PERCORSI INNOVATIVI

in Matematica e in Fisica

PROGETTO DI ECCELLENZA 2014

Conferenze

I Paradossidi Zenone di Elea

I Paradossidi Zenone di Elea

I Paradossidi Zenone di Elea

Alfredo MARZOCCHI

I Paradossidi Zenone di Elea

Alfredo MARZOCCHI

(ehm, quello non sono io…)

I Paradossidi Zenone di Elea

Alfredo MARZOCCHI

Dipartimento di Matematica e Fisica

I Paradossidi Zenone di Elea

Alfredo MARZOCCHI

Dipartimento di Matematica e Fisica

Università Cattolica del S. Cuore

I Paradossidi Zenone di Elea

Alfredo MARZOCCHI

Dipartimento di Matematica e Fisica

Università Cattolica del S. Cuore

Via dei Musei, 41 - BRESCIA

Il paradossodella Dicotomia

Il paradosso della “Dicotomia”

Immaginiamo un po’ di persone che salgono in un autobus...

Il paradosso della “Dicotomia”

Immaginiamo un po’ di persone che salgono in un autobus...

Si tratta di un vecchio autobus molto pesante, con molte “ridotte”...

Si tratta di un vecchio autobus molto pesante, con molte “ridotte”...

E l’autista sta pensando...

E l’autista sta pensando...

…se parto con la prima, l’autobus non si muove proprio;

…se parto con la prima, l’autobus non si muove proprio;… se per fare i primi venti metri metto la prima ridotta, nonce la faccio manco morto...

… se per fare i primi dieci metri metto la seconda ridotta,non ce la faccio...

… se per fare i primi dieci metri metto la seconda ridotta,non ce la faccio...

… e se parto con la terza ridotta nei primi cinque neppure...

… e giunge a una deludente conclusione.

Un corpo in movimento, prima di per-correre una distanza, deve percorrer-ne la metà, e prima ancora la metà del-la metà, e così via, per cui in realtà non parte mai. Il movimento è dunqueuna illusione...

Epilogo

In ogni caso, questo ragionamento mostra che

In ogni caso, questo ragionamento mostra che

un oggetto in movimento compie “infiniti passi”

In ogni caso, questo ragionamento mostra che

un oggetto in movimento compie “infiniti passi”

ed è questo che forse non piaceva a Zenone...

In ogni caso, questo ragionamento mostra che

un oggetto in movimento compie “infiniti passi”

Però qui non vengono effettuate INFINITE MISURE...

ed è questo che forse non piaceva a Zenone...

In ogni caso, questo ragionamento mostra che

un oggetto in movimento compie “infiniti passi”

Però qui non vengono effettuate INFINITE MISURE...

ed è questo che forse non piaceva a Zenone...

né vengono effettuate infinite operazioni, però...

... 128

1

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1 +++++++

21

…provate a calcolare

... 128

1

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1 +++++++

21

…all’infinito!

…provate a calcolare

Il Paradossodi Achille e della Tartaruga

Vediamone un’animazione...

(ci scusiamo per la pessima qualità del filmato, ma è datato 450 a.C. circa…)

Quando Achille raggiunge la posizione occupata dalla Tartaruga

al “VIA”, l’animaletto è andato un po’ avanti...

…e quando il perplesso Achille raggiunge questa posizione,

la Tartaruga è avanzata ancora di un pochino...

…e quando Achille ha raggiunto il piccolo vantaggio che la

Tartaruga aveva poco fa, questa si trova ancora avanti!...

Da questo ragionamento appare chiaroche, siccome non si possono fare infinitecose in un tempo finito, Achille nonriuscirà mai a raggiungere la tartaruga.

Epilogo...

Ma è proprio così?

Ma è proprio così?

Del resto, se la Tartaruga viaggia a 1 cm/sec ed ha 1 m divantaggio,

Del resto, se la Tartaruga viaggia a 1 cm/sec ed ha 1 m divantaggio,

mentre se Achille viaggia a 1 m/sec,

Del resto, se la Tartaruga viaggia a 1 cm/sec ed ha 1 m divantaggio,

mentre se Achille viaggia a 1 m/sec,

dopo 2 secondi HA SUPERATO LA TARTARUGA!

Allora vediamo...

Chiamiamo L il vantaggio iniziale della Tartaruga...

e poniamo t=0 l’istante iniziale...

l’istante t’ è quello in cui Achille raggiunge la prima posizionedella Tartaruga

l’istante t’ è quello in cui Achille raggiunge la prima posizionedella Tartaruga

… e L’ è il tragitto percorso dalla Tartaruga in questo tempo

l’istante t’ è quello in cui Achille raggiunge la prima posizionedella Tartaruga

… e L’ è il tragitto percorso dalla Tartaruga in questo tempo

La posizione all’istante t’ della Tartaruga è quindi (T)totL

… stavolta la Tartaruga ha percorso solo il tragitto L’’

La posizione all’istante t’’ della Tartaruga è (T)totL

… e al terzo “passo” abbiamo delle formule analoghe.

Facciamo allora qualche osservazione:

Facciamo allora qualche osservazione:

Facciamo allora qualche osservazione:

Facciamo allora qualche osservazione:

infatti...

Ricordiamo che ( )...... ++++++= ntot qqqqLL 321

per cui

per cui

per cui

( )...... ++++++= n

A

tot qqqqv

Lt 321

e ricordiamo che

e quindi

ma allora

e quindi

ma allora

e quindi

ma allora

e quindi Achille raggiunge la Tartaruga!

Comunque

il nostro ragionamento si può applicare se i vari spaziL, L ’, L ’’, possono diventare arbitrariamente piccoli

Comunque

il nostro ragionamento si può applicare se i vari spaziL, L ’, L ’’, possono diventare arbitrariamente piccoli

e la stessa cosa avviene per i vari tempi...

Comunque

il nostro ragionamento si può applicare se i vari spaziL, L ’, L ’’, possono diventare arbitrariamente piccoli

e la stessa cosa avviene per i vari tempi...

… e questo è tratto dalla nostra intuizione.

Il paradossodella Freccia

Il paradossodella Freccia

Il paradossodella Freccia

continua...

Zenone sostiene che la freccia, durante il suo movimento,attraversa infiniti stati di quiete...

Zenone sostiene che la freccia, durante il suo movimento,attraversa infiniti stati di quiete...

… e dunque non si muove affatto! IL MOTO E’ UN’ILLUSIONE!

Zenone sostiene che la freccia, durante il suo movimento,attraversa infiniti stati di quiete...

… e dunque non si muove affatto! IL MOTO E’ UN’ILLUSIONE!

Forse qualcosaè andato storto...

Ma immaginiamo di fotografare la freccia… (senza sfondo!)

Ma immaginiamo di fotografare la freccia… (senza sfondo!)

Ma immaginiamo di fotografare la freccia… (senza sfondo!)

… e vediamo il risultato...

prima foto

prima foto

seconda foto

prima foto

seconda foto

terza foto

Dove sta l’inghippo?

Dove sta l’inghippo?

Proviamo a fotografare la freccia ferma...

Dove sta l’inghippo?

Proviamo a fotografare la freccia ferma...

Dove sta l’inghippo?

Proviamo a fotografare la freccia ferma...

… e vediamo il risultato…

vecchia foto

vecchia foto nuova foto

vecchia foto nuova foto

e allora?

vecchia foto nuova foto

e allora?

Usiamo la lente di ingrandimento...

freccia in movimento

freccia ferma

La freccia ferma differisce da quella in movimento

La freccia ferma differisce da quella in movimento

perché lo STATO DINAMICO di un oggetto in movimento è dato da posizione e velocità

La freccia ferma differisce da quella in movimento

perché lo STATO DINAMICO di un oggetto in movimento è dato da posizione e velocità

Questa semplice osservazione ha accompagnato laFisica fino ai giorni nostri...

Il paradossodello Stadio

Il paradossodello Stadio

Il paradossodello Stadio

…ma no,cosa avetecapito?

A A A

B B B

C C C

A A A

B B B

C C C

Questi sono tre stadi...

A A A

B B B

C C C

Questi sono tre stadi...

Supponiamo che B vada verso destra e C verso sinistra…

A A A

B B B

C C C

A A A

B B B

C C C

A A A

B B B

C C C

… Nel tempo in cui B affianca A, C affianca A dall’altraparte, ma C e B si affiancano pur distando 2 unità…

A A A

B B B

C C C

A A A

B B B

C C C

A A A

B B B

C C C

… e questo sorprende Zenone, perché ne deduce chenon può esistere un tempo minimo per la sovrapposizionedegli stadi, se questi sono separati da una distanza minima.

Quindi non è possibilepensare spazio e tempocostituito da “granelli”come gli atomi...

Quindi non è possibilepensare spazio e tempocostituito da “granelli”come gli atomi...

Ho dei seri dubbiche l’abbia pensatoveramente. Però...

In Relatività le velocità di oggetti in moto relativonon si sommano con la solita formula

21 vvV +=

In Relatività le velocità di oggetti in moto relativonon si sommano con la solita formula

21 vvV +=

ma con la formula più complicata

221

21

1c

vv

vvV

+

+=

In Relatività le velocità di oggetti in moto relativonon si sommano con la solita formula

21 vvV +=

ma con la formula più complicata

221

21

1c

vv

vvV

+

+=

dove c indica la velocità della luce.

In Relatività le velocità di oggetti in moto relativonon si sommano con la solita formula

21 vvV +=

ma con la formula più complicata

221

21

1c

vv

vvV

+

+=

dove c indica la velocità della luce.

Gli avrebbefatto piaceresaperlo!