Pierdaniele Giaretta

Linguaggio della logica

predicativa

Nozioni fondamentali

(Ai fini dell’esame studiare soprattutto le pp. 9-18)

Per lo studio delle leggi logiche e delle forme inferenziali più

complesse sono utili

ALCUNE DISTINZIONI

che qui vengono presentate in modo intuitivo, facendo riferimento

al linguaggio naturale integrato mediante l’aggiunta di variabili per

oggetti. (Gli oggetti possono avere natura molto diversa e, in

particolare, non sono necessariamente entità concrete inanimate.

Possono essere anche esseri viventi o entità astratte.)

Termine singolare: espressione che designa un oggetto specifico.

Esempi:

“Maria”, “Giorgio”, “0” (nomi propri)

“2+2”, “(0x5)+1” (termini funzionali, cioè costruiti mediante simboli di operazioni o funzioni)

“Il presidente della repubblica italiana”, “Il più piccolo numero naturale” (descrizioni definite)

funzione enunciativa (o proposizionale): espressione che siottiene da un enunciato sostituendo termini singolari con variabili.

Esempi:

x è rosso

x ama Maria

x ama y

Osservazioni:

• E’ naturale inserire una stessa variabile per ogni occorrenza dello stesso termine e variabili diverse per termini diversi, ma ciò non è strettamente necessario al fine di ottenere una funzione enunciativa.

• Una funzione enunciativa diventa valutabile come vera o falsa non appena siano fissati i valori delle variabili in essa occorrenti.

Funzione designatoria: espressione che si ottiene da un termine funzionale o da una descrizione definita sostituendo nomi propri con variabili.

Esempi:

x2 + y

il preside di x

Osservazione:

• E’ naturale inserire una stessa variabile per ogni occorrenza dello stesso nome e variabili diverse per nomi diversi, ma ciò non è strettamente necessario al fine di ottenere una funzione designatoria.

Assunzione:

• Ogni funzione designatoria designa un oggetto specifico non appena siano fissati i valori delle variabili in essa occorrenti.

Esempi di funzioni enunciative (fe), funzioni designatorie (fd), enunciati (e), termini funzionali (tf), descrizioni definite (dd) e altro (a):

x è multiplo di 3 __fe__

x+2 __fd__

il preside di Facoltà __dd__

(x + 3) = y __fe__

il padre di x __fd__

x è il preside di Facoltà __fe__

per ogni x, y<x __fe__

il padre dello studente che ho incontrato __dd__

x x __fe__

se x è il padre di x, x x __fe__

il centro di x __fd__

per ogni x __a__

qualche preside di Facoltà __a__

x2 __fd__

2 y __fe__

2 2 e 22 __a__

per ogni x esiste un y tale x y __e__

c’è un preside di Facoltà __e__

2 = y __fe__

2 + 2 __tf__

esiste un y tale che per ogni x tale x y __e__

2 + 2 = 4 __e__

almeno un gatto __a__

non piove __e__

x non è biondo __fe__

QUANTIFICATORI

In logica le espressioni “per ogni” ed “esiste almeno un” (o “c’è almeno un”), chiamate rispettivamente “quantificatore universale” e “quantificatore esistenziale”, vengono applicate a variabili occorrenti in funzioni enunciative. Alcuni esempi del loro uso sono già stati dati. Altri esempi sono i seguenti:

per ogni x, x studia

per ogni x, x studia x lavora

esiste almeno un x tale che y ama x

per ogni y esiste almeno un x tale che y ama x

x è un uomo & esiste almeno un y tale che x è a destra di y

Un linguaggio che contenga i connettivi vero-funzionali e i quantificatori è dotato di grande capacità espressiva, poiché in esso è possibile parafrasare anche enunciati costruiti con espressioni quali, ad es., “tutti gli avvocati”, “qualche gatto”, “nessuna penna”, come mostrano le seguenti traduzioni:

ogni sigaretta è nociva

per ogni x, x è una sigaretta x è nociva

nessuna sigaretta è nociva

per ogni x, x è una sigaretta (x è nociva)

qualche sigaretta è nociva

c’è almeno un x tale che x è una sigaretta & x è nociva

qualche sigaretta non è nociva

c’è almeno un x tale che x è una sigaretta & (x è nociva)

non ogni sigaretta è nociva (per ogni x, x è una sigaretta x è nociva)

tutti gli avvocati sono furbi

per ogni x, x è un avvocato x è furbo

nessuno ama Giorgio

per ogni x, (x ama Giorgio)

non tutti amano Giorgio per ogni x, x ama Giorgio

c’è uno che è più bravo di tutti

c’è un x tale che per ogni y x è più bravo di y

non tutte le auto inquinano

(per ogni x, x è un’auto x inquina)

qualche auto non inquina

c’è almeno un x tale che x è un’auto & (x inquina)

chi ha un cane ha un amico

per ogni x, ((esiste un y tale che y è un cane & x ha y) (esiste un y tale y è un amico & x ha y))

Maria non ha alcuna auto (c’è almeno un x tale che x è un’auto & Maria ha x)

qualcuno è amato da tutti

c’è almeno un x tale che per ogni y x è amato da y

tutti amano qualcuno

per ogni y c’è almeno un x tale che y ama x

qualche cane è simpatico a tutti

c’è almeno un x tale che (x è un cane & per ogni y x è simpatico a y)

ogni vino è bianco o rosso

per ogni x (x è un vino (x è bianco x è rosso))

I quantificatori sono espressioni mediante le quali a partire da funzioni enunciative si possono ottenere enunciati o altre funzioni enunciative.

esiste almeno un x tale che x è italiano

esiste almeno un x tale che x è italiano

esiste almeno un x tale che x ama y

esiste almeno un x tale che x ama y

Un quantificatore si applica ad una variabile di una funzione enunciativa e il valore di verità della sua applicazione dipende da quali sono i valori di verità della funzione enunciativa per tutti i possibili valori della variabile.

Il valore di verità di

esiste almeno un x tale che x è italiano

dipende da quali sono i valori di x. Se tra di essi ce n’è almeno uno che soddisfa - detto intuitivamente: rende vera - la funzioneenunciativa “x è italiano”, allora il valore di verità è V, altrimenti è F. Analogamente, il valore di verità di

per ogni x, x è italiano

dipende da quali sono i valori di x. Se tutti soddisfano - detto intuitivamente: rendono vera - la funzione “x è italiano”, allora il valore di verità è V, altrimenti è F. Analogamente nei casi di

esiste almeno un x tale che x ama y

per ogni x, x ama y

ma bisogna notare che in questi casi il valore di verità dipende dai

valori di verità della funzione enunciativa per tutti i possibili valori

della variabile di x solo relativamente a un dato valore di y. In altre

parole tali funzioni sono valutabili come vere o false solo dopo

che è stato fissato il valore di y.

I valori delle variabili alle quali sono applicati i quantificatori

“per ogni” e “esiste almeno un” costituiscono il cosiddetto

dominio di quantificazione. Affinché sia determinato il valore

di verità degli enunciati e delle funzioni enunciative nelle quali

occorrono quantificatori è necessario che un tale dominio sia

fissato. In logica si assume che il dominio di tutti i quantificatori

occorrenti in un enunciato o in una funzione enunciativa sia

unico, che ad esso appartengano anche i valori delle variabili

libere e, infine, che rispetto ad esso siano totalmente definite le

funzioni enunciative di base (proprietà e relazioni), nel senso

che esse risultino vere o false per ogni determinazione dei loro

argomenti all’interno del dominio.

FORMALIZZAZIONE

Per i quantificatori si usano i seguenti simboli:

per ogni

esiste almeno un

Se si rappresentano le funzioni enunciative di base (proprietà e

relazioni) mediante lettere predicative, dette per brevità

“predicati”, e precisamente predicati unari (a un posto di

argomento) per proprietà [P, Q, ...], predicati binari (a due posti

di argomento) per relazioni binarie [R, S,..], predicati n-ari (a n

posti di argomento) per relazioni n-arie, e si adotta la

convenzione di anteporre i predicati ai loro argomenti, si possono

costruire forme enunciative, o formule, quali, ad es.:

P(a) a è P

P(x) x è P

x P(x) ogni x è P

R(a, y) a sta nella relazione R con y

y R(a, y) a sta nella relazione R con qualche y

R(x, y) x sta nella relazione R con y

x y R(x, y) ogni x sta nella relazione R con qualche y

x (P(x) Q(x)) ogni P è Q

x (P(x) Q(x)) nessun P è Q

x (P(x) Q(x)) qualche P è Q

x (P(x) Q(x)) qualche P non è Q

La lettera a che è stata usata in alcuni degli esempi precedenti,

non è una variabile ma una costante, precisamente una

costante individuale. Le costanti individuali rappresentano

oggetti specifici; in quanto tali, sono assimilabili ai nomi propri e

non possono essere quantificate. Come costanti individuali si

possono usare le prime lettere dell’alfabeto: a, b, c, …

Formule quali P(x) e R(x, y) rappresentano funzioni enunciative

(proprietà e relazioni) e non funzioni designatorie, sono cioè

espressioni di funzioni che hanno valori di verità (V o F) come

valori e non espressioni di funzioni che hanno oggetti come

valori (assumendo che i valori di verità non siano oggetti). Per

rappresentare le funzioni che prendono oggetti come valori si

introducono le lettere f, g, …, dette “lettere funzionali”, e si

usano queste lettere per costruire termini singolari. Ad es. “f(a)”

può essere usato per indicare il successore di 0, cioè 1,

attraverso l’interpretazione di “a” come nome del numero 0 e

l’interpretazione di “f” come lettera che sta per la funzione

successore. Analogamente si può usare la lettera g

per rappresentare una funzione che assegna ad un soggetto

umano il valore del suo livello glicemico: in questa

interpretazione “g(s)” sta per il numero che misura il livello

glicemico di s. Naturalmente anche questi termini possono

essere argomenti di predicati, ma per semplicità non li

prendiamo in considerazione in questa breve introduzione dei

primi elementi di logica.

RIFORMULAZIONE E GENERALIZZAZIONE di

NOZIONI LOGICO-SEMANTICHE

Relativamente ad un linguaggio basato su un alfabeto di predicati, costanti individuali, variabili individuali e quantificatoriil valore di verità di un enunciato dipende da

1) qual è il dominio entro il quale si assume che prendano valore le variabili quantificate (o vincolate);

2) quale proprietà o relazione, definita rispetto a tale dominio, si assume sia rappresentata da ciascun predicato.

3) quale oggetto del dominio si assume sia il referente di una costante individuale.

La specificazione di 2) e 3) viene chiamata “interpretazione”. Usando le nozioni di dominio e interpretazione si possono definire nozioni più generali di quelle già definite di tautologia,

equivalenza logica e conseguenza logica. Per semplicità tali definizioni sono date per formule chiuse, cioè per formule che non contengono variabili libere.

Definizione

La formula chiusa X è (logicamente) valida se e solo se è vera in ogni dominio per ogni interpretazione.

Sono logicamente valide le formule che hanno la forma di tautologie:

y R(a, y) y R(a, y)

x P(x) x P(x)

(x P(x) & y R(a, y)) x P(x)

Lo sono anche formule che non hanno la forma di tautologie:

x (P(x) P(x))

xy R(x, y)y R(a, y)

x P(x) x P(x)

Definizione

La formula chiusa X è logicamente equivalente (per brevità log-eq) alla formula chiusa Y se e solo se le formule X e Y sono vere negli stessi domini per le stesse interpretazioni.

Esempi:x P(x) log-eq x P(x) (I legge di De Morgan)

x P(x) log-eq x P(x) (II legge di De Morgan)x P(x) log-eq x P(x) x P(x) log-eq x P(x)

Teorema

La formula chiusa X è logicamente equivalente alla formula chiusa Y se e solo se l’equivalenza X Y è logicamente valida.

Ne segue che sono logicamente valide:

x P(x) x P(x)

x P(x) x P(x)

x P(x) x P(x)

x P(x) x P(x)

Definizione

La formula chiusa X è conseguenza logica delle formule chiuse Y1, …, Yn (o segue logicamente da Y1, …, Yn, per

brevità Y1, …, Yn I= X) se e solo se in ogni dominio ogni

interpretazione che rende vere Y1, …, Yn rende vera

anche X.[Equivalentemente: …se e solo se non ci sono alcun dominio ed alcuna interpretazione tali che Y1, …, Yn risultino vere e

X falsa]

Esempi:

x P(x) I=P(a)

x P(x) I= x P(x)

P(a) I= xP(x)x (P(x) Q(x)), x P(x)I= x Q(x)

Teorema

La formula chiusa X è conseguenza logica delle formule chiuse Y1, …, Yn (o segue logicamente da Y1, …, Yn, per brevità

Y1, …, Yn I= X) se e solo se la formula (Y1 & … & Yn ) X

è logicamente valida.

Ne segue che sono logicamente valide:

x P(x) P(a) x P(x) x P(x) P(a) xP(x)

x (P(x) Q(x)) & x P(x)) x Q(x)

Ci sono REGOLE D’INFERENZA che riguardano specificamentei quantificatori. Regole semplici, che risultano intuitivamente evidenti, sono le seguenti:

Eliminazione del quantificatore universale

x P(x)

P(a)

Introduzione del quantificatore esistenziale

P(a)

xP(x)

Regole formalmente e concettualmente più complesse sono quelle che permettono di dedurre una quantificazione universalee di dedurre da una quantificazione esistenziale. Accenniamo solo che la regola per la deduzione di una quantificazione universale formalizza l’idea che si può generalizzare a tutti se si è ragionato su un individuo qualsiasi del dominio, mentre la regola per la deduzione da una quantificazione esistenziale

sfrutta l’idea che si può idealmente “scegliere” un individuo che soddisfa la condizione di cui si afferma l’esistenza di individui che la soddisfano e poi limitarsi a dedurre solo qualcosa che non dipenda da caratteristiche che distinguono gli individui che soddisfano tale condizione.

Per tali regole d’inferenza la definizione di validità rimane formalmente la stessa già introdotta per il ragionamento logico-enunciativo, ma ora va ripetuta facendo riferimento alla più generale nozione di conseguenza logica che è stata definita usando le nozioni di dominio e di interpretazione.

Definizione

Una regola d’inferenza è logicamente valida (o logicamente corretta ) se e solo se la conclusione X è conseguenza logica delle premesse Y1, …, Yn..

La validità di una regola si dimostra in modo analogo a quanto suggerito per il ragionamento logico-enunciativo, cioèfacendo vedere che se in un dominio qualunque, per una qualunque interpretazione, le premesse risultano vere, allora, nello stesso dominio e per la stessa interpretazione, anchela conclusione è vera, oppure, in modo equivalente, facendo vedere che non esistono un domino e una interpretazione tali da rendere vere tutte le premesse e falsa la conclusione.Ovviamente la non-validità si dimostra facendo vedere che esistono un domino e una interpretazione tali da rendere vere tutte le premesse e falsa la conclusione.Ad esempio non è corretta la seguente regola:

xP(x)

P(a)

E’ facile specificare un dominio e una interpretazione di “P”

e “a” rispetto al dominio specificato tali che xP(x) risulti

vera e P(a) falsa.

Vale anche per il ragionamento deduttivo con i quantificatoril’osservazione già fatta che nell’attività deduttiva si fanno spesso passi inferenziali complessi che non sono descrivibili come applicazioni di nessuna delle regole d’inferenza introdotte nei manuali di logica. Per valutare la correttezza logica di tali passi si devono individuare le forme delle premesse e della conclusione e verificare se la forma della conclusione segue logicamente dalle forme delle premesse. Naturalmente la nozione di conseguenza logica alla quale si deve fare riferimento è quella più generale.