Test Di Ipotesi

8/9/2019 Test Di Ipotesi

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M. Garetto - Laboratorio di Statistica con Excel

Dipartimento di Matematica - Universit di Torino

Esercizio 67Test di ipotesi. Introduzione e definizioni

Test di ipotesi sulla media

(varianza della popolazione nota - grandi campioni)

Un test di ipotesi un procedimento infereniale c!e mette a confronto due ipotesi ri"uardanti una

popolaione# una delle $uali la ne"aione dell%altra# dette ipotesi nulla &' e ipotesi alternativa &(.

Sulla base dei valori di un campione di dati# si decide se rifiutare o non rifiutare l%ipotesi nulla &'#

con un determinato mar"ine di errore.

1

)n base alla scelta delle due ipotesi# il test sar a una coda o a due code.

un valore asse"nato*

+coda di destra, o minore +coda di sinistra, di un valore asse"nato*

2

)l livello di si"nificativit alfa u"uale alla probabilit di rifiutare l%ipotesi nulla $uando essa vera

3

La re"ione di rifiuto l%insieme dei valori c!e conducono al rifiuto dell%ipotesi nulla

) valori critici sono i valori c!e separano la re"ione di rifiuto da $uella di accettaione

)l valore della statistica test un numero c!e riassume le informaioni contenute nei dati del

campione.La formula per calcolare la statistica test dipende dal test c!e si effettua.

!

di rifiuto

Se il valore della statistica test cade nella re"ione di rifiuto si rifiuta l%ipotesi nulla#

se invece cade al di fuori non si rifiuta.

e sul confronto tra il p-value e il livello di si"nificativit +edere Eserciio /,

Test di ipotesi sulla media - varianza nota" grandi campioni

La statistica test per $uesto tipo di test si calcola con la formula se"uente

n numero di elementi del campione

valor medio calcolato dai dati del campione

valore della media assunto nell0ipotesi nulla

1 scarto $uadratico medio della popolaione

) valori critici si calcolano con la distribuione normale +funione )2.234M.ST,

Se la popolaione da cui proviene il campione normale# $uesto test per "randi campioni pu5

essere usato anc!e nel caso di piccoli campioni con variana nota +Eserciio 6.6,

#oluzione Esercizio 67

) punti fondamentali di un test di ipotesisono i se"uenti7

formulare l%ipotesi nulla $%e l%ipotesi alternativa $17 le due ipotesi si escludono a vicenda

)l test a due codeviene usato per decidere se il parametro c!e si sottopone a test diverso da

il test a una codaviene usato per decidere se il parametro c!e si sottopone a test ma""iore

sce"liere il livello di significativit& alfaa cui si vuole ese"uire il test

+errore del primo tipo,

determinare i valori criticie la regione di rifiuto

calcolare# sulla base dei dati del campione# il valore della statistica test

decidere se rifiutare o non rifiutare l'ipotesi nullaal livello di si"nificativit scelto.

)l primo metodoper decidere consiste nel confrontare il valore della statistica test con la re"ione

)l secondo metodoper decidere se rifiutare l%ipotesi nulla basato sul calcolo del p-value

Indice

Z=X

0

n

X

0


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Esempio 67.1

Un campione casuale di (8' masc!i adulti residenti nell%)talia Settentrionale !a una statura media

di (69 cm* lo scarto $uadratico medio della popolaione si suppone noto e u"uale a 9' cm

Sottoporre a test l%ipotesi c!e la statura media della popolaione masc!ile sia ma""iore di (6' cm

#E*I+E,TI

La re"ione di rifiuto costituita dai valori a destra del valore critico +coda destra,

4icordare c!e la funione )2.234M.ST opera sulla coda sinistra7 per usare la coda destra

+simmetrica, prendere il valore assoluto +vedere il commento alla cella :;LS3

#intassi

#E(test severo sefalso)

un valore o un%espressione $ualsiasi c!e pu5 dare come risultato E43 o :>LS3.

>d esempio# >(?(' un%espressione lo"ica* se il valore contenuto nella cella >(

ma""iore di ('# l%espressione dar come risultato E43. )n caso contrario#

l%espressione dar come risultato :>LS3.

il valore c!e viene restituito se test E43. >d esempio# se $uesto ar"omento

la strin"a di testo +fra apici, @4ifiuto@ e l%ar"omento test d come risultato E43#

allora la funione SE visualier il testo @4ifiuto@.

il valore c!e viene restituito se test :>LS3. >d esempio# se $uesto ar"omento

la strin"a di testo +fra apici, @2on rifiuto@ e l%ar"omento test d come risultato

:>LS3# allora la funione SE visualier il testo @2on rifiuto@.

Test a una coda (coda destra)

ipotesi nulla $% media popolaione AB (6'

ipotesi alternativa $1 media popolaione ? (6'

nC dati campione (8'

media campione (69

media ipotesi &' (6'

scarto $uadr. medio popolaione 9'

livello si"nificativit alfa '.'8

statistica test (.


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Esempio 67.2

Un campione casuale di (8' femmine adulte residenti nell%)talia Settentrionale !a una statura media

di (' cm* lo scarto $uadratico medio della popolaione si suppone noto e u"uale a 9' cm

Sottoporre a test l%ipotesi c!e la statura media della popolaione femminile sia minore di (8 cm

Test a una coda (coda sinistra)

ipotesi nulla $% media popolaione ?B (8

ipotesi alternativa $1 media popolaione A (8


media campione ('

media ipotesi &' (8



statistica test -.'


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(.;''

/ecisione 4ifiuto &'

0onclusione La statura media diversa da (6' cm

Esercizio 67.

Si vuole studiare il problema dei tempi di attesa al telefono per colle"arsi al serviio clienti

di una societ telefonica e parlare con l%operatore

) dati di un campione di 8' osservaioni dei tempi di attesa in minuti sono raccolti nella tabella (

Sottoporre a test l%ipotesi c!e il tempo medio di attesa sia di 8 minuti* si suppone c!e

lo scarto $uadratico medio della popolaione sia noto e u"uale a minuti

Taella 1

'. 9. F!'0);"RifutoH0";"Non rifuto H0")


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nC dati campione

media campione

media ipotesi &'

scarto $uadr. medio popolaione

livello si"nificativit alfa

statistica test

valore critico

/ecisione

Esercizio 67.6

Un campione di 9 osservaioni avente media u"uale a /# viene estratto da una popolaione la cui

distribuione !a variana u"uale a (''.

)n passato la media della distribuione era u"uale a /9# ma si !a motivo di ipotiare

c!e recentemente la media possa essere cambiata.Usando il livello di si"nificativit del 8# sottoporre a test l0ipotesi nulla opportuna nei se"uenti casi7

caso ( - si suppon"a di non sapere# nel caso la media sia cambiata# se aumentata o diminuita*

caso - si suppon"a di sapere c!e# nel caso la media sia cambiata# pu5 solo essere aumentata.

ipotesi nulla $%

ipotesi alternativa $1

nC dati campione

media campione

media ipotesi &'



statistica test

valori critici

/ecisione

0onclusione

ipotesi nulla $%


nC dati campione

media campione

media ipotesi &'



statistica test

valore critico

0onclusione7

Jaso ( - Si effettua un test a 44.

Jaso - Si effettua un test a 44.


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7/122




livello si"nificativit alfa '.'8 '.'(

statistica test

valori critici

/ecisione

0onclusione

Tornasu


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9/122




10/122


11/122




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13/122




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=ASS(INV.NORM.ST(F9)):;F94;"Rifuto H0";"Non rifuto H0"):;7

=INV.NORM.ST(F!3):(87

=SE(F!4F!#;"Rifuto H0";"Non rifuto H0"):(67

=INV.NORM.ST(F!#$%):(8;7

=SE(O(F!#&F!#9;F!#&>F!'0);"Rifuto H0";"Non rifuto H0"):(7


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Esercizio 65Test di ipotesi sulla media. 0alcolo del p-value


0alcolo del p-value

e sul confronto tra il p-value e i livelli di si"nificativit

consentono di rifiutare l0ipotesi nulla

Un p-value prossimo a ' indica c!e la probabilit di sba"liare rifiutando l%ipotesi nulla

molto vicina a '# ossia si praticamente certi di non sba"liare rifiutando l%ipotesi nulla

Un p-value vicino ai classici livelli di si"nificativit indica c!e la decisione critica e dipende

in modo cruciale dal livello di si"nificativit

Un p-value ma""iore indica c!e si praticamente certi di non sba"liare non rifiutando

l%ipotesi nulla

=er i test basati sulla distribuione normale il p-value si calcola con le se"uenti formule7

Il p-value viene fornito da Ecel uando si eseguono i test con gli #trumenti 8nalisi /ati

Esempio 65.1

) caric!i di rottura dei cavi prodotti da un0aienda !anno una media pari a (/''H" e uno scarto

$uadratico medio u"uale a (''H".

Si vuole stabilire se mediante una nuova tecnica di costruione il carico di rottura pu5 essere reso

ma""iore. =er effettuare il test si effettua una prova su 8' cavi e si trova c!e il carico di rottura

medio di (/8'H". E0 possibile affermare c!e il carico di rottura aumentatoI

ipotesi nulla $% media popolaione AB (/''

ipotesi alternativa $1 media popolaione ? (/''

nC dati campione 8'

media campione (/8'

media ipotesi &' (/''

scarto $uadratico medio popolaione (''

statistica test 9.8988

p-value '.'''

/ecisione '

)l p-value prossimo a '# perci5 si rifiuta l%ipotesi nulla0onclusione la nuova tecnica di costruione permette

#oluzione Esercizio 65


)l p-value il pi piccolo valore del livello di si"nificativit alfa per cui i dati del campione

' il valore della statistica test# calcolato in base ai dati campionari

Si effettua untest a una coda (coda destra)

Indice

( )

( )

( )[ ]

=0+0#;"Nonrifuto H0";",-o /riti/o"))


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di aumentare il carico di rottura

Esercizio 65.2

Una ditta produttrice di pneumatici afferma c!e la durata media di un certo tipo di pneumatici

per auto di almeno 8''''Hm.

=er sottoporre a test $uesta affermaione un campione di


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0onclusione

Esercizio 65.

Si suppon"a c!e i punte""i di un test sul $uoiente di intelli"ena di una certa popolaione

di adulti si distribuiscano normalmente con uno scarto $uadratico medio u"uale a (8.

Un campione di 8 adulti estratti da $uesta popolaione !a un punte""io medio di ('8.

Sottoporre a test l0ipotesi c!e il punte""io medio sia (''# con un livello di si"nificativit del 8

La popolaione da cui proviene il campione !a distribuione normale# $uindi il test per "randi

campioni pu5 essere effettuato anc!e se si !a un piccolo campione.

ipotesi nulla $%


nC dati campione

media campione

media ipotesi &'

scarto $uadratico medio popolaione

statistica test

p-value

/ecisione

)l p-value .

0onclusione

Si effettua un test a 4..

Tornasu


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=!ISTRI*.NORM.ST(E4')D0+0#;"Non rifuto H0";",-o /riti/o"))D


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Esercizio 69Test di ipotesi sulla media

(varianza della popolazione incognita - grandi campioni)

)l test di ipotesi illustrato nell%eserciio 6 ric!iede c!e sia noto il valore dello scarto $uadratico

medio della popolaione da cui estratto il campione* se lo scarto $uadratico medio non noto#

ma il campione "rande# si pu5 utiliare il valore s dello scarto $uadratico medio del campione#

al posto dello scarto della popolaione# commettendo un errore di approssimaione.

)n alternativa potr anc!e essere usato il test basato sull%uso della distribuione t di Student

c!e sar descritto nel prossimo Eserciio 6' +in $uesto modo si evita l%errore di approssimaione,

Esercizio 69.1





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erificare l0ipotesi c!e non ci sia differena si"nificativa tra la media "enerale e la media del

campione# al livello di si"nificativit del 8.

ipotesi nulla $% media popolaione .

ipotesi alternativa $1 media popolaione .

nC dati campione

media campione

media ipotesi &'

scarto $uadratico medio campione


statistica test

valori critici

/ecisione

0onclusione

Jalcolo del p-value

p-value

/ecisione

)l p-value .

Esercizio 69.3

2e"li Stati Uniti i paienti c!e necessitano di un trapianto di cuore riman"ono in lista d%attesain media ' "iorni.

)n un determinato ospedale# per un campione di


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p-value

/ecisione

)l p-value

Tornasu


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Esercizio 7%Test di ipotesi sulla media

(varianza della popolazione incognita)

Test di ipotesi sulla media - varianza incognitaLa statistica test per $uesto tipo di test si calcola con la formula se"uente7


valor medio calcolato dai dati del campione

valore della media assunto nell0ipotesi nulla

s scarto $uadratico medio del campione

) valori critici si calcolano con la distribuione t di Student +funione )2.T,# con "rado

Esempio 7%.1

Le botti"lie di vino poste in vendita conten"ono usualmente 68'ml di vino.

Si effettua un controllo su un campione di botti"lie e si misurano i valori in ml della tabella (

Taella 1

6


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/ecisione 2on rifiuto &'

0onclusione Le botti"lie conten"ono in media la $uantit di vino dic!iarata

Se il test effettuato per tutelare l0interesse del consumatore# l0ipotesi nulla e l0ipotesi alternativa

:are attenione al se"no nel calcolo del valore critico e ricordare di moltiplicare il livello di

si"nificativit alfa per

ipotesi nulla $% media popolaione ?B 68'

ipotesi alternativa $1 media popolaione A 68'

nC dati campione

"rado libert 8

media campione 6


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Esercizio 7%.3

Un problema comune per molte aiende $uello di controllare il processo automatico

di riempimento di confeioni alimentari.

Se la $uantit di prodotto inserito inferiore al dic!iarato# si avranno reclami da parte dei

consumatori# se ma""iore si avr un costo per l%aienda.

=er controllare le confeioni di caff allo scopo di accertare c!e conten"ano 8' " di prodotto

si prende un campione di < confeioni e si re"istra il peso# riportato nella tabella 9

Taella 3


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ipotesi nulla $% media popolaione .

ipotesi alternativa $1 media popolaione .

nC dati campione"rado libert

media campione

media ipotesi &'



statistica test

valori critici

/ecisione

0onclusione

Si effettua un test a 4..

Tornasu


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29/122




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31/122



Attn1ion -2 no=INV.T(4&;44)

D8'7

=SE(O(49#0;49>#!);"Rifuto H0";"Non rifuto H0")D897

Attn1ion -2 no.Mo2ti2i/-r -25- r

=INV.T(6E'9;E'#)

D6(7

=SE($0$!;"Rifuto H0";"Non rifuto H0")D697


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Esercizio 71Test di ipotesi sulla proporzione

Test di ipotesi sulla proporzione - grandi campioni



O numero di volte in cui la caratteristica osservata si presenta nel campione

valore della proporione assunto nell0ipotesi nulla

) valori critici si calcolano con la distribuione normale +funione )2.234M.ST,

Esempio 71.1

Una ditta farmaceutica asserisce c!e un suo farmaco efficace nel ;' dei casi.

)n un campione di '' persone c!e lo !anno usato# il farmaco si rivelato efficace in (' casi.

Stabilire se l0affermaione della ditta farmaceutica le"ittima con livello di si"nificativit (

Test a una coda (coda sinistra)ipotesi nulla $% proporione popolaione ?B '.;

ipotesi alternativa $1 proporione popolaione A '.;

nC dati campione ''

O ('

'.;

livello si"nificativit alfa '.'(

statistica test -


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nC dati campione

O


statistica testvalore critico

/ecisione

0onclusione

Esercizio 71.3

Si effettuano 8'' lanci di una moneta e si ottiene 6 volte testa.

( Decidere se la moneta truccata oppure no# con un livello di si"nificativit 8.

4ipetere il calcolo nel caso c!e il numero di volte in cui si ottiene testa sia /'

=er una moneta non truccata la probabilit c!e esca testa '#8

Test a 44

ipotesi nulla $% proporione popolaione .

ipotesi alternativa $1 proporione popolaione .

( nC dati campione

O


statistica test

valori critici

/ecisione

0onclusione

2ella cella E66 inserire il dato /' +al posto di 6, e osservare il cambiamento

nella decisione

0onclusione

Esercizio 71.

Un fabbricante dic!iara c!e almeno il ;8 della merce fornita a una ditta conforme alle esi"ene

del cliente

L%esame di un campione di '' esemplari della merce rivela c!e (/ esemplari sono difettosi

Sottoporre a test la dic!iaraione del fabbricante al livello di si"nificativit ( e 8

Test a 44.

ipotesi nulla $% proporione popolaione .

ipotesi alternativa $1 proporione popolaione .

nC dati campione

O


proporione ipotesi &'




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statistica test

valore critico

/ecisione

Jambiare il livello di si"nificativit e verificare c!e la decisione

Esercizio 71.!

Un%universit afferma c!e il ' dei candidati c!e sosten"ono il test di ammissione per

l%iscriione al corso di laurea in Piotecnolo"ie ven"ono ammessi al corso.

Da un campione di 9'' diplomati c!e !anno sostenuto il test# ne ven"ono ammessi (


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=SE(E3'E3$;"Rifuto H0";"Non rifuto H0")D9;7


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Esercizio 72Test di ipotesi sulla varianza

Test di ipotesi sulla varianzaLa statistica test per $uesto tipo di test si calcola con la formula se"uente


valore della variana assunto nell0ipotesi nullavariana del campione

) valori critici si calcolano con la distribuione c!i $uadro +funione )2.J&),

Esempio 72.1

)n un ospedale i c!irur"!i stanno sperimentando una nuova tecnica di intervento su

una data patolo"ia e si studia la variabilit della lun"!ea della de"ena

Si vuole verificare se con la nuova procedura la variana della de"ena sia inferiore

rispetto a $uella con la procedura tradiionale

Jon la procedura tradiionale la lun"!ea della de"ena !a uno scarto $uadratico medio di

8 "iorni

3sservando un campione di


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0onclusione La variana del tempo di de"ena con la nuova procedura inferiore

La lun"!ea della de"ena meno variabile e pu5 essere prevista con un

minor mar"ine di errore# il c!e utile nella "estione della durata dei ricoveri

e dei costi di de"ena

Esercizio 72.2

)l peso di certi pacc!etti confeionati automaticamente distribuito secondo una distribuione

normale con scarto $uadratico medio u"uale a '#8".

L0esame di un campione di ' confeioni !a permesso di calcolare uno scarto $uadratico

campionario s B '#9"

Si pu5 affermare c!e lo scarto $uadratico medio aumentato al livello di si"nificativit 8I

E al livello (I

Test a 4..

ipotesi nulla $% variana popolaione .

ipotesi alternativa $1 variana popolaione .

nC dati campione


scarto $uadratico medio ipotesi &'

"rado libert


statistica test

valore critico

/ecisione

Jambiare il livello di si"nificativit e osservare il cambiamento nella decisione

0onclusione

Esercizio 72.3

Lo scarto $uadratico medio delle temperature annuali di una citt in un periodo di ('' anni stato

di /CJ.

Misurando la temperatura media del $uindicesimo "iorno di o"ni mese durante "li ultimi (8 anni

si riscontrato c!e lo scarto $uadratico medio delle temperature annuali stato di 8CJ

Sottoporre a test l0ipotesi c!e la temperatura della citt sia diventata meno variabile c!e in passato

con livello di si"nificativit (

Test a 4..ipotesi nulla $% variana popolaione .


nC dati campione


scarto $uadratico medio ipotesi &'

"rado libert


statistica test

valore critico

/ecisione

H0")


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0onclusione

Esercizio 72.

Da un0altra popolaione viene estratto il campione di dati della tabella (

Taella 1

( (

(' /

' (

('

(' /

<

Si pu5 concludere al livello di si"nificativit del 8 c!e la seconda popolaione abbia la stessa

variana della primaI

#E*I+E,TISi effettua un test a due code

4icordare c!e la funione )2.J&) opera sulla coda destra7 per operare su due code

Test a due code



nC dati campione

variana campionevariana ipotesi &'

"rado libert


statistica test

valori critici

/ecisione

0onclusione

Esercizio 72.!+edere anc!e Eserciio 6'.9,

L%aienda c!e produce confeioni di caff da 8' " vuole verificare se la variana della popolaione

=er effettuare il test si preleva un campione di < confeioni e si re"istra il peso# riportato nella

Tabella 9

Taella 3


39/122



Test a 4..



nC dati campionevariana campione

variana ipotesi &'

"rado libert


statistica test

valori critici

/ecisione

0onclusione

Tornasu


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41/122




42/122




43/122




44/122



=INV.,HI(!4';4#)D


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Esercizio 73Test di ipotesi sulla differenza fra due medie

(varianze delle popolazioni note)

#trumenti di 8nalisi Test :" due campioni per medie

=er effettuare i test di ipotesi sul confronto fra medie si possono utiliare "li

si"nificativit

Test di ipotesi sulla differenza fra due medie - varianze note


ampiee dei due campioni

# medie dei due campioni

variane note delle due popolaioni

d differena ipotiata fra le medie dei due campioni

2el caso in cui le variane delle due popolaioni siano note si usa lo strumento

Test : due campioni per medie

Se i due campioni sono piccoli# le popolaioni da cui proven"ono i campioni

devono essere normali* se invece i campioni sono "randi il test pu5 essere

usato anc!e nel caso di popolaioni $ualsiasi.

Esempio 73.1

=er verificare l%efficacia di un nuovo farmaco per il controllo dell%ipertensione ven"ono esaminati

due "ruppi di paienti7 al primo "ruppo viene somministrato il nuovo farmaco sperimentale#

al secondo "ruppo viene somministrato un farmaco "i comunemente usato

)l primo "ruppo formato da


46/122




47/122



Taella 1

nuovo farmaco vecc!io farmaco

(


48/122



Test 7 due campioni per medie

nuovo farmaco vecchio farmaco

Media (


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La decisione pu5 anc!e essere presa confrontando il valore della statistica test B -#6(

con il valore critico B -(#


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corso in aula corso on line

/( /'

// / e P di o""etti dello stesso

tipo prodotti da due macc!ine diverse +edi Eserciio 6nalisi Test < a due campioni per varianze

dello strumento di analisi Test < a due campioni per varianzeintrodurre nella casella >lfa

F=S1

2

S2

2

s1

2s2

2

Indice


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Test : a due campioni per variane

Campione 1 Campione 2

Media /.9 6.;LS3.

>d esempio# >(?(' un%espressione lo"ica* se il valore contenuto nella cella >(

ma""iore di ('# l%espressione dar come risultato E43. )n caso contrario#

l%espressione dar come risultato :>LS3.

il valore c!e viene restituito se test E43. >d esempio# se $uesto ar"omento

la strin"a di testo +fra apici, @4ifiuto@ e l%ar"omento test d come risultato E43#

allora la funione SE visualier il testo @4ifiuto@.

il valore c!e viene restituito se test :>LS3. >d esempio# se $uesto ar"omento

la strin"a di testo +fra apici, @2on rifiuto@ e l%ar"omento test d come risultato

:>LS3# allora la funione SE visualier il testo @2on rifiuto@.

Test a una coda (coda destra)

ipotesi nulla $% media popolaione AB (6'

ipotesi alternativa $1 media popolaione ? (6'


media campione (69

media ipotesi &' (6'



statistica test (.


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Esempio 67.2

Un campione casuale di (8' femmine adulte residenti nell%)talia Settentrionale !a una statura media

di (' cm* lo scarto $uadratico medio della popolaione si suppone noto e u"uale a 9' cm

Sottoporre a test l%ipotesi c!e la statura media della popolaione femminile sia minore di (8 cm

Test a una coda (coda sinistra)

ipotesi nulla $% media popolaione ?B (8

ipotesi alternativa $1 media popolaione A (8


media campione ('

media ipotesi &' (8



statistica test -.'


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(.;''


0onclusione La statura media diversa da (6' cm

Esercizio 67.

Si vuole studiare il problema dei tempi di attesa al telefono per colle"arsi al serviio clienti

di una societ telefonica e parlare con l%operatore

) dati di un campione di 8' osservaioni dei tempi di attesa in minuti sono raccolti nella tabella (

Sottoporre a test l%ipotesi c!e il tempo medio di attesa sia di 8 minuti* si suppone c!e

lo scarto $uadratico medio della popolaione sia noto e u"uale a minuti

Taella 1

'. 9.


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nC dati campione 8'

media campione (/8'


scarto $uadr. medio popolaione (''

livello si"nificativit alfa '.'(


valore critico .99


La media della popolaione ma""iore di (/''H"# $uindi

la nuova tecnica di costruione permette di aumentare il carico di rottura

Esercizio 67.6

Un campione di 9 osservaioni avente media u"uale a /# viene estratto da una popolaione la cui

distribuione !a variana u"uale a (''.

)n passato la media della distribuione era u"uale a /9# ma si !a motivo di ipotiare

c!e recentemente la media possa essere cambiata.Usando il livello di si"nificativit del 8# sottoporre a test l0ipotesi nulla opportuna nei se"uenti casi7

caso ( - si suppon"a di non sapere# nel caso la media sia cambiata# se aumentata o diminuita*

caso - si suppon"a di sapere c!e# nel caso la media sia cambiata# pu5 solo essere aumentata.

ipotesi nulla $% media popolaione B /9

ipotesi alternativa $1 /9

nC dati campione 9

media campione /.

media ipotesi &' /9

scarto $uadr. medio popolaione ('


statistica test (.;''

valori critici-(.;

(.;


0onclusione la media non cambiata

ipotesi nulla $% media popolaione AB /9

ipotesi alternativa $1 media popolaione ? /9

nC dati campione 9

media campione /.

media ipotesi &' /9

scarto $uadr. medio popolaione ('


statistica test (.;''

valore critico (.


67/122




0onclusione la media aumentata

Esercizio 67.7







ipotesi nulla $% media popolaione B (''

ipotesi alternativa $1 (''

nC dati campione 8

media campione ('8

media ipotesi &' (''

scarto $uadr. medio popolaione (8


statistica test (.6

valori critici-(.;

(.;


0onclusione )l punte""io medio u"uale a (''

Esercizio 67.5

Da una popolaione normale avente scarto $uadratico medio u"uale a # si estrae un campione

di ampiea n B ('. )l valor medio del campione (/#8/

Sottoporre a test l0ipotesi c!e la media sia u"uale a ' ai livelli di si"nificativit ( e 8

=oic!K la popolaione da cui proviene il campione normale# si pu5 effettuare il test per "randi

campioni anc!e se il campione piccolo

ipotesi nulla $% media popolaione B '

ipotesi alternativa $1 '

nC dati campione ('

media campione (/.8/

media ipotesi &' '


Si effettua un test a due code

media popolaione


media popolaione


68/122


69/122




70/122




71/122




72/122




73/122




74/122




75/122




76/122



=ASS(INV.NORM.ST(F9)):;F94;"Rifuto H0";"Non rifuto H0"):;7

=INV.NORM.ST(F!3):(87

=SE(F!4F!#;"Rifuto H0";"Non rifuto H0"):(67

=INV.NORM.ST(F!#$%):(8;7

=SE(O(F!#&F!#9;F!#&>F!'0);"Rifuto H0";"Non rifuto H0"):(7


77/122



#oluzione Esercizio 65Test di ipotesi sulla media. 0alcolo del p-value


0alcolo del p-value

e sul confronto tra il p-value e i livelli di si"nificativit

)l p-value il pi piccolo valore del livello di si"nificativit alfa per cui i dati del campione

consentono di rifiutare l0ipotesi nulla

Un p-value prossimo a ' indica c!e la probabilit di sba"liare rifiutando l%ipotesi nulla

molto vicina a '# ossia si praticamente certi di non sba"liare rifiutando l%ipotesi nulla

Un p-value vicino ai classici livelli di si"nificativit indica c!e la decisione critica e dipende

in modo cruciale dal livello di si"nificativit

Un p-value ma""iore indica c!e si praticamente certi di non sba"liare non rifiutando

l%ipotesi nulla

=er i test basati sulla distribuione normale il p-value si calcola con le se"uenti formule7

Il p-value viene fornito da Ecel uando si eseguono i test con gli #trumenti 8nalisi /ati

Esempio 65.1

) caric!i di rottura dei cavi prodotti da un0aienda !anno una media pari a (/''H" e uno scarto

$uadratico medio u"uale a (''H".

Si vuole stabilire se mediante una nuova tecnica di costruione il carico di rottura pu5 essere reso

ma""iore. =er effettuare il test si effettua una prova su 8' cavi e si trova c!e il carico di rottura

medio di (/8'H". E0 possibile affermare c!e il carico di rottura aumentatoI

ipotesi nulla $% media popolaione AB (/''

ipotesi alternativa $1 media popolaione ? (/''

nC dati campione 8'

media campione (/8'


scarto $uadratico medio popolaione (''


p-value '.'''


)l p-value prossimo a '# perci5 si rifiuta l%ipotesi nulla0onclusione la nuova tecnica di costruione permette

*itorna Esercizio 65


' il valore della statistica test# calcolato in base ai dati campionari

Si effettua untest a una coda (coda destra)

Indice

( )

( )

( )[ ]

=0+0#;"Nonrifuto H0";",-o"


78/122



di aumentare il carico di rottura

Esercizio 65.2





79/122



Esercizio 65.







ipotesi nulla $% media popolaione B (''

ipotesi alternativa $1 (''

nC dati campione 8

media campione ('8

media ipotesi &' (''

scarto $uadratico medio popolaione (8

statistica test (.6

p-value '.';88/


)l p-value ma""iore di '#8 perci5 non si rifiuta l%ipotesi nulla

0onclusione )l punte""io medio u"uale a (''


media popolaione

Tornasu


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81/122




82/122




83/122



=!ISTRI*.NORM.ST(E4')D0+0#;"Non rifuto H0";",-o /riti/o"))D


84/122



#oluzione Esercizio 69Test di ipotesi sulla media

(varianza della popolazione incognita - grandi campioni)

)l test di ipotesi illustrato nell%eserciio 6 ric!iede c!e sia noto il valore dello scarto $uadratico

medio della popolaione da cui estratto il campione* se lo scarto $uadratico medio non noto#

ma il campione "rande# si pu5 utiliare il valore s dello scarto $uadratico medio del campione#

al posto dello scarto della popolaione# commettendo un errore di approssimaione.

)n alternativa potr anc!e essere usato il test basato sull%uso della distribuione t di Student

c!e sar descritto nel prossimo Eserciio 6' +in $uesto modo si evita l%errore di approssimaione,

Esercizio 69.1





85/122



erificare l0ipotesi c!e non ci sia differena si"nificativa tra la media "enerale e la media del

campione# al livello di si"nificativit del 8.

ipotesi nulla $% media popolaione B 6/

ipotesi alternativa $1 6/

nC dati campione 6'

media campione /(.

media ipotesi &' 6/

scarto $uadratico medio campione (l livello di si"nificativit alfaB'#'8 si utiliano i risultati appena ottenuti

La re"ione di rifiuto per il test a due code formata dai valori ma""iori del valore t critico due

code +#((;;, e minori del valore t critico simmetrico del precedente +-#((;;,*

il valore della statistica test t ma""iore del valore critico a destra +#((;;,# perci5 al livello di

si"nificativit 8 si rifiuta l%ipotesi nulla

4ipetiamo ora il test per il livello di si"nificativit (

Test t7 due campioni assumendo u"uale variana

Pompelmi gialli Pompelmi rosa

Media (.8 '6.

ariana ;.(8 ;6.(8

3sservaioni / ('ariana complessiva (8


118/122



#oluzione Esercizio 7!Test di ipotesi sul rapporto fra due varianze

#trumenti di 8nalisi Test < a due campioni per varianze

Test di ipotesi sul rapporto fra due varianzeSi utilia $uesto test per la verifica dell%ipotesi c!e due popolaioni abbiano la stessa variana

Questo test utile per stabilire se il test t per l%u"ua"liana fra le medie di due popolaioni

con la stessa variana possa essere applicato

)l test presuppone c!e i campioni siano estratti da popolaioni con distribuione normale

e viene ese"uito calcolando il rapporto fra le variane7 se le popolaioni !anno la stessa

variana# ci si attende c!e il rapporto fra le variane sia u"uale a ()l test di solito a due code# l%ipotesi alternativa c!e le variane siano diverse

=er ese"uire il test viene utiliata la distribuione :


# variane dei due campioni

Esempio 7!.12ella tabella ( sono riportate le lun"!ee in cm di due campioni > e P di o""etti dello stesso

tipo prodotti da due macc!ine diverse +edi Eserciio 6


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Test : a due campioni per variane

Campione 1 Campione 2

Media /.9 6.;

Test Di Ipotesi

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