PONTE DI WHEATSTONE

Generalità: Un metodo classico per la misura di resistenze di ordine medio, è quello del ponte di Wheatstone. Una schematizzazione di tale ponte è riportata in figura.

Figura- Schema elettrico del Ponte di Wheatstone

Come si può vedere dallo schema elettrico, il ponte di Wheatstone risulta formato da quattro resistenze connesse in modo dà realizzare i quattro lati di un quadrilatero. Le due diagonali di tale quadrilatero sono dette diagonale di alimentazione (quella ai cui capi è collegata la tensione continua di alimentazione V) e diagonale di rilevazione (quella in cui è inserito il galvanometro G con funzione di rivelatore di zero). In uno dei quattro lati del ponte è inserito il resistore di resistenza incognita RX, mentre gli altri tre lati contengono resistori campione (la cui resistenza è quindi nota all’operatore). Il metodo del ponte di Wheatstone richiede che almeno una delle tre resistenze note sia variabile. In particolare, nello schema riportato in figura il resistore variabile è indicato con RC. In genere, tale resistore è realizzato con un resistore a decadi. Il rilevatore di zero G, posto tra i nodi A e B, può essere realizzato sia con un rivelatore di corrente che con un rivelatore di tensione. È comunque importante che esso sia particolarmente sensibile in modo da poter rilevare la condizione di azzeramento di corrente o di tensione nella diagonale di rivelazione. Per adempiere a tale compito esso è inoltre caratterizzato da una scala a zero centrale, capace, cioè, di apprezzare correnti o tensioni di polarità sia positiva che negativa. Quando il rivelatore di zero indica la condizione di azzeramento nella diagonale di rivelazione (condizione individuata dall'indice del galvanometro nella posizione centrale di zero), si dice che il ponte ha raggiunto la condizione di equilibrio. Il generatore di tensione continua E alimenta il ponte attraverso il potenziometro R e fa scorrere, da C verso D, una corrente che si ripartisce tra i due rami comprendenti rispettivamente il nodo A e il nodo B. Applicando le relazioni del partitore di tensione ai due rami del ponte, si possono calcolare i potenziali dei nodi A e B rispetto al nodo D (preso come potenziale di riferimento) e quindi la differenza di potenziale VAB:

+

−+

⋅=−=

+⋅=

+⋅=

CX

C

BA

BBAAB

CX

CB

BA

BA

RRR

RRRVVVV

RRRVV

RRRVV

Imponendo la condizione VAB=0, si ricava la relazione che lega le quattro resistenze del ponte, quando è verificata la condizione di equilibrio:

CAXBCBCACBXBCX

C

BA

BAB RRRRRRRRRRRR

RRR

RRRV =⇒+=+⇒

+=

+⇒= 0

In questa condizione il prodotto delle resistenze dei due lati opposti eguaglia il prodotto delle altre due. È quindi possibile dedurre la resistenza incognita RX:

CB

AX R

RRR =

Di conseguenza, per ricavare il valore della resistenza incognita RX, si può agire o sul valore del rapporto RA/RB o sul valore della resistenza RC. Nel seguito si farà riferimento alla soluzione con RA/RB costante ed RC variabile.

Procedura di misura Nella fase iniziale della misura, il valore di RC potrebbe essere molto diverso da quello che soddisfa la condizione di equilibrio, per cui la corrente nel ramo AB potrebbe essere di valore troppo elevato rispetto al fondo scala del rivelatore di zero. Di conseguenza, si preferisce alimentare il circuito del ponte di Wheatstone con tensioni variabili, usando tensioni molto basse in fase iniziale, quando cioè si rischia di essere lontani dalla condizione di equilibrio del ponte. Agendo sul resistore a decadi RC, si porta il ponte in condizioni prossime a quelle di equilibrio, procedendo, poi ad aumentare la tensione di alimentazione. Si procede poi, per approssimazioni successive, operando alternativamente con azzeramenti del ponte ed aumenti della tensione di alimentazione. Operando con tale procedura, si ha il vantaggio di raggiungere elevate sensibilità del ponte senza correre il rischio di danneggiare il rivelatore di zero (il quale opera sempre con correnti o tensioni prossime a zero, inizialmente a causa di una bassa tensione di alimentazione, successivamente per il raggiungimento della condizione di equilibrio). L’azzeramento del ponte si effettua operando sul resistore a decadi RC, mentre il circuito potenziometrico (realizzato con il reostato R) viene usato per incrementare la tensione di alimentazione man mano che si procede nel raggiungimento della condizione di equilibrio. In tale procedura, all’aumentare della tensione di alimentazione, si opera sulle decadi via via meno significative della resistenza campione RC. Al crescere della sensibilità del ponte, può risultare impossibile raggiungere l’azzeramento del rivelatore di zero in quanto la resistenza campione a decadi, per sua natura, fornisce variazioni discrete di resistenza (in genere con risoluzione massima del decimo di ohm). Il valore di equilibrio può essere, in tal caso, desunto adoperando una tecnica di interpolazione lineare. Si supponga, ad esempio, di aver cablato un ponte di Wheatstone in cui risulti RA=RB=1000 Ω e di voler misurare una resistenza RX=8715,73 Ω operando con un resistore campione con decade meno significativa di 0.1 Ω/step. In tale ipotesi, non si riesce a portare a zero l'indice del galvanometro né impostando RC=8715,7 Ω , né con RC =8715,8 Ω. Si può ,allora, effettuare l'interpolazione del valore di RX col seguente procedimento. Se con RC=8715,7 Ω l'indice del rivelatore di zero devia da un lato (per esempio a sinistra dello zero), di 5 divisione e con RC=8715,8 Ω devia, invece, dall'altro lato di 10 divisioni, si può ricavare il valore di ∆RX da aggiungere a 8715,7 Ω onde avere il valore della RX. Ipotizzando la linearità del rivelatore di zero nell’intorno dello zero, si esegue l’interpolazione lineare per calcolare ∆RX e quindi ricavare RX.

( ) ( )( )

( ) Ω=+=

Ω==⋅

=∆

∆=∆=−−−

37,871530,07,8715

30,031,0

1551,0

5:15:1,05:105:7,87158,8715

X

X

X

X

R

R

RR

In figura si riporta, per maggiore chiarezza, una interpretazione grafica del procedimento sopra descritto. A tal fine, si riportano, in senso opposto rispetto al segmento AC=0,1 Ω (eguale cioè alla differenza tra 8715,8 e 8715,7 ), le due deviazioni AB = 5 e CD = 10 (cioè due segmenti ad esse proporzionali), si congiungono gli estremi B e D di tali segmenti e l’intercetta individua il punto O sul segmento AC che rappresenta appunto il valore interpolato (8715,73 Ω):

8715,73 Ω

8715,7 Ω

8715,8Ω

5

10

A

C

O

B

D

05 10

Interpolazione lineare

Valutazione incertezza L'incertezza sulla misura di RX può essere valutata applicando la legge di propagazione dell'incertezza suggerita dalle Norma UNICEI 9 alla formula che esprime la condizione di equilibrio. In realtà, la sensibilità del galvanometro non è infinita, (e ciò comporta che esso indica una corrente nulla anche quando la corrente è inferiore ad un certo valore minimo). Di conseguenza nella relazione di equilibrio bisogna tener conto che non si è sensibili a variazioni di resistenza che determinano il passaggio di una corrente inferiore a quella minima determinata dalla sensibilità del metodo. Di questo se ne può tendere conto riscrivendo la relazione di equilibrio nel seguente modo:

SCB

AX RR

RRR +=

in cui RS rappresenta appunto la variazione di resistenza RX che darebbe luogo ad uno spostamento dell'ago del galvanometro della minima quantità apprezzabile. Per la valutazione di RS si può procedere in due modi distinti: approccio sperimentale o approccio teorico. In entrambi i casi bisogna valutare il minimo scostamento RS di RX a cui il ponte è sensibile.

Approccio sperimentale per la valutazione dell'incertezza di sensibilita' Ipotizzando un comportamento lineare intorno allo zero del galvanometro è possibile scrivere:

λλ

λλ dRRdRR XSSX ⋅

∆∆

=⇒=∆∆ ::

in cui: ∆RX è la variazione ipotetica di resistenza RX a cui corrisponde uno spostamento dell’indice del rivelatore di zero di ∆λ deviazioni, RS l’incertezza di sensibilità, dλ il minimo spostamento apprezzabile dell’indice del galvanometro (per esempio di 0,5 deviazioni).

Ne consegue che RS si potrebbe valutare dando variazione significative a RX e, ipotizzando la linearità del galvanometro nell’intorno dello zero, individuando la variazione che sarebbe necessario imprimere ad RX per ottenere la minima variazione appressabile sul galvanometro. Nella frase precedente è stato usato il condizionale in quanto non si può fisicamente dare una variazione alla resistenza incognita RX che è stata supposta fissa. Però, osservando la relazione di equilibrio del ponte e differenziandone ambo i membri si ottiene:

C

C

CB

A

C

B

A

X

C

B

A

X

X

CB

AC

B

AX

CB

AX

RR

RRRR

RR

RR

RR

RR

RRRR

RRR

RRRR

∆=

⋅

∆⋅=

∆⋅=

∆

∆⋅=

⋅∆=∆

⋅=

Quindi, la RS si può valutare dando una variazione significativa alla resistenza campione RC (resistenza variabile) anziché ad RX. Ne consegue che si può scrivere:

λλdRR C

S ⋅∆

∆=

Proviamo a valutare l’incertezza di sensibilità per via sperimentale con riferimento all'esempio numerico precedentemente riportato. Impostando RC=8715,7Ω erano state riscontrate 5 deviazioni a sinistra dello 0, mentre impostando RC=8715,8Ω erano state riscontrate 10 deviazioni a destra dello 0. Inoltre si è ipotizzato che l'operatore riesce ad apprezzare ½ divisione. Risulta che ∆RC=(8715,8−8715,7)=0,1Ω, ∆λ=(5-(-10))=15 deviazioni, dλ=0,5 (mezza deviazione). Sostituendo tali valori nella formula precedente si ricava:

Ω=⋅=⋅∆

∆= 300,05,0

151,0λ

λdRR C

S

Approccio teorico Scomponendo il circuito del ponte di Wheatstone nel circuito equivalente di Thevenin tra i punti A e B. Ipotizzando nulla la resistenza interna dell'alimentatore si ha:

CX

CX

BA

BAEQ RR

RRRRRRR

+⋅

++⋅

=

La tensione a vuoto risulta:

+

−+

⋅=BA

A

CX

X

RRR

RRREE0

Individuato il circuito equivalente secondo Thevenin, per risalire al valore di RS si ricordi che essa è definita come la variazione di resistenza dalle condizioni di equilibrio alla quale corrisponde un passaggio di corrente nel galvanometro pari alla minima corrente alla quale il galvanometro è sensibile (IMIN):

IEQMIN RR

EI+

∆= 0

in cui ∆E0 è la variazione di tensione rispetto alla condizione di equilibrio dovuta alla variazione di RS. Per ricavare ∆E0 si può ipotizzare di trovarsi in condizioni di linearità. Tale approssimazione è valida poiché la variazione RS è sufficientemente piccola. L’ipotesi di linearità implica che ∆E0 = k RS in cui il coefficiente k esprime un coefficiente di sensibilità che, come al solito, può essere posto sotto forma di derivata parziale:

XREk

∂∂

= 0

Dalle precedenti relazioni risulta che ∆E0 è esprimibile come:

( ) SX

IEQMIN RRERRIE ⋅

∂∂

=+⋅=∆ 00

da cui risulta: ( )

X

IEQMINS

RE

RRIR

∂∂

+⋅=

0

La corrente IMIN si può esprimere, in base alla costante strumentale specifiche del galvanometro KG. La costante strumentale di un galvanometro può essere espressa in due modi: o come ampere/divisione oppure come divisioni/ampere. Esprimendo tale costante come ampere/divisione, la corrente che circola nel galvanometro si ottiene moltiplicando la deflessione dell’indice (espressa in numero di divisioni) per tale costante:

λdKI GMIN ⋅= Questa costante è concettualmente l'inverso della sensibilità, intesa come qualità dello strumento, nel senso che quanto più piccola è KG tanto migliore è la sensibilità dello strumento. Sostituendo IMIN nell’espressione di RS si ottiene:

( )

X

IEQGS

RE

RRdKR

∂∂

+⋅⋅=

0

λ

Infine per calcolare RS bisogna ancora valutare il termine XRE

∂

∂ 0 derivando l’espressione di E0

rispetto ad RX.

( ) ( ) 222

220

0

11

+

=

+⋅

=+

=+

−+=

∂∂

⇒

+

−+

⋅=

RxRRR

RE

RxRR

RERR

RERRRRRE

RE

RRR

RRREE

C

X

C

XCX

C

CX

C

CX

XCX

X

BA

A

CX

X

da cui infine si ricava:

( )

2

1

+

+⋅⋅=

RxRRR

RE

RRdKR

C

X

C

X

IEQGS

λ

Tecnica della doppia pesata Risulta conveniente utilizzare due resistori RA ed RB caratterizzati dagli stessi valori nominali. A causa della loro incertezza i due valori effettivi di RA ed RB saranno differenti. Effettuando due misure e scambiando di posto RA ed RB si ha:

2

1

CA

BX

CB

AX

RRRR

RRRR

=

=

in cui RC1 ed RC2 rappresentano i valori della resistenza a decadi in corrispondenza dei due equilibri. Moltiplicando membro a membro si ha:

21212

CCXCCX RRRRRR ⋅=⇒⋅=