EQUAZIONI COSTITUTIVE

Macchina per Prova di trazione

PP

Equazioni costitutive

Prova di trazione di una barra di acciaio “dolce”, normalmente utilizzato nelle costruzioni civili. Registriamo i valori simultanei della forza F applicata alla barra e dell’allungamento ∆l relativo a due punti inizialmente a distanza l0. Riportando su di un grafico, in ascisse i valori di ∆l ed in ordinate quelli di F , otteniamo una curva simile a quella illustrata in Figura.

Ipotizzando una distribuzione omogenea delle tensioni sulla sezione di area A e delle deformazioni lungo l’asse della barra, dalle forze F si derivano le tensioni σ = F/A e dagli allungamenti ∆l le deformazioni ε = ∆l/l0; lo stesso grafico può quindi essere letto in termini di tensioni -deformazioni semplicemente operando un cambiamento delle scale degli assi del riferimento. Nella curva OABCD, il primo tratto, OA, èpraticamente rettilineo; raggiunte la deformazione εy e la tensione fy(valori detti di snervamento del materiale), nel tratto AB le deformazioni aumentano mentre la forza e la tensione restano praticamente costanti. Raggiunto il punto B, per far crescere la deformazione occorre aumentare la forza, ma la pendenza della curva è ora molto inferiore a quella iniziale e va diminuendo, fino ad annullarsi nel punto C, dove la forza raggiunge il valore massimo Ft e la tensione il valore ft = Ft/A, valori detti di rottura della barra e del materiale, rispettivamente. Facendo crescere le deformazioni oltre C, l’equilibrio è possibile solo se si riduce la forza applicata; nel punto D infine si raggiunge l’effettiva rottura della barra, in corrispondenza della deformazione ultima εu.

Per una prova di trazione di un’asta di lunghezza L, soggetta ad una forza normale P che si deforma variando la sua lunghezza di ∆L, si valutano nel tratto iniziale rettilineo la tensione e la deformazione:

.LL;

AP

xxxx∆

=ε=σ

e quindi ottenere il valore del modulo di elasticità normale E mediante :

.Exx

xx ϕ=εσ

= tg

E ν

Calcestruzzi 25 - 40 kN/mm^2 0,1 - 0,15

Acciaio 206 kN/mm^2 0,3

Alluminio 70 kN/mm^2 0,36

Rame 120 kN/mm^2 0,35

L’area di base, inizialmente di superficie A, subisce una variazione ∆A causata dalle deformazioni trasversali valutate sperimentalmente misurando le variazioni di dimensione della sezione.

Provino indeformato Provino indeformato

Provino deformato Provino deformato

P

P P

P

Si definisce infine il coefficiente di Poisson o coefficiente di contrazione trasversale mediante:

.xx

zz

xx

yy

εε

−=εε

−=ν

y

y

z

Il modulo di Young E ha le dimensioni di una tensione [F L−2]. Il coefficiente ν è detto anche ‘rapporto’ di Poisson è adimensionale.

Calcestruzzo: caratteristiche meccaniche

Le prove di compressione si effettuano in genere su provini cubici con spigolo di 15 cmo cilindrici con D = 15 cm e H = 30 cm. Le curve tensione σ−deformazione ε di provini di calcestruzzo con diverse resistenzesono evidenziate in Figura.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,18 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

deformazione, %te

nsio

ne, M

Pa

R.Hooke nel 1676 diede il primo contributo in tema di equazioni costitutive. Sulla base delle sue esperienze sulle molle di orologi propose la relazione di proporzionalità ( ut tensio sic vis ) :

.EossiakuF ε=σ=

La relazione di Hooke ha avuto una notevole importanza perchè dimostrò la possibilità di misurare la forza, ossia la tensione, attraverso misure di spostamenti, ossia di deformazioni. Essa descrive il comportamento di un materiale elastico lineare, e quasi tutti i materiali da costruzione, se poco sollecitati, sono riconducibili ad esso.

Il legame elastico lineare è descritto da una relazione che generalizza la legge di Hooke:

.CCCCCC......,....................................................................................................

,CCCCCC

zzyzzzyzyzyzyyyzyyxzyzxzxyyzxyxxyzxxyz

zzxxzzyzxxyzyyxxyyxzxxxzxyxxxyxxxxxxxx

ε+ε+ε+ε+ε+ε=τ

ε+ε+ε+ε+ε+ε=σ

I 36 coefficienti Cxxxx ,…, Cyzzz non dipendono dalla deformazione ma, eventualmente, dalla posizione della particella materiale. Quando ciò accade si parlerà di materiali eterogenei. Quando viceversa le non dipendono dal punto diremo che il materiale è omogeneo, le componenti sono quindi delle costanti per tutto il corpo. Anche il comportamento più semplice, ossia quello elastico lineare, implica quindi la conoscenza di ben 36 costanti materiali che sono evidentemente difficili da valutare soprattutto quando si pensi che ciò può esser fatto solo sperimentalmente. Il numero di tali costanti che descrivono il legame può però essere ridotto se il materiale presenta particolari proprietà di simmetria nella risposta, ossia delle simmetrie nel suo comportamento.

Si consideri un cilindro di materiale soggetto ad uno stato di tensione monoassiale uniforme nella direzione x; in ogni punto lo stato di tensione èdefinito dal tensore:

.00000000xx

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛σ=T

Se il comportamento è lineare elastico lo stato di deformazione risulta caratterizzato da una deformazione lineare in direzione x data da:

. Exx

xxσ

=ε

In direzione trasversale si osservano sperimentalmente dilatazioni εyy e ε zzdate da:

.E

,E

xxzz

xxyy

σν

−=ε

σν

−=ε

,00

0000

E1

xx

xx

xx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

νσ−νσ−

σ=E

Quindi la deformazione è

Se si applica una sola tensione uniforme nella direzione y cioè uno stato di tensione è definito dal tensore:

.00000000

yy⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛σ=T

La deformazione osservata risulta

.00

0000

E1

yy

yy

yy

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

νσ−σ

νσ−=E

Se si applica infine una sola tensione uniforme nella direzione z cioè uno stato di tensione è definito dal tensore:

.00

000000

zz⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

σ=T

La deformazione osservata risulta

.00

0000

E1

zz

zz

zz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σνσ−

νσ−=E

Se lo stato di tensione è una sovrapposizione dei tre stati monoassiali in direzione x, y e z, le deformazioni totali nelle tre direzioni risulterà dalla somma delle deformazioni:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ].E1

,E1

,E1

yyxxzzzz

xxzzyyyy

zzyyxxxx

σ+σν−σ=ε

σ+σν−σ=ε

σ+σν−σ=ε

(*)

Applicando una deformazione di taglio puro si per un materiale elastico lineare omogeneo ed isotropo si rilevano solo stati di deformazione tangenziale pura (sono nulle le deformazioni normali) e si scrive:

.G2

,G2

,G2

zxzx

yzyz

xyxy

τ=ε

τ=ε

τ=ε

G prende, per il significato che così assume, il nome di modulo di elasticità tangenziale ed ha le dimensioni di una tensione.

E’ possibile trovare anche una relazione tra E, G e ν .

( ).

12EGν+

=

Per ricavare le relazioni inversa della equazioni costitutive che forniscono le deformazioni note che siano le tensioni, consideriamo la relazione:

( )[ ].E1

zzyyxxxx σ+σν−σ=ε

Aggiungendo e sottraendo il rapporto (νσxx/E) si ottiene ancora:

( )[ ] ( ).EE

)1(EEE

1zzyyxx

xxxxxxzzyyxxxx σ+σ+σ

ν−

σν+=

νσ−

νσ+σ+σν−σ=ε

Analogamente aggiungendo e sottraendo il rapporto (νσyy/E) alla seconda e il rapporto (νσzz/E) alla terza relazione delle (*) si ottiene:

( ).EE

)1(zzyyxx

yyyy σ+σ+σ

ν−

σν+=ε

( ).EE

)1(zzyyxx

zzzz σ+σ+σ

ν−

σν+=ε

Per ricavare le relazioni inverse delle (*), cioè la relazione che fornisce il tensore della tensione T in funzione del tensore della deformazione E, si sommino membro a membro le relazioni precedenti:

( ).E

)21(zzyyxxzzyyxx σ+σ+σ

ν−=ε+ε+ε (**)

Dalla relazione:

( ),EE

)1(zzyyxx

xxxx σ+σ+σ

ν−

σν+=ε

ricaviamo la tensione σxx:

( ),)1()1(

Ezzyyxxxxxx σ+σ+σ

ν+ν

+εν+

=σ

Per eliminare a secondo membro la somma delle tensioni normali si utilizza la relazione (**) e si ottiene:

( ),)21)(1(

E)1(

Ezzyyxxxxxx ε+ε+ε

ν−ν+ν

+εν+

=σ

Per analogia si può scrivere per le altre componenti:

( ),)21)(1(

E)1(

Ezzyyxxyyyy ε+ε+ε

ν−ν+ν

+εν+

=σ

( ),)21)(1(

E)1(

Ezzyyxxzzzz ε+ε+ε

ν−ν+ν

+εν+

=σ

Per le altre componenti tangenziali:

,.G2,G2,G2

yzyz

xzxz

xyxy

ε=τε=τε=τ

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI:

applicando contemporaneamente ad una stessa struttura elastica lineare vari sistemi di forze, si producono spostamenti , deformazioni e tensioni uguali alla somma di quelle prodotte separatamente da ciascun sistema di forze o anche, in altre parole, ad una combinazione lineare di stati elastici si associa una combinazione lineare delle corrispondenti forze.

TEOREMA DI CLAPEYRON (Paolo Emilio) (1852):

il lavoro compiuto dal sistema di forze applicate ad un corpo elastico lineare èuguale alla metà del lavoro che le forze stesse compirebbero se agissero fin dall’inizio con la loro intensità finale.

TEOREMA DI KIRCHHOFF (o teorema di unicità) (1859)

La soluzione del problema dell’equilibrio di una struttura elastica soggetta ad un sistema di forze esterne assegnate è unica (a meno di eventuali moti rigidi).

Questo teorema giustifica il metodo adottato dal S.Venant per risolve il problema della determinazione di spostamenti, tensioni e deformazioni in una trave soggetta a carichi applicati alle basi (metodo semi – inverso);il metodo consiste nel fissare a priori in modo arbitrario alcune caratteristiche della soluzione.Successivamente si determinano con le equazioni del problema elastico le altre componenti di tensione, infine le condizioni al contorno definiscono le forze da applicare sulle basi per ottenere quella soluzione.