=

)(

)(

)(

)(

)(

4

3

2

1

tf

tf

tf

tf

tf

Sostituendo l’espressione di w(x,t) ed eseguendo le operazioni di integrazione, si ottengono le matrici massa e rigidezza ed il vettore delle forze nodali:

−−−−−−

=

22

22

422313

221561354

313422

135422156

420][

llll

ll

llll

ll

Alm

ρ

−−−−

−−

=

22

22

3

4626

612612

2646

612612

][

llll

ll

llll

ll

l

EIk

dxxNtxftfl

ii ∫=0

)(),()( i = 1, 2, 3, 4

Si osservi che la matrice rigidezza [k] è singolare e ha rango 2; ciò significa che solo due dei vettori che compongono [k] sono linearmente indipendenti. Il motivo è che la funzione spostamento w(x,t) assunta permette due moti di corpo rigido, una traslazione ed una rotazione. La matrice massa concentrata si può ottenere concentrando la massa dell’elemento ai nodi e scrivendo l’energia cinetica in forma matriciale:



=+=

4

3

2

1

43212

32

1

0000

0100

0000

0001

22

1)(

22

1

w

w

w

w

wwwwAl

wwAl

T

!!!!

!!!!!! ρρ

da cui risulta immediatamente:

=

0000

0100

0000

0001

2][

Alm

ρ

Al contrario di quanto avviene per le vibrazioni longitudinali, nel caso della flessione la matrice massa coerente è molto più efficace di quella concentrata poiché quest’ultima non tiene conto dell’effetto di rotazione dell’elemento. ASSEMBLAGGIO Per passare dai singoli elementi all’intera struttura, si scrivono le espressioni dell’energia cinetica e dell’energia di deformazione della struttura secondo le relazioni (1’) e (1’’). In altre parole l’energia cinetica e l’energia di deformazione della struttura sono la somma rispettivamente delle energie cinetiche e di quelle di deformazione di ciascun elemento. Le equazioni di Lagrange, infine, permettono di scrivere le equazioni differenziali del moto. Esempio Per illustrare il procedimento dell’assemblaggio, consideriamo l’asta di lunghezza L rappresentata in fig. 5. L’asta ha un estremo incastrato e l’altro libero ed è soggetta ad un moto longitudinale. L’asta viene discretizzata con tre elementi finiti del tipo di fig. 2, ciascuno di lunghezza l = L/3.

Fig. 5. Asta con un estremo fisso modellata con tre elementi uguali.

L’energia di deformazione della struttura si ottiene sommando le energie di deformazione dei tre elementi e tenendo conto della condizione al contorno (condizione di vincolo) u1 = 0. Impiegando le matrici rigidezza (27) dei singoli elementi, si ha:

−

−+

+

−

−+

−

−=

4

343

3

232

22

11

11

3

2

1

11

11

3

2

10

11

110

3

2

1

u

uuu

L

EA

u

uuu

L

EA

uu

L

EAU

Scrivendo l’equazione di Lagrange si ottiene:

−−

−=

∂∂

∂∂

∂∂

4

3

2

4

3

2

110

121

0123

u

u

u

L

EA

uU

uU

uU



La matrice di rigidezza [K] della struttura, ottenuta assemblando i tre elementi, è pertanto:

−−−

−=

110121

0123][

LEAK

E’ fondamentale osservare che la matrice della struttura si può ottenere senza scrivere esplicitamente né l’espressione di U, né l’equazione di Lagrange, bensì sovrapponendo le tre matrici rigidezza (27) dei singoli elementi ed eliminando la prima riga e la prima colonna, cioè le righe e le colonne corrispondenti alla condizione u1 = 0:

−−+−

−+−−

=

110011110

011110011

3][LEAK

Per quanto riguarda l’energia cinetica, impiegando le matrici massa (3) dei singoli elementi, risulta:

+

+

+

=

4

343

3

232

22

2112

62

1

2112

62

102112

062

1

uu

uuAl

uu

uuAlu

uAlT

&&

&&

&&

&&&

&

ρ

ρρ

e scrivendo l’equazione di Lagrange si ottiene:

( )

=

∂∂

∂∂

∂∂

4

3

2

3

2

210141014

6

4uuu

Al

uT

dtd

uT

dtd

uT

dtd

&&&&&&

&

&

&ρ

La matrice massa dell’intera struttura è pertanto:

=

210141014

6][ AlM ρ

Si vede immediatamente che anche la matrice massa della struttura si può ottenere sovrapponendo le matrici massa dei singoli elementi ed eliminando le righe e le colonne corrispondenti alla condizione u1=0. E’ opportuno rilevare che, una volta effettuato l’assemblaggio, i vari elementi finiti risultano collegati fra loro nei nodi, nel senso che essi si trasmettono forze attraverso i nodi e che nei nodi sono soddisfatte le condizioni di congruenza (cioè tutti gli elementi che confluiscono in un nodo hanno ivi gli stessi spostamenti). Osserviamo anche che si possono assemblare tra loro anche elementi diversi, o addirittura parti di sistemi modellati con tecniche diverse, per esempio ad elementi finiti ed a parametri concentrati.



FREQUENZE E MODI DI VIBRARE Le frequenze naturali e i modi di vibrare si ottengono dall’equazione del moto omogenea:

0][][ =+ δδ km !! Ipotizzando una soluzione nella forma:

tje ωδδ 0=

l’equazione diviene:

( ) 0][][][][ 02

002 =+−=+− δωδδω kmkm

ossia il classico problema agli autovalori ed autovettori. Anche per sistemi relativamente semplici e di piccole dimensioni, le matrici [k] e [m] possono avere diverse centinaia di elementi. La soluzione dell’autoproblema risulta pertanto essere non banale e richiede opportuni algoritmi atti a minimizzare il costo computazionale e la richiesta di memoria. La trattazione di tali problematiche esula dagli scopi della presente dispensa e per essa si rimanda a testi specializzati. BIBLIOGRAFIA * S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995. * D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1994. * M. Lalanne, P. Berthier, J.D. Hagopian, Mechanical Vibrations for Engineers, John Wiley and Sons,

1984.

Esercitazioni

Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici E – 1

Università degli Studi di Bologna – II Facoltà di Ingegneria con sede a Cesena ESERCITAZIONI del CORSO di

DINAMICA DELLE MACCHINE E DEI SISTEMI MECCANICI LM per allievi del Corso di Laurea Magistrale in INGEGNERIA MECCANICA

Anno Accademico 2010-2011

prof. Alessandro RIVOLA Tel. 0543 374441 e-mail: [email protected]

1 Riduzione di forze e masse. 2 Impianto di frenatura. (*) 3 Scelta di un innesto a frizione. (*) 4 Analisi del transitorio di un ventilatore. (*) 5 Calcolo del volano in un impianto funzionante in condizioni di regime periodico. (*) 6 Calcolo di costanti elastiche. 7 Applicazione del metodo energetico. 8 Frequenza propria di una colonna con serbatoio elevato. (*) 9 Applicazione del metodo energetico. 10 Risposta di un sistema ad un gdl ad una eccitazione a gradino con rampa iniziale. 11 Sistema a 2 gdl. 12 Vibrazioni torsionali di un motore marino. (*) 13 Modifiche strutturali. (*) 14 Applicazione del metodo di Rayleigh ad un continuo. 15 Definizione dei parametri di acquisizione. (*) 16 Vibrazioni flessionali con FEM. (*) I1 MATALAB: zero di funzione. I2 MATLAB: integrazione di equazioni differenziali (ODE). I3 MATLAB: calcolo di autovalori e autovettori di una matrice. I4 SIMULINK: integrazione di equazioni differenziali. I5 SIMULINK: integrazione di equazioni differenziali non lineari: presenza del gioco. I6 SIMULINK: modelli elementari di meccanismi. S1 Esercitazione sperimentale.

Misura di frequenze naturali. Scelta dei parametri di acquisizione. Eccitazione di una struttura con shaker elettrodinamico. Eccitazione di una struttura con martello strumentato. Rilievo sperimentale di FRF. Osservazioni sulla funzione coerenza. Estrazione dei parametri modali. Animazione dei modi di vibrare.

ESERCITAZIONI: MODALITÀ DI ESAME Le esercitazioni riguardano complementi ed applicazioni degli argomenti del corso. Tutte le esercitazioni svolte ed elencate sono materia di esame. Alcune esercitazioni sono contraddistinte da un asterisco (*). Al momento di sostenere l’esame, l’allievo è tenuto a consegnare alla commissione esaminatrice tali esercizi, svolti secondo le seguenti modalità: 1. Gli esercizi devono venire eseguiti su fogli formato A4 o su un quaderno dello stesso formato. Sul

quaderno - o su ciascuno dei fogli - devono essere chiaramente indicati cognome, nome e numero di matricola dell’allievo.

2. Non è ammesso scrivere a matita. 3. Lo svolgimento deve contenere: il testo e i dati dell’esercizio; l’elenco dei simboli con il relativo

significato numerico; la traccia dello svolgimento; tutte le formule impiegate, scritte prima in forma letterale e poi con i valori numerici delle varie quantità; i risultati, con l’indicazione delle unità di misura; i grafici qualora richiesto.

4. Il sistema di unità di misura adottato è il Sistema Internazionale (SI). I testi sono disponibili in segreteria e seguendo i link: diem1.ing.unibo.it/mechmach/rivola.html o www.unibo.it/docenti/alessandro.rivola

Esercitazioni


TABELLA di RIEPILOGO DEI RISULTATI

EX 2 - IMPIANTO DI FRENATURA Somma ultime due cifre numero di matricola

Coppia frenante Lavoro dissipato Tiro fune

[Nm] [J] [N] EX 3 - TRANSITORIO DI AVVIAMENTO TRAMITE INNESTO A FRIZIONE Resto divisione per 4 del n. di matricola Vel. angolare a REGIME [rad/s] Coppia a REGIME [Nm] Scelta innesto No. Istante di sincronismo ts [s] Durata fase per il raggiungimento del regime Tr [s] Durata totale del transitorio: T = Tc+Ts+Tr [s] Lavoro dissipato in una operazione di innesto [J] Massima frequenza ammissibile [Hz] No. di inserzioni richiedenti la regolazione del tra ferro No. totale di inserzioni EX 4 - TRANSITORIO DI AVVIAMENTO DI UN VENTILATORE ultima cifra del numero di matricola Omega 1 segnato [rad/s] Omega di regime [rad/s] Istante t1 [s] Istante TR (99% regime) [s] 99% omega di regime [rad/s] EX 5 - DIMENSIONAMENTO DEL VOLANO ultime due cifre, u e v, del numero di matricola Vel. angolare minima Omega1 [rad/s] Vel. angolare massima Omega0 [rad/s] Momento di inerzia del volano [kgm2] Motore scelto No. Potenza [W] EX 8 - FREQUENZA PROPRIA FLESSIONALE DI UN SERBATOIO ELEVATO ultime due cifre, u e v, del numero di matricola u= v= Prima frequenza propria [Hz] EX 12 - VIBRAZIONI TORSIONALI DI UN MOTORE MARINO ultima cifra del numero di matricola v= Prima frequenza propria [Hz] Seconda frequenza propria [Hz] Rapporto r1=[Φ2/Θ1]1 Rapporto r2=[Φ2/Θ1]2 EX 13 – MODIFICHE STRUTTURALI ultime due cifre, u e v, del numero di matricola u= v= Prima frequenza propria [rad/s] Seconda frequenza propria [rad/s] Terza frequenza propria [rad/s] Seconda frequenza propria dopo le modifiche [rad/s] EX 15 – DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI ACQUISIZIONE ultime due cifre, u e v, del numero di matricola u= v= Frequenza di taglio del filtro passa basso (anti-aliasing) [Hz] Frequenza di campionamento minima [Hz] Il numero di punti da elaborare tenendo conto che si desidera utilizzare l’algoritmo FFT EX 16 – VIBRAZIONI FLESSIONALI CON FEM ultima cifra del numero di matricola v= Prima frequenza propria [Hz] Seconda frequenza propria [Hz] Primo Modo w3= w4= w5= w6= Secondo Modo w3= w4= w5= w6=

Esercitazioni


Esercitazione 1 – RIDUZIONE DI MASSE E MOMENTI DI INERZIA Esercizio 1

(“Mechanical vibrations”, S.S. Rao, p. 33)

Per l’ingranaggio pignone–dentiera di figura, dati la massa m della dentiera, il raggio primitivo R del pignone ed il suo momento di inerzia JO (rispetto al suo asse di rotazione O), trovare: (i) la massa equivalente del sistema

ridotta alla coordinata x (ii) il momento di inerzia equivalente

ridotto all’asse O.

22

21

21

θ&& oJxmT +=

Esercizio 2 Due cilindri, aventi momenti di inerzia J1 e J2, sono calettati su due alberi paralleli rigidi e di massa trascurabile, collegati da un ingranaggio le cui due ruote, indicate con 1 e 2 in figura, hanno rispettivamente numero di denti pari a n1 e n2 e massa trascurabile. Trovare il momento di inerzia equivalente risotto alla coordinata θ1. (“Mechanical vibrations”, S.S. Rao, p. 82) Esercizio 3 Per il meccanismo di figura, dati la massa m del carrello, la massa m2 del membro rigido 2, il momento di inerzia J1 del membro rigido 1 rispetto al suo asse di rotazione O, il momento di inerzia baricentrico JpG della puleggia, la massa mc del cilindro ed il suo momento di inerzia baricentrico JcG, trovare la massa equivalente del sistema ridotta ad un punto del carrello. Si noti che il membro rigido 1 ruota solidalmente alla puleggia.


22

22

222

1122

21

21

21

21

21

21

ccGcppG JxmxmJJxmT θθθ &&&&&& +++++=

Esercitazioni


Esercizio 4 Con riferimento alla seguente figura, trovare la massa equivalente del sistema ridotta alla coordinata x.


Esercizio 5 Per il meccanismo di distribuzione di figura sono note le proprietà inerziali dei membri dotati di moto alterno: la massa mp dello spintore, la massa mr del bilanciere, il suo momento di inerzia baricentrico JrG, la massa mv della valvola. Ritenendo le masse di rotella e molla trascurabili, trovare la massa alterna equivalente del meccanismo assumendo che tale massa sia collocata:

(i) nel punto A (ii) nel punto C


2222

21

21

21

21

rrrrGvvpp xmJxmxmT &&&& +++= θ

Esercitazioni


Esercitazione 2 – IMPIANTO DI FRENATURA (*) Determinare la coppia frenante che deve essere applicata dal freno per arrestare l’impianto di montacarichi schematizzato in figura nell’intervallo di tempo ∆t. Si ipotizzi che durante la manovra di arresto la coppia frenante sia costante e la coppia fornita dal motore sia nulla ed, inoltre, che all’inizio della manovra stessa il carico stia scendendo con velocità v costante. Si calcoli inoltre:

- il lavoro dissipato dal freno durante la manovra di arresto; - l’intensità della forza sollecitante la fune durante la frenatura.

Q = peso del carico v = velocità di discesa del carico all’inizio della manovra R = raggio del tamburo ∆t = tempo di frenatura J1

= momento di inerzia complessivo dei componenti a monte del riduttore J2

= momento di inerzia complessivo dei componenti a valle del riduttore τ = rapporto di trasmissione del riduttore η‘ = rendimento del riduttore nel moto retrogrado

Esercitazioni


Esercitazione 3 – SCELTA DI UN INNESTO A FRIZIONE (*) Si consideri un impianto (fig. 1) costituito da un motore elettrico asincrono trifase, un innesto a frizione ad azionamento elettromagnetico, un riduttore ad ingranaggi ed una macchina operatrice. Riguardo al motore elettrico, sono noti la potenza, Pn, e lo scorrimento, sn, in condizioni nominali, ed il valore della velocità angolare a vuoto, n10; si determini la caratteristica meccanica, considerandola lineare nel campo di funzionamento normale. Sono noti anche la caratteristica meccanica della macchina operatrice, M3 = M30 + k3Ω3 (il momento resistente M3 è somma di un termine costante M30 ed uno dipendente linearmente dalla velocità angolare Ω3), il rapporto di trasmissione del riduttore, τr, il momento di inerzia delle parti a monte dell'innesto, J1, e quello delle parti poste a valle dell'innesto stesso, J3, ridotto all'asse della macchina operatrice. In tab. 1 sono riportate le caratteristiche tecniche di una serie di innesti a frizione dello stesso tipo (fig. 2), in ordine crescente di dimensioni. Si scelga tra questi l'innesto che soddisfa le seguenti condizioni: 1) il momento applicato alla macchina operatrice non superi il valore M3max; 2) la durata globale T del transitorio di avviamento con macchina operatrice ferma e motore funzionante

a vuoto, non superi il valore Tmax; T è il tempo intercorrente tra l'istante in cui è azionato l'elettromagnete e l'istante in cui l'impianto ha raggiunto il 99% della velocità di regime;

3) il lavoro dissipato in una singola operazione di innesto, Lp, non sia superiore al massimo valore ammissibile per l'innesto scelto (v. tab. 1);

Per motivi di ingombro, inerzia e costo, la scelta deve cadere sull'innesto di dimensioni più piccole che soddisfa le condizioni precedenti. Si consideri costante il momento Mf trasmesso dall'innesto in condizioni di slittamento. Si trascurino le perdite per attriti in organi diversi dall'innesto. In base ai dati riportati in tab. 1, si calcoli per l'innesto scelto: 4) la massima frequenza di inserzione ammissibile, fimax; 5) il numero di inserzioni zr intercorrenti tra due operazioni successive di regolazione del traferro; 6) il numero totale di inserzioni zmax durante la vita utile del disco di frizione. Infine si tracci l’andamento in funzione del tempo delle velocità angolari durante il transitorio.

DATI Resto divisione per 4

del n. di matricolaResto divisione per 4

del n. di matricola

0 1 2 3 0 1 2 3

Pn [kW] 4 4 4 7.5 k3 [Nm/(rad/s)] 18 9 25 30

sn 0.05 0.04 0.05 0.03 J1 [kgm²] 0.005 0.005 0.005 0.013

n10 [rpm] 1500 3000 750 750 J3 [kgm²] 1.8 0.9 2.7 3.2

τr 1/15 1/21 1/9 1/7 M3max [Nm] 1200 1000 1400 2200

M30 [Nm] 100 70 120 180 Tmax [ms] 75 75 85 85

Esercitazioni


Tab. 1 - Caratteristiche tecniche degli innesti TIPO 3 4 5 6 7 8 9 Mf [Nm] 12 23 43 75 145 280 570

Tc [ms] 10 12 12 20 25 50 60

J1f [10-3kgm2] 0.128 0.319 0.868 1.94 5.0 16.5 45.0

J2f [10-3kgm2] 0.035 0.105 0.297 0.704 1.4 8.1 31.5

Lpmax [kJ] 4.4 6.9 14.8 20 32 50 80

Ppmax [W] 86 112 140 196 290 370 499

Lph [MJ/mm] 143 251 343 509 789 1270 2240 hr [mm] 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 0.45 0.5

hmax [mm] 0.8 1.0 1.2 1.4 1.7 1.8 2.0 Mf - momento trasmesso in condizioni di slittamento Tc - durata della fase di accostamento delle superfici di frizione (recupero del traferro) J1f - momento di inerzia delle parti dell'innesto solidali con l'albero motore J2f - momento di inerzia delle parti dell'innesto solidali con l'albero condotto Lpmax - lavoro dissipato massimo ammissibile per ogni operazione di innesto

Ppmax - valore massimo ammissibile della potenza media dissipata Lph - lavoro dissipato per unità di spessore usurato del disco di frizione hr - spessore usurato richiedente la regolazione del traferro hmax - spessore massimo utile del disco di frizione

Fig. 1 – Schema dell'impianto

Fig. 3 – Sistema ridotto

Fig. 2 – Innesto a frizione ad

azionamento elettromagnetico

Esercitazioni


Esercitazione 4 – TRANSITORIO DI AVVIAMENTO (*) L'impianto di fig.l è costituito da un motore elettrico asincrono trifase, da un riduttore ad ingranaggi e da un ventilatore. Il riduttore è a sua volta costituito da due ruote dentate A e B. Si richiede di: Valutare il tempo TR necessario per portare il ventilatore alla velocità di regime ωR. Tracciare l’andamento in funzione del tempo della velocità angolare durante il transitorio.

DATI ξ ultima cifra del numero di matricola Motore:

nmm

n

n

m

MM

rpmrpm

kWP

mkgI

⋅

+=

==

=

⋅+=

200.2

nominale)(velocità 1420a vuoto)(velocità 1500

nominale)(potenza 5

inerzia) (mom.200

05.0

0

1

10

2

ξωω

ξ

Riduttore:

ruota B)inerzia (mom.10100

2.1

A)ruota inerzia (mom.1010

0.2

10020

21

24

mkgI

mkgI

zz

B

A

B

A

⋅⋅

+=

⋅⋅

+=

+=+=

−

−

ξ

ξξ

ξ

Ventilatore:

ntilatore)inerzia ve (mom.10

0.30

nominale)(velocità280

nominale)(potenza4

2mkgI

rpmn

kWP

v

v

v

n

n

⋅+=

=

=

ξ

Esercitazioni


fig. 2 – Caratteristica meccanica del motore fig. 3 – Caratteristica meccanica del ventilatore Esempio numerico:

nmm

n

n

m

MMrpmrpm

kWPmkgI

⋅===

=⋅=

5.214201500

505.0

0

1

10

2

ωω

21

24

1025.1

100.2

2.0

mkgImkgI

B

A

⋅⋅=

⋅⋅=

=

−

−

τ

25.30

280

4

mkgI

rpmn

kWP

v

v

v

n

n

⋅=

=

=

Risultati: Omega 1 segnato = 136.1357 [rad/s] Omega di regime = 149.9668 [rad/s] Istante t1 = 2.2985 [s] Istante TR (99% regime) = 2.9459 [s] 99% omega di regime = 148.4671 [rad/s]

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

250Transitorio di avviamento

Tempo [s]

Velo

cita

' ang

olar

e [ra

d/s]

Esercitazioni


Esercitazione 5 – DIMENSIONAMENTO DEL VOLANO (*)

Si consideri un impianto funzionante in servizio continuo in condizioni di regime periodico. L'impianto è costituito da un motore asincrono trifase a quattro poli, un riduttore ed una macchina operatrice di tipo rotativo.

Il motore, alimentato in corrente alternata a 50 Hz, ha potenza nominale Pn, scorrimento nominale sn e momento d'inerzia Jm. Al variare dell'angolo di rotazione dell'albero motore il momento resistente della macchina operatrice ridotto all'asse del motore ha andamento costante a tratti: all'interno del periodo vale Mrl per i primi gl giri dell'albero motore, ed è pari ad Mr2 per i successivi g2 giri. Sia inoltre J0 il momento d'inerzia dell'intero impianto, ad esclusione del motore, ridotto all'albero motore.

Si richiede di: - scegliere il motore elettrico all'interno della gamma fornita; - calcolare il momento d 'inerzia del volano da calettare sull'albero motore per conseguire il grado di

irregolarità δ assegnato. DATI I dati sono espressi in funzione delle ultime due cifre, u e v, del numero di matricola (numero di matricola = #####uv). Mrl = 50 + 2 u2 + 3 uv + 10 v [N m] gl = 12 + u [giri] Mr2 = 7 + v [N m] g2 = 16 - v [giri] J0 = 1 + v/4 [kg m2] δ = 0.014 Motori elettrici disponibili:

1 2 3 4 5 6 Pn [kW] 5.5 7.5 11. 15 18.5 22. Sn [%] 4.67 4.67 4.00 3.67 3.33 3.33 Jm [kgm2] 0.0165 0.0213 0.049 0.063 0.103 0.123

7 8 9 10 11 12 Pn [kW] 30. 37. 45. 55. 75. 90. Sn [%] 3.00 2.67 2.33 2.00 2.00 2.00 Jm [kgm2] 0.183 0.318 0.383 0.570 0.930 1.168

Esercitazioni


Esercitazione 6 – CALCOLO DI COSTANTI ELASTICHE Esercizio 1 Con riferimento al propulsore ad elica di figura, determinare la rigidezza torsionale dell’albero, noto il modulo di elasticità tangenziale del materiale G = 8 × 1010 N/m2.

Esercizio 2 Con riferimento all’impianto di sollevamento di figura, determinare la costante elastica equivalente del sistema quando lunghezza libera della fune è pari a l.

Esercitazioni


Esercizio 3 Con riferimento al carrello ferroviario mostrato in figura, determinare la costante elastica equivalente di ciascuna sospensione realizzata con tre molle ad elica in acciaio (modulo di elasticità tangenziale G = 8 × 1010 N/m2) aventi diametro D = 20 cm e diametro della spira d = 2 cm.

Esercizio 4

Con riferimento alla macchina per sollevamento carichi di figura, determinare la costante elastica equivalente del sistema in direzione verticale. Il puntone è realizzato in acciaio ed ha una sezione costante pari a 2500 mm2, il cavo è anch’esso in acciaio con sezione pari a 100 mm2.Si trascuri l’influenza del tratto di cavo CDEB.

Esercitazioni


Esercitazione 7 – APPLICAZIONE DEL METODO ENERGETICO Determinare la pulsazione naturale di un cilindro di raggio r e massa m che rotola senza strisciare entro un tubo di raggio R.

)( 10 hhmghmgV −=∆= ϑ=10ˆGOG Ω=ϑ&

Energia potenziale

2)()cos1)((

2ϑϑ rRmgrRmgV −≈−−=

2)(21

Θ−= rRmgVMAX

Energia cinetica

( )222

21

ωGG ImvT +=

2

2mrIG = ωϑ rrRvG =−= &)(

22222

2 )(43

2)(

21 ϑϑ && rRm

rrRmrrRmT −=

−

+−=

222)(43

Θ−= nMAX rRmT ω

0)( =+VTd 0)()(23 2 =−+− ϑϑϑϑ &&&& rRmgrRm 0

)(32

=−

+ ϑϑrR

g&&

tnωϑ cosΘ= )(3

2rR

gn −

=ω

MAXMAX TV = à 2222 )(23

21)(

21

Θ−=Θ− nrRmrRmg ω à )(3

2rR

gn −

=ω

G1

h0 h1 R

r

O

G0

Ω ω

Esercitazioni


Esercitazione 8 – FREQUENZA PROPRIA DI UNA COLONNA CON SERBATOIO ELEVATO (*) Determinare la prima frequenza propria di vibrazione flessionale della colonna con serbatoio elevato mostrata in figura, supponendo che la sezione tubolare della colonna sia costante. Si esprima il risultato in Hz utilizzando almeno cinque cifre significative. Dati: D = diametro esterno della colonna d = diametro interno della colonna l = lunghezza della colonna E = modulo di elasticità del materiale della colonna Q = peso del serbatoio ρ = massa volumica del materiale della colonna

I dati sono espressi in funzione delle ultime due cifre, u e v, del numero di matricola (numero di matricola = #####uv). D = 3. + u/10 [m] ρ = 2400 + v2 + u [kg/m3] d = 2.45 + v/30 [m] E = 2.8 × 1010 [N/m2] l = 90 + u2 /5 – v [m] Q = (2.7 + u2 /100 + uv /50) × 106 [N]

Esercitazioni


Esercitazione 9 – APPLICAZIONE DEL METODO ENERGETICO Trovare la frequenza naturale di oscillazione del sistema rappresentato in figura, costituito da un cilindro omogeneo di raggio r, massa m e momento di inerzia baricentrico JG, vincolato a telaio da due molle di rigidezza k, nell’ipotesi che il cilindro rotoli sul piano senza strisciare. Dati: m massa del cilindro r raggio del cilindro k rigidezza delle molle a distanza tra il baricentro del disco e il punto di attacco delle molle

m, J k

G

G

r

θ

k

a

Risultato: 2

2

3)(4

mrark

n+

=ω

Esercitazioni


Esercitazione 10 – RISPOSTA DI UN SISTEMA SDOF AD UNA ECCITAZIONE A GRADINO CON RAMPA INIZIALE

Determinare la risposta del sistema ad un grado di libertà rappresentato in figura, per una eccitazione a gradino di ampiezza F0 preceduta, per 0 < t < t1, da una rampa.

m

k

F(t)

x(t)

Dati: m massa k costante elastica della molla F0 ampiezza del gradino t1 istante finale della rampa

∫ −=t

dthFtx0

)()()( τττ tm

th nn

ωω

sin1)( =

−=

11

01

sin)(t

ttt

kFtx

n

n

ωω

−−

−=−

1

1

1

1011

)(sin)(t

ttt

ttkFttx

n

n

ωω

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-2

0

2

4

x1(t)

-x1(t-t

1)

t1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t1

t

F(t)

F0

0 t1

Esercitazioni


Esercitazione 11 – SISTEMA A DUE GDL

Nel sistema vibrante di figura, in cui le masse sono dotate del solo moto in direzione verticale, si assuma n = 1.

• Trovare le frequenze naturali e le forme modali.

• Trovare quali condizioni devono soddisfare le condizioni iniziali affinché il sistema vibri solo nel primo o solo nel secondo modo.

Esercitazioni


Esercitazione 12 – VIBRAZIONI TORSIONALI DI UN MOTORE MARINO (*) In figura è rappresentato lo schema di un motore marino connesso all’elica mediante un riduttore ad ingranaggi ad uno stadio. Noti i momenti di inerzia del volano, del motore, delle ruote dentate, dell’elica e le dimensioni degli alberi, trovare le frequenza naturali e i modi di vibrare torsionali del sistema. In particolare: * si trascuri l’inerzia degli alberi; * si esprima il risultato utilizzando almeno cinque cifre significative; * si esprimano le frequenze naturali in Hz; * indicata con θ la rotazione dell’asse motore e con ϕ la rotazione dell’asse dell’elica, esprimere i modi di vibrare nella seguente forma:

11

21

ΘΦ

=r 21

22

ΘΦ

=r

Dati: Jv momento di inerzia del volano Jm momento di inerzia del motore J1 momento di inerzia ruota 1

J2 momento di inerzia ruota 2 Je momento di inerzia dell’elica G modulo di elasticità tangenziale acciaio

I dati sono espressi in funzione dell’ultima cifra v del numero di matricola (numero di matricola = #####v). Jv = 35000 [kg m2] J2 = 150 + 2v [kg m2] Jm = 1000 – 5 v2 [kg m2] Je = 2000 + 20 v2 [kg m2] J1 = 250 – v [kg m2] G = 8 × 1010 [N/m2]

Esercitazioni


Esercitazione 13 – MODIFICHE STRUTTURALI (*) In figura è rappresentato un sistema a 3 gdl. Noti i valori delle masse e delle rigidezze, calcolare: 1) le 3 pulsazioni naturali del sistema (in rad/s) 2) le 3 forme modali (eseguire la normalizzazione in modo che la prima componente sia unitaria) Inoltre, introdotte nel sistema le modifiche strutturali indicate nel seguito, calcolare il nuovo valore della seconda pulsazione propria del sistema impiegando il quoziente di Rayleigh.

m

k

m

m

k

k

1

2

3

3

2

1

Dati: m = 1 + u / 10 [kg] k = 1 – v / 10 [N/m] m1 = 2 m m2 = 3 m m3 = 2 m k1 = 4 k k2 = 3 k k3 = 5 k

Modifiche strutturali: ∆m3 = 0.4 m ∆k2 = 0.7 k

I dati sono espressi in funzione delle ultime due cifre, u e v, del numero di matricola (numero di matricola = #####uv).

Esercitazioni


Esercitazione 14 – APPLICAZIONE DEL METODO DI RAYLEIGH AD UN CONTINUO Utilizzare il metodo di Rayleigh per calcolare la prima frequenza propria del sistema rappresentato in figura. La trave ha modulo elastico E, momento di inerzia di sezione I, sezione S, densità ρ ed alla sua estremità si trova una massa concentrata m. Nella sua mezzeria la trave è collegata a telaio mediante una molla di rigidezza k. Si suggerisce di impiegare la funzione di forma seguente:

−

=

32

3)(Lx

Lxxϕ

k

mL/2 L/2

)(3)()(),(32

tfLx

Lxtfxtxv

−

== ϕ

[ ] [ ]

+=+

−=

=+

=+

∂∂

=

∫

∫∫ ==

642512)(

21

6425)(

21136)(

21

)()(21)(

21),(

21

21

322

0

2

42

22/

2

0

2

2

22

2/0

2

2

2

kL

EItftfkdxLx

LtfEI

xtfkdxdxdtfEItxvkdx

xvEIV

L

Lx

L

Lx

L

ϕϕ

[ ] [ ]

+=

=+=+

−

=

=+=

∂∂

+

∂∂

=

∫

∫∫ ==

mLStf

tfmLtfStfmdxLx

LxtfS

xtfmdxxtfStvmdx

tvST

L

Lx

L

Lx

L

43533)(

21

4)(21

3533)(

214)(

213)(

21

)()(21)()(

21

21

21

2

222

0

2322

22

0

22

0

2

ρ

ρρ

ϕϕρρ

&

&&&&

&&

Equazione del moto: 0642512)(4

3533)( 3 =

++

+ k

LEItfmLStf ρ&&

Risultato: mSL

kLEI

43533

642512 3

1+

+=

ρω

Esercitazioni


Esercitazione 15 – DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI ACQUISIZIONE (*) Si vogliono effettuare rilievi sperimentali di vibrazione su una struttura. L’analisi va condotta all’interno del campo di frequenze 0 ÷ f* e, ai fini dell’analisi, occorre ottenere una risoluzione spettrale massima pari a ∆f. Determinare:

1. La frequenza di taglio del filtro passa basso anti-aliasing 2. La frequenza di campionamento minima 3. Il numero di punti da elaborare tenendo conto che si desidera utilizzare l’algoritmo FFT (Fast

Fourier Transform)

Dati: f* = 3000 + 10 u – 20 v [Hz] ∆f = 10 + 0.1 uv + 0.5 v2 [Hz] I dati sono espressi in funzione delle ultime due cifre, u e v, del numero di matricola (numero di matricola = #####uv).

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Esercitazione 16 – VIBRAZIONI FLESSIONALI CON FEM (*) In figura è rappresentata una trave incastrata ad entrambi gli estremi avente sezione quadrata con dimensioni variabili a tratti. Note le dimensioni della trave e le caratteristiche del materiale (modulo di Young E e densità ρ), trovare le prime due frequenze naturali e i rispettivi modi di vibrare flessionali del sistema impiegando il metodo degli elementi finiti. In particolare: * modellare la trave con tre elementi di tipo beam; * esprimere le frequenze naturali in Hz; * normalizzare le forma modali in modo da porre la massima componente al valore unitario. I dati sono espressi in funzione dell’ultima cifra v del numero di matricola (numero di matricola = #####v). l1 = 0.4 – v/200 [m] a = 0.02 [m] l2 = 0.32 +v/100 [m] b = 0.03 [m] ρ = 7800 [kg/m3] l3 = 0.24 + v/100 [m] c = 0.01 [m] E = 2.06 × 1011 [N/m2]

l1 l2 l3

a x a b x b c x c

Università degli Studi di Bologna II Facoltà di Ingegneria...

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