Pr actica 3. Determinaci on del momento de inercia de una barra y …¡mica... · 2017-12-11 ·...
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Din´ amica del cuerpo r´ ıgido Pr´ actica 3. Determinaci´on del momento de inercia de una barra y dos masas puntuales. Mauricio Arredondo Soto, Ricardo Mart´ ınez Mart´ ınez y Jos´ e Mar´ ıa Rico Mart´ ınez Departamento de Ingenier´ ıa Mec´ anica. Divisi´ on de Ingenier´ ıas, Campus Irapuato-Salamanca. Universidad de Guanajuato Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.8 + 1.5 CP 36730, Salamanca, Gto., M´ exico E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] 1 Objetivo Determinar experimentalmente los momentos de inercia de una barra y dos masas puntuales y verificar que coinciden con los momentos de inercia obtenidos te´ oricamente en clase. 2 Material y Equipo 1. Documento “Instalaci´ on Equipo Del Momento De Inercia”. 2. Todo el equipo especificado en el documento “Instalaci´ on Equipo Del Momento De Inercia”. 3. B´ ascula de precisi´ on 4. Cinta m´ etrica o flex´ ometro 5. 2 Pesas de 50 gr. 6. 12 Pesas de 10 gr. 7. Calculadora. 3 Desarrollo de la pr´ actica 1. Lea detenidamente el documento “Instalaci´ on Equipo Del Momento De Inercia” y proceda a instalar el equipo siguiendo los pasos all´ ı indicados y bajo la supervisi´ on del profesor. Al terminar la instalaci´ on, verifique que el equipo se vea como el mostrado en la figura 1. Figura 1. Panor´ amica central del equipo instalado. 1
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Dinamica del cuerpo rıgido
Practica 3. Determinacion del momento de inercia de una barra ydos masas puntuales.
Mauricio Arredondo Soto, Ricardo Martınez Martınez y Jose Marıa Rico MartınezDepartamento de Ingenierıa Mecanica.
Division de Ingenierıas, Campus Irapuato-Salamanca. Universidad de GuanajuatoCarretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.8 + 1.5
CP 36730, Salamanca, Gto., MexicoE-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
1 Objetivo
Determinar experimentalmente los momentos de inercia de una barra y dos masas puntuales y verificar quecoinciden con los momentos de inercia obtenidos teoricamente en clase.
2 Material y Equipo
1. Documento “Instalacion Equipo Del Momento De Inercia”.
2. Todo el equipo especificado en el documento “Instalacion Equipo Del Momento De Inercia”.
3. Bascula de precision
4. Cinta metrica o flexometro
5. 2 Pesas de 50 gr.
6. 12 Pesas de 10 gr.
7. Calculadora.
3 Desarrollo de la practica
1. Lea detenidamente el documento “Instalacion Equipo Del Momento De Inercia” y proceda a instalar elequipo siguiendo los pasos allı indicados y bajo la supervision del profesor. Al terminar la instalacion,verifique que el equipo se vea como el mostrado en la figura 1.
Figura 1. Panoramica central del equipo instalado.
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2. Compruebe con ayuda del profesor que el modelo fısico mostrado en la figura 2, rige el comportamiento delsistema previamente instalado. Deduzca, empleando diagramas de cuerpo libre la validez de la ecuacion(4), que corresponde a la inercia del cuerpo que se encuentra rotando. Reporte su procedimiento.Nota: Note que el cuerpo que gira puede ser cualquiera, por ejemplo: Barra, disco, barra con masas, etc.independientemente del que se muestra en la figura 2. Desprecie la masa e inercia de la polea que conectael cuerpo con la pesas.
Figura 2. Modelo fısico del sistema.
IC = M3
(gr1α
− r21
)(1)
Debe notarse que las aceleraciones de ambas masas estan relacionadas, y que si la aceleracion angular delcuerpo rıgido es α y es en sentido antihorario, la aceleracion de las pesas es hacia abajo e igual a α r1,donde r1 es el radio de la polea colocada sobre el cuerpo y conectada a las pesas mediante el hilo de seda.
Las ecuaciones de movimiento importantes para la solucion del problema son, para el cuerpo rıgido
ΣTz = Ic α F r1 = Ic α (2)
Para las pesas que producen movimiento
ΣFy = M3 ay F −M3 g = −M3 α1 r1 (3)
Despejando de la ecuacion 6, el valor de F y sustituyendola en la ecuacion 5
F = M3 (g − α r1) M3 (g − α r1) r1 = Ic α
Despejando la inercia, se tiene que
IC = M3
(gr1α
− r21
)(4)
• En base a las caracterısticas de la aceleracion del cuerpo, ¿Que tipo de movimiento tiene el cuerpo?Movimiento uniformemente acelerado y ademas esta en rotacion pura al rededor de un eje fijo• ¿Porque es importante que el hilo de seda que conecta la polea del cuerpo que va a girar, con la polea de laque cuelga el plato portapesas sea horizontal? Porque de otra forma se incluirıan componentes de fuerzasen la direccion vertical
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3. Como puede darse cuenta, el movimiento de este sistema depende de la aceleracion de la gravedad, se sabeque una buena aproximacion es 9.81m/s2. Pero tambien se sabe que no es constante en toda la superficiede la tierra y tiene variaciones pequenas alrededor de este valor. Estas variaciones dependen de la latitudy altitud del lugar donde se encuentre. Investigue cual es la latitud y altitud del lugar donde se lleva acabo esta practica y obtenga la aceleracion de la gravedad correspondiente empleando la grafica GravityValue versus Latitude and Altitude mostrada en la figura 3.
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5/13/2015http://scienceblogs.com/startswithabang/files/2011/12/adamgravityversusaltitude1.jpeg
Figura 3. Grafica de la gravedad como funcion de la latitud y altitud.
• ¿A que altitud se encuentra? 1800m SNM aproximadamente. ¿A que latitud se encuentra? 20o
• ¿Que valor de la aceleracion de la gravedad obtuvo? 9.781m/s2
• Este valor es diferente del que habitualmente se emplea en la solucion de problemas academicos(9.81m/s2). ¿Cual es la diferencia entre ambos valores? 0.029m/s2
• ¿Que tan considerable cree que es el error que se comete, al tomar como constante de aceleracion de lagravedad el valor de 9.81m/s2? Pequeno pero puede ser suficiente para ser perceptible en los resultados
4. Como el movimiento del sistema es uniformemente acelerado y ademas el cuerpo parte del reposo, esposible obtener la ecuacion (5) que relaciona la posicion angular, la aceleracion angular y el tiempo.
θ(t) =1
2α t2, (5)
de la ecuacion (5) es posible despejar la aceleracion angular α arribando a la ecuacion (6)
α =2θ
t2. (6)
Discuta con su profesor la validez de la ecuacion (5) y reporte el procedimiento para llegar a ella, inte-grando, con respecto al tiempo, a partir de la aceleracion angular α.
como α = cte y α = dωdt
Podemos escribirdω = αdt
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integrando ambos lados de la ecuacion con las condiciones iniciales ωi = 0 en ti = 0 y ωf = ω en tf = ttenemos ∫ ω
0
dω =
∫ t
0
αdt
ω = α t
y como ω = dθdt podemos escribir
dθ = α t dt
integrando de nuevo ambos lados de la ecuacion con las condiciones iniciales θi = 0 en ti = 0 y θf = θ entf = t tenemos ∫ θ
0
dθ =
∫ t
0
αt dt
θ(t) =1
2α t2
5. Determinacion de los resultados teoricos y toma de resultados experimentales para la barra.
• Pese la barra, con sus aditamentos necesarios, apuntador negro y aleta, en la bascula de precision yreporte el resultado como la masa M = 0.1552 kg.
• mida la longitud de la barra de extremo a extremo con sus aditamentos colocados y reporte el resul-tado como l = 0.714m
• Calcule la inercia teorica de la barra con respecto a su centro de masa ICB , mediante la ecuacion (7)
ICB =1
12ml2, (7)
y reporte el resultado como ICB = 6.59336 × 10−3 kg −m2, reporte tambien este resultado en laTabla 1 y Tabla 2 en la columna de ICB teorico
• Coloque dos pesas de 50gr en el plato portapesas y peselo juntos, en la bascula de precision, reporteel resultado como M3 = 0.1097 kg
• Utilice la polea mas pequena cuya inercia es despreciable y ademas tiene un radio r1 = 15mm, paraensamblar la barra al cojinete.
• Encienda el ventilador y coloque la perilla que determina la velocidad de flujo del aire a un nivelentre 3.5 − 4.
• Coloque el sensor en el modo para medir tres puntos y el apuntador negro un poco antes de interrumpirel haz de luz del sensor.
• Teniendo todo el equipo en su lugar proceda a presionar rapidamente el obturador para liberar labarra y que esta empiece a girar, reporte el tiempo mostrado en el exhibidor del sensor en la Tabla1 en la columna de resultados experimentales. Ademas agregue una imagen, por cada experimento,que muestre este mismo resultado en el exhibidor del sensor.
• Repita el experimento por lo menos tres veces y reporte cada una como se especifica en el puntoanterior.
• Como la aleta tiene un angulo de 15◦ cuando pasa por el sensor la barra habra girado θ = 180◦ −(15◦/2) = 172.5◦ utilizando este resultado y la ecuacion (6) calcule, para cada uno de los tiemposexperimentales la correspondiente aceleracion angular α y reportela en la columna Aceleracion angularde la Tabla 1
• Utilizando la ecuacion (4) calcule la inercia para cada aceleracion angular y reportelas en la columnaICB experimental de la Tabla 1.
• Para cada experimento calcule el porcentaje de error y reportelo en la Tabla 1 en la columna deporcentaje de error, a partir de la formula.
Error% =IE − ITIE
100
donde IT es el resultado teorico de la inercia y IE es el resultado experimental de la inercia.
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Dinamica del cuerpo rıgido
Table 1: Resultados teoricos, experimentales y porcentaje de error
Numero ICB Resultados Aceleracion ICB Porciento
de teorico experimentales angular α experimental error
experimento kg −m2 segundos rad/s2 kg −m2 %
1 6.59336 × 10−3 1.577 2.4212 6.62266 × 10−3 0.44232 6.59336 × 10−3 1.593 2.3728 6.67582 × 10−3 2.43953 6.59336 × 10−3 1.588 2.3877 6.71571 × 10−3 1.8219
Figura 4.1. Resultados del experimento 1.
Figura 4.2. Resultados del experimento 2.
Figura 4.3. Resultados del experimento 3.
• ¿Cree que los resultados experimentales obtenidos son validos y pueden considerarse un reflejo de losteoricos? Si
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Dinamica del cuerpo rıgido
• ¿Cuan pequeno considera que debe ser el porcentaje de error entre resultados teoricos y experimen-tales para considerarlos validos? menor que 5%.
6. Determinacion de los resultados teoricos y determinacion de los resultados experimentales para las masaspuntuales variando la masa.Esta inercia se determinara como una superposicion a la inercia de la barra.
• Pese los platos portapesas sin agregar peso extra, y reporte cada medida como M1 = 50 gr y M2 =50 gr
• Coloque cada plato portapesas a un radio RG de 20 cm medidos desde el centro de la barra hasta lalocalizacion de cada plato.
• Calcule la inercia teorica de las masas puntuales con respecto a su centro de masas ICM1,2, mediante
la ecuacion (8).ICM1,2
= 2(mR2
G
), (8)
y reporte el resultado como ICM1,2= 4 × 10−3 kg −m2
Reporte tambien este resultado en la Tabla 2 en la columna de ICM1,2teorico
• Encienda el ventilador y coloque la perilla que determina la velocidad de flujo del aire a un nivelentre 4 − 4.5.
• Coloque el sensor en el modo para medir tres puntos y el apuntador negro un poco antes de interrumpirel haz de luz del sensor.
• Teniendo todo el equipo en su lugar, proceda a presionar rapidamente el obturador para liberar labarra junto con las masas, y que esta empiece a girar, reporte el tiempo mostrado en el exhibidor delsensor en la Tabla 2 en la columna de resultados experimentales. Ademas agregue una imagen, porcada experimento, que muestre este mismo resultado en el exhibidor del sensor.
• Como la aleta tiene un angulo de 15◦ cuando pasa por el sensor la barra habra girado θ = 180◦ −(15◦/2) = 172.5◦ utilizando este resultado y la ecuacion (6) calcula, para cada uno de los tiemposexperimentales la correspondiente aceleracion angular α y reportela en la columna Aceleracion angularde la Tabla 2
• Utilizando la ecuacion (4) calcule la inercia para la aceleracion angular y reportelas en la columnaICT (Inercia total) experimental de la Tabla 2.
• Reste al valor de ICT la inercia de la barra sin masas adicionales ICB obtenida en el punto 3 delinciso 5,
ICM1,2 = ICT − ICB ,
y reporte el resultado en la columna de ICM1,2experimental en la Tabla 3
• Para cada experimento calcule el porcentaje de error y reportelo en la Tabla 2 en la columna deporcentaje de error, a partir de la formula.
Error% =IE − ITIE
100
donde IT es el resultado teorico de la inercia y IE es el resultado experimental de la inercia.
• Coloque en cada plato porta pesas de la barra, dos pesas de 10 gramos y repita el experimento juntocon los pasos anteriores, haga esto hasta que cada plato portapesas de la barra tenga 6 pesas de10 gr. De manera similar, complete la Tabla 2 con los resultados teoricos obtenidos a partir de estosaumentos de masa.
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Dinamica del cuerpo rıgido
Table 2: Resultados teoricos, experimentales y porcentaje de error
Numero ICM1,2Resultados Aceleracion ICT ICM1,2
Porciento
de pesas teorico experimentales angular α experimental experimental error
de 10gr kg −m2 segundos rad/s2 kg −m2 kg −m2 %
0 4 × 10−3 2.004 1.4993 10.7097 × 10−3 4.116413 × 10−3 2.82802 5.6 × 10−3 2.152 1.30020 12.35385 × 10−3 5.760489 × 10−3 2.78604 7.2 × 10−3 2.296 1.14222 14.06588 × 10−3 7.472522 × 10−3 3.64696 8.8 × 10−3 2.446 1.006429 15.96712 × 10−3 9.373764 × 10−3 6.1203
Figura 4.1. Resultados del experimento con los platos portapesas.
Figura 4.2. Resultados del experimento con los platos portapesas mas 20gr.
Figura 4.3. Resultados del experimento con los platos portapesas mas 60gr.
• ¿Cree que los resultados experimentales obtenidos son validos y pueden considerarse una buenaaproximacion de los resultados teoricos?
• Muestra la inercia teorica ICM1,2versus la masa agregada a la barra en una grafica como la que se
muestra en la figura 4.
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Dinamica del cuerpo rıgido
Figura 4.Grafica inercia versus masa.
• Muestre en la misma grafica con otro color los resultados experimentales de ICM1,2
• Compare que tan distintos son los resultados experimentales de los teoricos observando ambas graficasy diga sus comentarios
• ¿Cree que los resultados experimentales obtenidos son validos y pueden considerarse un reflejo de losteoricos?
7. Determinacion de los resultados teoricos y determinacion de los resultados experimentales para las masaspuntuales variando la longitud del radio de giro.Esta inercia se determinara como una superposicion a la inercia de la barra.
• Pese los platos portapesas con cuatro pesas de 10gr cada uno, y reporte cada medida como M1 =gr y M2 = gr
• Coloque cada plato portapesas a un radio RG de 10 cm medidos desde el centro de la barra hasta lalocalizacion de cada plato.
• Calcule la inercia teorica de las masas puntuales con respecto a su centro de masas ICM1,2, mediante
la ecuacion (9).ICM1,2 = 2
(mR2
G
), (9)
y reporte el resultado como ICM1,2= kg −m2
Reporte tambien este resultado en la Tabla 3 en la columna de ICM1,2teorico
• Encienda el ventilador y coloque la perilla que determina la velocidad de flujo del aire a un nivelentre 4 − 4.5.
• Coloque el sensor en el modo para medir tres puntos y el apuntador negro un poco antes de interrumpirel haz de luz del sensor.
• Teniendo todo el equipo en su lugar, proceda a presionar rapidamente el obturador para liberar labarra junto con las masas, y que esta empiece a girar, reporte el tiempo mostrado en el exhibidor delsensor en la Tabla 2 en la columna de resultados experimentales. Ademas agregue una imagen, porcada experimento, que muestre este mismo resultado en el exhibidor del sensor.
• Como la aleta tiene un angulo de 15◦ cuando pasa por el sensor la barra habra girado θ = 180◦ −(15◦/2) = 172.5◦ utilizando este resultado y la ecuacion (6) calcule, para cada uno de los tiemposexperimentales la correspondiente aceleracion angular α y reportela en la columna Aceleracion angularde la Tabla 3
• Utilizando la ecuacion (4) calcule la inercia para la aceleracion angular y reportelas en la columnaICT (Inercia total) experimental de la Tabla 3.
• Reste al valor de ICT la inercia de la barra sin masas adicionales ICB obtenida en el punto 3 delinciso 5,
ICM1,2 = ICT − ICB ,
y reporte el resultado en la columna de ICM1,2 experimental en la Tabla 3
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Dinamica del cuerpo rıgido
• Para cada experimento calcule el porcentaje de error y reportelo en la Tabla 3 en la columna deporcentaje de error, a partir de la formula.
Error% =IE − ITIE
100
donde IT es el resultado teorico de la inercia y IE es el resultado experimental de la inercia.
• Retire cada plato portapesas a una distancia de 5cm mas que la anterior y repita el experimentojunto con los pasos anteriores, haga esto hasta que los platos esten a una distancia de 30cm cada unomedidos a partir del centro de la barra. De manera similar, complete la Tabla 3 con los resultadosteoricos obtenidos a partir de estos aumentos de longitud.
Table 3: Resultados teoricos, experimentales y porcentaje de error
Longitud ICM1,2Resultados Aceleracion ICT ICM1,2
Porciento
de las masas teorico experimentales angular α experimental experimental error
puntuales cm kg −m2 segundos rad/s2 kg −m2 kg −m2 %
1015202530
• ¿Cree que los resultados experimentales obtenidos son validos y pueden considerarse una buenaaproximacion de los resultados teoricos?
• Muestra la inercia teorica ICM1,2 versus la masa agregada a la barra en una grafica como la que semuestra en la figura 5.
Figura 5.Grafica inercia versus longitud.
• Muestre en la misma grafica con otro color los resultados experimentales de ICM1,2
• Compare que tan distintos son los resultados experimentales de los teoricos observando ambas graficasy diga sus comentarios
• ¿Cree que los resultados experimentales obtenidos son validos y pueden considerarse un reflejo de losteoricos?
• ¿Cuan pequeno considera que debe ser el porcentaje de error entre resultados teoricos y experimen-tales para considerarlos validos? %.
• ¿Que cree que puede causar esta diferencia entre resultados teoricos y experimentales?
• ¿Que recomendarıa para disminuir el porcentaje de error entre los resultados teoricos y practicosobtenidos?
• Proporcione sus conclusiones personales
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