Progetto Pilota 3per la valutazione del sistema dell’istruzione

La statistica in 45 pillole

a cura di Roberta Cielo

COSA VUOL DIRE FARE STATISTICA

Quando si fanno affermazioni del tipo:

• il profitto di questa classe è in media sufficiente;

• quest’anno sono di moda le vacanze di tipo agrituristico

si fanno affermazioni di tipo statistico.

STATISTICA

La statistica si occupa della raccolta, classificazione, analisi dei dati che esprimono aspetti di fenomeni collettivi scelti come oggetto di studio e che si manifestano negli elementi di un determinato insieme.

Scopo della statistica è quello di descrivere questi fenomeni o di individuare regolarità di comportamento in essi.

Indagine statistica

Raccolta dei dati

Spoglio e trascrizione dei dati

Elaborazione dei dati

Raccolta dei dati

• Natura dei dati: qualitativa, quantitativa

• Metodo di raccolta: censimento, campionamento

• Tecnica di raccolta: intervista, compilazione di questionario, ecc.

Spoglio e trascrizione dei dati

• Enumerazione dei dati

• Classificazione in gruppi

• Trascrizione in tabelle

Tabella semplice

Frequenza o frequenza assoluta (peso) di una modalità è il numero totale di volte che essa si presenta nelle unità rilevate

Voto (modalità)

Allievi (frequenza)

4 3

5 5

6 8

7 5

8 3

Tabella composta

Voti 1° quadr 2°quadr4 2 35 4 36 8 87 5 48 3 2

Situazione dei voti nel 1° e 2° quadrimestre

Tabella a doppia entrataClassiVoti

1^ A 1^B 1^C4 2 4 25 4 3 36 8 7 97 5 4 38 3 4 3

Frequenze

• Frequenza relativa di una particolare modalità è il rapporto fra la sua frequenza assoluta e il numero totale delle unità rilevate, se moltiplicata per 100 è detta frequenza relativa percentuale

Voti Allievi(frequenza)

Frequenzarelativa

Frequenzarelativa %

4 2 0.09 95 4 0.18 186 8 0.36 367 5 0.23 238 3 0.14 14

Totale 22 1 100

2 / 22 0.094 / 22 0.18….

Confronto tra distribuzioniVoti1^A

Allievi(frequenza)

Frequenzarelativa

Frequenzarelativa %

4 2 0.09 95 4 0.18 186 8 0.36 367 5 0.23 238 3 0.14 14

Totale 22 1 100

Voti1^B

Allievi(frequenza)

Frequenzarelativa

Frequenzarelativa %

4 4 0.15 155 5 0.19 196 9 0.33 337 5 0.18 188 4 0.15 15

Totale 27 1 100

Frequenze cumulate: la somma delle frequenze delle

modalità inferiori e uguali di una data modalità

Voti1^A

Allievi(frequenza)

Frequenzarelativa

Frequenzarelativa %

Frequenzecumulate

4 2 0.09 9 95 4 0.18 18 9+18=276 8 0.36 36 9+18+36=637 5 0.23 23 …. 868 3 0.14 14 100

Totale 22 1 100Voti1^B

Allievi(frequenza)

Frequenzarelativa

Frequenzarelativa %

Frequenzecumulate

4 4 0.15 15 155 5 0.19 19 346 9 0.33 33 677 5 0.18 18 858 4 0.15 15 100

Totale 27 1 100

Elaborazione dei dati

• Rappresentazione dei dati (grafici)perché con l’immagine si riesce a dare un quadro generale della situazione indagata riuscendo a dare informazioni facilmente, rapidamente comprensibili.

• Quali grafici?Istogrammi, diagrammi a torta, grafici cartesiani, cartogrammi, ecc.

5,5

6

6,5

7

7,5

Mat

em.

Ital

iano

Ingl

ese

Scie

nze

Istogramma 1^A1^B1^C

Diagramma a torta

24%

22%

26%

28%

Matem

Italiano

Inglese

Scienze

Diagramma cartesiano

66,16,26,36,46,56,66,76,86,9

1° 2° 3° 4°

Anno scolastico

Cartogramma

Indici Statistici

Per sintetizzare i dati ed evidenziare una certa caratteristica:

• Indici di tendenza centrale

• Indici di dispersione

La media

Non esiste una sola media buona per ogni occasione, ma esistono più medie e verrà scelta la più adatta a mettere in evidenza la situazione cercata.

La media Gli obiettivi che ci si prefigge nel calcolo di una

media sono sostanzialmente due:

1) sostituire a più dati rilevati un solo numero che dia però una efficace rappresentazione del fenomeno dato;

2) esprimere l’ordine di grandezza o tendenza centrale dell’insieme dei dati relativi a un fenomeno. Tale ordine di grandezza può a volte sfuggire perché i dati sono spesso differenti fra loro.

La Media

A questo punto bisogna dare dei criteri pratici per calcolare tale valor medio; i più importanti, quindi quelli più usati, sono i seguenti:

a) si può calcolare il valor medio come funzione matematica dei dati rilevati e in tal caso si parla di media analitica;

b) si possono ordinare i dati rilevati e ottenere la media in relazione alla posizione che occupa fra essi e in tal caso si parla di media di posizione.

La media aritmetica

64

24

4

6585

6,5,8,5:

...,...,, 21

21

M

valoriseguentiiDatin

xxxxxxM n

n

La media aritmetica semplice M di n valori è il rapporto fra la loro somma e il loro numero n:

La media aritmetica ponderataQuando ciascuna modalità si presenta con una certa frequenza o peso, è più vantaggioso calcolare la media aritmetica considerando le frequenze (assolute o relative): in tal caso si parla di media aritmetica ponderata perché ogni valore entra nella media con il suo peso, cioè la sua frequenza.

La media aritmetica ponderata M di n valori è:

n

nnn

nnnndoven

nxnxnxxxxM

...

...,...,,

21

221121

Calcolo della media ponderata

624

3857865534

M

Voto (modalità)

Allievi (frequenza)

4 3

5 5

6 8

7 5

8 3

Attenzione!Non sempre il calcolo della media aritmetica rappresenta in modo significativo l’insieme dei valori a cui si riferisce. Per esempio, assegnati i valori:

38

24

8

13211312113,2,1,1,3,1,2,1)

68

48

8

101099233210,10,9,9,2,3,3,2)

68

48

8

675567656,7,6,5,6,7,6,5)

Mc

Mb

Ma

È opportuno allora definire altri valori medi che non siano frutto di calcolo matematico, ma che siano individuati in base alla loro posizione nella sequenza dei valori osservati.Tali medie si dicono medie di posizione le più utilizzate sono:

•La moda

•La mediana

La MODA

Moda di un fenomeno è la modalità con frequenza più elevata.

Mo = 6

Voto (modalità)

Allievi (frequenza)

4 3

5 5

6 8

7 5

8 3

La MEDIANA

Mediana: è il valore divisorio in quanto bipartisce la successione dei dati in due gruppi ugualmente numerosi; è il valore che taglia in due parti uguali la distribuzione dei dati ordinati, cioè il termine preceduto e seguito dallo stesso numero di dati.

Mediana Me di n valori ordinati in modo non decrescente è:

12

e2

di semisomma la usa si e

12

e 2

mediani valoridue abbiamo

2

1ncentraleposizionelaoccupachetermineilèse

nn

nnpariènse

disparin

Esempio: dati i valori ordinati:

1, 2, 2, 3, 4, 5, 6 Me = 3

i valori sono 7 la mediana è il termine che occupa il 4° posto (7+1)/2=4

Avendo a disposizione la distribuzione di frequenza (Frequenze cumulate) la mediana corrisponde al valore con frequenza del 50%, cioè quel valore che ha il 50% dei casi prima e il 50% dopo. Dalla tabella Me = 6

Voti 1^ AAllievi

(frequenza)Frequenza

relativaFrequenza relativa %

Frequenza cumulata

4 2 0,09 9 95 4 0,18 18 276 8 0,36 36 647 5 0,23 23 868 3 0,14 14 100

Totale 22 1 100

Asimmetria - simmetria

I Quartili

Il concetto di mediana si può facilmente generalizzare ottenendo altri valori divisori fra i quali i più usati sono i quartili. Tali indici di posizione si fondano sempre sul concetto di divisione della distribuzione.

I Quartili dividono la serie ordinata in quattro parti contenendo ciascuna lo stesso numero di dati.

x1 Q1 Q2= Me Q3 Q4 = xn

Punteggio FrequenzaFrequ.

relativa %Frequ.

Cumulata

0 1 4,2% 4,2%

2 2 8,3% 12,5%

4 1 4,2% 16,7%

5 1 4,2% 20,8%

7 1 4,2% 25,0% = Q1

9 1 4,2% 29,2%

10 1 4,2% 33,3%

11 1 4,2% 37,5%

12 2 8,3% 45,8%

13 1 4,2% 50,0% =Q2

14 1 4,2% 54,2%

16 1 4,2% 58,3%

19 1 4,2% 62,5%

21 4 16,7% 79,2% =Q3

22 1 4,2% 83,3%

24 1 4,2% 87,5%

25 1 4,2% 91,7%

26 1 4,2% 95,8%

29 1 4,2% 100,0% =Q4

Primo quartile: si trova esattamente sul valore 7, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 25,0%Secondo quartile: si trova esattamente sul valore 13, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 50,0%. Coincide sempre con la medianaTerzo quartile: si trova all’incirca sul valore 21, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 79,2% (75,0%)Quarto quartile: si trova sempre sull’ultimo valore, in questo caso è 29, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 100%

La variabilitàIl calcolo della media ci permette di sintetizzare una quantità di dati, ma dall’altro riduce l’informazione racchiudendo tanti valori in un solo ‘dato’, rende simili situazioni che proprio simili non sono.

1 ̂prova 2 ̂prova 3 ̂prova 4 ̂prova 5 ̂prova MEDIA

Allievo 1 3 4 5 9 9 6

Allievo 2 6 6 6 6 6 6

Allievo 3 2 4 7 8 9 6

Per ridurre la perdita di informazioni, si ricorre allo studio della variabilità del fenomeno.

Variabilità è la tendenza di un fenomeno ad assumere modalità diverse fra loro.La variabilità può essere rappresentata graficamente mediante il diagramma di dispersione.

Diagramma di dispersione

23456789

0 1 2 3 4 5

Prove

Allievo 1

Allievo 2

Allievo 3

Indici statistici di variabilità

• Campo di variazione o range R

• Varianza

• Scarto quadratico medio

• ….Permettono di valutare le disuguaglianze dei dati

rilevati in relazione al loro scostamento o dispersione da una media.

Campo di variazione o range R di un insieme di valori osservati è la differenza fra il valore massimo e il valore minimo:

R= x max - x min

Attenzione tale indice presenta due grossi difetti:1) dipende esclusivamente dai valori massimo e minimo registrati, senza considerare i valori intermedi;2) su di esso influisce pesantemente la presenza anche di un solo valore anomalo.

1211313,2,1,1,3,1,2,1)

821010,10,9,9,2,3,3,2)

2576,7,6,5,6,7,6,5)

Rc

Rb

Ra

Altri indici di variabilità, più raffinati, si possono trovare utilizzando un altro criterio,cioè la variabilità rispetto a un centro che può essere la media.

La varianzaLa varianza è la media aritmetica degli scarti dalla media al quadrato, 2 (sigma quadrato).

8

5

22

692

652

642

632:allievo 1 Es.

... 222

212

n

MxMxMx n

1 ̂prova 2 ̂prova 3 ̂prova 4 ̂prova 5 ̂prova MEDIA Varianza

Allievo 1 3 4 5 9 9 6 8

Allievo 2 6 6 6 6 6 6 0

Allievo 3 2 4 7 8 9 6 8,5

Scarto quadratico medioLo scarto quadratico medio (sqm) o deviazione standard è la radice quadrata (positiva) della varianza.

n

MxMxMx n22

22

12 ...

1^ prova 2^ prova 3^ prova 4^ prova 5^ prova MEDIA Varianzasqm o

Deviazione standard

Allievo 1 3 4 5 9 9 6 8 2,83

Allievo 2 6 6 6 6 6 6 0 0,00

Allievo 3 2 4 7 8 9 6 8,5 2,92

NormalizzazioneLa normalizzazione è un’operazione statistica che permette di mettere a confronto distribuzioni diverse.

Avendo due prove il cui punteggio grezzo massimo raggiungibile dagli studenti è diverso, 30 nella prima prova e 45 nella seconda prova, non permette di confrontare i risultati ottenuti. Per superare questo inconveniente ricorro alla normalizzazione. Essa si basa su una proporzione:

(Punti studente) : (p.ti totali) = (P.ti studente normalizzati) : 100

AllieviPunti 1 ̂

provaPunti 1 ̂

provaP.ti 1 ̂p

normalizzatiP.ti 2 ̂p

normalizzati

A1 25 40 83,3 88,9

A2 15 43 50,0 95,6

A3 28 38 93,3 84,4

A4 19 33 63,3 73,3

A5 22 31 73,3 68,9

A6 30 20 100,0 44,4

A7 27 26 90,0 57,8

A8 18 45 60,0 100,0

Per A1 1^p 25 : 30 = x : 100 x = 25/30*100 = 83,3

2^p 40 : 45 = x : 100 x = 40/45*100 = 88,9

Normalizzazione

Come leggere i risultatiNella tabella sono riportati i dati relativi alla media, alla deviazione standard, al valore minimo e massimo, alla mediana e alla moda. Vediamo come leggere questi dati aiutandoci con le definizioni di tali valori statistici ed un esempio di risultati ottenuti da una scuola. I punteggi sono normalizzati a 100: la scala di riferimento ha come valore minimo 0 (le risposte a tutti i quesiti della prova sono errate) e come valore massimo 100 (le risposte a tutti i quesiti della prova sono corrette).

MediaDev.

standardMin. Max. Moda Mediana

scuola 59,3 16,9 20,0 98,2 73,3 61,3

Media (o punteggio medio)È la somma dei punteggi ottenuti dagli studenti diviso il numero totale degli stessi. Una media elevata indica la presenza nella scuola di elevate competenze, al contrario una media bassa indica la presenza di scarse competenze nella scuola. Nell'esempio la Media (o punteggio medio) è 59,3;ModaÈ il punteggio ottenuto più frequentemente dagli studenti, nell'esempio la scuola ha ottenuto come valore modale 73,3. Ovvero tra tutti i punteggi possibili tra 0 e 100, tale punteggio è quello ottenuto da più studenti.MedianaÈ il punteggio in corrispondenza del quale gli studenti vengono esattamente divisi in due parti uguali. Nell'esempio la mediana corrisponde a 61,3 e indica che il 50% degli studenti ha ottenuto un punteggio inferiore a 61,3% e che il restante 50% ha ottenuto un punteggio superiore al 61,3;

Minimo E' il punteggio più basso ottenuto dagli studenti. Nell'esempio il punteggio minimo è 20,0;MassimoE' il punteggio più alto ottenuto dagli studenti. Nell'esempio il punteggio massimo è 98,2;Deviazione standardÈ una misura della dispersione del punteggio intorno al punteggio medio. Un basso valore della deviazione standard indica che i punteggi sono concentrati intorno alla media e che le competenze degli studenti sono omogenee; al contrario una deviazione standard alta indica che le competenze degli studenti sono disomogenee. Nel nostro esempio, aggiungendo e sottraendo al punteggio medio (59,3) la deviazione standard (16,9) si ottiene un intervallo (42,4 - 76,2) in cui si trova il 68% degli studenti. Analogamente aggiungendo e sottraendo 2 volte la deviazione standard si ottiene un intervallo (25,5 - 93,1) in cui si trova il 95% degli studenti.

MediaDev.

standardMin. Max. Moda Mediana

scuola 59,3 16,9 20,0 98,2 73,3 61,3

Scuola Prova di ItalianoProva di

MatematicaProva di Scienze

mediadeviazione

standardmedia deviazione

standardmedia deviazione

standard

Scuola XX 53.3 12.056.1 14.3 60.3 12.8

Veneto 51.5 13.8 50.5 17.9 58.6 13.5Nord-Est 53.4 13.8 53.1 17.7 56.3 14.8

Come si può notare, i risultati ottenuti dagli studenti della Scuola XX sono decisamente migliori rispetto alle medie del Veneto e del Nord-Est, sia nei valori medi che nella omogeneità della preparazione.

… ancora sui quartiliDalla distribuzione dei punteggi si sono trovati i seguenti percentili notevoli (i 4 quartili):

x25 = 37 x50 = 51 x75 = 62 x90 = 74

51,5 27,9 16,2 4,4 -

% Stud. 1° Percentile 25% Punteggi <= 37

% Stud. 2° Percentile 25% Punteggi > 37 e

<= 51

% Stud. 3° Percentile 25% Punteggi > 51 e

<= 62

% Stud. 4° Percentile 25% Punteggi > 62

% Stud. Nel Top Punteggi

>= 74

Allora il 51,5% degli studenti ha ottenuto un punteggio inferiore al 25-esimo percentile (37) , il 27,9% un punteggio compreso tra il 25-esimo e il 50-esimo percentile (tra37-51) ...

Confronto con il campione nazionale

Nel confronto tra i dati della scuola e quelli del campione nazionale si dovrà tener conto dell’errore di campionamento.

Esempio: se la scuola ha M = 80 e la media del campione è Mc = 70 con un errore di 10, il dato della scuola non si discosta significativamente dal dato del camipone

80 70 10