Problemi di verifica delle ipotesi

CONTENUTIVerifica delle ipotesi

'")Ipotesi nulla e ipotesi alternativa'")Zona di accettazione e zona di rifiuto

Errori

OBIETTIVIConoscere il significato di verifica di un'ipotesi parametrica

, Saper formulare l'ipotesi nulla e quella alternativa., Saper apprezzare l'attendibilità di un'ipotesi sulla media o sulla frequenza

3. 1 PROBLEMI DI VERIFJCA DELLE IPOTE§I

Come abbiamo detto (paragrafo 2.1), si parla di problemi di verifica delle ipotesi quan-do si formula un'ipotesi sulle caratteristiche dell'lloiverso e si vuole verificare se taleipotesi può essere accettata o deve essere respipta ..--

Qualsiasi problema di verifica delle ipotesi passa attraverso le seguenti fasi:

., viene_~~mulata un'ipotesi sull'universo;

., si estrae un campione dall'universo;

., analizzando il campione estratto si verifica l'ipotesi.

Si f0istiozione <"lseconda che l'ipotesi formlllata rigmrda lln p<"lpmetro (media oppu-re frequenza relativa dell'universo) oppure ilmodo in cui l'universo si distribuisce. Nelprimo caso si parla di ipotesi parametricl;!e, nel secondo di ipotesi funzionali.

l Formuliamo la se uente i otesi: il 70% de li stud he conseauiranno la maturità allafine di questo anno scolastico si iscriverà all'università. Come si vede, SI tra a I un ipo-tesI parametrica in quanto viene assegnato, per ipotesi, un valore al parametro frequenzarelativa dell'universo costituito da tutti gli studenti maturandi. L'ipotesi verrà verificata me-diante estrazione di un campione da sottoporre a test. '

ii! Formuliamo la seguente ipotesi: il contenuto, espresso in litri, di acqua minerale imbotti-gliata in un determinato tipo di bottiglia si distribuisce secondo una gaussiana. In questocaso si tratta di un'ipotesi funzionale, in quanto ci si riferisce al tipo di distribuzione. An-che ora l'ipotesi verrà verificata mediante l'estrazione di un campione da sottoporre atest.

In seguito ci occuperemo esclusivamente di ipotesi parametriche.

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Sezione 5www ,Unita :3

Statistica inferenziale

Problemi di verifica delle ipotesi

3.1. 1 Verifica di una ipot:e!ii

C01l...ti[eriI!le!:s.?a un dato uEliverso formuliamo un'ieQtesi- c9nsistente nell'ass~nareu.,..nvalor.s:.eo oLll.P suo .l2arimetr.o e (media oppure frequenza relativa). Per ver~arel'ì~.si formulata eseguiamo un test strutturato come segl,!,e:'" si estrae dall'universo considerato un campione per ilquale si calcola ilva-lore ee d!1;si confronta ee con eo e sulla base di questo confronto.si decide se l'ipotesifO~lUtata pu.ò...es~er.e..aGGettata-e-deve-@ss~t:e.-cifiutata.

Ril2~endendo iLprecedente esempio 1, relati\TQalnymero di maturandi che si iscrivonoall'università, si ha: .-

e fr~quenza relativa;eo valore ipotizzato per la frequenza relativa dell'universo, cioè 70%;

ee valore della frequenza relativa riscontJ:2t:a-iU-uILcampi.oneestratto dall'universoéonsiderato.

Allora:-

GYsi può ritenere che l'i otesi fatta' e che, quindi, può essere accettata Cinreal-.-fa, ciò acca e raramente); - . >

b. se, invece, come di solito accade, è . .p. G#eo

a. se

sUishiede" la differenza fra e ç e eo è così grande da poterla ritenere significativa oppure è cosìpiccola da poterla ritenere insignificante?

Ebbene:-se la differenza fra ee e eo è..ç9sìgrande da poterla ritenere significativa l'i-potesi viene rifiutata;

" se, invece, la differenza fra ee e eo è così piccola da poterla ritenere non si-gnil1cativa l'ipotesi può essere accettata. -

Riprendiamo ancora l'es . o ai maturangi tenendo presente che l'ipotesi introdot-ta su a ,eqllenza relatjva dell'universo è B - 0,70. SUp'poniamo.-CIllindi. di estrarre un campio-ne e di trovare per esso la frequenza relativa Re. Aliora:-

" se Be = 0,70 l'ipotesi fatta viene ritenuta accettabjle;., se Be = 0,30 abbiamo motjyo di ritenere che l'ioQtesifatta non sia accettabile, e, quindi, essaviene rifiutata;

., se Be - 0,68 abbiamo sufficienti motivj per rjtenere che J.:i12otesifatta sia accetta,bile dipen-dendo la lievissima differenza da semplici fluttuazioni campionarie.

~

In sostanza, possiamo dire che mentre nel caso in cui si trova Be = 0,30 vi sono prove più che

.

sufficienti per ritenere l'ipotesi non accettabile, nel caso in cui si trova Be = 0,68 esistono provesufficienti per non dovere rifiutare l'ipotesi.

Statistica inferenziale Sezione 5Problemi di verifica delle ipotesi

Unità :3

Da notare che la verifica di cui sopra deve essere intesa nel senso giusto. A questoproposito osserviamo quanto segue. Formuliamo l'ipotesi "e assume il valore Bo" am-mettendo, per definizione, che essa sia vera. Naturalmente, a priori non sappiamoche l'ipotesi è vera e, quindi, procediamo alla sua verifica estraendo un campione ecalcolando Be Ora:

l') se il campione estratto fornisce un valore ec che si discosta poco da Bo accettiamoripotesi che, per definizione, è vera. La decisione è corretta;

se il campione estratto fornisce un valore Be notevolmente diverso da Bo perché sitratta dI un camplOne raro !'ipotesi viene rifiutata P-lJreessendo la stessa vera per de-finizione. Come si vede, la decisione è elJ:ata.

Sulla possibilità di commettere errori e sui diversi tipi di errori che si possono COlTunet-tere torneremo nel paragrafo 314

3. 1. ii! Ipot:e!ii nulla e ipot:e!ii alt:ernat:iva

Formuliamo l'ipotesi "B assume il valore Bo'" Essa viene indicata nel modo seguente:

Ho : B = Bo

e viene detta ipotesi nulla. In sostanza, l'ipotesi nulla Ho è quella che si VJ Jole veri-ficare.ATflni della verifica all'i otesi nulla H viene contra. posta l'ipotesi alternativa H.lde ·inita come quell'ipotesi che nega la validità dell'ipotesi nulla per cui

Hl è vera quando Ho è falsa e viceversa

L'ipotesi alternativa può assumere tre configurazioni diverse:

Hl : B # BoHl : e < BoHl : B > eo

ipotesi alternativa bilaterale ~

ipotesi alternativa unilaterale sinistra

ipotesi alternativa unilaterale_~a

La configurazione alternativa bilaterale è quella di più inunediata comprensjone. Tut-tavia, esistono molte situazioni concrete nelle quali interessa la configurazione alterna-tiva unilaterale destra oppure quella sinistra. Per chiarire questo fatto consideriamo idue esempi che seguono. ~

l Un processo che riguarda la produzione di viti autofilettanti è tenuto sotto controllo: lalunghezza media delle viti è di 20 mm. In questo caso si ha

HO: M = 20

ed è owio contrapporre all'ipotesi nulla l'ipotesi alternativa bilaterale

I-II : M 1= 20Ciò in quanto il processo viene considerato fuori controllo quando vengono prodotte viti la cuilunghezza media è maggiore oppure minore di 20 mm.

!iezione 5 Statistica inferenziale

Unità :3Problemi di verifica delle ipotesi

ii! Un contratto relativo alla fornitura di componenti elettronici di un certo tipo prevede chela percentuale di pezzi difettosi non può superare il 3%. In questo caso si ha

HO: p = 0,03

ed è ovvio contrapporre all'ipotesi nulla l'ipotesi alternativa unilaterale destra

Hl : P> 0,03

Ciò in quanto, se la percentuale di pezzi difettosi supera il 3%, l'acquirente può reclamare edeventualmente rifiutare la fornitura. Non interessa, invece, il caso che la percentuale di pezzidifettosi sia minore del 3%: in questo caso l'acquirente sarebbe soddisfatto.

3. 1. 3 Zona di accet:t:azione e zona di rifiut:o

Abbiamo detto che l'ipotesi nulla Ho viene accettata quando Be = eo (in concreto, ciòaccade raramente) o quando, più realisticamente, la differenza fra ee e eo è talmentecontenuta da non legittimare un rifiuto. Allora, il punto è questo

'")quanto deve essere contenuta la differenza fra Bee Bo perché il non rifiuto

dell'ipotesi nulla Ho possa essere ritenuto giustificato?

Per risolvere il problema è necessario stabilire delle regole di comportamento in basealle quali, in presenza di una certa differenza fra ee e Bo, è possibile decidere se l'ipo-tesi nulla Ho va accettata oppure rifiutata. Naturalmente, si tratta di regole che hannocarattere probabilistico. Per ottenerle ragioniamo come segue.Partiamo dal presupposto che le differenze molto elevate fra Be e Bo siano piuttostorare mentre le differenze contenute siano piuttosto frequenti e che la distribuzione del-le differenze abbia forma approssimativamente gaussiana (ciò accade senz'altro nelcaso eli grandi campioni). Ebbene, assumendo inizialmente come valida l'ipotesi nullaHo, la distribuzione viene divisa in due zone.

ZONADI RIFIUTO.Corrisponde ai valori delle differenze che hanno probabi-

lità bassa di verificarsi quando l'ipotesi nulla Ho è vera.

ZONADI ACCElTAZIONE.Corrisponde ai valori delle differenze che stanno al

di fuori della zona di rifiuto.

Come si vede, la definizione della zona di rifiuto e della zona di accettazione richiedeche venga preliminarmente fissata una probabilità ex, detta livello di significatività.Ne segue che la verifica di validità dell'ipotesi nulla Ho va fatta in base al seguente

TEST.Fissato un livello di significatività exsi determina, in corrispondenza, un

intervallo di estremi - z (ex) e +z (ex) che defInisce la zona di accettazione. Se ladifferenza fra Bee Bo cade dentro l'intervallo di accettazione l'ipotesi nulla Hoviene accettata; in caso contrario viene rifiutata.

Statistica inferenziale Sezione 5Problemi di verifica delle ipotesi

Unità :3

In merito a quanto ora detto si osservi la figura 3.1: ci troviamo in presenza di un testbilaterale o a due code.

f(z)

+z(a) z-z\a) O

Fig. 3.1nn I I_n_n_n_nn

rifiuto accettazione rifiuto

Se, invece, il test è unilaterale o a una coda, vale la figura 3.2 (coda a sinistra) o, rispet-tivamente, la figura 3.3 (coda a destra).

f(z) f(z)

z

a

-z(a) O z• n +-I _

rifiuto accettazione

_________ ---.,1 n n __ n __

rifiutoaccettazione

Fig. 3.2 Fig. 3.3

Occorre tener presente che, ovviamente, le differenze fra Be e Bo vanno opportuna-mente standardizzale.

3.1.4 Errori e loro t:ipologia

Abbiamo accennato al fatto che, pure essendo vera l'ipotesi Ho, essa viene rifiutata sela differenza fra Be e eo è molto alta in dipendenza dal fatto che ec è relativo a un cam-pione raro. In questo caso si prende una decisione errata. In generale:

a. la decisione è corretta quando

" l'ipotesi nulla Ho, che è vera, viene accettata

oppure

..,l'ipotesi nulla Ho, che è falsa, viene rifiutata

b. la decisione è errata quando

l'ipotesi nulla Ho, che è vera, viene rifiutata

oppure

l'ipotesi nulla Ho, che è falsa, viene accettata.

Sezione 5 Statistica inferenziale

Unità :3Problemi di verifica delle ipotesi

A questo proposito si veda la tabella seguente nella quale sono evidenziate le quattropossibili situazioni.

~accettazione di H o rifiuto di H o

Ul11verso

Ho è vera decisione corretta errore di I specieHo è falsa errore di II specie decisione corretta

In particolare:

l'errore si dice di prima specie quando si rifiuta un'ipotesi nulla vera;

l'errore si dice di seconda specie quando si accetta un'ipotesi nulla falsa.

Infine, precisiamo che

....il valore exviene chiamato, come già detto, livello di significatività. Esso indica laprobabilità di commettere errore di prima specie. Infatti, ammesso che l'ipotesi Hosia vera, se la differenza fra ec e eo cade nella zona di rifiuto, evento di probabilitàex, l'ipotesi Ho viene rifiutata pure essendo, per ammissione, vera;

il valore 1 - excostituisce un livello di fiducia o livello di confidenza;

la probabilità di commettere errore di seconda specie viene indicato col simbolo {3;

un test statistico ideale dovrebbe permettere di minimizzare contemporaneamente exe {3. Ciò, però, non è possibile perché, per una numerosità campionaria prefissata,riducendo exaumenta {3 e viceversa;

., in generale, si ritiene più grave l'errore di prima specie e, quindi, si assegna ad exunvalore molto basso: 0,05 oppure 0,01

3. i! VERIFICA DIIPOTE§I §ULLA MEDIA I\IEL CA§O

DI GRAI\IDI CAMPIOI\II

Per un dato universo consideriamo il parametro

e = media = M

Essendo M non nota formuliamo l'ipotesi che essa sia uguale a Ma (cioè Bo = Ma). Vo-gliamo verificare l'ipotesi nulla

Ho :)11! = Ma

alla quale viene contrapposta l'ipotesi alternativa bilaterale (a due code)

A tale scopo:

fissiamo il livello di significatività ex e, quindi, il livello di confidenza 1 - ex;

determiniamo i valori - z( ex) e +z( ex) definendo la zona di accettazione e quella dirifiuto;

Statistica inferenziale Sezione 5Problemi di verifica delle ipotesi Unità :3~

estraiamo un campione casuale di n elementi calcolandone la media x (cioè Be = x)e lo scarto quadratico medio Je;

'")calcoliamo la differenza x - Ma (cioè ee - eo);'")calcoliamo il valore standard corrispondente cioè lo scarto standardizzato della me-dia campionaria

z(x) = x - Ma _ x - MaJ(X) - ~

vn, essendo lo scarto quadratico medio J dell'universo non noto assumiamo al suo po-sto lo scarto quadratico medio corretto 3, del campione

_ x-Maz(x) = --A

j.

.fii'")confrontiamo z(x) con z( a) procedendo come segue

a. se z(x) cade nella zona di rifiuto, cioèz(x) < -z(a) oppllre z(x) > +z(a)

si rifiuta, a livello di significatività a, l'ipotesi nulla. Ciò perché il valore della mediaosservato nel campione ha una probabilità molto piccola « a) di verificarsi quan-do Ho è vera per cui è ragionevole accogliere l'ipotesi alternativa;

b. se z(:X) cade nella zona di accettazione, cioè

-z(a) < z(x) < +z(a)

non si può rifiutare, a livello di significatività a, l'ipotesi nulla. Ciò perché il valoredella media osservato ha una probabilità non modesta (2: a) di presentarsi (per pu-ro effetto delle fluttuazioni campionarie) quando Ho è vera. Tale fatto, sia ben chia-ro, non assicura che Ho sia vera: significa solamente che non vi sono elementi suf-ficienti per ritenerla falsa.

l Un'azienda produce pile elettriche dichiarando che la durata media delle medesime èuguale a 800 ore. Un'azienda interessata ad acquisti su larga scala indaga su un campionedi 100 pile accertando una durata media pari a 785 ore e uno scarto quadratico mediocorretto pari a 60. Si procede alla verifica della dichiarazione fatta dal produttore adottan-do un livello di significatività uguale al 5% oppure all'l %.

L'ipotesi nulla èHO: M = 800

L'ipotesi alternativa bilaterale èHl: M 1800

Essendo n = 100 la numerosità del campione e rispettivamente

x = 785 J = 60

Sezione 5 Statistica inferenziale

Unità :3Problemi di verifica delle ipotesi

la media e lo scarto quadratico medio corretto del campione, determiniamo lo scalio standar-dizzato della media campionaria

z(x) = 785 - 80060 = -2,5

vT50Allora:

a. con un livello di significatività uguale a a. = 0,05 (livello di fiducia 1 - a. = 0,95) si trova=Fz(a.) = =F1,96. Ne segue che la zona di accettazione va da -1,96 a + 1,96 e che

z(x) = -2,5 < z(a.) = -1,96

Vuoi dire che z(x) cade nella zona di rifiuto e, pertanto a livello di significatività del 5%, l'ipo-tesi nulla viene rifiutata: figura 3.4.

f(z)

1- o. = 0,95

+ 1,96 z-1,96 o

Fig. 3.4

--.- I."=-u--u u- ~~~ - - - - - 1 rifiuto--- _u _ Irifiuto.\-

accettazione

b. con un livello di significatività a. = 0,01 (livello di fiducia 0,99) si ha =Fz(a.) = =F2,58In que-sto caso la zona di accettazione va da - 2,58 a + 2,58 e risulta

-Z(a.) = -2,58 < z(x) = -2,5 < +z(a.) = +2,58

~

QUindi, z(x) cade nella zona di accettazione: a livello di significatività dell'1% l'ipotesi nullaI lene accettata.I\ ii! I consumo medio di latte in una data regione è stato uguale, durante un anno, a litri 7,5.'~iene effettuata una campagna pubblicitaria e per conoscerne l'effetto si fa un'indagine

su un campione di 500 abitanti ottenendo i risultati seguenti: consumo medio 8,2; scartoquadratico medio corretto 4,4. Ci si chiede se, a livello dell'l %, la campagna pubblicitariaha fatto aumentare in modo significativo il consumo medio di latte.

L'ipotesi nulla è che il consumo medio sia rimasto invariato:

HO: M = 7,5

L'ipotesi alternativa è che il consumo medio sia aumentato:

Hl: M> 7,5

Statistica inferenziale Sezione 5Problemi di verifica delle ipotesi Uni~à :3

Come si vede, si tratta di un'ipotesi laterale destra (coda a destra). Essendo

n = 500 x = 8,2 j. = 4,4si ottiene

8,2 - 7,5 = 3,56z(x) = 4,4

v'sOOCon un livello di significatività del l' l%, trattandosi di un test unilaterale destro, occorre trovareil valore z(a) tale che sia F[z(a)] = 0,99. Si trova z(a) = +2,33. Allora, la zona di accetfazioneè quella che sta a sinistra di + 2,33 ed essendo z(x) = 3,56 > z(a) = 2,33 l'ipotesi nulla vienerifiutata. A livello di significatività dell' l% si conclude che il consumo di latte non è rimastoinvariato (si rifiuta l'ipotesi nulla) ma che esso è aumentato (si accetta l'ipotesi alternativa).In proposito, si veda la figura 3.5.

f(z)

z

Fig. 3.5

3,56---------------+1 n_n_n_n_n_nn_

rifiutoaccettazione

3. 3 VERIFICA DI IPOTE!i1 §ULLA MEDIA I\IEL CA!iO

DI PICCOLI CAMPIOI\II

Nel caso di piccoli campioni distinguiamo due casi:

~ se (J è noto si procede, come nel caso di grandi campioni in base alla distribuzionegaussiana standardizzata;

I) se (J non è noto si procede in base alla distribuzione di Student con n-l gradi dilibertà. In questo caso si ha

x-Mat=---

3-Vn

In seguito faremo sempre uso della gaussiana standardizzata.

Sezione 5 Statistica inferenziale

Unità :3Problemi di verifica delle ipotesi

3.4 VERIFICA DI IPOTE511\1EL CA§O DELLA FREQUEI\IZA RELATIVA

Per un dato universo consideriamo il parametroB = frequenza relativa =p

Essendo p non nota formuliamo l'ipotesi che essa sia uguale a Po. Vogliamo verificarel'ipotesi nulla

Ho:P=Poalla quale viene contrapposta l'ipotesi alternativa

Ragionando in modo analogo a quanto fatto per la verifica eli ipotesi sulla media si tro-va

Pe - Po = Pe - Poz(P) ~ a(p) l' 'io

n

Da notare che a{p) è calcolato in base al valore Po e non in base alla media campionariaPe·

l Alle passate elezioni politiche un partito ha ottenuto il 25% dei voti. Allo scopo di accer-tare se sono intervenute variazioni nelle preferenze politiche viene effettuata un'indaginecampionaria su un campione di 1.200 elettori e viene accertato che il 23% degli intervi-stati si dichiara ancora favorevole a quel partito. Ci si chiede, a livello di significatività,del 5%, se veramente la percentuale di elettori di quel paliito risulta variata.

ConsideriamoHO: p = 0,25 e Hl •p i= 0,25

Come si vede l'ipotesi alternativa è di tipo bilaterale Cadue code): quel partito potrebbe avereoggi un numero maggiore o minore di voti. Tenendo presente che

Po = 25% Pc = 23% n = 1.200a = 0,5 l - a = 0,95 z(a) = =t= 1,96

si trova lo scarto standardizzato della frequenza campionaria

0,23 - 0,25 = -1,6z(p) = '0,25.0,75

1.200La zona di accettazione è compresa fra - 1,96 e + 1,96. Pertanto - 1,6 cade dentro la zona diaccettazione: vuoi dire che, a livello di significatività del 5%, non si può rifiutare l'ipotesi nullaper cui bisogna concludere che la percentuale dei votanti per quel partito è rimasta invariata(pari al 25%).

ii! Per tutti gli studenti inscritti a una scuola si stima uguale al 40% la frequenza relativa diquegli studenti che praticano attività sportive. Per verificare l'ipotesi avanzata viene inter-vistato un campione di 90 studenti: 45 dichiarano di praticare attività sportive. Per la ve-rifica viene adottato il livello di significatività del 5%.

Statistica inferenziale Sezione 5Problemi di verifica delle ipotesi

Unità :3

ConsideriamoHo: p = 0,4 e f-/j : p le 0,4

Anche ora siamo in presenza di un test bilaterale. Per a = 0,05 si ha z(a) = =t= 1,96 per cui lazona di accettazione è compresa fra - 1,96 e + 1,96. Essendo

Pc = 45 : 90 = 0,5si ha

0,5 - 0,4 = 1,94z(p) = )0,4.0,6

90Poiché 1,94 cade nella zona di accettazione l'ipotesi nulla viene accettata, con livello di signi-ficatività del 5%.

3 Si lancia un dado per SOvolte e per 12 volte si presenta il numero 5. Ci si chiede se il dadoè regolare o meno adottando un livello di significatività del 5%.

In questo caso si ha

1Ho: P ="6 e

Se il dado è regolare la probabilità di ottenere 5 a ogni lancio è uguale a 1/6. Si tratta di ipotesialternativa bilaterale per la quale:

1 12PO="6=0,17 PC=SO=0,15 n=SO

a=0,5 !-a=0,S5 z(a)=±1,96

Quindi, si ha

z(p) = 0,15-0,17'0,17.0,S3

SO

= 4,76

Essendo z(P) > z(a) l'ipotesi nulla viene rifuitata e si conclude che il dado è truccato.

..~AUTOVERIFICASe hai dubbi o trovi qualche difficoltà rivedi il paragrafo indicato nella terza colonna

n test par.

\ Spiega in che cosa consiste un'ipotesi parametrica. 3.1

\~ Fai un esempio che serva a chiarire il significato di ipotesi nulla Ho e di 3.1.2

"ipotesi alternativa Hl.

\. In quanti modi può presentarsi l'ipotesi alternativa? 3.12

4 Se Ho : e = Bo è l'ipotesi nulla, allora perché l'ipotesi alternativa sia bila- 31.2.terale deve essere

D Hl: B < eoD Hl: e i= eoD Hl : e > Bo

5 Che cosa intendi per zona di rifiuto? 3.13

6 Chiarisci il significato di livello di significatività. 3.1.3

7 Una decisione è corretta quando 3.1.4oppure

8 Una decisione è errata quando 3.14oppure

:,..

ESERCIZI

Risolvi i seguenti esercizi relativi alla verifica di ipotesi sulla media.

Sulla media Sulla frequenza relativa

z(x) = x - Mo~Vn

Pc - Poz(P) = JPO ~ qo

Ho: e = eOHl : e # eoipotesi bilaterale

a

Ho: e = eoHl : e < eoipotesi unilaterale sinistra

Ho: e = eoHl: e > eoipotesi unilaterale destra

Una ditta produce pile elettriche per le quali dichiara una durata media di 750 ore. Un possi-bile acquirenJe effettua un'indagine su un campione di 80 pile accertando una durata mediadi 742 ore con uno scarto quadratico medio corretto pari a 37 ore. Procedi alla verifica delladichiarazione fatta dal fabbricante, adottando un livello di significatività del 5%, contro l'ipo-tesi alternativa bilaterale. [Ho viene accettata]

Sezione 5 Statistica inferenziale

Unità :3

Cl»

Problemi di verifica delle ipotesi - Esercizi

Considerando l'esempio precedente procedi alla verifica adottando un livello di significativitàdell' l % o, rispettivamente, del 10%.

[Nel primo caso Ho viene accettata (è ovvio); nel secondo caso Ho viene rifiutata]

c.. Considerando l'esercizio l procedi alla verifica assumendo come ipotesi alternativa l'ipotesiunilaterale sinistra; livello di significatività 5%. [Ho viene rifiutata]

·C» Una ditta produce detersivi che vende in confezioni per le quali dichiara un peso medio di 4kg. Un supermercato, che è interessato all'acquisto di una grossapartita, indaga su un cam-pione di 45 scatole accertando un peso medio di 3,8 kg con uno scarto quadratico mediocorretto di 0,6kg. Verifica l'affermazione fatta dalla ditta produttrice, a livello di significatività del 5% oppuredell'l %, contro l'ipotesi unilaterale sinistra.[Con livello di significatività del 5% l'ipotesi nulla viene rifiutata; con livello dell' l % non vienerifiutata]

rQ Una ditta produce dischetti il cui diametro dovrebbe esseredi 22 mm. Viene estratto un cam-'Q piane di 150dischetti per il quale viene accertato un diametro medio di 21,8 mm con unoscarto quadratico medio di 0,5 mm. Adottando un livello di significatività del 5% si vuole ve-rificare se la produzione è sotto controllo.

[Ipotesi bilaterale; Ho viene rifiutata; la produzione non è .sotto controllo]

C!» Un gruppo di 25 ragazzi di 18anni, che frequentano una palestra, presenta un'altezza mediadi 170,5cm con uno scarto quadratico medio corretto di 4,5 cm. Verifica l'ipotesi che l'altezzamedia per i ragazzi di quell'età sia uguale a 170cm, a livello di significatività dell' l %, control'ipotesi alternativa che essasia maggiore. Verifica la stessaipotesi, a livello del 5%, control'ipotesi bilaterale. [Ho accettata in entrambi i casi]

.. In un campione di 32 scatole di pasta alimentare il peso medio è risultato uguale a grammi495 con uno scarto quadratico medio corretto uguale a grammi 4,2. A livello di significativitàdel 5% si può respingere l'ipotesi nulla secondo la quale il peso medio dell'universo è ugualea grammi 5007 [Ipotesi bilaterale; Ho viene rifiutata]

4!» Il reddito medio dichiarato dai medici di una città è di Euro 12.911,42con uno scarto quadra-tico medio corretto di Euro 3.227,85.Si estraeun campione di 100medici per i quali si accertaun reddito medio di Euro 15.442,06.Si può pensare, a livello di significatività dell'l %, che ilreddito vero sia superiore a quello dichiarato'

[Ipotesi unilaterale destra; Ho è rifiutata; il reddito vero è superiore a quello dichiarato]

~ Vengono intervistati 130studenti di una grande città per conoscere il tempo medio impiegatoper recarsi da casa a scuola. Si è accertato così che il tempo medio è di 33 minuti con unoscarto quadratico medio corretto di 14minuti. Si formula l'ipotesi che il tempo medio per l'in-tera popolazione studentesca della città è di 30 minuti. Sottoponi a verifica l'ipotesi assumen-do a = 1%. [Ipotesi bilaterale; Ho non viene rifiutata]

CI!) Una ditta produce sfere metalliche che dovrebbero avere un diametro medio di 10mm conuno scarto quadratico medio pari a 0,2mm. Si estraeun campione di 80 sfere dal quale risultaun diametro medio di 10,2millimetri. Accerta se la produzione è sotto controllo con un livellodi significatività del 5%.

[ipotesi bilaterale; Ho è rifiutata: la produzione non è sottocontrollo]

Statistica inferenziale Sezione 5Problemi di verifica delle ipotesi - Esercizi

Unità :3

Con riferimento all'esercizio precedente determina fra quali valori deve cadere la media delcampione perché la produzione possa essre considerata sotto controllo. [9,56; 10,04]

3SI avanza l'Ipotesi che l'età media degE studenti lse<ln; alla facoltà di Economia sia di anni 23.Da un campione di 120 studenti si ricava un'età media di 23 anni e 3 mesi con uno scartoquadratico medio di 3 anni. Verifica l'ipotesi avanzata con un livello di significatività del 2%.

[ipotesi bilaterale; Ho viene accettata]

Una ditta produce biscotti che confeziona in scatole dal peso medio di 1.000 g, con una va-rianza di 900 g. Estraendo un campione di 100 scatole si riscontra un peso medio di 990 g.Verifica l'ipotesi che il peso medio delle scatole sia di l.000 g adottando un livello di signifi-catività del 5%. [ipotesi bilaterale; Ho viene rifiutata]

Risolvi i seguenti esercizi relativi alla verifica di ipotesi sulla frequenza relativa.

Si formula l'ipotesi che la percentuale degli studenti della Facoltà di Economia e Commercioche si laureano entro la fine del quarto anno sia del 40%. Considera un campione di 100 stu-denti laureati accertando che 35 di essi si sono laureati entro il quarto anno. Verifica l'ipotesifatta, con livello di significatività 5%, contro l'alternativa di una durata maggiore degli studi.

[Ho viene accettata]

Una casa farmaceutica dichiara che un suo prodotto è valido nel 93% dei casi sottoposti aterapia. Da una sperimentazione condotta su 150 ammalati risulta che 132 di essi sono guariti.Verifica, con livello di significatività del 5%, se la validità del prodotto considerato è quelladichiarata dalla ditta.[Ipotesi unilaterale sinistra; Ho viene rifiutata; la dichiarazione della casa farmaceutica vienerifiutata]

Una ditta produce ingranaggi meccanici. Estraendo un campione di 200 pezzi si riscontra che17 sono difettosi. Adottando il livello di significatività del 5% possiamo formulare l'ipotesi cheil 6% della produzione sia difettosa? Effettua la verifica in contrapposizione alle ipotesi alter-native bilaterale, unilaterale destra e unilaterale sinistra. [Ho è accettata in qualsiasi caso]

Un'impresa ha in progetto l'acquisto di un impianto allo scopo di migliorare la produzione.Con l'impianto fino a ora utilizzato i pezzi difettosi sono stati pari al 7%. Prima di procedereall'acquisto viene sottoposto a prova il nuovo tipo di impianto e viene accertato che su 200pezzi prodotti quelli difettosi sono 12. È lecito ipotizzare, a livello di significatività dell' 1%,che il nuovo impianto migliori la produzione?[Ipotesi unilaterale sinistra; Ho viene accettata e, quindi, non è vero che la produzione miglio-ri]

Si lancia una moneta per 100 volte ottenendo testa per 60 volte, verifica l'ipotesi che la pro-babilità di ottenere testa in un lancio qualsiasi è 1/2 contro l'ipotesi alternativa che tale pro-babilità sia maggiore di 1/2, con un livello di significatività dell' 1%.

[ipotesi unilaterale sinistra; Ho viene accettata]

Con riferimento all'esercizio precedente determina il numero minimo di teste che occorre ot-tenere per rifiutare l'ipotesi nulla. [62]