Prof.AnnaMaria Paolucci Equazioni differenziali ConoscenzeCompetenzeCapacità ISTITUTO TECNICO...

Prof.AnnaMaria PaolucciProf.AnnaMaria Paolucci

Equazioni differenzialiEquazioni differenziali

ConoscenzeConoscenze

CompetenzeCompetenze

CapacitàCapacità

ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE ‘E.MATTEI’

URBINO


Conoscenze: Equazione del I ordine, lineare e non lineare.

Competenze. Risolvere equazioni differenziali del I ordine del II ordine e determinare soluzioni particolari di equ. differenziali del I e del II ordine.Capacità: Imparare a :

Risolvere equaz. diff.del I ordine: - a variabili separate o separabili;

- lineari;

- di altri tipi particolari.

Risolvere equaz. diff. del II ordine:

- omogenee a coeff. costanti;

-non omogenee a coeff. costanti.


Introduzione alIntroduzione al: : concetto di concetto di equazione differenzialeequazione differenziale

Sino ad ora si sono affrontati in Matematica Sino ad ora si sono affrontati in Matematica temi il cui oggetto era la risoluzione di temi il cui oggetto era la risoluzione di problemi che per soluzioni avevano il problemi che per soluzioni avevano il valore numerico di una certa grandezza.valore numerico di una certa grandezza.

Ad esempio : la risoluzione dell’equazione , Ad esempio : la risoluzione dell’equazione , la determinazione dei max. e dei min. di la determinazione dei max. e dei min. di una funzione, il calcolo di un’area o di un una funzione, il calcolo di un’area o di un volumevolume..


Ma vi sono problemi in cui ciò che si deve trovare non è un numero bensì la legge secondo cui un insieme di variabili dipende da altre. L’ingegneria, la fisica, le scienze economiche hanno leggi di questo tipo e il grafico sotto è legato all’argomento EQUAZIONI DIFFERENZIALI


Se consideriamo un punto materiale di massa m che si muove sull’asse y di un sistema di riferimento a causa di una forza F la cui intensità dipende dalla posizione y del punto all’istante t, dalla

sua velocità v e dal tempo t si ha ),,( tvyFF L’azione della forza F provoca un’accelerazione del punto materiale secondo la legge F=ma, Se y(t) è la posizione del punto all’istante t sulla sua traiettoria , la velocità e l’accelerazione sono date dalle relazioni :

v = e a = allora in

un certo istante t del moto deve essere verificata la relazione:

)(''2

2

tydt

yd)(' ty

dt

dy


)),('),(( ttytyF )('' tmy

L’equazione ha come variabile una funzione y(t) e le sue derivate y’(t) e y’’(t).

RISOLVERLA significa trovare la funzione y(t) che con le sue derivate soddisfi all’equazione.


Se si ha la funzione f(x) =2x , la determinazione di tutte le sue primitive y=F(x) ci fa tradurre ciò nell’equazione: xyxfxF 2')()('

anche così si tratta di risolvere questa equazione dove la variabile è rappresentata da una funzione della variabile x , f(x) ,

xdx

dy2

Una equazione del tipo y’ = 2x è una

EQUAZIONE DIFFERENZIALE


In figura è rappresentato un circuito elettrico in cui è inserita una batteria di pile in grado di fornire una differenza di potenziale costante V.

Appena l’interruttore del circuito è chiuso all’interno del circuito non si genera immediatamente una intensità di corrente I data da : V = R I uguale a V/R

Le grandezze elettriche R(resistenza), L (coeff.di autoinduttanza) e V (tensione) sono costanti

Ma a causa della presenza dell’induttanza L, una corrente I(t), variabile nel

tempo t, secondo la legge : (1) V = R I(t) + L

dove dI(t) è la derivata della funzione I(t) rispetto a t.

dt

tdI )(

Non è possibile ricavare l’incognita I(t) dalla (1) con semplici passaggi algebrici, oltre a I(t) si ha dI(t)/dt. UN TALE TIPO DI EQUAZ. È DETTA EQUAZIONE DIFFERENZIALE


DEFINIZIONI

Sia y una funzione incognita della variabile x, sia y’ la sua derivata prima

Una relazione tra la variabile indipendente x, la funzione incognita y e la sua derivata prima y’ del tipo

F(x,y,y’ ) = 0

prende il nome di EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL PRIMO ORDINE.

Questa equazione sarà ascritta in forma normale: y’ = F(x,y)

Ci deve essere la derivata prima y’ ,ma possono mancare y e x.

Esempio: y’ = y, y’ = 2x, y’ = 2xy+3


DEFINIZIONI

Sia y una funzione incognita della variabile x, sia y’ la sua derivata prima e y’’ la sua derivata seconda.

Una relazione tra la variabile indipendente x, la funzione incognita y , la sua derivata prima y’ e la sua derivata seconda y’’, del tipo

F(x, y, y’, y’’ ) = 0

prende il nome di EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL SECONDO ORDINE.Questa equazione sarà ascritta in forma normale: y’’ = F(x,

y, y’)Ci deve essere la derivata seconda y’’ ,ma possono mancare y’ ,y e x.

Esempio: y’’ + 3y’ – 1 = 0 y’’ + y – x = 0


generalizzandogeneralizzandoUna relazione tra la variabile x, una Una relazione tra la variabile x, una

funzione incognita y e le sue derivate funzione incognita y e le sue derivate successive sino all’ordine n, del tipo : successive sino all’ordine n, del tipo :

F(x,y,y’,y’’,……yF(x,y,y’,y’’,……ynn) = 0) = 0

e’ dettae’ detta

Equazione Differenziale di ordine n Equazione Differenziale di ordine n L’ordine di un’ equazione differenziale è dato dall’ordine massimo della derivata che vi figura.

ESEMPI : Y’+2X=1 EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL I ORDINE

Y’’’+3Y’-2=0 EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL III ORDINE

6Y’’+3Y’-Y=SENX EQUAZ. DIFFERENZIALE DEL II ORDINE


Ogni funzione y= f(x) che soddisfa l’equazione differenziale data si dice

SOLUZIONE o INTEGRALE

dell’equazione stessa , il suo diagramma è detto CURVA INTEGRALE.ESEMPIO: y’+2y = 2x(x+1) è un’equazione differenziale

del I ordine e la funzione y = x2+e-2x

e’ una sua soluzione

Infatti essendo y’ = 2x – 2 e-2x si ha, sostituendo nell’equazione differenziale:

y’+2y = 2x-2 e-2x +2(x2+e-2x) = 2x2+2x =2x(x+1)

RISOLVERE o INTEGRARE un’equazione differenziale significa trovare tutte le sue soluzioni .Le soluzioni di

un’equazione differenziale sono in genere

esse dipendono da un numero di costanti arbitrarie pari all’ordine n dell’equaz. stessa e sono così indicate: y = f(x,c1, c2, , cn),


y = f(x,c1, c2, , cn) prende il nome di

Integrale generale

dell’equazione differenziale,

Ogni funzione ottenuta dall’INTEGRALE GENERALE attribuendo particolari valori numerici alle costanti c1, c 2…..cn è chiamata

INTEGRALE PARTICOLARE.

In alcune situazioni può avvenire che l’integrale generale non comprenda tutte le soluzioni

dell’equazione, ci può essere una soluzione che non è deducibile dall’integrale generale per alcun valore

delle costanti. Si parla di INTEGRALE SINGOLARE.


ESEMPIO: L’equazione differenziale ammette tra le

sue

yxy 4'

soluzioni y = 0 ( per verificarlo è sufficiente sostituire),

il suo integrale generale è

22 cxy

e si vede che la funzione y = 0 non si può ottenere da esso per nessun valore di c finito o infinito.

Allora y = 0 è un integrale singolare per questa equazione.


Data una equazione differenziale di ordine n il volere determinare l’integrale particolare y=f(x) che soddisfi n condizioni iniziali del tipo:

y(x0)=y0, y’(x0)=y’0,………. Yn-1(x0)=yn-10

dove x0,y0,y’0,……., yn-10 sono valori

assegnati,

Viene chiamata PROBLEMA di CAUCHY

01

01

00

00

1

)(

.

.

')('

)(

),.....,'',',,(

nn

nn

yxy

yxy

yxy

yyyyxFy


Risolvere l’equazione differenziale del I ordine: 012'36 yxDopo aver isolato y’ si ha: 3y’= 12-6x; y’= 4-2x, integriamo ambo i membri rispetto alla variabile x:

dxxdxy )24('

dxxy 24

cx

xy 2

242

con c

Le soluzioni cercate sono le funzioni: cxxy 42

In questo caso le curve integrali sono parabole il cui vertice in funzione di c è V( 2; 4+c ) e l’asse ha equazione

x = 2 .

Provate a rappresentarle graficamente


Quindi data l’equazione differenziale: 012'36 yx

Le soluzioni cercate sono le funzioni: cxxy 42

Cerchiamo, tra le infinite soluzioni, una particolare soluzione la cui curva integrale passa per il punto (x0;y0)Per il nostro esempio il punto è P ( 2; 5 ) cioè 5 = f(2)

Prendiamo la soluzione y=-x2+4x+c , sostituiamo a y=5 e x=2

c 825 2 1cCosì la soluzione del problema di Cauchy è 142 xxy

Integrale particolare


Equazione Differenziale di ordine 1Equazione Differenziale di ordine 1e teorema di Cauchy

Un’equazione differenziale del I ordine è una equazione del tipo:

F(x,y,y’ ) = 0In cui la x e la y possono anche non comparireUna equazione differenziale del primo ordine si dice in forma normale

se è espressa: y’ = F(x,y)

Il suo integrale generale è la famiglia di funzioni y = f(x,c) e che i suoi integrali particolari si ottengono attribuendo a c determinati valori.supponiamo di voler determinare l’integrale particolare che

soddisfi una certa condizione ad esempio che la curva integrale passi per un punto assegnato o abbia una certa tangente oppure si annulli all’infinito. QUANTI INTEGRALI TROVEREMO CHE SODDISFANO AD UNA TALE CONDIZIONE? Una risposta a questa domanda è fornita dal seguente teorema:


Teorema di Cauchy: Sia F(x,y) una funzione di due variabili reali definita e continua in un sottoinsieme aperto D del piano supponiamo che anche F’y sia continua in D; sia poi P(x0; y0) un punto qualsiasi di D .Allora l’equazione differenziale y’ = F(x,y) di un intorno di x0 , ammette una e una sola soluzione y=g(x) che soddisfa la condizione y 0 = g(x0)


La condizione

y 0 = g(x0)

è detta

CONDIZIONE INIZIALE ed esprime il passaggio della curva integrale per il punto assegnato P(x0;y0).

Il teorema equivale a dire : per ogni punto P(x0;y0)passa una ed una sola curva integrale dell’equazione differenziale considerata.


Le equazioni della forma Le equazioni della forma y’=f(x)y’=f(x)Esse sono le equazioni più semplici da risolvere perché la

funzione che rappresenta è la generica primitiva di f(x); si ha cioè che l’integrale generale è la funzione

dxxfy )(Risolvere l’equazione differenziale

y’=2x e trovare l’integrale particolare

che soddisfa alla condizione y(1) = 0

L’integrale generale è: la condizione data

ci dice che la funzione y=x2+c deve passare per il punto di coordinate (1;0) cioè 0 = 1+c c =-1 l’integrale particolare è così la parabola y=x2+c e il suo grafico è :

cxxdxy 22


-6 -4 -2 2 4 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

fig.1

In figura 1 è rappresentato l’integrale particolare

dell’equazione differenziale y’= 2x passante per il

punto P ( 1; 0 )


In figura 2 sono rappresentati alcuni integrali particolari dell’equazione differenziale y’=2x passanti per punti particolari,tutti derivano dallo stesso integrale generale y= x2+c


Risolvere l’equazione differenziale y’ = e3x

con la condizione y(0) = 3.

Risolvere l’equazione y’ = 1+tg2x con la

condizione iniziale y(π/4) = 0 il simbolo π è il pi greco.

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