Primissime nozioni di Geometria DifferenzialeA. Sambusetti

Notazioni - Richiami.

• un intorno di P0 = (x0n, · · · , x0n) in Rn e un sottoinsieme aperto UP0 contenente unprodotto di intervalli aperti (x01 − ε1, x01 + ε1)× · · · × (x0n − ε1, x0n + ε1);

• se S ⊂ Rn, un intorno di P0 in S e l’intersezione USP0:= UP0 ∩ S di un intorno UP0 di

P0 in Rn con S;

• un dominio e un sottoinsieme D ⊂ Rn aperto e connesso: cioe, per ogni punto P ∈ Desiste un intorno UP di P contenuto in D (cioe D e aperto) e per ogni coppia di puntiP,Q ∈ D esiste α : [0, 1]→ D continua tale che α(0) = P, α(1) = Q (cioe D e connesso);

• un’applicazione F = (Fi) : D ⊂ Rd → Rn e continua in P0:

– SES le sue componenti Fi sono funzioni continue in P0,

– SES per ogni successione Pn ∈ S tale che Pn → P0, si ha F (Pn)→ F (P0);

(assicurarsi di sapere cosa significa che limn→∞ Pn = P in Rn !)

• il differenziale di F = (Fi) : D ⊂ Rd → Rn (di classe almeno C1) nel punto P0 el’applicazione lineare

(dF )P0: Rd → Rn

data dalla moltiplicazione per la matrice ( ∂Fi∂xi|P0

) delle derivate prime di F in P0.

Questa applicazione ha la proprieta di essere “l’applicazione lineare che meglio ap-prossima F vicino a P0”, nel senso che e l’unica che verifica:

F (P ) = F (P0) + (dF )P0(−−→P0P ) + o(|

−−→P0P |)

(o(f) indica una funzione che va a zero piu rapidamente di f(P ), per P → P0).

• il differenziale verifica la regola di composizione: se Q = F (P ) allora

(d G◦F )P = (dG)Q ◦ (dF )P

(cioe la matrice corrispondente al differenziale di G ◦ F e il prodotto delle matrici cherappresentano dG e dF , calcolate negli opportuni punti).

In particolare, se β(t) = F (α(t)) e composizione di α : R → Rn con F : Rn → Rm,la formula di composizione da: β′(t) = (dF )α(t)(α

′(t)).

1

1 Sottovarieta di Rn

Definizioni 1.1 (Parametrizzazioni)

i. una parametrizzazione (di classe Ck, con k ≥ 1 almeno) e un’applicazioneF = (Fi) : D ⊂ Rd → Rn, dove D e un dominio;

ii. una parametrizzazione regolare (p.r.) in P e una parametrizzazione incui il rango (dF )P e massimo; la parametrizzazione si dice regolare se eregolare in ogni punto;

iii. un’ immersione e una p.r. iniettiva (con d ≤ n !); 1

iv. una parametrizzazione grafico rispetto alle variabili (x1, ...xd) e una p.r.F : D ⊂ Rd → F (D) ⊂ Rn della forma

F (x1, ..., xd) = (x1, ..., xd, f1(x1, ..., xd), ..., fn−d(x1, ..., xd));

(analoga definizione rispetto a qualsiasi d-upla di variabili xi1 , ..., xid)

Definizioni 1.2 (Sottovarieta parametrizzate di Rn)L’immagine S = Im(F ) ⊂ Rn di una parametrizzazione F (di classe Ck, k ≥ 1)2

dei tipi sopra descritti si dice, nei rispettivi casi:i. una sottovarieta parametrizzata di dimensione d (di classe Ck) di Rn,

o anche, per brevita, una d-sottovarieta parametrizzata;

ii. una d-sottovarieta (parametrizzata) regolare;

iii. una d-sottovarieta (parametrizzata) immersa;

iv. una d-sottovarieta grafico (o semplicemente un grafico).Per d = 1, 2 ed n − 1 si usano rispettivamente i termini: curva, superficie eipersuperficie (parametrizzata) regolare, immersa, grafico di Rn.

C’e una nozione altrettanto importante, che e quella di embedding (e, cor-rispondentemente, di sottovarieta embedded). Non ne parleremo qui, ma neriparleremo il prossimo anno quando approfondiremo il concetto di continuita estudieremo il concetto di omeomorfismo.

♥ Esercizio 1.3(i) Inventarsi parametrizzazioni F : R→ R2 che abbiano per immagine le figureche seguono, in modo che F sia periodica nei primi due casi.

(a) non regolare (b) regolare, non immersione (c) immersione, non grafico

(ii) Verificare che sono esempi di:(a) una parametrizzazione non regolare;(b) una parametrizzazione regolare che non e un’immersione;(c) un’immersione che non e un grafico.

1Attenzione: in letteratura per immersion si intende spesso solo una p.r. con d ≤ n; noiper chiarezza restringiamo il termine “immersione” a p.r. con d ≤ n che siano anche iniettive.

2Si suppone sempre che le parametrizzazioni siano almeno C1; infatti, come mostral’esempio della curva di Peano, che riempie un quadrato, per parametrizzazioni di regolaritainferiore l’immagine puo essere un sottoinsieme di Rn estremamente “selvaggio”, che noncorrisponde affatto, nemmeno localmente, all’idea intuitiva di curva/superficie o di “insiemed-dimensionale”.

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Esercizio 1.4 Qualcosina sulle curveSia α : I → Rn una curva parametrizzata (di classe Ck con con k opportuno).Il vettore velocita di α in s e il vettore α′(s) = (x′1(s), · · · , x′n(s)); la velocita(scalare) e versore tangente di α in s sono rispettivamente definiti come v(s) =||α′(s)|| e T (s) = α′(s)/v(s).La retta ts passante per α(s) e direzione T (s) e detta retta tangente ad α in s.Il vettore accelerazione di α in s e il vettore α′′(s), e l’accelerazione (scalare) ea(s) = |α′′(s)|.Il versore normale di α in s e invece ottenuto derivando T (s) e normalizzando:N(s) = T ′(s)/|T ′(s)|; il valore k(s) = |T ′(s)|/v(s) e detto curvatura di α in s.Il piano affine πs passante per α(s) e di giacitura� T (s), N(s)� e detto pianoosculatore di α in s.Il numero ρ(s) = 1/k(s) ed il punto c(s) = α(s) + 1

k(s)N(s) sono detti rispet-

tivamente il raggio di curvatura e il centro di curvatura di α in s; il cerchio Csche giace sul piano osculatore πs, di centro c(s) e raggio ρ(s) e detto cerchioosculatore di α in s.Si noti che:– il vettore velocita e il versore tangente esistono se la curva e almeno C1;– il vettore accelerazione esiste se la curva e almeno C2; mentre il versore nor-male, il piano e il cerchio osculatore esistono in s se la curva e C2 e k(s) 6= 0;– la curvatura k(s) e pari a |T ′(s)| se la curva e parametrizzata con v(s) = 1;– il vettore accelerazione e il versore normale non hanno in genere la stessadirezione; difatti, le proiezioni ortogonali di α′′(s) lungo T (s) ed N(s) si chia-mano rispettivamente vettore accelerazione tangenziale e vettore accelerazionenormale): portare degli esempi.

Mostrare che:

(i) la retta tangente ad α in s0 e “la retta che meglio approssima α per s ' s0”,nel senso che si ha d(α(s), ts0) = o(s−s0) per s→ s0; invece, per ogni altra rettar(s) passante per α(s0) per s = s0 si ha lims→s0 d(α(s), r)/(s− s0) = c 6= 0;

(ii) N(s), se esiste, e un vettore ortogonale a T (s);Suggerimento: usare che |T (s)|2 = α′(s) · α′(s) = 1 per ogni s.

(iii) la curva αs0(s) che e l’approssimazione di Taylor al secondo ordine di α ins = s0 e piana e contenuta nel piano osculatore;

(iv) la curvatura puo calcolarsi tramite la formula k(s) = ||(α′×α′′)||||α′||3 ;

(v) se α e piana, “N punta sempre verso la concavita della curva α”, cioe: dettoπ+s0 e il semipiano tagliato da ts0 che contiene il punto α(s0)+N(s0), esiste ε > 0

tale che la curva α(s) e contenuta nel semipiano π+s0 per |s− s0| < ε;

(vi)∗ se α e piana e k(s0) 6= 0, il cerchio osculatore Cs0 e il limite del cerchiopassante per 3 punti P,Q,R ∈ Im(α) quando P,Q,R→ α(s0).Suggerimento: mostrare che centro e raggio del cerchio passante per P,Q,R tendono a

c(s), ρ(s) per P,Q,R→ α(s0).

Esercizio 1.5 Flessi di curve piane parametrizzateSia α : I → R2 una curva piana regolare, sia s0 ∈ I. Si dice che α(s0) e un puntodi flesso se “α attraversa la retta tangente ts0 per s ∼ s0”. La formulazionematematica precisa di questa condizione e: detto n un vettore non nullo normalea α′(s0), per ogni ε > 0 esistono −ε < δ− < 0 < δ+ < ε tali che(−−−−−−−−−−−→

α(s0)α(s0 + δ−) · n) (−−−−−−−−−−−→

α(s0)α(s0 + δ+) · n)< 0.

Mostrare che:(i) se α(s0) e un punto di flesso, allora k(s0) = 0;(ii) se k(s0) = 0, α(s0) non e necessariamente un flesso (controesempio?).

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Esercizio 1.6 Studio di una curva piana parametrizzataStudiare la cicloide α(t) = (x(t), y(t)) = (t− sin t, 1− cos t), t ∈ R.In particolare, studiare:(i) periodicita delle componenti, e possibile riduzione dello studio di α ad unintervallo piu piccolo;(ii) la tabella delle variazioni di x(t), y(t);(iii) il vettore tangente in punti particolari di α, ed il limite del versore tangentenei punti non regolari;(iv) la curvatura, i punti di flesso ed i cambi di convessita.Disegnare l’andamento di α tenendo conto delle informazioni precedenti.

Eseguire lo stesso studio per le curve:a) α(t) = (sin t, sin 2t) (“papillon”);b) β(t) = (cos3 t, sin3 t) (“asteroide”);

c) γ(t) = (sin t, cos2 t2−cos t ).

Dopo tutti questi sforzi, ci accorgiamo con disappunto che:

Esercizio 1.7 La sfera S2 e parametrizzabile, ma...(i) nessuna parametrizzazione “naturale” della sfera e definita o regolare ovunque(verificare con quelle che si conoscono);(ii) trovare una parametrizzazione regolare di (tutta) S2 e un po’ complicato:provarci.Suggerimento: il nome puo aiutare, e nota come il “bendaggio dell’infermiera”...

(iii)∗ Addirittura, la sfera non e una superficie parametrizzata immersa.Nota: questa cosa non e facile da dimostrare. Bisogna utilizzare il teorema inverso del Dini

(v. §2) per mostrare che l’inversa di un’immersione F : D ⊂ R2 → R3 con immagine tutta

S2 avrebbe necessariamente inversa F−1 continua; e cio e impossibile perche S2 e compatta,

mentre nessun dominio D di R2 lo e).

Se uno degli oggetti piu semplici che vorremmo studiare (la sfera!) non euna “buona” sottovarieta parametrizzata, vuol dire che dobbiamo considerareuna definizione piu duttile. Per questo nasce l’idea di sottovarieta indipendentedalla scelta di una particolare parametrizzazione:

Definizioni 1.8 (Sottovarieta differenziabili –non parametrizzate– di Rn)Un sottoinsieme S ⊂ Rn e una (Ck-) sottovarieta differenziabile di Rn di dimen-sione d se ∀P ∈ S esiste un intorno USp in S che e una d-sottovarieta grafico (Ck).Una sottovarieta differenziabile S non ammette quindi necessariamente un’unicaparametrizzazione globale, bensı una collezione di parametrizzazioni-grafico, lecui immagini la ricoprono completamente.Ogni parametrizzazione grafico Fi : Vi ⊂ Rd → Ui = F (Vi) ⊂ S con P0 ∈ Uisi dice una carta di S intorno a P0; per ogni P ∈ Ui, le coordinate di F−1i (P )in Rd si dicono le coordinate locali di P in tale carta Un insieme di carte le cuiimmagini coprono completamente S, i.e.

⋃i Ui = S, si dice un atlante per S.

Se d=1, 2, n−1, S si dira una curva/superficie/ ipersuperficie differenziabile.

Il termine sottovarieta differenziabile risultera chiaro in un corso piu avanzatodi Geometria Differenziale. E comunque, tenete a mente che questa non e la piugenerale definizione di superficie e di varieta: piu in la (nel prossimo corso diGeometria) introdurremo la nozione di varieta differenziabile astratta, cioe noncontenuta in Rn.

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Esempio 1.9(i) Le curve (b) e (c) dell’Es. 1.3 non sono 1-sottovarieta differenziabili (nem-meno la curva (a), ma questo e meno facile vederlo).(ii) La curva (d) qui sotto, detta spirale logaritmica e una 1-sottovarieta dif-ferenziabili perche e una 1-sottovarieta-grafico intorno ad ogni suo punto; manon e una sottovarieta-grafico! Trovarne un atlante e dimostrare questo fatto.(iii) La sfera e una 2-sottovarieta differenziabile, ma non una sottovarieta grafico.Idem per l’iperboloide iperbolico.

(d) 1-sottovarieta, non grafico (e) 2-sottovarieta, non grafico

♥ Esercizio 1.10 Si considerino le seguenti quadriche reali di R3:

Ea,b,c : x2

a2 + y2

b2 + z2

c2 = 1 Iipa,b,c : x2

a2 + y2

b2 −z2

c2 = 1 Iella,b,c : x2

a2 −y2

b2 −z2

c2 = 1

Pipa,b : z = x2

a2 −y2

b2 Pella,b : z = x2

a2 + y2

b2

Cilella,b : x2

a2 + y2

b2 = 1 Cilipa,b : x2

a2 −y2

b2 = 1 Ca,b,c : x2

a2 + y2

b2 −z2

c2 = 0

πa,b : x2

a2 −y2

b2 = 0 πa : x2

a2 = 1 π : x2 = 0

Darne parametrizzazioni, e dire dove tali parametrizzazioni sono regolari, o im-mersioni, o grafici. Quali di esse sono sottovarieta differenziabili di Rn?

Definizione 1.11 (Equazioni Cartesiane)Una famiglia di equazioni cartesiane (Ck) per un insieme S ⊂ Rn e un’applicazioneG = (Gi) : D ⊂ Rn → Rm (di classe Ck) con n ≥ m, tale che S sia l’insiemedei punti che soddisfano il sistema G1(P ) = ... = Gm(P ) = 0, i.e. S = G−1(0).

Definizioni 1.12 (Superfici rigate e di rotazione)(i) Un sottoinsieme S ⊂ Rn e rigato se S =

⋃P∈B rP , dove rP e una retta

passante per P ; l’insieme B si dice base o direttrice della rigata, le rette rP sonodette generatrici. Nel caso in cui le rette rP passino tutte per un medesimopunto V , l’insieme rigato si dice un cono di vertice V ; nel caso in cui le rette rPabbiano tutte la stessa direzione v, l’insieme si dice un cilindro di asse v.

(ii) Un sottoinsieme S ⊂ R3 e di rotazione se esiste una retta r dello spazio taleche per ogni piano π ortogonale a r la sezione S∩π e un’unione di circonferenzecentrate in r∩π (dette i paralleli di S), oppure l’insieme vuoto; equivalentemente,S e un insieme di rotazione se Simm(S) contiene tutte le rotazioni Rr,ϑ di asser e angolo ϑ ∈ R.

Una superficie parametrizzata rigata e un sottoinsieme S ⊂ Rn che ammette unaparametrizzazione rigata, cioe una parametrizzazione F della forma particolareF (s, t) = α(s) + tv(s) dove α, v sono due curve parametrizzate e v(s) non e mainullo (nota: se α(s) e costante si ottiene un cono, se v(s) e costante si ottiene uncilindro); ed una superficie parametrizzata di rotazione e un sottoinsieme S ⊂ Rnche ammette una parametrizzazione di rotazione, cioe F : U = I ×R→ Rn taleche F (s× R) sia un parallelo per ogni s.

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♥ Esercizio 1.13 Sia C(B, V ) il cono di vertice V = (0, 0, 1) e base l’insieme Bdi equazione y = x3 nel piano z = 0. Si consideri inoltre la retta r : x = z−1 = 0,e si ponga C(B, V ) = C(B, V ) ∪ r.(i) Determinare una parametrizzazione rigata per C(B, V ); la parametrizzazionetrovata e regolare?

(ii) Trovare un’equazione cartesiana per l’insieme C(B, V ); esiste un’equazionecartesiana solo per l’insieme C(B, V ), definita su tutto R3? L’insieme C(B, V )ammette un’equazione cartesiana di secondo grado?

(iii) C(B, V ) e una superficie differenziabile di R3? E una superficie regolare?

Nota: dire che un insieme S e una superficie regolare vuol dire che esiste una parametriz-

zazione regolare per S, non che la prima che vi viene in mente e regolare! Per questo, forse non

riuscirete a rispondere alla seconda domanda in (iii) fino al §3, dove introdurremo lo spazio

tangente.

♥ Esercizio 1.14 Sia C(B′, V ′) il cono di vertice V ′ = (0, 1, 0) e base l’insiemeB′ di equazione x = z4 nel piano y = 0. Si consideri poi la retta r : z = y−1 = 0e si ponga C(B′, V ′) = C(B′, V ′) ∪ r.(i) determinare una parametrizzazione rigata per C(B′, V ′); la parametrizzazionetrovata e regolare?

(ii) Trovare un’equazione cartesiana per l’insieme C(B′, V ′); Esiste un’equazionecartesiana solo per l’insieme C(B′, V ′), definita su tutto R3? L’insieme C(B′, V ′)ammette un’equazione cartesiana di secondo grado?

(iii) C(B, V ) e una superficie differenziabile di R3? E una superficie regolare?

♥ Esercizio 1.15 Si trovino parametrizzazioni ed equazioni cartesiane per:(i) il toro ottenuto ruotando attorno all’asse z la circonferenza C, contenuta nelpiano Oyz, di raggio r e centro c = (0, R, 0), con R > r > 0;

(ii) il “pomodoro” ottenuto ruotando attorno all’asse z la stessa circonferenza,ma con r > R > 0;

(iii) l’insieme ottenuto ruotando la curva C nel piano Oyz:- parametrizzata da f(t) = (0, f2(t), f3(t));- oppure di di equazione cartesiana x = g(y, z) = 0.

(iv) Dire se le superfici parametrizzate in (i)-(ii) sono superfici differenziabili.

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2 Parametrizzazioni vs Equazioni Cartesiane

Il problema che tratteremo e il seguente, fondamentale in matematica:dato un sistema di equazioni del tipo G(X) = 0, dove X = (x1, ..., xn) ∈ Rn eG = (Gi) : D ⊂ Rn → Rm, e cioe:

G1(x1, ..., xn) = 0G2(x1, ..., xn) = 0

· · ·Gm(x1, ..., xn) = 0

(1)

le soluzioni S ⊂ Rn di tale sistema (se esistono) formano uno spazio “regolare”,cioe parametrizzabile? Se sı, di che “dimensione”, cioe in funzione di quantiparametri puo esprimersi?Tale problema consiste quindi nel cercare di passare da equazioni cartesiane perun insieme S ad una parametrizzazione di S.

Notiamo che tale problema e stato risolto nei corsi di Algebra Lineare eGeometria 1 nel caso in cui le Gi siano polinomi di primo grado, i.e. (1) sia unsistema lineare:

Teorema 2.1 Sia G(X) = G0X+ b = 0 un sistema lineare in X = (x1, ..., xn),con G0 ∈ M(m,n,R) e b ∈ Rm. L’insieme S delle soluzioni, se non vuoto, eun sottospazio affine di Rn di dimensione d = n− rk(G0).

Euristicamente, cio vuol dire che da ogni equazione, che pone un vincolo su(x1, ..., xn), possiamo ricavare un’incognita xi, e dunque se le m equazioni sonoindipendenti (cioe rk(G0) = m) le soluzioni si esprimono in funzione di d = n−mvariabili libere. Reciprocamente, nel corso di Algebra lineare abbiamo visto:

Teorema 2.2 Sia F = (Fi) : Rd → Rn una parametrizzazione affine del tipo

F (x1, ..., xd) = P0 + x1v1 + · · ·+ xdvd = P0 + F0X

dove {v1, ..., vd} sono d vettori linearmente indipendenti (cioe rk(F0) = d).Allora S = ImF e l’insieme delle soluzioni di un sistema del tipo (1), costituitoda m = n− d equazioni polinomiali di grado 1 indipendenti.

Osservazione 2.3 (Equazioni cartesiane non regolari)E facile convincersi che, la sola ipotesi che le equazioni cartesiane Gi siano fun-zioni Ck, ma senza ulteriori condizioni di “regolarita”, l’insieme delle soluzioniS non ha una naturale “dimensione” deducibile da n,m. Si pensi al seguenteesempio: consideriamo la funzione C∞

f(r) =

{0 se r ≤ 1

e− 1

(r−1)2 se r ≥ 1e sia Sk = G−1(k) : f(x2 + y2) = k. L’insieme Sk e una circonferenza perogni 0 < k < 1, mentre S0 e un cerchio, dunque un oggetto “bi-dimensionale”(nonostante sia definito da un’equazione in due variabili!).

Il Teorema 2.1 si generalizza a equazioni Ck qualsiasi (con k ≥ 1) a meno disostituire la condizione rk(G0) = m con rk(dG)P0

= m, fornendo pero solamenteun enunciato “locale”: una garanzia, cioe, della possibilia di passare da equazionicartesiane a parametrizzazioni in un intorno di un punto P0 fissato:

Definizione 2.4 Un insieme di equazioni cartesiane per S ⊂ Rn si dira regolarein P0 ∈ S se il rango di (dG)P0

e massimo, i.e. rk(dG)P0= m; in tal caso si

dice anche che la mappa G e una summersione in P0. Piu in generale, unasummersione G : D ⊂ Rn → G(D) ⊂ Rm, n ≥ m, e un’applicazione taleche rk(dG)P = m in ogni punto P , cioe con differenziale suriettivo ovunque.L’immagine F (D) si dice la base della summersione, e per ogni P ′ ∈ G(D)i sottoinsiemi F−1(P ′) si dicono le fibre.

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Teorema del Dini 2.5Sia G=(Gi) :D⊂Rn→Rm≤n, S = G−1(0) e P0 ∈ S. Supponiamo che:(i) G sia di classe Ck (con k ≥ 1);(ii) G sia regolare in P0, ovvero una summersione in P0, cioe rk(dG)P0 = m;(diciamo, per semplicita, che3 det(∂Gi

∂xj|P0)i=1,...,m

j=1,...,m 6= 0).

Allora S e una sottovarieta grafico Ck intorno a P0, di dimensione d = n−m;esiste cioe un intorno USP0

di P0 tale che USP0= Im(F ) per una parametrizzazione-

grafico di classe Ck:

F (xm+1, .., xn) = (f1(xm+1, ..., xn), ..., fm(xm+1, ..., xn), xm+1, ..., xn)

Locuzioni equivalenti (che si usano spesso) sono: S e un grafico rispetto a(xm+1, ..., xn) vicino a P0, oppure e possibile esplicitare (x1, ..., xm) in funzionedi (xm+1, ..., xn) su S vicino a P0.

Dimostrazione del Teorema del Dini. Vedi l’Appendice.2

Osservazioni 2.6(i) nel caso G : D ⊂ R2 → R (dunque d = 1), la condizione sufficiente per esplic-itare xi rispetto all’altra variabile xj vicino a P0 diventa: ∂G

∂xi|P0 6= 0. Questa

condizione, come vedremo nella §3, corrisponde geometricamente a chiedere chelo spazio tangente a C = ker(G) in P0 sia una retta non parallela all’asse xi.

(ii) nel caso G : D ⊂ R3 → R (dunque d = 2), la condizione sufficiente peresplicitare xi rispetto alle altre variabili vicino a P0 si riduce a: ∂G

∂xi|P06= 0.

Questa condizione, come vedremo nella §3, corrisponde geometricamente a chiedereche lo spazio tangente ad S = ker(G) in P0 sia un piano non parallelo all’asse xi.

Corollario 2.7 (Fibre di una summersione)Se G : D ⊂ Rn → Rm≤n e una summersione in P0 (di classe Ck), allora la fibraG−1(P0) e una (Ck)-sottovarieta differenziabile di Rn di dimensione d = n−m.

Dimostrazione dei Corollario 2.7. Basta usare il Teorema del Dini e ricordarela definizione di sottovarieta differenziabile!

E naturale porsi anche il problema inverso: dato un insieme S ⊂ Rn definitocome l’immagine di una parametrizzazione F , e possibile realizzarlo come l’insiemedelle soluzioni di un sistema del tipo (1)? Ancora una volta, c’e un analogo delTeorema 2.2 che fornisce una risposta positiva sotto simili ipotesi di regolaritaper F , e sempre in un senso puramente locale, come descritto qui di seguito:

Teorema “inverso” del Dini 2.8Sia F = (Fi) : D⊂Rd≤n → Rn, S = F (D). Supponiamo che:(i) F sia di classe Ck (con k ≥ 1);(ii) F sia regolare in Q0, cioe rk(dF )Q0

= d

(diciamo, per semplicita, che det(∂Fi

∂xj|Q0)i=1,...,d

j=1,...,d 6= 0).

Allora, esiste un intorno VQ0 ⊂ Rd di Q0 tale che l’insieme SQ0 = F (VQ0) ⊂ Se una parametrizzazione-grafico rispetto a x1, ..., xd, ed ha m = n− d equazionicartesiane regolari del tipo (1), con G = (Gi) di classe Ck e rk(dG)P0

= m.

Dimostrazione del Teorema del Dini. Vedi l’Appendice.2

3Le Gi sono m, mentre le xj sono n ≥ m: quindi per fare una matrice m×m, le Gi devonoesserci tutte, mentre delle xj bisogna selezionarne m, che per questo sono scritte in neretto.

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Nota 2.9 Il Teorema inverso del Dini non afferma:(i) che SQ0

= F (VQ0) ⊂ S e un intorno di P0 in S, per un qualche intorno VQ0

di Q0 abbastanza piccolo;

(ii) che S = ImF ammette n−d equazioni cartesiane (Ck, regolari) vicino aP0 =F (Q0): cio e vero solo per il sottoinsieme SQ0

=F (VQ0);

(iii) che F stessa e una parametrizzazione-grafico, ma solo che SQ0= F (VQ0

)ammette una parametrizzazione-grafico F ′, in genere diversa da F .(La dimostrazione spiega come trovare tale F ′.)

Quindi, non confondetevi: l’immagine di una parametrizzazione regolare, oanche di un’immersione, non e generalmente una sottovarieta differenziabile!Lo e solo restringendo opportunamente il dominio.

Esempio 2.10 Per capire bene questi fatti, considerate per esempio la curva diLissajous, che e la curva (b) dell’Esercizio 1.8. E parametrizzata da F : R→ R2,con F (t) = (sin t, sin 2t). Notare che, posto Q0 = 0 e P0 = F (0) = O:

– L = ImF e una curva “ad ∞”: un qualsiasi intorno UQ0di Q0, benche

arbitrariamente piccolo, contiene una parte di entrambi i due rami della curva.Nessuno dei due rami, da solo, e un intorno di Q0;

– per il Teorema inverso del Dini (e per verifica diretta!) ciascuno dei due ramidella curva L vicino ad O ammette una parametrizzazione grafico e un’equazionecartesiana regolare;– pero, l’unione dei due rami non ammette ne una parametrizzazione grafico,ne un’equazione cartesiana regolare!

♥ Esercizio 2.11 Dire, per ciascuno dei tre sottoinsiemi parametrizzati:

S = {F (t) = (et cos t, et sin t) | t ∈ R } (spirale logaritmica)

C+ = {F (t, ϑ) = (t cosϑ, t sinϑ, t) | t ≥ 0, ϑ ∈ R } (semicono)

E = {F (t, s) = (t cos s, t sin s, s) | t, s ∈ R } (elicoide circolare)

(i) in quali punti le parametrizzazioni non sono regolari;

(ii) in quali punti non e possibile esplicitare x in funzione di y;(Rispondere alla luce dell’Osservazione 2.6)

(iii) il Teorema Inverso del Dini assicura l’esistenza di equazioni cartesiane perS, C+ ed E?

(iv) gli insiemi S, C+, E ammettono un’equazione cartesiana? Regolare ovunque?(v) gli insiemi S, C+, E sono sottovarieta differenziabili?

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3 Spazio tangente

Lo spazio tangente ad un sottoinsieme S ⊂ Rn in un suo punto P0 e un’appros-simazione di S come un’unione di rette vicino al punto scelto. La natura dellospazio tangente in un punto da informazioni sul sottoinsieme S nell’intorno ditale punto (per esempio permette di distinguere sottoinsiemi molto differenti traloro) ed e uno strumento fondamentale in geometria algebrica e differenziale.

Definizione 3.1 (Vettori tangenti)Sia S ⊂ Rn un sottoinsieme, e sia P0 ∈ S.Un vettore unitario u ∈ Rn si dice un versore tangente ad S in P0 se esiste una

successione di punti Pn ∈ S, Pn → P0, tale che limn→∞−−−→P0Pn

‖P0Pn‖ = u.

Qualsiasi vettore del tipo u = λu si dira allora un vettore tangente ad S in P0.Lo spazio tangente ad S in P0 e l’insieme

TP0S = {u ∈ Rn |u vettore tangente ad S in P0 }

ed e anche detto il cono tangente ad S in P0 (per quanto spiegato sotto in 3.3(i)).Notare che TP0S e vuoto se e solo se P0 non e un punto di accumulazione per S.

Il sottoinsieme T affP0S = P0 + TP0

S e detto spazio affine tangente ad S in P0.

♥ Esercizio 3.2 Verificare che:(i) Se S = Q2, allora TOS = R2.

(ii) Se S = {F (t) = (et cos t, et sin t) | t ∈ R } ∪ {O} e una spirale logaritmica,allora TOS = R2.

(iii) Se L = {F (t) = (sin t, sin 2t) | t ∈ [0, 2π] } ⊂ R2 e la curva di Lissajous,allora TOL = r+ ∪ r−, dove r± sono le rette di equazioni y = ±2x.

(iv) Se C+ = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = z2, z ≥ 0} e la falda superiore del conoC = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = z2}, allora TOC+ = C

I risultati che seguono aiutano a calcolare TP0S in molti casi:

Proposizione 3.3 Sia S ⊂ Rn e P0 ∈ S:(i) TP0

S (rispettivamente T affP0S) e un cono di vertice O (risp. di vertice P0);

(ii) se USP0e un intorno di P0 in S, si ha TP0S = TP0U

SP0

;

(iii) se S = S1 ∪ S2 e P0 ∈ S1 ∩ S2, allora TP0S = TP0S1 ∪ TP0S2.

Dimostrazione.(i) Sia T 1

P0S l’insieme dei versori unitari tangenti a S in P0. TP0

S e il cono divertice O e base B = T 1

P0S. Si noti inoltre che un cono traslato e un cono.

(ii) Evidentemente TP0USP0⊂ TP0S; poiche d’altra parte ogni u ∈ T 1

P0S e ot-

tenuto da una successione di punti Pn ∈ S tali che Pn → P0, e ogni talesuccessione e contenuta definitivamente in USP0

, vale anche l’inclusione inversa.(iii) Anche in questo caso si ha chiaramente TP0

Si ⊂ TP0S, dunque l’inclusione

TP0S1∪TP0

S2 ⊂ TP0S. D’altra parte, se u ∈ T 1

P0S e ottenuto da una successione

di punti Pn ∈ S tali che Pn → P0, esiste una sottosuccessione Pnkdei Pn che e

tutta contenuta in un Si, quindi u ∈ TP0Si; da cui l’inclusione inversa.2

Teorema 3.4 (Spazio tangente per parametrizzazioni regolari)(i) Sia S ⊂ Rn una d-sottovarieta differenziabile e sia F :D⊂Rd→S una cartaintorno a P0 = F (Q0): allora TP0

S e uno spazio vettoriale di dimensione duguale a Im(dF )Q0 .(ii) Sia S ⊂ Rn una sottovarieta parametrizzata, ed F : D⊂ Rd→ S una suaparametrizzazione, regolare in P0 =F (Q0): allora, esiste un intorno abbastanzapiccolo VQ0

di Q0 tale che lo spazio tangente in P0 al sottoinsieme F (VQ0) ⊂ S

e uno spazio vettoriale di dimensione d, uguale a Im(dF )Q0.

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In particolare, se S e una sottovarieta parametrizzata regolare, allora lo spaziotangente TP0

S in un qualsiasi suo punto P0 contiene uno spazio vettoriale didimensione d (ma non e necessariamente uno spazio vettoriale).

Dimostrazione.(i) Sia F : VQ0

:→ S una parametrizzazione grafico di S intorno a P0 = F (Q0).Mostriamo prima che Im(dF )Q0 ⊂ TP0S. In effetti, sia v = (dF )q0(u), dove

possiamo supporre |u| = 1. Allora v = limn→∞F (Q0+tnu)−F (Q0)

tn, per qualsiasi

successione tn → 0. Detti Qn = Q0 + tnu, si ha tn = |Q0Qn|, e dunque

v = limn→∞

F (Qn)− F (Q0)

|Q0Qn|= limn→∞

−−−−−−−−−→F (Q0)F (Qn)

|F (Q0)F (Qn)|· |F (Q0)F (Qn)|

|Q0Qn|(2)

Poiche F (Qn) ∈ S e F (Qn) → F (Q0) = P0 (per la continuita di F ), il primoquoziente nel limite tende a un versore tangente v ∈ T 1

P0S; dunque il secondo

tende necessariamente a |v|, sicche (2) mostra che v ∈ TP0S.

Viceversa, sia v ∈ TP0S, che possiamo supporre unitario. Esistono allora punti

Pn = F (Qn) ∈ S con Pn → P0 tali che

v = limn→∞

−−−→P0Pn|P0Pn|

= limn→∞

−−−−−−−−−→F (Q0)F (Qn)

|F (Q0)F (Qn)|= limn→∞

−−−−−−−−−→F (Q0)F (Qn)

|Q0Qn|· |Q0Qn||F (Q0)F (Qn)|

Poiche F e almeno C1, si ha F (Qn) = F (Q0) + (dF )Q0(−−−→Q0Qn) + o(|Q0Qn|),

dunque

v = limn→∞

(dF )Q0(−−−→Q0Qn) + o(|Q0Qn|)|Q0Qn|

· |Q0Qn|∣∣∣(dF )Q0(−−−→Q0Qn) + o(|Q0Qn|)

∣∣∣ (3)

Poiche Pn = F (Qn) → P0 = F (Q0) ed F e una parametrizzazione grafico,

si ha che Qn → Q0 e quindi i versori−−−−→Q0Qn

|Q0Qn| tendono a un versore tangente

u ∈ TQ0D = R2. Da (3) e dall’ipotesi che F sia C1 e regolare segue allora che

(dF )Q0(u) 6= 0 e v =(dF )Q0

(u)

|(dF )Q0(u)| ∈ Im(dF )Q0 .

(ii) La dimostrazione e identica ad (i), l’unica differenza e nel punto in cui sidice che se Pn = F (Qn) → P0 = F (Q0) allora Qn → Q0. Cio e evidente nelcaso in cui F sia una parametrizzazione-grafico perche F−1 esiste ed e continua(e la proiezione sullo spazio delle “variabili libere”!). Nel caso invece di unaparametrizzazione regolare in Q0, non abbiamo (a priori) la continuita di F−1

(l’applicazione F non e neppure invertibile!). Ma il Teorema inverso del Diniassicura l’esistenza di un aperto abbastanza piccolo VQ0

di Q0 tale che il sottoin-sieme F (VQ0

) ⊂ S sia una parametrizzazione-grafico; e dunque si puo applicareil punto (i) a F (VQ0

).2

Teorema 3.5 (Spazio tangente per equazioni cartesiane regolari)Sia S = ker(G), con G = (Gi) : D ⊂ Rn → Rm regolare in P0 ∈ S: allora,TP0

S e uno spazio vettoriale di dimensione n−m uguale a ker(dG)P0.

Dimostrazione.Per il Teorema del Dini esiste un intorno V SP0

di P0 in S che e un grafico, immag-

ine cioe di una parametrizzazione-grafico F:UQ0⊂Rd→V SP0

⊂ Rn, con d = n−m,F (Q0)=P0 e F (UQ0

) = VP0. Per la Proposizione 3.3 e il Teorema 3.4 sappiamo

che TP0S = TP0VP0 = Im(dF )Q0 . Resta da vedere che Im(dF )Q0 = ker(dG)P0 .Ma poiche G(F (UQ0)) = 0, differenziando si ottiene (dG)P0 ◦(dF )Q0 = 0, quindiIm(dF )Q0

⊂ ker(dG)P0. D’altronde, poiche (dF )Q0

ha rango d e (dG)P0ha

rango m, gli spazi Im(dF )Q0e ker(dG)P0

hanno entrambi dimensione uguale ad, e pertanto coincidono.2

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Osservazioni 3.6 (Retta e piano tangente a curve e superfici)(i) Sia C una curva regolare parametrizzata da F : D ⊂ R→ Rn, e P0 = F (Q0).Il teorema precedente assicura che esiste un intorno VQ0

= (Q0 − ε,Q0 + ε) taleche TP0F (VQ0) = Im(dF )Q0 = F ′(Q0)R; da qui il nome di retta tangente perla retta passante per P0 e avente vettore direzione F ′(Q0).Ma attenzione: mentre per una curva-grafico C si ha sempre TP0

C = F ′(Q0)R,in generale per una curva regolare qualsiasi si ha solo TP0

C ⊃ F ′(Q0)R.Per esempio, nel caso della curva di Lissajous L, fatta ad ∞, dell’Esercizio3.2 (ii), la proposizione precedente e la Proprieta 3.3(iii) mostrano che TOL el’unione delle due rette y = ±2x.

(ii) Se S e una superficie regolare parametrizzata da F : D ⊂ R2 → Rn eP0 = F (Q0). Il teorema precedente assicura che esiste un intorno VQ0 di Q0

tale che TP0F (VQ0

) = Im(dF )Q0= Span{Fx(Q0), Fy(Q0)}, da cui il nome di

piano tangente per il piano passante per P0 e avente questa giacitura.Di nuovo, se per una superficie-grafico S si ha TP0

S = Span{Fx(Q0), Fy(Q0)},per una superficie regolare qualsiasi si ha solo TP0

S ⊃ Span{Fx(Q0), Fy(Q0)}.Per esempio, se S e il cilindro in R3 di base la curva L di Lissajous ed asse ilvettore z = (0, 0, 1), la proposizione precedente e la Proprieta 3.3(iii) mostranoche TOS e l’unione dei due piani y = ±2x.

Nota 3.7 Nel caso di un insieme S definito da una equazione cartesiana re-golare G(x1, ..., xn) = 0 (per esempio una curva in R2 o una superficie in R3),dG = (Gx1

, ..., Gxn) puo essere identificato, in ogni punto, ad un vettore detto

il gradiente di G, denotato grad(G). Allora TP0S = ker(dG)P0

= gradP0(G)⊥,

ovvero: grad(G) e un vettore normale allo spazio tangente, in ogni punto di S.

♥ Esercizio 3.8(i) Sia u un punto della sfera S di centro l’origine e raggio r: verificare cheTuS = u⊥. Fare un disegno.

(ii) Sia Q la vostra quadrica non degenere preferita, e P0 = (x0, y0, z0) un suopunto: determinare l’equazione del piano tangente a TP0Q, e le coordinate diun vettore N(P0) normale a tale piano.

(iii) Per ognuna della quadriche dell’Esercizio 1.8, si trovino i punti P in cui lospazio tangente e un piano verticale.

(iv) Si trovi un’equazione cartesiana per il cilindro Cil(L, z) di base la curva diLissajous L e asse z. L’equazione trovata e regolare nell’origine?Esiste un’equazione per Cil(L, z) regolare nell’origine?

Definizione 3.9 (Punti singolari di varieta parametrizzate)Sia S una d-sottovarieta parametrizzata di Rn. Un punto P ∈ S si dice singolarese P non ha un intorno in S che e una sottovarieta-grafico, di classe almeno C1.

Corollario 3.10 Sia S una d-sottovarieta parametrizzata, e P un suo punto:se S e una sottovarieta, allora ogni suo punto e non singolare, e TPS e sempreuno spazio vettoriale di dimensione d (ovvero: se TPS non e uno spazio vettorialedi dimensione d, allora P e singolare, e S non e una sottovarieta differenziabile).

Dimostrazione.Segue dalla definizione di varieta differenziabile e dal Teorema 3.4(i), che assi-cura che TPS e uno spazio vettoriale di dimensione d. 2

Si noti anche che se P e un punto singolare per una sottovarieta parametriz-zata S, non esiste un’equazione cartesiana regolare per S in P (senno il Teoremadel Dini assicurerebbe che S intorno a P e una superficie-grafico, e P sarebbenonsingolare).

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Nota 3.11 Condizioni necessarie o sufficienti alla nonsingolarita(ii) Il Teorema del Dini da una condizione sufficiente affinche una sottovarietaparametrizzata sia una sottovarieta differenziabile; ma non e una condizione nec-essaria! Analogamente, il Teorema inverso del Dini da una condizione sufficienteaffinche l’immagine di una parametrizzazione regolare F : D → S, ristretta op-portunamente, sia una sottovarieta differenziabile, ma non e una condizionenecessaria.(ii) Il Corollario 3.10 ci da invece una condizione necessaria affinche una sottova-rieta parametrizzata sia una sottovarieta differenziabile; ma non una condizionesufficiente.Il prossimo esercizio chiarisce bene queste cosae.

♥ Esercizio 3.12(i) Mostrare che esiste un’equazione cartesiana C1 per la sfera S2 che non eregolare nel polo nord N . Mostrare altresı che la parametrizzazione naturaledella sfera S2 tramite angoli di latitudine e longitudine non e regolare in tutti ipunti corrispondenti ad N . Eppure N non e singolare per S2!

(ii) Mostrare che se C e l’unione di due circonferenze tangenti in O, oppure ela curva parametrizzata da F (t) = (t2, t3), allora TOC e una retta. Eppure O eun punto singolare per C in entrambi i casi!

(iii) Per ognuna delle quadriche dell’Esercizio 1.8 si trovino gli eventuali puntisingolari e lo spazio tangente in tali punti.

Osservazione 3.13 (Esplicitare variabili e posizione del tangente)Giustificare le Osservazioni 2.6 (i)&(ii). Cioe:(i) Mostrare che se G : D ⊂ R3 → R2 con P0 ∈ C = G−1(0), la condizione peresplicitare xi, xj rispetto a xk vicino a P0 e che TP0C sia una retta non parallelaal piano Oxixj .(ii) In generale, se G : D ⊂ Rn → Rm con m ≤ n e P0 ∈ S = G−1(0), lacondizione di poter esplicitare x1, ..., xm rispetto alle altre d = n−m variabili,

ovvero det[∂Gi

∂xj

]i=tuttej=1,...m

6= 0 equivale a dire che TP0S ⊕ Span(~x1, ..., ~xm) = Rn.

Abbiamo definito lo spazio tangente esclusivamente per sottovarieta di Rn.In un qualsiasi corso di Geometria Differenziale vi sara poi definito lo spazio tan-gente ad una varieta differenziabile astratta, in termini piu astratti(ma equivalente alla definizione appena vista, per le sottovarieta).

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A Dimostrazione del Teorema del Dini e inverso(usando il Teorema della Funzione Inversa)

Daremo una dimostrazione dei due Teoremi 2.5&2.8 usando un risultato4

fondamentale che vedrete nel corso di Analisi (almeno in due variabili!), chesupporremo acquisito:

Teorema della Funzione Inversa A.1Sia D dominio, e F : D ⊂ Rk → Rk un’applicazione con F (P0) = Q0 tale che(i) F e di classe Ck (con k ≥ 1);(ii) F e regolare in P0, cioe det(dF )P0

6= 0.Allora, esistono intorni UP0

, VQ0di P0, Q0 ∈ Rk tali che F |UP0

: UP0→ VQ0

sia

un Ck-diffeomorfismo (cioe Ck, biiettiva e con inversa ancora di classe Ck).

Dimostrazione del Teorema del Dini 2.5.Supponiamo, per semplicita di scrittura, che det(∂Gi

xj|P0)i=1,...,m

j=1,...,m 6= 0, e sia

P0 = (x01, ..., x0n). Consideriamo G : D ⊂ Rn → Rn definita come

G(x1, ..., xn) = (G1(x1, ..., xn), ..., Gm(x1, ..., xn), xm+1, ..., xn).Chiamiamo O l’origine in Rm, e Q0 = G(P0) = (O, x0m+1, ..., x

0n).

Notiamo che G(S) ⊂ O×Rd, dove d = n−m.Per ipotesi det(dG)P0

= det(∂Gi

xj|P0

)i=1,...,mj=1,...,m 6= 0, dunque il Teorema della Fun-

zione Inversa ci fornisce intorni UP0, VQ0

rispettivamente di P0, Q0 ∈ Rn tali che

G|UP0: UP0 → VQ0 sia biiettiva e con inversa Ck, denotata F : VQ0 → UP0 .

Poiche F inverte G su VQ0 , essa e della forma:

F (x1, ..., xn) = (F1(x1, ..., xn), ..., Fm(x1, ..., xn), xm+1, ..., xn).Pertanto, se V = VQ0

∩ (O × Rd), l’applicazione F = F |V : V ⊂Rd → S ∩ UP0

F (xm+1, ..., xn) = (F1(O, xm+1, ..., xn), ..., Fm(O, xm+1, ..., xn), xm+1, ..., xn)

e una parametrizzazione Ck e biiettiva di S ∩ UP0, che e quindi un grafico Ck

rispetto alle d variabili xm+1, ..., xn.2

Dimostrazione del Teorema inverso del Dini 2.8.Supponiamo ancora, per semplicita di scrittura, che det(∂Fi

xj|Q0

)i=1,...,dj=1,...,d 6= 0.

Consideriamo la composizione πd ◦ F : D ⊂ Rd → Rd, dove πd e la proiezionecanonica sulle prime d coordinate, i.e.

πd ◦ F (x1, ..., xd) = (F1(x1, ..., xd), ..., Fd(x1, ..., xd))

e sia P0 = (πd◦F )(Q0). Per ipotesi la matrice d(πd◦F )Q0=[∂(πd◦Fi)∂xj

|Q0

]i=1,...,d

j=1,...,d

e non singolare, dunque il Teorema della Funzione Inversa ci fornisce intorniVQ0

, UP0rispettivamente di Q0, P0 ∈ Rd tali che F = (πd ◦ F )|VQ0

: VQ0→ UP0

sia biiettiva e con inversa F−1 : UP0 → VQ0 ancora Ck. Sia allora SQ0 = F (VQ0).Detta F ′ = F ◦ F−1 : UP0 ⊂ Rd → Rn, si ha F ′(VQ0) = SQ0 e (poiche F−1

inverte F = πd ◦ F su UP0), la parametrizzazione F ′ e della forma

F ′(x1, .., xd) = (x1, ..., xd, F′d+1(x1, .., xd), ..., F

′n(x1, .., xd))

sicche SQ0 e un grafico Ck rispetto a x1, ..., xd.Pertanto SQ0 ha equazioni cartesiane:

G1(x1, ..., xn) = xd+1 − F ′d+1(x1, .., xd) = 0G2(x1, ..., xn) = xd+2 − F ′d+2(x1, .., xd) = 0· · ·Gm(x1, ..., xn) = xn − F ′n(x1, .., xd) = 0

e G = (Gi) e chiaramente regolare in P0.24In realta, in molti testi si dimostra prima il Teorema del Dini, e poi il Teorema della

Funzione Inversa; i due teoremi sono in effetti equivalenti.

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