Precorso di MatematicaA. A. 2017/2018

Algebra

1

Monomi Monomio: espressione algebrica ottenuta come

prodotto di fattori sia numerici sia letterali. Grado di un monomio rispetto ad una sua lettera:

esponente col quale questa lettera figura nel monomio. Grado assoluto di un monomio: somma degli esponenti

delle lettere che costituiscono la sua componenteletterale.

Esempio: il monomio possiede grado assoluto10,mentre ha grado tre in a, cinque in b e due in c.

Monomio fratto (o frazionario): almeno una lettera èpresente al denominatore:

3 5 27a b c

2

2

47a bc

Monomi Due monomi (interi o fratti) sono identici se hanno la

stessa componente numerica e la stessa componenteletterale; opposti se hanno la stessa componenteletterale ma componente numerica opposta; simili sehanno la stessa componente letterale.

Somma di due o più monomi simili monomio simileagli addendi, la cui componente numerica è la sommadelle componenti numeriche degli addendi:

3

3 2 3 2 3 2 3 26 3 8 11ab c ab c ab c ab c

Monomi Prodotto di due o più monomi monomio la cui

componente numerica è il prodotto delle componentinumeriche dei fattori e la cui componente letterale è ilprodotto delle componenti letterali delle componenti:

Reciproco di un monomio (indicato con l’esponente -1)non nullo quel monomio che moltiplicato per ilmonomio dato ha per risultato uno:

4

2 3 4 2 4 4

2 5 3 2 2 2 5 3 3 7

4 2 8

2 4 8

a b b c a b c

a bd a c b cd a b c d

12 4 1 2 42 4

1 133 3

ab c a b cab c

Monomi Quoziente di due monomi non nulli prodotto del

primo per il reciproco del secondo (applicare le proprietàdelle potenze):

Due monomi sono divisibili l’uno per l’altro quando ilrisultato del loro quoziente dà come risultato unmonomio intero (il primo monomio risulta quindi unmultiplo del secondo):

5

5 2 2 4

5 2 2 3 53 5 3

8 48 : 66 3a b c d a da b c d ab cab c bc

5 3 2 3 2 2 26 : 3 2a b c a b a b c

Monomi La potenza (per un numero intero) di un monomio è un

monomio ottenuto effettuando la potenza sia della partenumerica sia della parte letterale:

Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o piùmonomi è quel monomio di grado più alto divisore ditutti i monomi dati:

Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o piùmonomi è quel monomio di grado più basso multiplo ditutti i monomi dati.

6

32 4 6 3 122 8a bc a b c

5 2 3 3 6 4 5 8 3 2M.C.D. 8 ,4 ,16 4a b c a b c a b c a b c

5 2 3 3 6 4 5 8 5 6 8m.c.m. 8 ,4 ,16 16a b c a b c a b c a b c

Polinomi Un polinomio è un’espressione algebrica (irriducibile)

ottenuta sommando due o più monomi interi non simili.Un binomio (trinomio, quadrinomio, ecc …) è unpolinomio costituito da due (tre, quattro, …) monomi.

Il grado relativo di un polinomio rispetto ad una sualettera è il massimo grado con cui compare questa letteranel polinomio.

Il grado assoluto di un polinomio rappresenta il gradodel monomio di grado assoluto più elevato.

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Polinomi Esempio:

è un polinomio di grado assoluto 9, e di grado relativo 5rispetto ad a, 5 rispetto a b, 2 rispetto a c e 1 rispetto a d.

Un polinomio si dice fratto se è fratto almeno uno deimonomi che lo compongono.

Esempio:

Polinomio in una sola lettera: si dà a tale lettera il nome divariabile. Un polinomio intero ad una sola lettera si diràcompleto se contiene tutte le potenze di quella letteradal grado più alto a quello nullo.

8

5 2 2 4 3 56 4a b c a b d b c

2 4 334 2xxy z z

y z

Polinomi Esempio: Un polinomio intero si dice omogeneo se tutti i

monomi che lo compongono hanno lo stesso grado.Esempio:

Somma di due polinomi: quel polinomio composto daimonomi che formano i polinomi addendi. I monomi similipossono essere semplificati utilizzando il procedimentovisto per i monomi.

Esempio:

9

3 27 4 5 11x x x

2 3 25 6x y z xyz xz

3 2 2 2 4 3 2 2 46 4 3 6x y z x y x y yz x y z x y yz

Polinomi Differenza di due polinomi: si somma al primo l’opposto

del secondo. Esempio:

Prodotto di un polinomio per un monomio: polinomioottenuto sommando i prodotti del monomio con ciascunmonomio che costituisce il polinomio dato.

Esempio:

10

3 2 2 2 4 3 2 2 46 4 3 6 7x y z x y x y yz x y z x y yz

2 4 2 3 3 3 42 3 6 3x y yz xy x y xy z

Polinomi

Prodotto di due polinomi: si moltiplica ciascun monomiodel primo per ciascun monomio del secondo e sisommano quindi i monomi ottenuti.

Esempio:

11

2 2 4 3 2 2 5 2 3 42 3 2 6 3x y xz xz y x yz x y x z xy z

Polinomi Quoziente di un polinomio per un monomio: somma

algebrica dei quozienti di ciascun monomio checostituisce il polinomio col monomio dato.

Un polinomio intero è divisibile per un monomio interose il polinomio quoziente è anch’esso un polinomiointero. In tal caso il grado del polinomio quoziente è ladifferenza tra il grado del polinomio dividendo e il gradodel monomio divisore.

Esempio:

12

3 2 2 4 3 3 5 4 22 3 2 4 2

26 8 4 3 4 2

2x y z x y z x y z x z x yz x y z

xy z

Polinomi Quoziente di due polinomi ad una sola variabile. Siano dati due polinomi ad una sola variabile x, il

polinomio dividendo di grado n ed il polinomio divisore di grado m (con ). Si può dimostrare che esistono sempre, e sono unici, il polinomio quoziente

di grado n-m ed il polinomio resto di grado tali che si abbia identicamente:

ossia:

13

( )nP x( )mS x n m

( )n mQ x ( )tR xt m

( ) ( ) ( ) ( )n m n m tP x S x Q x R x

( ) ( )( )( ) ( )

n tn m

m m

P x R xQ xS x S x

Polinomi Se il polinomio resto è identicamente nullo diremo

che il polinomio è divisibile per il polinomio . Si ha perciò:

Esempio:

14

( )nP x ( )mS x( )tR x

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

nn m n m n m

m

P xP x S x Q x Q xS x

4 3 22

22 3 8 4 2 1

4x x x x x x

x

Polinomi (scomposizione) Se il polinomio è divisibile per il binomio si

avrà:

Valore del polinomio nel punto c:

un tale punto si chiama radice (o “zero”) del polinomio. Trovare le radici del polinomio:

15

( )nP x x c

1( ) ( ) ( )n nP x x c Q x

1 1( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0n n nP c c c Q c Q c

( ) 0nP x

Polinomi (scomposizione) Polinomio di primo grado unica radice

Polinomio di secondo gradoposto tre casi possibili:

16

1( )P x a x b bxa

2

2 ( )P x a x b x c 2 4b a c

1,2 2 1 2

21 2 1

0 ( )2

0 ( )2

0 nessuna radice reale (nessuna scomposizione)

bx P x a x x x xa

bx P x a x xa

Prodotti notevoli Quadrato di un binomio:

Differenza di due quadrati:

Quadrato di un trinomio:

Cubo di un binomio:

17

2 2 2

2 2 2

( ) 2( ) 2x y x xy yx y x xy y

2 2

4 4 2 2 2 2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x y x y x y

x y x y x y x y x y x y

2 2 2 2( ) 2 2 2x y z x y z xy xz yz 3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

( ) 3 3( ) 3 3x y x x y xy yx y x x y xy y

Prodotti notevoli Differenza di due cubi:

Somma di due cubi:

18

3 3 2 2( )x y x y x xy y

3 3 2 2

5 5 4 3 2 2 3 4

( )

Generalizzazione:

( )

x y x y x xy y

x y x y x x y x y xy y

Frazioni algebriche Si chiama frazione algebrica il rapporto di due

espressioni algebriche, tali che la prima non sia divisibileper la seconda (con denominatore non nullo).

Esempio:

(non definita per ). Dopo aver scomposto in fattori il numeratore ed il

denominatore di una frazione algebrica, possiamosemplificare eventuali fattori comuni diremo che lafrazione algebrica è ridotta aiminimi termini.

19

4 4

3 3a ba b

a b

Frazioni algebriche Esempio:

Per sommare (o sottrarre) due o più frazionialgebriche aventi lo stesso denominatore, dobbiamosommare (o sottrarre) i numeratori lasciando inalterato ildenominatore.

Esempio:

20

2 23 2 2 3

4 2 2 2 2 22 2 2

( 2 )2 2 2a b a bca ab a bc b c a bca a b a c b c a ca b a c

2 22 3 2 3 b a ba b c b c a b c b ca b a b a b a b

Frazioni algebriche Se i denominatori sono diversi, dobbiamo ridurre le

frazioni ai minimi termini e calcolare il minimo comunemultiplo dei denominatori. Trasformiamo quindi ognifrazione algebrica in modo tale che ciascuna abbia comedenominatore il m.c.m. Possiamo infine sommare comenel punto precedente.

Esempio:

21

2 23 2 3 2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 3 2 2 2 2

2 2

( )a a bb a c b b c b a ba b b a b b a b b a b b a b

b a ab abc b cb a b

Frazioni algebriche

Il prodotto di due frazioni algebriche è una nuovafrazione algebrica il cui numeratore è il prodotto deinumeratori e il cui denominatore è il prodotto deidenominatori.

Esempio:

La potenza (intera) di una frazione algebrica si ottieneelevando a quella potenza sia il numeratore sia ildenominatore:

Esempio:

22

2 2

2 2c ab abc

a b a b a b

22 22

23 3

ababa b a b

Frazioni algebriche Il reciproco di una frazione algebrica si ottiene

scambiando il numeratore con il denominatore (sirichiede che anche il numeratore sia non nullo).

Esempio:

Il quoziente di due frazioni algebriche si ottienemoltiplicando la prima per il reciproco della seconda.Esempio:

23

12 2 2

2 2 2ab c b cb c ab c

3 3 33 3 2 3 3 4

4 2 3:a b ca b ab a b c

bc c bc ab ab