COCORSORSO DDII TTEECNCNICAICA DDEELLLLEE ... pdf/Work/Corsi/TECNICA DELLE... · Leggi costitutive...

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Università degli Studi di PadovaUniversità degli Studi di PadovaDipartimento di Costruzioni e TrasportiDipartimento di Costruzioni e Trasporti

Docente: Ing. Roberto ScottaDocente: Ing. Roberto Scotta

CORSO DI TECNICA DELLE COSTRUZIONICORSO DI TECNICA DELLE COSTRUZIONIanno accademico 2009anno accademico 2009--1010

PadovaPadova –– 12/01/1012/01/10

COMPORTAMENTO, VERIFICA E PROGETTOCOMPORTAMENTO, VERIFICA E PROGETTODIDI STRUTTURE IN C.A.STRUTTURE IN C.A.

VERIFICHE SLU A PRESSOFLESSIONE

Leggi costitutive del calcestruzzo(utili solamente ai fini del calcolo della resistenza di sezioni)

2

Leggi costitutive del calcestruzzo(utili solamente ai fini del calcolo della resistenza di sezioni)

Leggi costitutive dell’acciaio


Costruzione del campo resistente a presso flessione

Nelle NTC08 questo limite èstato rimosso, ma non cambiail risultato in termini diresistenza


3

Il campo resistente della sezione di c.a. può essere visto come quello dellasezione di solo calcestruzzo, cui si somma la resistenza dell’acciaio. Ad esempioper sezione simmetrica:

…. svolgimento alla lavagna ….


Vi sono poche differenze fra l’adozione stress-block o la parabolarettangolo:

sezione c.a. - b=100 h=30 c=4 - 4+4#18

-

50

100

150

200

250

300

-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

-

1000

2000

Nr (kN)

Mr(

kN

m)

Parabola rettangolo

Stress -block

Esempio: costruzione_campi.xls


4

Verifica diretta di resistenza agli SLU di pressoVerifica diretta di resistenza agli SLU di presso--flessioneflessione

Supposto che sia completamente nota la sezione, la verifica di resistenza diretta si scrive:

Dalla condizione di equilibrio asforzo normale si trova la posizione

di asse neutro (iterativamente):

8.0

kk

fdb8.0

NfkAfkA

fkAfkAfdb8.0ZZCNN

s''

cd

Syd''

syds

yd''

sydscd'

RS

cd2S

Scd

2R

RSRfdb

M

fdb

MovveroMM Quindi si effettua la verifica di

resistenza:

A’s

As

Gd=

h-c

ch

b

MS

x=

d

c=-0,35%

s=8

0,8

x

fcd

fyd

C

Zh/2

-c

’s

Z’

x-c

cNS

h/2

-0.4

x

h/2

-c

Una volta nota la posizione dell’asseneutro si determina il momento

resistente corrispondente:

c

2

hZZx4.0

2

hCM '

R

SemiSemi--progetto per SLU di pressoprogetto per SLU di presso--flessioneflessione

A’s

As

Gd=

h-c

ch

b

NS

MS

1) Progetto dell’armatura date le sollecitazioni(si danno per note le dimensioni)

A’s

As

Gd=

h-c

ch

b

NS

MS

NS=NS

M*S=MS-NS*(h/2-c)

2) Si trasportano le sollecitazioni rispettoalla posizione di armatura tesa

A’s

As

Gd=

h-c

ch

b

NS

M*S

=

3) Si scompone il problema in due sottoproblemi semplici (flessione+trazione)

A’s (eventuale)

AMs

G

NS

M*S

+

ANs

G

La sovrapposizioneè ammessa posto

che le deformazionidell’acciaio inferioresono le medesimenei due problemi:

As=AMs+AN

s

5

Il problema di trazione semplice:

NSANs

G

yd

Ss

N

f

NA

oppure in termini adimensionalizzati:

Scd

S

cd

ydNsN

fdb

N

fdb

fA

Ipotesi: acciaio sempre snervato

8.0fdb8.0

fA

d

xZC

M

cd

ydMs

Se la quantità di armatura tesa è grande rispetto all’area di calcestruzzo risultauna eccessiva profondità di asse neutro (problemi di rottura fragile)

Verifica: x xlim ?

Il problema di flessione semplice:si inizia ipotizzando che non sia necessario disporre armatura in zona compressa

A’s

AMs

Gd=

h-c

ch

b

M*S x=

d

c=-0,35%

s=8

0,8

x

fcd

fyd

C

Z~

0,9

d

0,4 xyd

*S

sM

fd9.0

MA

ydMscd fAZfxb8.0C


Per limitare la profondità di asse neutro:- diminuire la quantità di armatura tesa (contrasta con la esigenza di resistenza a flessione)- aumentare la sezione di calcestruzzo (nuova ipotesi di dimensioni)- aumentare la classe di resistenza del calcestruzzo- inserire armatura compressa (aumenta la duttilità della sezione)

x=x/d=3.5/(10+3.5)=0.259

x=x/d=3.5/(1.9+3.5)=0.65

Limitazioni alla profondità di asse neutro:

- nelle travi continue: x/d 0.45 se fck35 MPa

x/d 0.35 se fck>35 MPa

- se si opera analisi lineare con ridistribuzione:

25.1

44.0

d

xlimlim

per ecu=0.35% e

fck50 MPa


6

Se x > xlim sarà necessario disporre armatura in zona compressa.

Si impone x = xlim

A’s

AMs

Gd=

h-c

ch

b

M*S

x=lim d

c=-0,35%

s=8

0,8

x

fcd

fyd

C

Z

~0

,9d

0,4 x’s

Z’

x-c

c

Momento resistente limite inarmatura semplice:

limlim,Rcdlim 4.01dCMfdb8.0C

's

lim,R*S

s'

)cd(

MMA

Quantità di acciaio compresso

necessario:

Tensione sull’acciaio compresso 1kffkfx

cx%35.0 '

ydyd'

ydyd

's'

s's


Esempio: progetto della trave agli SLUEsempio: progetto della trave agli SLU

Ms = -170.4 kNm

b=60 cm d=24-4=20 cm fyd=390 MPa fcd=18.8 MPa

AMs=170.4 / (0.9 0.2 390) * 10 = 24.27 cmq As= 4f16+6f20 = 26.8 cmq

x = 26.8 * 390 / (60x20x18.8) = 0.464 > xlim = 0.35

devo inserire armatura compressa:

xlim = 0.35 x=0.35*20= 7 cm

MR,lim = 0.8x18.8x0.35x60x202x(1-0.4*0.35) = 108.7 kNm

MS- MR,lim = 170.4-108.7= 61.7 kNm

A’s = 61.7 / (20-4) / 390 * 103 = 16.09 cmq A’s= 4f16+3f20 = 17.45 cmq

7

Verifica della trave a SLU di flessioneVerifica della trave a SLU di flessione

NS=NR=0 MR=-175.8 > Ms = -170.4 kNm

Verifica della trave a SLU di flessioneVerifica della trave a SLU di flessione

NS=NR=0 MR=-175.8 > Ms = -170.4 kNm

con foglio excel

-250

-200

-150

-100

-50

-

50

100

150

200

250

-50

00

-40

00

-30

00

-20

00

-10

00

-

10

00

20

00

30

00

Nr (kN)

Mr(

kN

m)

.

8

Verifica di resistenza SLU dei pilastriVerifica di resistenza SLU dei pilastri

Per la verifica di stabilità dell’equilibrio della singola colonna si puòutilizzare il METODO DELLA COLONNA MODELLO

Considerando che spesso i pilastri hanno sezione e armatura costante, la verifica di resistenza può essere

agevolmente controllando che il relativo campo di resistenza contenga tutti i punti di sollecitazione dei

pilastri aventi tale sezione (al piede e sommità di ogni pilastro, in ogni combinazione di carico)

Rck Ec fcd Acciaio fyd Es eps-sy b h c d

MPa (MPa) MPa tipo MPa (MPA) cm cm cm cm

40 33643 18.81 B450C 390 206000 1.89 30 30 4 26390

Armatura superiore Armatura inferiore

f14 0 1.54 f14 0 1.54

f18 2 2.54 f18 2 2.54

f20 0 3.14 f20 0 3.14

f22 3.80 f22 3.80

Asup 5.09 Ainf 5.09

Campo resistente di tutti i pilastri

-150

-100

-50

-

50

100

150

-25

00

-20

00

-15

00

-10

00

-50

0

-50

0

10

00

Nr (kN)

Mr

(kN

m)

.

In caso di presso flessione deviata si utilizzano domini di resistenza Mx-My-N,

ovvero domini di resistenza Mx-My a sforzo normale fissato NR=NS

Progetto a SLU di pilastri (Progetto a SLU di pilastri (pressopresso--flessione con piccola eccentricità)flessione con piccola eccentricità)

In condizioni di piccola eccentricità, ovvero con acciaio teso poco impegnato o addirittura compresso

(campi di lavoro 4, 5 e 6), cioè nel caso di pilastri con armatura generalmente simmetrica è facile eseguire

la progettazione utilizzando un approccio adimensionalizzato:

nS=0.146 ; mS=0.128

w=0.20

cmq08.10184:armaturadiscelta

cmq68.8390

8.18x30x3020.0

f

fhbA

yd

cdS

Pilastro più sollecitato(il più vicino al limite del campo resistente)

128.01000x8.18x30x30

65

fhb

M

146.010x8.18x30x30

247

fhb

N

)kN247N;kNm65M(

cd2S

S

cd

SS

SS

9

Effetto arco

VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08VERIFICHE DI RESISTENZA A TAGLIO secondo NTC08

ELEMENTI PRIVI DI ARMATURA TRASVERSALEla resistenza è dovuta ai meccanismi secondari di resistenza a taglio

V’

apertura della fessura

staffe di cuciturafessura

Effetto corrente compresso

Effetto bietta

Effetto ingranamento



V’

apertura della fessura

staffe di cuciturafessura

Effetto corrente compresso

Effetto bietta

Effetto ingranamento

Effetto pettine

10




ELEMENTI PRIVI DI ARMATURA TRASVERSALEesempio per la stessa sezione della trave verificata a flessione

VS = 204 kN

b=60 cm d=24-4=20 cm fck=33.2 MPa

Al= 4f16+6f20 = 26.8 cmq

k=1+(200/200)1/2 = 2

rl=26.8/(60x20)=2.22% l=2%

v=0.18*2*(100*0.02*33.2)1/3 / 1.5 = 0.97 MPa

vmin = 0.035 * 23/2 * 33.21/2 = 0.57

VRd = 0.97*60*20/10 = 116.62 kN < VS=204 kN (non verificato)

Occorrerà armare la sezione a taglio

Se avessimo utilizzato il metododelle T.A.:

tc0 = 0.4+(Rck-15)/75=0.73 MPav / tc0 = 0.97/0.73 = 1.32

le due verifiche sarebbero risultateabbastanza in linea. Il metodo SLU

è però penalizzante per % diarmatura basse e per travi alte

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travi prive di armatura a tagliotravi prive di armatura a taglio

RESISTENZAA TAGLIO: confronto tra diverse normativeRESISTENZAA TAGLIO: confronto tra diverse normative

Volendo effettuare un confronto tra la quantità di armatura a taglio imposta dalle diverse normative chesi sono succedute negli ultimi anni si ottengono risultati del tipo di quelli riassunti nei grafici seguenti:

sezioneB60xd20

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0%

r

VR

d(k

N)

.

DM92

DM96

EC2

NTC2008

\\

sezioneB20xd60

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

100.0

0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0%

r

VR

d(k

N)

.

DM92

DM96

EC2

NTC2008

\\

Meccanismo resistente di Mörsch

Resistenza Ultima a TaglioResistenza Ultima a Taglio

12

senA

s

cotcotzV sws

sensensbsenA wcsws

2wc

cot1

cotcotzbV

Armatura d’animaequilibrio traslazione verticale

Bielle di cls compresseequilibrio nodo biella-staffa

Resistenza Ultima a TaglioResistenza Ultima a Taglio

P

Fstaffe

z/2 (cotQ-cota)

Traslazione del diagramma di MomentoTraslazione del diagramma di Momento

Armatura longitudinaleequilibrio attorno a P

cotcot

2

V

z

Mcotcot

2

za

z

VZ

)0x()0x( Vd9.0M

yd

)0x(

yd

)0x()0x(,s

f

V

fd9.0

MA

Armatura all’appoggio(caso Q=45°, a=90° : a1=0.9 d)

1SduSduSdu aVM)V(M Regola di traslazione

2

dcotcotd9.0a

semeglio

cotcot2

da

1

1

13

ELEMENTI CON ARMATURA A TAGLIO


45°Q 21°,8


ELEMENTI CON ARMATURA A TAGLIOesempio per la stessa sezione della trave verificata a flessione

b=60 cm d=24-4=20 cm fcd=18.8 MPa staffe a 4 braccia f8 - Ast=2.00 cmq

Poiché la resistenza delle bielle compresse è sempre esuberante cotg(Q)=2.5 VR=350 KN, al variaredella quantità di staffe l’equilbrio si trova per angoli Q variabili:

- passo 15 cm - Q=25°- passo 10 cm - Q=35°- passo 7 cm - Q=45°

Ovviamente la condizione di massimo risparmio si ha in questo caso con cotgQ=2.5

-

100

200

300

400

500

600

20

25

30

35

40

45

50

Theta (°)

V(k

N)

.

Vrd armature d'anima

Vrd bielle compresse

Vsd=204 kN

passo15cm

10

7

14


ELEMENTI CON ARMATURA A TAGLIO

In generale la condizione ottimale si ha quando, al variare del passo delle staffe, si raggiungel’uguaglianza fra la sollecitazione e le resistenze di armature d’anima e bielle compresse.

-

100

200

300

400

500

60020

25

30

35

40

45

50

Theta (°)

V(k

N)

. Vrd armature d'anima

Vrd bielle compresse

Vsd=204 kN

VS=400 kN - staffe passo 7 cm

Q=27°

travi con armatura a tagliotravi con armatura a taglio

RESISTENZAA TAGLIO: confronto tra diverse normativeRESISTENZAA TAGLIO: confronto tra diverse normative

Volendo effettuare un confronto tra la quantità di armatura a taglio imposta dalle diverse normative chesi sono succedute negli ultimi anni si ottengono risultati del tipo di quelli riassunti nei grafici seguenti:

sezione B20xd60

0

5

10

15

20

25

- 100 200 300 400 500 600

V(kN)

Aw

d/s

(cm

q/m

).

DM92

DM96

EC2

NTC2008

sezione B60xd20

0

10

20

30

40

50

60

70

80

- 100 200 300 400 500 600

V(kN)

Aw

d/s

(cm

q/m

).

DM92

DM96

EC2

NTC2008

15

Armatura minima delle traviArmatura minima delle travi

Armatura minima delle traviArmatura minima delle travi

Deriva dalla condizione:

Mcr= fctk*b*h2/6 My0.8*h*As*fyk

ovvero (fctk=0.7*fctm):

As,min0.26* fctm/ fyk*b*h

che per:

- Rck=20 MPa min=0.13%

- Rck=50 MPa min=0.24%

In zona sismica:

As,min1.40/ fyk*b*h=0.3% *b*h

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Armatura minima dei pilastriArmatura minima dei pilastri

In zona sismica per:

- edifici alta duttilità (A): n=NS/(b*h*fcd)0.55

- edifici bassa duttilità(B): n=NS/(b*h*fcd)0.65

per stato limite di esercizio si intendeil raggiungimento da parte di una struttura o di una sua parte, di una condizione

che rappresenta un limite oltre il quale non sono più garantite certe prestazioni diservizio, senza che per questo essa sia prossima a condizioni di crisi

Limitazione delle tensioni di esercizio(di compressione per il calcestruzzo, di trazione per l’acciaio);

Controllo della fessurazione;

Controllo dell’inflessione.

GLI STATI LIMITEGLI STATI LIMITE DIDI ESERCIZIOESERCIZIO

NEL CALCESTRUZZO ARMATO

stato limite “reversibile”

stato limite “irreversibile”

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STATI LIMITESTATI LIMITE DIDI ESERCIZIOESERCIZIO

LIMITAZIONE DELLE TENSIONI

CONTROLLO DELLA FESSURAZIONE

CONTROLLO DELL’INFLESSIONE

Calcolo delle sollecitazioni

I coefficienti di sicurezza per le resistenze dei materiali, valgono:

per l’acciaio: gs=1.0

per il calcestruzzo: gc=1.0

Coefficienti di sicurezza

IPO

TE

SI

si utilizza il calcolo elastico lineare, in grado di riprodurre con sufficiente

approssimazione il comportamento della struttura sotto i carichi di

esercizio.

STATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIOSTATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIO

Secondo NTC 08:

18


Esempio - Traveb=60 cm d=24-4=20 cm fyk=450 MPa fck=33.2 MPa

As= 4f16+6f20 = 26.8 cmq A’s= 4f16+3f20 = 17.45 cmq

MS,rara = -127 kNm

<0.6*33.2=19.9 MPa

<0.8*450=360 MPa


Esempio - Traveb=60 cm d=24-4=20 cm fyk=450 MPa fck=33.2 MPa

As= 4f16+6f20 = 26.8 cmq A’s= 4f16+3f20 = 17.45 cmq

MS,q.p. = -110 kNm

> 0.45*33.2=14.9 MPa

Devo aumentare sezioni trave o classe calcestruzzo

19

STATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIOSTATO LIMITE DELLE TENSIONI IN ESERCIZIOEsempio - Pilastro con massime tensioni al piano terra - comb. Q.P.

B=H=30 cm fyk=450 MPa fck=33.2 MPa

As= 4f18 = 10.16 cmq

NS,q.p. = -326 kNm MS,q.p. = 40.6 kNm

< 0.45*33.2=14.9 MPa

STATO LIMITESTATO LIMITE DIDI FESSURAZIONEFESSURAZIONE

La fessurazionedeve essere limitata a un livello tale da non pregiudicareil corretto funzionamento o la durabilità della struttura

o da renderne inaccettabile l’aspetto.

La fessurazione è fatto normale nelle strutture di calcestruzzo armatosollecitate per effetto di carichi diretti o deformazioni impedite;

Le fessure possono anche sorgere per altre cause (ritiro plastico oreazioni chimiche espansive all’interno del calcestruzzo indurito). Talifessure possono assumere ampiezze inaccettabili, e la loroprevenzione può richiedere analisi specifiche.

Si può permettere la formazione delle fessure senza nessun tentativo diverifica dell’ampiezza, se non è pregiudicato il funzionamento dellastruttura (secondo EC2);

20

STATO LIMITESTATO LIMITE DIDI FESSURAZIONEFESSURAZIONE

Valori limite wmax raccomandati (in assenza di requisiti specifici)

Un metodo alternativo semplificato consiste nel limitare il diametro dellebarre e la loro spaziatura

(verifica senza calcolo diretto dell’apertura di fessura)

Si raccomanda di fissare un’ampiezza limite di progetto delle fessure,wmax, tenuto conto della funzione, della natura della struttura e dei costi

Per iniziare … Il meccanismo di formazione delle fessure

sIIs = N/As

eIIs = sII

s/Es > eIs

v0 tratto a cavallo dellafessura in cui l’aderenza ècompletamente persa

prima fessura:le tensioni sul cls siannullano mentre quellesull’acciaio aumentano

le lunghezza diintroduzione: tratto in cuisi sviluppano le forze diaderenza

21

CALCOLO DELLA DISTANZA TRA LE FESSURECALCOLO DELLA DISTANZA TRA LE FESSURE

Indipendentemente dal tipo disollecitazione agente la distanzaminima teorica fra due fessuresuccessive è pari a:

e0min,rm lv2

1s

Distanza minima teorica

Srm,min viene raggiunta solo per livelli di carico per cui il quadro fessurativo è completamente sviluppato.

Per valori di carico correnti le fessure si formano a distanze superiori a tale distanza minima

v0 tratto a cavallo della fessura in cuil’aderenza è completamente persa

le lunghezza di introduzione: tratto in cui sisviluppano le forze di aderenza

SrmSrm,min

Srm,min

DISTANZA TRA LE FESSURE: lunghezza di introduzione lDISTANZA TRA LE FESSURE: lunghezza di introduzione lee

La distanza media alla quale due fessure successive si formano dipende da vari fattori:distribuzione delle tensioni sulla sezione, qualità dei materiali, aderenza fra acciaio ecalcestruzzo, forma e dimensioni della sezione, quantità e distribuzione dell’armatura

per l’asta in trazione semplice avente area in calcestruzzo Ac, armata con N barre diarmatura di diametro f, la lunghezza d’introduzione può stimarsi con la relazione

Asta in trazione

bm

cctmN,e

Afl

Ndove tbm il valore medio delle tensionidi aderenza sul tratto le

c

sr

bm

ctmr

2

sA

A;

fk;

4A

Nposto l

kke N

r

rr

r, .

40 25

Nel caso di flessione semplice nella posizione di armatura vicina al baricentro del triangolodelle tensioni di trazione (cioè in sezioni con altezza utile bassa) si ottiene invece

Asta in flessione

r

r

bm

Iccfm

M,e k189.0Af

63.0l

N

avendo posto AIc l’area di calcestruzzo

nella zona tenso-inflessa nello stato I.

22

DISTANZA TRA LE FESSUREDISTANZA TRA LE FESSURE

a parità di percentuale di armatura la distanza media fra le fessure,e conseguentemente la loro ampiezza, aumenta all’aumentare del diametro delle barre e al

diminuire del numero di barre di armatura

rrm aaleproporzionèS

AMPIEZZA DELLE FESSUREAMPIEZZA DELLE FESSURE –– Deformazione mediaDeformazione media

trascurando le tensioni trasmesse per aderenza, nel tratto di lunghezza Sr m l’armaturasi allunga mentre il calcestruzzo tra le fessure è scarico

Indicando con σs la tensione nell’acciaiodopo la formazione della fessura si ha:

Ipotesi semplificativa

l’ampiezza della fessura in questo caso risulta pari a:

sss E/

rms sw

Tale soluzione è ovviamente conservativa e a favore di sicurezza in quanto trascura ladeformazione di allungamento del calcestruzzo fra due fessure successive.

23

Fino a quando il calcestruzzo non si è fessurato la deformazione dell’acciaio equella del calcestruzzo sono entrambe pari a:

scc1c1s

nAAE

N

I Stadio

Superato lo sforzo normale di fessurazione si ha: 02c

II Stadio

ss2s

AE

N

Nfes

In questa ipotesi si ha,quindi, un salto brusco incorrispondenza di Nfes

AMPIEZZA DELLE FESSUREAMPIEZZA DELLE FESSURE –– Deformazione mediaDeformazione media

All’aumentare del carico diminuisce ladistanza fra le fessure e la tensionesull’acciaio assume un valore medio piùelevato, avvicinandosi alcomportamento della trave ideale instato II per tutta la sua lunghezza.

asta in c.a. sottoposta a trazione

RISULTATI SPERIMENTALIRISULTATI SPERIMENTALI

La trave esibisce una rigidezza complessiva superiore a quella ideale data dalsolo calcestruzzo compresso e dall’acciaio teso per la minore deformazione del

corrente teso dovuta all’effetto irrigidente del calcestruzzo ancora integro fra lefessure

24

AMPIEZZA DELLE FESSUREAMPIEZZA DELLE FESSURE -- Effetto delEffetto del TensionTension StiffeningStiffening

L’ampiezza delle fessure è pari alla

differenza tra l’allungamento

dell’acciaio e quello del

calcestruzzo:

cmsmrmm sw Nfe

s

)(sw cmsmmax,rd

Si deve verificare che l’ampiezza di fessura wk rimanga entro i limitiaccettabili.

Ampiezza caratteristica delle fessure

sr,max distanza massima fra due

fessure successive

esm deformazione media dell’acciaio

(include “tension stiffening” e def. impresse)

ecm deformazione media del cls tra le

fessure

è pari alla differenza tra l’allungamento dell’acciaio e quello del calcestruzzo

VERIFICA DELLA FESSURAZIONE CON CALCOLO DELL’AMPIEZZAVERIFICA DELLA FESSURAZIONE CON CALCOLO DELL’AMPIEZZA

Coefficiente che fapassare da valori medi a

valori di calcolo

Le NTC 2008 rimandono a normative di comprovata validità per il calcolo dell’ampiezza difessura (DM96). Nella circolare esplicativa si propone il metodo alternativo ripreso da EC2.

smmaxd sw

25

eff4213max kkkcks

DISTANZA MASSIMA FINALE TRA LE FESSUREDISTANZA MASSIMA FINALE TRA LE FESSURE

dipende da v0/2 dipende da le

Se l’ interasse tra l’armatura aderente 5 (c+f/2)

c = copriferro netto

f = diametro delle barre (feq se barre di diametro diverso );

k1 = coefficiente che caratterizza l’aderenza del calcestruzzo all’armatura:

0.8 per barre ad aderenza migliorata (danno minore distanza fra le fessure perché aumenta la tb) e

1.6 per barre lisce

k2 = coefficiente che tiene conto della forma del diagramma delle deformazioni

0.5 per flessione, 1 per trazione pura, (e1+ e2)/(2e1) nel caso di trazione eccentrica, o per singole

parti di sezione, essendo e1 e e2 rispettivamente la massima e minima deformazione di trazione sul

calcestruzzo valutata in STATO II (sez. fessurata)

k3 = 3.4 k4=0.425 reff = As/Ac,eff

As = area dell’armatura lenta (e di precompressione aderente) posta entro Ac,eff (area di cls efficace).

Se l’ interasse tra l’armatura aderente > 5 (c+f/2)

)xh(3.1smax

area di calcestruzzo che può essereconsiderata collaborante con

l’armatura in trazione.

ef,ceffeff,c hbA

Area di cls efficace

2

h;

3

xh;h-d5.2minh ef,c

dove:

Trave

Piastra

Elementoin trazione

26

DILATAZIONE MEDIA TRA DUE FESSUREDILATAZIONE MEDIA TRA DUE FESSURE

s

s

s

effeeff

ctmts

smE

6.0E

)1(fk

s = tensione nell’acciaio calcolata• nella sezione fessurata (STADIO II) e = Es/Ecm

• kt = fattore che considera la durata del carico• (= 0.6 per carichi di breve durata;• = 0.4 per carichi di lunga durata o ripetuti).•

• reff = As /Ac,eff già esplicitato

•Nf

es

STATO LIMITESTATO LIMITE DIDI FESSURAZIONEFESSURAZIONE –– Armatura minima secondo EC2Armatura minima secondo EC2

Se è richiesta la verifica a fessurazione,è necessario disporre un quantitativo minimo di armatura aderenteper controllare la fessurazione nelle zone dove è presente la trazione.

EQUILIBRIO al limite di fessurazione

Kc = 1 per trazione pura 0,4 Kc < 1 per tenso-flessione

K = 0,65 - 1 tiene conto della presenza di stati di autotensione distribuiti non uniformemente

As,min ss = Kc K fct,eff Ac,teso

Trazione nel clsall’incipiente fessurazionecon fct.eff = fctm(t)

Trazione nell’armaturacon ss ≤ fyk

As,min ≥ Kc K fct,eff Ac,teso/ss

Kc tiene conto del tipo di distribuzione delle tensioni nella sezione immediatamente prima dellafessurazione e della variazione del braccio di leva

Per controllo fessurazione e non fragilità

27

Non serve calcolo diretto:

per piastre di c.a. o c.a.p. di edifici (solai), soggette a flessione con trazione assiale trascurabile, purchéaltezza h200 mm e siano applicate le disposizioni relative alle piastre

in caso di fessurazione dovuta a deformazioni impresse impedite,

se e’ rispettata l’armatura minima e SE NON SONO SUPERATI I DIAMETRI MASSIMI indicati in

Tabella

Tensione calcolata consezione fessurata e con lacombinazione di caricopertinente

VERIFICA DELLA FESSURAZIONE SENZA CALCOLO DIRETTOVERIFICA DELLA FESSURAZIONE SENZA CALCOLO DIRETTO

se e’ rispettata l’armatura minima, e se sono rispettati:

In caso di fessurazione dovuta principalmente a carichi,

I DIAMETRIMASSIMI ...

…e laSPAZIATURAMASSIMA tra

le BARRE


28

Nelle travi di altezza totale h 1 000 mm si raccomandaun’armatura aggiuntiva di pelle per il controllo della fessurazione sullefacce laterali della trave. L’armatura deve essere distribuita uniformementetra il livello dell’armatura principale tesa e l’asse neutro e posta all’internodelle staffe.

Esiste un rischio particolare di formazione di ampie fessure in corrispondenzadi sezioni dove si hanno improvvise variazioni di tensione, p.e.:

- in corrispondenza di cambi di sezione;- vicino a carichi concentrati;- dove barre sono interrotte;- in zone di elevate tensioni di aderenza, (estremità delle sovrapposizioni).

Ridurre al minimo le variazioni di tensione in tali zone;Rispetto regole di dettaglio


ESEMPIO: VERIFICAESEMPIO: VERIFICA DIDI FESSURAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIOFESSURAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIO

Comb. Quasi Permanente

Comb. Frequente

=0.4 mm

=0.3 mm

fyk=450 MPa fck=33.2 MPa

b=60 cm d=24-4=20 cm

As= 4f16+6f20 = 26.8 cmq feq=18.6 mm ref=26.8/288=9.33%

A’s= 4f16+3f20 = 17.45 cmq

c=40-18.6/2=31 mm x=9.6 cm (esatto) ~ 0.4 h

cmq2888.460hbA ef,ceffeff,c

cm8.42

24;

3

246.0;45.2min

2

h;

3

xh;h-d5.2minh ef,c

MS=-110.37 kNm

MS=-115.18 kNm

29

ESEMPIO: VERIFICAESEMPIO: VERIFICA DIDI FESSURAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIOFESSURAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIO

mm139%33.9

6.18425.05.08.0314.3kkkcks

eff

eq4213max

Distanza massima fra le fessure:

Combinazione quasi permanente:

)MPa248esatto(MPa228108.26209.0

37.110

Ad9.0

M 3

ss

%066.0206000

2286.0

E6.0%101.0

206000

%33.933642

2060001

%33.9

10.34.0228

E

)1(fk

s

s

s

effeeff

ctmts

sm

mm3.0Wmm14.0%101.0139sW 2smmaxd

Combinazione frequente:

MPa238108.26209.0

18.115

Ad9.0

M 3

ss

%069.0206000

2386.0

E6.0%105.0

206000

%33.933642

2060001

%33.9

10.34.0238

E

)1(fk

s

s

s

effeeff

ctmts

sm

mm4.0Wmm15.0%105.0139sW 3smmaxd

20.9 MPa

I DIAMETRIMASSIMI ...

…e laSPAZIATURAMASSIMA tra

le BARRE


In condizione quasi permanente (la più restrittiva):

18.6

58

228248

30

STATO LIMITESTATO LIMITE DIDI DEFORMAZIONEDEFORMAZIONE

Il controllo dell’inflessione ha lo scopo di evitare:

• danni agli elementi collegati (murature, vetrate, tamponamenti, tubazioni, ecc.)

• che vengano meno le condizioni di utilizzazione della struttura (inclinazione dei solai,

inversione delle pendenze, funzionamento di macchinari, ecc.)

L’inflessione di un elemento o di una struttura deve essere tale da non

comprometterne la FUNZIONALITA’ o ASPETTO ESTETICO

LIMITI da ISO 4356

per travi, solai, sbalzi in combinazione di carichi quasi permanente

Limite assoluto f ≤ L/250

Limite relativo

(dopo la costruzione)f ≤ L/500

Funzionalità,

aspetto estetico

Salvaguardia

elementi portati

L’inflessione di travi e solai si calcola per doppia integrazione della curvatura delle sezioni,

tenendo conto di:

• effetti di viscosità (e eventualmente di ritiro)

• eventuale fessurazione del cls e dell’ effetto di tension-stiffening.

CONTROLLO DELL’INFLESSIONECONTROLLO DELL’INFLESSIONE

Calcolo teorico della deformazione

dEJ

M

r

1 cs curvatura dell’asse di una trave in c.a. soggetta a presso-flessione

Nota la distribuzione delle curvature lungo tutta la lunghezza della trave è possibiledeterminare in ogni sua sezione la rotazione j(x) e la curva di inflessione f(x) attraverso

l’integrazione e, rispettivamente, la doppia integrazione di 1/r(x), con le costanti diintegrazione che derivano dai vincoli applicati alla struttura

La verifica può essere effettuata:

Limitando il rapporto Luce/altezza utile

Confrontando valore calcolato con valore limite

METODO SEMPLIFICATO

CALCOLO TEORICO

0L

0L

fdxxfdxr

1x

31

La difficoltà nel calcolo delle deformazioni di travi in c.a. è insita nella valutazionedella rigidezza flessionale EJ che risulta avere forti variabilità da punto a punto.

Calcolo teorico

Andamento delle rigidezzeflessionali e delle curvaturelungo una trave in funzionedel diagramma dei momenti

Si individuano campicon rigidezze

differenti

– calcolo teorico

32

IcI JE

M

r

1curvatura in I stadio

M ≤ Mfes

IIcII JE

M

r

1curvatura in II stadio

M ≥ Mfes

contributo del calcestruzzo(tension stiffening) M=Mfes

fes

I

fes

II

fes Mr

1M

r

1βM

r

1Δ

)(Mr

1)(M

r

1fes

Ifes

II

M

1/r

– calcolo teorico

b =1

b =0

M

MM

r

1M

r

1 β M

r

1 fesfes

Ifes

II

Mr

1Δ

contributo del calcestruzzo

Al crescere di M il comportamento tende asintoticamente a quello del IIstadio perché il contributo del calcestruzzo diviene sempre menorilevante

2

fes

III M

MM

r

1M

r

1

r

1

essendo

M

MM

r

1M

r

1 β

r

1 fesfes

Ifes

II

M

Mr

1M

r

1

M

Mr

1M

r

1

III

fes

fesI

fesII

– calcolo teorico

)N()N( fes1sfes2s

M

1/r

r

1Δ

r

1

(M)r

1

I (M)r

1

II

M>Mfes

33

2

fes

III M

MM

r

1M

r

1

r

1

2

fes

IIIII M

M

r

1

r

1

r

1

r

1

M>Mfe

s

Per il comportamento lineare dei materiali:2

s

sr

2

fes

M

M

2

s

sr

I

2

s

sr

II r

11

r

1

r

1

ssr tensione nell’acciaio in Stadio II per M=Mfes

ss tensione nell’acciaio in Stadio II per M

– calcolo teorico

)N()N( fes1sfes2s

M

1/r

r

1Δ

r

1

(M)r

1

I (M)r

1

II

M>Mfes

Effetto del Tension Stiffening –Contributo del calcestruzzo

2

s

sr

I

2

s

sr

II r

11

r

1

r

1

Eurocodice 2 e DM08

2

fes

2

M

M11

s

sr

Con:

b che dipende durata e ripetitività del carico:=1 carico singolo breve durata=0,5 lunga durata o ripetuti

III r

1)1(

r

1

r

1

Essendo:

)N()N( fes1sfes2s

M

1/r

M>Mfes

r

1

– calcolo teorico

b =1

b =0

34

– calcolo teorico

Per carichi di durata tale da produrre effetti viscosi, la deformazione totale,comprensiva dell’effetto della viscosità, può essere calcolata utilizzando unmodulo di elasticità efficace del calcestruzzo

))t,(1(EE 0m,ceff,c

Le curvature indotte dal ritiro possono essere valutate:

dove:

- Ss è il momento statico dell’armatura rispetto al baricentro della sezione ideale

- Iid è il momento d’inerzia della sezione ideale (valutata in Stadio I)

METODO RIGOROSO:

Calcolata la curvatura in più sezioni, si determina l’inflessione mediante

integrazione numerica

METODO APPROSSIMATO (applicabile nella maggioranza dei casi):

Si calcola l’inflessione vI nell’ipotesi che l’intero elemento sia in STADIO I,

l’inflessione vII nell’ipotesi che l’intero elemento sia in STADIO II,l’inflessione reale” è pari a : III v)1(vv

id

s

cm

scs

cs I

S

E

E

r

1

CONTROLLO DELL’INFLESSIONECONTROLLO DELL’INFLESSIONE –– calcolo semplificatocalcolo semplificatoIn genere non è necessario calcolare esplicitamente le inflessioni poiché possono essereformulate regole semplici (come la limitazione luce/altezza).

La curvatura in stato II fessurato, può essere valutata come:

Nella sezione più sollecitata della trave, si sovrastima la curvatura con la relazione:

la freccia della trave si può calcolare con relazione del tipo:

(es.: c=1/8 x trave semplice appoggio soggetta a flessione costante; c=40/384 per travesemplice appoggio soggetta a carico uniforme, …). E infine:

che giustifica la limitazione di L/d come metodo di controllo della freccia.

xdEJ

M

r

1 s

II

1dE

f

xdE

f

xdEJ

M

r

1

s

yk

s

yksy

II

max

max,II

2

s

yk2

max,II

L1dE

fcL

r

1cf

d

LKL

1dE

fc

L

f

s

yk

35

CONTROLLO DELL’INFLESSIONECONTROLLO DELL’INFLESSIONE –– calcolo semplificatocalcolo semplificatoSecondo NTC2008:

il RAPPORTO LIMITE LUCE/ALTEZZA può essere limitatocosì:

CONTROLLO DELL’INFLESSIONECONTROLLO DELL’INFLESSIONE –– calcolo semplificatocalcolo semplificato

36

ESEMPIO: VERIFICAESEMPIO: VERIFICA DIDI DEFORMAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIODEFORMAZIONE PER LA TRAVE DEL TELAIO

9.41%45.1%24.2

2.330015.0114.0

Af

A500f0015.011K8.9

24

235

h

L

calc,syk

eff,sck

VERIFICA SEMPLIFICATA - mensola a sbalzo L=235 cm

K=0.4 per mensoler=26.8/(60x20)=2.24%r’=17.4/(60x20)=1.45%fck=33.2 MPa

Il valore approssimato massimo di snellezza suggerito databella (per Rck=30 MPa e r=1.5%) è pari a 6.

La verifica non è soddisfatta!SI PROVA A CALCOLARE LA CURVATURA CON METODO APPROSSIMATO

In combinazione di carico rara, da modello numerico:- con EJI= 33600*(600*2403/12) fI=13.8 mm- con EJI/EJII =2.43 fII=fI*2.43=33.6 mm

(sezione fessurata + effetti viscosi con 1+f=2.5)

- Mf fcfm*(b*h2/6)=21.5 kNm- b = Mf/MS,rara = 21.5/122 = 0.175 c=0.5 z=1-cb2=0.98- f = z*fII+(1-z)*fI = fII = 33.6 mm- L/fII = 2*235/3.36 = 140 < 250

La mensola si conferma eccessivamente deformabile!

fmax=13.8 mm

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