UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA

Tesi di Laurea Specialistica in Matematica

Sintesi

Primi, pi greco e poligoni regolari.Proposte didattiche di laboratori di matematica curriculare

per la scuola primaria e secondaria.

Relatore Candidato

Prof. Corrado Falcolini Giorgia Brunetti

Anno Accademico 2012-2013

Maggio 2014

Nelle Indicazioni Nazionali per il curricolo della Scuola del Primo e

Secondo Ciclo d’Istruzione del 2012 del Ministro Francesco Profumo, è esplicita

l’attenzione all’uso delle tecnologie come mezzo integrativo nella didattica scolastica,

ancor più sensibile per le materie scientifiche. Seppur abituato nella vita di tutti i gior-

ni a far uso di mezzi informatici, l’alunno ha bisogno di essere guidato all’utilizzo di

tali mezzi, in modo critico, come supporto per il proprio percorso d’apprendimento. Il

computer ha rivoluzionato il modo di comunicare ed aperto alternative nel campo del-

l’apprendimento, dello studio e della ricerca delle fonti; ha fatto il suo ingresso nella

scuola già negli anni ’90 tuttavia non è superfluo il lavoro di sensibilizzazione ai pro-

grammi informatici didattici finalizzati, oltre che a facilitare l’interesse dell’alunno nei

confronti della materia, anche a porlo davanti alle sue potenziali capacità, di risolvere

problemi di tipo didattico in maniera autonoma, una volta appreso il funzionamento

della macchina e del software. Questo consente all’allievo di essere attivo nel suo stesso

processo di apprendimento. L’insegnamento della matematica, come di molte altre di-

scipline tecnico-scientifiche, presenta diversi problemi legati alle metodologie didattiche;

il calcolatore può modificare positivamente l’insegnamento di tale disciplina nei diversi

livelli scolastici. In commercio, ma anche disponibile in rete come open source, esisto-

no diversi software didattici, per il lavoro di questa tesi, durante lo svolgimento delle

attività nel laboratorio informatico, si è fatto uso di GeoGebra (che ha più facilmente

permesso agli alunni di visualizzare la geometria e l’approccio alla soluzione costruita,

attraverso il riscontro grafico), del foglio di calcolo e di un software avanzato Mathema-

tica disponibile in rete come Wolfram Alpha.

Nel primo capitolo ci si è occupati di questioni didattiche: mentre fin dai tempi più

remoti quello dell’insegnamento era un impegno focalizzato sul passaggio del sapere dal

maestro all’allievo, per cui, chi era dotato di migliori capacità personali meglio riusciva,

nella didattica moderna ci si preoccupa di capire le condizioni sotto le quali l’allievo può

1

esser messo nella migliore predisposizione all’apprendimento. Sotto questo nuovo punto

di vista, si sono verificati dei coinvolgimenti di competenze in diversi campi scientifici:

occupandosi di matematica, di insegnarla, diventa necessario anche un approfondimento

psicologico e pedagogico. Subentra l’esigenza di una vera e propria comunità di persone

specializzate nei diversi campi, per poter affrontare questioni di insegnamento della

matematica alla luce dei molteplici fattori in gioco. Esistono oggi dei veri e propri gruppi

di ricerca in ‘‘didattica della matematica’’: il TME (Team Matemathic Education), che

si è formato durante l’ICME V (Congresso Internazionale di Educazione Matematica)

nel 1984 e si riunisce per approfondirne la specificità analizzando temi sociali e specifici

dei vari punti di vista dell’apprendimento, il PME (gruppo internazionale di studio

sulla psicologia dell’educazione matematica), che ha riunioni proprie in tutto il mondo e

l’AIRDM (Associazione Italiana di Ricerca in Didattica della Matematica), costituitasi

di recente (nel 2012), che intende contribuire al miglioramento dell’insegnamento della

matematica nei diversi ordini scolastici. Il Gruppo PME, ha sottolineato la necessità di

tener conto, tra le varie, le ulteriori problematiche:

• la specificità della conoscenza matematica, che porta inevitabilmente allo studio

dei processi cognitivi degli allievi piuttosto che allo studio delle loro capacità o

risultati raggiunti;

• la dimensione sociale dell’apprendimento della matematica all’interno di un con-

testo specifico.

Nel 1989 Guy Brousseau [1933], professore di matematica presso l’Institut Universi-

taire de Formation des Maîtres d’Aquitaine (IUFM), definisce la concezione di didattica

matematica come scienza, ‘‘una scienza che si interessa alla produzione e comunicazione

delle conoscenze matematiche”. Egli considera il fenomeno insegnamento-apprendimento

da un punto di vista d’insieme, caratterizzando una situazione didattica come insieme

2

di relazioni tra l’insegnante, l’allievo e gli strumenti utilizzati, identificando in essa due

componenti:

• una situazione a-didattica (ambiente organizzato per l’apprendimento di un certo

argomento, in cui viene a cadere l’intenzione didattica, questa non viene dichiarata

e l’allievo è coinvolto nell’attività senza però vivere l’obiettivo didattico);

• un contratto didattico (una sorta di ideale verso il quale si tratta di convergere).

L’alunno deve essere condotto verso una situazione a-didattica finale di riferimento, quel-

la che caratterizza il sapere, facendo entrare l’allievo in un funzionamento matematico,

di fronte ad un problema che si vuole risolvere.

Apprendere per adattamento all’ambiente comporta accomodamento, rotture cogni-

tive, cambiamento nei modelli impliciti, nei linguaggi e nei sistemi cognitivi. Lo studente

che nel tempo costruisce un concetto, se ne fa anche un’immagine e questa sarà con-

fermata nel corso della sua carriera scolastica. Potrebbe capitare però, che l’immagine

si riveli inadeguata rispetto ad un’altra proposta in seguito dall’insegnante o da altri,

concretizzando un contrasto con quello che egli credeva definitivo. In alcuni casi certe

immagini rappresentano dei veri e propri ‘‘misconcetti”, interpretazioni errate delle in-

formazioni ricevute. L’allievo dichiara la sua misconcezione attraverso la segnalazione

di un malessere cognitivo che solitamente viene identificato come ‘‘errore” : lo studente

non dà la risposta che l’insegnante vorrebbe, quindi sbaglia. Sta al docente riconoscere

nelle risposte sbagliate dell’alunno le misconcezioni; Federigo Enriques [1871-1946] scri-

veva: l’errore «non appartiene né alla facoltà logica né all’intuizione, [ma] s’introduce

nel momento delicato del loro raccordo».

Una teoria dell’apprendimento matematico si basa sugli studi cognitivi, si assume

perciò di base che l’allievo costruisca in modo attivo una propria conoscenza interagen-

do con l’ambiente e organizzando le sue costruzioni mentali. L’istruzione influenza ciò

che egli apprende ma non determina l’apprendimento, la conoscenza non viene recepita

3

passivamente ma rielaborata in modo autonomo, costantemente. Secondo le Raccoman-

dazioni del Consiglio d’Europa del 18/12/20061, ‘‘imparare ad imparare” è una delle

competenze chiave che l’allievo deve possedere, che forniscono le basi per un apprendi-

mento che dura tutta la vita. Verso la fine degli anni ’70, sono cominciati a comparire,

nell’ambito della psicologia cognitiva applicata all’educazione, i primi studi relativi alla

metacognizione. Il concetto di metacognizione fa riferimento sia alla consapevolezza del

soggetto rispetto ai propri processi cognitivi (conoscenza metacognitiva), che all’attivi-

tà di controllo esercitata su questi stessi processi (processi metacognitivi di controllo).

Partendo da quanto si è appreso in precedenza in termini di conoscenza e di esperienza,

gli alunni riescono ad applicarlo nei molteplici contesti di vita: casa, lavoro, istruzio-

ne e formazione. La motivazione, la fiducia, l’autostima e le diverse variabili emotive,

diventano allora elementi fondamentali. «Imparare ad imparare comporta che l’alunno

conosca e comprenda le proprie strategie di apprendimento preferite, i punti di forza ed

i punti deboli delle proprie abilità e qualifiche e sia in grado di ricercare le opportunità

di istruzione e formazione e gli strumenti di orientamento e/o sostegno disponibili». Il

docente che utilizza le strategie didattiche metacognitive, attiva nei propri alunni tutte

quelle abilità trasversali che permettono all’alunno, nel processo di apprendimento, di

saper riconoscere autonomamente le situazioni cognitive e le più opportune strategie da

applicare.

Tra i vari protagonisti della storia della didattica matematica italiana, si ricorda la

Prof.ssa Emma Castelnuovo, da poco scomparsa, che lascia forte testimonianza di come

poter insegnare la matematica, alla luce degli obiettivi sopra citati. Nel suo lavoro,

caratterizzato da grande innovazione nell’insegnamento della matematica degli ultimi

cento anni, è esplicita l’attenzione sull’alunno, nelle mostre di matematica da lei orga-

nizzate erano gli alunni stessi a prenderne parte e a realizzarle. Nella tesi si riportano

alcuni sui scritti, che hanno permesso di descrivere non solo il suo impegno, ma anche1http://www.indire.it/db/docsrv//PDF/raccomandazione_europea.pdf

4

quello di altri noti matematici che hanno caratterizzato e promosso la matematica come

crescita culturale nella scuola e negli studi in genere.

Il resto del lavoro è articolato su altri tre capitoli, uno per ogni livello di scuola,

primaria, secondaria di primo e di secondo grado, in cui vengono descritte alcune at-

tività didattiche di approfondimento, proposte rispettivamente nelle classi quinta nella

primaria, terza nella secondaria di I grado e quarta nella secondaria di II grado, di un

Istituto Paritario di Roma. I capitoli sono organizzati nella stessa modalità: un’intro-

duzione storico-teorica per presentare l’argomento, la proposta didattica vera e propria,

eventuali schede didattiche e materiale utilizzato, ed in ultimo alcune considerazioni

sulla risposta degli alunni.

Nel secondo capitolo viene descritta l’esperienza nella scuola primaria. Dalle ‘‘In-

dicazioni Nazionali per il curricolo della scuola del primo ciclo d’istruzione”: «Nella

scuola primaria si potrà utilizzare il gioco, che ha un ruolo cruciale nella comunicazio-

ne, nell’educazione al rispetto di regole condivise, nell’elaborazione di strategie adatte a

contesti diversi. La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressi-

vo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati,

consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà lingui-

stiche e che richiede un’acquisizione graduale del linguaggio matematico. Caratteristica

della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come

questione autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a ca-

rattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione

o una regola». Secondo le indicazioni nazionali, oltre che guidare l’alunno verso una

maturità del pensiero matematico come sopra descritto, si richiede che al termine della

scuola primaria, egli abbia acquisito, tra i vari obiettivi, anche la capacità di eseguire la

divisione con resto fra numeri naturali e di individuare multipli e divisori di un numero.

5

É inoltre specificato che: «L’uso consapevole e motivato di calcolatrici e del computer

deve essere incoraggiato opportunamente fin dai primi anni della scuola primaria, ad

esempio per verificare la correttezza di calcoli mentali e scritti e per esplorare il mondo

dei numeri e delle forme». Attraverso la storia dei numeri primi si vuole suggerire uno

spunto di riflessione sul peso che hanno oggi questi numeri in attività pratiche che si

svolgono abitudinariamente e sull’importanza basilare che hanno nella costruzione degli

altri numeri naturali.

Nel capitolo si ripercorrono dapprima alcune delle tappe fondamentali sull’evoluzione

delle conoscenze e consapevolezze matematiche sui numeri primi e si annotano alcuni

risultati basilari della teoria dei numeri, sufficienti a svolgere l’attività didattica che si

vuole proporre.

In classe i bambini, attraverso l’osservazione di alcuni numeri scritti alla lavagna,

vengono coinvolti in un confronto aperto con l’obiettivo di arrivare a caratterizzare

la struttura di un numero in base ai suoi fattori; individuando i divisori del numero

di partenza, si osserva che si possono rintracciare alcuni divisori che a loro volta non

possono essere più scomposti. La classe conosceva già la definizione di numero primo

ed il passaggio successivo è stato quello di utilizzare i numeri primi per costruire altri

numeri più grandi, composti. Attraverso alcune schede didattiche è stato proposto alla

classe, un gioco per osservare una proprietà del numero 150. Tale gioco è stato proposto

dal Prof. Falcolini al Festival della Scienza a Genova nel 20112, in occasione appunto

del 150◦ anniversario dell’Unità d’Italia. Partendo dal calendario di Marzo, i bambini

hanno trovato i numeri primi tra 1 e 31 applicando il crivello di Eratostene:

2Mostra ‘‘Unità di misura e misura dell’unità’’ a cura del laboratorio www.formulas.it

6

Se dalla lista dei numeri primi ottenuti si eliminano i fattori di 150, si ottiene una

seconda lista la cui somma dei termini restituisce proprio 150.

Per l’attività in laboratorio di informatica, è stato suggerito alla classe di chiedere

a casa, alcuni numeri a caso e di annotarli; nell’incontro successivo, in laboratorio,

dopo aver mostrato agli alunni alcune operazioni di base nel foglio di calcolo di Excel,

ed aver svolto una prima scomposizione insieme del numero 38.564, quei numeri sono

stati testati: attraverso le divisioni successive ed una tavola di numeri primi fornita in

precedenza, ci si è resi conto che trovare un ‘‘primo’’ tra alcuni numeri presi a caso

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non ha poi una così alta probabilità. I risultati del loro lavoro al computer sono stati

annotati su una scheda.

La risposta di questa classe all’approfondimento proposto è stata senza dubbio la più

forte, i bambini si sono lasciati coinvolgere, godono ancora di quella libertà di pensiero e

di comunicazione che gli permette, e ci permette, di condividere ragionamenti originali,

naturali, che diventano per gli insegnanti, nuovi spunti di riflessione. Al termine del

lavoro è stato chiesto ai bambini di esprimere una loro considerazione sull’attività; si

riportano di seguito alcune risposte.

Benedetta: io penso che è stato tutto molto bello e interessante perché visto che voglio

diventare un ‘‘Matematico della Materia’’ queste cose mi incuriosiscono. Poi se mi

viene qualche dubbio chiedo sempre a mio padre che è un ingegnere. La cosa che

mi ha incuriosito di più è stata il numero primo più grande che hanno trovato.

Lorenzo: penso che i numeri primi mi hanno un sacco incuriosito e la cosa più bella di

queste è stata quando siamo andati in laboratorio perché ho visto come si dividono

i numeri.

8

Daniele: mi piacciono i numeri primi perché possono formare un po’ di cose come i

numeri composti.

Patrizia: io non sono mai stata brava in matematica però questi numeri per me erano

un po’ interessanti.

Nel terzo capitolo, sempre rispondendo alle richieste delle ‘‘Indicazioni Nazionali’’,

si è proposta la costruzione di un’approssimazione di π: «L’alunno analizza le situazioni

per tradurle in termini matematici, riconosce schemi ricorrenti, stabilisce analogie con

modelli noti, sceglie le azioni da compiere (operazioni, costruzioni geometriche, grafici,

formalizzazioni, scrittura e risoluzione di equazioni...) e le concatena in modo efficace al

fine di produrre una risoluzione del problema. Un’attenzione particolare andrà dedicata

allo sviluppo della capacità di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i

procedimenti seguiti». Tra le altre cose, viene richiesto che l’alunno sappia «stimare

per difetto e per eccesso l’area di una figura delimitata anche da linee curve» inoltre

«conoscere il numero π ed alcuni modi per approssimarlo». Nel campo della tecnologia

si richiede «quando possibile, gli alunni potranno essere introdotti ad alcuni linguaggi

di programmazione particolarmente semplici e versatili che si prestano a sviluppare il

gusto per l’ideazione e la realizzazione di progetti (...)».

In classe sono state ripercorse alcune delle principali tappe della storia dell’appros-

simazione di π, una ricerca di più di duemila anni che solo verso gli anni ’50, grazie

all’uso dei calcolatori, ha potuto fare un enorme salto in avanti per quanto riguarda

la velocità di calcolo e la precisione. Ai ragazzi divisi in gruppi sono stati forniti dei

cerchi di diverso diametro di cui, attraverso l’uso di un nastrino ed un metro, hanno

potuto misurare la circonferenza. Su ognuno di questi cerchi in cartone era segnata la

misura del diametro ed hanno potuto riscontrare, anche se in maniera approssimativa,

il rapporto tra la misura della circonferenza ed il diametro. Si riportano le misurazioni

rilevate dal gruppo Tolomeo:

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GRUPPO TOLOMEO

Diametro (cm) Circonferenza (cm) Circonferenza/Diametro

34 107,9 3,17

20 63 3,15

Attraverso il metodo si approssimazione di Archimede, partendo da un esagono in-

scritto in una circonferenza di raggio unitario e utilizzando ripetutamente il Teorema

di Pitagora (che la classe utilizzava ormai con estrema dimestichezza), si è stimato il

valore del lato del dodecagono, ricavato intersecando le bisettrici degli angoli al centro

dell’esagono con la circonferenza.

Dopo aver riprodotto graficamente con GeoGebra la costruzione del dodecagono,

partendo dall’esagono e raddoppiando il numero dei lati, è stata costruita una tabella

con Excel per calcolare alcune approssimazioni di π sostituendo la circonferenza con i

perimetri dei poligoni inscritti. Osservando la tabella si è potuto notare che con un

10

poligono di 96 lati, si è raggiunta l’approssimazione di π alla seconda cifra decimale.

In realtà è possibile ottenere un’approssimazione di π con precisione alla seconda cifra

decimale, già con un poligono di 57 lati3. Con l’ausilio della LIM (Lavagna Interattiva

Multimediale) si è inoltre mostrata alla classe l’animazione di un poligono regolare in-

scritto in una circonferenza, nel quale era possibile variare il numero dei lati per ottenere

un’approssimazione via via migliore. Ci si è soffermati su un poligono di 57 lati, che

già visivamente somigliava al cerchio, su quello di 96 lati studiato da Archimede e su

uno di 150 lati, tutti graficamente indistinguibili da una circonferenza. La differenza fra

poligoni e circonferenza, risulta più evidente ingrandendo il particolare di un lato. Nella

scheda finale proposta, più della metà della classe, ha menzionato come miglior poligono

che approssima il cerchio, quello di infiniti lati. Di proposito, durante gli incontri, si è

prestata attenzione a non menzionare il termine ‘‘infinito”, perciò se ne può dedurre, che

i ragazzi sono già in possesso, intuitivamente, di concetti matematici che, se incoraggiati,

con ragionamenti logico-deduttivi, riescono ad esprimere. Anche a loro è stato chiesto

di esprimere delle considerazioni sulla proposta didattica:

Michela: Non amo la matematica ma userò il programma perché con questa esperienza

mi sono divertita anche imparando cose nuove.

Pietro: : Ho trovato la lezione su GeoGebra molto interessante ed è per questo che l’ho

già scaricato sul mio computer. (...) Credo che queste ultime lezioni sul pi greco

siano state molto carine ed interessanti, specialmente quella su GeoGebra, visto

che noi giovani ormai usiamo molto il computer e, farci vedere come si costruisce

un esagono o darci delle formule da fare sul computer, può aiutarci a ricordare

meglio e a stimolare la nostra mente.

Anonimo: La matematica è diventata divertente grazie probabilmente all’uso di Geo-

Gebra e del computer.3www.treccani.it/scuola/lezioni/in_aula/matematica/curiosita_divertimento/falcolini.html

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Alessia: L’approfondimento è stato molto interessante, poiché spesso mi sono chiesta da

cosa si ottiene il π.

Il quarto capito conclude la tesi con la descrizione dell’approfondimento proposto

nella classe quarta del Liceo Scientifico: «L’utilizzo delle TIC (Tecnologie dell’informa-

zione e della comunicazione), è strumentale al miglioramento del lavoro in classe e come

supporto allo studio, alla verifica, alla ricerca, al recupero e agli approfondimenti perso-

nali degli studenti». Dal Profilo educativo, culturale e professionale, lo studente liceale

deve: «essere in grado di utilizzare criticamente strumenti informatici e telematici nelle

attività di studio e di apprendimento (..)». Dalla descrizione degli Obiettivi specifici di

apprendimento di Geometria del:

Primo biennio «La realizzazione di costruzioni geometriche elementari sarà effettuata

sia mediante strumenti tradizionali (in particolare la riga e compasso, sottoli-

neando il significato storico di questa metodologia nella geometria euclidea), sia

mediante programmi informatici di geometria».

Secondo biennio «Studierà le proprietà della circonferenza e del cerchio e il problema

della determinazione dell’area del cerchio, nonché la nozione di luogo geometrico,

con alcuni esempi significativi. Lo studio della geometria proseguirà con l’estensio-

ne allo spazio di alcuni dei temi della geometria piana, anche al fine di sviluppare

l’intuizione geometrica».

Dopo aver accennato in classe la teoria delle costruzioni con riga non graduata e com-

passo molle, introducendo i Postulati di Euclide e traducendoli nelle operazioni che si

possono o non possono fare, si sono ripresi alcuni dei procedimenti per realizzare qualche

poligono regolare. Con i ragazzi ci si è interrogati su quali siano quelli costruibili con

tale tecnica e quali no. Una risposta a questo problema, tra i più antichi nella storia

della matematica (IV secolo a.C.), è stata fornita solo nel XIX secolo dall’algebra mo-

12

derna. Introducendo i numeri primi di Fermat è stato enunciato il Teorema di Gauss

per caratterizzare i poligoni costruibili con riga e compasso:

PRIMI DI FERMAT Fn = 22n+ 1

n=0: 21 + 1 = 3

n=1: 22 + 1 = 5

n=2: 24 + 1 = 17

n=3: 28 + 1 = 257

n=4: 216 + 1 = 65537

n=5: 232 + 1 = 641× 6700417 (Eulero, 1732)

Tabella 1: I Primi di Fermat ad oggi conosciuti.

Teorema 0.1 (F.Gauss, 1801). Il poligono regolare di n lati è costruibile se e soltanto

se n = 2k oppure n = 2kp1 · · · pm dove k ∈ N ∪ {0} e p1, · · · , pm sono primi di Fermat.

Per validare il teorema, si è proposta poi una procedura alternativa alla dimostra-

zione, incentrata sull’osservazione dell’espressione della misura del lato del poligono,

tramite le formule trigonometriche4.

Al computer, ognuno ha riprodotto la costruzione di alcuni poligoni regolari, e se ne

è proposta una come ‘‘tentativo’’ di costruzione dell’ettagono (Fig.1).

Naturalmente il tentativo non è riuscito, ma se ne è potuto verificare il fallimento

grazie alla possibilità, con il software, di ingrandire il particolare che, in una scala di

visualizzazione ridotta, aveva dato modo di ipotizzare un successo.

Analizzando la costruzione proposta, si valuta che la misura del lato utilizzata è

r√32≈ r · 0.866025 in sostituzione di quella esatta: 2r sin

(π7

)≈ r · 0.867767. Se si valuta

4Come esposto dal Prof. Falcolini nel ‘‘Mathematica Italia, 4◦ User Group Meeting - Ricerca,

Didattica, Applicazioni’’, nel 2010 presso l’Università di Milano

13

Figura 1: Tentativo di costruzione di un ettagono.

l’errore relativo

errrel =|0.867767− 0.866025|

0.867767=

0.001742

0.867767= 0.002007

è chiaro che in una costruzione con un raggio della circonferenza contenuto, lo scosta-

mento non è visualizzabile. Per esempio, in una costruzione su carta, utilizzando una

circonferenza con raggio di 3 cm, il risultato può apparire pressoché valido. Ma quella

delle costruzioni con riga e compasso è una tecnica precisa ed il computer permette in

questo caso, una verifica della inevitabile approssimazione su diverse scale.

Ai ragazzi è stato chiesto di esprimere la misura del lato dei poligoni che avevano

costruito, tramite le formule trigonometriche, per poter generalizzare quella del lato di

un poligono di n lati inscritto in una circonferenza di diametro unitario (semplicemente

per evidenziare il termine della valutazione che più ci interessa). E dal Teorema della

14

Corda risulta:

ln = 2r · sin πn= sin

π

n.

Figura 2: Teorema della Corda

Su una scheda, è stato chiesto loro di annotare il valore del sin πn, per alcuni valori

di n, utilizzando il portale della Wolfram5 (con cui è possibile svolgere calcoli e ricerche

scientifiche). Questo permette, usando la funzione ToRadicals(...), di considerare il

valore esatto del sin πngrazie alla capacità del programma di effettuare calcoli simbolici.

Nei risultati ottenuti, si evidenziano i valori espressi con radici quadrate: questi ci

indicano i poligoni regolari di n lati costruibili con riga e compasso.

5www.wolframalpha.com

15

Per identificare i poligoni regolari costruibili

sin π3=

√32

sin π4=

√22

sin π5= 1

2

√12

(5−√5)

sin π6= 1

2

sin π7= NO

sin π8=

√2−√2

2

sin π9= NO

sin π10

= 14

(√5− 1

)sin π

11= NO

sin π12

=

√2−√3

2

sin π13

= NO

sin π14

= NO

sin π15

= 18

(√3−√15 +

√2(5 +

√5)

)sin π

16= 1

2

√2−

√2 +√2

In questo senso, oltre quelle riportate in tabella, si trovano delle risposte valide

anche per il sin π17, sin π

20, sin π

24ed altri ancora. Quando si testa questa proprietà con

n = 257 il portale, come il software Mathematica della Wolfram, restituisce un valore

approssimato, non più esatto. Questo non vuol dire certo che il Teorema non sia valido,

ma è occasione per sottolineare agli alunni, che il computer è sicuramente un mezzo utile,

anche didatticamente, per fare matematica, di grande aiuto per fare i calcoli, ma che

va anche utilizzato in modo critico, con la consapevolezza che, data la sua limitatezza,

ad un certo punto effettuerà inevitabilmente delle approssimazioni o, nel caso di calcoli

simbolici esatti, non sarà in grado di fornirne una visualizzazione completa.

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Riferimenti bibliografici

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[2] Beatrice Caponi, Grazia Falco, Roberta Focchiatti, Cesare Cornoldi, Daniela

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curiosita_divertimento/falcolini.html

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[14] Emma Castelnuovo. http://www1.mat.uniroma1.it/ricerca/gruppi/education/

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[15] Emma Castelnuovo. http://www.science.unitn.it/∼fontanar/EMMA/

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[16] Emma Castelnuovo. http://www.science.unitn.it/∼fontanar/EMMA/

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[17] Giulia Maria Piacentini Cattaneo Algebra, un approccio algoritmico. Decibel,

1996.

[18] Ivan Niven. Irrational numbers. The Mathematical Association of America, 1956

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[21] http://www.joyofpi.com/

[22] http://https://www.wolframalpha.com/

[23] http://https://www.orizzontescuola.it/

[24] http://www.indire.it/

[25] http://www.mat.uniroma3.it/scuola_orientamento/alumni/laureati/delucia/

sintesi%20-%20Marika%20De%20Lucia.pdf

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