1

PROGETTO FONDAMENTI DI

AUTOMATICA

Studente: Cosentino Maurice

Cdl. In Ingegneria Informatica e Biomedica

a.a. 2008/2009

2

Relazione

Il sistema che ho realizzato è un Sistema Meccanico, costituito da una massa, uno

smorzatore e due molle.

Ho posto come ingresso la forza (F) applicata sulla massa e come uscita lo

spostamento (s) della massa.

Basandomi sul secondo principio della dinamica (F = M * a , dove F è la forza, M la

massa ed a l’accelerazione) ho stabilito l’equazione che mi ha portato a identificare la

rappresentazione Ingresso-Stato-Uscita (ISU).

Dopo la determinazione del modello ISU e dopo averlo portato nella forma

matriciale, ho potuto vedere che nel dominio di Laplace il sistema è stazionario ed è

strettamente proprio in quanto per definizione nella forma matriciale non compare la

matrice D. Con i dovuti calcoli sono arrivato alla funzione di trasferimento.

Successivamente ho determinato l’ evoluzione libera, l’ evoluzione forzata al

gradino, andamento qualitativo, l’ho riportata nel dominio del tempo e infine sempre

nel dominio di Laplace ho costruito i diagrammi di Bode del modulo e della fase.

3

Possiamo ottenere la relazione Ingresso-Stato-Uscita considerando come ingresso la

forza applicata, F, e come uscita lo spostamento della massa, s .

Svolgimento;

Ponendo:

, ,

Otteniamo:

Da qui possiamo ricavare la rappresentazione I.S.U. sotto forma matriciale:

Si evince che il sistema è strettamente proprio perché non ci sono i contributi

dell’ingresso sull’uscita, in pratica manca la matrice D.

4

Funzione di trasferimento

A questo punto possiamo dare dei valori ai componenti del circutio per calcolare più

rapidamente la funzione di trasferimento.

Dalla rappresentazione I.S.U. matriciale è possibile ricavare la f.d.t. tramite la

formula:

Sostituendo nella formula le rispettive matrici con i relativi valori otteniamo:

A questo punto possiamo calcolare l’espressione analitica e tracciare

l’andamento qualitativo della risposta indiciale.

Moltiplicando W(s) per la trasformata di Laplace u(t) otteniamo:

5

Dopo aver calcolato i due poli della nostra W(s), possiamo effettuare la

scomposizione in fratti semplici.

Per determinare A,B e C applichiamo il teorema dei limiti.

Fatto ciò, possiamo anti trasformare.

Si può ora analizzare l’andamento qualitativo.

Procediamo calcolando il valore iniziale e finale della risposta, e successivamente il

tempo di assestamento.

Valore iniziale: y(0) =

Valore finale:

Tempo di assestamento:

6

Ora è possibile tracciare il grafico; il comando utilizzato per tracciare questo grafico

in Matlab è “step”;

Per visualizzare i valori caratteristici dell’andamento qualitativo si utilizza il

comando: “stepinfo”.

Tempo di salita;

tempo di assestamento;

minimo valore assunto dall’uscita dopo che la risposta è salita;

massimo valore assunto dall’uscita dopo che la risposta è salita;

sovra elongazione;

sottoelongazione;

valore di picco;

tempo di picco;

7

DIAGRAMMI DI BODE

Script dei comandi utilizzati % Dichiarazione delle matrici

A = [0 1 ; -((K1+K2)/M) –(B/M)];

B = [ 0 ; (1/M) ];

C = [ 1 0 ];

D = 0 ;

% Visualizzazione del sistema tramite matrici

sys1 = ss (A,B,C,D)

% Visualizzazione della funzione di trasferimento

sys2 = tf (sys1)

8

% Visualizzazine dell’andamento qualitativo

step(sys1)

% Visualizzazione diagrammi di bode Reali

bode(sys2)

%Visualizzazione della funzione di trasferimento dell’evoluzione

libera

sys3=ss(A,x0,C,D)

sys4=tf(sys3)

%Andamento qualitativo dell’evoluzione libera

Initial(sys3,x0)

%Valori dei componenti del circutio

K1=32;

K2=25;

M=5;

B=60;

%Valore iniziale dell’evoluzione libera

x0=[3,1];

Visualizzazione della forma matriciale

9

Visualizzazione della funzione di trasferimento

Visualizzazione dell’andamento qualitativo

10

Grafico dell’evoluzione libera

11

Simulink

Di seguito è rappresentato lo schema in simulink del nostro sistema meccanico.

In queste rappresentazioni del nostro sistema in simulink, possiamo verificare la

risposta del sistema ad un ingresso di tipo gradino e sinusoidale.

Grafico con un ingresso di tipo gradino.

12

Grafico con un ingresso di tipo sinusoidale.