Presentazione standard di PowerPoint...Alimentiamo la porta 1 e lasciamo aperta la porta 2 2 1 1 1 V...

DOPPI BIPOLI

RETI MULTIPORTA

Le coppie di morsetti sono chiamate PORTE e ad esse si possono collegare solo bipoli In generale dato un M-porte: M+1≤N≤2M

consentito

interdetto

1

1’

M

1

M’

i1

i1

2 2’

i2

iM iM

i2

3

3’

CARATTERIZZAZIONE DEGLI M-PORTA PASSIVI

Solo se il componente è definito su base

corrente

01

221

01

111

2

2

=

=

=

=

I

I

IVZ

IVZ

1I 02 =I

1V 2V

01 =I 2I

1V 2V1I 2I

02

222

02

112

1

1

=

=

=

=

I

I

IVZ

IVZ

+=+=

2221212

2121111

IZIZVIZIZV

IZV

=⇒

⋅

=

⇒

2

1

2221

1211

2

1

II

ZZZZ

VV

1I

1V 2V

2I

1I 2I

impedenza matrice=Z

EQUIVALENZA DI DOPPI BIPOLI

1I

1V 2V

2I 1I

1V 2V

2I

AA

AA

ZZZZ

2221

1211

BB

BB

ZZZZ

2221

1211

====

BA

BA

BA

BA

ZZZZZZZZ

2222

2121

1212

1111

Doppio bipolo a T o a Stella

AZ BZ

CZ

A

C C

B 1I

1V

2I

2V

C

I

CA

I

ZIVZ

ZZIVZ

==

+==

=

=

01

221

01

111

2

2

CB

I

C

I

ZZIVZ

ZZIVZ

+==

===

=

=

02

222

21

02

112

1

1

[ ]

+

+=

CBC

CCA

ZZZZZZ

Z

Rete di bipoli Matrice simmetrica

Una rete a T in funzione dei parametri impedenza.

212222

2112

121111

ZZZZZZZZ

ZZZZZ

CB

C

CA

−=−=

==

−=−=

C

I

CA

I

ZIVZ

ZZIVZ

==

+==

=

=

01

221

01

111

2

2

CB

I

C

I

ZZIVZ

ZZIVZ

+==

===

=

=

02

222

21

02

112

1

1

1211 ZZ − 2122 ZZ −

2112 ZZ =

A

C C

B 1I

1V

2I

2V

Doppio bipolo a Π o a Triangolo

( )

( )∆∆=

∆=

∆∆=

+=++

+==

=++

===

+=++

+==

ZZZ

ZZZ

ZZZZZZ

IVZ

ZZZ

ZZZZZIZ

IVZ

ZZZ

ZZZ

ZZZZZZ

IVZ

CABCBCAB

CABCAB

BCCAAB

I

CABC

CABCAB

CABCBC

I

CABCCAAB

CABCAB

CABCAB

I

02

222

201

221

01

111

1

2

2

'

+

+=

∆∆∆

∆∆∆

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZCABCBCABCABC

CABCCABCCAAB

][CAZ

ABZ

BCZ

A

C C

B 1I

1V

2I

2V2'I

Esempio

R L2 C V1

I1 L1

V2

I2

+=+=

2221212

2121111

IZIZVIZIZV

( ) ( )( )

1//1

212

212111 LLC

LLjRLjLjCj

RZ+−

++=++=

ωωωω

ω

( ) 1221

22

21 1

ZLLC

LjZ =+−

=ω

ω

( )( )21

221

2

2122 11//1

LLCLjCLLj

CjLjZ

+−−

=

+=

ωωωω

ωω

( ) 1

1

'21

12222 ⇒++

==LLj

Cj

CjILjILjVω

ω

ωωω

2'I

Determinare i parametri Z

m=2/3

⇒

=+==⋅−

IVIIVIVmI

354

2

11

21

Esempio

I1

I2=0

I

Lasciamo aperta la porta 2 e alimentiamo la porta 1 con un generatore di corrente

Ω==

Ω==

⇒

+=+=

⋅

+=+⋅=

⇒

=

=

317

1

354

354

31

32

3

01

111

01

221

112

11

22

21

2

2

I

I

IVZ

IVZ

IIVIV

VVVmI

Lasciamo aperta la porta 1 e alimentiamo la porta 2 con un generatore di corrente

I2

I1=0

( )

Ω−==

Ω==

⇒

−=−=−=−=

=⋅⇒=+⇒−⋅=

=

=

31

1

31

31

342

33333

02

112

02

222

2222221

22222222

1

1

I

I

IVZ

IVZ

IVVVVmVV

IVImVVmVIV

2112 ZZ ≠

Matrice Ammettenza

Solo se il componente è definito su base

tensione

+=+=

2221212

2121111

VYVYIVYVYI

VYI

=⇒

⋅

=

⇒

2

1

2221

1211

2

1

VV

YYYY

II

1I

1V 2V

2I

1V 2V

Y

01

221

01

111

2

2

=

=

=

=

V

V

VIY

VIY

1I 2I

1V 02 =V

02

222

02

112

1

1

=

=

=

=

V

V

VIY

VIY

1I 2I

01 =V 2V

Se il componente è definito su base tensione e su base corrente: [ ] [ ] 1−= YZ

Doppio bipolo a T o a Stella

AY BY

CY

A

C C

B 1I

1V

2I

2V

( )

( )CBA

CBBA

CBA

BCA

V

CBA

AB

V

CBA

ACBA

CBA

ACB

V

YYYYYYY

YYYYYY

VIY

YYYYY

VIY

YYYYYYY

YYYYYY

VIY

+++

=++

+==

++−==

+++

=++

+==

=

=

=

02

222

01

221

01

111

1

2

2

Doppio bipolo a Π o a Triangolo

CAZ

ABZ

BCZ

A

C C

B 1I

1V

2I

2V

AB

V

CAAB

V

YVIY

YYVIY

−==

+==

=

=

01

221

01

111

2

2

ABBC

V

AB

V

YYVIY

YYVIY

+==

=−==

=

=

02

222

21

02

112

1

1

[ ]

+−

−+=

ABBCAB

ABCAAB

YYYYYY

Y

Rete di bipoli Matrice simmetrica

Una rete a Π in funzione dei parametri ammettenza.

121111

212222

2112

YYYYYYYYYY

YYY

ABCA

ABBC

AB

+=−=

+=−=

−=−=

1211 YY + 2122 YY +

2112 YY −=−

AB

V

CAAB

V

YVIY

YYVIY

−==

+==

=

=

01

221

01

111

2

2

ABBC

V

AB

V

YYVIY

YYVIY

+==

=−==

=

=

02

222

21

02

112

1

1

A

C C

B 1I

1V

2I

2V

Casi particolari: Esempio 1

[Z] non esiste

1I

1V 2V

2I

1I 2I

Il doppio bipolo non è definito su base corrente

ZVIY

ZVIY

VV

11

01

221

01

111

22

−======

Z

Alimentiamo la porta 1 e cortocircuitiamo la porta 2

1I

1V 02 =V

2I

Z

12

11

II

IZV

−=

=

Determiniamo la matrice di ammettenza


[ ]

−

−=

ZZ

ZZY 11

111I

1V 2V

2I

1I 2IZ


21

22

II

IZV

−=

=

Determiniamo la matrice di ammettenza

ZVIY

ZVIY

VV

11

02

112

02

222

11

−======

1I

2V01 =V

2I

Z


[Y] non esiste

1I

1V 2V

2I

1V 2V

Il doppio bipolo non è definito su base tensione

Z

ZI

VZZIVZ

II

====== 0

1

2

21

01

1

11

22

Alimentiamo la porta 1 e lasciamo aperta la porta 2

12

11

VV

IZV

=

=

Determiniamo la matrice di impedenza

1I 1V 2V

02 =I

Z


[ ]

=

ZZZZ

Z

1I

1V 2V

2I

1V 2VZ

ZIVZZ

IVZ

II

====== 0

2

1

12

02

2

22

11


21

22

VV

IZV

=

=

Determiniamo la matrice di impedenza

01 =I

1V 2V2IZ

Trasformatore ideale

⋅−=

⋅=

21

21

1 In

I

VnV

n: rapporto di trasformazione

Matrici Ibride

1. Base di definizione

2

1

VI

⋅

=

2

1

2221

1211

2

1

VI

hhhh

IV

Tipica dei transistori

I parametri [h] non hanno omogeneità dimensionale

01

111

2 =

=V

IVh

02

112

1=

=I

VVh

01

221

2 =

=V

IIh

02

222

1=

=I

VIh

Impedenza di ingresso

in c.to c.to [Ω]

Guadagno di tensione inverso

in c.a. [adim.]

Guadagno di corrente diretto in c.to c.to [adim.]

Ammettenza di uscita in c.a. [S]

2

1

IV

⋅

=

2

1

2221

1211

2

1

IV

gggg

VI

Tipica dei tubi a vuoto

Matrici Ibride

2. Base di definizione

I parametri [g] non hanno omogeneità dimensionale

01

111

2 =

=I

VIg

02

112

1=

=V

IIg

01

221

2 =

=I

VVg

02

222

1=

=V

IVg

Ammettenza di ingresso in c.a. [S]

Guadagno di corrente inverso in c.to c.to [adim.]

Guadagno di tensione diretto

in c.a. [adim.]

Impedenza di uscita

in c.to c.to [Ω]

Doppio bipolo equivalente nella formulazione ibrida h.

Doppio bipolo equivalente nella formulazione ibrida g.

Esempio

[ ]

−

−=

ZZ

ZZY 11

11

[Z] non esiste

Abbiamo visto precedentemente che questo doppio bipolo è definito su base tensione [V1, V2] mentre non è definito su base corrente

1I

1V 2V

2I

Z

Determinare le matrici [H] e [G], se esistono, del doppio bipolo in figura.

Esempio

1I

1V 2V

2I

Z


Determiniamo la matrice ibrida [H]:

+=+=

2221212

2121111

VhIhIVhIhV

La base di definizione è ],[ 21 VI

Alimentiamo la porta 1 e cortocircuitiamo la porta 2 1I 1V 02 =V

2I

Z

12

11

II

IZV

−=

= Z

IVh

V

===01

111

2

101

221

2

−===V

IIh

Esempio

1I

1V 2V

2I

Z


Alimentiamo la porta 2 e apriamo la porta 1

02

21

=

=

I

VV1

02

112

1

===I

VVh 0

02

222

1

===I

VIh

01 =I

1V 2V

2I

Z

[ ]

−

=011Z

H

Esempio

1I

1V 2V

2I

Z


La matrice [H] poteva essere determinata anche dalla conoscenza della matrice [Y] utilizzando le seguenti relazioni

[ ]

−

=011Z

H

1122

11

1221

11

1212

1111 ;;;1

yyh

yyh

yyh

yh ∆

==−==

da cui, essendo ∆y=0

0;11

1

;11

1

;1222112

1111 =−=

−==

−−=== h

Z

Zh

Z

ZhZy

h

c.v.d.

Esempio

1I

1V 2V

2I

Z


Determiniamo la matrice ibrida [G]:

+=+=

2221212

2121111

IgVgVIgVgI

La base di definizione è ],[ 21 IV


12

1 0

VV

I

=

=0

01

1

11

2

===I

VIg 1

01

2

21

2

===I

VVg

1V 2V

02 =I

Z

1I

Esempio

1I

1V 2V

2I

Z



21

22

II

IZV

−=

= 1

02

1

12

1

−===V

IIg Z

IVg

V

===0

2

2

22

1

01 =V 2V2I

Z

1I

[ ]

−=

ZG

110

Esempio

1I

1V 2V

2I

Z


[ ]

−

=011Z

H

La matrice [G] poteva essere determinata note le matrici [Y] e [H] utilizzando le seguenti relazioni

2222

22

2121

22

1212

2211

1;;;y

gyyg

yyg

yyg =−==

∆=

Z

Z

g

Z

Zg

Z

Zgg

===−

−=−=−

== 11;11

1

;11

1

;0 22211211

Esempio

1I

1V 2V

2I

Z


[ ]

−

=011Z

H

oppure

hhg

hhg

hhg

hhg

∆=

∆−=

∆−=

∆= 11

2221

2112

1222

11 ;;;

ZZgggg ===

−−=−=−==

1;1

11;1

11;0 22211211

1=∆h con

Esempio

[Y] non esiste

Abbiamo visto precedentemente che questo doppio bipolo è definito su base corrente [I1, I2] mentre non è definito su base tensione


1I

1V 2V

2I

Z

[ ]

=

ZZZZ

Z

Esempio Determinare le matrici [H] e [G], se esistono, del doppio bipolo in figura.

Nota [Z], le matrici [H] e [G] possono essere determinate utilizzando le seguenti relazioni

[ ]

=

ZZZZ

Z

1I

1V 2V

2I

Z

2222

22

2121

22

1212

2211

1;;;z

hzzh

zzh

zzh =−==

∆=

Zhhhh

1;1;1;0 22211211 =−===

1=∆z con [ ]

−=

ZH

1110

Esempio Determinare le matrici [H] e [G], se esistono, del doppio bipolo in figura.

Nota [Z], le matrici [H] e [G] possono essere determinate utilizzando le seguenti relazioni

[ ]

=

ZZZZ

Z

1I

1V 2V

2I

Z

1122

11

2121

11

1212

1111 ;;;1

zzg

zzg

zzg

zg ∆

==−==

0;1;1;122211211 ==−== ggg

Zg

1=∆z con [ ]

−=01

11ZG

Matrici di Trasmissione

1. Diretta [ ]

−⋅

=

−⋅=

2

2

2

2

1

1

IV

DCBA

IVT

IV

Se il doppio bipolo è definito dalla conoscenza delle variabili a una sola porta si può caratterizzare con le matrici di trasmissione diretta T e inversa T’

2. Inversa [ ]

−⋅

=

−⋅=

1

1

1

1

2

2

''''

'I

VDCBA

IVT

IV

Quando esistono le relative basi di definizione si possono ricavare gli elementi di una matrice a partire dalla conoscenza di quelli di un’altra

Esempio

Per determinare le matrici di trasmissione:

Per i due doppi bipoli di figura determinare le matrici di trasmissione.

1I

1V 2V

2I

Z

1I

1V 2V

2I

Z(a) (b)

−=−=

221

221

IDVCIIBVAV

02

1

02

1

2

2

=

=

=

=

I

I

VIC

VVA

02

1

02

1

2

2

=

=

−=

−=

V

V

IID

IVB

Esempio

Per il doppio bipolo (a) considerando I2=0


1I

1V 2V

2I

Z(a)

1I

1V 2V

02 =I

Z

12

21 0

VV

II

=

=−=

0

1

02

1

02

1

2

2

==

==

=

=

I

I

VIC

VVA

Esempio

Per il doppio bipolo (a) considerando V2=0


1I

1V 2V

2I

Z(a)

1I

1V 02 =V

2I

Z11

21

IZV

II=

−=

[ ]

=

101 Z

Ta

10

2

1

02

1

2

2

=−=

=−=

=

=

V

V

IID

ZIVB

Esempio

Per il doppio bipolo (b) considerando I2=0


21

11

VVZVI

=

=

1I

1V 2V

2I

Z(b)

1I

1V 2V

02 =I

Z

ZVIC

VVA

I

I

1

1

02

1

02

1

2

2

==

==

=

=

Esempio

Per il doppio bipolo (b) considerando V2=0


021

21

==

−=

VV

II

1I

1V 2V

2I

Z(b)

1I

1V 02 =V

2I

Z1

0

02

1

02

1

2

2

=−=

=−=

=

=

V

V

IID

IVB

[ ]

= 11

01

ZTb

Esempio

La matrice [Ta] poteva essere determinata anche nota la matrice [Y], dalle relazioni:

La matrice [Tb] poteva essere determinata anche nota la matrice [Z], dalle relazioni:

1;0;1;121

11

212121

22 =−==∆

−==−==−=yyD

yyCZ

yB

yyA

1;11;0;121

22

212121

11 =====∆

===zzD

ZzC

zzB

zzA

COLLEGAMENTO DI DOPPI BIPOLI 1. SERIE

Stessa corrente alle porte

[ ][ ] BBB

AAA

IZV

IZV

⋅=

⋅=

III

VVV

BA

AA

==

+= [ ] [ ] [ ] [ ]( )IZZIZIZV BABBAA +=⋅+⋅=

[ ] [ ] [ ]BA ZZZ +=

SI SOMMANO I PARAMETRI Z DI CIASCUN DOPPIO BIPOLO

AA A

B

[ ][ ] BBB

AAA

VYI

VYI

⋅=

⋅=

VVV

III

BA

BA

==

+= [ ] [ ] [ ] [ ]( )VYYVYVYI BABBAA +=⋅+⋅=

[ ] [ ] [ ]BA YYY +=

SI SOMMANO I PARAMETRI Y DI CIASCUN DOPPIO BIPOLO

COLLEGAMENTO DI DOPPI BIPOLI 2. PARALLELO

Stessa tensione alle porte

La porta di uscita di un doppio bipolo e’ collegata con la porta di ingresso

del successivo

[ ] [ ]

[ ] [ ]

−⋅⋅=

−=

−=

−

=

−⋅=

−⋅=

2

2

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

IVTT

IV

IV

IV

IV

IV

IV

IV

IVT

IV

IVT

IV

BAB

B

A

A

B

B

A

A

B

BB

B

B

A

AA

A

A

;

[ ] [ ] [ ]BA TTT ⋅=

SI MOLTIPLICANO LE MATRICI DI TRASMISSIONE MANTENENDO L’ORDINE DELLA CASCATA

COLLEGAMENTO DI DOPPI BIPOLI 3. COLLEGAMENTO IN CASCATA

Esempio

I doppi-bipoli (a) e (b) sono collegati a cascata.

Utilizzando le regole per il collegamento di doppi-bipoli, ricavare la matrice [T] del

doppio-bipolo ad L in figura. 2V

2I

bZ

1I

1VaZ

(a) (b)

La matrice di trasmissione si ottiene quindi moltiplicando le due matrici di trasmissione.

[ ]

=

101 Z

Ta

[ ]

= 11

01

ZTb

[ ] [ ] [ ]

+

=

⋅

=⋅=

11

1

1101

101

b

ab

a

b

aba

Z

ZZZ

Z

ZTTT

Verifichiamolo…

−=−=

221

221

IDVCIIBVAV

Quando I2=0

2V

02 =I

bZ

1I

1VaZ

( )bbab

ba

baba

b

ba

ba

b

ZV

ZZZZZV

ZZVIIZZV

ZZZVV

ZZZVV

111221111

2112

=+

+=

+=⇒⋅+=

+=⇒

+=

bIb

a

b

ba

IZV

ICZZ

ZZZ

VVA

1102

1

02

1

22

==+=+

====

Verifichiamolo…

−=−=

221

221

IDVCIIBVAV

Quando V2=0

02 =V

2I

bZ

1I

1VaZ

2111

21

IZVIZV

II

aa ⋅−=⇒⋅=

−=

10

2

1

02

1

22

=−==−=== V

a

VIIDZ

IVB

Trasformazione T-Π (o Stella – Triangolo)

AZ BZ

CZ

A

C C

B 1I

1V

2I

2VAZ BZ

CZ

A

C

B

CAZ

ABZ

BCZ

A

C C

B 1I

1V

2I

2VCAZ

ABZ

BCZ

A

C

B

[ ] [ ]

+

+==

∆∆∆

∆∆∆−

∆∆

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

YZCABCBCABCABC

CABCCABCCAAB

1

[ ]

+

+=

CBC

CCAT ZZZ

ZZZZ

CABCAB ZZZZ ++=∆

Equivalenza di doppi bipoli

Due doppi bipoli sono equivalenti quando hanno gli stessi valori degli elementi delle rispettive matrici che li definiscono

[ ]

+−

−+==

T

CB

T

BA

T

BA

T

BA

T

AC

T

BA

T

YYY

YYY

YYY

YYY

YYY

YYY

Y

[ ]

+−

−+=∆

ABBCAB

ABCAAB

YYYYYY

Y

CBAT YYYY ++=

Equivalenza di doppi bipoli

Due doppi bipoli sono equivalenti quando hanno gli stessi valori degli elementi delle rispettive matrici che li definiscono

T

AC

CA

T

CBBC

T

BAAB

Y

YYYY

YYYY

YYY .

...

.

...

.

...

===

.

...

.

...

.

...

∆

∆

∆

=

=

=

Z

ZZZ

Z

ZZZ

Z

ZZZ

BCCAC

ABBCB

CAABA

Triangolo Stella

Stella Triangolo

Si ritrovano i teoremi di Thevenin e di Norton in forma matriciale Hp: componente definito su base corrente

Per il principio di sovrapposizione degli effetti:

++

++⋅⋅++=

∑∑ j jijk kik

MiMiii

AZE

IZIZIZV

α

2211

Chiamando Ei la quantità tra parentesi e generalizzando:

[ ] EIZVE

E

I

I

ZZ

ZZ

V

VV

MMMMM

M

M

+=

⋅+

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅= 11

1

1111

TEOREMI DI THEVENIN E DI NORTON

1 I2 V2 V1 I1 Ij

I3

Ek

Teorema di Thevenin generalizzato: [ ] EIZV +⋅=

1 Passivo [Z]

E3

E1 E2

Ei: tensione alla porta i-sima quando le porte sono lasciate aperte [Z]: matrice di impedenza che caratterizza lo M-porte passivato

Teorema di Norton generalizzato: [ ] AVYI +⋅=

Ai: corrente di corto circuito sulla porta i-sima [Y]: matrice di ammettenza che caratterizza lo M-porte passivato

1 Passivo [Y]

A3

A1 A2

[ ] [ ] 1−= NortonThevenin YZ

Presentazione standard di PowerPoint...Alimentiamo la porta 1 e lasciamo aperta la porta 2 2 1 1 1 V...

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