Problemi sui Problemi sui rettangoli con rettangoli con le incognitele incognite

Problemi tipo somma e Problemi tipo somma e differenza di differenza di dimensionidimensioni

La somma delle 2 dimensioni di un rettangolo è 35 cm la loro differenza è 5 cm trovare perimetro ed area del rettangolo

b + h = 35 cm b – h = 5 cm

Vediamo sulla figura a cosa corrisponde b - h = 5 cm

Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AF

BF è uguale ad h perciò i 5 cm (il valore con cui la base supera l’altezza) sarà pari a al segmento FC

A cosa corrisponde b + h? Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AE; il segmento EC è uguale a b + h

5 cm

Proviamo a toglierlo, cosa succede?

h

Rimangono due segmenti uguali ad hEF = EC – FC cioè EF = 35 cm – 5 cmEF = h + h = 2h2h = 35 cm – 5 cm = 30 cmh = 30 cm : 2 = 15 cmb = 15 cm + 5 cm = 20 cm2P = (b+ h) x 2 = (20 + 15) cm x 2

= 70 cm A = b x h = 20 cm x 15 cm = 300 cm2

Problemi del tipo una Problemi del tipo una dimensione supera l’altra di dimensione supera l’altra di

….….La somma delle 2 dimensioni di un rettangolo è 60 cm una supera l’altra di 12 cm trovare perimetro ed area del rettangolo

b + h = 60 cm b = h + 12 cm

Il segmento FC è esattamente la porzione di b che supera h e sarà uguale a 12 cm

Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AF

A cosa corrisponde b + h? Col compasso puntato su B e apertura h tracciamo un arco AE; il segmento EC è uguale a b + h

12 cm

Proviamo a toglierlo, cosa succede?

h

Rimangono due segmenti uguali ad hEF = EC – FC cioè EF = 60 cm – 12 cmEF = h + h = 2h2h = 60 cm – 12 cm = 48 cmh = 48 cm : 2 = 24 cmb = 24 cm + 12 cm = 36 cm2P = (b + h) x 2 = (36 + 24) cm x 2

= 120 cm A = b x h = 36 cm x 24 cm = 864 cm2

…….. Ma sono uguali!!!!.. Ma sono uguali!!!!• I due problemi che abbiamo appena visto sono

perfettamente identici anche se sono scritti in forma diversa

• Posso scrivere che la somma delle dimensioni di un rettangolo è di 26 cm e la loro differenza è di 6 cm

• Ma anche la somma delle dimensioni di un rettangolo è di 26 cm e una supera l’altra di 6 cm

• Non cambia assolutamente nulla!!!

b + h = 26 cm b – h = 6 cm

6 cm

2 h = 26 cm – 6 cm = 20 cmh = 20 cm : 2 = 10 cm

b = 10 cm + 6 cm = 16 cm

10 cm

…….variante col .variante col perimetroperimetro

• Se abbiamo il perimetro come dato dobbiamo semplicemente dividerlo per 2, in questo caso otteniamo il semiperimetro che altro non è che la somma delle due dimensioni

Il perimetro di un rettangolo è di 120 cm, e la differenza delle sue dimensioni è di 20 cm. Trovare l’area del rettangolo

20 cm

P = 2P : 2 = 120 cm : 2 = 60 cmb + h = 60 cm b – h = 20 cm2 h = 60 cm – 20 cm = 40 cmh = 40 cm : 2 = 20 cmb = h + 20 cm = (20 + 20) cm = 40 cmA = b x h = 20 x 40 cm2 = 800 cm2

ProblemiProblemi• La somma delle dimensioni di un rettangolo è di

84 cm una supera l’altra di 18 cm trovare perimetro ed area

• La somma della base e dell’altezza di un triangolo è di 324 cm, la base supera l’altezza di 38 cm trovare perimetro ed area

• La somma della base e dell’altezza di un rettangolo è di 129 cm, la loro differenza è di 65 cm trovare perimetro ed area

• La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 145 m la loro differenza è di 47 m. trovare perimetro ed area

Problemi del tipo la somma di due Problemi del tipo la somma di due dimensioni è …. una multipla di dimensioni è …. una multipla di

un’altraun’altraLa somma delle dimensioni di un rettangolo è di 44 cm una è il triplo dell’altra. Trovare l’area

Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo l’arco AE

b + h = 44 cm b = 3h

Il segmento EC sarà uguale alla somma delle due dimensioni

Se osserviamo attentamente vediamo che EC può essere suddivisa in 4 parti uguali ad h

h h

Questo significa che b + h può essere suddivisa in 4 parti uguali ad h perciò 4 h = 44 cm

4 h = 44 cm; h = 44 cm : 4; h = 11 cm

b = 3 x h = 3 x 11 cm = 33 cm

A = b x h = 33 cm x 11 cm = 363 cm

Osserviamo i seguenti casiOsserviamo i seguenti casiLa somma delle due dimensioni è 33 cm una è il doppia dell’altra b = 2h EC = 3 h

EC = 33 cm EC = 3 h 3h = 33 cm : 3 = 11 cm

hhh

La somma delle due dimensioni è di 48 cm una è il triplo dell’altra b = 3h EC = 4hEC = 48 cm EC = 4 h 4h = 48 cm h = 48 cm : 4 = 12 cm

La somma delle due dimensioni è di 60 cm, una è il quadruplo dell’altrab = 4 h EC = 5h

hhhh

hhhhhEC = 60 cm EC = 5 h 5h = 60 cmh = 60 cm : 5 h = 12 cm

Come possiamo vedere per trovare una dimensione basta dividere la somma delle dimensioni per «una unità superiore a quella del multiplo»

Infatti se

b + h = 60 cmb = 3 h

sostituiamo

3 h + h = 60 cm; 4 h = 60 cm

……. varianti col . varianti col perimetroperimetro

• Se abbiamo il perimetro come dato dobbiamo semplicemente dividerlo per 2, in questo caso otteniamo il semiperimetro che altro non è che la somma delle due dimensioni

Il perimetro di un rettangolo è di 90 cm, e una dimensione è il doppio dell’altra. Trovare l’area del rettangolo

P = 2P : 2 = 90 cm : 2 = 45 cmb + h = 45 cm b = 2h

3 h = 45 cmh = 45 cm : 3 = 15 cmb = 2 x h = 15 cm x 2 = 30 cm

A = b x h = 15 x 30 cm2 = 450 cm2

h

Problemi del tipo la somma di due Problemi del tipo la somma di due

dimensioni è …. una supera di …. il dimensioni è …. una supera di …. il

multiplo dell’altramultiplo dell’altraLa somma delle dimensioni di un rettangolo è di 61 cm, una supera di 13 cm il triplo dell’altra. Trovare l’area

Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo l’arco AE

b + h = 61 cm b = 3h + 13 cm

Il segmento EC sarà uguale alla somma delle due dimensioni

Se osserviamo attentamente vediamo che EC può essere suddivisa in 4 parti uguali ad h più un pezzo che misura 13 cm

h h

13 cm

Se io tolgo questo pezzo ottengo una lunghezza che sarà il triplo della dimensione più piccola

In pratica io ho che:h + b = 4h + 13 cm = 61 cm

Da cui ricavo che 4h = 61 cm – 13 cm = 48 cm

h = 48 cm : 4 = 12 cm

b = 3h + 13 cm

sostituiamo

b = 3 x 12 cm + 13 cm = 36 cm + 13 cm = 49 cmA = b x h = 12 cm x 49 cm = 588

cm2

ProblemiProblemi• La somma delle due dimensioni di un rettangolo è

45 cm, una è il doppio dell’altra. Trovare l’area del rettangolo

• La somma della base e dell’altezza di un rettangolo è 144 cm. L’altezza è il triplo della base. Trovare l’area

• La somma della dimensioni di un rettangolo è di 91 cm, una dimensione è il sestuplo dell’altra. Trovare l’area del rettangolo

• La base e l’altezza di un rettangolo sono una il doppio dell’altra. La loro somma è di 96 cm. Trovare l’area.

• La somma delle dimensioni di un rettangolo è di 149 cm, una supera di 13 cm il triplo dell’altra. Trovare l’area

Problemi del tipo la differenza di due Problemi del tipo la differenza di due

dimensioni è …. una multipla di dimensioni è …. una multipla di

un’altraun’altraLa differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 44 cm una è il triplo dell’altra. Trovare perimetro ed areab – h = 44 cm b = 3h

Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo l’arco AEPer definizione BE = h

h

A questo punto EC sarà proprio la differenza fra b ed h

Se prima BC era formato da tre segmenti uguali ad h, ora, dopo la sottrazione, ne resteranno solo 2

hh

EC = b – h EC = 2h2h = 44 cmh = 44 cm : 2 = 22 cmb = h x 3

Sostituisco ad h il suo valore

b = 22 cm x 3 = 66 cm2P = (b + h) x 2 = (22 + 66) cm x 2 2P = 88 cm x 2 = 176 cm

A = b x h = 22 x 66 cm2 = 1452 cm2

Osserviamo i seguenti casiOsserviamo i seguenti casiLa differenza delle due dimensioni è 33 cm una è il doppia dell’altra b = 2h EC = h

EC = 33 cm h = 33 cm b = 33 cm x 2 = 66 cm

La differenza delle due dimensioni è di 48 cm una è il triplo dell’altra b = 3h EC = 2hEC = 48 cm EC = 2 h 2h = 48 cm h = 48 cm : 2 = 24 cm

La differenza delle due dimensioni è di 60 cm, una è il quadruplo dell’altrab = 4 h EC = 3hEC = 60 cm EC = 3 h 3h = 60 cmh = 60 cm : 3 h = 20 cm

Come possiamo vedere per trovare una dimensione basta dividere la differenza delle dimensioni per «una unità inferiore a quella del multiplo»

Infatti se

b – h = 60 cmb = 3 h

sostituiamo

3 h – h = 60 cm; 2 h = 60 cm

hhh

hh

hhhh

ProblemiProblemi• La differenza delle due dimensioni di un

rettangolo è 45 cm, una è il doppio dell’altra. Trovare perimetro ed area del rettangolo

• La differenza della base e dell’altezza di un rettangolo è 144 cm. L’altezza è il triplo della base. Trovare perimetro ed area

• La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 91 cm, una dimensione è il sestuplo dell’altra. Trovare perimetro ed area del rettangolo

• La base e l’altezza di un rettangolo sono una il doppio dell’altra. La loro differenza è di 96 cm. Trovare perimetro ed area.

Problemi del tipo la somma di due Problemi del tipo la somma di due dimensioni è… una è una frazione di dimensioni è… una è una frazione di

un’altraun’altraLa somma delle dimensioni di un rettangolo è di 104 cm una è i 3/5 dell’altra. Trovare l’area del rettangoloAnalizziamo la situazione che propone il problema, la dimensione maggiore viene divisa in 5 parti uguali mentre quella minore è lunga quanto 3 di queste parti

Col compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo l’arco AEIl segmento EC sarà uguale alla somma delle due dimensioni

Se osserviamo attentamente vediamo che EC può essere suddivisa in 8 parti uguali ad

Questo significa che b + h può essere suddivisa in 8 parti uguali ad perciò 8 = 104 cm

= 104 cm : 8 = 13 cmh è costituita da 3 perciò:h = 13 cm x 3 = 39 cmb è costituita da 5 perciò:h = 13 cm x 5 = 65 cmA = b x h = 13 x 65 cm2 = 845 cm2

……. varianti col . varianti col perimetroperimetro

Il perimetro di un rettangolo è di 216 cm, e la base è i 4/5 dell’altezza. Trovare l’area del rettangolo

Il segmento EC = b + h altro non è che il semiperimetro e questo risulta suddiviso in 9

EC = P = 2P : 2 = 216 cm : 2 = 108 cm 9 = 108 cm

= 108 cm : 9 = 12 cm

Con b = 4 e h = 5

b = 4 x = 4 x 12 cm = 48 cmh = 5 x = 5 x 12 cm = 60 cm

ProblemiProblemi• Il perimetro di un rettangolo è di 210 cm; l’altezza

è i 2/5 della base. Trovare l’area• La somme delle dimensioni di un rettangolo è di

234 cm, l’altezza è i 5/8 della base. Trovare l’area del rettangolo

• La somma delle dimensioni di un rettangolo vale 854 cm, una è i 3/11 dell’altra. Trovare l’area del rettangolo

• Il perimetro di un rettangolo è di 960 dm, l’altezza è i 7/8 della base. Trovare l’area del rettangolo

Problemi del tipo la differenza di due Problemi del tipo la differenza di due dimensioni è… una è una frazione di dimensioni è… una è una frazione di

un’altraun’altraLa differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 104 cm una è i 3/5 dell’altra. Trovare l’area del rettangoloAnalizziamo la situazione che propone il problema, la dimensione maggiore viene divisa in 5 parti uguali mentre quella minore è lunga quanto 3 di queste partiCol compasso puntiamo in B e con apertura h tracciamo l’arco AEIl segmento EC sarà uguale alla differenza delle due dimensioni

Se osserviamo attentamente vediamo che EC risulta composta di 2 sole parti uguali ad (5 - 3 = 2)

Questo significa che b - h può essere suddivisa in 2 parti uguali ad perciò 2 = 104 cm = 104 cm : 2 = 52 cmh è costituita da 3 perciò:h = 52 cm x 3 = 156 cmb è costituita da 5 perciò:h = 52 cm x 5 = 260 cm

h

Perché BE, per costruzione, è uguale ad h

ProblemiProblemi• La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di

42 cm, una dimensione è i 4/7 dell’altra, trovare perimetro ed area del rettangolo

• La differenza fra la base e l’altezza di un rettangolo è di 160 cm. La prima è gli 8/3 della seconda. Trovare perimetro ed area del rettangolo

• In un rettangolo la base è i 2/9 dell’altezza, la differenza fra le due dimensioni è di 84 cm. Trovare perimetro ed area del rettangolo

• La differenza delle dimensioni di un rettangolo è di 12 cm, una è gli 8/9 dell’altra. Trovare perimetro ed area del rettangolo

Problemi del tipo l’area è… una Problemi del tipo l’area è… una dimensione è una frazione di un’altradimensione è una frazione di un’altra

L’area di un rettangolo e di 2880 cm2, una dimensione è i 4/5 dell’altra. Trova il perimetro del rettangolo

Come al solito le dimensioni risultano suddivise in parti uguali a , la base 5 e l’altezza 4Però non posso trattarle come le ho trattare fino adesso perché non ho una lunghezza ma ho un’area. Devo fa riferimento ad un’area unitaria, formata un quadrato il cui lato sia A questo punto posso ottenere semplicemente facendo la radice quadrata dell’area di questo quadrato. Se moltiplico 5 x 4 (i termini del rapporto) mi rendo conto che l’area può essere suddivisa in 20 quadratini unitari

5 x 4 = 20 2

A = 20 2 = 2880 cm2 Per trovare l’area di 2 debbo

perciò dividere l’area per 20

2 = 2880 cm2 : 20 = 144 cm2

144 cm2

= √144 cm2 = 12 cmb = 12 cm x 5 = 60 cm h = 12 cm x

4 = 48 cm 2P = (b + h) x 2 = (60 + 48) cm x 2 = 216 cm

problemiproblemi• Un rettangolo ha l’area di1690 cm2. Le sue

dimensioni sono una i 2/5 dell’altra. Trovare il perimetro del rettangolo

• Un rettangolo ha l’area di 8092 cm2. Le sue dimensioni sono una i 4/7 dell’altra. Trovare il perimetro del rettangolo

• Un rettangolo ha l’area di 2904 cm2. la base è i 3/8 dell’altezza. Trovare il perimetro del rettangolo

• Un rettangolo ha l’area di 154,35 m2. la base è i 7/5 dell’altezza. Trovare il perimetro del rettangolo