“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi” Milano - 4 ottobre 2014...

““Pitagora e Euclide. Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, Giochi matematici con triangoli,

quadrati e cerchi”quadrati e cerchi”

Milano - 4 ottobre 2014

Nando Geronimi

PARIGI 2014

““Pitagora e Euclide. Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, Giochi matematici con triangoli,

quadrati e cerchi”quadrati e cerchi”

"Giochi, Modelli, Storia“ Milano 3-4-5 ottobre 2013

Milano - 4 ottobre 2014

Nando Geronimi

LA DIAGONALE

Nel rettangolo ABCD (con AB > BC) la diagonale AC misura 25 m.

A B

CD

Calcolate la misura di AB sapendo che i lati misurano un numero interi di metri. 25

“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

TERNA PITAGORICA

Una terna pitagorica è una terna di numeri interi positivi a, b, c tali che: a2 + b2 = c2

La prima e più conosciuta terna pitagorica (ridotta)

è: 3, 4, 5 perché 32 + 42 = 52

Da ogni terna pitagorica ridotta del tipo a, b, c si ricavano infinite altre terne pitagoriche (derivate)

moltiplicando ogni numero per un fattore kk intero positivo:

kkaa, k, kbb, k, kcc

Una seconda terna pitagorica (ridotta) è:

5, 12, 13 perché 52+122=132


LA DIAGONALE


A B

CD

Calcolate la misura di AB sapendo che i lati misurano un numero interi di metri.

15 – 20 – 25

2515

20 TERNE PITAGORICHE

3 – 4 – 5 5 – 12 – 13

6 – 8 – 10

9 – 12 – 15

12 – 16 – 20

… e se AC fosse 97 m?


La soluzione è unica?

LA DIAGONALE


A B

CD

Calcolate la misura di AB sapendo che i lati misurano un numero interi di metri. 25


n n2

1 12 43 94 165 256 367 49

24

7

CERCHI E TRAPEZI In figura vedete un trapezio isoscele, le basi In figura vedete un trapezio isoscele, le basi misurano 14 e 20 cm, i lati sono tangenti a misurano 14 e 20 cm, i lati sono tangenti a una circonferenza. una circonferenza.

Qual è (in cmQual è (in cm22) l’area del cerchio?) l’area del cerchio?P.S. P.S. Nel calcolo, scrivete 22/7 al posto di π.Nel calcolo, scrivete 22/7 al posto di π.

A B

CD

K

H

O

I


CERCHI E TRAPEZI

A B

CD

K

H

O

AH=1/2 (AB) = 10 cm

DH=1/2 (CD) = 7 cm

I

OH = √(AH x DH) = √ (10 x 7)

Area cerchio: 10 x 7 x 22/7 = 220 cm2

In figura vedete un trapezio isoscele, le basi In figura vedete un trapezio isoscele, le basi misurano 14 e 20 cm, i lati sono tangenti a misurano 14 e 20 cm, i lati sono tangenti a una circonferenzauna circonferenza

Qual è (in cmQual è (in cm22) l’area del cerchio?) l’area del cerchio?P.S. P.S. Nel calcolo, scrivete 22/7 al posto di π.Nel calcolo, scrivete 22/7 al posto di π.

Per il 2° teorema di Euclide:

Il triangolo AOD è rettangolo in O


UN QUADRILATERO NEL QUADRATO

I triangoli AFD e GFB sono simili e il loro rapporto di similitudine è ½; allora: HF = ½ FN, e HF=1/3 HN.

G

NH

Il triangolo AFD è 1/6 del quadrato ABCD.

Il triangolo AEI è 1/5 del triangolo ABI, il quale è ¼ del quadrato.

L’area della parte ombreggiata (differenza tra le aree di AFD e AEI) è 1/6 – 1/20 = 7/60 dell’area del quadrato ABCD e misura: 302 x 7/60 = 105 cm2

Il triangolo AEI è 1/20 del quadrato ABCD.

Nel quadrato ABCD, i punti I e K Nel quadrato ABCD, i punti I e K sono i punti medi di AD e di CD.sono i punti medi di AD e di CD.Sapendo che il lato del Sapendo che il lato del quadrato misura 30 cm, quadrato misura 30 cm, quanto misura l’area del quanto misura l’area del quadrilatero DIEF? quadrilatero DIEF?


LA BICI E LA PRESA D’ARIA

Una bicicletta è accuratamente Una bicicletta è accuratamente appoggiata ad un muro. In questo appoggiata ad un muro. In questo muro, a livello del suolo, si trova muro, a livello del suolo, si trova una presa d’aria quadrata. una presa d’aria quadrata. Curiosamente i due angoli Curiosamente i due angoli superiori della presa d’aria, superiori della presa d’aria, coincidono con due punti della coincidono con due punti della ruota, come indicato nella figura.ruota, come indicato nella figura.

Sapendo che il lato della presa Sapendo che il lato della presa d’aria misura 56 cm, d’aria misura 56 cm, quanto quanto misura il diametro della ruota misura il diametro della ruota della bicicletta?della bicicletta? Dare la risposta Dare la risposta in centimetri, arrotondando in centimetri, arrotondando eventualmente al centimetro più eventualmente al centimetro più vicino.vicino.



A B

C

H

D

K

1° Teorema di Euclide: KH = DH2 / MH

M

AD = MH = 2 AH

Teorema di Pitagora:DH2 = AD2 + AH2

DH2 = (2AH)2 + AH2 = 5 AH2

KH = 5 AH2 / 2 AH = (5/2) AH = (5/4) AD

AD = 56 cm

KH = (5/4) 56 = 70 cm


L’EREDITA’ (Finale nazionale 2014)

Amerigo e Renato hanno ricevuto in eredità il Amerigo e Renato hanno ricevuto in eredità il terreno che vedete in figura. È una buona terreno che vedete in figura. È una buona eredità, anche se il perimetro non raggiunge i eredità, anche se il perimetro non raggiunge i 10.000 decimetri. Si sono allora diviso il 10.000 decimetri. Si sono allora diviso il terreno in due parti che hanno, ciascuna, la terreno in due parti che hanno, ciascuna, la forma di un triangolo rettangolo; il lato forma di un triangolo rettangolo; il lato comune ha una lunghezza di 2014 dm e la comune ha una lunghezza di 2014 dm e la misura di ogni lato è espressa da un numero misura di ogni lato è espressa da un numero intero di dm.intero di dm.

Qual è esattamente il perimetro dell’intero Qual è esattamente il perimetro dell’intero terreno?terreno?

AB

C

D

2014


TERNA PITAGORICA

Una terna pitagorica è una terna di numeri interi positivi

a, b, c tali che a2 + b2 = c2

Quante terne pitagoriche si conoscono?

Calcolate:

a: m2 – n2

Scrivete due numeri m e n interi positivi (m>n)

Esempi:

m=2, n=1

a: 22 – 12 = 3

b: 2x2x1 = 4

c: 22 + 12 = 5

Esempi:

m=3, n=2

a: 32 – 22 = 5

b: 2x3x2 = 12

c: 32 + 22 = 13

Esempi:

m=5, n=2

a: 52 – 22 = 21

b: 2x5x2 = 20

c: 52 + 22 = 29


b: 2mn

c: m2+n2

L’EREDITA’ (Finale nazionale 2014)

Amerigo e Renato hanno ricevuto in eredità il Amerigo e Renato hanno ricevuto in eredità il terreno che vedete in figura. È una buona terreno che vedete in figura. È una buona eredità, anche se il perimetro non raggiunge i eredità, anche se il perimetro non raggiunge i 10.000 decimetri. Si sono allora diviso il 10.000 decimetri. Si sono allora diviso il terreno in due parti che hanno, ciascuna, la terreno in due parti che hanno, ciascuna, la forma di un triangolo rettangolo; il lato forma di un triangolo rettangolo; il lato comune ha una lunghezza di 2014 dm e la comune ha una lunghezza di 2014 dm e la misura di ogni lato è espressa da un numero misura di ogni lato è espressa da un numero intero di dm.intero di dm.

Qual è esattamente il perimetro dell’intero Qual è esattamente il perimetro dell’intero terreno?terreno?

2014 = 2 x 53 x 19

AB = 532-192=2809-361= 2448

2° triangolo rettangolo: ipotenusa=2014=2x19x53=2x19x(49+4)=2x19x(72+22),

AB

C

D

CB = 532+192=2809+361= 3170

m=7, n=2

CD= 2x19x(72-22) = 2x19x(49-4) = 2x19x45=1710

Perimetro = 2448+3170+1710+1064= 8392 dm2

AD= 2x19x2x7x2=1064

2014


LA DIVISIONE DI EUGENIOIl grande architetto Eugenio Itor adorava i numeri interi. Ammiratore di Pitagora e Talete, acquistò il campo triangolare rappresentato in figura i cui lati misuravano, maliziosamente,AB = 13 √63 m, AC = 15 √63 m BC = 14 √63 m. Quando morì, i suoi due figli, Delim e Facil, si divisero il terreno in due parti aventi la stessa area. Delim e Facil decisero di costruire un muro di separazione rettilineo e perpendicolare al lato BC.Quanti metri misura, arrotondata al Quanti metri misura, arrotondata al centimetro, la lunghezza del muro di centimetro, la lunghezza del muro di separazione?separazione?Prendere 2,646 per √7 Prendere 2,646 per √7

AB = 13 √63 m AC = 15 √63 m BC = 14 √63 m


LA DIVISIONE DI EUGENIO

AB = 13 √63 m AC = 15 √63 m BC = 14 √63 m

Perché nonAB = 39 √7 m AC = 45 √7 m BC = 42 √7 m?

13

14

15

12

5 9


LA DIVISIONE DI EUGENIO

L’area del triangolo ABC misura 14x12/2 = 84 u2

AB = 13 √63 m AC = 15 √63 m BC = 14 √63 m

Perché nonAB = 13x3 x√7 = 39 √7 m AC = 15x3x √7 = 45 √7 m BC = 14x3 x√7 = 42 √7 m?

13

14

15

12

5 9

Il triangolo KMC (simile al triangolo AHC) deve avere un’area di 42 u2.

H

L’area del triangolo AHC misura 9x12/2 = 54 u2

MC/HC = √(42/54) = √(7) /3

HC = 9 x 3 x √7

MC = 9 x 3 x √7 x √7 /3 =63

MK = 12 x 3 x √7 x √7 / 3 = 84 m“Pitagora e Euclide. Giochi matematici con triangoli, quadrati e cerchi”

TERNA PITAGORICA

Scrivete due numeri a piacere.

Scrivete poi un terzo numero uguale alla somma dei primi due.

Scrivere ora un quarto numero uguale alla somma degli ultimi due

Calcolate il prodotto tra il primo e il quarto.

Calcolate il doppio prodotto tra il secondo e il terzo.

Avete trovato i primi due numeri una terna pitagorica!

Esempio:

1° numero: 2

2° numero: 3

3° numero: 5

4° numero: 8

2x8=16

2x3x5=3032+52 = 34

Qual è il terzo numero?

Il quadrato del secondo più il quadrato del terzo.

162+302 = 342


TERNA PITAGORICA di FIBO

La successione di Fibonacci:

1, 1, 2 , 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ………..

Prendiamo 4 numeri consecutivi della successione.

Esempio: 5, 8, 13, 21.

Il prodotto tra il primo e il quarto numero: 5x21=105,

il doppio prodotto tra il secondo e il terzo: 2x8x13=208

√(1052+2082) =√(11025+43264) = √54289) = 233

105, 208, 233


TERNA PITAGORICA di FIBO

Una generica successione di Fibonacci:

a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b, 13a+21b …

Prendiamo i primi 4 numeri consecutivi della successione.

a, b, a+b, a+2b

Il prodotto tra il primo e il quarto numero: a2+2ab

il doppio prodotto tra il secondo e il terzo: 2ab+2b2

sono i primi due termini di una terna pitagorica

Il terzo numero è (a+b)2 +b2


IL PONTE SUL LAGO

I due fratelli Pagne e Pion hanno ereditato ciascuno I due fratelli Pagne e Pion hanno ereditato ciascuno un giardino e un campo di forma quadrata, tutti un giardino e un campo di forma quadrata, tutti diversi, che circondano un lago quadrangolare; diversi, che circondano un lago quadrangolare;

l’angolo formato dalle due superfici di Pagne è rettol’angolo formato dalle due superfici di Pagne è retto.. Pion è furente! Facendo una passeggiata Pion è furente! Facendo una passeggiata lungo i 600 metri del perimetro del lago, lungo i 600 metri del perimetro del lago, si è accorto che suo fratello possedeva 600 si è accorto che suo fratello possedeva 600 mm22 più di lui; ciò non è evidente poiché il più di lui; ciò non è evidente poiché il lato del giardino di Pagne misura solo un lato del giardino di Pagne misura solo un metro in più del lato del proprio giardinometro in più del lato del proprio giardino. .

Sapendo che il ponte e i lati di tutti i quadrati Sapendo che il ponte e i lati di tutti i quadrati misurano numeri interi di metri, misurano numeri interi di metri, quanto è quanto è lungo il ponte? lungo il ponte? (Suggerimento: la soluzione è unica ed è un (Suggerimento: la soluzione è unica ed è un multiplo di 5)multiplo di 5)

Campo di Pion

Giardinodi Pion

Giardino di Pagne

Campo di Pagne

Ponte sul lago


IL PONTE SUL LAGO

Campo di Pion

Giardinodi Pion

Giardino di Pagne

Campo di Pagne

Ponte sul lago

BA

D

C

AD: xAB: yCD: wBC: z

w = x-1x+y+w+z=600x2+y2=w2+z2+600

I due fratelli Pagne e Pion hanno ereditato ciascuno I due fratelli Pagne e Pion hanno ereditato ciascuno un giardino e un campo di forma quadrata, tutti un giardino e un campo di forma quadrata, tutti diversi, che circondano un lago quadrangolare; diversi, che circondano un lago quadrangolare;

l’angolo formato dalle due superfici di Pagne è retto.l’angolo formato dalle due superfici di Pagne è retto. Pion è furente! Facendo una passeggiata Pion è furente! Facendo una passeggiata lungo i 600 metri del perimetro del lago, lungo i 600 metri del perimetro del lago, si è accorto che suo fratello possedeva 600 si è accorto che suo fratello possedeva 600 mm22 più di lui; ciò non è evidente poiché il più di lui; ciò non è evidente poiché il lato del giardino di Pagne misura solo un lato del giardino di Pagne misura solo un metro in più del lato del proprio giardinometro in più del lato del proprio giardino. .

Sapendo che il ponte e i lati di tutti i quadrati Sapendo che il ponte e i lati di tutti i quadrati misurano numeri interi di metri, misurano numeri interi di metri, quanto è quanto è lungo il ponte? lungo il ponte? (Suggerimento: la soluzione è unica ed è un (Suggerimento: la soluzione è unica ed è un multiplo di 5)multiplo di 5)

x

y

wz


IL PONTE SUL LAGOw = x-1

Campo di Pion

Giardinodi Pion

Giardino di Pagne

Campo di Pagne

Ponte sul lago

BA

D

C


x2+y2 = (x-1)2+z2+600

x2+y2 = x2-2x+1+z2+600

y2 - z2= 601-2x

x+y+x-1+z=600 y+z=601-2x

(y–z) (y+z)= y+z y= 1+z

(1+z)2 = -2x+1+z2+600 1+2z+z2 = -2x+1+z2+600z = -x+300

y= 301-x w = x-1x+y+w+z=600x2+y2=w2+z2+600



Campo di Pion

Giardinodi Pion

Giardino di Pagne

Campo di Pagne

Ponte sul lago

BA

D

C


x2+y2=w2+z2+600

x2+y2 = (x-1)2+z2+600

x2+y2 = x2-2x+1+z2+600

y2 - z2= 601-2x

x+y+x-1+z=600 y+z=601-2x

(y–z) (y+z)= y+z y= 1+z

(1+z)2 = -2x+1+z2+600 1+2z+z2 = -2x+1+z2+600z = -x+300

y= 301-x w = x-1

x+y+w+z=600I lati y, w, z sono espressi in funzione di x



Campo di Pion

Giardinodi Pion

Giardino di Pagne

Campo di Pagne

Ponte sul lago

BA

D

Cz = -x+300

y= 301-x

x2+y2=n2

(Suggerimento: la soluzione è unica ed è un multiplo di 5)

x, y, n è una terna pitagoricaderivata da 3, 4, 5 ?

Se si allora: y=4/3 x

4/3 x = 301 - x

7/3 x = 301

x = 129 = (3x43) y = 172 = (4x43) n = 215 = (5x43)

w = 128 z = 171Il ponte è lungo 215 metri


ARBELO

La decorazione in legno che ricorda un arbelo, è stata ricavata La decorazione in legno che ricorda un arbelo, è stata ricavata da un semicilindro di diametro AB da cui sono stati tagliati da un semicilindro di diametro AB da cui sono stati tagliati due semicilindri di diametro AC e BC; il punto C divide AB due semicilindri di diametro AC e BC; il punto C divide AB in due parti tali che AC = 3 BC. in due parti tali che AC = 3 BC.

Sapendo che il semicilidro originale pesava esattamente 8 kg, Sapendo che il semicilidro originale pesava esattamente 8 kg, quanto pesa l’arbelo?quanto pesa l’arbelo?

L’area dell’arbelo è equivalente all’area del cerchio che ha per diametro il segmento CD.

Se il semicilindro pesava 8 kg allora la decorazione pesa 3 kg.

L’arbelo è i 3/8 del semicilindro

Area semicilindro: 42π /2 = 8 π Area arbelo: 3 π

Se AB= 8, allora AC=6, BC=2 e, per il 2° di Euclide, CD=2√3.

L’arbelo che parte è del semicilindro?


Il casco del cavaliere(Semifinale 2012)

Nella figura (simmetrica rispetto all’asse Nella figura (simmetrica rispetto all’asse verticale) vedete un casco da cavaliere. I verticale) vedete un casco da cavaliere. I cinque vertici del pentagono sono situati cinque vertici del pentagono sono situati su una stessa circonferenza. I tre lati più su una stessa circonferenza. I tre lati più piccoli dello stesso pentagono hanno una piccoli dello stesso pentagono hanno una lunghezza uguale al raggio di questa lunghezza uguale al raggio di questa circonferenza, ovvero di 25 cm. I punti circonferenza, ovvero di 25 cm. I punti medi dei lati maggiori del pentagono medi dei lati maggiori del pentagono delimitano la base inferiore del triangolo delimitano la base inferiore del triangolo grigio (che rappresenta la visiera del grigio (che rappresenta la visiera del casco); i vertici alti del triangolo grigio e casco); i vertici alti del triangolo grigio e del pentagono coincidono.del pentagono coincidono.•Qual è la superficie della visiera del Qual è la superficie della visiera del casco (espressa in cmcasco (espressa in cm22 e arrotondata al e arrotondata al cmcm22 più vicino)? più vicino)?•Nota: se necessario, per scrivere il Nota: se necessario, per scrivere il risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; 1,732 per √3 ; 2,236 per √51,732 per √3 ; 2,236 per √5).).


Il casco del cavaliere

Nella figura (simmetrica rispetto all’asse Nella figura (simmetrica rispetto all’asse verticale) vedete un casco da cavaliere. I verticale) vedete un casco da cavaliere. I cinque vertici del pentagono sono situati cinque vertici del pentagono sono situati su una stessa circonferenza. I tre lati più su una stessa circonferenza. I tre lati più piccoli dello stesso pentagono hanno una piccoli dello stesso pentagono hanno una lunghezza uguale al raggio di questa lunghezza uguale al raggio di questa circonferenza, ovvero di 25 cm. I punti circonferenza, ovvero di 25 cm. I punti medi dei lati maggiori del pentagono medi dei lati maggiori del pentagono delimitano la base inferiore del triangolo delimitano la base inferiore del triangolo grigio (che rappresenta la visiera del grigio (che rappresenta la visiera del casco); i vertici alti del triangolo grigio e casco); i vertici alti del triangolo grigio e del pentagono coincidono.del pentagono coincidono.•Qual è la superficie della visiera del Qual è la superficie della visiera del casco (espressa in cmcasco (espressa in cm22 e arrotondata al e arrotondata al cmcm22 più vicino)? più vicino)?•Nota: se necessario, per scrivere il Nota: se necessario, per scrivere il risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; 1,732 per √3 ; 2,236 per √5).1,732 per √3 ; 2,236 per √5).

A B

C

D

E

M N

O

r = AB = CD = DE = 25 cm

S(MND) = ?



ED=rAE=r√2EM=r√2/2DM=EM x sen 105°/sen 30° (teorema dei seni)Il triangolo MND è equilatero.S(MND) = DM2 sen60° x 1/2………………..

•Nota: se necessario, per scrivere il risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; 1,732 per √3 ; 2,236 per √5).

A B

C

D

E

M N

O

r = AB = CD = DE = 25 cm

120°

60°

90°

45°

30°

S(MND) = ?



EC = r √3 MN = (EC+AB)/2 = r (√3 +1)/2MH = MN/2 = r (√3 +1)/4DH = (MH)√3 = r (√3 +1)√3/4 = r (3+√3)/4

S (MND) = MHxDH = [r (√3 +1)/4] x [r (3+√3)/4 ] == r2 (6+4 √3)/16 == 625 (6+6,928)/16 = 625 x 12,928 /16 = = 505 cm2

•Nota: se necessario, per scrivere il risultato finale si prenderà 1,414 per √2 ; 1,732 per √3 ; 2,236 per √5).

A B

C

D

E

M N

O

r = AB = CD = DE = 25 cm

S(MND) = ?

H


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