Capitolo 3Geometria elementare

Sezione PrimaGeometria nel piano

1   Enti geometrici fondamentali

Con il termine Geometria, parola composta di origine greca che significa letteralmente misura-zione della terra, s’intende la scienza razionale che studia la forma e l’estensione dei corpi e alcu-ne proprietà delle trasformazioni da essi subite.

•  Postulati, teoremi, corollariLa geometria razionale deve riferirsi ad alcuni termini primitivi, ossia termini che non è possibile definire e pertanto bisogna accettare senza dimostrazione. Tali concetti, detti assiomi o postulati, forniscono solo una base intuitiva e permettono, tramite il ragionamento, di giungere ad affermazi-oni più complesse e diversificate.Le suddette affermazioni vengono chiamate teoremi ed il percorso logico utilizzato per definirli costituisce la dimostrazione degli stessi.Le conseguenze dirette dei teoremi vengono chiamate corollari.Gli enti geometrici fondamentali sono il punto, la retta ed il piano; essi non si definiscono. An-che le proposizioni fondamentali della geometria, dette assiomi o postulati, non si dimostrano.

Postulato

Esistono infiniti punti, infinite rette ed infiniti piani.

Prime nozioni

Un punto A coincide con un punto B quando A e B sono lo stesso punto; si scrive A B.Due punti sono distinti quando non coincidono.I punti che costituiscono una figura si dicono a essa appartenenti.I punti che non appartengono alla figura si dicono esterni ad essa.Una figura contiene i punti che le appartengono, ovvero che passa per essi.Si dice che due figure sono coincidenti quando sono la stessa figura. Due figure sono distinte quando non sono coincidenti.Si chiama intersezione di due figure l’insieme dei punti che appartengono sia alla prima che alla seconda figura.Due rette distinte si dicono incidenti se hanno un punto in comune. P s

r

•  Punti e rette

Postulato

Per due punti distinti passa una retta e una sola. rBA

113

Capitolo 3 Geometria elementare

Postulato

Per un punto passano infinite rette.

Postulato

Ogni retta contiene almeno due punti.

Postulato

Due o più punti distinti di una stessa retta si dicono allineati.

Postulato

Sopra una retta non esiste un punto che preceda né uno che segua tutti gli altri.

Postulato

Data una retta, un suo punto A la divide in due parti: quella formata dai punti che precedono A e quella formata dai punti che seguono A.

• Semiretta

Si chiama semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta AB rimane divisa da un suo punto O.Il punto O si considera appartenente alle due semirette ottenute e si chiama origine di entrambe le semirette.

B O A

Le due semirette di dicono opposte oppure una il prolungamento dell’altra. I punti di una semiret-ta diversi dall’origine si dicono interni alla semiretta.

• Segmento

Dati sopra una retta due punti distinti A e B, si chiama segmento AB la parte di retta a cui apparten-gono i punti A, B e tutti quelli tra essi compresi. I punti A e B si dicono estremi del segmento. I pun-ti di un segmento diversi dagli estremi, si dicono interni al segmento.

Sostegno. Si chiama sostegno di un segmento AB, la retta AB alla quale il segmento appartiene.

Asse. Si chiama asse di un segmento la perpendicolare al segmento nel suo punto medio.

Le semirette di origine A e B, appartenenti al sostegno r e non contenenti il segmento AB, si chia-mano prolungamenti del segmento AB.

Due segmenti si dicono consecutivi se hanno solo un estremo in comune.

A

B C

Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e se appartengono ad una stessa retta.

A B C

114

libro ii matematiCa

•  Punti, rette e piani

Postulato

Se due punti distinti di una retta appartengono a un piano, allora tutti i punti della retta apparten-gono al piano.

Postulato

In un piano esistono almeno tre punti distinti non appartenenti a una stessa retta.

Postulato

Un piano è diviso da ogni sua retta in due parti distinte, ciascuna delle quali contiene infiniti punti.

Postulato

Due semirette aventi la stessa origine dividono il piano in due parti distinte, ciascuna delle quali contiene infiniti punti.

Una figura si dice piana quando tutti i suoi punti appartengono ad uno stesso piano. Più figure si dicono complanari quando giacciono su un medesimo piano.

• Semipiano

Si chiama semipiano ciascuna delle due parti in cui un piano rimane diviso da una sua retta r.La retta r si chiama origine oppure contorno dei due semipiani ot-tenuti, e si considera come l’unica parte ad essi comune.I due semipiani si dicono opposti od anche uno il prolungamen-to dell’altro.Si chiama sostegno di due semipiani opposti il piano al quale essi appartengono.

2   Gli angoli

Un angolo è una parte di piano limitata da due semirette aventi la stessa origine.Le due semirette si dicono lati dell’angolo e l’origine comune si dice ver-tice dell’angolo.

Angoli convessi e angoli concavi

Un angolo si dice convesso quando non contiene i prolungamenti dei suoi lati.

α

r

α

r

V

a b

V

a

b

115

Capitolo 3 Geometria elementare

Un angolo si dice concavo quando contiene i prolungamenti dei suoi lati.

• Bisettrice di un angoloSi dice bisettrice di un angolo la semiretta che ha l’origine nel vertice dell’angolo e lo divide in due parti uguali.

• Rette e angoli convessiDue rette s e t che si incontrano in un punto P del piano delimita-no quattro angoli convessi che hanno come lati due semirette dis-tinte e non opposte aventi la stessa origine.Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i pro-lungamenti dei lati dell’altro.

• Misura degli angoliPer misurare gli angoli, si divide l’intero angolo giro in 360 parti uguali: ognuna di queste parti è l’angolo unitario e si indica con 1° (angolo grado). Dividendo l’angolo 1° (un grado) in 60 parti uguali si ottiene l’angolo di 1' (un primo); dividendo quest’ultimo in 60 parti uguali avremo l’angolo di 1" (un secondo).

Angolo Misura in gradi Rappresentazione

Angolo retto:i suoi lati sono ortogonali 90°

bV

a

Angolo acuto 0°<α°<90°

bV

a

α

Angolo piatto: i suoi lati sono semirette opposte

180° a b

Angolo ottuso 90°<α°<180°

bV

a

Angolo giro: i suoi lati sono sovrapposti

360° a=bV

V

a

b

V

s

t

P

116

libro ii matematiCa

Angoli consecutivi e angoli adiacenti

cV

a b

Angoli consecutivi. Hanno il vertice ed un lato in comune

cV

a bAngoli adiacenti. Sono consecutivi, quindi con vertice e un lato in comune e gli altri due lati sono uno il pro-lungamento dell’altro

Angoli complementari quando sommati formano un angolo retto.

Angoli supplementari quando sommati formano un angolo piatto.

3   Rette

Rette

incidenti (con un punto in comune) parallele (con nessunpunto in comune)

oblique se formanodue angoli acuti edue ottusi

perpendicolari seformano quattro an-goli retti

P

a bb

a

P

b

a

Per un punto e una retta non passante per quel punto passa una sola retta parallela alla retta data.

Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale

alterni interni (4 e 6; 3 e 5)

alterni esterni (2 e 8; 1 e 7)

coniugati interni (4 e 5; 3 e 6)

coniugati esterni (1 e 8; 2 e 7)

corrispondenti (1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8).

b

a

1 2

4 3

5 6

87c

117

Capitolo 3 Geometria elementare

Se due rette parallele sono tagliate da una trasversale formano: — una coppia di angoli alterni (interni ed esterni) uguali; — una coppia di angoli corrispondenti uguali; — una coppia di angoli coniugati (interni ed esterni) supplementari.

• Fascio di rette parallele

Si dice fascio di rette parallele l’insieme di tutte le rette del piano che sono parallele a una data retta.

Teorema di Talete

Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali, i seg-menti determinati su una trasversale sono proporzio nali ai cor-rispondenti segmenti dell’altra trasversale.AB : A'B' = BC : B'C' = CD : C'D'

4    I poligoni

• Linea poligonale

Più rette incidenti e appartenenti a uno stesso piano formano, incontrandosi, più angoli. I vertici di questi angoli determinano sul piano stesso un insieme di punti che sono gli estremi di più segmen-ti. L’insieme di questi segmenti viene detto linea poligonale.Una poligonale può essere:

— chiusa se ogni vertice è comune a due lati; — aperta se due vertici appartengono a un solo lato.

• Poligoni

Si dice poligono la parte di piano compresa all’interno di una poligonale chiusa.A, B, C, ...: verticiAB, BC, CD, ...: latiAB = a, BC = b, CD = c, ...: lunghezze dei lati

• Classificazione dei poligoni

I poligoni vengono chiamati in modo diverso a seconda del numero di lati e quindi degli angoli che posseggono:

— triangolo: 3 lati, 3 angoli; — quadrangolo: 4 lati, 4 angoli; — pentagono: 5 lati, 5 angoli; — esagono: 6 lati, 6 angoli; — ettagono: 7 lati, 7 angoli; — ottagono: 8 lati, 8 angoli; — ennagono: 9 lati, 9 angoli; — decagono: 10 lati, 10 angoli; — dodecagono: 12 lati, 12 angoli; — pentadecagono: 15 lati, 15 angoli; — icosagono: 20 lati, 20 angoli.

r r'dc

b

a

D D'

C C'

B B'

A A'

a

A

B

f

F e Ed

D

c

Cb

118

libro ii matematiCa

I poligoni che hanno tutti i lati uguali si dicono equilateri, quelli che hanno gli angoli uguali si dicono equiangoli.I poligoni che posseggono entrambe le suddette caratteristiche si dicono regolari.

Poligoni convessi e poligoni concavi

Poligono convesso. Un poligono si dice convesso quando tutti i suoi punti interni appartengono sempre a uno solo dei due semipiani individuati dalla retta di ogni suo lato.

Poligono concavo. Un poligono si dice concavo quando non sempre i suoi punti interni appartengono a uno solo dei due semipiani individuati dalla retta di ogni suo lato.

Angoli interni e angoli esterni di un poligono

βα

Angolo interno. Si chiama angolo interno di un poligono convesso l’angolo (a) convesso formato dalle semirette di due suoi lati consecutivi.

Angolo esterno. Si chiama angolo esterno di un poligono convesso un angolo (b) adiacente a un angolo interno.

Proprietà degli angoli interni ed esterni di un poligono convesso

• La somma delle ampiezze degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è (n – 2)180°. • La somma delle ampiezze degli angoli esterni di un poligono convesso è 360°, qualunque sia il numero

dei lati. • L’ampiezza di ciascun angolo interno di un poligono equiangolo di n lati è (n – 2)180° : n. • L’ampiezza di ciascun angolo esterno di un poligono equiangolo di n lati è 360° : n.

Diagonale

A

BC

DE

F

Si dice diagonale di un poligono il segmento che unisce due vertici non consecutivi.Ad esempio:AE; BD; CE; …

Perimetro e area

Perimetro. Si dice perimetro di un poligono la somma delle lunghezze dei lati che lo delimitano.

Area. Si dice area di un poligono la misura della superficie contenuta all’interno della poligonale o della linea che lo individua sul piano.Due figure piane occupano una certa parte di piano; se sono sovrapponibili sono uguali e, quindi, hanno uguali superfici. Può accadere, invece, che due superfici, pur non essendo uguali, abbiano la stessa estensione, cioè occupino due parti uguali di piano. Due superfici che abbiano la stessa estensione si dicono equivalenti.

119

Capitolo 3 Geometria elementare

• Poligonisimili

A B

C

D

E

α β

γ

δ

ε

A' B'

C'

D'

E'

α' β'

γ '

δ'

ε'

Due poligoni si dicono simili quando:α = ʹα ; β = ʹβ ; γ = ʹγ ; δ = ʹδ ; ε = ʹε

AB : ʹA ʹB = BC : ʹB ʹC = CD : ʹC ʹD = DE : ʹD ʹE = EA : ʹE ʹA

— I perimetri di due poligoni simili stanno tra loro come due lati omologhi. — Due poligoni regolari dello stesso numero di lati sono simili; i loro perimetri, i loro raggi, le loro apoteme stanno tra loro come due lati omologhi.

— Due poligoni simili stanno tra loro come i quadrati costruiti su due lati omologhi.

5    I triangoli

• Classificazionedeitriangolisecondoilati

Un triangolo si dice:— scaleno(a)se i lati sono tutti diversi;— isoscele(b)se due lati sono uguali;— equilatero(c)se i tre lati sono uguali.

A

B

C

BA

C

A C

B

(a) (b) (c)

• Classificazionedeitriangolisecondogliangoli

Un triangolo si dice:— acutangolo(a) se ha tre angoli acuti;

120

Libro ii MateMatica

—— rettangolo—(b) se ha un angolo retto e due acuti. Sono chiamati:—— cateti i lati che formano l’angolo retto;—— ipotenusa il lato opposto all’angolo retto;

—— ottusangolo—(c) se ha un angolo ottuso e due acuti.

A B

C C

A B A B

C

(a) (b) (c)

• ProprietàdeglielementidiuntriangoloIn un triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza:|a – b|< c < a + b|a – c|< b < a + c|b – c|< a < b + cA lato maggiore (minore) è opposto angolo maggiore (minore) e viceversa:

a > b ⇔α > β

Un angolo esterno è pari alla somma dei due angoli interni non adiacenti:

α ' = β + γ , β ' = α + γ , γ ' = α + β

• Criteridicongruenza

Primo criterio. Due triangoli si dicono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo compreso.

Secondo criterio. Due triangoli si dicono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due angoli e il lato fra essi compreso.

Terzo criterio. Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.

• CriteridisimilitudineDue triangoli si dicono simili se hanno ordinatamente gli angoli congruenti e i lati in proporzione. Si dicono corrispondenti o omologhi i vertici degli angoli uguali e i lati opposti agli angoli uguali.

Primo criterio. Due triangoli si dicono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti.

Secondo criterio. Due triangoli si dicono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo compreso congruente.

Terzo criterio. Due triangoli si dicono simili se hanno tre lati ordinatamente proporzionali.

A C

B

c

b

a

β'β

γγ 'α'

α

121

Capitolo 3 Geometria elementare

• Altezze,mediane,bisettricidiuntriangolo

Altezza. Si dice altezza di un triangolo, relativa a un lato, il segmento perpendicolare condotto dal vertice di un angolo al lato opposto, o al prolungamento di esso.

A B

C

c b

a

hb

ha hc

H

Mediana. Si dice mediana di un lato di un triangolo il segmento di retta uscente dal vertice di un angolo al punto medio del lato opposto.

A B

C

c b

a

ma

mb mc

G

Bisettrice. Si dice bisettrice di un angolo di un triangolo la semiretta uscente dal suo vertice che lo divide in due parti uguali.

A B

C

c b

a

bγ

bα bβ

P

γ

α β

• Perimetroeareadeitriangoli

• PerimetroP = a + b + c

• Semiperimetro

p =P2=

a + b + c2

• Area

A =aha

2=

bhb

2=

chc

2

Formula di Erone

A = p p − a( ) p − b( ) p − c( )

• PuntinotevolidiuntriangoloCircocentro. Gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto (O), detto circocentro del triangolo.Ortocentro. Punto di incontro H delle tre altezze del triangolo.Baricentro. Punto di incontro G delle tre mediane del triangolo. Esso è sempre interno al triango-lo e divide ogni mediana in due parti, delle quali quella uscente da un vertice è il doppio dell’altra.Incentro. Punto P di incontro delle tre bisettrici degli angoli del triangolo.

C

c

A a B

bhb

ha hc

122

libro ii matematiCa

• Teoremisuitriangolirettangoli

Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa ha la stes-sa area del quadrato costruito sui cateti.Sia ABC un triangolo rettangolo in C:

AB = c : ipotenusaAC = b e BC = a : cateti

c 2 = a 2 + b 2 ⇒

a = c 2 – b 2

b = c 2 – a 2

c = a 2 + b 2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

I Teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto ha la stessa area del rettangolo le cui di-mensioni sono isometriche all’ipotenusa e alla proiezione di detto cateto sull’ipotenusa.

II Teorema di Euclide

C

B

a

n

b

c

cA H

b

C

b

A H

h

ha

c m

m

n

B

(I Teorema) (II Teorema)

b2 = c · n h2 = m · n

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altez-za relativa all’ipotenusa ha la stessa area del rettangolo le cui dimensioni sono isometriche alle proiezioni dei cate-ti sull’ipotenusa.Sia ABC un triangolo rettangolo in C:AC = b: cateto;AB = c: ipotenusa;CH = h : altezza relativa ad AB ;AH = n: proiezione di AC su AB;BH = m : proiezione di BC su AB.

6 Iquadrilateri

I quadrilateri sono poligoni con quattro lati e quattro angoli; essi hanno, inoltre, due diagonali.

Proprietà

α + ʹα =180°; β + ʹβ =180°; γ + ʹγ =180°; δ + ʹδ =180°

α +β +γ +δ = 360°

ʹα + ʹβ + ʹγ + ʹδ = 360°

α +γ = β +δ =180°

AB +CD =BC + AD

C

A B

aab

cb

c

B

A

β'

β

γ '

γ

C

D

α'

α

δ'

δ

123

Capitolo 3 Geometria elementare

• TrapezioQuadrilatero con due lati paralleli e due non paralleli. I due lati paralleli si dicono basi, gli altri lati obliqui.

Trapezio rettangolo: se un lato è perpendicolare alle due basi

Trapezio isoscele: se i due lati obliqui sono uguali; in questo caso gli angoli adiacenti alle due basi sono uguali e le diagonali sono uguali.

Trapezio scaleno: se i lati obliqui sono disuguali; in questo caso anche gli angoli adiacenti alle basi e le diagonali sono disuguali.

• Perimetroearea

P = a + b + c + d A = a + c( ) ⋅h2

• Parallelogramma-Rettangolo-Rombo-Quadrato

Parallelogramma.Quadrilatero con i quattro lati paralleli a due a due: i lati opposti sono uguali così come gli angoli opposti. Le diagonali dividono il parallelogramma in due triangoli uguali e si bisecano nel loro punto medio.

Formuledirette Formuleinverse C

DA

B

b

a

P = 2 ⋅ a + b( ) h =Aa

A = a ⋅h a =Ah

Rettangolo. Parallelogramma con i quattro angoli uguali e retti.

Formuledirette Formuleinverse

DA a

CB

dbP = 2 ⋅ a + b( ) a =

Ab

; b =

Aa

A = a ⋅b d = a2 + b2

Rombo. Parallelogramma con quattro lati uguali e paralleli a due a due e gli angoli opposti ugua-li. Le diagonali sono perpendicolari.

Formuledirette Formuleinverse

D

A

a

C

B

cd

b

d1

d2

P = 4a a =P4

; d1 =

2Ad2

A =d1 ⋅d2

2d2 =

2Ad1

; a =

d12

2+

d22

2

C

DA

B b

a

d

c

124

Libro ii MateMatica

Quadrato. Parallelogramma con quattro lati uguali e quattro angoli uguali e retti. Le diagonali ri-sultano uguali e perpendicolari.

Formule dirette Formule inverse

a

CB

DA

d

P = 4a a =P4

; a = A

A = a2 =d2

2a =

d 22

; d = a 2

7   Circonferenza e cerchio

•  La circonferenzaLa circonferenza è il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto centro.La distanza comune di questi punti dal centro è detta raggio (r) della circon-ferenza.Le corde sono segmenti di retta che uniscono due punti di circonferenza. Un particolare tipo di corda passante per il centro è il diametro (d) che vale due volte il raggio.

• Lunghezza e raggio di una circonferenza

C = 2πr = πd; r = C2π

• Arco di una circonferenzaSi dice arco di una circonferenza ciascuna delle due parti di circonferenza delimitate da una corda:

AB = l = πr180°

⋅α

• Circonferenze interne e circonferenze concentricheDue circonferenze si dicono interne l’una all’altra se il centro di una si trova in uno dei punti con-tenuti all’interno dell’altra.Si dicono concentriche se hanno il centro coincidente in uno stesso punto e raggi diversi.

• Angoli al centro e angoli alla circonferenza

Angoli al centro. Con il vertice nel centro e i lati aventi in comune con la circonferenza almeno un punto.Angoli alla circonferenza. Con il vertice in un punto della circonferenza e i lati aventi in comune con la cir-conferenza almeno un punto e che possono essere o due secanti o due tangenti o una tangente e una secante.

Nel caso in cui un angolo al centro e un angolo alla circonferenza abbiano in comune i punti di in-contro dei lati con la circonferenza, l’angolo al centro risulta doppio dell’angolo alla circonferen-za. Inoltre, se un angolo alla circonferenza ha come punti di incontro con la circonferenza stessa gli estremi di un suo diametro, l’angolo risulta sempre retto.

Br

D

C

A

lα

125

capitoLo 3 GeoMetria eLeMentare

•  Il cerchioLa parte di piano delimitata da una circonferenza viene comunemente indicata con il nome di cerchio:

A = πr2

• Settore circolareSi dice settore circolare la parte di cerchio delimitata da due raggi e dall’arco compreso tra essi.Se i due raggi sono allineati il settore circolare diviene semicerchio.

Area del settore circolare AS =A

360°⋅α =

πr2

360°⋅α

C

α

A B

α

• Segmento circolareSi dice segmento circolare una parte di cerchio limitata da una corda e da un arco avente gli stes-si estremi. Se la corda è il diametro, il segmento circolare si chiama semicerchio.Si dice segmento circolare a due basi una parte di cerchio limitata da due corde tra loro parallele.

Area del segmento circolare Asegmento circolare =12

r l − s( ) + sh[ ] C

A

s

B

hα l

8   Formule relative a un poligono regolare

Raggio e apotema di un poligono regolare

CD

BA

Raggio. Si dice raggio di un poligono (regolare) il raggio della circonferenza che passa per tutti i vertici del poligono. Tale circonferenza prende il nome di circonferenza circoscritta.

A

B

C D

E

F

O Apotema. Si dice apotema di un poligono (regolare) il raggio della circonferen-za interna ad esso e perpendicolare ai lati; essa toccherà i punti medi di tutti i lati del poligono. Tale circonferenza prende il nome di circonferenza inscritta.

C

126

Libro ii MateMatica

R

A =nl ⋅a

2=P ⋅a

2l = 2A

naa = 2A

nla = apotema di un poligono regolare di n lati l

Poligono regolare Lato Apotema Area

Triangolo R 3

R2

33

4R 2

Quadrato R 2

22

R 2R 2

Pentagono convesso

R2

10– 2 5

R4

5 +1( )

58

10+2 5R 2

Esagono R

32

R 3

32

R 2

Ottagono convesso R 2− 2

R2

2+ 2 2 2R 2

Decagono convesso

R2

5 – 1( )

R4

10+2 5

54

10– 2 5R 2

Sezione SecondaGeometria nello spazio

1   Rette e piani nello spazio

Si dicono figure solide, o semplicemente solidi, quelle i cui punti non appartengono a uno stes-so piano. La geometria solida, o stereometria, è quella parte della geometria che studia le proprietà e le ca-ratteristiche principali dei solidi.

Postulati

Postulato. Se due punti appartengono a un piano, la retta da essi individuata appartiene al piano. Postulato. Per tre punti non allineati passa un piano e uno solo.Postulato. Per una retta passano infiniti piani.Postulato. Un piano divide lo spazio in due parti, ciascuna delle quali è detta semispazio.

•  Punti, rette e piani nello spazio• Criterio di perpendicolarità tra una retta e un pianoUna retta è perpendicolare a un piano se lo incontra e se è perpendicolare a due rette del piano pas-santi per il punto d’intersezione (piede).

127

capitoLo 3 GeoMetria eLeMentare

Teorema

Se una retta incontra un piano ed è perpendicolare a due rette del piano passanti per il punto d’intersezione, essa è perpendicolare a qualunque altra retta del piano passante per lo stesso punto.

Teorema delle tre perpendicolari

Se dal piede di una perpendicolare a un piano tracciamo la perpendicolare a una qualunque retta del piano, quest’ultima risulta perpendicolare alla retta che congiunge un punto qua-lunque della prima con il piede della seconda.

• ProiezioniSi chiama proiezione di un punto su un piano, il piede della perpendicolare condotta dal punto al piano. Si chiama proiezione di una figura su un piano, la figura co-stituita dalle proiezioni sul piano dei punti della figura data.

• Distanza di un punto da un pianoSi chiama distanza di un punto da un piano il segmento, di perpendicolare al piano, compreso fra il punto e il piano stesso.

• Angolo di una retta con un pianoSi dice angolo di una retta obliqua con un piano l’angolo acuto che la retta forma con la sua proiezione sul piano.

Teorema

Se una retta è obliqua rispetto a un piano, l’angolo acuto che essa forma con la sua proiezione sul piano è minore dell’angolo che essa forma con ogni altra retta del piano passante per il punto d’incontro.

• Rette nello spazio

Rette complanari. Giacciono nello stesso piano:

— incidenti. Hanno un punto in comune. — parallele. Non hanno alcun punto in

comune.

r sα

r ssr

α

Rette sghembe. Non hanno punti in comune e non esiste alcun piano che le contiene entrambe.

r

s

α

c

rP

B0

A

Ca

b

P'

α

s

r

α

0

P

HK

r'

128

Libro ii MateMatica

• Parallelismotraunarettaeunpianoetrapiani

Parallelismo tra una retta e un piano. Una retta si dice parallela a un piano se non ha alcun punto in comune con esso.

Parallelismo tra piani. Due piani si dicono paralleli se non hanno alcun punto in comune.

• FasciodipianiparalleliInsieme di tutti i piani paralleli a un piano assegnato.

Teorema di Talete nello spazio

Se un fascio di piani paralleli è tagliato da due trasversali, i segmenti determinati su una trasversa-le sono proporzionali ai corrispondenti segmenti dell’altra trasversale.

2   Diedri

• Intersezionediduepiani

Teorema

Se due piani distinti hanno un punto in comune, essi hanno in comune tutta una retta passante per quel punto.

• DiedroCiascuna delle due parti in cui lo spazio rimane diviso da due semipiani a e b aventi la stessa origine r.

• DiedroconvessoediedroconcavoUn diedro ab si dice convesso quando non contiene i semipiani opposti ad a e b, concavo quando contiene i semipiani opposti ad a e b.

Tipologie

rΔ

β

αDiedro retto. Le facce del diedro sono ortogonali tra loro.

Δ

r

αβDiedro piatto. Le facce del diedro sono opposte.

r Δ

αβ

Diedro giro. Le facce coincidono e il diedro ha solo punti interni.Due semipiani coincidenti dividono lo spazio in due diedri: uno convesso detto nullo, l’altro concavo detto giro.

• DiedriconsecutiviDue diedri si dicono consecutivi se la loro intersezione è una faccia comune a entrambi.

Diedri adiacenti. Due diedri consecutivi si dicono adiacenti o supplementari se la loro unione è un diedro piatto.

Diedri complementari. Due diedri consecutivi si dicono complementari se la loro unione è un diedro retto.

129

capitoLo 3 GeoMetria eLeMentare

• SezionenormalediundiedroSi dice sezionenormaledi un diedro l’angolo che si ottiene tagliando il diedro con un piano per-pendicolare allo spigolo.

• PianiperpendicolariDue piani si dicono perpendicolarise formano un diedro retto (tale cioè che la sua sezione normale sia un angolo retto).

α ⊥ β

3   Angoloidi

Si dice angoloide l’insieme dei punti comuni agli n diedri convessi de-terminato da n semirette, uscenti da uno stesso punto e di cui tre non giacenti nello stesso piano, e dai piani formati da queste semirette due a due in un determinato ordine, in modo che ciascun piano lasci le al-tre semirette tutte da una stessa parte.

• Elementicaratteristicia, b, c, d, e: spigoli dell’angoloide V: vertice dell’angoloide

ab ,

bc ,

cd ,

de ,

ea : facce dell’angoloide

Proprietà di un angoloide

In un angoloide ogni faccia è minore della somma di tutte le altre.La somma delle facce di un angoloide convesso è minore di un quattro diedri retti.

4   Poliedri

• SuperficiepoliedricaSi dice superficiepoliedrica ogni figura costituita da poligoni situati in piani diversi e disposti in modo che ognuno dei lati sia comune a due di essi e che il piano di ciascun poligono lasci tutti gli altri da una stessa parte.

• PoliedroSi dice poliedro l’insieme dei punti comuni a tutti gli angoloidi aventi per vertici e per spigoli i ver-tici e gli spigoli di una superficie poliedrica. Si dicono faccedel poliedro le facce di questi angoloidi e diedri del poliedro i diedri di questi angoloidi.

• CriteriodiuguaglianzaDue poliedri si dicono uguali se hanno ordinatamente uguali gli angoloidi e le facce.

• ElementicaratteristiciFacce: le facce degli angoloidi.Spigoli: i loro lati.Vertici: gli estremi di questi lati.

Un poliedro non può possedere meno di quattro facce e la somma delle varie superfici viene det-ta superficie laterale.

r

β

αB

A

0

V

cba d

e

130

Libro ii MateMatica

Legenda dei poliedri

s =spigoloPB=perimetrodibasea =apotemaSB=superficiedibaseSl =superficielateraleSt =superficietotaleV =volumediunpoliedro(misuradellospaziocheoccupa)d =diagonale

• Tipologiedipoliedri

POLIEDRI

Poliedriregolaricubi tetraedri

regolariprismi piramidi

Principio di Cavalieri

Se due solidi hanno uguale altezza e se le sezioni tagliate da piani paralleli alle basi e ugualmen-te distanti da queste stanno sempre in un dato rapporto, anche i volumi dei solidi staranno in que-sto rapporto.

• Prisma• PrismafinitoSi dice prismafinito, o semplicemente prisma, il poliedro che si ottiene tagliando un prisma indefinito con due piani paralleli.

I due poliedri uguali si dicono basi del prisma, i loro lati spigo-lidibase, e la loro distanza altezza del prisma.I parallelogrammi si dicono faccelaterali del prisma e i loro lati si dicono spigolilaterali del prisma.

• PrismarettoUn prisma si dice retto se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai poligoni di base; si dice rego-lare quando le basi sono poligoni regolari.

Sl = PB ⋅h St = Sl + 2SB V = SB ⋅h

• ParallelepipedoSi dice parallelepipedoun prisma avente per base un parallelogramma. Due facce di un parallelepipedo si dicono opposte se non hanno spigoli in comune. Due vertici si dicono opposti se non appartengono alla stessa faccia. Il segmento di retta che unisce due vertici opposti viene detto diagonale.

h

B

131

capitoLo 3 GeoMetria eLeMentare

• ParallelepipedorettangoloUn parallelepipedo si dice rettoquando gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi, in tal caso tutte le facce e le basi, sono dei rettangoli.Se tutti gli angoli sono retti, il parallelepipedo si dice ret-tangolo.Le tre dimensioni (a, b e c) si dicono rispettivamente: lun-ghezza, larghezza, altezza. Le quattro diagonali sono tut-te uguali.

Sl = 2c a + b( ) St = 2 ab + ac + bc( )

V = abc d = a2 + b2 + c2

• CuboSi dice cubo un parallelepipedo rettangolo che possiede le tre di-mensioni uguali. Ciò vuol dire che gli spigoli sono tutti uguali e le facce sono tutte quadrati uguali.

Sl = 4s2 St = 6s2 V = s3 d = s 3

• PiramideSi dice piramide un poliedro che si ottiene tagliando un ango-loide con un piano non passante per il vertice. È costituita da un poligono qualsiasi detto base e da tanti triangoli detti facce late-rali, aventi tutti un vertice in comune e in numero pari ai lati del poligono di base.La distanza tra il vertice comune dei triangoli laterali (vertice della piramide) e la base è detta altezza della piramide, mentre l’altezza dei triangoli viene detta apo-tema della piramide nel caso che sia uguale per ogni triangolo.

• PiramideregolareUna piramide si dice retta quando nel poligono di base si può inscrivere un cer-chio e quando il piede dell’altezza cade nel centro del cerchio.Una piramide si dice regolare quando, oltre ad essere retta, ha per base un poli-gono regolare.

Sl =s2

PB St = Sl + SB V =SB ⋅h

3

• TroncodipiramideSupponendo di tagliare una piramide con un piano tra il vertice e la base si ottiene un poliedro detto troncodipiramide.

• TroncodipiramiderettoSe il piano è parallelo alla base e la piramide è retta, il tronco è retto.

Sl =s2

PB + P ʹB( ) St = Sl + SB + S ʹB V =h3

SB + S ʹB + SB ⋅S ʹB( )

c

a

db

E F

GH

A B

CDd

B

V

B

B'

s

132

Libro ii MateMatica

• PoliedriregolariUn poliedro si dice regolare se le sue facce sono costituite da poligoni regolari uguali e angoli uguali.

• RelazionediEulero(peripoliedriregolari)F +V = S + 2

—— F = numero delle facce;—— V = numero dei vertici;—— S = numero degli spigoli.

Poliedroregolare Poligono Facce Vertici Spigoli

Spigoli concorrenti in un vertice

Area della

superficieVolume

Tetraedro triangolo 4 4 6 3 s2 3

112

s 3 2

Cubo o esaedro quadrato 6 8 12 3 6s 2 s3

Ottaedro triangolo 8 6 12 4 2s 2 3

13

s 3 2

Dodecaedro pentagono 12 20 30 3 15s 2 5+2 5

5 s 3 15+7 5

4

Icosaedro triangolo 20 12 30 5 s2 5 3

s 3

5 3+ 5( )12

5 Solididirotazione

• SuperficiedirotazioneSuperficie che si ottiene facendo ruotare una linea intorno a una retta fissa con essa complanare. La linea che ruota si chiama generatrice e la retta fissa si chiama assedirotazione.

• SolidodirotazioneSolido individuato mediante la rotazione completa di una superficie piana intorno a una retta del suo piano.La superficie che ruota si chiama superficiegeneratrice.

• Cilindro• CilindrocircolarerettoSolido generato dalla rotazione di un rettangolo intorno a uno dei suoi lati.La superficie laterale di questo solido è la superficie curva compresa tra le due basi; le basi sono due cerchi paralleli e uguali. Si chiama raggiodel cilindro il raggio di uno di questi cerchi.La distanza tra i due cerchi di base si dice altezza del cilindro.

Sl = 2πrh St = 2πrh + 2πr2 = 2πr h + r( ) V = πr2hUn cilindro si dice equilatero quando h = 2r .

h

r

133

capitoLo 3 GeoMetria eLeMentare

• Cono• ConocircolarerettoSolido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo intorno a un cateto.L’ipotenusa del triangolo rettangolo si dice apotema del cono.La base del cono è rappresentata da un cerchio il cui raggio è uguale al cate-to, che non è, però, quello intorno a cui avviene la rotazione.La distanza del vertice dal centro del cerchio di base del cono è chiamata altezza.

Sl = πra (a = apotema) St = πra +πr2 = πr a + r( )

V =13πr2h a = h2 + r2

Un cono si dice equilatero quando a = 2r .

• Troncodicono• TroncodiconorettoSolido che si ottiene tagliando un cono con un piano parallelo alla base, posto fra la base e il vertice oppure il solido generato dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo intorno al lato perpendicolare alle due basi.Il tronco di cono ha due basi entrambe circolari (aventi raggi rispettivi R—e r) e la distanza tra i due corrispettivi centri viene detta altezza del tronco di cono.Il lato obliquo del trapezio che lo genera ruotando si dice apotema.

Sl = π R + r( )a (a = apotema)

St = π R + r( )a +πR2 +πr2 = π R + r( )a + R2 + r2[ ]

V =13πh R2 + r2 + Rr( )

• Superficiesfericaesfera• SuperficiesfericaLuogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso detto centro, o, il che è lo stesso, la superficie generata dalla rotazione di una semicirconferenza attorno a una retta passante per il suo diametro. Il raggiodella superficie sferica è la distanza di un suo punto qualsiasi dal centro.

Circonferenza massima. Circonferenza, segnata sulla superficie sferica, che ha lo stesso raggio della superficie sferica.

Circonferenza minore. Circonferenza che ha un raggio minore di quello della sfera.

• SferaLa sfera è il solido costituito dai punti di una superficie sferica e dai pun-ti interni a essa, o, il che è lo stesso, il solido generato dalla rotazione com-pleta di un semicerchio intorno a un suo diametro.Il centro, il raggio e il diametro di tale semicerchio si dicono anche centro, raggio e diametro della sfera.

S = 4πr2 V =43πr3

h

s

r

h

R

r

h

r

134