Molteplici e di rilevante importanza sono le applicazioni del calcolo integrale nei contesti della fisica, della statistica e dell'economia.Alcune significative esemplificazioni di carattere economico sono:•il calcolo del costo totale di un bene, noto il costo marginale;

•il calcolo del costo medio di un bene, noto il costo marginale;

•il calcolo del capitale al tempo t, noto il tasso di investimento netto. Osservazioni:•il costo totale di un bene è una primitiva del costo marginale; -Esempi con Derive 1.1 e 1.2

•il capitale al tempo t è una primitiva del tasso di investimento netto;-Esempio con Derive 1.3

Costo totale

Il costo totale è l'insieme delle spese che devono esseresostenute per produrre un bene. Il costo totale è unafunzione crescente della quantità di un bene prodotto,ossia la somma tra i costi fissi e costi variabili C(x)=Cf + Cv(X) con X≥0.

Costo totale

Le funzioni “costo totale” più utilizzate sono:

La funzione lineare

C(x)=ax+b ; con a>0 e b>0,rappresentata graficamente da una semiretta crescente

La funzione di secondo grado

C(x) =ax2+bx+c con b>0; c>0

- se a>0 la funzione è rappresentata graficamente da un arco di parabola con concavità rivolta verso l'alto;-se a<0 la funzione è rappresentata graficamente da unarco di parabola con concavità rivolta verso il basso;

-la funzione esponenziale

C(x)=aebx con a>0; b>0, rappresentata graficamente da una curva crescente.Osservazione:per x=0 ;C(0)=a (costo fisso)

-la funzione definita a tratti

ossia la funzione costo totale non è

definita per ogni valore di x.

le quantità prodotte rispetto a cui cambia la funzione costo sono dette break points o punti di rottura.

Il costo medio o costo unitario è il rapporto tra il costo totale sostenuto e la quantità prodotta ( x>0)Il costo medio rappresenta il valore medio del costo totale, ossia come se ogni unità prodotta avesse avuto quel costo; in realtà i costi in momenti diversi della produzione possono essere differenti.

Se la funzione costo totale è lineare,

la funzione costo medio è

ed è rappresentata graficamente da un ramo di iperbole equilatera decrescente

di asintoti x=0 e y=a

x

baxC x )(

Se la funzione costo totale è di secondo grado, la funzione costo medio è

ed è rappresentata graficamente da un'iperbole non equilatera, che ha un minimo nel punto di coordinate

x

cbaxxCm )(

a

cx caby

Questo punto di minimo rappresenta il minimo costo unitario o punto di fuga: se il prezzo di vendita unitario risultasse minore del costo minimo unitario, l'impresa sarebbe in perdita e dovrebbe ritirarsi dal mercato.

Il costo marginale è il costo sostenuto per ottenere un'unità addizionale di un bene.Il costo marginale per incrementi infinitesimi, è la derivata prima della funzione costo totale se questa è derivabile e cioè:

Il costo marginale rappresenta graficamente la pendenza della

retta tangente alla curva del costo totale.

c(0))

0 x

y

C(x)

)()( XC’xCMA =

Osservazione importante

Economicamente il costo marginale rappresenta il

Tasso* al quale il costo totale aumenta al crescere dell'output;

all'inizio della produzione si mettono in atto tutte quelle combinazioni di risorse che tendono a raggiungere l'ottimo; raggiunta la combinazione ottimale il costo marginale è minimo, ma, se la produzione aumenta ancora, il costo marginale cresce rapidamente.

*Rapidità con la quale il costo totale…

Relazione tra costo medio e costo marginale

Le curve che rappresentano il costo medio e il costo marginale si intersecano nel punto di minimo della funzione costo medio.

Se C(X) è la funzione costo totale

x

xCxCm

)()( è la funzione costo medio (1)

)(')( xCxCMA è la funzione costo marginale (2)

Per determinare il valore minimo della funzione costo medio occorre calcolare la derivata prima della funzione e uguagliarla a zero, condizione necessaria dell'esistenza del minimo relativo, ossia essendo

2

)()(')('

x

xCxxCxC m

si ha: 0)

)()('(

1

x

xCxC

x e sostituendo la (1) e la (2) si ha:

0))()((1

xCxCx mMA da cui )()( xCxC mMA

Dallo studio del segno della derivata prima, condizione sufficiente per l'esistenza dei punti stazionari, siosserva che la funzione costo medio è decrescente per )()( xCxC mMA ed è crescente per )()( xCxC mMA

per cui si ha un minimo relativo in corrispondenza del punto di intersezione tra le curve )(xCMA e xCm )(

x

Relazione tra costo medio e costo marginale

Cm(x)

CMA(x)

Inoltre, la funzione Cm(x) è decrescente solo se CMA(x)< Cm(x) per cui, fino a quando il costo medio decresce, la curva del costo marginale sta al di sotto di quella del costo medio e viceversa.

Minimo della funzione costo medio

CMA(x)

x

L’area al di sotto della curva del costo marginale

rappresenta i costi variabili

x0

x

vMA xCdxxCA0

)()(

CMA(x)

Infatti si ha:1. CMA(x)=C’(x) e quindi essendo C(x)= Cf (x)+ Cv(x) si ha anche: CMA(x)=Cv’(x)2. Cv(0)=03. Passando agli integrali del primo e del secondo membro si ha:

x

vMA xCdxxC0

)()(

Esempio

Sia C(x) =x2+1 funzione di costo si ha:Cv(x) =x2 (costo variabile) Cf =1 (costo fisso) . Cm(x)=x+1/x (costo medio totale) Pertanto :

CMA(x)=C’(x)=2x= Cv’(x) da cui

Pertanto l’integrale definito tra 0 ed x di CMA(x) fornisce la funzione Cv(x)

)(2

22 22

0

xCxx

xdx v

x

Inoltre, essendo Cm’(x) = 1-1/x2 ed essendo Cm’(x) >0 per x<-1 ed x>1 , si ha un minimo di Cm(x) per x=1 ed y=2. Le curve CMA(x)=2x e Cm(x)=x+1/x si intersecano nel punto di coordinate date da:

e quindi per 2x=x+1/x ossia 2x2= x2 +1 le cui soluzioni sono x= -1 ed x=1. Pertanto le curve

CMA(x) e Cm(x) si intersecano nel minimo di Cm(x).

xxy

xy1

2

Altro esempio con derive c(x)=x2 +3x+10.

Tasso di investimento nettoPer valutare l'evoluzione nel tempo di una somma di denaro ci si deve riferire alla capitalizzazione continua o continous compouding, in quanto gli interessi vengono capitalizzati istante per istante.L'incremento del capitale in corrispondenza di un certo incremento del tempo è proporzionale a , ossia ; ; dividendo entrambi i membri per , si ha: e passando al limite per si ha: (1)

In economia la derivata del capitale rispetto al tempo è il tasso di investimento netto; quindi da , integrando entrambi i membri tra gli istanti 0 e t , si ricava:

Questa formula consente il calcolo del capitale al tempo t, noto il tasso di investimento ossia

il capitale è una primitiva del tasso di investimento netto

t ttCfC t tfC

t

C

tfCtC 0t

ttC

dttdttCtt

00

Separando le variabili nell'equazione (1), si ottiene un'equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili

dttfC

dC ed integrando entrambi i membri tra gli istanti 0 e t si ha : dxxf

c

dC tt

00

t

nn dxxfCltCl0

)()0()( t

n dxxfC

tCl

0

)()0(

)(

t

dxxf

eC

tC0

)(

)0(

)(

t

dxxf

eCtC 0

)(

)0()(

risolvendo si ha:

ossia da cui

e

legge di capitalizzazione generale

Se f(t) = cost, f(t) =δ si ha δ =ln(1+i) con i >0 (2) (*)e quindi la legge di capitalizzazione (1) diventa

e risolvendo si ha

sostituendo la (2) si ha da cui

legge di capitalizzazione composta

t

dx

eCtC 0)0()(

teCtC )0()(tieCtC )1(ln)0()( tiCtC )1()0()(

Se

la legge di capitalizzazione (1) diventa

e risolvendo si ha

da cui legge di capitalizzazione semplice

dxix

it

eCtC

01

)0()( )1(ln)0()( iteCtC

)1()0()( itCtC

ti

itf

1

)(

I due esempi seguenti mostrano l’applicazione di questa legge ai due casi molto frequenti di capitalizzazione semplice e composta.

Esempio (Interesse semplice) Consideriamo, con la notazione ormai consueta, il seguente problema di Cauchy: M (t) = Ci C costante′ M(0) = CIn questo caso, la velocita’ di accumulazione del montante (derivata) coincide conl’interesse annuo (Ci = I). La funzione a secondo membro e’ costante, e dunque si puo integrare in modo elementare:dM = Cidt = M(t)−M(0) = Ci(t−0) ⇒ ⇒M(t) = C+Cit = C(1+it).

Esempio (Interesse composto) Usiamo inizialmente la sostituzione δ = ln(1+i)e consideriamo il problema seguente: M (t) = ′ δM(t) M(0) = Cla cui soluzione scaturisce dalla solita procedura:dM/M = δdt ln(M(t)/M(0))⇒ = δt M(t) = Ce⇒ δt,dove, risostituendo otteniamo il montante nel regime a interessi composti:M(t) = Ce ln(1+i)t C(e ⇒ ln(1+i) )t M(t) = C(1 + i)⇒ t.Per definizione δ = ln(1 + i) è detta forza d’interesse (o intensita’ istantanea di interesse).

MODELLO della CRESCITA di una POPOLAZIONE

Problema:

Costruire un modello matematico (cioe’ formulare una legge matematica) che spieghi come una popolazione

(batteri, pesci, persone) si modifica nel tempo

N(t)=numero di individui di una certa popolazione al tempo t

Dopo un tempo pari a Dt N(t + Dt)= numero di individui

incremento:

t

tNttN

t

N

)]()([

)()()( tNttNN

velocita’ di variazione della popolazione nel tempo t :

velocita’ istantanea di variazione della popolazione

t piccolo a piacere lim per t0 di t

N

dt

dNSi ha la derivata di N(t) rispetto a t :

Thomas Malthus (1766-1834):prima ipotesi di modello della dinamica di crescita di una popolazione

velocita’ di crescita proporzionale alla popolazione stessa

equazione differenziale soluzioni:

e= numero di Nepero=2,7182818…

Tre grafici di funzioni malthusiane ottenute facendo variare la costante k

N(t)=N(0)ek

t

)(tkNdt

dN

Tabella della dinamica della popolazione USA

anno Popolazione effettiva

Dati calcolati con la legge malthusiana (k=0.301)

Errore % Errore

T=0 1790 3.929.000 3.920.000 0 0

T=1 1800 5.308.000 5.308.000 0 0

T=2 1810 7.240.000 7.173.000 -67.000 -0.9

T=3 1820 9.638.000 9.693.000 55.000 0.5

T=4 1830 12.866.000 13.097.000 231.000 1.8

T=5 1840 17.069.000 17.697.000 628.000 2.0

T=6 1850 23.192.000 23.912.000 720.000 2.3

T=7 1860 31.443.000 32.310.000 867.000 2.8

T=8 1870 38.558.000 43.658.000 5.100.000 13.2

T=9 1880 50.156.000 58.991.000 8.835.000 17.6

T=10 1890 62.948.000 79.709.000 16.761.000 21.0

T=11 1900 75.995.000 107.704.000 31.702.000 41.7

T=12 1910 91.972.000 145.530.000 53.558.000 58.2

T=13 1920 105.711.000 196.642.000 90.931.000 86.0

T=14 1930 122.775.000 265.705.000 142.930.000 116.4

T=15 1940 131.669.000 359.002.000 227.333.000 172.6

T=16 1950 150.697.000 485.114.000 334.417.000 221.9

Dopo il 1860 l’equazione malthusiananon fornisce una previsione accettabile

Tabella della stima della popolazione mondialeAnno Popolazione mondiale

prevista

2000 6.675.305.132

2100 49.324.204.000

2200 364.459.310.000

2500 147.033.380.000.000

3000 3.238.625.700.000.000.000

Essendo la superficie totale della terra 510.100.000.000.000 m2 una semplice divisione mostra che nel 2500 sarebbero costretti a stare quasi in piedi l’uno accanto all’altro !!

Crescita in laboratorio del piccolo roditore Microtus Arvallis(previsione con l’equazione malthusiana k=0.4)

Mesi 0 2 6 10

Numero roditori

2 5 20 109

Numero roditori previsto

2 4.5 22.0 109.1

La stima malthusiana e’ accettabile

L’ipotesi malthusiana non è, in generale, accettabile in particolare perche’ prevede sempre una crescita indefinita

Verhulst (1837) biologo matematico:introdusse un fattore correttivo

la velocita’ di crescita diminuisce quando la popolazione aumenta

equazione logistica soluzioni:)()]([ tNthNkdt

dN

]))0(()0([

)0()(

ktehNkhN

kNtN

Grafico della funzione logistica con N(0)=10, k=0.3, h=0.006

Notare la presenza dell’asintotoN(t)=k/h=50

Il modello appare ora sufficientemente soddisfacente

Popolazione degli Usa nel periodo 1790-1950 e dati calcolati con la legge di crescita logistica

anno Popolazione effettiva

Dati calcolati con la crescita logistica

errore Errore percentuale

1790 3.929.000 3.929.000 0 0

1800 5.308.000 5.336.000 28.000 0.5%

1810 7.240.000 7.228.000 -12.000 -0.2%

1820 9.638.000 9.757.000 119.000 1.2%

1830 12.866.000 13.109.000 243.000 1.9%

1840 17.069.000 17.506.000 437.000 2.6%

1850 23.192.000 23.192.000 0 0%

1860 31.443.000 30.412.000 -1.031.000 -3.3%

1870 38.558.000 39.372.000 814.000 2.1%

1880 50.156.000 50.177.000 21.000 0.0%

1890 62.948.000 62.769.000 -179.000 -0.3%

1900 75.995.000 76.870.000 875.000 1.2%

1910 91.972.000 91.972.000 0 0%

1920 105.711.000 107.559.000 1.848.000 1.7%

1930 122.775.000 123.124.000 349.000 0.3%

1940 131.669.000 136.653.000 4.984.000 3.8%

1950 150.697.000 149.053.000 -1.644.000 -1.1%

Modello matematico per la datazione col Carbonio 14

(Come anche la matematica puo’ svelare i falsi)

Walter F.Libby (chimico, p.Nobel): ideò alla fine degli anni ’40 uno dei metodi piu’ famosi e semplici di datazione dei reperti

L’azoto che si trova negli strati alti dell’atmosfera, bombardato da raggi cosmici, dà luogo a 14C, un isotopo radioattivo del C.Il carbonio che viene normalmente fissato da piante e animali è caratterizzato da un rapporto costante 14C/12C=10-12. Quando un organismo cessa di vivere la concentrazione di 14C diminuisce perché non viene più assorbito mentre continua a decadere

N(t)=quantità di 14C nell’oggetto da datare al tempo t

N(0)=quantità di 14C contenuta al tempo t=0 K=costante di decadimento radiattivo del 14C

)(tkNdt

dNN(t) è soluzione dell’equazione:

kteNtN )0()(ovvero:

R(t)=velocità con cui avviene il decadimento radioattivo

ktekNtkNdt

tdNtR )0()(

)()( kte

R

tR )0(

)(

Castello di Winchester: tavola rotonda. E’ quella di Re Artù?

1977: datazione con il 14C

se R(0)=6.68 grammo/min e k=1.245x10-4 anno-1

(legno vivo)

kteR

tR 68.6

08.6

)0(

)(

t =700 anni La tavola rotonda è stata tagliata nel 1275!!

R(t)= 6.08 grammo/min

v. decadimento legno

Ma Re Artù è vissuto nel VI secolo!!!

Una piccola bugia svelata dalla matematica!