Istituto Tecnico Industriale “E.MATTEI” – Rosignano Solvay (Li)Istituto Tecnico Industriale “E.MATTEI” – Rosignano Solvay (Li)Tecnologia e DisegnoTecnologia e Disegno

Prof. Davide LuigiProf. Davide Luigia.s. 2010/2011a.s. 2010/2011

Le proiezioni ortogonaliLe proiezioni ortogonali

Cos’è una proiezione?Cos’è una proiezione?Da latino pro-iectio (-onis), da pro-icere

“gettare”o “lanciare (-ject) in avanti (pro-)” o se vogliamo…….sulla base della nostra esperienza empirica,

Ciò (enti fondamentali della Geometria Euclidea: punto, retta, piano)

che subisce una variazione di luogoda una posizione 1 ad una posizione 2 lungo una direzione e verso definiti.

Innanzitutto…Innanzitutto…

Tale principio è proprio della

Geometria Proiettiva

parte della matematica che studia le trasformazioni geometriche che lasciano invariate le proprietà

grafiche delle figure

da cui

La rappresentazione può essere finalizzata a visualizzare oggetti già esistenti, come nel rilievo (oggetto dal vero), e/o di oggetti mentalmente concepiti, come nella progettazione di manufatti tridimensionali.

Geometria Descrittiva

è la scienza che permette di rappresentare in modo inequivocabilesu uno o più piani, oggetti bidimensionali e tridimensionali, attraverso determinate costruzioni geometriche

I METODI di rappresentazione:

ASSONOMETRIA

PROSPETTIVA

PROIEZIONI ORTIGONALIO

METODO DI MONGE

bidimensionale -2D tridimensionale - 3D

Operazioni fondamentali:I metodi di rappresentazione della geometria descrittiva si basano principalmente su due

operazioni fondamentali, dette operazioni di:

PROIEZIONI SEZIONI

Gli assiomi della geometria descrittiva elementare sono sostanzialmente i postulati di Euclide, ma modificati dall'aggiunta della nozione di

Si ricorda che: assioma e postulato sono sinonimi;

Def. Proposizioni fondamentali della geometria che non si dimostrano e costituiscono le più elementari verità da cui si deducono tutte le altre conclusioni

teoretiche della geometria.

ENTE IMPROPRIO

Cos’è l’ENTE IMPROPRIO?

dalla geometria elementare: punto, retta e piano

sono enti proprio dello spazio finito.

Esiste uno spazio non euclideo detto iperspazio, dove hanno luogo gli Enti noti

non appartenenti allo spazio finito, ma a quello INFINITO.

S S ∞∞

un po’ di storia….

Gaspard MongeGaspard Monge(1746-1818)(1746-1818)

L’inventore del metodo delle proiezioni ortogonali fu L’inventore del metodo delle proiezioni ortogonali fu

Gaspard MongeGaspard Monge,,

matematico francese vissuto nel 1700matematico francese vissuto nel 1700

Conosciuto come un prodigio già da ragazzo, fu ammesso con riserva Conosciuto come un prodigio già da ragazzo, fu ammesso con riserva per le sue umili origini, nellaper le sue umili origini, nella scuola di formazione per militari scuola di formazione per militari MézièresMézières

In quel tempo infatti chi non proveniva da famiglie aristocratiche o In quel tempo infatti chi non proveniva da famiglie aristocratiche o borghesi faceva affidamento sulle istituzioni ecclesiastiche militari borghesi faceva affidamento sulle istituzioni ecclesiastiche militari per proseguire gli studiper proseguire gli studi

La sua invenzione si rivelò ben presto brillante ed eccezionale per La sua invenzione si rivelò ben presto brillante ed eccezionale per quei tempi perché permetteva diquei tempi perché permetteva di definire in poco tempo e con definire in poco tempo e con precisione oggetti di grande interesse come le fortificazioni militariprecisione oggetti di grande interesse come le fortificazioni militari

Nel 1768 Monge fu nominatoNel 1768 Monge fu nominatoprofessore a condizione che i risultati della suaprofessore a condizione che i risultati della suageometria descrittiva rimanessero un segreto militaregeometria descrittiva rimanessero un segreto militarelimitato agli ufficiali superiorilimitato agli ufficiali superiori

Nel 1780 fu nominato a ricoprireNel 1780 fu nominato a ricoprireuna cattedra di matematica nell'Università a Parigiuna cattedra di matematica nell'Università a ParigiMonge Monge abbracciò ardentemente le dottrine della rivoluzioneabbracciò ardentemente le dottrine della rivoluzione e rinnegando l’autorità reale ricevette incarichi di notevolee rinnegando l’autorità reale ricevette incarichi di notevoleimportanza durante la rivoluzione e durante il governo napoleonicoimportanza durante la rivoluzione e durante il governo napoleonico

A Parigi fu A Parigi fu professore alla scuola politecnica,professore alla scuola politecnica, in cui insegnava in cui insegnava geometria descrittivageometria descrittiva, , materia della quale pubblicò un manualemateria della quale pubblicò un manuale

Con la discesa di Napoleone anche la stella di Gaspard Monge si spegne: muore in Con la discesa di Napoleone anche la stella di Gaspard Monge si spegne: muore in estrema povertà a Parigi il 28 luglio 1818, bandito dall’accademia e senza mezzi di estrema povertà a Parigi il 28 luglio 1818, bandito dall’accademia e senza mezzi di sussistenza a causa della sua fede napoleonica, viene interrato in un mausoleo del sussistenza a causa della sua fede napoleonica, viene interrato in un mausoleo del Père Lachaise a Parigi.Père Lachaise a Parigi.

Durante le fasi di progettazione e di realizzazione degli oggetti, la Durante le fasi di progettazione e di realizzazione degli oggetti, la rappresentazione graficarappresentazione graficariveste un ruolo fondamentale, inizialmente per riveste un ruolo fondamentale, inizialmente per concretizzare l’idea progettuale e concretizzare l’idea progettuale e verificarne la fattibilitàverificarne la fattibilità, in seguito per , in seguito per guidare il processo costruttivoguidare il processo costruttivo

Ogni metodo di proiezione è uno strumento per rappresentare la realtà con oggetti della Ogni metodo di proiezione è uno strumento per rappresentare la realtà con oggetti della geometria euclidea, ovvero punti, rette e superficigeometria euclidea, ovvero punti, rette e superfici

Per definire un metodo di proiezione è necessario introdurre alcuni elementi che sono:Per definire un metodo di proiezione è necessario introdurre alcuni elementi che sono:

• l’l’oggetto della rappresentazioneoggetto della rappresentazione; ;

• un un centro di proiezionecentro di proiezione, che corrisponde al nostro occhio, e da cui partono i , che corrisponde al nostro occhio, e da cui partono i raggi raggi proiettantiproiettanti;;

• il il piano di proiezionepiano di proiezione, che corrisponde al foglio di disegno, che corrisponde al foglio di disegno

SS S S ∞∞

S punto proprio, proiezione conica (o S punto proprio, proiezione conica (o centrale)centrale)

S punto improprio, proiezione parallela S punto improprio, proiezione parallela (o cilindrica) che è il caso delle (o cilindrica) che è il caso delle proiezioni ortogonali e assonometricheproiezioni ortogonali e assonometriche

DifferenzeDifferenze

•dal punto di vista dal punto di vista tecnico-operativotecnico-operativo

•dal punto di vista dal punto di vista metricometrico (angoli e lunghezze degli oggetti) (angoli e lunghezze degli oggetti)

ππππ

Nelle Proiezioni Ortogonali il Nelle Proiezioni Ortogonali il centro di proiezione è posto all'infinitocentro di proiezione è posto all'infinito, per cui , per cui le linee le linee proiettanti sono tra loro paralleleproiettanti sono tra loro parallele. Inoltre le linee proiettanti raggiungono i piani di . Inoltre le linee proiettanti raggiungono i piani di proiezione, che sono tre come vedremo, proiezione, che sono tre come vedremo, in modo ortogonalein modo ortogonale, cioè formando angoli retti, cioè formando angoli retti

Lo spazio tridimensionale viene diviso mediante tre piani anch'essi ortogonali fra loro: un Lo spazio tridimensionale viene diviso mediante tre piani anch'essi ortogonali fra loro: un primo primo piano orizzontale (P.O.)piano orizzontale (P.O.), un secondo , un secondo piano verticale (P.V.)piano verticale (P.V.), un terzo , un terzo piano laterale piano laterale (P.L.)(P.L.)

I tre piani così definiti individuano 4 triedri ma la parte di spazio di nostro interesse è il I tre piani così definiti individuano 4 triedri ma la parte di spazio di nostro interesse è il triedro delimitato dai tre semipiani evidenziatotriedro delimitato dai tre semipiani evidenziato

P.V.P.V.P.L.P.L.

P.O.P.O.

I semipiani del triedro possono essere tagliati lungo la linea di separazione tra P.O. e P.L. e I semipiani del triedro possono essere tagliati lungo la linea di separazione tra P.O. e P.L. e ruotando disporsi su un unico piano che sarà il foglio su cui disegneremoruotando disporsi su un unico piano che sarà il foglio su cui disegneremo

P.O.P.O.

P.V.P.V.P.L.P.L.

P.O.P.O.

P.V.P.V.P.L.P.L.

P.O.P.O.

P.V.P.V. P.L.P.L.

L’oggetto viene disposto in questo triedro e L’oggetto viene disposto in questo triedro e proiettando i punti dell’oggetto con i raggi visuali proiettando i punti dell’oggetto con i raggi visuali fuoriuscenti dai centri di proiezionefuoriuscenti dai centri di proiezione, che per le proiezioni ortogonali sono disposti a distanza , che per le proiezioni ortogonali sono disposti a distanza infinita dall’oggetto, fino ad incidere perpendicolarmente ai tre piani vengono definite le tre infinita dall’oggetto, fino ad incidere perpendicolarmente ai tre piani vengono definite le tre proiezioni o viste dell’oggetto sui tre pianiproiezioni o viste dell’oggetto sui tre piani

Nella figura è riportata la rappresentazione in proiezioni ortogonali di una barcaNella figura è riportata la rappresentazione in proiezioni ortogonali di una barca

P.V.P.V.

P.O.P.O.

P.L.P.L.

P.O.P.O.

P.V.P.V. P.L.P.L.

Nei due casi visti finora l’oggetto è definito da tre viste, ma Nei due casi visti finora l’oggetto è definito da tre viste, ma può succedere che non bastino può succedere che non bastino tre proiezioni a descriverlotre proiezioni a descriverlo: in tal caso occorre introdurre : in tal caso occorre introdurre altri piani di proiezionealtri piani di proiezione che si che si ottengono considerando un parallelepipedo nel triedro fondamentale che di appoggia sui ottengono considerando un parallelepipedo nel triedro fondamentale che di appoggia sui piani precedentemente visti e contiene l’oggetto da descriverepiani precedentemente visti e contiene l’oggetto da descrivere

P.O.P.O.

P.V.P.V.P.L.P.L.

Consideriamo un oggetto, per esempio un cubo:Consideriamo un oggetto, per esempio un cubo:

P.L.P.L.P.L. bisP.L. bis P.V.P.V. P.V. bisP.V. bis

P.O. bisP.O. bis

P.O.P.O.

Per realizzare le proiezioni ortogonali di corpi solidi, come, ad esempio, pezzi meccanici, Per realizzare le proiezioni ortogonali di corpi solidi, come, ad esempio, pezzi meccanici, occorre scomporre tali oggetti nei loro più semplici elementi che consistono in punti, rette, occorre scomporre tali oggetti nei loro più semplici elementi che consistono in punti, rette, pianipiani

Quindi per prima cosa impareremo a fare la proiezione di un Quindi per prima cosa impareremo a fare la proiezione di un punto nello spaziopunto nello spazio……

P.O.P.O.

P.V.P.V.

P.L.P.L.

P.O.P.O.

P.V.P.V.

PP

P’P’

P’’P’’

P’’’P’’’

P’P’

P.L.P.L.P’’P’’ P’’’P’’’

Analizziamo ora il caso della Analizziamo ora il caso della rettaretta e supponiamo che essa sia e supponiamo che essa sia parallela ad una asseparallela ad una asse

P.O.P.O.

P.V.P.V.P.L.P.L.

P.O.P.O.

P.V.P.V. P.L.P.L.

AA

A’’A’’

A’’’A’’’

A’’A’’ A’’’A’’’

A’A’

BB

B’B’

B’’’B’’’

B’’B’’

B’B’

B’’’B’’’

CCC’’C’’

C’C’

C’’’C’’’

C’C’

C’’C’’

= B’’= B’’

= A’= A’

= C’’’= C’’’

P.O.P.O.

P.V.P.V.P.L.P.L.

P.O.P.O.

P.V.P.V. P.L.P.L.

Vediamo ora il caso della retta in una Vediamo ora il caso della retta in una posizione generica rispetto ai piani di posizione generica rispetto ai piani di proiezioneproiezione

AA A’’’A’’’

A’A’BB

B’’’B’’’

B’’B’’

Una retta comunque disposta nello spazio è Una retta comunque disposta nello spazio è rappresentata dal segmento i cui estremi rappresentata dal segmento i cui estremi sono le proiezioni dei suoi punti di sono le proiezioni dei suoi punti di intersezione con i piani di proiezione, intersezione con i piani di proiezione, chiamati tracce della rettachiamati tracce della retta

La retta ha dimensione La retta ha dimensione infinita ma la parte di cui infinita ma la parte di cui ci interessiamo è quella ci interessiamo è quella contenuta nel triedro contenuta nel triedro fondamentalefondamentale

= A’’= A’’

= B’= B’

AA A’’’A’’’

A’A’

BB

B’’’B’’’B’’B’’

= A’’= A’’

= B’= B’

P.O.P.O.

P.V.P.V. P.L.P.L.

P.O.P.O.

P.V.P.V. P.L.P.L.

AA

BB

DDCC

EEFF

HHGG

La proiezione di un qualsiasi oggetto su una La proiezione di un qualsiasi oggetto su una terza vista, quando siano già conosciute le terza vista, quando siano già conosciute le altre due, viene risolta con semplici altre due, viene risolta con semplici costruzioni geometrichecostruzioni geometriche

A’’=E’’A’’=E’’ B’’=F’’B’’=F’’

C’’=G’’C’’=G’’D’’=H’’D’’=H’’

E’=H’E’=H’ F’=G’F’=G’

B’=C’B’=C’A’=D’A’=D’

E’’’=F’’’E’’’=F’’’ A’’’=B’’’A’’’=B’’’

D’’’=C’’’D’’’=C’’’H’’’=G’’’H’’’=G’’’

Un oggetto viene rappresentato su un piano con Un oggetto viene rappresentato su un piano con uguali forma e dimensioni solo nel caso in cui sia uguali forma e dimensioni solo nel caso in cui sia parallelo al piano. Se non è soddisfatta questa parallelo al piano. Se non è soddisfatta questa condizione, la vista che si ottiene è detta di scorciocondizione, la vista che si ottiene è detta di scorcio P.O.P.O.

P.V.P.V.

P.L.P.L.

P.O.P.O.

P.V.P.V. P.L.P.L.

AA

H’’’H’’’H’’H’’HH

EE

DDCC

BBH’H’

B’B’

C’C’

D’D’

A’A’

H’H’

E’E’

A’’A’’E’’E’’

D’’D’’

= A’= A’

= B’= B’

= C’= C’= D’= D’

= E’= E’

B’’B’’C’’C’’

E’’’=C’’’E’’’=C’’’D’’’D’’’

A’’’=B’’’A’’’=B’’’

E’’E’’ A’’A’’ D’’D’’ B’’B’’ C’’C’’

H’’H’’ H’’’H’’’

D’’’D’’’ E’’’=C’’’E’’’=C’’’ A’’’=B’’’A’’’=B’’’

Il contorno di un oggetto a superficie curva come Il contorno di un oggetto a superficie curva come quella conica è visibile secondo le generatrici quella conica è visibile secondo le generatrici limite ovvero le generatrici che passano per gli limite ovvero le generatrici che passano per gli estremi della baseestremi della base

P.O.P.O.

P.V.P.V.

P.L.P.L.

P.O.P.O.

P.V.P.V. P.L.P.L.

AA = A’= A’

C’’’C’’’

A’’’A’’’

D’’D’’

DD

CC BB = B’= B’= C’= C’

= D’= D’

A’’=C’’A’’=C’’B’’B’’ D’’’=B’’’D’’’=B’’’

B’B’

A’A’

C’C’

D’D’

HH

H’H’

H’’H’’H’’’H’’’

H’H’

H’’H’’ H’’’H’’’

D’’D’’ A’’=C’’A’’=C’’ B’’B’’ C’’’C’’’ D’’’=B’’’D’’’=B’’’ A’’’A’’’

Metodo delle proiezioni successiveMetodo delle proiezioni successive

P.O.P.O.

P.V.P.V.

La normativaLa normativa• metodi di rappresentazione norma UNI 3969metodi di rappresentazione norma UNI 3969

• proiezioni ortogonali e viste norma UNI 3970proiezioni ortogonali e viste norma UNI 3970

• convenzioni particolari di rappresentazione norma UNI 3977convenzioni particolari di rappresentazione norma UNI 3977

Linee e spessoriLinee e spessoricontinua grossa per spigoli in vistacontinua grossa per spigoli in vista

a tratti grossa (usata soprattutto nel disegno meccanico) per contorni e a tratti grossa (usata soprattutto nel disegno meccanico) per contorni e spigoli nascostispigoli nascosti

assi di simmetria, tracce di piani di simmetria, parti situate assi di simmetria, tracce di piani di simmetria, parti situate anteriormente al piano di sezioneanteriormente al piano di sezione

Formato dei fogliFormato dei fogliLa norma di riferimento è UNI 936La norma di riferimento è UNI 936

Il formato base è AIl formato base è A00 che ha una superficie di 1m che ha una superficie di 1m22 e un rapporto tra i lati pari alla radice di 2 e un rapporto tra i lati pari alla radice di 2

A1

A2

A3A4

A4

A0