Progetto “Una Scuola per Tutti,

Tutti per la Scuola ”CTS Ferrara

Dirigente: prof. M. UrbinatiResponsabile: prof. A. Difonzo

Laboratori di riflessione/ricerca in Didattica della Matematica

per alunni con DSA

Laboratorio

“Le equazioni per alunni con DSA ”

Coordinatore di gruppo: prof.ssa Fornasiero MariannaIT “V.Bachelet”-Ferrara

SUGGERIMENTI PER L’INTERVENTO DIDATTICO

scuola secondaria primo e secondo grado

Differenti tipologie di discalculia

• Discalculia per i fatti aritmetici• Discalculia procedurale

�Problem Solving

• Dislessia per le cifre

Metodo didattico consigliato• Basato su una comprensione ragionata-apprendimento mnemonico e meccanico di procedimenti aritmetici non aiuta-numeri e operazioni risultano più comprensibili quando se

ne capisce meglio il senso-apprendimento concreto: utilizzo di disegni o semplici

diagrammi/grafici come rappresentazioni schematiche, di strumenti cognitivi concreti

-linguaggio trasparente: descrivere concetti e procedure in termini semplici, tradurre i simboli matematici in linguaggio semplice

• Insegnamento strutturato

-non precedere con troppa rapidità ed offrire la possibilità di fare molta pratica

-insegnare le basi: impadronirsi di strategie per ilcalcolo a mente

-programma didattico strutturato a lungo termine-porre molti quesiti durante l’introduzione/spiegazione

di argomenti nuovi: “qual è l’incognita del problema? Quale passaggio devo eseguire ora? Perchè?”

-privilegiare anche il lavoro con linguaggio simbolicoe/o schemi (se l’alunno non ha problemi visuo-spaziali o di disprassia)

• Dedicare parte del tempo ai lavori di coppia e/ogruppo, secondo la logica del “cooperative learning”

• Somministrare verifiche sommative più brevi e piùfrequenti

• Introdurre molti esempi durante le spiegazioni e invitare gli alunni a produrne in modo autonomo

• Dedicare alcune ore agli approfondimenti (relazionidi gruppo/attività di laboratorio)� stimolarecapacità critica, di sintesi, curiosità matematica

• Accompagnare gli alunni nella risoluzione deiproblemi più complessi (dimostrazioni guidate)

Diverse strategie didatticheper i diversi tipi di discalculia :

Discalculia per i fatti aritmetici• Suggerimenti didattici�utilizzo della

calcolatrice scientifica se necessario, tavola pitagorica, formulari, utilizzo di disegni e/o schemi/simboli, utilizzo colorinelle formule, mappe concettuali…

Discalculia procedurale:• Suggerimenti didattici�utilizzo di schemi

riassuntivi nelle parti teoriche, formulario(www.math.it/formulario/index.htm, www.elvenkids.com/tools/)

• diagrammi di flusso per schematizzazione di problemialgebrici (come per algoritmi), organigrammi in .ppt,

• “Guida SPM test” (Erickson): suddivisione del problemain comprensione, rappresentazione, categorizzazione, piano di soluzione, svolgimento, autovalutazione,

• “Mate+, Vol. 2” A. Demattè, • verifiche scritte con linguaggio semplificato• software Aplusix (vedi guida), • LIM o materiale video (vedi materiale didattico Zanichelli

per LIM)

Dislessia per le cifre

Suggerimenti didattici• utilizzo dei colori per le diverse cifre, per gli

esponenti, per numeratore/denominatore di frazioni, per le lettere nel calcolo letterale, per le quattro operazioni; calcolatriciparlanti

• Software Aplusix/Excel• Utilizzo di linguaggio simbolico• Utilizzo di schemi/mappe concettuali

Esempio di U.D.Equazioni di primo grado

1. Introduzione: concetti di identità e equazione���� significato di incognita����”giochetti” sul valore da assegnare all’incognita

tempi: circa un’ora

2. Primo principio di equivalenza, principio di canc ellazione, principio del trasportoSecondo principio di equivalenza:

� esemplificazione tramite immagini (esempio della bilancia, utilizzo di colori/frecce,…)

� video-tutorial in aula video o visione materiale per LIMtempi: circa due o tre ore

�Introduzione alla classe del software Aplusix (attività in Laboratorio di informatica)

tempi: circa due ore�Risoluzione guidata di semplici equazioni col software

Aplusix (con utilizzo della figura tutor)tempi: circa due ore�Risoluzione autonoma di semplici equazioni con

Aplusixtempi: circa due ore

3. Equazioni determinate/indeterminate/impossibili�trattazione in classe mediante esempi�risoluzione guidata di semplici equazioni con Aplusix

tempi: circa due ore

4. Creazione di mappe concettuali (attività in classe o in Laboratorio di informatica, con utilizzo di software opportuni)/ Schemi riassuntivi/esemplificativisull’argomento

tempi: circa due ore

5. Risoluzione di equazioni di primo grado più complesse(con richiami ai prodotti notevoli, se trattati in precedenza…)

�Utilizzo del software Aplusix per risoluzione guidata o risoluzione con aiuto della figura tutor

�Utilizzo di colori nelle equazioni intere con denominatori numerici o nelle equazioni fratte

�Semplici tecniche risolutive per equazioni intere e fratte6. Risoluzione autonoma di equazioni con Aplusix

(attraverso l’opzione “aiuto” se necessario)tempi: circa 8 ore

Modalità di verifica:� Somministrazione di un Test (verifica formativa) sulle

equazioni con Aplusix, con autocorrezione� Somministrazione di verifica sommativa finale o in

classe o in laboratoriotempi: circa 2 ore

Introduzione: concetti di identità e equazioneEsempi:dall’identità all’equazione: 2 + 3 + 6 = 9 – 4 + 6

2 + 3 + x = 9 – 4 + 6 � x = …3 + 4 + 2 = 20 – 6 – 5x + 4 + 2 = 20 – 6 – 5 � x = …3 + x + 2 = 20 – 6 – 5 � x = …Concetto di incognita: x + 3 = 5 � + =

=

� x = 2

?

?

2 x + 3 = 5 � + + =

2 x = 2 � + =

� = � x = 1

3 x + 1 = 7 �

+ =

= � x = 2

? ?

? ?

?

? ? ?

? ? ?

Esempi da:“L’intelligenza numerica”, Lucangeli-Bertolli-Molin-Poli, ed. Erickson

Concetto di EQUAZIONI EQUIVALENTI …����Introduzione al concetto di equivalenza mediante uno o

piu’ esempi significativi

Principi di equivalenzaPrimo:

3x = 6

3x +2 = 6 +2

3x +2 -2 = 6 +2 -2

Esempi:

3x 6

3x 62 2

+2

-2

+2 -2Bilancia èsempre in equilibrio

Principio di cancellazione

Principio del trasporto3x +2 = 6

3x +2 - 2 = 6 - 2

3x = 4Quindi: 3x +2 = 6 - 2

3x6

3x 6 - 2

2

Bilancia èsempre in equilibrio

2

Tolgo il pesetto 2

Trasporto

Principio di equivalenzaSecondo:3 x = 6

x + x + x = 6

x = 6 : 3 = 2Quindi:3 x : 3 = 6 : 3

x 2 2 2

x 2

Ciascuno deitre pesetti è 6:3=2

x x

Generalizzando…

3 x = 7

x + x + x = 7

x = 7 : 3 = __

Ora : 3 = . __

x 7

x

Ciascuno deitre pesetti è ….

x x

7

3

1/3 di 7=7 · 1/3

1

3

Generalizzando…

__ x = 7

__ . __ x = __ . 7

x = __

7

Ciascuno deitre pesetti è x/2

14

3

2/3 di 7=7 · 2/3

3

2

3

23

2

3

2

x

Siti internet-video tutorial-software sulle equazioni• http://www.youtube.com/watch?v=sIASjMln8aU• Video tutorial del prof. Antonino Giardina

� video sui due principi di equivalenzaScopo: consolidare i concetti dopo la trattazione in classe…

• http://www.math.it �schemi e riassunti• Software free “Vue” o non free “Supermappe” o “Cmap”Scopo: sollecitare gli alunni a produrre schemi o mappe concettuali

• MathApp: Mathematics 4.0 (software free della Microsoft) • Aplusix• Programma free di Adriano Agostini• http://www.matematicamente.it/esercizi-svolti/28-equazioniScopo: risoluzione guidata di esercizi

Equazioni determinate/indeterminate/impossibili:Lezione di tipo dialogico :

� Lavorare per esempi significativi :1. Eq. determinata:

2. Eq. impossibile:

3 · x= 5 Posso dividere entrambi i membri per 3,Perchè 3 è DIVERSO da ZERO….E se fosse ZERO?

x = __53

0 · x = 5 Posso dividere entrambi i membri per ZERO? NO…Cosa significa 0 · x ?

significa 0 volte x (viceversa: x volte 0) cioè ZERO

0 = 5

Ma 0 non puo’ essere uguale a 5 impossibile

• Eq. indeterminata: Cosa succede invece se anche il termine noto è zero?

Esempio: 0· x = 0 Come prima: 0 volte x (viceversa: x volte 0) è ZERO

0 = 0 Quindi? Cosa posso concludere?Questa identità è VERA? SI

“Domanda che nasce spontanea”: ma dove è finita la x?

Risposta: 0 volte x (viceversa: x volte 0) è ZERO

PER QUALSIASI VALORE di x

Esempi: 0 · 3 = 00 · (-2) = 0 0 · _ = 0 …..1

4

Infinite soluzioni

Eq. indeterminata

Esempi da:“L’intelligenza numerica”, Lucangeli-Bertolli-Molin-Poli, ed. Erickson

Eq. Impossibili e indeterminate: partire da esempi prat ici

Esempio di schema per le equazioni di primo gradoAlunno: M.T.G. Classe 1^D IT “V. Bachelet”

Esempio di U.D.Equazioni di secondo grado

1. Forma normale di una equazione di secondo grado����soluzioni o radici����equazione completa ed incompleta: definizioni

tempi: circa un’ora

2. Risoluzione:discriminante e formula risolutiva

�utilizzo di colori/frecce�video-tutorial in aula video o visione materiale

per LIMtempi: circa due o tre ore

�Introduzione alla classe del software Aplusix (attività in Laboratorio di informatica)

tempi: circa due ore�Risoluzione guidata di semplici equazioni col software

Aplusix (con utilizzo della figura tutor)tempi: circa due ore�Risoluzione autonoma di semplici equazioni con

Aplusixtempi: circa due ore

3. Equazioni incomplete e metodi risolutivi�trattazione in classe mediante esempi�risoluzione guidata di semplici equazioni con Aplusix

tempi: circa due ore4. Creazione di mappe concettuali (attività in classe o

in Laboratorio di informatica, con utilizzo di software opportuni)/ Schemi riassuntivi/esemplificativisull’argomento

tempi: circa due ore

5. Risoluzione di equazioni di secondo grado piùcomplesse (con richiami ai prodotti notevoli)

�Utilizzo del software Aplusix per risoluzione guidata o risoluzione con aiuto della figura tutor

�Utilizzo di colori nelle equazioni fratte�Semplici tecniche risolutive per equazioni fratte

6. Risoluzione autonoma di equazioni con Aplusix(attraverso l’opzione “aiuto” se necessario)

tempi: circa 8 ore

Modalità di verifica:� Somministrazione di un Test (verifica formativa) sulle

equazioni con Aplusix, con autocorrezione� Somministrazione di verifica sommativa finale o in

classe o in laboratoriotempi: circa 2 ore

I colori nelle equazioni piu ’ complesse���� vedi sito di Rita Bartole….

�Colore differente per indicare l’incognita (ad esempio sempre x in grassetto rosso…)�Colore differente per indicare gli esponenti di eventuali potenze (es: verde)�Colore differente per gli eventuali denominatori ( o evidenziati in giallo…)

Esempio :Utilizzo dei colori per i tre coefficienti:

+3x2 + 2x −1 =0Osservazione: mettere in evidenza fin da principio che tutti

i termini nella FORMA NORMALE si trovano a primo membro, a differenza delle eq. di primo grado…

Risoluzione guidata con utilizzo di eventuale formulario:

a= …. b= …. c= ….

Calcola Delta:

∆ = b · b − 4 ·a · c…….

Applica formula risolutiva: x1=…….. x2=……..

Esempio :Eq di secondo grado: risoluzione guidata + uso colori

4·(x2 – 1) = 2 · (2x + 1) – 3

… x2 – …. ______ = …. x + … – 3

… x2 …. x …. = 0

a= …. b= …. c= ….

Calcola ∆ = …….

Applica formula risolutiva: x1=… x2=….

(Proprietà distributiva)

Schema con formule

Segno del delta: Illustrazione dei 3 casi tramite esempiSchema riassuntivo Alunno: M.T.G. Classe 2^D IT “V. Bachelet”

CASO DELTA POSITIVO

CASO DELTA NULLO

CASO DELTA NEGATIVO

Calcolo per arrivare alla forma normale

Equazioni di secondo grado incomplete1. Osservazione: a= 0 �l’equazione diventa di

primo grado

2. Se b = 0 e/o c = 0 � vedi esempi�Non introdurre le terminologie spura/pura/monomia, ma solo

COMPLETA/INCOMPLETA

b = 0: 3x2 −1 = 0 a = … c=…� se alunno DSA ha difficoltà procedurali� risoluzione con utilizzo del

Delta/Formula risolutiva� Se alunno DSA ha solo discalculia per i fatti aritmetici e/o dislessia per

le cifre� più intuitivo il metodo senza utilizzo del Delta, illustrato tramite

esempio (non nel caso generale,con a e c generici…)

3x2 −27 = 0 � 3x2 = +27 � x2 = +9 � x1 = + 3 x2 = -33 3

Analoga distinzione anche per gli altri due casi…

c = 0: 4x2 + 3 x = 0

� Delta e formula risolutiva….

� Raccoglimento: 4 + 3 =

· ( 4 + 3) =

x · ( 4 x + 3)=0

= 0 = 0

x1= 0

x2= --3/4

…difficoltà dell’alunno DSA a trovare la radice che annu lla il secondofattore… ���� richiamo alla bilancia dell’eq di primo grado

Discalculia Evolutiva Fornasiero Marianna

Richiami ai PRODOTTI NOTEVOLI: formulario

Discalculia Evolutiva Fornasiero Marianna 47

Formule risolutive di equazioni di secondo grado complet e e non:

Schemi riassuntivi della teoria

• Schema tratto da siti internet:�DIFETTI: descrive le formule generali senza esempi�utilizza la terminolgia inutile “spuria/pura/monomia”

(alunno DSA non potrà mai ricordarla…): bastaintrodurre il concetto di EQ. COMPLETA/INCOMPLETA

�non utilizza i colori�riporta anche la formula ridotta: crea piu’ confusione

all’alunno DSA• Consigliato: schema/formulario prodotto dall’alunno

stesso, dopo spiegazione in classe e/o ricerca suinternet

(� vedi esempio alunno M.T.G.)

Differente approccio : per via grafica

Eq. lineare� Utilizzo della retta nel

piano cartesiano:3x + 4 −5x = 6x +5 − 3Portare tutto a primo membroe sommare termini simili:−8x +2 = 0Considero la RETTA r: y = −8x +2 � Utilizzo Geogebra per

rappresentare la retta� Calcolo con Geogebra

l’intersezione tra la retta r e l’asse delle x P(1/4 ; 0)

� soluzione: x= 1/4

Eq. quadratica� Utilizzo della parabola nel

piano cartesiano:3x2 + 4 +8x = 6x +5 Portare tutto a primo membroe sommare termini simili:3x2 +2x − 1 = 0Considero la PARABOLA P: y = 3x2 +2x − 1 � Utilizzo Geogebra per

rappresentare la parabola� Calcolo con Geogebra

l’intersezione tra P e l’asse dellex P1(− 1 ; 0) P2(1/3 ; 0)

� soluzioni: x1= − 1 x2=1/3

Suggerimenti per il piano cartesiano

(-,+) (+,+)

(-,-) (+,-)

Usare foglio a quadretti, possibilmente punti con valori di x e y compresi tra +/-10

y

x

Parabola come luogo geometrico ( con Cabrì - sito Math.it)

Esempio retta

Esempio parabola

Pro/Contro dei due approcci

Approccio(tradizionale)per via algebrica

� Adatto ad alunnidiscalculici con difficoltà procedurali e nel problem solving

� Adatto ad alunni con difficoltà visuo-spaziali

� Più meccanico e pocointuitivo

� Approccio utilizzabilesia in classe sia in Laboratorio con utilizzodi opportuno software

Approccio per via grafica� Non adatto ad alunni con

discalculia di tipoprocedurale� adatto piùad alunni dislessici

� Non adatto ad alunni con difficoltà visuo-spaziali

� Più intuitivo� Utilizzabile da alunni con

DSA solo in presenza di un software opportuno per il calcolo dei punti di intersezione

Ulteriore approccioMusica e Matematica

�Dal sito www.doremat.it (appunti dalla conferenza “Matematicae Musica”, Bologna, 16-01-2014, ENFAP-Emilia Romagna-Istruzione e Formazione Professionale)

�Analogie tra ritmo ed equazioni di primo grado:

“DOREMAT è una metodologia didattica che permette di insegnare la matematica attraverso la musica e di insegnare anche la musica(sempre più raramente presente nei curricula scolastici); è un nuovoapproccio che, sfruttando le analogie che intercorrono tra la matematica e la musica, correla, in chiave musicale le competenzematematiche cosi come indicate nel quadro normativo nazionale in materia di istruzione e formazione nei diversi ordini e gradi. ”

Da Tesi di Laurea: Serena Vincenzi, “La musica e altre passioni. Esperienze di metodologie didattiche nell'ambito dell'obbligo formativo”

Per le espressioni con numeri razionali…Domanda: nelle equazioni, come viene interpretata e ge stita l’incognita?...

Scomposizione di un trinomio di secondo grado

� Caso∆ ≥ 0: scomporre +3x2 + 2 x −4

Risoluzione guidata:

a= …. b= …. c= ….• Calcola Delta: ∆ = b · b − 4 ·a · c = …….• Applica formula risolutiva: x1=…….. x2=……..

� +3x2 + 2 x −4 = +3· (x − x1) · (x − x2) Lezione dialogica:

Domanda: cosa succede se x1= x2 ?Esempio: scomporre +1x2 + 6 x +9 …..

�Richiamo al prodotto notevole

+1x2 + 6 x +9 = +1x2 + 2 · 1 · 3 x + 32 = (1 x + 3)2

Caso ∆ < 0: scomporre +3 x2 + 2 x +4Risoluzione guidata:a= …. b= …. c= ….• Calcola Delta: ∆ = b · b − 4 ·a · c = ……. < 0• Lezione dialogica:• Domanda: cosa succede se non esistono x1= x2 ?Riesco a scomporre come prima?

Discalculia Evolutiva Fornasiero Marianna 60

Esempio di equazioni fratte :

4+2x

x+4

2-4x

4-x

1. Scomporre x2 - 16 = � prodotto notevole (formulario):....................

2. calcolare denominatore comune:……………………2. porre le C.E.:…………………………………… .3. eliminare il denominatore:………………………4. Risolvere l’equazione intera5. dire se le soluzioni sono accettabili

=+

8 • (3x2 + 8)

x2 - 16

4+2xx+4

+ 2−

4x4−x

= 8(3x2+8)x2−

16

Mappe concettuali sulle equazioni

Per alunni con DSA le mappe sulle equazioni dovrebbero presentare:1.Colori per diversificare i contenuti2.Esempi per ogni concetto, con eventuale risoluzione proposta3.Grafica accettabile4.Poco testo scritto all’interno dei nodi5.Eventuali riferimenti storici 6.Eventuali collegamenti tra risoluzioni per via algebrica e risoluzioni per via grafica

� vai al file «mappe su equazioni.docx»

Schede didattiche/mappe concettuali di matematica per l a scuola media http://lnx.fantasylands.net/aiuto-dislessia/schede-didattiche/scuola-media

Creazione di mappe concettuali sulla teoria:Utilizzo del software free Vue:

Equazioni di secondo gradoorganigramma con Power Point

Equazioni di secondo grado

definizione

Risoluzionesegno del Delta

Scomposizionetrinomio

Problemi drisolubilicon equazioni di secondo grado

Caso Delta>0 Caso Delta=0 Caso Delta <0Caso Delta>0 Caso Delta=0

CasoDelta<0

Problemi di algebra

Problemi di geometria

Programma free di Adriano Agostini� http://web.tiscali.it/AandA

Risoluzione guidata di equazioni

Esempio:• +2(3x+2)+3(x-1)=+11x+7• +6x+4+3x-3=+11x+7• +6x+3x-11x=+7-4+3• -2x=+6• +2x=-6• x=-6/+2• x=-3

Software Aplusix 3

• Come installare Aplusix 3

Andare sul sito (versione in francese)http://www.aplusix.com/fr/

• cliccare su “Telecharger” (= download)

• digitare la lingua italiano• chiedere la versione free di durata 10 giorni

• cliccare sul file .exe ed estrarne i contenuti

Sito internet

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Specificità del Software Aplusix 3 nell’apprendimento della matematica

Software di supporto all’apprendimento della matematica perché:�Dà la possibilità agli alunni di auto correggere i propri errori, attraverso la segnalazione di errore (freccia di implicazione tra un passaggio e l’altro rossa e barrata)

�Guida l’alunno nella risoluzione di espressioni/equazioni o problemi attraverso i comandi «Suggerimento/Segnala il passaggio successivo »

�Aiuta l’alunno nella risoluzione di espressioni/equazioni o problemi attraverso la figura di un “Tutor” virtuale , a disposizione per eventuali suggerimenti, la cui età si può selezionare in base agli argomenti di matematica da svolgere

Diversi utilizzi di Aplusix

Il programma potrà essere scaricato ed usato per 10 giorni per: •Proporre esercitazioni guidate al gruppo classe•Lavorare in laboratorio sulle equazioni con risoluzione guidata e/o aiuto della figura tutor•Proporre al gruppo classe una verifica strutturata, da eseguire a computer

Programma Mathematics 4 (Microsoft)

Bibliografia1. “La discalculia e altre difficoltà in matematica”

Dario Ianes, Daniela Lucangeli, Irene C. Mammarella

2.“L'intelligenza numerica” - volume 4Daniela Lucangeli, Carla Bertolli, Adriana Molin, Silvana Poli

3. “Test SPM ” (CD-ROM)Daniela Lucangeli, Patrizio Emanuele Tressoldi, Michela Cendron, Laura Bertolo, Francesca

Potenza, Maria Rita Stocchi

4.“Test AC-MT 11-14 - Test di valutazione delle abilit àdi calcolo e problem solving”, Cesare Cornoldi, Chiara Cazzola

5.“Didattica per la discalculia - Attività pratiche per gl ialunni con DSA in matematica”, Brian Butterworth, Dorian Yeo

6. Numeri e calcolo-Lo sviluppo delle competenze aritmeti che e la discalculia evolutiva, Brian Butterworth

7. Collana STRUMENTI PER LA DIDATTICA DELLA MATEMATI CA Direttada Bruno D'Amore

8. Collana "Programmi di potenziamento della cognizione numeri ca e logico-scientifica" diretta da Daniela Lucangeli

9. “Mate+ -Vol. 2”, Adriano Demattè, Calcolare a mente10. “Esercizi secondo l'approccio analogico-intuiti vo”, Camillo Bortolato

Sitografiahttp://www.istruzione.it/web/istruzione/home --> DSAwww.dislessia.it – sito A.I.D.www.ferraramulticulturale.it – sito Le Ali – sezione Docethttp://www.erickson.it/www.elvenkids.com/tools/geometriawww.ritabartole.it e www.laritabella.itwww.zanichelli.it � scuolahttp://www.ripmat.ithttp://areeweb.polito.it/didattica/polymath/index.htmhttp://www.dyscalculia.org (in inglese)www.math.itwww.aplusix.com