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Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 1 Test di Ipotesi Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 2 Definizione Una ipotesi statistica è una proposizione circa uno o più parametri di una popolazione o circa la distribuzione di probabilità della va- riabile aleatoria X che descrive la popolazione. Esempio: Si vuole stabilire se una certa moneta è equa, ossia se p=P(T)=P(C)=0.5. Si formula l’ipotesi di base (quella da sottoporre a test) che la moneta è onesta e si verifica l’attendibilità di tale ipotesi contro l’ipotesi alternativa (che la moneta sia disonesta). a) alternativ (ipotesi 5 . 0 p nulla) (ipotesi 0.5 : 1 0 = : H p H Metodologia statistica che consente di prendere una decisione Metodologia statistica che consente di prendere una decisione circa: circa: - una ipotesi formulata sul modello di una popolazione - una ipotesi formulata sul modello di una popolazione - un parametro incognito del modello di una popolazione. - un parametro incognito del modello di una popolazione.

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Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 1

Test di Ipotesi

Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 2

DefinizioneUna ipotesi statistica è una proposizione circa uno o più parametridi una popolazione o circa la distribuzione di probabilità della va-riabile aleatoria X che descrive la popolazione.

Esempio: Si vuole stabilire se una certa moneta è equa, ossia se p=P(T)=P(C)=0.5.Si formula l’ipotesi di base (quella da sottoporre a test) che la moneta è onestae si verifica l’attendibilità di tale ipotesi contro l’ipotesi alternativa (che la monetasia disonesta).

a)alternativ (ipotesi 5.0 p nulla) (ipotesi 0.5 : 10 ≠= : HpH

Metodologia statistica che consente di prendere una decisione Metodologia statistica che consente di prendere una decisione circa:circa:- una ipotesi formulata sul modello di una popolazione - una ipotesi formulata sul modello di una popolazione - un parametro incognito del modello di una popolazione.- un parametro incognito del modello di una popolazione.

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a)alternativ (ipotesi 50

nulla) (ipotesi 0.5 :

1

0

.p : H

pH

≠=

a)alternativ (ipotesi 5.0

nulla) (ipotesi 0.5 :

1

0

<=

p: H

pH

a)alternativ (ipotesi 50

nulla) (ipotesi 0.5 :

1

0

.p : H

pH

>=

Ipotesi alternativa a due code

Ipotesi alternativa a una coda

Obbiettivo

Determinare se il valore del parametro è cambiato

Verificare la teoria sul modello

Test di conformità

Risultato da esperienza passata o conoscenza del processo

Risultato di una ipotesi formulatasul modello

Risultato di specifiche di progettoo obblighi contrattuali

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Se questa informazioneè consistente con l’ipotesi

Se questa informazione nonè consistente con l’ipotesi

erigettabil ènon 0H falsa è 0HUna ipotesi non potrà mai essera accettata con certezza, ma il risultatodel test sarà sempre accompagnato da una valutazione della possibi-lità di commettere un errore accettando o rigettando l’ipotesi.

• selezionare un campione casuale• calcolare una statistica test• usando il valore calcolato prendere una decisione circa l’ipotesi nulla

Procedura

Si chiama test di ipotesi una procedura che consente diprendere una decisione circa una particolare ipotesi (nulla) apartire dalle informazioni contenute in un campione casualeestratto dalla popolazione in esame.

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.5.48 oppure 5.51 fosse se ipotesil' rigettare di e

5.5148.5 fosse se ipotesil' rigettarenon di assumere legittimo E' . acampionari media la tarepoter valu di supponga Si

.10 tagliadi casuale campioneun osservato stato sia che assuma Si

0

0

<>≤≤

=

xxH

xH

x

n

Il complemento della regione critica viene chiamato regione di accettazione.

Esempio: Si vuole stabilire se il coefficiente di combustione medio di un propellente solido usato per potenziare un sistema di fuga in un equipaggio aereo è 50 cm al secondo.

a)alternativ (ipotesi 50 nulla) (ipotesi 50cm/s : 10 cm/s: HH ≠= µµ

me.sottoinsie talea appartienenon

teststatistca della calcolato valoreil se accetta si e mesottoinsie talea

appartiene test statistica della calcolato valoreil se rigetta si che talereali numeri di mesottoinsie quel è ipotesi diun test di La

0

0

sH

sH

critica regioneeDefinizion

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Questo tipo di procedura decisionale può condurre a due tipi di errori

veroµ48.5 51.550

x

I tipo

veroµ48.5 51.550

x

II tipo

Reg.accettazione Regione criticaRegione critica

Si commette un errore del I tipo quando si rigetta l’ipotesi nulla puressendo vera. Si commette un errore del II tipo quando non si riget-ta l’ipotesi nulla pur essendo falsa.

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Ipotesi nulla vera Ipotesi nulla falsaNon si rigetta l’ipotesi nulla no errore errore II tipoSi rigetta l’ipotesi nulla errore I tipo no errore

falsa) è quando eP(accettar tipo)II di errore(

vera)è quando eP(rigettar tipo)I di errore( : tipoI di erroreun commettere di

àprobabilit la test del tagliao test del definisce Si

0

0

HP

HP

====

βα

ivitàsignificat di livelloeDefinizion

Ipotesi nulla vera Ipotesi nulla falsaNon si rigetta l’ipotesi nulla 1-α βSi rigetta l’ipotesi nulla α 1- β

Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 8

Torniamo all’esempio del fattore di combustione. Si assuma che la deviazione standard di tale variabile aleatoria sia 2.5 cm al sec. Determinare il livello di significatività del test per un campione di taglia 10.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0588.010/5.2

505,482

10/5.2

505,51

10/5.2

50

10/5.2

505,48

10/5.2

50

505,5150505,485050 |5,515,48

50 |critica regione 50 | rigettare vera | rigettare 000

=

−<=

−>−+

−<−=

=−>−+−<−==><=

=∈===

ZPX

PX

P

XPXPXXP

XPHPHHP

µµµ

Υ

0014.0 16 52480164.0 16 5.515.480114.0 10 52480576.0 10 5.515.48

taglianeaccettazio di Regione

≤≤≤≤≤≤≤≤

x

x

x

x

α

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vera)è | rigettarenon (

falsa) è quando rigettareP(non tipo)II di errore(

10

0

HHP

HP

===β

tipo? II di errore un commettere di àprobabilit la calcola si Come

Per calcolare l’errore di secondo tipo dobbiamo avere una ipotesialternativa specifica. Quale?

50:1 ≠µH

Si assuma che è “necessario” rigettare l’ipotesi nullase il coefficiente di combustione medio dovesse raggiungere valoriintorno a 52.

50:0 =µH

( ) 2643.052 quando 5.515.48

.52 quando 51.5 e 48.5 tracompresa acampionari media della puntuale stima una fornisce casuale campione il se tipo,II di erroreun commette si esempio, Ad

==≤≤==

µβµ

XP

Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 10

Lo statistico controlla l’errore di I tipo e in funzionedi questo seleziona la regione critica.

Rigettare l’ipotesi nulla

Accettare l’ipotesi nulla= non si rigetta l’ipotesi nulla

L’errore di II tipo dipende dal vero valore delparametro in esame, che è normalmente incognito,sicché si procede per tentativi.

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Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 11

0.99180.94450.97050.8923

5000.0 0014.0 16 52482119.0 0164.0 16 5.515.485000.0 0114.0 10 52482643.0 0576.0 10 5.515.48

50.5con 52con taglianeaccettazio di Regione

≤≤≤≤≤≤≤≤

==

x

x

x

x

µβµβα

•L’errore di I tipo è legato all’errore di II tipo. Se aumenta uno decrescel’altro e viceversa.•Al crescere della taglia del campione, vengono ridotti gli errori di Ie II tipo.• L’errore di II tipo diminuisce se il valore assegnato al parametro si allontana da quello impiegato nell’ipotesi nulla.

Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 12

DefinizioneSi definisce potenza del test, la probabilità di rigettare l’ipotesi nullaquando è vera l’ipotesi alternativa.

è la probabilità di rigettare correttamente un’ipotesi nulla falsaβ−1

campione. del tagliala tare-aumen oppure aumentare può si basso, valorequesto ritiene si Se falsa. è nulla ipotesi

l' che riconosce test il 100su casi 73in con ossia 0.7357,-10.2643

allora 52, è parametro del vero valoreil se ,50: aalternativ ipotesil' contro

50: ipotesisull' test il effettua si dove ecombustion di fattore del esempioNell'

1

0

αββ

µµµ

=⇒=≠

=H

H

β−1

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Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 13

critica. regione alla meno o appartiene puntale stima talese do verificannulla, ipotesil' meno o rigettare se Decidere (h)

test.statistica della puntuale stima una valutaree casuale campioneun eDeterminar (g)

..critica regione opportuna una Costruire (f).parametro) dal (dipende test statistica opportuna una Scegliere (e)

. tipoI di errore opportunoun Scegliere (d)

.code) 2 o 1 a(test aalternativ ipotesi opportuna una eSpecificar (c)

. nulla ipotesil' Formulare (b)interesse. di parametro il reidentifica problema, del contesto Dal (a)

1

0

α

αH

H

ipotesi. ditest un di ecostruzion laper generale Procedura

Esercizio: La specifica assegnata sul coefficiente di combustione di un certo propol-lente è di 50cm/s. La deviazione standard di tale caratteristica è di 2cm/s. Selezionan-do un campione casuale di taglia 25, si è trovato che la media campionaria è di 51.3cm/s. Quale conclusione si può dedurre sulla specifica al livello di significatività del5%?

Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 14

)78.50,21.49(52

96.105,52

96.150 05,50

:intervallol' è test del neaccettazio di

regione la allora -1)/

( :che sa si Poichè

-1)50|?(? vera)è |??(

:critica regione opportuna una Costruire (f)camp.). (media test statistica opportuna una Scegliere (e)

0.05. tipoI di errore opportunoun Scegliere (d)

.50: aalternativ ipotesi l' eSpecificar (c)

50: nulla ipotesil' Formulare (b). media la:interesse di parametro il reIdentifica (a)

2/2/

2/2/

0

11

00

=

+−=

+−

=<−<−

==<<⇒=><

⇒=⇒

≠⇒=⇒

nz

nz

zn

XzP

XPHXXP

X

HH

HH

σσ

ασ

µ

αµα

ααµ

µµ

αα

αα

Υ

Procedura per il test di ipotesi

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Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 15

rigettata. vienenulla ipotesil' ),78.50,21.49( 51.3 poichè :critica regione alla meno o appartiene puntale stima

talese do verificannulla, ipotesil' meno o rigettare se Decidere (h).351 test.statistica della

puntuale stima una valutaree casuale campioneun eDeterminar (g)

=⇒ .x

Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 16

Esercizio: Si ipotizza che l’età media dei frequentatori di una biblioteca sia 39 anni con unavarianza di 10.2 anni. Per verificare tale ipotesi vengono campionati 100 frequentatori e la loro età media risulta essere 38 anni. Si verifichi l’ipotesi iniziale (si assuma la popolazione normale).

)51.39,48.38(1019.3

96.193,1019.3

96.139 93,39

:intervallol' è test del neaccettazio di

regione la allora -1)/

( :che sa si Poichè

-1)0.39|?(? vera)è |??(

:critica regione opportuna una Costruire (f)camp.). (media test statistica opportuna una Scegliere (e)

0.05. tipoI di errore opportunoun Scegliere (d).0.39: aalternativ ipotesi l' eSpecificar (c)

0.39: nulla ipotesil' Formulare (b). media la:interesse di parametro il reIdentifica (a)

2/2/

2/2/

0

11

00

=

+−=

+−

=<−<−

==<<⇒=><

⇒=⇒

≠⇒=⇒

nz

nz

zn

XzP

XPHXXP

X

HH

HH

σσ

ασ

µ

αµα

ααµ

µµ

αα

αα

Υ

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Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 17

rigettata. vienenulla ipotesil' ),51.39,42.38( 38 poichè :critica regione alla meno o appartiene puntale stima

talese do verificannulla, ipotesil' meno o rigettare se Decidere (h).38 test.statistica della

puntuale stima una valutaree casuale campioneun eDeterminar (g)

=⇒ x

Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 18

T es t di Ipotes i sul la Media: var ianz a nota

( ) αµµσ

µ

µµµµ

αα −==≤≤−

−=

≠=

1 quando /

::

02/2/

01

00

zZzPn

XZ

H

H

one AccettaziRegione

test Statistica

code) due a(test Ipotesi

( ) αµµσ

µ

µµµµ

α −==−≥≤

−=

<>=

1 | )( /

)(::

0

01

00

zZPn

XZ

HH

one AccettaziR.

test Statistica

coda) una a(test Ipotesi

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T es t di Ipotes i sul la Media: var ianz a incognita

( ) αµµ

µ

µµµµ

αα −==≤≤−

−=

≠=

−− 1 quando

) (/

::

01,2/1,2/

01

00

nn tTtP

normaleepopolazionnS

XT

H

H

one AccettaziRegione

test Statistica

code) due a(test Ipotesi

( )( )( )

.zazionestandardiz

di operazione mediante ...|, alcolare (b)

., forma nella neaccettazio di regione la Ricavare (a)

121

21

=∈=

µβ xxXPC

xxX

:tipo II di errorel' calcolarePer

Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 20

10? da diversa è media la quando fallimentoun ha si che

nosuggerisco dati I normale. epopolazion una da provengano campioni i che assuma Si7,9 10,1 11,4 11,9 12,7 14,9 19,5 15,4 15,4 7,5 8,8

11,4 11,4 11,9 13,6 14,1 15,4 15,8 16,7 17,6 18,5 19,8

:sono campioni22 dei fallimento di ticoefficien I lega. certa una di campioni 22su adesione diun test di

risultati i descrive (1989) giornale nel articolo Un :Esercizio gEngineerinMaterials

M edia 13,71364E rrore s tandard 0,757625M ediana 13,85M oda 11,4Deviaz ione s tandard 3,553576V arianz a c am pionaria 12,6279Curtos i -0,75137A s im m etria -0,01513Intervallo 12,3M inim o 7,5M as s im o 19,8S om m a 301,7Conteggio 22P iù grande(1) 19,8P iù pic c olo(1) 7,5Livello di c onfidenz a(95,0% ) 1,575567

0

2

4

6

8

7,5 10,575 13,65 16,725 Altro

Freq

uenz

a

Classe Frequenza7,5 1

10,575 313,65 7

16,725 7Altro 4

Dati relativiall’istogramma

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Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 21

Come ver ificar e l’as s unzione che la popolazione è nor male?

7.9

19.8

13,8

11,4

15,7

Costruendo un box plot, si osserva che la popolazione è simmetrica.

Normal probability plot

)cumulative

frequenze (le 100*n0.5-i

con coppiain plottati vengonoordinati valoriTali

.,,,in ordinati

vengono,,, dati I

)()2()1(

21

n

n

xxx

xxx

ΚΚ

Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 22

T es t di Ipotes i sul la Var ianz a: Popolaz ione normale

( ) ασσχχχσ

χ

σσσσ

αα −==≤≤

−=

≠=

−−− 1 quando

) ()1(

::

20

221,2/

221,2/1

20

22

20

21

20

20

nnP

normaleepopolazionSn

H

H

one AccettaziRegione

test Statistica

code) due a(test Ipotesi

Esercizio: Una macchina per l’imbottigliamento automatico di liquido detergenteviene sottoposta a verifica, selezionando un campione di 20 bottiglie. Per queste 20 bottiglie, viene misurata la quantità di liquido contenuta in ciascuna di esse e calcolata la varianza campionaria che risulta pari a 0.0153. Se la varianza associata al processo di imbottigliamento del liquido supera lo 0.01, si corre il rischio di avere bottiglie troppo piene rispetto alla specifica assegnata o viceversa. C’è una evidenzadai dati raccolti per concludere che il processo di imbottigliamento non funziona bene?Si assuma che il volume di liquido in ciascuna bottiglia sia distribuito come una nor-male.

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Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 23

T es t di Ipotes i sul le Percentuali

( )( ) ααα −==≤≤−

−−=

≠=

1 quando

1

::

02/2/

01

00

ppzZzP

pnp

npXZ

ppH

ppH

one AccettaziRegione

test Statistica

code) due a(test Ipotesi

T es t di Ipotes i sul le Differenz e tra medie - Var ianz a nota

( ) αµµ

σσ

µµ

µµµµ

αα −=∆=−≤≤−

+

−−−=

∆≠−∆=−

1 quando

)(

::

0212/2/

2

22

1

21

2121

0211

0210

zZzP

nn

XXZ

H

H

one AccettaziRegione

test Statistica

code) due a(test Ipotesi

Test di ipotesi - Prob. e Stat. a.a. 04/05 24

T es t di Ipotes i sul le Differenz e tra medie - Var ianz a incognita

( ) αµµ

µµ

µµµµ

αα −=∆=−≤≤−

+

−−−=

∆≠−∆=−

−+−+ 1,

11

)(

::

0212,2/2,2/

21

2121

0211

0210

2121 nnnn

p

tTtP

nnS

XXT

H

H

one AccettaziRegione

test Statistica

code) due a(test Ipotesi

T es t di Ipotes i sui rapporti tra var ianz e - Var ianz a incognita

( ) α

σσσσ

αα −=≤≤

=

≠=

−−−−− 1,

SS

::

01,1,2/1,1,2/1

22

21

22

211

22

210

2121 nnnn fFfP

F

H

H

one AccettaziRegione

test Statistica

code) due a(test Ipotesi