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M. de Magistris – Appunti di Teoria dei circuiti - 28/10/2009

APPUNTI DI TEORIA DEI CIRCUITI

M. DE MAGISTRIS

A.A. 2009-2010

PARTE I:

APPROFONDIMENTI SU MODELLO CIRCUITALE

E CIRCUITI NON LINEARI


SOMMARIO

1. RICHIAMI SUL MODELLO CIRCUITALE .......................................... 5 ELEMENTI PER LA DESCRIZIONE DEI COMPONENTI .................................................... 6 ELEMENTI PER LA DESCRIZIONE DELLE INTERCONNESSIONI...................................... 9 FORMA CANONICA DELLE EQUAZIONI CIRCUITALI. ................................................. 10

2. BIPOLI FONDAMENTALI ................................................................... 13 ELEMENTI DI CLASSIFICAZIONE .............................................................................. 13 BIPOLI ELEMENTARI A-DINAMICI ............................................................................ 16 CONDENSATORE NON LINEARE ............................................................................... 20 INDUTTORE NON LINEARE....................................................................................... 22

3. DOPPI BIPOLI FONDAMENTALI....................................................... 25 GENERATORI CONTROLLATI ................................................................................... 25 TRASFORMATORE IDEALE E GIRATORE ................................................................... 28 AMPLIFICATORE OPERAZIONALE ............................................................................ 31

Funzionamento in regione lineare ....................................................................33 Funzionamento in regione non lineare .............................................................34

4. CARATTERIZZAZIONI DEGLI M-PORTA LINEARI ....................... 38 RAPPRESENTAZIONE IN FORMA IMPLICITA DEI DOPPI BIPOLI LINEARI ..................... 38 RAPPRESENTAZIONI R, G, H DI DOPPI BIPOLI LINEARI PASSIVI................................ 40 RAPPRESENTAZIONE DI TRASMISSIONE T DI UN DOPPIO BIPOLO LINEARE ............... 42 RAPPRESENTAZIONE “SCATTERING” S DI UN DOPPIO BIPOLO LINEARE.................... 44 DOPPI BIPOLI LINEARI NON RECIPROCI E ATTIVI ...................................................... 47 ALCUNI ESEMPI SUI DOPPI BIPOLI............................................................................ 48 ESTENSIONI AI MULTI-PORTA LINEARI .................................................................... 51

5. COMPLEMENTI DI TOPOLOGIA CIRCUITALE .............................. 54 DEFINIZIONI E PROPRIETÀ RELATIVE AI GRAFI ........................................................ 54 MATRICE DI INCIDENZA DI NODO ............................................................................ 56 MATRICE DI MAGLIA............................................................................................... 59 MATRICE DI TAGLIO................................................................................................ 61 RELAZIONI TRA LE MATRICI TOPOLOGICHE............................................................. 61 RICERCA AUTOMATICA DI UN ALBERO ED ALBERO OTTIMO .................................... 64

6. FORMULAZIONI ALTERNATIVE DELLE EQUAZIONI CIRCUITALI 67

POTENZIALI DI NODO E MATRICE DI INCIDENZA ...................................................... 67 Matrice delle conduttanze ai nodi.....................................................................71 Potenziali di nodo modificato: forma matriciale ..............................................74

CORRENTI DI MAGLIA E MATRICE DI MAGLIA.......................................................... 76 UNA RIVISITAZIONE DEL TEOREMA DI TELLEGEN ................................................... 77 EQUAZIONI CIRCUITALI NELLA FORMA DI STATO .................................................... 78


Interpretazione geometrica della forma canonica e spazio delle configurazioni.......................................................................................................................... 80 Condizioni di esistenza delle equazioni di stato ............................................... 84 Circuito resistivo associato .............................................................................. 86

UNICITÀ DELLA SOLUZIONE PER UN CIRCUITO A-DINAMICO ................................... 90 ALBERO PROPRIO ED EQUAZIONI DI STATO ............................................................. 91

7. CIRCUITI MAL POSTI E FENOMENI DI “IMPASSE”...................... 93 ANALISI CIRCUITO RCDT VIA LINEARIZZAZIONE.................................................... 96 ANALISI QUALITATIVA GLOBALE PER IL CIRCUITO RCDT....................................... 98 CIRCUITO RLDT, “IMPASSE” E FENOMENO DI SALTO.............................................. 99 CIRCUITO RLCDT E SOLUZIONE DELL’IMPASSE ................................................... 103 DINAMICA QUALITATIVA DI UN OSCILLATORE CON SALTO ................................... 105

8. ESISTENZA ED UNICITÀ DELLE SOLUZIONI.............................. 107 FUNZIONE LIPSCHITZIANA:................................................................................... 107 TEOREMA DI PEANO ............................................................................................. 110 TEOREMA DI PICARD-LIENDELOEF ....................................................................... 111 TEOREMA DI ESISTENZA ED UNICITÀ “GLOBALE” ................................................. 111 TEOREMA DI UNICITÀ NEL FUTURO....................................................................... 118 DEFINIZIONI SULLA PASSIVITÀ E VINCOLI ENERGETICI ......................................... 118 CONDIZIONI DI UNICITÀ PER I CIRCUITI DINAMICI ................................................. 120


1. Richiami sul modello circuitale Oggetto della prima parte del corso sarà il modello circuitale con le sue

principali proprietà. Vogliamo dunque richiamare i presupposti fondamentali dal punto di vista fisico e rivisitarne le leggi (assiomi) che lo definiscono.

Un circuito fisico può essere definito come interconnessione di componenti circuitali. Perché tale sistema fisico sia modellabile come circuito, sappiamo che devono essere sostanzialmente trascurabili (dal punto di vista fisico) i fenomeni propagativi. Sotto tali ipotesi, dopo aver individuato nel circuito fisico i componenti e le connessioni (terminali) possiamo definire in modo univoco le grandezze tensione tra i terminali dei componenti ed intensità di corrente negli stessi. In una impostazione assiomatica possiamo guardare a queste grandezze come grandezze fisiche fondamentali, misurabili collegando ai terminali opportuni strumenti di misura (voltmetro ed amperometro). Le tensioni e le intensità di corrente sono, in generale, funzioni del tempo, ma dobbiamo escludere che dipendano dal punto specifico dei terminali dove vengono inseriti il voltmetro e l’amperometro: se ciò capitasse vorrebbe dire che il sistema in analisi non sarebbe adatto ad essere descritto dal modello circuitale!

Nelle ipotesi appena richiamate (cioè che sia possibile definire in modo univoco le tensioni tra i terminali e le intensità di corrente negli stessi) il modello circuitale risulta definito dalla validità dei seguenti postulati:

- per ogni maglia (percorso chiuso tra terminali) la somma (algebrica) delle tensioni è nulla (KVL);

- per ogni nodo (congiunzione tra terminali) la somma (algebrica) delle intensità di corrente è nulla (KCL);

- i componenti possono essere descritti in modo univoco da opportune relazioni tra le tensioni tra i terminali e le intensità di corrente negli stessi.

Per eventuali richiami su tali questioni fondamentali si rimanda, ad esempio, a [2-3].

Ai componenti fisici corrispondono, nel modello circuitale, opportuni elementi circuitali che ne rappresentano i relativi modelli, quali ad esempio il resistore, generatore ideale, il diodo esponenziale etc., così come già noto da

6 Richiami sul modello circuitale


altri corsi. La distinzione tra componente ed elemento circuitale è essenziale, essendo quest’ultimo solo una rappresentazione matematica per il primo. Noi non ci occuperemo, nell’ambito di questo corso, del problema dello studio dei componenti ai fini della loro caratterizzazione; questo è argomento tipico dei corsi di modellistica. Val la pena di sottolineare comunque che, a seconda delle applicazioni e situazioni in esame, lo stesso componente può risultare rappresentato da modelli differenti; un classico esempio è il generatore, che a seconda dei casi è opportuno modellare come “ideale” o “reale”.

Sostituendo dunque ai componenti i corrispondenti elementi circuitali avremo un circuito (modello), che è dunque per definizione una qualsiasi interconnessione tra elementi circuitali.

Lo studio di un circuito fisico tramite il suo modello circuitale si basa (come per qualsiasi altro sistema fisico) su tre passaggi fondamentali: si deve anzitutto costruire il modello circuitale a cominciare dal circuito fisico, sfruttando intuito fisico ed esperienza ingegneristica. Poi bisogna studiare qualitativamente e quantitativamente, con i metodi più appropriati (eventualmente con la simulazione numerica) il modello matematico. Infine i risultati di tale studio vanno verificati sperimentalmente, validando così tutto il processo.

Per i circuiti lineari (cioè quelli per i quali i modelli di tutti i componenti sono lineari) la soluzione del modello si basa su proprietà molto favorevoli, che consentono di esprimere in modo analitico le soluzione, e dunque di poterne determinare “a posteriori” tutte le proprietà. Per i circuiti non lineari la soluzione analitica raramente è disponibile. Bisogna dunque necessariamente affrontare la simulazione numerica. In tal caso, però, è di fondamentale importanza avere informazioni qualitative “a priori” che permettano di valutare l’attendibilità del risultato numerico.

Una volta chiariti i presupposti dell’utilizzo del modello circuitale

vogliamo addentrarci maggiormente nella formulazione delle equazioni circuitali. Per far ciò è utile analizzare gli elementi necessari alla descrizione dei componenti (in termini di grandezze circuitali) e quelli necessari alla descrizione delle loro interconnessioni.

Elementi per la descrizione dei componenti Va anzitutto richiamato che, se è verificata la legge di Kirchhoff per le

tensioni, è possibile associare ai terminali (nodi) degli elementi una funzione potenziale ( )u t in modo tale che la tensione tra due terminali qualsiasi ( )v t può sempre essere espressa tramite la differenza tra i potenziali dei corrispondenti nodi:

Elementi per la descrizione dei componenti 7


( ) ( ) ( )k i jv t u t u t= − (1.1)

(sull’argomento potenziali di nodo torneremo più avanti in modo diffuso). A ciascun terminale (nodo) è dunque possibile associare un potenziale ( )u t ed un’intensità di corrente ( )i t (scegliamo per convenzione sempre il verso di riferimento entrante).

Come abbiamo detto un circuito è definito come una connessione di un numero (finito) di elementi. Ciascun elemento è dotato di un certo numero N di terminali. L’elemento sarà dunque caratterizzabile in generale tramite alcune relazioni tra i potenziali e le intensità di corrente.

Consideriamo un generico elemento con N terminali come rappresentato in Figura 1.1. Preso un qualsiasi terminale come riferimento per i potenziali, possiamo considerare le 1N − tensioni tra i terminali e quello preso come riferimento, e le 1N − intensità di corrente nei terminali (escluso quello di riferimento). Osserviamo che con tale definizione le tensioni corrispondono proprio ai potenziali dei terminali considerati.

Figura 1.1 Un generico N -polo e le sue variabili descrittive

Se per l’elemento valgono le leggi di Kirchhoff, è immediato constatare che:

- ogni altra tensione definibile tra due terminali è immediatamente ricavabile come combinazione di quelle definite;

- l’intensità di corrente del terminale assunto come riferimento è pari alla somma, cambiata di segno, di quelle degli altri 1N − terminali.

Ha senso dunque definire 1 2 1( , ,... )Td N N N Nv v v −=v come il vettore delle

tensioni descrittive, 1 2 1( , ,... )Td Ni i i −=i quello delle correnti descrittive.

Ebbene, la scelta fatta consente di caratterizzare univocamente il componente e di determinare tutte le altre grandezze definibili. L’insieme dv , di



rappresenta dunque, un insieme minimo fondamentale. Si osservi che le variabili descrittive sono in numero pari a 2( 1)N − .

Un caso estremamente importante è quello nel quale il numero di terminali è 2N = ; in tal caso l’insieme delle grandezze descrittive si riduce ad una tensione ed una corrente, ed il componente prende il nome (ben noto) di bipolo.

Nel caso di un N -polo per il quale i terminali sono caratterizzati a coppie dalla stessa intensità di corrente, tali coppie si definiscono porte e l’elemento viene chiamato M -porte; in questo caso si ha che / 2M N= . Il vincolo che le intensità di corrente nei terminali costituenti la porta siano uguali (scelte opportunamente le convenzioni) è un vincolo ulteriore rispetto a quello già evidenziato (cioè che la somma delle intensità di corrente di tutti i terminale è nulla). Esso può essere imposto dalla costituzione dell’elemento così come dal modo in cui l’elemento è collegato al circuito. Per un M -porte, tenuto conto dei vincoli sulle correnti, le variabili descrittive sono M tensioni ed M intensità di corrente.

Va osservato che un generico N -polo può sempre essere considerato come un M − porte con 1M N= − se collegato come in Figura 1.2. Per tale motivo la caratterizzazione degli M − porte assume particolare rilievo nello studio dei circuiti.

Figura 1.2 Caratterizzazione come M -porte di un elemento a 1N M= +

terminali

Nel caso più generale il funzionamento di ciascun dispositivo è descritto, dunque, dalle relazioni esistenti tra le “storie” delle intensità di corrente e delle tensioni descrittive, una volta scelto un insieme di grandezze descrittive:

( , ) 0,d dℑ =v i (1.2)

dove ℑ è in generale un funzionale che dipende solo dall’elemento considerato. È molto importante e frequente il caso in cui tali legami si

Elementi per la descrizione delle interconnessioni 9


riducono ad una natura puramente algebrica, legando dunque in modo istantaneo i valori delle grandezze descrittive:

( , ) 0.d d =f v i (1.3)

Gli elementi circuitali per i quali le relazioni caratteristiche sono di tipo algebrico sono detti a-dinamici, mentre gli altri sono detti dinamici.

Elementi per la descrizione delle interconnessioni Il circuito è dunque l’interconnessione, realizzata attraverso i terminali, di

più elementi circuitali. Abbiamo già definito i nodi come le congiunzioni tra più terminali; se un terminale è connesso ad un nodo diremo che l’elemento stesso è connesso al nodo attraverso il suo terminale.

Nel caso di un elemento a due terminali, esso inevitabilmente sarà connesso a due nodi. È possibile rappresentare graficamente tale circostanza, utilizzando un arco che leghi i due nodi in questione, cui diamo il nome di lato. Se l’elemento in questione ha più terminali, una volta scelto l’insieme delle tensioni e correnti rappresentative, sarà comunque possibile associare opportunamente dei “lati” all’elemento per descriverne la connessione agli altri elementi del circuito. In Figura 1.3 è mostrata la rappresentazione in termini di grafo elementare di un bipolo, di un N -polo e di un M -porte.

Figura 1.3 rappresentazione in termini di grafo elementare di un bipolo, di un

N-polo e di un M-porte.

L’utilizzo di nodi e lati per descrivere la struttura delle interconnessioni tra gli elementi permette di introdurre ed utilizzare i concetti della teoria dei grafi nella descrizione della interconnessioni tra gli elementi nei circuiti. Ciò risulta molto utile per poter scrivere le equazioni di Kirchhoff per il circuito ed analizzarne le rispettive proprietà di indipendenza. Ricordiamo brevemente che si definisce grafo associato al circuito considerato l’insieme dei nodi, dei lati e della relazione (detta di incidenza) che lega i lati ai nodi.



L’uso dei grafi per rappresentare le interconnessioni tra gli elementi circuitali, così come di altri strumenti collegati ad essi (matrici topologiche) consentiranno di approfondire le proprietà del modello circuitale e di trovare diverse formulazioni delle equazioni circuitali. Su questo torneremo diffusamente più avanti.

Equazioni indipendenti di Kirchhoff per i nodi ed esempi Equazioni indipendenti di Kirchhoff per le maglie ed esempi Equazioni indipendenti di Kirchhoff per i tagli ed esempi

(vedi esempi svolti in aula)

Forma canonica delle equazioni circuitali. Si consideri un circuito connesso con n nodi e b lati. Se i lati sono b le

incognite del circuito sono in numero pari a 2b (cioè l’insieme di tutte le tensioni e le intensità di corrente descrittive degli elementi presenti nel circuito. Quali sono le equazioni circuitali fondamentali da utilizzare per la sua analisi? In base a quanto abbiamo visto a proposito delle equazioni di Kirchhoff indipendenti, possiamo dunque costruire il nostro sistema nel modo seguente:

- 1n − equazioni linearmente indipendenti per le intensità di corrente, ottenute applicando la legge di Kirchhoff per le correnti ad 1n − nodi qualsiasi del circuito;

- ( 1)b n− − equazioni linearmente indipendenti alle tensioni, ottenute applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni a ( 1)b n− − maglie indipendenti del circuito

- b equazioni caratteristiche (indipendenti). Il sistema di 2b equazioni (in altrettante incognite) così formulato prende

il nome di forma canonica delle equazioni circuitali. Ricordiamo che in tale sistema le equazioni di Kirchhoff sono algebriche, lineari ed omogenee. Le equazioni caratteristiche possono essere sia di tipo algebrico che di tipo differenziale, a seconda della natura degli elementi. Se il circuito è costituito da soli elementi a-dinamici, le equazioni circuitali sono di tipo algebrico. Se nel circuito ci sono anche elementi dinamici, allora le equazioni circuitali sono di tipo algebrico-differenziale.

Ha senso a questo punto porsi le seguenti questioni: le 2b equazioni circuitali in forma canonica sono tutte indipendenti e compatibili? Ed in tal caso la soluzione è unica?

Forma canonica delle equazioni circuitali. 11


Possiamo certamente affermare che, fatta eccezione di pochi casi molto particolari, le equazioni di interconnessione e le equazioni caratteristiche sono tra loro indipendenti e compatibili. Per quanto riguarda l’unicità della soluzione invece, è importante osservare che va distinto il caso dei circuiti lineari da quello dei circuiti non lineari: infatti mentre per i circuiti lineari, se le equazioni sono indipendenti e compatibili la soluzione è certamente unica, per i circuiti non lineari ciò non è più garantito in generale!

Riferimenti bibliografici: [1] M. HASLER, J. NEIRYNCK, Non Linear Circuits, Artech House, 1986,

ISBN 0-89006-208-0. [2] L.O. CHUA, C.A. DESOER, E.S. KUH, Circuiti Lineari e Non Lineari,

Jackson 1991, ISBN 88-7056-837-7. [3] M. DE MAGISTRIS, G. MIANO, Circuiti, Springer 2007 ISBN: 978-88-470-

0537-2.


2. Bipoli fondamentali Nel costruire il modello circuitale è necessario introdurre un opportuno

“set” di elementi circuitali (dunque non componenti fisici) che ci permetta di costruire i modelli dei circuiti che vogliamo studiare. A tal proposito andiamo a rivisitare le definizioni e la classificazione di elementi per la maggior parte già noti dai corsi precedenti, con obbiettivo di specificarne maggiormente le proprietà matematiche.

È utile osservare che, da un punto di vista formale, l’insieme degli elementi circuitali che vengono generalmente introdotti non è un insieme minimo. Al contrario contiene qualche ridondanza, nel senso che alcuni elementi possono essere espressi tramite altri, e viceversa. D’altro canto tale ridondanza permette spesso una migliore corrispondenza con i componenti fisici.

Elementi di classificazione Come già accennato gli elementi circuitali vanno anzitutto classificati in

due grandi categorie: quelli a-dinamici (o statici, o senza memoria), e quelli dinamici (o con memoria). I primi sono caratterizzati dal fatto che il legame tra le tensioni e le intensità di corrente descrittive è di tipo algebrico, dunque “istantaneo”. Per i secondi, invece, tale legame è in generale di tipo funzionale, e dunque porta in qualche modo memoria della storia temporale precedente all’istante considerato.

Ha senso poi distinguere gli elementi circuitali in tempo-varianti ovvero tempo-invarianti a seconda che le relazioni caratteristiche dipendano o meno esplicitamente dal tempo.

Consideriamo dapprima i bipoli a-dinamici, cioè gli elementi circuitali con soli due terminali e caratteristica di tipo algebrico. Essi sono dunque caratterizzati da un legame costitutivo che può sempre essere espresso in forma implicita come:

( , , ) 0f v i t = (2.1)

14 Bipoli fondamentali


Un componente descritto da una relazione caratteristica algebrica del tipo dell’equazione (2.1) viene definito genericamente “resistore”. Nel caso (piuttosto frequente) in cui la caratteristica non dipenda esplicitamente dal tempo il resistore viene detto tempo invariante:

( , ) 0f v i = (2.2)

Possiamo definire per un generico resistore un valore di tensione

ammissibile se esiste almeno un valore dell’intensità di corrente in corrispondenza del quale la caratteristica è verificata. Analogamente si definisce un’intensità di corrente ammissibile.

Se la (2.2) può essere esplicitata nella forma ( )i g v= il bipolo si dice controllato in tensione: ciò implica che ad ogni valore di tensione v corrisponde un unico valore di intensità di corrente i . Analogamente, se è possibile scrivere ( )v r i= si dirà controllato in corrente.

I concetti appena introdotti hanno un utilizzo alquanto immediato. Difatti: - collegando un generatore di tensione (corrente) in parallelo (serie)

con un resistore per cui quel valore di tensione (corrente) non è ammissibile, il modello non ha soluzione.

- collegando un generatore di tensione (corrente) in parallelo (serie) con un resistore controllato in corrente (tensione) potremmo trovare più soluzioni.

In Figura 2.1 sono mostrati esempi di curve caratteristiche di bipoli per le quali si evidenziano i fenomeni appena esposti.

i

v

i

vV0

I0

(a) (b)

Figura 2.1 a) esempio di tensione non ammissibile per il bipolo considerato; b) esempio di bipolo non caratterizzabile in corrente

In relazione ai bipoli a-dinamici è possibile dare altre definizioni che sono di una certa rilevanza ai fini dello studio delle proprietà dei circuiti. In

Elementi di classificazione 15


particolare, per una generica funzione algebrica f è possibile dare le due seguenti definizioni:

- f funzione “smooth” (analitica, o indefinitamente derivabile) - f funzione “piecewise linear” (lineare a tratti).

Ricordiamo inoltre che una funzione del tipo 1 21

( , ,... )n

n i ii

f x x x b a x=

= +∑ ,si

dice “affine”. Si dice lineare se 0b = . Tali definizioni sono importanti per classificare dal punto di vista delle

proprietà matematiche gli elementi circuitali non lineari, che a loro volta determinano quelle del circuito in cui sono parte.

Nel seguito del corso faremo una forte ipotesi: i nostri resistori saranno sempre o “smooth” o “piecewise linear”. Tale ipotesi, che potrebbe sembrare piuttosto restrittiva, è in realtà abbastanza realistica. Infatti, molto spesso i componenti circuitali vengono modellati con funzioni elementari analitiche, ovvero le caratteristiche note per punti (da misure) vengono interpolate con funzioni lineari a tratti. Vedremo più avanti come estendere tali criteri di classificazione agli elementi dinamici come condensatori o induttori.

Osserviamo infine che le caratteristiche lineari appartengono contempo-raneamente ad entrambe le classi: dunque i modelli di circuiti lineari godranno contemporaneamente delle proprietà di entrambe le classi di circuiti.

Figura 2.2: relazione tra gli insiemi delle funzioni smooth, lineari a tratti e lineari

Dal punto di vista matematico queste due classi di funzioni rappresentano due realtà complementari: le funzioni “smooth” possono essere derivate senza problemi, ma sono intrinsecamente non lineari; viceversa le funzioni lineari a tratti non sono derivabili ovunque, ma sono localmente lineari. Possiamo immaginare di modellare lo stesso componente fisico sia con funzioni smooth



che con funzioni lineari a tratti: in dipendenza dal modello scelto il circuito potrebbe avere proprietà globali abbastanza diverse!

Alla luce di quanto sin qui richiamato riprendiamo ora le definizioni di alcuni elementi circuitali fondamentali.

Bipoli elementari a-dinamici I bipoli elementari a-dinamici rientrano nella generica categoria dei

resistori, il cui simbolo è in generale quello in Figura 2.3. Osserviamo che esso ricorda quello di un resistore lineare, ma è riquadrato da un rettangolo che simboleggia la maggiore generalità. Inoltre, in generale, è necessario distinguere i due terminali, in quanto la caratteristica potrebbe essere non simmetrica, e ciò è simboleggiato dalla banda nera accanto ad uno dei due terminali.

Figura 2.3: simbolo del generico resistore non lineare

Resistore lineare ( v Ri= )

Figura 2.4: (a) simbolo del resistore lineare; (b) curva caratteristica

Bipoli elementari a-dinamici 17


Generatori di tensione e corrente ( ; v e i j= = )

Figura 2.5: (a) simbolo del generatore di tensione (b) curva caratteristica (c)

simbolo del generatore di corrente (d) curva caratteristica

Diodo esponenziale ( )1Tv VSi I e= −

Figura 2.6: (a) simbolo del diodo; (b) curva caratteristica del modello

esponenziale



Diodo zener

Figura 2.7: (a) simbolo del diodo zener; (b) curva caratteristica

Diodo tunnel

Figura 2.8: (a) simbolo del diodo tunnel; (b) curva caratteristica

Tiristore (a gate disconnessa)

Figura 2.9: (a) simbolo del tiristore; (b) curva caratteristica

Bipoli elementari a-dinamici 19


Modello del diodo lineare a tratti

0

0f

i

i G v v

i G v v

= ≥⎧⎪⎨= ≤⎪⎩

Figura 2.10: (a) simbolo del diodo; (b) curva caratteristica del modello lineare a

tratti

Osserviamo che siccome si ha 0, 0f iG G≠ ≠ il bipolo risulterà

controllabile sia in tensione che in corrente. Modello del diodo ideale

0 00 0

v ii v= ≥⎧

⎨ = ≤⎩

Osserviamo che esso non è controllato né in tensione né in corrente, dunque esiste solo la forma implicita ( , ) 0f v i = per la caratteristica.

Figura 2.11: (a) simbolo del diodo; (b) curva caratteristica del modello ideale



Nullatore e noratore Un ruolo a parte meritano i “bipoli” nullatore e noratore, i cui simboli

sono rappresentati in Figura 2.12. Il primo è caratterizzato da 0, 0v i= = , mentre il secondo ammette qualsiasi valore di tensione e corrente ai suoi capi. Essi non sono bipoli a-dinamici in senso stretto, cioè non possiamo descriverli con un legame del tipo ( , ) 0f v i = .

Figura 2.12: (a) simbolo del nullatore; (b) simbolo del noratore

Condensatore non lineare Il condensatore (non lineare) è il bipolo definito dalle relazioni:

( , ) 0f q v

dqidt

=⎧⎪⎨=⎪⎩

(2.3)

Figura 2.13: simbolo del generico condensatore non lineare

Come vediamo dalla definizione, esso è un bipolo dinamico, caratterizzato

da un legame differenziale (lineare) tra le variabili q ed i , e da uno algebrico (in generale non lineare) tra le variabili q e v .

Facciamo anzitutto l’ipotesi che la funzione f sia di tipo “smooth” o lineare a tratti. In analogia poi a quanto definito per i resistori, definiremo i concetti di:

- tensione e carica ammissibili per il condensatore - condensatore controllato in tensione o carica

Condensatore non lineare 21


Vediamo ora al solito alcuni esempi.

Condensatore lineare ( q Cv= ):

dvi Cdt

= (2.4)

Figura 2.14: (a) simbolo del condensatore lineare; (b) curva caratteristica

Diodo Varactor

23

0 00

3( ) 1 ,2

.

vq v C VV

dqidt

⎧⎛ ⎞⎪ = − −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨

⎪=⎪

⎩

Figura 2.15: (a) simbolo del diodo varactor; (b) curva caratteristica



Induttore non lineare

L’induttore (non lineare) è il bipolo definito dalle relazioni:

( ), 0,f i

dvdt

ϕϕ

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

(2.5)

Figura 2.16: Simbolo del generico induttore non lineare

Come vediamo dalla definizione, anch’esso è un bipolo dinamico, caratterizzato da un legame differenziale (lineare) tra le variabili ϕ ed i, e da uno algebrico (in generale non lineare) tra le variabili ϕ e v Anche in questo caso facciamo l’ipotesi che la funzione f sia smooth o lineare a tratti. In analogia poi a quanto definito per i resistori, definiremo i concetti di: - flusso e corrente ammissibili per l’induttore - induttore controllato in flusso o in corrente

Vediamo anche qui alcuni esempi.

Induttore lineare ( Liϕ = ):

div Ldt

= (2.6)

Figura 2.17: (a) simbolo dell’induttore lineare; (b) curva caratteristica

Induttore non lineare 23


Induttore su un nucleo ferromagnetico (con saturazione)

a) approssimazione polinomiale

3i a bϕ ϕ= +

b) approssimazione lineare a tratti

0 01 1 0

0 00

0 01 1 0

1 1

1 1

L L L

iL

L L L

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

⎧ ⎛ ⎞− − >⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠⎪⎪= − ≤ ≤⎨⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ + − < −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

i i

(a) (b)

Figura 2.18 caratteristica di un induttore saturabile: (a) polinomiale; (b) lineare a tratti



Giunzione Josephson

Figura 2.19 Caratteristica di una giunzione Josephson



Jackson 1991, ISBN 88-7056-837-7. [3] M. DE MAGISTRIS, G. MIANO, Circuiti, Springer 2007, ISBN: 978-88-

470-0537-2.


3. Doppi bipoli fondamentali

Abbiamo già incontrato gli elementi circuitali a più terminali, definendone le tensioni e le correnti descrittive, e mettendo in evidenza come possono essere caratterizzati come N-polo. Una situazione molto frequente è che gli elementi a più terminali vengano invece caratterizzati raggruppando i terminali a due a due in “porte”, imponendo che per ciascuna porta le correnti entranti nei terminali siano uguali ed opposte; in tal caso parleremo di M-porte. E’ appena il caso di osservare che, se anche il numero di terminali dell’N-polo originale è dispari, è sempre possibile realizzare opportunamente uno schema di caratterizzazione a multi-porta: basti pensare alla tipica caratterizzazione del transistore, nella quale uno dei tre terminali viene considerato “comune” realizzando così una porta di ingresso ed una di uscita.

Passiamo ora in rassegna alcuni doppi bipoli fondamentali con le loro principali proprietà.

Generatori controllati I generatori controllati sono doppi bipoli adinamici: una delle due

grandezze - tensione o intensità di corrente - ad una delle due porte è funzione una delle due grandezze - tensione o intensità di corrente - all’altra porta. Per convenzione, la porta che funziona da “generatore” è la porta “2” e la porta che “controlla” il generatore è la porta “1”. Considerando tutte le possibili combinazioni si hanno i diversi possibili generatori controllati.

È particolarmente importante il caso dei generatori controllati lineari: in tal caso la grandezza controllata risulta proporzionale alla grandezza di controllo.

Generatore di tensione controllato in tensione

Il generatore di tensione controllato in tensione è un doppio bipolo lineare definito dalle relazioni caratteristiche:

26 Doppi bipoli fondamentali


1

2 1

0,,

iv vα==

(3.1)

dove α è una costante adimensionale detta rapporto di trasferimento di tensione. Il simbolo di questo generatore controllato è riportato in Figura 3.1a. La porta “1” è equivalente ad un circuito aperto e la porta “2” è equivalente ad un generatore ideale di tensione che impone una tensione dipendente linearmente dalla tensione della porta “1”. Generatore di tensione controllato in corrente

Il generatore di tensione controllato in corrente è un doppio bipolo lineare definito dalle relazioni caratteristiche:

1

2 1

0vv ri==

, (3.2)

dove r è una costante, che prende il nome di trans-resistenza del generatore controllato; r si misura in ohm. Il simbolo di questo generatore controllato è riportato in Figura 3.1b La porta “1” è equivalente ad un corto circuito e la porta “2” è equivalente ad un generatore ideale di tensione che impone una tensione dipendente linearmente dall’intensità di corrente della porta “1”.

Figura 3.1: Simboli dei quattro tipi di generatori controllati lineari

Generatori controllati 27


Generatore di corrente controllato in tensione

Il generatore di corrente controllato in tensione è un doppio bipolo lineare definito dalle relazioni caratteristiche:

12

1 0gvi

i==

, (3.3)

dove g è una costante, che prende il nome di trans-conduttanza; g si misura in siemens. Il simbolo di questo generatore controllato è riportato in Figura 3.1c La porta “1” è equivalente ad un circuito aperto e la porta “2” è equivalente ad un generatore di corrente ideale che impone un’intensità di corrente dipendente linearmente dalla tensione della porta “1”.

Generatore di corrente controllato in corrente

Il generatore di corrente controllato in corrente è un doppio bipolo lineare definito dalle relazioni caratteristiche:

12

1 0ii

vβ=

=, (3.4)

dove β è una costante adimensionale, che prende il nome di rapporto di trasferimento di corrente. Il simbolo di questo generatore controllato è riportato in Figura 3.1d. La porta “1” è equivalente ad un corto circuito e la porta “2” è equivalente ad un generatore ideale di corrente che impone un’intensità di corrente dipendente linearmente dalla corrente della porta “1”.

Le caratteristiche dei generatori controllati possono essere utilmente espresse utilizzando la notazione vettoriale, come abbiamo già fatto per i doppi bipoli lineari passivi. Se, ad esempio, consideriamo il generatore di tensione controllato in corrente, potremo infatti riscrivere la caratteristica come:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2

1

000

ii

rvv

, (3.5)

E’ importante osservare le proprietà di questa rappresentazione lineare:

essa è singolare (il determinante della matrice è nullo), è non simmetrica (banalmente), e da ultimo è “inerte” (ad ingresso i1=0 corrisponde l’uscita



v2=0). Tali proprietà si rifletteranno, come avremo modo di mostrare con opportuni esempi, sui circuiti che contengano al loro interno i generatori controllati.

Osserviamo anche che i generatori controllati non godono della reciprocità, e la loro caratterizzazione è unica. Consideriamo ad esempio il generatore di tensione controllato in tensione; la sua caratteristica, in forma matriciale, è data da:

000

0 2

1

2

1

1

12⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒

⎩⎨⎧

==

iv

α

vi

iα vv

(3.6)

Come si vede subito la matrice è non simmetrica e singolare! Come conseguenza della sua non invertibilità, si ha anche che la rappresentazione considerata è unica.

Per i circuiti che contengono, oltre a resistori lineari e generatori indipendenti (ideali), anche generatori controllati vale la proprietà della sovrapposizione degli effetti.

I generatori controllati appena definiti non sono in realtà tutti indipendenti, come vedremo con il seguente esempio. In particolare, da due di essi è possibile ricavare gli altri due (Figura 3.2).

Figura 3.2: Esempio di dipendenza nella definizione di generatori controllati.

Trasformatore ideale e giratore Nella classe dei doppi bipoli lineari adinamici che stiamo considerando,

assumono particolare importanza il trasformatore ideale ed il giratore, che sono due elementi circuitali in grado di realizzare importanti funzioni.

Il trasformatore ideale è un doppio bipolo lineare il cui funzionamento è descritto dalle seguenti relazioni:

Trasformatore ideale e giratore 29


12

21

niinvv−=

= (3.7)

dove la costante positiva n è detta rapporto di trasformazione. Il simbolo circuitale del trasformatore ideale è illustrato in Figura 3.3. Come si vede subito dalle equazioni (3.7) la proprietà fondamentale è che le grandezze tensioni alla porta “1” ed alla porta “2” sono legate tra loro dal rapporto fisso n, ed in modo inverso (ed opposto) le correnti.

E’ immediato mostrare, sostituendo nell’espressione della potenza le caratteristiche, che la potenza elettrica assorbita dal trasformatore ideale è uguale a zero in qualsiasi condizione di funzionamento. Ciò si esprime anche dicendo che esso è trasparente alla potenza. In conseguenza di ciò esso è dunque è un doppio bipolo passivo che non dissipa né immagazzina energia.

Per il trasformatore ideale, come si verifica subito dalla caratteristica, non vale la non amplificazione delle tensioni e delle correnti, pur essendo come abbiamo detto passivo. Stante la linearità delle equazioni caratteristiche, invece, in un circuito che contenga trasformatori ideali continua a valere la sovrapposizione degli effetti.

Figura 3.3: (a) simbolo del trasformatore ideale; (b) trasformatore terminato con

un resistore

La proprietà più importante del trasformatore può essere illustrata considerando il circuito di Figura 3.2b (alla porta “2” del trasformatore è connesso un resistore lineare con resistenza R). In questo caso si ha:

1

2221 RinnRinvv =−== . (3.8)

Dunque, quando alla porta “2” del trasformatore ideale è collegato un resistore lineare di resistenza R, la porta “1” si comporta come se fosse un resistore lineare di valore n2R. Pertanto il trasformatore consente di variare la resistenza di un resistore senza alterarne la costituzione fisica. L’equivalenza



che si stabilisce in questo modo viene spesso chiamata “trasporto al primario” di un bipolo.

Figura 3.4: circuito equivalente del trasformatore ideale tramite generatori

controllati

Il trasformatore ideale può essere realizzato tramite generatori controllati con il circuito illustrato in Figura 3.4. Il giratore è un doppio bipolo lineare definito dalle seguenti relazioni

12

21

GviGvi−=

= (3.9)

dove la costante G è detta conduttanza di girazione; il simbolo del giratore è illustrato in Figura 3.5a. Per i circuiti che contengono, oltre a resistori lineari e generatori indipendenti (ideali), anche giratori vale la proprietà della sovrapposizione degli effetti.

Figura 3.5: (a) simbolo del giratore; (b) un giratore terminato alla porta di uscita

con un condensatore è equivalente ad un induttore

Anche per il giratore si può immediatamente verificare che la potenza elettrica assorbita è uguale a zero in qualsiasi condizione di funzionamento, quindi esso è un doppio bipolo passivo che né dissipa e né immagazzina energia. Come per il trasformatore, anche questo doppio bipolo non conserva

Amplificatore operazionale 31


la non amplificazione delle tensioni e delle correnti. Ciò può essere verificato, ad esempio, considerando il circuito che si ottiene collegando ad una porta del giratore un generatore ideale di tensione e all’altra porta un resistore lineare. La proprietà più importante del giratore può essere illustrata considerando il circuito illustrato Figura 3.5b: alla porta “2” del giratore è connesso un condensatore lineare tempo-invariante con capacità C. In questo caso si ha

dtdi

GC

dtdv

GC

Giv 1

222

1 ==−= (3.10)

Quando alla porta di un giratore è collegato un condensatore lineare e tempo invariante di capacità C, l’altra porta si comporta come se fosse un induttore lineare e tempo invariante di induttanza C/G2 Pertanto, il giratore consente di realizzare un bipolo induttore a partire da un condensatore. Vale anche la proprietà duale: tramite un giratore è possibile realizzare un bipolo condensatore a partire da un induttore.

Amplificatore operazionale Tra i componenti a più terminali l’amplificatore operazionale riveste un

ruolo di grande importanza, a causa delle innumerevoli funzioni che è possibile realizzare con circuiti basati su di esso. In linea generale esso è un quadripolo, il cui simbolo è riportato in Figura 3.6a, per il quale valgono le relazioni:

ε

ε v-E

v -εvε

Eε v E

vIiIi

isat

iisat

isat

≤

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−<

≤

>

=⎩⎨⎧

==

++

−−0 (3.11)

Figura 3.6: (a) simbolo dell’amplificatore operazionale; (b) caratteristica ingresso-

uscita



L’amplificatore operazionale è caratterizzato da valori tipici per I+ ed I− dell’ordine dei μA, se non delle centinaia di nA. Tenuto conto di questa circostanza, normalmente si fa l’approssimazione 0+ −= ≅I I . La tensione

satE è generalmente dell’ordine di 10-15 V (in dipendenza dalla tensione di alimentazione). Nella regione cosiddetta lineare, ovvero per εε ≤≤− v , si definisce il guadagno in tensione εsatv EA = che risulta generalmente dell’ordine di 105 – 106. Osserviamo anzitutto che, nell’approssimazione appena considerata, l’amplificatore operazionale diviene intrinsecamente un doppio bipolo, ed in particolare un generatore di tensione controllato in tensione con legge di controllo non lineare ( )o iv f v= . In particolare si tratta di un doppio bipolo attivo, nel senso che la potenza erogata (alla porta di uscita) può essere positiva.

Tenuto conto dei valori tipici per il guadagno in tensione vA , ha senso definire l’amplificatore operazionale ideale nel limite vA →∞ :

0

0

0

0 0 per 0

per 0 per 0

sat i

sat i

sat sat i

i iv E vv -E v-E v E v

+ −= =

= >⎧⎪ = <⎨⎪ ≤ ≤ =⎩

(3.12)

Nella regione “lineare” questo particolare doppio bipolo si riduce in realtà all’insieme di due singolari elementi a due terminali. Difatti la condizione sulla porta d’ingresso 0ii = , 0iv = è quella che definisce il nullatore o anche “corto circuito virtuale”; invece la porta di uscita, con la condizione

satsat Ev-E ≤≤ 0 , ha un valore della tensione che risulta indeterminato, definendo il noratore. Dunque l’operazionale ideale in regione lineare può essere rappresentato circuitalmente con i simboli di Figura 3.7 che rappresentano appunto un nullatore (porta “1”) ed un noratore (porta “2”).

Figura 3.7: Modello di un operazionale ideale in regione lineare tramite nullatore

e noratore



Funzionamento in regione lineare Consideriamo il circuito in Figura 3.8, nel quale l’amplificatore

operazionale ideale è collegato a due resistori. Supponiamo l’operazionale ideale ed in regione lineare. Ciò vuol dire che può essere sostituito dalla coppia nullatore-noratore, come visto in precedenza. Con tali assunzioni, tenuto conto che 0i i+ −= = e 0dv = è immediato, applicando opportunamente le KCL ed KVL ottenere le equazioni:

1 2 1 2, , .Ri i v v v v= − = = (3.13)

Figura 3.8 Un circuito con operazionale ideale

Il doppio bipolo può allora essere descritto dalle equazioni:

2 1 1

1 2 2

v R iv R i= −⎧

⎨ = −⎩ (3.14)

Al variare dei valori di 1R ed 2R otteniamo diversi elementi. Ad esempio,

ponendo 2 0R = si ha:

1

2 1 1

0,,

vv R i== −

(3.15)

ottenendo dunque le relazioni caratteristiche di un generatore di tensione controllato in corrente. Ponendo invece 1R →∞ si ha:



1

12

2

0,

,

=

= −

iviR

(3.16)

ottenendo in questo caso le relazioni caratteristiche di un generatore di corrente controllato in tensione.

Consideriamo infine il circuito di Figura 3.9, dove la porta 2 è chiusa su di un condensatore. La tensione e l’intensità di corrente alla porta 2 sono legate dall’equazione:

22 ,dvi C

dt= − (3.17)

dunque:

11 1 2 ,div R R C

dt= − (3.18)

ovvero:

11 .eq

div Ldt

= (3.19)

In questo caso è evidente come si riesce a realizzare un induttore a partire da un condensatore (circuito di Antoniou).

Figura 3.9 Un circuito con operazionale ideale chiuso su di un condensatore alla

porta di uscita

Funzionamento in regione non lineare Abbiamo sin qui analizzato circuiti nell’ipotesi che l’amplificatore

operazionale fosse in regione lineare. Esistono diversi circuiti non lineari che viceversa basano il loro funzionamento proprio sulla caratteristica dell’operazionale al passaggio tra la regione lineare e quella di saturazione. In



particolare è possibile mostrare come sia possibile costruire circuiti che realizzano un elemento con diversi tipi di caratteristica non lineare a tratti.

Consideriamo il circuito di Figura 3.10, nel quale assumiamo l’operazionale come ideale. Supponiamo anzitutto che si trovi nella regione lineare di funzionamento, salvo poi stabilire i limiti di validità di tale assunzione. In tale ipotesi l’operazionale può essere sostituito del nullatore e noratore, come visto precedentemente. In riferimento alle notazioni ed ai riferimenti fissati possiamo scrivere:

2 1 22 0

1 2 2

.R oR R Rv v v v v

R R R+

= = ⇒ =+

(3.20)

La (3.20) è stata ottenuta osservando che, nell’ipotesi di operazionale ideale 0i+ = e dunque 1R ed 2R risultano in serie tra loro. Considerando invece

che 0i− = possiamo scrivere:

1 2 1

2 2

+ + .f o ff

R R Rv R i v R i v i vR R R+

= = ⇒ = − (3.21)

Figura 3.10 Un circuito con operazionale ideale

Dunque, essendo tutti i valori di resistenza positivi, la caratteristica è quella di un “resistore attivo.

Per trovare i limiti di validità dell’espressione (3.21) basta considerare la condizione sat o satE v E− ≤ ≤ ; tenuto conto dell’espressione (3.20) abbiamo:

1 2 2

2 1 2

= .sat sat sat satR R RE v E v E E

R R Rβ+

− ≤ ≤ ⇒ ≤+

(3.22)

La situazione è rappresentata in Figura 3.11a.



Figura 3.11 caratteristica i,v (a) regione lineare; (b) regione lineare e non lineare

Passiamo ora ad analizzare la regione di saturazione positiva: In tale regione l’operazionale può essere modellato con un circuito aperto alla porta di ingresso, ed un generatore di tensione alla porta di uscita, come schematicamente indicato in Figura 3.12a.

Sostituendo nel circuito il modello equivalente avremo:

0 ,f sat sat fv R i E v E R i− − = ⇒ = + (3.23) che riconosciamo facilmente come la caratteristica di un generatore reale di tensione (Figura 3.12b).

Figura 3.12 (a) schema equivalente dell’operazionale in saturazione positiva; (b)

caratteristica i,v in regione di saturazione positiva per il circuito in esame

Se, anche ora cerchiamo i limiti di validità dell’espressione (3.23) abbiamo:

22

1 2

0 .d R sat satRv v v v E v E

R Rβ= − = − > ⇒ >

+ (3.24)



Posto satv Eβ= nella caratteristica (3.23) si ha:

1* ,satf

i ERβ −

= (3.25)

come riportato in Figura 3.11b.

Riferimenti bibliografici: [1] L.O. CHUA, C.A. DESOER, E.S. KUH, Circuiti Lineari e Non Lineari,

Jackson 1991, ISBN 88-7056-837-7. [2] M. DE MAGISTRIS, G. MIANO, Circuiti, Springer 2007, ISBN: 978-88-

470-0537-2.


4. Caratterizzazioni degli M-porta lineari

Lo studio degli M-porte lineari è di fondamentale importanza nell’analisi

dei circuiti. In particolare la caratterizzazione come M-porte di sottoparti lineari a-dinamiche di circuiti più complessi consente di introdurre importanti semplificazioni nell’analisi e nella riduzione della complessità computazionale. Data l’importanza che riveste l’argomento, riprendiamo brevemente le rappresentazioni dei doppi bipoli di resistori lineari già introdotte nei corsi di base, per poi ampliare il campo delle nostre considerazioni.

Un M-porta è un elemento per il quale è possibile definire M coppie di terminali con la medesima intensità di corrente. Nel caso a-dinamico avrà in generale una caratterizzazione in forma implicita del tipo:

( ), , 0,t =f v i (4.1)

con v ed i, rispettivamente, vettori delle tensioni e delle correnti di porta. Ad esempio, nel caso di un doppio bipolo (M=2) avremo:

( )( )

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

, , , , 0,

, , , , 0.

f v v i i t

f v v i i t

=

= (4.2)

Rappresentazione in forma implicita dei doppi bipoli lineari

Vogliamo ora considerare la forma più generale per la rappresentazione dei doppi bipoli lineari passivi.

Consideriamo il generico circuito di Figura 4.1, nel quale identifichiamo una parte che è costituita da un doppio bipolo di resistori passivi e due bipoli che supponiamo attivi all’esterno. Supponiamo, per semplicità che i due

Rappresentazione in forma implicita dei doppi bipoli lineari 39


bipoli esterni, che rappresentano delle “condizioni al contorno” siano lineari (ciò non è limitante).

Figura 4.1 Doppio bipolo lineare terminato con bipoli lineari attivi

Immaginando di avere accesso anche all’interno del doppio bipolo, per il

circuito in questione le equazioni in forma canonica saranno necessariamente del tipo:

( )( )

1 1 1

2 2 2

( ) 0, KCL

( ) 0, KVL

0, caratteristiche resistori, 0, caratteristica bipolo 1

, 0, caratteristica bipolo 2

± =

± =

− =

=

=

∑

∑

kk

kk

k k k

i

v

v R if v i

f v i

(4.3)

Supponendo il sistema (4.3) ben posto, eliminando le ultime due equazioni

e riducendo le rimanenti (che sono tutte lineari ed omogenee) a due sole equazioni nelle incognite v1, v2, i1, i2, si ottengono in generale due equazioni indipendenti lineari ed omogenee nella forma:

11 1 12 2 11 1 12 2

21 1 22 2 21 1 22 2

00

m v m v n i n im v m v n i n i

+ + + =+ + + =

(4.4)

ovvero, in forma compatta:

0M N+ =v i . (4.5)

La (4.5) prende il nome di rappresentazione in forma implicita dei doppi bipoli lineari. A seconda che sia possibile esplicitarla rispetto a una coppia di

40 Caratterizzazioni degli M-porta lineari


variabili sarà dunque possibile ricavare la corrispondente forma esplicita. Ad esempio se nella (4.5) si suppone la matrice M non singolare, si può scrivere:

1-( ) M N R−= =v i i (4.6)

che costituisce la classica rappresentazione controllata in corrente, ed in questo caso la matrice R prende il nome di matrice delle resistenze.

Rappresentazioni R, G, H di doppi bipoli lineari passivi Riprendiamo ora brevemente le più note rappresentazioni esplicite dei

doppi bipoli lineari passivi con le relative proprietà. Consideriamo il generico doppio bipolo di resistori lineari rappresentato in Figura 4.2.

Figura 4.2 Generico doppio bipolo lineare passivo

Ricordiamo che per esso, in generale, sono possibili diverse rappresentazioni esplicite, come ad esempio:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

,,

i G v G vG

i G v G v= + ⎫

→ =⎬= + ⎭i v . (4.7)

La (4.7) è la rappresentazione controllata in tensione, ed in questo caso la matrice G prende il nome di matrice delle resistenze. Ricordiamo che gli elementi della matrice delle conduttanze di un doppio bipolo godono delle proprietà:

( )( )( )

0, 0 ,

, ,

, .

ii ii

ij ji ij ji

ii ij ii ij

G R i j

G G R R

G G R R i j

≥ ≥ ≠

= =

≥ ≥ ≠

(4.8)

Se la matrice G risulta non singolare (cioè invertibile) dalla rappresentazione considerata è immediato ricavare la:

Rappresentazioni R, G, H di doppi bipoli lineari passivi 41


-1, con R R G= =v i (4.9) Ricordiamo che anche per la matrice delle resistenze valgono proprietà analoghe alle (4.8).

Fra le peculiarità delle diverse possibili rappresentazioni vogliamo mettere

in evidenza che esse risultano più o meno comode per il collegamento fra loro di doppi bipoli. Ad esempio, la rappresentazione G è comoda quando si vogliono mettere in parallelo due doppi bipoli, come in Figura 4.3

Figura 4.3 Connessione parallelo di due doppi bipoli lineari passivi

Difatti, considerata la KCL e le caratteristiche si ha:

, = + ( )G G G G′ ′ ′′ ′′ ′ ′′ ′ ′′= = ⇒ = +i v i v i i i v (4.10)

Per converso, la rappresentazione R risulta più comoda per i collegamenti in serie mostrati in Figura 4.4.

Figura 4.4 Connessione in serie di due doppi bipoli



Fra le possibili caratterizzazioni ricordiamo anche quella “ibrida” e quella cosiddetta di “trasmissione”. La caratterizzazione si dirà ibrida quando le variabili indipendenti sono una tensione ed una corrente. Ad esempio:

1 1 1 1 -1

2 2 2 2

dove v i i v

H H H Hi v v i⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

′ ′= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, (4.11)

con 11 12

21 22

H HH

H H⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Per gli elementi della matrice H si hanno le seguenti proprietà: 0, 1, ii ij ij jiH H H H≥ ≤ = − ; tale rappresentazione è comoda, tra l’altro,

per connessioni miste serie-parallelo.

Rappresentazione di trasmissione T di un doppio bipolo lineare Nelle rappresentazioni R , G , H , H ′ sin qui considerate le variabili

indipendenti (e corrispondentemente quelle dipendenti) sono sempre state definite contemporaneamente su entrambe le porte. In realtà è possibile una scelta ulteriore, che da luogo alla rappresentazione di trasmissione:

1 11 2 12 2

1 21 2 22 2 v T v T ii T v T i= −= −

1 2

1 2

v v

Ti i⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.12)

Il motivo del segno “-“ posto convenzionalmente davanti ai parametri 12T e

22T è in parte storico ed è legato alla interpretazione come “ingresso” della porta 1 e come “uscita” della porta 2, associata ai versi di riferimento in Figura 4.5.

È possibile, come già visto per le altre rappresentazioni, considerare la rappresentazione inversa *T :

* *

2 11 1 12 1* *

2 21 1 22 1

v T v T i

i T v T i

= −

= −2 1* * -1

2 1

v v

T T Ti i⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.13)

Rappresentazione di trasmissione T di un doppio bipolo lineare 43


Figura 4.5 Convenzioni sui versi per la rappresentazione T .

E’ istruttivo trovare il legame tra la rappresentazione T ed una delle precedenti, ad esempio la R . Tenuto conto delle scelte fatte per il verso della corrente 2i , si ha:

1 11 1 12 2 1 11 1 12 2

2 21 1 22 2 21 1 2 22 2

11 1 12 2

21 1 22 2

1 00 1

v R i R i v R i R iv R i R i R i v R i

R v R vR i R i

= − − = −⇒

= − = +⇓

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(4.14)

1

11 12 11 21 12

21 22 21 22

11 22 11 21 12

21 21

22

21 21

1 0 1 00 1 0 1 1

1

−− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

R R R R RT

R R R R

R R R R RR R

RR R

(4.15)

ovvero:

11 21 2111 22 12 21

21 22 21

= , con .1

Δ⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

R R R RT R R R R R

R R R (4.16)

Se siamo nelle condizioni di reciprocità per il doppio bipolo

( 212 21 21R R R= ), vale la proprietà det( ) 1.T = Sviluppando infatti il

determinante:



11 222 221 21

det(T)= 1R R RR R

Δ− = (4.17)

La rappresentazione di trasmissione è molto utile per i collegamenti in

cascata, come mostrato in Figura 4.6.

Figura 4.6 Collegamento di due doppi bipoli in cascata

Difatti, indicate con T(1) e T(2) le matrici di trasmissione dei due doppi bipoli, si ha:

(1) (1) (2)1 2 2(1) (1) (2)(1) (1) (2)1 2 2

v v v

T T Ti i i

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.18)

Rappresentazione “scattering” S di un doppio bipolo lineare La rappresentazione di scattering (S) di un doppio bipolo trae origine dalla descrizione di sistemi distribuiti con propagazione. Essa è però importante anche per i doppi bipoli “concentrati” in quanto possiede alcune proprietà piuttosto generali. Ricordiamo anzitutto che, a partire dalla forma implicita per i doppi bipoli lineari abbiamo le relazioni:

1

1

,0

,M N R

M NN M G

−

−

⎧ = − =+ = → ⎨

= − =⎩

v i iv i

i v v (4.19)

quando naturalmente siano M ed N non singolari, cioè invertibili. Ebbene, possiamo affermare che esistono buoni motivi per considerare come variabili di rappresentazione anziché tensioni e correnti separatamente, opportune loro combinazioni. Per far ciò è comodo considerare, su ciascuna porta, dei resistori aggiuntivi di valore fissato, generalmente unitario come rappresentato in Figura 4.15. Considerata la maglia di ingresso, posto 1R = abbiamo:

Rappresentazione “scattering” S di un doppio bipolo lineare 45


( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 .e t v t Ri t v t i t= + = + (4.20)

La combinazione 1 1 1( ) ( ) ( )v t i t e t+ = può essere considerata come “variabile indipendente” alla porta 1 del doppio bipolo. Dalla posizione (4.20) è possibile anche ricavare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 12 .e t v t i t i t i t v t i t e t i t= + − + ⇒ − = − (4.21)

La combinazione ( ) ( )1 1 1 1( ) 2 ( )− = −v t i t e t i t può essere considerata come “variabile dipendente” alla porta 1 del doppio bipolo. In realtà si suole definire le variabili:

( ) ( )( ) ( )1 1, ,2 2

i r= + = −v v i v v i (4.22)

che vengono dette, rispettivamente, tensione incidente e tensione riflessa (in analogia con i parametri di una linea di trasmissione o di un sistema a microonde).

Figura 4.7 Caratterizzazione scattering di un doppio bipolo lineare

Assumendo tali grandezze come ingressi ed uscite si definisce la matrice di scattering come:

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 11 1 12 2

( ) ( ) ( )2 21 1 22 2

,, ovvero

.

r i ir i

r i i

v S v S vS

v S v S v⎧ = +

= ⎨= +⎩

v v (4.23)

12S ed 21S sono detti coefficienti di trasmissione, mentre 11S ed 22S

coefficienti di riflessione. La rappresentazione con i parametri di scattering gode di un’importante proprietà che la differenzia dalle altre rappresentazioni esplicite considerate sin qui (R, G, H, H’, T, T’). Difatti si può dimostrare che essa risulta esistere



sempre, anche quando altre rappresentazioni sono singolari. Senza indugiare oltre sulla dimostrazione di questa proprietà, facciamo osservare che l’aver definito come variabili indipendenti opportune combinazioni di tensioni e correnti (o equivalentemente forzare le porte con un generatore “reale”) risolve in partenza i casi patologici che si possono verificare.

Anche per la matrice di scattering, come per le altre, è possibile trovare i legami con le altre rappresentazioni. Un possibile modo di procedere consiste nel ricavare le corrispondenti relazioni riportando la forma di scattering alla implicita per poi utilizzare le relazioni viste in precedenza.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 11 1 1 12 2 2

2 2 21 1 1 22 2 2

− = ⎡ + ⎤ + ⎡ + ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦− = ⎡ + ⎤ + ⎡ + ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

v t i t S v t i t S v t i t

v t i t S v t i t S v t i t (4.24)

da cui:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

11 1 12 2 11 1 12 2

21 1 22 2 21 1 22 2

1 1 0

1 1 0

− − − + − =

− + − − − + =

S v t S v t S i t S i t

S v t S v t S i t S i t (4.25)

Posto:

( )11 12 11 12

21 22 21 22

1 1,

1 1− − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = − = − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

S S S SM I S N I S

S S S S (4.26)

avremo:

1 1

1 1

( ) ( )( ) ( )

− −

− −

= − = − +

= − = + −

R M N I S I SG N M I S I S

(4.27)

L’insieme dei legami sono riassunti nella seguente tabella:

( )( ) ( )( )( )( )( )( )

-1 -1

-1 -1

-1 -1

- -

-

-

S G R

S S I G I G I R I R

G I S I S G R

R I S I S G R

= + +

= +

= +

Doppi bipoli lineari non reciproci e attivi 47


Doppi bipoli lineari non reciproci e attivi Per generalizzare quanto visto sinora dobbiamo includere il caso di doppi

bipoli lineari non reciproci ed attivi, ovvero che contengono al loro interno elementi lineari passivi ma non reciproci (trasformatori, giratori), elementi attivi ma inerti (generatori controllati) ed elementi attivi e non inerti (generatori indipendenti). In Figura 4.8 è schematicamente indicato un doppio bipolo lineare con tali caratteristiche.

Figura 4.8 Un generico doppio bipolo lineare attivo e non reciproco

In tal caso il doppio bipolo può essere caratterizzato applicando la sovrapposizione degli effetti. In riferimento alla

Figura 4.9 (per semplicità si considera il caso di soli resistori e generatori indipendenti), avendo denotato con un apice il primo circuito nel quale sono stati spenti i generatori interni, e con due quello nel quale sono stati spenti quelli esterni si avrà:

*G= +i v i (4.28)

dove la matrice G è definita sul circuito reso passivo come abbiamo già visto in precedenza, ed i* è il vettore dei termini noti (correnti di corto circuito con i generatori esterni spenti.

i’’1 i’’2

v1

i’1

v2

i’2

+-

+-

C’ C’’

Figura 4.9: Sovrapposizione applicata per caratterizzare un doppio bipolo attivo



Tale espressione può essere interpretata come la forma vettoriale del teorema di Norton. Analogamente con la caratterizzazione in base corrente si ha il caso Thevenin vettoriale:

*R= +v i v (4.29)

In maniera simile si procede per caratterizzare in forma ibrida anche i doppi bipoli attivi.

È importante osservare che in presenza di elementi inerti, ma attivi e non reciproci quali quelli considerati (in particolare il trasformatore, il giratore e i generatori controllati) le matrici G, R, H etc., ad esempio nelle rappresentazioni (4.28) e (4.29), perderanno le proprietà di simmetria (reciprocità) e quelle legate alla non amplificazione (maggiorazioni sui termini fuori diagonale).

Alcuni esempi sui doppi bipoli Affrontiamo ora alcuni esempi sulle rappresentazioni dei doppi bipoli. Sintesi di un doppio bipolo con generatori controllati Ricordiamo anzitutto che un doppio bipolo lineare passivo può essere

sintetizzato con tre resistori come segue:

Figura 4.10 Schema a T per la sintesi passiva di un doppio bipolo lineare

1222

12

1211

2221212

2121111 -RRR

RR-RRR

iRiRviRiRv

c

b

a

==

=

+=+=

Vediamo ora come sia possibile sintetizzare attraverso dei generatori

controllati il doppio bipolo considerato (Figura 4.11) Osserviamo che R12 può in tal caso, essere diverso da R21.

Alcuni esempi sui doppi bipoli 49


Figura 4.11 Schema con generatori controllati per la sintesi di un doppio bipolo

lineare

È evidente come tale sintesi, equivalente alla precedente nel caso di doppio bipolo reciproco e inerte, permette più in generale di trattare il caso non reciproco ed attivo.

Se consideriamo il caso di una rappresentazione H:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

v H i H vi H i H v= += +

la sintesi diviene quella della Figura 4.12.

Figura 4.12 Schema con generatori controllati per la sintesi di un dippio bipolo

lineare con rappresentazione ibrida

Sintesi di doppio bipolo non reciproco

Consideriamo il doppio bipolo rappresentato dalla matrice della resistenze

(non simmetrica) 3 21 4

R

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

che può utilmente essere scomposta come:



1 1 2 2

2 1 2

3 1 0 11 4 0 0

3 11 4

R

v i i iv i i

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + += +

A tale rappresentazione possiamo far corrispondere la sintesi di Figura 4.13, con i parametri:

11 12 12

22 12

2 , 1 ,3 , 1 ,

a b

c m

R R - R R RR R - R R

= = Ω = = Ω= = Ω = Ω

Figura 4.13 Esempio di sintesi “mista”

Se del circuito considerato facciamo viceversa l’analisi otteniamo la forma (implicita):

1 1 2

2 1 2

( ) 0

( ) ( ) 0a b b

b m b c

v R R i R iv R R i R R i− + − =⎧

⎨ − + − + =⎩ (4.30)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1001

M a b b

b m b c

R R RN

R R R R+⎛ ⎞

= −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ (4.31)

1 a b b-

b m b c

R R RR -M N

R R R R+⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ (4.32)

Allo stesso risultato saremmo pervenuti applicando direttamente le definizioni per i parametri Rij; ad esempio:

111 2

1

0 a cvR i R Ri

= = = + (4.33)

Esempio: trasformatore ideale

Estensioni ai multi-porta lineari 51


1 2

1 2

0

0v nvni i− =⎧

⎨ + =⎩ (4.34)

m11=1; m12 = -n; n11 = n12 = 0, da cui segue immediatamente:

100

001

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

N -n

M (4.35)

È evidente in questo caso come non sia possibile ricavare le rappresentazioni R o G in quanto entrambe le matrici M ed N sono singolari. Rappresentazione implicita di un doppio bipolo “degenere”

Da sviluppare !!! Matrice H dalla forma implicita

Da sviluppare !!! Matrice S di un trasformatore

Da sviluppare !!!

Estensioni ai multi-porta lineari I concetti sin qui visti sono facilmente estendibili agli M–porte.



Figura 4.14 Un generico M-porte lineare

Potremo anche qui immaginare di caratterizzare in tensione, in corrente o

su base ibrida, avendo le corrispondenti matrici di rappresentazione. , ,G R= =i v v i (4.36)

dove G ed R sono in questo caso opportune matrici M M× .

Nel caso ibrido ha senso suddividere le porte in due classi, quelle controllate in tensione e quelle controllate in corrente:

Figura 4.15 Rappresentazione ibrida di un M-porte.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

iv 11 12

21 22

H HH H

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛vi

con ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

HHHH

H (4.37)

dove:

1 1

1 1 1 1 1 11 1

2 2 2 2 2 2

( ) ( .... )

( .... ) ( .... )

k k

k M k M

v v i i

v v i i+ +

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= =

v i

v i (4.38)

Il significato delle varie sottomatrici di H può essere facilmente

compreso estendendo le nozioni relative a doppi bipoli; infatti, 11H è la matrice di resistenza del K-porte quando 02 =v , cioè le M-K porte

Estensioni ai multi-porta lineari 53


secondarie sono in corto circuito. 22H è la matrice di conduttanza del M-K porte quando le K porte primarie sono tutte aperte, e così via.

Riferimenti bibliografici: [1] L.O. CHUA, C.A. DESOER, E.S. KUH, Circuiti Lineari e Non Lineari,

Jackson 1991, ISBN 88-7056-837-7, pp. 783-809.


5. Complementi di topologia circuitale

Abbiamo già avuto modo di sottolineare come la peculiarità dei circuiti,

rispetto a generici sistemi dinamici, risieda principalmente nella forma e nelle proprietà delle equazioni di interconnessione (leggi di Kirchhoff), che costituiscono una parte importante delle equazioni che descrivono un circuito. Dunque, considerando per un circuito descritto da b tensioni e b intensità di corrente la forma canonica delle equazioni, vi saranno almeno b equazioni algebriche, lineari ed omogenee.

L’analisi delle proprietà legate al modo in cui gli elementi circuitali sono interconnessi prende il nome di topologia circuitale, e può essere considerata una branca della teoria dei grafi. Il nostro obiettivo, molto circoscritto, sarà di analizzare più in dettaglio le principali proprietà legate alla topologia dei circuiti con l’obbiettivo di discutere le diverse possibilità che si presentano nella formulazione del modello circuitale.

La topologia circuitale essenzialmente si propone di studiare tutte quelle proprietà delle equazioni circuitali che derivano dalle struttura delle interconnessioni. In particolare è importante studiare in che modo tali informazioni possono essere usate al meglio per una formulazione delle equazioni circuitali adeguata al tipo di problema in esame, anche in vista dell’utilizzo della simulazione numerica per la soluzione del modello.

Definizioni e proprietà relative ai grafi In generale, una descrizione delle interconnessioni tra gli elementi

circuitali dovrà certamente prendere in considerazione i seguenti elementi: - come gli elementi sono connessi tra loro in termini delle variabili

descrittive scelte - i versi di riferimento per le intensità di corrente e le tensioni Il modo più immediato di rappresentare queste informazioni è associando

al circuito un grafo, ed in particolare un grafo orientato. Val la pena ricordare che il concetto di grafo è stato per la prima volta introdotto da Eulero per la soluzione del cosiddetto “problema del ponte di Koenigsberg”, ed ha

Definizioni e proprietà relative ai grafi 55


applicazioni in diversi campi delle scienze. Il primo ad applicarlo ai circuiti è stato lo stesso Kirchhoff.

Figura 5.1(a) Un esempio di circuito e (b) il relativo grafo orientato In maniera piuttosto informale possiamo definire il grafo di un circuito ciò

che otteniamo quando, avendo fissato le variabili descrittive, descriviamo in maniera grafica con delle linee (lati) la relazione di incidenza che lega i lati ai nodi. Un esempio è dato in Figura 5.1., nel caso semplice di circuito di soli bipoli. Questa rappresentazione è “topologica” nel senso che prescinde da elementi geometrici nel descrivere le connessioni, e dunque permette di studiarne tutte le proprietà in modo generale. Quando ai lati associamo un verso per l’orientamento otteniamo un grafo orientato. Nell’utilizzo dei grafi per i circuiti vengono sempre utilizzati grafi orientati.

Per le principali definizioni relative ai grafi, ed in particolare di grafo connesso, sottografo, albero, coalbero, maglia ed insieme di taglio rinviamo a [1-2]. Illustriamo con qualche esempio, in riferimento al circuito precedentemente considerato, il grafo orientato, esempi di albero, coalbero e di insiemi di taglio.

Come già noto dai corsi precedenti, i concetti di nodo, maglia e di insieme di taglio sono fondamentali per la scrittura delle KVL e KCL; i concetti di albero e coalbero sono fondamentali per la scelta delle equazioni indipendenti.

Per il grafo di un circuito (connesso) valgono le seguenti proprietà (Teorema fondamentale dei grafi):

“sia G un grafo connesso con n nodi e b lati, T un suo albero e C il relativo coalbero, allora:

56 Complementi di topologia circuitale


1. il percorso lungo T tra qualsiasi coppia di nodi è unico;

2. i lati di albero T sono 1n − e quelli di coalbero C ( 1)b n− − ;

3. ogni lato di C, assieme ad alcuni lati di T , definisce un’unica “maglia” detta fondamentale;

4. ogni lato di T, assieme ad alcuni lati di C, definisce un unico “taglio” detto fondamentale.”

Osserviamo che un importante corollario del teorema (punti 3 e 4) è che le

equazioni di Kirchhoff per le maglie o i tagli fondamentali risultano necessariamente indipendenti.

Figura 5.2 Grafo per il circuito considerato, due diversi alberi ed i relativi

coalberi

Figura 5.3 Grafo per il circuito considerato, due diversi insiemi di taglio

Matrice di incidenza di nodo Sebbene il grafo permetta una descrizione completa ed intuitiva delle

proprietà topologiche, esso non è uno strumento particolarmente adatto ad

Matrice di incidenza di nodo 57


una manipolazione automatica; sicuramente più adatta risulta la matrice di incidenza a ijA a⎡ ⎤= ⎣ ⎦ che è una matrice con n (=numero di nodi) righe e b

(=numero di lati) colonne, con gli elementi definiti da:

1 se il lato esce dal nodo

1 se il lato entra nel nodo 0 se il lato non incide nel nodo

ij

j ia j i

j i

⎧⎪−⎨⎪⎩

(5.1)

Ad esempio, se andiamo a sviluppare la matrice di incidenza del circuito

precedentemente considerato avremo:

I II III IV V VI -1 1 0 0 0 1 0 -1 -1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 -1

ovvero:

1 1 0 0 0 10 1 1 0 1 01 0 1 1 0 00 0 0 1 1 1

aA

−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟

− − −⎝ ⎠

(5.2)

Come già noto la matrice di incidenza aA permette di scrivere in forma

compatta le KCL: 0,aA =i (5.3)

dove al solito con i indichiamo il vettore delle intensità di corrente descrittive per il circuito.

La matrice di incidenza aA ha certamente rango non pieno (cioè n< ). Infatti, tenuto conto che ogni lato necessariamente esce da un nodo ed entra nell’altro, ogni colonna contiene sempre soltanto due elementi non nulli, un +1 e un –1, e dunque la somma delle righe è sempre identicamente nulla.



Definiamo matrice di incidenza ridotta A quella ottenuta da aA eliminando una (qualsiasi) riga. E’ possibile dimostrare che la matrice A ha sempre rango pieno per un grafo connesso. Di conseguenza le sue righe risultano certamente indipendenti.

Considerato un albero per il circuito se si sceglie opportunamente l’ordine dei lati, la matrice di incidenza ridotta A può sempre essere partizionata nel modo seguente:

t cA A A= ⎡ ⎤⎣ ⎦ (5.4)

dove i pedici “t” e “c” stanno per “tree” (albero) e = “cotree” (coalbero). Osserviamo che siccome l’albero ha 1n − lati, la sotto-matrice tA è una matrice quadrata 1 1n n− × − .

Una proprietà molto interessante della matrice A è la seguente: “se A è la matrice di incidenza ridotta di un grafo connesso, ogni insieme

di colonne indipendenti di A corrisponde ad un albero e viceversa” Ad esempio, consideriamo il circuito precedente la cui matrice di

incidenza di nodo è:

1 1 0 0 0 10 1 1 0 1 0

.1 0 1 1 0 00 0 0 1 1 1

aA

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

(5.5)

Eliminando l’ultima riga si ha:

1 1 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0 .1 0 1 1 0 0

A−⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.6)

Consideriamo, ad esempio, le ultime 3 colonne: esse sono certamente indipendenti; ad esse corrispondono i lati IV, V, VI che, effettivamente, costituiscono un albero nel grafo di Figura 5.1. Dimostriamo ora la proprietà appena verificata.

Matrice di maglia 59


Sufficienza: albero⇒ colonne indipendenti. Supponiamo ad esempio, che le prime 1n − colonne corrispondano ad un albero. tA è la sottomatrice ( 1) ( 1)n n− × − corrispondente. Essa è, per la definizione di albero, la matrice di incidenza ridotta di un sottografo connesso, e dunque ha certamente rango pieno. Essendo una matrice quadrata, se le righe sono indipendenti lo sono anche le colonne. Necessità: colonne indipendenti⇒ albero. Consideriamo una qualsiasi sottomatrice tA di A quadrata a rango pieno ( 1n − righe e colonne indipendenti). Essa può essere considerata come la matrice di incidenza ridotta di un grafo connesso con n nodi ed 1n − lati. Ma in tali ipotesi il sottografo corrispondente è un albero per definizione.

Matrice di maglia In maniera analoga alla matrice di incidenza, è possibile introdurre la

matrice di maglia aB : considerato l’insieme di tutte le maglie (righe) e dei lati (colonne) e fissato un orientamento per le maglie (per le tensioni sui lati

jv si sceglie la convenzione dell’utilizzatore in riferimento ai versi fissati per

le intensità di corrente), è possibile definire la matrice di maglia a ijB b⎡ ⎤= ⎣ ⎦ in

modo analogo a quanto fatto per quella di incidenza:

1 se il lato appartiene alla maglia ed è concorde

1 se il lato appartiene alla maglia ed è discorde 0 se il lato non appartiene alla maglia

ij

j ib j i

j i

⎧⎪−⎨⎪⎩

(5.7)

La matrice di maglia aB permette di scrivere in forma compatta le KCL: 0,aB =v (5.8)

dove al solito con v indichiamo il vettore delle tensioni descrittive per il circuito.

Anche per la matrice aB le righe risulteranno in generale dipendenti, dunque aB non ha rango pieno. Se consideriamo un insieme di righe indipendenti, esso costituisce una matrice di maglia di ridotta B . Ricordiamo che il numero di equazioni indipendenti alle maglie (KVL) è ( 1)b n− − .



Un modo sistematico di costruire una matrice di maglia ridotta è quello di partire da un albero, costruendo le maglie fondamentali. La matrice ridotta B che si costruisce prende il nome di matrice di maglia “fondamentale”.

Figura 5.4 Un esempio di grafo e di un sistema di maglie indipendenti (anelli)

Esempio: Matrice di maglia B relativa alla Figura 5.4.

1 -1 -1 1 0 0 lati I II III2 0 0 1 1 0 lati III IV3 0 0 0 1 1 lati IV V4 1 1 0 1 0 lati I II IV5 1 1 0 0 1 lati I II V6 0 0 1 0 1 lati III V

magliamagliamagliamagliamagliamaglia

− −− − −

−− − − − −− − − −

− −

I II III IV V

(5.9)

Se, in riferimento all’esempio precedente, consideriamo l’albero costituito dai lati I e II, avremo la seguente matrice di maglia fondamentale:

-1 -1 1 0 0-1 -1 0 1 0-1 -1 0 0 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

I II III IV V

.. 1 1 1 0 01 1 0 1 01 1 0 0 1

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

(5.10)

(osserviamo che cambiare segno alla riga 2 equivale a scegliere un verso di percorrenza opposto per la maglia). Si ha dunque (per come B è stata costruita):

tB B I⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (5.11)

Matrice di taglio 61


dove il pedice “t” sta per “tree” (albero) e I è la matrice identità di ordine ( 1)b n− − , cioè il numero dei lati del coalbero.

Val la pena osservare che le righe di B sono certamente indipendenti a causa della presenza della sottomatrice I .

Matrice di taglio Oltre alle matrici topologiche A e B che abbiamo trattato, è possibile

introdurre una matrice (che denoteremo con D ) per gli insiemi di taglio. La matrice di taglio aD permette di scrivere in forma compatta le KCL: 0,aD =i (5.12)

dove al solito con i indichiamo il vettore delle intensità di corrente descrittive per il circuito. Per essa valgono considerazioni molto simili alle altre due matrici topologiche. In particolare, considerata la matrice ridotta D con le righe indipendenti è possibile dimostrare che essa può essere sempre partizionata nel modo seguente:

cD I D⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (5.13)

dove il pedice “c” sta per “cotree” (coalbero) e I è la matrice identità di ordine 1n − , cioè il numero dei lati dell’albero.

A proposito della matrice D val la pena osservare che, essendo i nodi casi particolari degli insiemi di taglio, la matrice A può essere considerata un caso particolare della matrice D .

Relazioni tra le matrici topologiche A questo punto ha senso porsi la questione: tenuto conto che le matrici

topologiche sono in realtà costruite a partire dalle stesse informazioni sul grafo, esistono relazioni tra di esse? Ebbene la risposta è affermativa. In particolare, considerate ad esempio le matrici aA e aB per un circuito, avendo cura di utilizzare per entrambe lo stesso ordinamento per i lati (colonne), possiamo dimostrare la seguente proprietà:

[ ] [ ]riga di riga di 0,T

a ai B j A× = (5.14)

e dunque, in generale, si ha:

0 ( 0); 0 ( 0).T T T Ta a a aB A BA A B AB= = = = (5.15)



Per dimostrare le relazioni (5.15) basta considerare la (5.14) nella forma:

1

,b

ik jkk

s b a=

= ∑ (5.16)

dove con i indichiamo l’indice di maglia, con j indichiamo l’indice di nodo, con k quello di lato. È evidente che la somma (5.16) è composta da prodotti di elementi che possono assumere valori 0, +1, -1. Considerato un lato m che appartiene alla maglia i, ed incide nel nodo j, per la definizione stessa di maglia deve anche esistere un altro lato, che denominiamo m+1, che appartiene alla maglia ed incide nel nodo, come mostrato in Figura 5.5.

Figura 5.5 Due generici lati m ed m+1 appartenenti alla maglia i ed incidenti nodo j

Considerate tutte le possibili combinazioni per i versi di riferimento dei lati m ed m+1 e quello scelto per la maglia i, si ha sempre:

1 1 0,im jm im jmb a b a+ ++ = (5.17)

dunque la somma nella (5.16) è identicamente nulla, da cui le (5.15). In modo abbastanza analogo a quanto visto è possibile mostrare che:

0 ( 0), 0 ( 0), T T T Ta a a aB D BD D B DB= = = = (5.18)

Tale relazione, assieme alla (5.15) è importante al fine della costruzione

automatica delle matrici B e D a partire da quella A , che come abbiamo già avuto modo di osservare risulta piuttosto semplice da costruire una volta nota la tabella di interconnessione del circuito.

Vogliamo ora soffermarci sulle relazioni che possiamo stabilire fra le

grandezze descrittive (tensioni ed intensità di corrente) in relazione alla struttura che abbiamo riconosciuto per le matrici topologiche. A tale scopo ha senso partizionare i vettori v e i nel modo seguente:

Relazioni tra le matrici topologiche 63


, .t t

c c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

v iv i

v i (5.19)

Consideramo la KVL:

0 0tt t t c

c

B B I B⎛ ⎞

= → ⎡ ⎤ = + =⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

vv v v

v (5.20)

da cui si ricava:

c t tB= −v v (5.21) Analogamente, considerando la KCL:

0 0tc t c c

c

D I D D⎛ ⎞

= → ⎡ ⎤ = + =⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

ii i i

i (5.22)

da cui si ricava:

t c cD= −i i (5.23)

Passiamo ora alle relazioni tra le matrici. Dalla relazione 0TDB = possiamo ricavare:

0,T

T Ttc t c

BDB I D B D

I⎡ ⎤

= ⎡ ⎤ = + =⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(5.24)

da cui:

, .T Tc t t cD B B D= − = − (5.25)

Dalla relazione 0TAB = possiamo ricavare:



0,T

T Ttt c t t c

BAB A A A B A

I⎡ ⎤

= ⎡ ⎤ = + =⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(5.26)

e dunque, tenuto conto anche della (5.26), si ha:

1 ,Tc t t cD B A A−= − = (5.27)

In definitiva, tenuto conto della struttura delle matrici B e D :

, ,t cB B I D I D= ⎡ ⎤ = ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.28)

possiamo ricostruire tali matrici in modo algebrico semplice a partire dalla sola conoscenza della matrice A , una volta che sia partizionata in t cA A⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Ricerca automatica di un albero ed albero ottimo L’utilizzo delle matrici topologiche nelle diverse formulazioni delle

equazioni circuitali è particolarmente importante per la simulazione numerica. Vogliamo dare quindi dei cenni alla creazione delle matrici ed alla loro manipolazione automatica.

La generazione della matrice A è molto semplice. Infatti, numerando successivamente i lati ed i nodi del circuito, sarà sufficiente una tripla di numeri i,j,k per descrivere se il lato k è connesso ed in che verso, ai nodi i e j. Tale informazione può essere usata facilmente per la costruzione della matrice A . Memorizzare però l’intera matrice A è estremamente inefficiente a causa della “sparsità” della stessa (cioè, un gran numero di elementi di A è pari a zero, e solo pochi sono diversi da zero).

Come vedremo meglio in seguito, molto spesso non è necessario conoscere A ; ad esempio, nella formulazione delle equazioni circuitali mediante la matrice delle conduttanze di nodo, si può partire dal prodotto

TAGA . In tal caso è molto più agevole memorizzare le predette informazioni nella forma di una tabella di connessione (3 array).

Per generare B o D è invece, come abbiamo visto, necessario identificare un albero. Inoltre la determinazione di un albero, magari con un preassegnato ordine preferenziale di elementi, potrà essere utile per formulare in modo più semplice le equazioni di un determinato circuito: si può parlare in tal caso di albero ottimo. Ad esempio, come vedremo più avanti, per scrivere in modo efficiente le equazioni di stato di un circuito è conveniente disporre di un albero proprio, ovvero un albero che contenga tutti i generatori

Ricerca automatica di un albero ed albero ottimo 65


di tensione ed i condensatori e nessun generatore di corrente ed induttore. Vogliamo dunque considerare, in generale, il problema:

- definire un ordine preferenziale di elementi per l’albero - trovare un albero con quell’ordine di elementi Un modo possibile per trovare l’albero è il seguente: supponiamo di aver

costruito la matrice A , ed ordiniamo le colonne in base al criterio preassegnato, per esempio:

1 1 2 1 2 3 1 2 1

1 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....2 ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .......... ..... .....

1

E C C R R R L L I

A

n

=

−..... ..... ..... ..... ..... .....

..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .....

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Si tratta ora di scegliere le prime n-1 colonne indipendenti partendo da

sinistra. Sappiamo infatti che i lati corrispondenti costituiranno un albero. Esistono degli algoritmi standard per ottenere ciò. In particolare, si tratta di ridurre la matrice per operazioni di riga, nella forma cosiddetta di “Echelon”

1 . . . . . . . .0 1 . . . . . . .0 0 1 0 . . . . .0 0 0 0 1 1 . . .0 0 0 0 0 0 . . .

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Poiché le operazioni elementari di riga non alterano le proprietà di

indipendenza della matrice, è immediato riconoscere che le prime 1n − colonne indipendenti della matrice A risultano quelle che, sulla corrispondente matrice in forma di Echelon presentano un “1” sopra la “gradinata” di zeri.

Riferimenti bibliografici: [1] L.O. CHUA, P.M. LIN, Computer aided analysis of electronic circuits:

algorithms & computational techniques, Prentice Hall, 1975, ISBN 0-13-165415-2.



[2] L.O. CHUA, C.A. DESOER, E.S. KUH, Circuiti Lineari e Non Lineari, Jackson 1991, ISBN 88-7056-837-7.


6. Formulazioni alternative delle equazioni circuitali

Le equazioni circuitali possono essere poste in diverse forme, in linea di

principio equivalenti tra loro, ma come vedremo con differenze strutturali che assumono particolare rilevanza nella manipolazione numerica delle stesse.

Abbiamo sin qui considerato la forma più classica in cui porre le equazioni circuitali, detta anche forma “canonica”:

( )( )

( )

0; 1 equazioni di interconnessione

0; - 1

, , , , 0. caratteristiche degli elementi

A n

B b n

t

⎫= − ⎪⎬

= − ⎪⎭ℑ =

i

v

v i q φ

(6.1)

Osserviamo che, per quanto visto finora, la scelta in tal caso non è unica.

Ciò è conseguenza della non unicità delle matrici ridotte A e B. In particolare sappiamo che, anche avendo fissato la matrice A (cioè eliminando una riga a piacere dalla matrice aA ) la matrice B dipende da quale sistema di maglie indipendenti stiamo considerando. Ad esempio se si considera una matrice di maglia fondamentale Bf essa viene a dipendere dalla scelta dell’albero.

Vogliamo ora mostrare, anche sulla base della conoscenza delle proprietà delle matrici topologiche, altre possibili formulazioni delle equazioni circuitali, provandone a mettere in evidenza le differenze relative.

Potenziali di nodo e matrice di incidenza La prima delle formulazioni alternative a quella canonica e sicuramente tra

le più importanti è quella basata sull’utilizzo dei potenziali di nodo come variabili ausiliarie per la scrittura delle equazioni. Essa si basa sull’introduzione di n variabili ausiliarie ku (k =1, ..n, dunque in numero pari ai nodi del circuito) dette “potenziali di nodo”, e definite tramite relazioni del tipo:

ij i jv u u= − (6.2)

68 Formulazioni alternative delle equazioni circuitali


dove ijv rappresenta la tensione tra il nodo i e quello j (il verso di riferimento è quello che va da i a j ovvero con il contrassegno + su i, come indicato in Figura 6.1).

Figura 6.1 Un generico lato che incide due nodi, per i quali sono definiti i relativi potenziali

Sulla base di tali relazioni definitorie è facile mostrare che:

1. la legge di Kirchhoff per qualsiasi maglia risulta automaticamente

verificata se espressa in termini dei potenziali 2. la relazione tra tensioni e potenziali è esprimibile attraverso la matrice

di incidenza come: T

a aA=v u , ovvero TA=v u , (6.3) avendo rispettivamente indicato con au ed u , rispettivamente, i vettori dei potenziali di nodo e quello ridotto (di uno) in corrispondenza con la riduzione della matrice aA . E’ da osservare che la riduzione del numero di potenziali da n ad n-1

corrisponde al fatto che essendo le tensioni definite per differenza, l’insieme dei potenziali è noto a meno di un valore costante. Si può fissare ad arbitrio dunque il valore di uno dei potenziali, scalando tutti gli altri di un termine corrispondente. A ciò corrisponde la circostanza algebrica che mentre la matrice Aa non ha rango pieno la matrice A ha rango pieno.

Mediante i potenziali di nodo è possibile dunque formulare le equazioni circuitali senza passare per le maglie, e dunque per l’identificazione di un albero per costruire la matrice B (forma “Tableau”):

( )

0 1

, , 0

2 ( 1)

T

A nA b

t b

b n

= −=

ℑ =

+ −

iv u

v i (6.4)

Potenziali di nodo e matrice di incidenza 69


Facciamo anzitutto un esempio; consideriamo il circuito di Figura 6.2. Ad esso corrisponde la seguente matrice di incidenza:

I II III IV 1 1 0 0 10 1 1 1 21 0 1 1 3

aA⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

(6.5)

Figura 6.2 Un semplice circuito ed il relativo grafo orientato

Per il circuito in esame dunque, in base alla (6.2), si avranno le seguenti

relazioni (tra tensioni e potenziali dei nodi):

1 1 3

2 1 2

3 2 3

4 2 3

.v u uv u uv u uv u u

= −= −= −= −

(6.6)

Pertanto, in forma matriciale avremo:

11

22

33

4

1 0 11 1 0

.0 1 10 1 1

vu

vu

vu

v

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠−⎝ ⎠⎝ ⎠

(6.7)



Come si vede, la matrice è proprio TaA .

Vediamo ora se possiamo costruire un set di equazioni in cui le incognite siano solo i potenziali dei nodi (metodo dei potenziali di nodo). Scriviamo anzitutto le equazioni di Tableau del circuito:

1 2

2 3 4

00

0i i

Ai i i+ =⎧

= → ⎨− + + =⎩i (6.8)

1 1

2 1 2

3 2

4 2

T

v uv u u

Av uv u

=⎧⎪ = −⎪= → ⎨ =⎪⎪ =⎩

v u (6.9)

1

2 2

3 3

44

( )

( , , ) 0 ( )

v e tv Ri

t i g vdvi Cdt

=⎧⎪ =⎪⎪ℑ = → ⎨ =⎪⎪ =⎪⎩

v i (6.10)

Ricavando (dove possibile) le intensità di corrente in funzione delle

tensioni dalle (6.10) e sostituendo le espressioni di queste ultime in funzione dei potenziali di nodo otteniamo il sistema:

1 21

1 22 2

1

0

( ) 0

( )

u uiR

u u dg u C uR dt

u e t

−⎧ + =⎪⎪

−⎪ + + =⎨⎪

=⎪⎪⎩

(6.11)

Esso è costituito da un’equazione in 1u , 2u , ma che contiene anche 1i , ed

infine l’equazione caratteristica del generatore di tensione. Ciò accade perché sul lato I vi è un bipolo che non è controllato in tensione (un altro frequente esempio di bipolo non controllato in tensione è l’induttore).



In generale (metodo dei potenziali di nodo “modificato”) ci ridurremo ad un sistema di (n-1) + h equazioni (ed incognite), dove h è proprio il numero di bipoli non controllati in tensione.

Matrice delle conduttanze ai nodi Per mostrare una applicazione del metodo dei potenziali di nodo e la procedura di riduzione delle equazioni di tableau, consideriamo dapprima il circuito di resistori lineari e di generatori indipendenti di corrente rappresentato in Figura 6.3.

J6

R2R3R1

R4R5

J7

J8

u1 u2 u3

u0=0

Figura 6.3 Un esempio di circuito di soli resistori e generatori di corrente (il nodo 0 è assunto come riferimento dei potenziali)

Esso consta di 4 nodi e 8 lati. Abbiamo scelto di considerare il nodo 0 come riferimento dei potenziali ( )0 0u = . In riferimento ai versi adottati per le correnti nei resistori, le KCL ai nodi 1, 2, 3 saranno:

1 2 6 7

2 3 4 7

4 5 8

i i J Ji i i Ji i J

− + = +

− − + = −− + = − (6.12)

Ogni corrente incognita del precedente sistema può essere espressa in funzione della tensione (e quindi in funzione dei soli potenziali di nodo) mediante la caratteristica dei resistori, ottenendo:

2 3 31 1 2 21 2 3 4 5

1 2 3 4 5

, , , , .u u uu u u ui i i i iR R R R R

−− − −= = = = =

(6.13)

In tal modo, le KCL ai nodi divengono:



1 1 26 7

1 2

2 31 2 27

2 3 4

2 3 38

4 5

u u u J JR R

u uu u u JR R R

u u u JR R

−+ = +

−−− + + = −

−− + = −

(6.14)

Esso è un sistema di tre equazioni in tre incognite (i potenziali dei nodi

1 2 3, ,u u u ) che potrà essere risolto nel modo più opportuno. Una volta ricavati i valori dei potenziali dei nodi, le tensioni dei diversi bipoli potranno essere tutte espresse attraverso le relazioni con questi ultimi. Se fissiamo, ad esempio, la convenzione dell’utilizzatore per definire le tensioni di tutti i bipoli del circuito, avremo le relazioni:

1 1

2 1 2

3 2

4 2 3

5 3

6 1

7 1 2

8 3

v uv u uv uv u uv uv uv u uv u

= −= −= −

= −

== −

= − +

=

(6.15)

In riferimento all’esempio appena considerato vogliamo ora mostrare un’importante proprietà strutturale delle equazioni per i potenziali nodali. Difatti se riordiniamo le equazioni precedentemente scritte, mettendo in evidenza a primo membro i termini che moltiplicano i potenziali incogniti, il sistema assume la forma:

1 2 21 6 7

2 72 2 3 4 4

3 8

4 4 5

1 1 1 0

1 1 1 1 1

1 1 10

R R R u J Ju J

R R R R Ru J

R R R

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎜ ⎟ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.16)



ovvero Gu = J , dove G viene definita matrice delle conduttanze ai nodi, u è il vettore dei potenziali di nodo, J quello dei termini noti. Osserviamo subito che la costruzione del sistema nella forma appena considerata può essere realizzata per ispezione diretta del circuito. Difatti, per quanto riguarda la matrice G delle conduttanze ai nodi essa ha la seguente struttura: i termini della diagonale principale iiG contengono la somma delle conduttanze che incidono nel nodo i-esimo del circuito; quelli fuori diagonale , , i jG i j≠ sono l’opposto delle conduttanze esistenti tra il nodo i-esimo e j-esimo. Il vettore dei termini noti è costituito, per ciascuna riga i, dalla somma delle correnti note (dei generatori) entranti nel nodo i-esimo. Questa regolarità nella struttura delle matrici consente agevolmente di costruire il sistema da risolvere, come anticipato prima, per ispezione diretta del circuito. Ciò è alla base di molti algoritmi numerici per la simulazione circuitale.

È possibile verificare direttamente che la matrice delle conduttanze ai nodi G può essere ottenuta in modo algebrico a con nel modo seguente. Si definisce anzitutto un vettore di conduttanze Y con la regola:

1 se sul lato c'è un resistore,

0 se sul lato c'è un generatore di corrente.ii

iRY

i

⎧⎪= ⎨⎪⎩

In tal caso è immediato verificare che:

diag( ) ,TG A A= Y (6.17) dove con diag( )Y si è indicata la matrice diagonale con gli elementi di Y sulla diagonale principale. Ad esempio, nel caso del circuito già esaminato in Figura 6.3, abbiamo:

1 2 3 4 5(1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,0,0,0) ,TR R R R R=Y

I II III IV V VI VII VIII1 1 0 0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 0 0 1 0 20 0 0 1 1 0 0 1 31 0 1 0 1 1 0 1 4

aA

− − −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟=⎜ ⎟− −⎜ ⎟

−⎝ ⎠



ed è facile mostrare che tramite la (6.17) otteniamo la matrice delle conduttanze ai nodi precedentemente ricavata.

Potenziali di nodo modificato: forma matriciale Consideriamo ora un circuito nel quale siano presenti generatori di tensione oltre che di corrente, come ad esempio quello rappresentato in Figura 6.4. Vogliamo ad esso applicare il metodo dei potenziali di nodo “modificato”. Nel circuito si individuano 3n = nodi, dunque avremo 1 2n − = equazioni indipendenti per le intensità di corrente ed altrettanti potenziali incogniti

1 2,u u , avendo assunto 3 0u = .

Figura 6.4 Un esempio di circuito con generatori di tensione e corrente

Le KCL ai nodi 1 e 2 sono:

1 4

1 2 3

0+ =− + + =i i

i i i J (6.18)

Come possiamo notare non tutte le correnti possono essere espresse in funzione della tensione, cioè non tutti i bipoli sono caratterizzabili in tensione, (per questo stiamo parlando di metodo dei potenziali di nodo modificato). In particolare l’intensità di corrente 4i del generatore di tensione E non è direttamente esprimibile in funzione dei potenziali di nodo e rappresenta una ulteriore incognita del sistema (6.18), cui va aggiunta dunque l’ulteriore equazione.

1 =u E (6.19)



Abbiamo dunque ottenuto un sistema in 3 equazioni ed altrettante incognite

1 2 4( , , )Tu u i=x :

1 24

1

1 2 2 2

1 2 3

1

0,

,

.

u u iR

u u u u JR R R

u E

−⎧ + =⎪⎪⎪− +

+ + =⎨⎪⎪ =⎪⎩

(6.20)

Esso può essere riscritto in forma matriciale:

1 11

21 1 3 3

4

1 1 1

01 1 1 1 0 .

1 0 0

R Ruu J

R R R Ri E

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.21)

Riconosciamo nella matrice a primo membro la sottomatrice 2 2× data dalla matrice delle conduttanze ai nodi G. Inoltre il vettore dei termini noti (0, , )TJ E è costituito dal sottovettore (0, )TJ delle correnti impresse ai nodi e dal sottovettore delle tensioni ( )TE dei generatori di tensione presenti nel circuito.

È possibile a questo punto generalizzare i risultati di quanto visto con l’esempio. Nel caso in cui ci siano elementi non controllati in tensione il metodo dei potenziali di nodo viene modificato nel seguente modo: la matrice che moltiplica il vettore delle incognite deve essere una matrice a blocchi come schematizzato di seguito:

0

ETE

G AA

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, (6.22)

dove la sottomatrice G risulta essere proprio la matrice delle conduttanze ai nodi precedentemente definita, la sottomatrice EA risulta essere il sottoblocco



della matrice d’incidenza A relativa ai lati con un generatore di tensione e TEA la sua trasposta. Ricordiamo che la matrice G ha dimensione

( 1) ( 1)n n− × − mentre EA ha dimensione ( 1) En n− × ( TEA ha dimensione

( 1)En n× − ) con En numero dei generatori di tensione. Si noti la presenza della matrice nulla di dimensione E En n× . Il vettore dei termini noti sarà dato da ( , )TJ E .

Correnti di maglia e matrice di maglia Accanto alla formulazione con i potenziali di nodo, sappiamo esistere una

formulazione assolutamente speculare che è quella fondata sulle cosiddette correnti di maglia. Nel riprenderla faremo nuovamente riferimento al circuito di Figura 6.2, avendone scelto un certo albero (quello formato dai lati II e III), come riportato in Figura 6.5.

In relazione alla scelta fatta per l’albero abbiamo che il vettore delle correnti di coalbero risulta in questo caso ( )1 4, T

c i i=i .

Figura 6.5 Grafo del circuito di Figura 6.2 con indicazione di un albero e delle

correnti di maglia.

Considerando ora le maglie fondamentali in relazione all’albero scelto ed indicate in figura, le relative correnti di maglia coincidono con quelle di coalbero a patto di scegliere il verso di percorrenza delle maglie in accordo con l’orientazione dei relativi lati di coalbero. Sulla base di tale scelta, evidenziata in Figura 6.5, possiamo scrivere nel modo seguente il legame tra le correnti di maglia (o di coalbero) e tutte le correnti del circuito:

1 1

2 1

3 1 4

4 4

1 01 0

1 1

0 1

c

i ii ii i ii i

= ⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟=⎜ ⎟= − + −⎜ ⎟

= ⎝ ⎠

i i (6.23)

Una rivisitazione del teorema di Tellegen 77


Osserviamo ora (in analogia con quanto visto precedentemente per i potenziali di nodo, che la matrice di maglia (fondamentale) relativa all’albero scelto è:

1 1 1 0

,0 0 1 1

B− −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.24)

dunque si riconosce immediatamente che

.T

cB=i i (6.25) Procedendo in maniera analoga si può giungere ad un analogo risultato per

quanto riguarda la matrice di taglio fondamentale relativa all’albero scelto: ,T

tD=v v (6.26)

dove ora v è il vettore delle tensioni dei lati, e tv quello dei soli lati dell’albero.

Sulla base di quanto visto possiamo affermare che le equazioni di interconnessione per un circuito possono essere poste nelle tre forme equivalenti (forma “Tableau”):

0, 0, 0,

; .; T TTc t

B DAB DA= ==

= ==

v iii i v vv u

(6.27)

Val la pena osservare che se per il circuito si utilizza in albero a stella con

nodo comune il riferimento per i potenziali (è possibile sempre considerare un tale albero a patto di aggiungere eventuali circuiti aperti tra i nodi non direttamente collegati nel circuito), allora si ha che t ≡v u ed i nodi 1 … n-1 coincidono con i tagli fondamentali: in tal caso la terza forma e la prima delle equazioni Tableau coincidono.

Una rivisitazione del teorema di Tellegen Sulla base delle relazioni trovate possiamo qui dare una nuova

dimostrazione del teorema di Tellegen: Come ricordiamo il teorema di Tellegen, o della conservazione della

potenza virtuale ˆ k k kp v i′ ′′= afferma che, per un qualsiasi sistema di tensioni ′v ed intensità di corrente ′′i che verificano le leggi di Kirchhoff associate ad



uno stesso grafo con b lati, fissata una stessa convenzione su tutti i lati, si ha sempre:

10

b

k kk

v i=

=∑ , ovvero 0.T =v i (6.28)

Il teorema, nel caso particolare che ′ =v v ed ′′ =i i si riduce alla conservazione delle potenze elettriche in un circuito. Dunque esso sancisce una proprietà piuttosto generale per un circuito, che risulta basata sul solo fatto che le tensioni descrittive e le intensità di corrente descrittive debbano verificare i vincoli imposti dalle LK per un assegnato grafo.

Una possibile dimostrazione del teorema di Tellegen (piuttosto usata) è

basata sull’utilizzo della matrice di incidenza A e sul legame con i potenziali di nodo. Basandosi sulle proprietà di trasposizione del prodotto di matrici, si ha infatti:

( ) ( ) 0TT T TA A= = =v i u i u i . (6.29)

È possibile dimostrare il teorema di Tellegen anche a partire dalla

relazione 0TDB = , utilizzando le espressioni di ci e tv date dalle (6.25) e (6.26). Si ha infatti:

0 0

T

T T Tt cDB D B= ⇒ =v i

v i . (6.30)

Equazioni circuitali nella forma di stato Dopo aver esaminato le formulazioni alternative delle equazioni circuitali

basate sulle diverse matrici topologiche vogliamo ora considerare la formulazione tramite le equazioni di stato. Ricordiamo anzitutto che in matematica la forma normale per un problema dinamico di valore iniziale è data da:

( )

0 0

,( ) .

tt=

=

x f x,x X

(6.31)

Il problema espresso dalla (6.31) è noto come problema di Cauchy e su tale forma sono espressi i principali teoremi, in particolare a riguardo

Equazioni circuitali nella forma di stato 79


dell’esistenza e dell’unicità della soluzione. È importante osservare che se per il caso dei circuiti lineari la possibile cattiva posizione del problema è essenzialmente dovuta ad incongruenze di tipo “topologico” e viene generalmente considerata come un fatto “patologico”, nel caso non lineare il problema dell’esistenza e dell’unicità risulta centrale ai fini della valutazione del modello che si sta considerando.

Nel caso di un circuito il vettore x rappresenta un opportuno sottoinsieme delle variabili descrittive, che naturalmente deve permettere sempre di ricostruire le altre variabili in modo univoco. Le equazioni (6.31) sono dette equazioni di stato, e corrispondentemente le variabili x variabili di stato in presenza delle seguenti condizioni:

a. il legame tra le variabili di stato e le altre è univoco ed esprimibile da

relazioni di tipo algebrico; b. tutte le variabili di stato risultano continue nella sola ipotesi che i

forzamenti del sistema si mantengano limitati; c. le variabili di stato risultano legate biunivocamente all’energia

immagazzinata dal sistema; di conseguenza le condizioni iniziali in un qualsiasi istante t0 sono esprimibili dalle variabili di stato in modo univoco.

È possibile che la scelta delle variabili di stato non sia univoca, nel senso

che esistono più insiemi di variabili che verificano le condizioni richieste e permettono la scrittura delle equazioni nella forma canonica (6.31). In ogni caso il numero di variabili di stato coincide (di norma) con il numero di elementi dinamici, e più in generale con il numero di equazioni differenziali (indipendenti) presenti nella forma canonica.

Nel caso dei circuiti lineari si scelgono tradizionalmente come variabili di stato le tensioni dei condensatori vC e le intensità di corrende degli induttori iL ed è facile mostrare che, salvo appunto casi patologici, è possibile mettere le equazioni nella forma normale e verificare le proprietà a), b), c). Vogliamo ora analizzare il problema in generale per circuiti eventualmente non lineari. In particolare vogliamo trovare le condizioni sufficienti perché le equazioni del circuito ammettano la forma di stato.

Esempio da sviluppare



Interpretazione geometrica della forma canonica e spazio delle configurazioni

Al fine di studiare in generale il passaggio dalla forma canonica a quella di stato ha senso introdurre una interpretazione geometrica delle equazioni circuitali. Riscriviamo anzitutto le equazioni in forma canonica nel caso generale:

( )( )( )( )( )

C

L

0 leggi di Kirchhoff

0

0 resistori

, 0 generatori

0 multi-porta

0 condensatori

0 induttori

R R R

S S S

P P P

C C

L L

AB

t

ddtddt

ϕ

ϕ

= ⎫→⎬= ⎭= →

= →

= →

= →

= →

⎫= ⎪⎪ →⎬⎪=⎪⎭

iv

f v ,i

f v , i

f v ,i

f v ,q

f i ,

qi

vequazioni "dinamiche"

(6.32)

dove abbiamo considerato i soli generatori come elementi eventualmente tempo varianti. In riferimento al sistema (6.32) consideriamo che vi siano NC condensatori, NL induttori, NS generatori tempo varianti (s=”sources”), NR resistori (lineari e non lineari) NP doppi bipoli (p=”ports”). Il grafo corrispondente al sistema è formato da un numero di lati

2R S C L Pb N N N N N= + + + + . Corrispondentemente, il numero di equazioni (e di incognite) è pari a 2 C Lb N N+ + di cui 2b sono algebriche ed C LN N+ differenziali.

Il sistema (6.32) può essere espresso in forma più sintetica come:



( )

C

L

, , , , 0,

,

.

F tddtddt

ϕ

ϕ

=

=

=

v i qqi

v

(6.33)

Una qualsiasi soluzione delle equazioni (6.32) (una volta assegnata la

condizione iniziale) è esprimibile nella forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,T

t t t t tξ ϕ= v i q ,

ed appartiene allo spazio 2 C Lb N N+ + . Osserviamo subito che le variabili ,ϕq risultano i “candidati naturali” per

esprimere le equazioni nelle forma di stato. Infatti se riusciamo a risolvere la parte algebrica delle (6.33) in funzione di esse otteniamo:

( )

( )

C 1

L 2

, , ,

, , = ,

df tdtdf tdt

ϕ

ϕϕ ϕ

= = =

= =

qi q q

v q (6.34)

che è la forma di stato desiderata.

Se consideriamo il sistema (algebrico) ottenuto da (6.32) escludendo le C LN N+ equazioni differenziali (ovvero la ( ), , , , 0F tϕ =v i q nella (6.33)),

abbiamo un sistema di 2b equazioni in 2 C Lb N N+ + incognite. Quindi, in generale le soluzioni di questo sistema sono da ricercarsi nello spazio

2 C Lb N N+ + e, di norma (perché ci possono essere dei casi particolari) costituiranno un sottospazio di dimensione C LN N+ . Difatti, perché questa condizione sia verificata, deve accadere che le equazioni siano tutte compatibili tra di loro ed indipendenti. Se vi sono equazioni in contraddizione si abbassa la dimensione della soluzione. Se vi sono invece equazioni che sono dipendenti, aumenta la sua dimensione.

Possiamo ora dare le seguenti definizioni: - si definisce punto di lavoro del circuito un qualsiasi insieme di

tensioni, correnti, flussi e cariche che sia soluzione della parte algebrica del sistema.

- si definisce spazio delle configurazioni del circuito l’insieme di tutti i

punti di lavoro



Osserviamo che la generica soluzione del circuito

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,T

t t t t tξ ϕ= v i q altro non è che una curva (con il tempo t come parametro) nello spazio delle configurazioni. Possiamo darne un’immagine grafica con analogia meccanica al moto di un punto materiale su di una superficie come mostrato in Figura 6.11. In tal caso, lo spazio delle configurazioni rappresenta il vincolo sul quale si muovono le soluzioni. In sostanza, le soluzioni possono essere diverse in relazione alle diverse condizioni iniziali, ma devono soddisfare istante per istante la parte algebrica che rappresenta, appunto, il nostro vincolo.

Figura 6.6. Rappresentazione grafica di una soluzione (traiettoria) poggiata

(vincolata) allo spazio delle configurazioni

Nelle equazioni scritte prima, i soli componenti tempo varianti si suppongono essere i generatori indipendenti. Per tenere conto di questa variazione temporale, si può pensare che la superficie si muova nel tempo, dovendo comunque la soluzione rimanere vincolata alla superficie, questa volta in moto. In talune circostanze è conveniente disfarsi di questa dipendenza dal tempo per poter utilizzare alcuni risultati. Questo lo si fa introducendo una nuova definizione:

- si definisce spazio delle configurazioni generalizzato lo spazio delle

configurazioni quando siano rimossi i vincoli (le equazioni) corrispondenti alle caratteristiche dei generatori indipendenti variabili nel tempo.



In tal caso il sottospazio corrispondente, sempre definito in 2 C Lb N N+ + , avrà dimensione C L SN N N+ +

Val la pena infine di introdurre un’ulteriore definizione: - si definisce un punto di lavoro in continua un punto di lavoro per cui si

abbia 0C L= =i v e siano spenti tutti i generatori di tensione e di corrente tempo-varianti.

Esempio: spazio delle configurazioni per un circuito a-dinamico lineare

In un circuito lineare tali sono tutte le equazioni nel sistema (6.32). Di conseguenza lo spazio delle configurazioni sarà certamente un (iper)piano. Ha senso chiedersi: la dimensione di tale piano sarà sempre pari a C LN N+ ? Ebbene, anche in un caso così semplice, la risposta a tale quesito non è sempre positiva, come vediamo subito con il seguente esempio. Consideriamo dunque il circuito in Figura 6.7, che rappresenta un classico caso limite. Nell’esempio che stiamo considerando è immediato constatare che

0C LN N+ = .

v1+-

v2+-

Figura 6.7. Un banale circuito degenere

Potremmo allora aspettarci che la dimensionalità sia 0 1∞ = , cioè il

sistema abbia una soluzione. Invece, come sappiamo per il circuito in esame sono possibili due situazioni:

1 2v v≠ ⇒ il circuito non ammette soluzione.

1 2v v= ⇒ il circuito ammette infinite soluzioni A valle dell’esempio fatto, ha senso dare la seguente definizione: - un circuito si dice ben posto se il suo spazio delle configurazioni ha

dimensione proprio pari a C LN N+ . In particolare, siccome in un



circuito a-dinamico 0C LN N+ = , dunque esso si dirà ben posto se ammette 0 1∞ = soluzione.

Condizioni di esistenza delle equazioni di stato Sulla base dei concetti introdotti proviamo a rispondere alle due questioni

fondamentali circa l’esistenza della forma di stato che sono: 1. le funzioni f1 ed f2 nella (6.34) esistono sempre? 2. le soluzioni del sistema (6.34) sono sempre soluzioni del sistema di

partenza (6.33)? Solo per semplificare la trattazione considereremo il caso di tutti generatori tempo invarianti, senza peraltro che ciò infici le conclusioni cui perverremo. Possiamo dire che le equazioni (6.34) sono le equazioni di stato per il circuito descritto dalla forma canonica (6.32) se accade contemporaneamente che:

a. se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,T

t t t t tξ ϕ= v i q è una soluzione del circuito allora

( ) ( ),t tϕq sono soluzione delle (6.34); b. se ( ) ( ),t tϕq sono soluzione delle (6.34) allora esiste una sola

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,T

t t t t tξ ϕ= v i q soluzione del circuito. Dal punto di vista geometrico le due condizioni citate equivalgono al fatto che ci sia una proiettabilità biunivoca tra lo spazio delle variabili di stato ( ) ( ),t tϕq e lo spazio di tutte le altre variabili. Tale circostanza va verificata

nello spazio delle configurazioni generalizzato, come schematicamente indicato in Figura 6.8.

In uno spazio (virtualmente) a tre dimensioni v ed i rappresentano le tensioni e le intensità di corrente (tranne quelle dei generatori) e la superficie definisce lo spazio delle configurazioni generalizzato. Quello che succede nell’esempio considerato è che per un certo valore assegnato dei generatori, e per un certo valore assegnato da ( ) ( ),t tϕq , si hanno due valori possibili per le tensioni e le correnti (in questo esempio, ma potrebbero essere anche di più in generale). Questo significa che siamo in una situazione in cui non esistono le equazioni di stato globali.



Figura 6.8 spazio delle configurazioni generalizzato non parametrizzabile

(globalmente) rispetto a q,φ.

È possibile a questo punto dare le condizioni (necessarie e sufficienti)

affinché, come si dice, la parametrizzazione dello spazio delle configurazione rispetto alle variabili ( ) ( ),t tϕq risulti globale. In particolare, considerata la funzione ( ), , , , 0F tϕ =v i q definita nelle (6.33) e scomposta come:

( )( )( )

, 0,

, 0,

, 0,

C C

L L

RP R R

F

F

F

ϕ

=

=

=

v q

i

v i

(6.35)

dove la FRP include tutte le relazioni algebriche degli elementi a-dinamici oltre alle leggi di Kirkhhoff, è possibile affermare che:

( )( )

( )

1

2

2

, parametri globali

,

C

L

C L

ψ

ϕ ψ ϕ

ψ

=

⇔ =

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

v q

q i

vv i

i

(6.36)



In altre parole se accade che:

“tutti i condensatori risultano controllati in carica, tutti gli induttori controllati in flusso, ed il circuito resistivo associato al circuito dinamico di partenza risulta ben posto per qualsiasi scelta delle variabili ,C Lv i , allora esiste certamente la forma di stato (6.34)”.

Circuito resistivo associato Consideriamo il circuito in Figura 6.9 (si tratta di un semplice circuito del

primo ordine non lineare). Consideriamo separatamente la parte a-dinamica del circuito (nel riquadro tratteggiato in figura), da quella dinamica. Se siamo in grado di ottenere la caratteristica del bipolo nel riquadro tratteggiato nella forma controllata in tensione, ( ),C Ci f v t= tenuto conto della caratteristica del condensatore abbiamo immediatamente:

( ),CC

dvC f v tdt

= (6.37)

Nel caso in esame è praticamente immediato ricavare la caratterizzazione

in tensione del bipolo a-dinamico nel riquadro:

( ) ( ) ( ),g C

C R C C

v t vi i i g v f v t

R−

= − = − = (6.38)

Figura 6.9. Un semplice circuito dinamico del primo ordine

Osserviamo subito che la caratteristica ( ),C Ci f v t= che abbiamo trovato è, in linea di principio, la soluzione del seguente circuito “resistivo”:



Figura 6.10. Il circuito resistivo associato al circuito dinamico precedente

In altri termini, nel risolvere il circuito, abbiamo di fatto sostituito all’elemento dinamico un generatore di tensione, e su questa base abbiamo caratterizzato il bipolo a-dinamico cui risultava connesso.

In generale, preso un circuito dinamico con induttori e condensatori, il circuito in cui ai condensatori sostituiamo i generatori di tensione ed agli induttori quelli di corrente viene detto circuito resistivo associato a quello di partenza. Tale concetto è importantissimo dal punto di vista pratico per scrivere le equazioni, e dal punto di vista teorico perché le proprietà della soluzione, una volta formulate le equazioni di stato, verranno a dipendere dalla funzione ( ),tf x , dunque in definitiva dalla sola parte a-dinamica del circuito.

Se ad esempio considerassimo un circuito con una capacità ed un’induttanza, il procedimento considerato ci porta a caratterizzare questa volta un doppio bipolo resistivo, come mostrato nella Figura 6.11.

Figura 6.11. Un circuito del secondo ordine visto come un doppio bipolo a-dinamico collegato ai due elementi dinamici; il corrispondente circuito resistivo associato



Consideriamo in generale un circuito con CN condensatori ed LN induttori (per il momento li supponiamo tutti lineari); in tal caso la forma delle equazioni di stato sarà:

( ), ,t=x f x (6.39)

dove il vettore x è definito da ( )1 1.... , ....C LN Nv v i i=x .

Analogamente a quanto visto prima possiamo considerare il circuito resistivo associato come in Figura 6.12.

(NC+NL)-porteadinamico

+-

+-

(NC+NL)-porteadinamico

Circuito di partenza Circuito resistivo “associato”

Figura 6.12. Generalizzazione ad un circuito dinamico di ordine qualsiasi del concetto di circuito resistivo associato

Facciamo ora un passo indietro, partendo dalla forma “canonica” delle

equazioni:

( )

0 equazioni di interconnessione

0

, 0 caratteristiche a-dinamiche

caratteristiche dinamiche

CC

LL

AB

t

dCdt

dLdt

= ⎫⎬= ⎭=

⎫= ⎪⎪⎬⎪=⎪⎭

iv

f v,i

vi

iv

(6.40)

dove A e B sono una matrice di incidenza di nodo (ridotta) ed una di maglia (fondamentale), e C ed L sono le matrici:



1

2

0 . . . 00 . . . .0 . . . . .0 0 . . . N

CC

C

C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2

0 . . . 00 . . . .0 . . . . .0 0 . . . M

LL

L

L

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.41)

Il sistema può essere messo nella forma:

( , )

( , )

CC

LL

dC tdv

dL tdt

=

=

v f x

i f x (6.42)

ovvero, raggruppando i termini, ( , )E t=x f x con:

[ ]

[ ]0

ed 0

C

L

CE

L⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

ff

f (6.43)

Naturalmente i passaggi formali fatti presuppongono implicitamente (oltre

all’ipotesi di condensatori ed induttori lineari) che il circuito resistivo associato sia ben posto.

A questo punto, per completare il nostro il discorso dobbiamo dunque

studiare l’unicità della soluzione di un circuito resistivo: in tal modo, mediante il concetto di circuito resistivo associato, saremo in grado in modo semplice di garantire l’esistenza delle equazioni di stato globali, e di qui, come vedremo più avanti, di studiare l’unicità della soluzione.

Prima enunciare il teorema di unicità per le soluzioni di un circuito a-dinamico, val la pena di ricordare alcune definizioni sulla passività: in particolare un bipolo statico si dice passivo quando, fatta la convenzione dell’utilizzatore, si ha che 0p vi= ≥ in qualsiasi punto della caratteristica. Inoltre, si dice “strettamente” passivo se, oltre ad essere passivo, si ha che

0 0vi v i= ⇔ = = . Si dice infine “localmente” passivo in un generico punto di lavoro sulla sua caratteristica se in tale punto la pendenza della caratteristica è positiva.



Unicità della soluzione per un circuito a-dinamico “se un circuito (a-dinamico) è costituito di resistori passivi con caratteristica strettamente crescente e da generatori indipendenti, e se non vi sono maglie costituite da soli generatori di tensione e tagli costituiti da soli generatori di corrente, la soluzione del circuito è unica” E’ semplice ed istruttivo dimostrare tale risultato. Basta procedere per

assurdo, ipotizzando che esistano due soluzioni diverse per il circuito, ovvero due sistemi di tensioni e di correnti descrittive k kv i′ ′ e k kv i′′ ′′ che soddisfano tutte le equazioni, vale a dire le leggi di Kirchhoff e le caratteristiche degli elementi. Consideriamo a tal fine le quantità ' ''

k k kv v vΔ = − e ' ''k k ki i iΔ = − .

Esse verificano le leggi di Kirchhoff (per la linearità di queste ultime). Di conseguenza alle grandezze kvΔ e kiΔ possiamo applicare il teorema di Tellegen:

0k k

kv iΔ Δ =∑ (6.44)

Analizziamo ora in modo puntuale i diversi tipi di termini che possono

presentarsi nella sommatoria (6.44). Nel caso di lati con resistori lineari (passivi) avremo termini del tipo 2 0k k k kv i R iΔ Δ = Δ ≥ , che risulteranno sempre positivi. Per il lati con generatori di tensione, invece, 0 0k k kv v iΔ = ⇒ Δ Δ = dunque i termini saranno tutti nulli. Stessa cosa per i lati con generatori di corrente 0 0k k ki v iΔ = ⇒ Δ Δ = . Infine, per i lati con bipoli non lineari di

caratteristica ( )k ki g v= avremo che ( ) ( )'' 'k k k k kv i v g v g v⎡ ⎤Δ Δ = Δ −⎣ ⎦ .

Tenuto conto di quanto osservato, potremo riscrivere la sommatoria (6.44) come:

( ) ( )' 2'' 0k k k kv g v g v R i⎡ ⎤Δ − + Δ =⎣ ⎦∑ ∑ (6.45)

A causa della stretta monotonia ipotizzata per tutti i bipoli passivi, si ha

che se 0kvΔ ≥ allora certamente sarà ( ) ( )'' ' 0k kg v g v− > , e viceversa. Perché

dunque l’uguaglianza sia valida dovrà necessariamente accadere che 0 kvΔ = e 0kiΔ = , c.v.d.

Albero proprio ed equazioni di stato 91


Albero proprio ed equazioni di stato A completamento del discorso sull’esistenza delle equazioni di stato per un circuito vogliamo a questo punto descrivere un metodo, che poi possa tradursi in algoritmo, per la ricerca sistematica delle equazioni di stato in un circuito. Esso si basa sul concetto di albero proprio, ovvero un albero che contenga tutti i condensatori del circuito e nessun induttore. Illustreremo la procedura con un esempio: consideriamo il circuito di Figura 6.13

Le variabili di stato per il circuito sono 1Cv , 2Cv , Li . Consideriamo ora le KCL per i tagli fondamentali che includono i condensatori e le KVL per le maglie fondamentali che includono gli induttori (è chiaro che per far ciò è necessario l’albero proprio). Si ha:

1 1

1 11

2 22 1 2 1

2

1 2

( ) ,

,

,

C CL L

C CL C C L

LC C

dv e t vC i i idt R

dv vC i gv i gv idt R

diL v vdt

−= − = −

= − − = − − +

= −

(6.46)

ovvero, posto 1 2( , , )T

C C Lv v i=x in forma normale:

1 1 11 1

2 2 2 2

1 10 ( )

1 1 00

1 1 0

e tR C C R C

gC R C C

L L

⎡ ⎤− − ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟= − − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟−⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

x x . (6.47)



e +-

R1

C1

L

C2 gvC1

R2

(a)

(b)

i1

vC1

+

-vC2

+

-

iLi2

Figura 6.13 (a) un circuito del terzo ordine, (b) un suo albero proprio ed i relativi

insiemi di taglio fondamentali con i condensatori

Generalizzando quanto visto nell’esempio possiamo dunque affermare

che: se in un circuito dotato di albero proprio scriviamo le KVL alle maglie fondamentali con gli induttori e le KCL ai tagli fondamentali con i condensatori, sostituendo tutte le caratteristiche degli elementi dinamici otteniamo un sistema di equazioni in cui le derivate delle variabili iL e vC (o φ e q nel caso non lineare) compaiono in maniera isolata all’interno di ciascuna equazione. Queste equazioni rappresentano le sole equazioni dinamiche del sistema. Riducendo la parte algebrica delle equazioni in modo da eliminare le altre variabili (è possibile realizzare ciò in forma algoritmica) otteniamo le equazioni di stato del circuito in modo diretto.


ISBN 0-89006-208-0. [1] L.O. CHUA, P.M. LIN, Computer aided analysis of electronic circuits:

algorithms & computational techniques, Prentice Hall, 1975, ISBN 0-13-165415-2.

[2] L.O. CHUA, C.A. DESOER, E.S. KUH, Circuiti Lineari e Non Lineari, Jackson 1991, ISBN 88-7056-837-7.

[3] C.A. DESOER, E.S. KUH, Fondamenti di Teoria dei Circuiti, Franco Angeli, 1999, ISBN 88-2042-756-7.


7. Circuiti mal posti e fenomeni di “impasse”

Abbiamo sin qui ragionato della formulazione delle equazioni circuitali.

Quando si passa al problema della soluzione, la prima questione da affrontare è quella dell’esistenza ed unicità. Potrebbe sembrare una questione superflua, in quanto dal punto di vista fisico essa è certamente garantita. Dobbiamo però ricordare che il modello non coincide con la realtà, e dunque possono esservi sorprese ed insidie. Il problema dell’esistenza ed unicità della soluzione in un circuito viene solitamente fugacemente introdotto a proposito dei circuiti lineari. In tal caso però esso è quasi sempre banale; vedremo che non lo è altrettanto nel caso non lineare.

Consideriamo un classico circuito non lineare a-dinamico, come quello di Figura 7.1, dove un resistore non lineare (diodo tunnel) a caratteristica non monotona è collegato ad un generatore reale. Il circuito è descritto dalle equazioni:

,

( ),D D

D D

v E Rii g v

= −=

(7.1)

dove abbiamo supposto che il diodo abbia una caratteristica controllata in tensione. L’analisi stazionaria può facilmente essere condotta con il metodo grafico (Figura 7.2).

iD

E +-

RvD

+

-

Figura 7.1: circuito con generatore reale e diodo tunnel

A seconda della pendenza e delle intercette della retta di carico possono presentarsi diversi casi: il circuito può avere una soluzione (Figura 7.2a,b),

94 Circuiti mal posti e fenomeni di “impasse”


due soluzioni (Figura 7.2c) oppure tre soluzioni distinte (Figura 7.2d), allo stato indistinguibili tra loro.

Figura 7.2: analisi grafica delle soluzioni

Supponiamo di essere nel caso di Figura 7.2d in una certa “condizione

iniziale” in un istante 0t , compatibile con le equazioni del circuito, ovvero in una delle tre possibili soluzioni, ad esempio 1P ; ci domandiamo: cosa accade al circuito successivamente a 0t ? si permane in 1P , o si può passare nelle altre soluzioni? Il modello, allo stato, non è in grado di darci una risposta, e dunque, da questo punto di vista, è inadeguato.

Andiamo ora a complicare ulteriormente le cose, aggiungendo al circuito, che immaginiamo in una specificata condizione di funzionamento, un generatore di tensione variabile ( )e tΔ , di modo che sia ( ) ( )e t E e t= + Δ

(Figura 7.3). Se immaginiamo al solito di partire dal punto 1P , cosa accade al

“muoversi” della retta di carico per effetto del generatore ( )e tΔ ? Potremmo invocare un principio di “continuità e dire che la soluzione si sposta solidalmente con l’intersezione della retta di carico alla caratteristica. Ma, anche ammesso ciò, cosa accade se (vedi retta tratteggiata) ci si sposta più in

95


alto del massimo della curva? Ancora una volta il modello non dà risposta, dunque risulta inadeguato!

Figura 7.3: analisi grafica con generatore variabile

Il modello che stimo adottando è incongruente dal punto di vista fisico. Ciò accade quasi sempre per un difetto di modellazione, ovvero per aver trascurato qualcosa che, evidentemente, non può essere trascurato. Proviamo a sanare le incongruenze sin qui viste. In effetti i problemi nascono nel considerare il circuito fisico (e corrispondentemente il modello) come a-dinamico. Un modo naturale per introdurre la dinamica è quello di considerare l’inevitabile capacità parassita associata alla giunzione del diodo, con il che il circuito da studiare risulta quello in Figura 7.4.

Figura 7.4: il circuito precedente con la capacità di giunzione

Andiamo a scrivere le equazioni del circuito; in accordo con le notazioni e

le convenzioni scelte, avremo:



( )

( )

,

,

,

,

R D C

DR

D D

CC

i i ie t v

iR

i g vdvi Cdt

= +⎧⎪ −⎪ =⎪⎨

=⎪⎪⎪ =⎩

(7.2)

da cui:

( )( ) .DDD

e t vdvg v Cdt R

−+ = (7.3)

Osserviamo che abbiamo ridotto il sistema all’equazione:

( ) ( )1 DDD

e t vdv g vdt C R

⎡ − ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦ (7.4)

che altro non è che l’“equazione di stato” del circuito, essendo nella forma

( ),x f x t= . Nel caso che stiamo considerando ( ), f x t è una funzione ad un sol

valore di Dv ed ( )e t , e ciò è condizione necessaria perché la (7.4) possa essere considerata una equazione di stato.

Analisi circuito RCDt via linearizzazione Vogliamo anzitutto studiare la stabilità (locale) delle soluzioni stazionarie

attraverso la linearizzazione. Il circuito equivalente a “piccolo segnale” è quello riportato in Figura 7.5, nel quale al posto dell’elemento non lineare è stato sostituito un resistore di valore opportuno.

Nel circuito con Dr indichiamo con la cosiddetta “resistenza differenziale”

del diodo, ovvero Ddvrdi

= calcolata nel punto di lavoro considerato.

Analisi circuito RCDt via linearizzazione 97


Figura 7.5: il precedente circuito “linearizzato”

In tal caso, avendo un circuito lineare, sappiamo già che la soluzione sarà del tipo:

( ) ( )eq

tR C

C pv t A e v t−

= ⋅ + (7.5)

dove 1 ; con eq eq Deq

R G G gG

= = + (7.6)

L’interpretazione geometrica del parametro Dg è data nelle Figura 7.6a e Figura 7.6b.

Figura 7.6: conduttanze differenziali nei punti di lavoro

Per analizzare i casi che possono presentarsi, appunto consideriamo

separatamente la situazione in cui abbiamo tre intersezioni (Figura 7.6a) e quella in cui ne abbiamo una sola (Figura 7.6b). Nella prima situazione, sono tre i possibili punti di lavoro attorno ai quali linearizzare e si avrà:



( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

2

3

0, 0 0

0, 0

0, 0 0

eq D

eq D D

eq D

G P g G

G P g g G

G P g G

> > >

< < >

> > >

(7.7)

Nel caso invece di una sola intersezione si avrà: ( ) ( )2 0, eq DG P g G> < (7.8)

Osserviamo subito che nel punto 2P , poiché esso risulta instabile, non ha

senso fare l’analisi a piccolo segnale. Sappiamo bene, infatti, che l’analisi a piccolo segnale ha una validità solo se le oscillazioni sono ristrette ad un opportuno intorno del punto di lavoro.

Analisi qualitativa globale per il circuito RCDt Proviamo ora a valutare la stabilità globale dal punto di vista qualitativo.

Riscriviamoci per comodità l’equazione di stato:

( ) ( )1 DD

D

v t vdv g vdt C R

−⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦ (7.9)

e consideriamo i diversi casi, rappresentati in Figura 7.7. Nei casi a,b e d l’unica soluzione è anche globalmente asintoticamente stabile. Nel caso c abbiamo invece tre soluzioni di cui solo due sono stabili ed una (quella intermedia) risulta instabile. Per ogni regione di condizioni iniziali (tensione minore di quella corrispondente a 1P , compresa tra 1P e 2P , compresa tra 2P e 3P , maggiore di 3P ) è possibile individuare univocamente la dinamica in modo qualitativo. Ciascuna regione ha uno dei punti di lavoro stabili come soluzione di regime stazionario, e per tale ragione prenderà il nome di bacino d’attrazione della soluzione.

Verifichiamo così (a posteriori) che l’aver introdotto la capacità parassita nel modello del circuito in esame ha risolto tutta una serie di incongruenze del modello! Potremmo allora pensare che il problema fosse quello di aggiungere un elemento dinamico al circuito. Ma le cose non stanno in modo così semplice come vedremo con un nuovo esempio.

Circuito RLDt, “impasse” e fenomeno di salto 99


Figura 7.7: diagrammi di stabilità globale nei diversi casi

Circuito RLDt, “impasse” e fenomeno di salto Consideriamo ora il circuito in Figura 7.8, dove la dinamica viene

introdotta attraverso un induttore in serie piuttosto che, come nel caso precedente, con una capacità in parallelo. Essa potrebbe rappresentare l’induttanza parassita del resistore o dei collegamenti del diodo.

iD

e(t) +-

R L

Figura 7.8: circuito con induttanza parassita

L’equazione differenziale che descrive il circuito in tal caso sarà data da:

( ) DdiL e t v Ridt

= − − (7.10)



Potrebbe sembrare un’equazione di stato; così sarebbe se potessimo

scrivere ( )1D Dv g i−= , ma sappiamo che non è possibile, essendo il bipolo

non controllabile in corrente a causa della caratteristica (non monotona). Dunque, per le considerazioni fatte in precedenza possiamo concludere che per il circuito non esistono le equazioni di stato (globali).

Ricordiamo anzitutto che l’analisi stazionaria del circuito in esame non è cambiata rispetto al circuito precedente, nel senso che sostituendo questa volta all’induttore un corto circuito si ottiene ancora una volta il circuito adinamico con il solo generatore reale ed il diodo tunnel in serie. Per procedere ad un’analisi qualitativa analoga a quella già vista peri il circuito con la capacità proviamo allora a ricondurre l’equazione (7.10) ad una forma più possibile simile alla (7.9). Ciò può essere fatto ricorrendo ad un “trucco” algebrico, cioè:

D

D

dvdi dg dgdt dt dv dt

= = (7.11)

dove D

dgdv

è la conduttanza differenziale del diodo. Sostituendo la (7.11)

nell’eq. (7.10), si ha:

( )( ) D DD

D

dv e t vL dg g vR dv dt R

−= − (7.12)

da cui possiamo ricavare:

( )( ) .D D DD

dv dv e t vR g vdt L dg R

−⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ (7.13)

Osserviamo che questa volta non abbiamo la forma normale ( ),x f x t=

come nell’equazione (7.9) per la presenza del fattore Ddvdg

. Per studiare

qualitativamente il segno della derivata Ddvdt

nella (7.13) dovremo analizzare

contemporaneamente quello dei due fattori a secondo membro.

Circuito RLDt, “impasse” e fenomeno di salto 101


Ddvdt

> 0 se

( )

( )

0 e ( )

0 e ( )

DD

D

DD

D

e t vdg g vdv R

e t vdg g vdv R

−⎧> >⎪

⎪⎨

−⎪ < <⎪⎩

(7.14)

Possiamo allora distinguere i diversi casi, che sono tutti mostrati in Figura

7.9. Le frecce disegnate sulla caratteristica indicano, per ciascun tratto, la corrispondente “direzione del moto”, e le frecce si invertono sia quando la caratteristica dell’elemento non lineare incrocia la retta di carico, ma anche quando inverte la pendenza determinando il cambio di segno del fattore

Ddg dv . Dall’analisi dei diversi possibili casi (in relazione alle possibilità di intersezione delle due curve rappresentate in figura) risulta evidente che in alcuni di essi le frecce che indicano la direzione di movimento possibile lungo la caratteristica convergono verso i punti Q1 e Q2, pur non essendo essi punti di equilibrio per il circuito. Per questo motivo detti punti vengono chiamati di “impasse”. Questo è ad esempio il caso della Figura 7.9d: in corrispondenza dei punti Q1 e Q2 le frecce convergono da entrambi i lati. Ciò vuol dire che una soluzione che perviene ad uno di essi, indipendentemente dal lato da cui proviene, non può “proseguire” lungo la caratteristica; nello stesso tempo non può arrestarsi in quanto essi non sono punti di equilibrio (la

Figura 7.9: analisi qualitativa del circuito con induttanza parassita



derivata Ddv dt non si annulla mai in Q1 e Q2,). In termini matematici dobbiamo constatare che, per il modello considerato, se nella dinamica raggiungiamo un punto siffatto, la soluzione “muore” in quel punto, e non è possibile proseguire nell’analisi. In altri termini viene a mancare l’esistenza della soluzione una volta raggiunto il punto di impasse.

Tali apparenti “stranezze” si giustificano perfettamente ricordando che, nel caso in esame, non esistono le equazioni di stato (globali) e dunque manca una condizione essenziale a garanzia dell’esistenza della soluzione 0t t∀ ≥ .

Dunque ancora una volta il modello del circuito che abbiamo considerato risulta inadeguato. Ma ci chiediamo: cosa accade nella realtà? Ebbene, studiando “sperimentalmente” un circuito reale siffatto, osserveremmo il cosiddetto fenomeno di “salto”. Cioè una volta raggiunto il punto di impasse, la soluzione presenta una discontinuità in una delle grandezze saltando bruscamente sull’altro ramo della caratteristica, come descritto in Figura 7.10.

Val la pena osservare che se proviamo ad includere (in modo euristico) nel modello una regola di “salto”, la soluzione diviene discontinua; in secondo luogo, chi ci assicura che il salto debba per forza avvenire in corrispondenza del punto di impasse? (vedi Figura 7.11). Dunque, includendo il “salto” nel nostro modello, la soluzione non solo non è continua, ma non è unica.

Figura 7.10: Fenomeno di salto

Circuito RLCDt e soluzione dell’impasse 103


Figura 7.11: Molteplicità di possibili soluzioni con “salto”

Circuito RLCDt e soluzione dell’impasse Proviamo ora nuovamente a raccordare quanto osservabile in un

esperimento reale (il fenomeno del “salto”) con un modello circuitale più realistico. Ciò può essere realizzato con una tecnica detta della “perturbazione singolare”.

Per far ciò, al solito, dovremo considerare un modello più complesso di quello sinora considerato. Ancora una volta ci viene in aiuto l’uso di una capacità parassita in parallelo all’elemento non lineare, capacità che poi faremo tendere a zero tornando al caso precedente. Consideriamo allora il circuito di Figura 7.12. Le equazioni, in tal caso, sono:

( )1( )

( )( )

L LL C C L

C C L CcL

di die t Ri L v e t v Ridt dt L

dv dv i g vC i g vdt dt C

⎧ = + + = ⎡ − − ⎤⎣ ⎦⎪⎪ →⎨ −⎪ = − =⎪⎩

(7.15)

Figura 7.12: circuito con induttanza e capacità



È facile rendersi conto direttamente che le equazioni (7.15) sono effettivamente equazioni di stato (globali) per il circuito considerato. Dunque l’aggiunta della capacità ha ancora una volta corretto il modello!

Possiamo ora provare a fare un’analisi qualitativa nell’ipotesi di 0C → (ricordiamo che C è la capacità “parassita” del diodo), anche senza risolvere analiticamente le equazioni. Consideriamo a tal fine il piano delle variabili di stato Cv ed Li , dove rappresentiamo per comodità anche la caratteristica del diodo. Osserviamo anzitutto che, mentre nei circuiti precedentemente considerati la tensione del diodo coincideva con quella del condensatore, ovvero la corrente del diodo con quella dell’induttore, sicché le dinamiche nei piani considerati inevitabilmente dovevano svolgersi lungo la caratteristica (in sostanza essa coincideva con una sezione dello spazio delle configurazioni), nel rappresentare ora il piano delle due variabili di stato Cv ,

Li le traiettorie possono essere in punti arbitrari del piano. È però utile distinguere, per la nostra analisi qualitativa, i punti “vicini” alla caratteristica (dove ( )L D Ci i g v≈ = ) rispetto a quelli “lontani”. Difatti, nel caso che Li e

( )D Ci g v= siano significativamente diversi, essendo 0C → dalle (7.15)

avremo C Ldv didt dt

>> : in altri termini, quando ci troviamo in un punto lontano

dalla caratteristica il moto sarà sostanzialmente “orizzontale” nel piano di stato (osserviamo che in ogni punto il vettore velocità è dato proprio da

,C Ldv didt dt

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Quando a seguito di tale spostamento orizzontale (che ricorda

molto il “salto” precedentemente postulato) abbiamo raggiunto la regione della caratteristica, il numeratore della seconda equazione delle (7.15) si annulla, e di nuovo le due componenti della velocità tornano ad essere confrontabili l’una all’altra. La situazione si comprende meglio aiutandosi con la Figura 7.14, dove viene riportata una mappa qualitativa delle velocità nelle diverse regioni dello spazio di stato, legata al segno di Cdv dt facilmente deducibile analizzando le (7.15).

In Figura 7.14 vengono rappresentati alcuni possibili salti. Essi avverranno sia in corrispondenza di condizioni iniziali (come ad esempio i punti 1 e 2 in figura) lontani dalla caratteristica, ovvero quando giunti ad un punto di impasse la soluzione deve trovare un percorso possibile per arrivare ad un punto di equilibrio.

Dinamica qualitativa di un oscillatore con salto 105


Figura 7.13: mappa delle velocità nello spazio di stato

Figura 7.14: Analisi qualitativa del circuito con induttanza e capacità

Dinamica qualitativa di un oscillatore con salto Un esempio significativo dal punto di vista applicativo è dato dalla

dinamica del multivibratore astabile (Figura 7.14), che si può realizzare con il circuito considerato nel con parametri della retta di carico che determinano un unico punto di lavoro stazionario instabile, come mostrato in Figura 7.15a. Da qualsiasi punto si parta, si arriva dapprima sulla caratteristica che viene percorsa fino al primo punto di impasse; a quel punto si salta sull’altro ramo della caratteristica, percorrendola, a sua volta, sino al secondo punto di impasse, e così via. Si è in questo modo realizzato un oscillatore, la cui dinamica asintotica è costituita da una oscillazione periodica. In dipendenza della condizione iniziale, per t →∞ , si avranno (infinite) forme d’onda periodiche che possono essere sovrapposte per traslazione di una frazione dell’intervallo di periodicità, ciascuna associata ad una specifica condizione iniziale (Figura 7.15b). Tale comportamento mette in evidenza, tra l’altro, la non esistenza di un unico regime tipica dei circuiti non lineari, e di cui ci occuperemo in dettaglio più avanti.



iD

vD

Q1

Q2

t

x(t)

(b)

(b)

Figura 7.15: Dinamica qualitativa di un oscillatore: (a) spazio di stato; (b) dominio del tempo.


ISBN 0-89006-208-0.


8. Esistenza ed unicità delle soluzioni

Ricordiamo che un sistema di equazioni differenziali è detto in forma

normale se è scritto come: ( )t=x f x, , (8.1)

osservando che in tale espressione sono implicite le seguenti proprietà:

i. sono presenti solo le derivate prime (a primo membro) ii. la ( )tf x, è definita per qualsiasi valore di x . iii. la dipendenza di x da x e t tramite f è univoca.

Sappiamo che la possibilità di esprimere un’equazione differenziale in

forma normale è condizione necessaria, come abbiamo visto in precedenza studiando il fenomeno dell’impasse, per l’esistenza e l’unicità della soluzione. Vogliamo ora analizzare le condizioni che garantiscono l’esistenza ed unicità della soluzione (condizioni sufficienti).

Prima di illustrare i teoremi che stabiliscono le ipotesi nelle quali l’esistenza ed unicità della soluzione è garantita, è necessario riprendere la definizione di funzione Lipschitziana.

Funzione Lipschitziana: Una funzione ( )f x si dice Lipschitziana se esiste una costante k tale che: 2 1 2 1 2 1( ) ( ) , D f x f x k x x x x− ≤ − ∀ ∈ (8.2)

108 Esistenza ed unicità delle soluzioni


dove D è il suo dominio di definizione. In tal caso si dice anche che la funzione ( )f x è globalmente Lipschitziana. Si osservi che la definizione di Lipschitzianità risulta indipendente da come è definita la norma.

Se esiste una costante k tale che:

[ ]2 1 2 1 2 1 0 0f(x ) f(x ) k x x x ,x x x, x x D − ≤ − ∀ ∈ − + ⊂ (8.3)

la funzione ( )f x si dice localmente Lipschitziana in 0x , ovvero esiste un intorno del punto in cui la funzione risulta Lipschitziana.

In relazione alla proprietà di Lipschitzianità è possibile dimostrare le seguenti relazioni:

0 0

0 0

derivabile in Lipschitziana (loc.) in Lipschitziana (loc.) in continua in

⇒⇒

f(x) x f(x) xf(x) x f(x) x

La condizione di Lipschitzianità (locale) risulta dunque una condizione

intermedia tra la derivabilità e la continuità. Come conseguenza si ha anche che condizione sufficiente per la Lipschitzianità di una funzione ( , )f x t è la sua derivabilità.

Per renderci conto del legame tra Lipschitzianità e derivabilità basta dividere entrambi i membri della (8.3) (1) per 2 1−x x :

2 1

2 1

−≤

−f(x ) f(x )

kx x

(8.4)

dove al tendere di 2 1→x x essa rappresenta il limite del rapporto incrementale. Possiamo concludere che basta trovare punti di flesso verticali o punti che determinano asintoti verticali nella f per fare divergere irrimediabilmente il rapporto dato dalla (8.4). Si potrebbe allora concludere che le funzioni Lipshitziane sono tutte e sole quelle derivabili. Un importante contro esempio è costituito dall’importante classe delle funzioni piecewise-linear che non sono chiaramente derivabili per via dei punti angolosi ma sono Lipshitziane. Difatti basta prendere la pendenza massima tra tutte le restrizioni lineari per individuare la costante di Lipschitz k.

Funzione Lipschitziana: 109


Esempio 1 (funzione continua ma non Lipshitziana)

Consideriamo la funzione: ( ) ( )sgn .f x x x= (8.5)

Essa è continua in tutto l’asse reale, ma nell’origine non è derivabile ed inoltre non è Lipschitziana. Nell’origine infatti la funzione ha pendenza verticale e quindi non è possibile racchiuderla in un cono, cioè non è possibile trovare una retta di pendenza finita che maggiori la curva. Per questo la funzione non è Lipschitziana pur essendo continua.

f(x)

x

Figura 8.1. Esempio di funzione continua ma non Lipschitziana

Esempio 2 (funzione Lipshitziana ma non derivabile)

Consideriamo la funzione:

( ) 0,

2 0.x x

f xx x

<⎧= ⎨ ≥⎩

(8.6)

Essa è continua e Lipschitziana in tutto l’asse reale, ma nell’origine non è derivabile in quanto presenta un punto angoloso e la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra.



f(x)

x

Figura 8.2. Esempio di funzione Lipschitziana ma non derivabile.

La Lipschitzianità della funzione ( )tf x, , a secondo membro delle

equazioni di stato in forma normale, è di fondamentale importanza nello studio delle proprietà della soluzione delle stesse. Passeremo ora in rassegna alcuni risultati fondamentali dell’analisi di sistemi di equazioni differenziali ordinarie, mettendo in evidenza dal punto di vista circuitale gli enunciati.

Teorema di Peano Considerato il sistema:

0 0

( , )( )

tt=⎧

⎨ =⎩

x f xx x

(8.7)

dove t0 è l’istante iniziale si ha:

se la ( , )tf x è continua in 0x (rispetto ad x e t ), allora esiste almeno una soluzione ( )tx , che verifica la condizione iniziale 0 0( )t =x x , definita in un intervallo 0( )t t T≤ ≤ con T finito. Questo teorema è fondamentale perché ci assicura l’esistenza di almeno

una soluzione, però non ci garantisce che essa sia unica. Tra l’altro è un teorema di esistenza locale, nel senso che questa soluzione esiste soltanto in un intervallo che contiene 0t e non ci dà nessuna informazione su quanto è grande questo intervallo.

Teorema di Picard-Liendeloef 111


Teorema di Picard-Liendeloef Se alle ipotesi del teorema di Peano aggiungiamo anche che la funzione

oltre ad essere continua è anche Lipschitziana in 0x si ha: se la ( , )tf x è continua in 0x ed ivi (localmente) Lipschitziana, allora esiste un’unica soluzione ( )tx , che verifica la condizione iniziale

0 0( )t =x x , definita in un intervallo 0( )t t T≤ ≤ con T finito. Il teorema garantisce esistenza ed unicità dalla soluzione; l’esistenza è

però solo locale in un intervallo che contiene 0t e di nuovo non abbiamo nessuna informazione su quanto è grande questo intervallo. Osserviamo che l’esistenza della soluzione a partire da ogni condizione iniziale almeno in un intervallo nel futuro esclude esplicitamente situazioni di impasse.

In entrambi i teoremi considerati ancora un elemento fondamentale perché

il modello sia realistico dal punto di vista fisico, cioè l’esistenza ed unicità globale della soluzione (ovvero per un intervallo arbitrariamente esteso, almeno nel futuro rispetto a 0t ). A tal riguardo, in effetti, si può enunciare il seguente:

Teorema di esistenza ed unicità “globale” se la ( , )tf x è continua in 0x e globalmente Lipschitziana, allora esiste un’unica soluzione ( )tx , che verifica la condizione iniziale 0 0( )t =x x , definita per ogni t. In questa formulazione non ci sono più restrizioni all’intervallo in cui la

soluzione è definita. Ciò comporta che la soluzione è univoca sia nel futuro che nel passato, vale a dire sia per t>0 che per t<0. Il prezzo pagato è però piuttosto alto, perché si richiede la Lipschitzianità globale. È importante a tal riguardo ricordare che, nella maggioranza dei modelli di componenti circuitali, e dunque delle relazioni caratteristiche che li rappresentano, vengono usate frequentemente funzioni che non sono globalmente Lipschitziane. D’altro possiamo anche osservare che la proprietà di unicità per il passato rispetto all’istante iniziale 0t è sovrabbondante rispetto alle esigenze, in quanto affinché un sistema sia un buon modello di una realtà



fisica, per esempio di un circuito fisico, a interessa che verifichi soprattutto l’unicità nel futuro (ovvero che il sistema sia, come si dice, “deterministico”). A partire da determinate condizioni iniziali devo evolvere in maniera univoca, cioè la dinamica è univoca. Il fatto che poi si vada a guardare la soluzione per t<t0, e che questa risulti univoca o meno, dal punto di vista della corrispondenza tra modello e circuito fisico, è una cosa di scarso interesse. Questa circostanza è, come vedremo, assai importante perché permetterà di rilassare un po’ la condizione di Lipschitzianità globale, che invece è molto onerosa. Infatti, sfruttando le condizioni di Lipschitzianità “al finito” e aggiungendo un’ipotesi sulla limitatezza della soluzione ( )tx , potremo pervenire ugualmente ad una condizione di unicità mediante un nuovo teorema.

Prima di affrontare tale questione, analizziamo qualche esempio istruttivo.

Esempio 3 (Unicità solo nel futuro) Consideriamo il circuito in figura:

i(t)

C+

-

v(t) v=r i3

Figura 8.3. Esempio su esistenza ed unicità: unicità nel futuro

Le equazioni del circuito sono:

3

,

,

Cdvi Cdt

v r i

=

= ⋅ (8.8)

dove, tenuto conto che con le convenzioni fatte Ci i= − : Si ottiene l’equazione di stato:

Teorema di esistenza ed unicità “globale” 113


1 13 33

v dv vv r i i Cr dt r

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⇒ = ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (8.9)

La funzione 13

( ) vf vr

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

non è Lipschitziana nell’origine (questo caso è

simile all’esempio visto prima della ( )x x , abbiamo ora la 3 che ha lo stesso effetto, perché in 0 ha pendenza infinita ed il fatto che abbiamo una potenza dispari ci da il segno che prima era dato dalla funzione sgn(x)). La soluzione (si può verificare per sostituzione diretta) è del tipo:

32

0 0

0

( ) ( )0 a t t t tv t

t t

⎧⎪ − <= ⎨⎪ ≥⎩

(8.10)

con 0 0t ≤ ed 1 32 2(3 / 2)a r C

− −= . Si vede che per ogni 0t , con 0t arbitrario

purché minore di zero, ottengo una soluzione che ha l’andamento riportato in Figura 8.4.

v(t)

tt’0 t’’0

Figura 8.4. Soluzioni dell’equazione (8.10).

Essa coincide con la soluzione banale per t>t0, però per t<t0 è arbitraria. Se scelgo un altro t0, ad esempio 0t ′ , ottengo un’altra soluzione, e quindi, in definitiva, ho infinite soluzioni. Però, in realtà, queste soluzioni sono differenti tra loro solo nella zona t< t0, invece per t> t0 sono uguali.

Questo esempio mostra il caso in cui non c’è l’unicità nel passato, ma in realtà c’è l’unicità nel futuro. Il fatto che non ci sia unicità dipende dal fatto che la funzione ( )f v non è globalmente Lipschitziana, dunque non possiamo



garantire l’unicità. 0v = è in questo caso l’unico punto in cui non è Lipschitziana, ma ciò basta a creare questo problema. Il sistema considerato potrebbe anche essere un modello di un sistema fisico perché in fondo l’unicità manca soltanto “nel passato”. Possiamo però facilmente mostrare altri esempi in cui l’unicità manca nel futuro!

Esempio 4 (Unicità solo nel passato)

Consideriamo il circuito in Figura 8.5; esso è uguale a quello precedente, salvo che viene inserito un amplificatore operazionale ideale per invertire il segno dell’intensità di corrente. Rispetto a prima, dunque, l’equazione del circuito è:

13dv vC

dt r⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, (8.11)

i(t)

C+

-

v(t) v=r i3- +

R R

Figura 8.5. Esempio su esistenza ed unicità: unicità nel passato

Rispetto al caso precedente non c’è il segno meno, e quello che succede è

giusto l’opposto. Pertanto in questo caso la soluzione è del tipo:

0

32

0 0

0 ( )

a( )

t tv t

t t t t

<⎧⎪= ⎨⎪ − ≥⎩

(8.12)

con 0 0t ≥ perché v(t) sia soluzione ed 1 32 2(3 / 2)a r C

− −= .



v(t)

tt0

Figura 8.6. Soluzioni dell’equazione (8.12).

Quindi, siccome t0, come prima, è arbitrario, abbiamo infinite soluzioni

ciascuna per ogni t0. Queste sono tutte uguali, in generale, per t<0 e diverse per t>0. Rispetto al caso precedente, oltre al fatto che la soluzione non è unica, abbiamo anche un modello che non è deterministico.

Esempio 5

Consideriamo il circuito in Figura 8.7. In questo caso le equazioni divengono:

3

3

,

L .

= ⋅

= −

v r idi ridt

(8.13)

Figura 8.7

La funzione 3( )f i ri= è localmente Lipschitziana per ogni valore finito

0i , non lo è globalmente perché tende all’infinito per i che tende all’infinito. Questo significa che, fissato un qualunque 0i (che per noi può rappresentare una condizione iniziale) abbiamo un certo intervallo dove esiste un’unica soluzione. Questo è un esempio importante, perché ora ci chiediamo: questa soluzione che esiste definita in un certo intervallo, per quanto tempo rimane valida, cioè quanto dura prima di perdere l’unicità o di cessare di esistere?



È possibile verificare direttamente che in questo caso la soluzione è data da:

1

122( ) ( ) ,

2−⎛ ⎞= ± −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Li t t Tr

(8.14)

dove 0 202

LT tri

= − ed il segno da considerare nella (8.14), dipenderà da 0i ,

ovvero se la condizione iniziale sarà positiva o negativa. L’andamento grafico della soluzione è riportato in Figura 8.8. Essa è definita nell’intervallo ] [, +∞T con 0 >t T . Per ogni 0t che considero come punto di partenza della soluzione, a cui corrisponde il valore 0i della variabile di stato, guardando in “avanti”la funzione è univocamente definita t∀ . Guardando invece “indietro” trovo la soluzione solo fino a T, che è un numero “precedente” a 0t prima ancora non ho più la soluzione.

Figura 8.8

A questo punto, premesso che la funzione è solo localmente Lipschitziana,

ci si pone la domanda: è un caso che la soluzione è univoca nel futuro, oppure dipende da qualche proprietà del circuito? Tale questione è per noi di grande interesse, perché se riusciamo a legare questo fatto alle proprietà del circuito, come detto prima, possiamo rilassare le ipotesi di Lipschitzianità globale e lo stesso avere una soluzione che è deterministica.

Sulla base di quanto sin qui visto ha senso porsi un quesito: perché utilizziamo molto spesso altre funzioni come i polinomi e gli esponenziali, che sono generalmente solo localmente Lipschitziane, ma non lo sono globalmente? Ha senso usare queste funzioni per modellare i circuiti, al fine di ottenere un modello deterministico, e cioè con l’unicità nel futuro? Per provare a rispondere positivamente a tali quesiti val la pena di riconsiderare



un esempio di modello “smooth”. Consideriamo il caso di un diodo zener, che come sappiamo ha la caratteristica riportata in Figura 8.9. Essa, come ben sappiamo, ha una regione di tensione che non è ammissibile. Se immagino di avere una dinamica che mi porta a scorrere la caratteristica verso sinistra, ad un certo punto la soluzione dovrà divergere. In tal caso potrei trovare una soluzione che è valida fini ad un certo t0, poi diverge e quindi non l’avrò nel futuro. In realtà sta accadendo che il modello non tiene conto di un fatto fisico fondamentale. Per dar conto di ciò consideriamo ancora una volta il circuito dell’esempio precedente. Ricordiamo che il resistore non lineare considerato è un resistore passivo e ciò, come vedremo, ha una conseguenza molto importante.

Figura 8.9. Simbolo e caratteristica di un diodo zener

Consideriamo infatti l’energia immagazzinata all’istante iniziale nel circuito, che in questo caso è data da:

( ) 20

1 ( ).2

=W t Li t (8.15)

Essa siccome in questo caso non ci sono generatori nel circuito, è destinata a decrescere nel tempo, o al più a rimanere uguale:

( ) ( )0 0 ,≤ ∀ ≥W t W t t t (8.16)

ciò che, nel nostro caso, significa anche che 0 0( ) ( ) ≤ ∀ ≥i t i t t t e cioè non posso avere nessuna divergenza, non è vero che la soluzione può divergere. Quindi ciò vuol dire che se il modello mi porta alla divergenza, non sto tenendo conto di qualcosa che è ancora una volta essenziale ai fini della



corrispondenza tra modello e realtà fisica. Questa considerazione legata all’energia è fondamentale, in quanto, come vedremo attraverso un nuovo teorema, ci permette di garantire l’unicità della soluzione nel futuro anche in presenza della sola Lipschitzianità locale.

Teorema di unicità nel futuro Considerato il solito problema di valore iniziale in forma normale:

0 0

( , )( )

tt=⎧

⎨ =⎩

x f xx x

se la funzione ( , )tf x è continua e Lipschitziana in qualsiasi dominio D tale che: r≤x , e se esiste una soluzione ( )tx limitata a tale dominio ( ( )t r≤x ) che verifichi la condizione iniziale 0 0( ) =tx x , allora x(t) è unica in [ [0 ,t ∞ . Senza voler dimostrare il teorema, proviamo a capire quale sia il

ragionamento di fondo. Sappiamo che la ( , )tf x è Lipschitziana nei punti in cui r≤x . Se qualcosa o qualcun altro dall’esterno assicura che la soluzione

( )tx non uscirà mai da quella sfera, come, per esempio, considerazioni di tipo energetico, allora mettere insieme queste due cose equivale difatto alla globale Lipschitzianità della funzione ( , )tf x . Essa è Lipschitziana, infatti, in tutti i punti della traiettoria effettiva e ciò mi garantisce l’unicità. Questa era l’altra condizione fondamentale che ci serviva per assicurare l’unicità.

Definizioni sulla passività e vincoli energetici Prima di enunciare altri criteri di unicità è però necessario riprendere alcune definizioni e considerazioni sulla passività. In relazione al concetto di bipolo passivo ricordiamo anzitutto le definizioni: - passività: 0 ,≥ ∀vi v i - passività locale ( ) ( )0 0 0 00 , , ,α β γ ηΔ Δ ≥ ∈ − − ∈ − −v i v v v i i i - passività “stretta”: 0 , , 0 sse 0, 0≥ ∀ = = =vi v i vi v i

Definizioni sulla passività e vincoli energetici 119


Accanto a tali definizioni si possono dare le seguenti: - passività “asintotica”: 0 se ( , )> >vi v i k , ovvero il bipolo può essere

attivo, ma la potenza erogata è sempre limitata superiormente; - debole attività: 0 0 o ≥ ≤ −vi I v vi V i , ovvero il bipolo è attivo e la

potenze erogata non è limitata, ma può crescere al più linearmente con la tensione o con la corrente (a seconda dei casi)

Un bipolo attivo che non è debolmente attivo si definisce fortemente attivo. In Figura 8.10 sono mostrati alcuni esempi di caratteristiche che rientrano in tali definizioni.

i

v

i

v

i

v

i=I0

...fortemente attivo

...asintoticamente passivo

...debolmente attivo

resistorepiecewise-linear

resistorelineare

generatoreindipendente

Figura 8.10. alcuni esempi di caratteristiche in relazione alla passività

Esempio 6

Consideriamo il circuito in Figura 8.7. Supponiamo il resistore debolmente attivo, ovvero:

0 .= ≥ −p vi I v

Inoltre l’energia immagazzinata nel circuito all’istante iniziale è data da:

20 0

1( ) ( )2

=W t Cv t



i(t)+

-

v(t)C

Figura 8.11

Si ha:

21( ) ( ) 2 / ( )2

= ⇒ =W t Cv t v C W t

0 01( ) 2 / 2 /= − ≥ − ⇒ ≤R

dW dWP t I C W I Cdt dtW

( ) 002 2 /≤ ⇒ ≤

d v Id W I Cdt dt C

Dunque la tensione (in modulo) può crescere all’infinito ma con una pendenza limitata.

A valle dell’esempio considerato e sulla scorta delle definizioni date per la passività enunciamo il seguente criterio “No Finite Forward Escape Time”:

se in un circuito non vi sono maglie di soli condensatori e generatori di tensione ed insiemi di taglio di soli induttori e generatori di corrente ed i resistori sono tutti al più debolmente attivi, allora le soluzioni non possono divergere in un intervallo di tempo finito; eventualmente esse divergono per →∞t

Condizioni di unicità per i circuiti dinamici Val la pena ora riassumere le considerazioni sin qui viste per sintetizzarle

in chiave prettamente circuitale. In un circuito l’esistenza e l’unicità della soluzione sono dunque legate alle seguenti circostanze:

- come è fatto lo spazio delle configurazioni (e cioè posso ottenere le equazioni di stato globali?)

- in quale classe fi funzioni ricade la ( , )tf x (cioè quali proprietà la caratterizzano?)

Condizioni di unicità per i circuiti dinamici 121


- posso considerare la soluzione limitata (esistono vincoli di tipo energetico che limitino la soluzione?)

Osserviamo che le condizioni considerate sono tutte strettamente dipendenti dalla sola parte a-dinamica del circuito! Nelle ipotesi in cui esistono le equazioni di stato globali avremo: 1. (esistenza ed unicità globali)

se il circuito è lineare a tratti (cioè sono tali tutte le caratteristiche dei bipoli resistivi) la soluzione è unica (nel passato e nel futuro)

2. (esistenza ed unicità locali) se il circuito è “smooth” (cioè tutte le caratteristiche sono continue e derivabili indefinitamente) esiste un intorno di 0t in cui la soluzione esiste ed è unica, ed è “smooth”

3. (esistenza ed unicità nel futuro) se il circuito è “smooth” e la soluzione ( )x t è limitata per ogni 0>t t al finito la soluzione esiste ed è unica.



Jackson 1991, ISBN 88-7056-837-7. [3] G. MIANO, Comportamento dinamico di circuiti non lineari, dispense

in formato PDF disponibili sul sito www.elettrotecnica.unina.it

P I: APPRESENTAZIONE IN FORMA IMPLICITA DEI DOPPI …unina.stidue.net/Teoria dei...

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