1

La forza di Coulomb è conservativa (forza fondamentale).

!

L = "#U =Ui "UfE` quindi possibile parlare di energia potenziale

!

U "( ) = 0 # L("$r r ) = %U(

r r )

Energia potenziale di una carica q in un punto dello spazioindividuato da r in cui esiste un campo E≠0 : lavoro delleforze del campo per portare q dall’infinito ad r.Come da F si e` definito E analogamente da ΔU si passa alla differenza di Potenziale:

( ) ( )( )q

rUrV

q

UVVV if =

!="=!q

!

O

r[ ] V

C

JV ==

!

"V = #LEL

q

- (lavoro forze elettriche)+(lavoro forze esterne)

Potenziale Elettrico

Grandezza fisica scalare

2

per 2 cariche puntiformi.

1q

2q

r

en. potenziale di q2 nel campo di q1en. potenziale di q1 nel campo di q2en. potenziale del sistema q1, q2

!

U(r r ) = q

1V2

r r 2( ) = q

2V1

r r 1( )

r

qV

04

1)(

!"=r

rIl potenziale generato da una carica puntiforme q a distanza r è

U(r) = !r F "d

r r

#

r

$ = !kq1q2

dr

r2

#

r

$ =1

4%&0

q1q2

r

Il potenziale nel punto occupato da q2 (dovuto a q1) è

!

V1(r r 1) =

U

q2

=1

4"#0

q1

r

Potenziale Elettrico

Come per il campo elettrico la d.d.p è definita in tutti i punti dello spazio, dipendedalle cariche elettriche presenti e può essere calcolato con il P. di sovrapposizione.

3

Con più cariche puntiformi: principio di sovrapposizione.

1q

2q

3q

V1= V

12+V

13= V

1k

k

!

r

qqkU 21=

r

mmGU

G

21!=

Campo elettrico Campo gravitazionale

vF

Se V è il potenziale generato dalle altre cariche nella posizione di q, l’energia potenziale di q è qVU =

vFG

Potenziale Elettrico

Con il vantaggio rispetto alcampo elettrico che stiamosommando delle grandezzescalari

4

!V = "

r F

q# d

r s =

i

f

$ "r E # d

r s

i

f

$(L’integrale NON dipende dal percorso)

Potenziale Elettrico

In generale vale quindi:

Il potenziale in un campo uniforme

A Bl VA-VB=-El•cos180o=ElL’energia potenziale ΔU=qΔV di unacarica + aumenta quando questa simuove contro il campo

Per una carica - la sua energia potenzialeaumenta quando si muove nella stessadirezione del campo

!V = "r E # !

r r

E=ΔV/l

!

E[ ] =V

m

!

Ex = "dV

dx

Ey = "dV

dy

Ez = "dV

dz

5

Potenziale di un dipolo elettrico.

V = V+ + V! =q

4"#0

1

r+!1

r!

$

% & '

( ) r+

rd <<Se 2

0

cos

4

1

r

pV

!

"#=

Potenziale di un anello uniformemente carico.

r

dqdV

04

1

!"=dq = λds

r costante

( )220

4

1

Rz

qV

+=

!"

P

r-d

θ

Potenziale Elettrico

6

Regioni di potenziale costante: � linee in 2D� superfici in 3D

V1

V2

V3

E ortogonale alla superficie equipotenzialeSuperfici equipot. ortogonali alle linee di forza.

!

r E " d

r r = #dV = 0 se dr appartiene ad una superficie equipotenziale

linee di forza

sup. equipotenziali

Potenziale Elettrico

Campo uniforme

sup. equipotenziali

7

Elettrostatica.Conduttori elettrici in equilibrio

Conduttore: cariche libere di muoversi (metalli o soluzioni ioniche)In equilibrio: F = qE = 0Entro un conduttore in equilibrio: E = 0

dV Densità di carica: ρ=dq/dV=0 entro conduttoreIn elettrostatica il volume interno e` equipotenzialeVi=cost

dq=0

Un conduttore in equilibrio è equipotenziale.

AB

!VAB= "

r E # d

r s =

A

B

$ 0

Linee di forza ortogonali alla superficie.Carica: solo sulla superficie.

Forze di superficie: lavoro di estrazione delle cariche (elettroni).

Dati due punti qualsiasi A e B sullasuperficie del conduttore:

Vs=cost

Ve-Vi=Lest/q

8

Elettrostatica dei conduttori

Cariche superficiali, ma le linee di forza NON si chiudono sul conduttore(Perché è equipotenziale)

NO

Cavità in un conduttoreCariche sulla superficie interna?

NO: VA=VB

SI: in presenza di cariche nel volume interno

A

B

B A

9

Elettrostatica nei conduttori

Sfera conduttrice isolata (dens. carica uniforme):

Campo elettrico sulla superficie di un conduttore:

E ortogonale (V costante)

!

E ="

#0

R

2

04

1

r

qE

!"=

0=E

E

r R

r

qV

04

1

!"=

R

qV

04!"

=

V

r

10

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Induzione elettrostatica (Forza attrattiva su q).

Conduttore isolato:qTOT=cost=0

Conduttore a V costante (V=0)

Nota: messa a terra/massa.

Schermaggio elettrostatico

Il campo esternonon modificaquello interno e viceversa.

Riferimento pratico V=0.

++ +- - --

q++ +- -

EqEind

-- -- ---- -- -+

++

++

- ---+

++

+q

q’

+

--- ---

V=0

EqEindq

In equilibrio nel conduttore E=0 : il campo E generato da q è neutralizzato dal campo dellecariche indotte (ridistribuzione della carica nel conduttore)

+

11

Alcune esempi:

1. Un atomo con un momento di dipolo p=8.45x10-30Cm è in un campo elettricouniforme E=104NC-1. Se l’angolo tra p ed E è 30o calcolare:

a) il modulo del momento agente sul dipolo

b) l’energia potenziale

τ=pxE |τ|=pEsen30o= 8.45x10-30x 104 x0.5 =4.22x10-26 Nm

U=-p·E=-pEcos30o= -8.45x10-30x 104 x0.866=-7.32x10-26 J

2. Un atomo di He si trova momentaneamente nella seguente configurazione

° °°0.1nm 0.1nm

nucleo elettroneelettrone

Calcolare:

• il campo elettrico e il potenziale nella posizione in cui si troval’elettrone di sinistra e dovuto al nucleo e dall’altro elettrone

• il lavoro richiesto per rimuovere uno dei due elettroni

• l’energia potenziale totale del sistema costituito dalle tre cariche

12

2. Mantenete le vostre mani parallele ad una ad una e ad una distanza di 10 cm;

• stimare il numero totale di elettroni in ogni mano

• stimare la forza repulsiva totale tra tutti gli elettroni di una mano su tutti quellidell’altra

• perche` nella realta` non si esperienta alcuna forza repulsiva

• stimate di quanto la carica del protone dovrebbe differire dalla caricadell’elettrone senza che cio` produca alcuna forza appprezzabile tra le due mani

3. Un piano isolante viene caricato uniformemente con una densita` superficialedi carica σ=+2.5x10-6 C/m2. Una carica q=5µC è posta con velocita` nulla nelpunto A ad una distanza d=20cm dal piano. Calcolare:

•Il campo elettrico generato dal piano uniformemente carico

•La forza che agisce sulla carica q

•Il lavoro fatto dalla forza elettrica per portare la carica q nel punto B ad unadistanza dal piano d’=30cm

•La velocita` della carica quando transita per B sapendo che la sua massa valem=1g

13

Carica puntiforme

⊥ al piano

Piano infinito unif. caricoσ=densita` sup. di car.[C/m2]

Dipolo ⊥ all’asse

Dipolo // all’asseMomento di dipolo p=qd [Cm]

PotenzialeCampo Elettricosistema

!

r E = k

q

r2

ˆ r

!

V (r) = kq

r

V (") = 0

!

Ex = kp(2y

2" x

2)

(x2

+ y2)5 / 2

!

Ey = k3pxy

(x2

+ y2)5 / 2

!

V = kpcos"

r2

!

r E =

"

2#o

!

V (d) = "#

2$o

d

V (0) = 0

14

Sfera unif. Caricaρ=densita` di carica [C/m3]Carica totale

Cilindro di raggio R unif. caricoρ=densita` di carica [C/m3]

Superficie sferica unif. caricaσ=densita` superf, di carica[C/m2]Carica totale

PotenzialeCampo Elettricosistema

!

r E =

"

3#o

r r

r E =

"

3#o

R3

r2

ˆ r

!

V (r) ="

2#o

R2 $

r2

3

%

& '

(

) *

V (r) ="

3#o

R3

r

%

& '

(

) *

V (+) = 0

!

Q =4

3"R3#

!

r " R

r > R

!

r E = 0

r E =

"

#o

R2

r2

ˆ r

!

r " R

r > R

!

Q = 4"R2#

!

V (r) ="

#o

R

V (r) ="

#o

R2

r

$

% &

'

( )

V (*) = 0

!

r E =

"

2#$o

r r

r E =

"

2#$o

R2

r

ˆ r

!

r " R

r > R

!

V (r) = "#

4$%o

R21+

r

R

&

' (

)

* + 2&

' ( (

)

* + +

V (r) = "#

2$%o

R2

+ lnr

R

&

' (

)

* +

,

- .

/

0 1

15

Bioelettricita`

In particolare nelle cellule nervose esiste una differenza di potenziale tral’interno e l’esterno della cellula, all’interno è di -85mV rispetto all’esterno. Unimpulso nervoso consiste in una variazione di questo potenziale che si propagalungo una fibra nervosa, (assone).vedi lez19_bis