PROGETTOPROGETTODIGI SCUOLADIGI SCUOLA

PUNTI NOTEVOLI PUNTI NOTEVOLI DI UNDI UNTRIANGOLOTRIANGOLO

Progetto a cura del gruppo di matematica dell’ITISProgetto a cura del gruppo di matematica dell’ITIS

“G. Ferraris” di Acireale “G. Ferraris” di AcirealeRosanna Costarelli, Rita Maria Musmeci, Maria Ausilia Rosanna Costarelli, Rita Maria Musmeci, Maria Ausilia

SapuppoSapuppo

““Punti notevoli di un Punti notevoli di un triangolo”triangolo”

INTRODUZIONE

FASI

STRUMENTI

PREREQUISITI

OBIETTIVI GENERALI

INTRODUZIONEINTRODUZIONE

Il progetto è rivolto a una seconda classe di un istituto Il progetto è rivolto a una seconda classe di un istituto tecnico tecnico

industriale.industriale.Gli alunni mostrano atteggiamenti differenti nei confronti Gli alunni mostrano atteggiamenti differenti nei confronti

delladellamatematica in generale e della geometria in particolare ematematica in generale e della geometria in particolare ecomunque tutti la ritengono una materia difficile.comunque tutti la ritengono una materia difficile.Abbiamo pensato di scegliere questo argomento di Abbiamo pensato di scegliere questo argomento di

geometriageometriaperché riteniamo che la dinamicità del software CABRI II perché riteniamo che la dinamicità del software CABRI II

possa possa aiutare gli alunni con maggiori difficoltà a “pensare” allaaiutare gli alunni con maggiori difficoltà a “pensare” allageometria in modo differente.geometria in modo differente.

OBIETTIVI GENERALIOBIETTIVI GENERALI

Conoscere i concetti di assi, altezze, mediane e Conoscere i concetti di assi, altezze, mediane e bisettrici di un triangolo.bisettrici di un triangolo.

Conoscere i concetti di circocentro, ortocentro, Conoscere i concetti di circocentro, ortocentro, baricentro e incentro.baricentro e incentro.

Utilizzare i concetti di asse e bisettrice come Utilizzare i concetti di asse e bisettrice come esempi di luogo geometricoesempi di luogo geometrico

Osservare le reciproche posizioni dei punti Osservare le reciproche posizioni dei punti notevoli relativamente alla natura del triangolonotevoli relativamente alla natura del triangolo

Essere capace di Essere capace di lavorare in gruppolavorare in gruppo Essere capace di usare consapevolmente un Essere capace di usare consapevolmente un

softwaresoftware

Lavorare in gruppo

                   

Perché un gruppo di lavoro possa evolversi e maturare nel tempo ed avere una maggiore collaborazione tra i suoi membri è necessario che si passi dalla semplice interazione ad una vera e propria integrazione. La realizzazione concreta della collaborazione all'interno del gruppo, è poi facilitata dal meccanismo di negoziazione, che permette il confronto e il passaggio dal punto di vista dei singoli individui ad un punto di vista comune e condiviso per realizzare al meglio gli obiettivi previsti.

Dal Lavoro di gruppo Lavoro di gruppo al Gruppo di lavoro Gruppo di lavoro

Un gruppo di lavoro è costituito da un insieme di individui che Un gruppo di lavoro è costituito da un insieme di individui che interagiscono tra loro con una certa regolarità, nella consapevolezza di interagiscono tra loro con una certa regolarità, nella consapevolezza di dipendere l’uno dall’altro e di condividere gli stessi obiettivi e gli dipendere l’uno dall’altro e di condividere gli stessi obiettivi e gli stessi compiti. stessi compiti.

I ragazzi lavorano in I ragazzi lavorano in gruppogruppo

PREREQUISITIPREREQUISITI

Segmenti e proprietà.Segmenti e proprietà.

Angoli e proprietà.Angoli e proprietà.

Il triangolo e le sue proprietàIl triangolo e le sue proprietà

PerpendicolaritàPerpendicolaritàLuoghi geometriciLuoghi geometrici

CirconferenzaCirconferenza

Poligoni inscritti e circoscrittiPoligoni inscritti e circoscritti

Classificazione dei triangoliClassificazione dei triangoli

Luoghi geometrici Luoghi geometrici Si definisce luogo geometrico un insieme di

punti che godono tutti della stessa proprietà

Esempi di luoghi geometrici sono:

-I punti della linea centrale dello spartitraffico

-I cerchi delle botti

Le botti di rovere della Torrepalino

Lo spartitraffico della ss. 114 zona S. Caterina

STRUMENTISTRUMENTI

Utilizzo del software Utilizzo del software CABRI IICABRI II

FASE OPERATIVA

1° FASE 2° 2° FASE 3° FASE

1° FASE1° FASE

CostruzioneCostruzione di un triangolo a partire di un triangolo a partire da tre segmentida tre segmenti

2° FASE: Tracciare i 2° FASE: Tracciare i segmenti notevoli segmenti notevoli

Altezze. Altezze. Punto d’incontroPunto d’incontro. . Analisi dei casi particolariAnalisi dei casi particolari

Mediane. Mediane. Punto d’incontroPunto d’incontro. . ProprietàProprietà Bisettrici. Bisettrici. Punto d’incontroPunto d’incontro. Bisettrice . Bisettrice

vista come luogo geometrico. vista come luogo geometrico. Centro della circonferenza inscritta.Centro della circonferenza inscritta.

Assi. Assi. Punto d’incontroPunto d’incontro. . Centro della circonferenza circoscrittaCentro della circonferenza circoscritta. Asse come luogo di punti. . Asse come luogo di punti.

3° FASE3° FASE

Studio delle Studio delle reciproche posizioni reciproche posizioni dei dei punti notevoli in relazione alla punti notevoli in relazione alla natura del triangolo.natura del triangolo.

COSTRUZIONE DI UN TRIANGOLO DATI TRE LATICOSTRUZIONE DI UN TRIANGOLO DATI TRE LATI(macro n. 1)(macro n. 1)

Disegna due punti M, N, quindi il segmento MN, esso sarà il primo dei tre segmenti Disegna due punti M, N, quindi il segmento MN, esso sarà il primo dei tre segmenti assegnati.assegnati.

Disegna due punti P, Q, quindi il segmento PQ, esso sarà il secondo dei tre segmenti Disegna due punti P, Q, quindi il segmento PQ, esso sarà il secondo dei tre segmenti assegnati.assegnati.

Disegna due punti R, S, quindi il segmento RS, esso sarà il terzo dei tre segmenti assegnati.Disegna due punti R, S, quindi il segmento RS, esso sarà il terzo dei tre segmenti assegnati. Dovremo costruire il triangolo ABC, i cui lati siano congruenti ai segmenti assegnati.Dovremo costruire il triangolo ABC, i cui lati siano congruenti ai segmenti assegnati. Disegna un punto A , esso sarà un vertice del triangolo.Disegna un punto A , esso sarà un vertice del triangolo. Usando il compasso traccia la circonferenza di centro A e raggio MN, prendi su di essa un Usando il compasso traccia la circonferenza di centro A e raggio MN, prendi su di essa un

punto e chiamalo B.punto e chiamalo B. Usando il compasso traccia la circonferenza di centro A e raggio PQ, poi traccia la Usando il compasso traccia la circonferenza di centro A e raggio PQ, poi traccia la

circonferenza di centro B e raggio RS, chiama con C uno dei due punti di intersezione di tali circonferenza di centro B e raggio RS, chiama con C uno dei due punti di intersezione di tali circonferenze. circonferenze.

Indica le circonferenze con il tratteggio.Indica le circonferenze con il tratteggio. Colora in azzurro i punti A, B, C.Colora in azzurro i punti A, B, C. Traccia il triangolo ABC e coloralo in rosso.Traccia il triangolo ABC e coloralo in rosso. Se vuoi verificare puoi calcolare le misure dei segmenti, dei lati del triangolo.Se vuoi verificare puoi calcolare le misure dei segmenti, dei lati del triangolo. REGISTRAZIONE DELLA MACROREGISTRAZIONE DELLA MACRO OGGETTI INIZIALIOGGETTI INIZIALI I punti M e N, P e Q, R e S, A .I punti M e N, P e Q, R e S, A . OGGETTI FINALIOGGETTI FINALI Il triangolo ABCIl triangolo ABC MESSAGGIO DI AIUTOMESSAGGIO DI AIUTO Costruisce il triangolo dati tre segmenti.Costruisce il triangolo dati tre segmenti. I tre segmenti devono soddisfare le proprietà triangolari.I tre segmenti devono soddisfare le proprietà triangolari. Seleziona gli estremi dei tre segmenti dati .Seleziona gli estremi dei tre segmenti dati . Seleziona un punto che sarà un vertice del nuovo triangolo.Seleziona un punto che sarà un vertice del nuovo triangolo.

COSTRUZIONE DELL’ORTOCENTROCOSTRUZIONE DELL’ORTOCENTRO (MACRO N.3) (MACRO N.3)

Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1.Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1. Traccia le altezze relative a due lati del triangolo, e indica con “O Traccia le altezze relative a due lati del triangolo, e indica con “O

ortocentroortocentro” ” il loro punto di intersezione.il loro punto di intersezione. Usando il comando ATTRIBUTI segna O con la crocetta e coloralo in Usando il comando ATTRIBUTI segna O con la crocetta e coloralo in

fucsia.fucsia. NASCONDI le due altezze.NASCONDI le due altezze.

REGISTRAZIONE DELLA MACROREGISTRAZIONE DELLA MACRO

OGGETTI INIZIALIOGGETTI INIZIALI I vertici A,B,CI vertici A,B,C OGGETTI FINALIOGGETTI FINALI Il punto OIl punto O MESSAGGIO DI AIUTOMESSAGGIO DI AIUTO

Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole: Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole: Ortocentro.Ortocentro.

ANALISI CASI PARTICOLARIANALISI CASI PARTICOLARI

Costruisci in verde le due rette che contengono le due Costruisci in verde le due rette che contengono le due altezze, indica con O il altezze, indica con O il

loro punto d’incontro Costruisci adesso la terza altezza. loro punto d’incontro Costruisci adesso la terza altezza. Cosa noti?Cosa noti?

…………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………

Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? Quando si verifica tale circostanza ? (E’ conveniente Quando si verifica tale circostanza ? (E’ conveniente misurare gli angoli per vedere di che tipo di misurare gli angoli per vedere di che tipo di

triangolo si tratta e fissare tali misure.) triangolo si tratta e fissare tali misure.) …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ..…………………………………………………………………………....………………………………………………………………………….. E se il triangolo fosse rettangolo?E se il triangolo fosse rettangolo?

COSTRUZIONE DEL BARICENTROCOSTRUZIONE DEL BARICENTRO (macro n. 2)(macro n. 2)

Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1.Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1. Segna i punti medi di due dei suoi lati, traccia le due mediane, e indica Segna i punti medi di due dei suoi lati, traccia le due mediane, e indica

con “G con “G baricentro baricentro” il loro punto di intersezione.” il loro punto di intersezione. Usando il comando ATTRIBUTI segna G con il punto più grande e coloralo Usando il comando ATTRIBUTI segna G con il punto più grande e coloralo

inin verde.verde. NASCONDI le due mediane e i punti medi.NASCONDI le due mediane e i punti medi. REGISTRAZIONE DELLA MACROREGISTRAZIONE DELLA MACRO

OGGETTI INIZIALIOGGETTI INIZIALI I vertici A,B,CI vertici A,B,C

OGGETTI FINALIOGGETTI FINALI Il punto GIl punto G

MESSAGGIO DI AIUTOMESSAGGIO DI AIUTO Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole : Baricentro.Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole : Baricentro.

PROPRIETA’PROPRIETA’IL BARICENTRO DIVIDE CIASCUNA MEDIANA IN DUE PARTI DELLEIL BARICENTRO DIVIDE CIASCUNA MEDIANA IN DUE PARTI DELLEQUALI QUELLA CHE HA UN ESTREMO NEL VERTICE È DOPPIA DELL’ALTRA.QUALI QUELLA CHE HA UN ESTREMO NEL VERTICE È DOPPIA DELL’ALTRA.

Costruisci un triangolo ABCCostruisci un triangolo ABC Costruisci in rosso due mediane e indica con G il loro punto d’incontro. Costruisci Costruisci in rosso due mediane e indica con G il loro punto d’incontro. Costruisci

adesso la terza mediana. Cosa noti? adesso la terza mediana. Cosa noti? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Calcola le misure dei sei segmenti in cui tali mediane sono divise dal punto G e Calcola le misure dei sei segmenti in cui tali mediane sono divise dal punto G e successivamente fai variare il triangolo. In che rapporto si trovano le due parti di successivamente fai variare il triangolo. In che rapporto si trovano le due parti di una stessa mediana?una stessa mediana?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………................................................................................................................................................................................................................................................................................................

IL TRIANGOLO MEDIANOIL TRIANGOLO MEDIANO Considera adesso il triangolo mediano che ha per vertici i punti medi del triangolo Considera adesso il triangolo mediano che ha per vertici i punti medi del triangolo

dato e determina come prima il baricentro di questo nuovo triangolo . Cosa noti? dato e determina come prima il baricentro di questo nuovo triangolo . Cosa noti?

COSTRUZIONE DELL’INCENTRO COSTRUZIONE DELL’INCENTRO ( macro n.4)( macro n.4)

Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1.Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1. Traccia le bisettrici di due angoli del triangolo.Traccia le bisettrici di due angoli del triangolo. Attenzione: se vuoi usare questa costruzione per progettare una MACRO, è Attenzione: se vuoi usare questa costruzione per progettare una MACRO, è

necessario nel necessario nel costruire le bisettrici indicare gli angoli non con tre punti qualsiasi ma con i costruire le bisettrici indicare gli angoli non con tre punti qualsiasi ma con i

punti A,B,C.punti A,B,C. Indica con “I Indica con “I incentroincentro” il punto di intersezione delle due bisettrici.” il punto di intersezione delle due bisettrici. Usando il comando ATTRIBUTI segna I con il cerchietto e coloralo in blu.Usando il comando ATTRIBUTI segna I con il cerchietto e coloralo in blu. NASCONDI le due bisettrici.NASCONDI le due bisettrici.

REGISTRAZIONE DELLA MACROREGISTRAZIONE DELLA MACRO

OGGETTI INIZIALIOGGETTI INIZIALI I vertici A,B,CI vertici A,B,C

OGGETTI FINALIOGGETTI FINALI Il punto I.Il punto I.

MESSAGGIO DI AIUTOMESSAGGIO DI AIUTO Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole : Incentro.Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole : Incentro.

PROPRIETA’PROPRIETA’

Disegna un triangolo scaleno ABC, traccia con lo Disegna un triangolo scaleno ABC, traccia con lo strumento BISETTRICE le rette e colora in blu le due strumento BISETTRICE le rette e colora in blu le due semirette bisettrici degli angoli, indica con semirette bisettrici degli angoli, indica con II il loro punto il loro punto d’incontro.d’incontro.

Costruisci adesso la terza bisettrice. Cosa noti? Costruisci adesso la terza bisettrice. Cosa noti? ……………………………………………………………… ……………………………………………………………….…….…….…….…… Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? ..………………………………………………………….…........………..………………………………………………………….…........……… Traccia le distanze dall’incentro ai lati del triangolo. Traccia le distanze dall’incentro ai lati del triangolo.

Misura tali distanze. Cosa osservi?Misura tali distanze. Cosa osservi? ………………………………………………… …………………………………………………..……………..………...……………..………. Queste tre distanze rappresentano ……………………………… Queste tre distanze rappresentano ………………………………

e l’incentroe l’incentro rappresenta il ……….. della circonferenza inscritta.rappresenta il ……….. della circonferenza inscritta.

LA BISETTRICE DI UN ANGOLO INTERNO DI UN TRIANGOLO LA BISETTRICE DI UN ANGOLO INTERNO DI UN TRIANGOLO DIVIDE IL LATO OPPOSTO IN PARTI PROPORZIONALI AGLI ALTRI DIVIDE IL LATO OPPOSTO IN PARTI PROPORZIONALI AGLI ALTRI DUE LATIDUE LATI Traccia il triangolo di vertici A,B,C. Traccia la bisettrice di vertice B e Traccia il triangolo di vertici A,B,C. Traccia la bisettrice di vertice B e

chiama con D il punto di intersezione con il lato AC.chiama con D il punto di intersezione con il lato AC. Ipotesi Ipotesi

TesiTesi

Dal punto C traccia la parallela a BD, la quale incontra il prolungamento Dal punto C traccia la parallela a BD, la quale incontra il prolungamento del lato AB nel punto Edel lato AB nel punto E

Consideriamo gli angoli , essi sono congruenti Consideriamo gli angoli , essi sono congruenti perché angoli ………………………………………… rispetto alle parallele BD perché angoli ………………………………………… rispetto alle parallele BD e …………….., tagliate dalla trasversale ………………e …………….., tagliate dalla trasversale ………………

Consideriamo gli angoli ………………………………… , essi sono Consideriamo gli angoli ………………………………… , essi sono congruenti perchècongruenti perchè

………………………………………………………………………………………………………………. rispetto alle parallele BD e EC . rispetto alle parallele BD e EC tagliate dalla ………………………. AEtagliate dalla ………………………. AE

Quindi il triangolo BEC è isoscele di base ……………………… perché Quindi il triangolo BEC è isoscele di base ……………………… perché ……………………………………

Consideriamo le rette BD, EC e la loro parallela per A. Per il teorema di Consideriamo le rette BD, EC e la loro parallela per A. Per il teorema di Talete si haTalete si ha

CBDDBA ˆˆ

BC

AB

DC

AD

BCEeCBD ˆˆ

CEBeDBA ˆˆ

.......................ˆ ECB

......

AB

BE

AB

DC

AD

Raggio della circonferenza Raggio della circonferenza inscritta in un triangoloinscritta in un triangolo

La misura del raggio della circonferenza La misura del raggio della circonferenza inscritta in un triangolo si ottiene dal inscritta in un triangolo si ottiene dal rapporto tra l’area del triangolo e la misura rapporto tra l’area del triangolo e la misura del semiperimetrodel semiperimetro

Scheda di lavoro:Scheda di lavoro: Disegna con Cabri il triangolo di vertici A,B,CDisegna con Cabri il triangolo di vertici A,B,C Determina l’incentro. Traccia la distanza IF Determina l’incentro. Traccia la distanza IF

dell’incentro da un lato del triangolo, questa dell’incentro da un lato del triangolo, questa distanza rappresenta ………………………distanza rappresenta ………………………

della circonferenza inscritta. Traccia quindi della circonferenza inscritta. Traccia quindi la circonferenza di centro I e raggio IFla circonferenza di centro I e raggio IF

Unisci il punto I con i tre vertici del triangolo. Il Unisci il punto I con i tre vertici del triangolo. Il

triangolo ABC viene suddiviso nei …………… triangolo ABC viene suddiviso nei ……………

IAC, IAB, IBC. IAC, IAB, IBC.

L’area di ABC : SL’area di ABC : SABCABC=………+………….+ ……..=………+………….+ ……..

Tracciamo ora le altezze IF, IE,ID dei tre Tracciamo ora le altezze IF, IE,ID dei tre triangoli: triangoli:

esse rappresentano i ………………. della esse rappresentano i ………………. della

circonferenza inscrittacirconferenza inscritta

L’area SL’area SABCABC=AC*IF/2+…………. +………..==AC*IF/2+…………. +………..=

R*(AB+AC+BC)/2 = r*p (p è il R*(AB+AC+BC)/2 = r*p (p è il semiperimetro)semiperimetro)

Da cui r=SDa cui r=SABCABC/p/p

COSTRUZIONE DEL CIRCOCENTROCOSTRUZIONE DEL CIRCOCENTRO (MACRO N. 5) (MACRO N. 5)

Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1.Disegna un triangolo ABC utilizzando la macro n.1. Traccia gli assi relativi a due lati del triangolo, e indica con “O’Traccia gli assi relativi a due lati del triangolo, e indica con “O’

circocentrocircocentro” il ” il loro punto di intersezione.loro punto di intersezione. Usando il comando ATTRIBUTI segna Usando il comando ATTRIBUTI segna O’O’ con il cerchietto e coloralo in con il cerchietto e coloralo in

azzurro.azzurro. NASCONDI i due assi.NASCONDI i due assi.

REGISTRAZIONE DELLA MACROREGISTRAZIONE DELLA MACRO

OGGETTI INIZIALIOGGETTI INIZIALI I vertici A,B,CI vertici A,B,C

OGGETTI FINALIOGGETTI FINALI Il punto O’Il punto O’

MESSAGGIO DI AIUTOMESSAGGIO DI AIUTO Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole: Seleziona i vertici di un triangolo, apparirà il punto notevole:

Circocentro.Circocentro.

PROPRIETA’PROPRIETA’

Costruisci in Costruisci in lillalilla due assi dei lati del triangolo indica con due assi dei lati del triangolo indica con O’O’ il il loro punto d’incontro.loro punto d’incontro.

Costruisci adesso il terzo asse. Cosa noti? Costruisci adesso il terzo asse. Cosa noti? ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………….……….……… Traccia la distanza dal circocentro ai vertici del triangolo. Misura Traccia la distanza dal circocentro ai vertici del triangolo. Misura

tali distanze. Cosa tali distanze. Cosa osservi? osservi? …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Queste tre distanze rappresentano …………………………………e il Queste tre distanze rappresentano …………………………………e il

circocentrocircocentro rappresenta il ……….. della circonferenza circoscritta.rappresenta il ……….. della circonferenza circoscritta.

Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? Prova a muovere un vertice del triangolo. Cosa accade? Quando si verifica tale circostanza ? Quando si verifica tale circostanza ? ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………

Studio delle reciproche posizioni dei punti Studio delle reciproche posizioni dei punti notevoli in relazione alla natura del triangolo.notevoli in relazione alla natura del triangolo.

Considera un triangolo di natura qualsiasi e attraverso le Considera un triangolo di natura qualsiasi e attraverso le macro n. 2 , 3, 4 e 5 costruisci i quattro punti notevoli. macro n. 2 , 3, 4 e 5 costruisci i quattro punti notevoli.

Calcola le lunghezze dei lati del triangolo, fissa ai lati tali Calcola le lunghezze dei lati del triangolo, fissa ai lati tali misure e modificalo in modo da renderlo equilatero. Cosa misure e modificalo in modo da renderlo equilatero. Cosa accade per O, I, G e O’ ?accade per O, I, G e O’ ?

……………………………………………… ……………………………………………… E se il triangolo fosse isoscele?E se il triangolo fosse isoscele? E se il triangolo fosse rettangolo?E se il triangolo fosse rettangolo? E se il triangolo fosse ottusangolo?E se il triangolo fosse ottusangolo? RIFLETTIRIFLETTI Dei quattro punti notevoli ce ne sono tre sempre allineati? Dei quattro punti notevoli ce ne sono tre sempre allineati?

(Puoi vederlo tracciando la retta che unisce due di (Puoi vederlo tracciando la retta che unisce due di essi).Questa retta associata intrinsecamente a ogni essi).Questa retta associata intrinsecamente a ogni triangolo, si chiama retta di Eulero, dal nome del famoso triangolo, si chiama retta di Eulero, dal nome del famoso matematico del ‘700 Leonhard Euler.matematico del ‘700 Leonhard Euler.

Adesso osserva ………Adesso osserva ………

Prova a condurre dai vertici A, B e Prova a condurre dai vertici A, B e C le parallele ai rispettivi lati C le parallele ai rispettivi lati opposti. Si determinerà un triangolo. opposti. Si determinerà un triangolo. Traccia gli assi dei lati del nuovo Traccia gli assi dei lati del nuovo triangolo. Cosa noti?triangolo. Cosa noti?

TeoremaTeorema di Cevadi Ceva

Dato un triangolo qualsiasi di vertici A, B e C e i Dato un triangolo qualsiasi di vertici A, B e C e i punti D, E e F rispettivamente sui tre lati BC, AB punti D, E e F rispettivamente sui tre lati BC, AB e AC, la condizione affinchè le tre rette AD, BF e e AC, la condizione affinchè le tre rette AD, BF e CE si incontrino in un punto è che valga la CE si incontrino in un punto è che valga la relazionerelazione

questo teorema contiene come casi particolari i questo teorema contiene come casi particolari i teoremi sull’esistenza del baricentro, teoremi sull’esistenza del baricentro, dell’ortocentro, dell’incentro e del circocentro.dell’ortocentro, dell’incentro e del circocentro.

Esso fu scoperto dall’italiano Giovanni Ceva nel Esso fu scoperto dall’italiano Giovanni Ceva nel 16781678

1FA

CF

DC

BD

EB

AE

Circonferenza di Circonferenza di FeuerbachFeuerbach

Dato un triangolo qualsiasi ABC, la Dato un triangolo qualsiasi ABC, la circonferenza che passa per i piedi D,E e circonferenza che passa per i piedi D,E e F delle tre altezze passa anche per i punti F delle tre altezze passa anche per i punti medi L, M e N dei tre lati e per i punti medi L, M e N dei tre lati e per i punti medi X,Y e Z dei segmenti che medi X,Y e Z dei segmenti che congiungono i vertici con l’ortocentro H.congiungono i vertici con l’ortocentro H.

Essa è detta circonferenza di Feuerbach o Essa è detta circonferenza di Feuerbach o dei nove punti,dei nove punti,

dal nome di Karl W. Feuerbach che la dal nome di Karl W. Feuerbach che la scoprì nel 1822.scoprì nel 1822.

CURIOSITA’CURIOSITA’

Circocentro, incentro e qualche altro punto erano Circocentro, incentro e qualche altro punto erano noti sinnoti sin

dai tempi classici. In seguito i matematici ne hannodai tempi classici. In seguito i matematici ne hannoindividuati numerosi altri, con curiosità, passione, individuati numerosi altri, con curiosità, passione, testardaggine….. Al punto che è sorta una specietestardaggine….. Al punto che è sorta una speciedi “caccia al punto notevole”. Oggi, ci si può rendere di “caccia al punto notevole”. Oggi, ci si può rendere conto dello stato dell’arte in questo settore conto dello stato dell’arte in questo settore

consultandoconsultandohttp:/faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/http:/faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/

dove si trova addirittura una Enciclopedia dei dove si trova addirittura una Enciclopedia dei punti notevoli, punti notevoli,

curata dal matematico Clark Kimberling.curata dal matematico Clark Kimberling.

Punti notevoli di un Punti notevoli di un triangolo:triangolo:

OrtocentroOrtocentro BaricentroBaricentro CircocentroCircocentro IncentroIncentro

OrtocentroOrtocentro L’ortocentro è il punto di L’ortocentro è il punto di

intersezione delle tre intersezione delle tre altezzealtezze di un di un triangolotriangolo

B

Altezza relativa al lato di un Altezza relativa al lato di un triangolotriangolo

L’altezza relativa al lato di un triangolo è L’altezza relativa al lato di un triangolo è il segmento di perpendicolare condotto il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato oppostoda un vertice al lato opposto

BaricentroBaricentro

Il baricentro è il punto di intersezione Il baricentro è il punto di intersezione delle tre delle tre medianemediane del triangolo del triangolo

MedianaMediana

La mediana è il segmento che La mediana è il segmento che congiunge un vertice di un triangolo congiunge un vertice di un triangolo col punto medio del lato oppostocol punto medio del lato opposto

Definizione di CircocentroDefinizione di Circocentro

Il Il circocentrocircocentro è l’intersezione degli è l’intersezione degli assiassi dei tre lati del triangolo. dei tre lati del triangolo.

E’ così detto perché coincide col E’ così detto perché coincide col centro della circonferenza circoscrittcentro della circonferenza circoscritta al triangoloa al triangolo

CircocentroCircocentro

Asse di un segmentoAsse di un segmento L’asse di un segmento è la retta L’asse di un segmento è la retta

perpendicolare condotta al segmento perpendicolare condotta al segmento stesso nel suo punto medio. Ha la stesso nel suo punto medio. Ha la caratteristica che tutti i suoi punti caratteristica che tutti i suoi punti sono equidistanti dagli estremi del sono equidistanti dagli estremi del segmentosegmento

CD è l’asse di ABCD è l’asse di AB

AC=CBAC=CBAD=DBAD=DB

Centro della circonferenza Centro della circonferenza circoscritta al triangolocircoscritta al triangolo

AO=OB=OC perché raggi

Circonferenza circoscritta Circonferenza circoscritta ad un triangolo ad un triangolo

Dicesi circonferenza circoscritta ad Dicesi circonferenza circoscritta ad un triangolo una circonferenza che un triangolo una circonferenza che contiene i vertici del triangolocontiene i vertici del triangolo

Definizione di incentroDefinizione di incentro

LL’incentro’incentro è il punto di intersezione è il punto di intersezione delle tre delle tre bisettricibisettrici dei tre angoli del dei tre angoli del triangolotriangolo

E’ così detto perché è il E’ così detto perché è il centro della circonferenza inscritta ncentro della circonferenza inscritta nel triangoloel triangolo

IncentroIncentroI è l’incentro

Bisettrice di un angoloBisettrice di un angolo

La bisettrice di un angolo è la La bisettrice di un angolo è la semiretta che condotta dal vertice semiretta che condotta dal vertice divide l’angolo in due angoli divide l’angolo in due angoli congruenticongruenti

Ha la caratteristica che tutti i suoi Ha la caratteristica che tutti i suoi punti sono equidistanti dai latipunti sono equidistanti dai lati

Bisettrice di un angolo Bisettrice di un angolo bisbis

AM=AHBN=BK

Centro della Centro della circonferenza inscritta in ucirconferenza inscritta in un triangolon triangolo

Circonferenza inscritta in Circonferenza inscritta in un triangoloun triangolo

Dicesi circonferenza inscritta in un Dicesi circonferenza inscritta in un triangolo una circonferenza tangente triangolo una circonferenza tangente ai tre lati del triangoloai tre lati del triangolo

HI=KI=LI