Ottica geometrica e Ottica geometrica e geometria simpletticageometria simplettica

Daniele Musso

Relatore: Prof. Enrico Massa

Genova 22/9/2005

• Gli aspetti salienti dell’ottica lineare e dell’ottica geometrica rivisitati utilizzando tecniche e strumenti matematici propri della geometria simplettica.

• Ottica lineare descritta con il metodo delle matrici.

William Rowan Hamilton

• Formulazione Hamiltoniana basata sul principio variazionale di Fermat.

Ottica lineare e ottica Ottica lineare e ottica gaussianagaussiana

• Introduzione dell’asse ottico.

• Oggetti ottici rappresentati matematicamente da superfici ottiche.

L’ottica lineare è una teoria classica il cui ambito di applicazione è definito dalle seguenti ipotesi:

• Trascurabilità del carattere ondulatorio della radiazione elettromagnetica

• Indici di rifrazione costanti

• Ipotesi di linearità

Ulteriore ipotesi per l’ottica gaussiana:

• Ipotesi di simmetria cilindrica

in cui è detto momento.

• Rappresentazione della relazione fra gli “stati” di un raggio a due quote diverse mediante una trasformazione lineare simplettica della coppia di parametri e .

np

Definizione del formalismoDefinizione del formalismo

q p

• Caratterizzazione dello “stato” di un raggio mediante i due parametri e variabili in .

q pz

zp

q

1

1

2

2

p

q

dc

ba

p

q

• è simpletticaM 1det M

Sistemi ottici elementariSistemi ottici elementari

Condizione iniziale a :

• Percorso in assenza di superfici ottiche

1zz Condizione finale a :2zz

11, pq

22 , pq

Pongo 12 zzt

Essendo l’indice di rifrazione costante, il raggio si propaga in maniera rettilinea, risulta pertanto:

1

1

1112

12

pnt

qtqq

pp

Ponendo , la matrice di trasferimento dal punto

al punto assume la forma

1nt

T 1z

2z

10

1 T

• Superficie rifrangente

Equazione della linea di separazione: qfzz Per l’ipotesi di simmetria cilindrica rispetto all’asse ottico, è pari e . qf 00 f

A meno di termini di ordine superiore al secondo avremo

2

21kqzz

Con riferimento alla figura, sotto l’ipotesi di linearità, si ottiene

22tankq

Considerando i triangoli rappresentati in figura

11 2

;

22 2

Confrontando e raccogliendo i risultati ottenuti si ricava

kq 11 kq 22

Si considera la legge di Snell linearizzata:

221 nn 1

Utilizzando le relazioni

kq 11 kq 22

si ottiene

kqnnkqnn 222111 vale a dire

Pqkqnnpp 1212

avendo definito il potere della superficie rifrangente

knnP 12

La matrice di trasferimento dal punto al punto sarà pertanto

1z 2z

1

01

P

112

12

pPqp

qq

• Il comportamento del generico sistema ottico è determinato dagli effetti del sistema stesso sull’evoluzione dei raggi luminosi fra e ,

• Nello spazio delle variabili e , tale evoluzione è descritta da una trasformazione appartenente al gruppo

.

• Il gruppo è a sua volta generato dalle trasformazioni di tipo “elementare”

,2Sl

,2Sl

p1z 2z 21 zz

q

10

1 x

1

01

y

•

dipende solo da e non dalla direzione del raggio

stesso; i punti e sono detti coniugati.

Anche i piani sono detti coniugati poiché formati da punti coniugati a due a due.

•

dipende solo da e non dal punto di incidenza.

0b

2q 1q 11,qz 22 ,qz

21 , zzzz

0c

2p 1p

Casi NotevoliCasi Notevoli

1

1

2

2

p

q

dc

ba

p

q

Lente sottile

Per lente sottile si intende la successione di due diottri posti a distanza trascurabile l’uno dall’altro.

Il problema associato alla lente sottile risulta dalla composizione di due problemi di singola superficie rifrangente.

1

01

1

01

1

01

1

011

2121 fPPPP

con21

1

PPf

nfzzzz 12

La matrice associata al sistema in esame è

0

0

10

1

1

0

10

1

1

01

10

1111 f

ff

f

ff

f

f

pertanto 12 fpq 12

1qf

p

Fuochi della lente sottile

• Si considera ancora una lente sottile posta in un mezzo rifrangente uniforme la cui matrice associata è

1

1

10

1

1

01

10

111

11

1 yff

xyxfyxfy

f

x

dc

ba

Si scelgono e in modo chex y

01 xyxfybyxf111

viene detto fattore d’ingrandimento

I piani sono coniugati e vale la seguente relazione

21 , zzzz

12 aqq

yx

yxxxfa

1111 1

Formulazione Hamiltoniana dell’ottica Formulazione Hamiltoniana dell’ottica gaussianagaussiana

1

1

2

2

p

q

dc

ba

p

q

se 0b

122

121

1

1

qdqb

p

aqqb

p

Introduciamo la funzione iconale

Kqqqd

qa

bqqW

21

22

2121 22

1,

1

1

2

2

112221

p

q

dc

ba

p

q

KqpqpW

2

2

1

1

qW

p

qW

p

oppure

L’eq. (1.1) possono essere riscritte in termini delle derivate parziali di W

la funzione iconale è additiva.

231213 WWW

321 zzz jjiijiij pqpqqqW ,,:,

2

122

1

121

qW

p

qW

p

3

233

2

232

q

Wp

q

Wp

2

23

2

12

q

W

q

W

3312233121123113 ,,,,, qqqqWqqqqWqqW

da cui segue che

Esprimendo in funzione di si ha 2q 31, qq

che soddisfa le seguenti relazioni

Scegliendo la funzione iconale coincide con il cammino ottico

asseLK W

i

iilnL

• Propagazione rettilinea

2

122

2

122

122

2

1

2

11 qq

d

nnd

d

qqndqqdnL

con 12 zzd

10

1n

dMatrice associata:

Kqqqqd

nqqW 21

2

2

2

121 22

,

La funzione iconale vale pertanto

identica al cammino ottico per asseLndK

• Superficie ottica

11

22

zzd

zzd

2

2

2

22

1

1

12212211

2

2

22

22

2

1

22

11

21

21

21

21

21

qqdn

qqdn

qnnkdndn

qqkqdnqqkqdnL

kqnnpppnd

qqpnd

qq 211222

221

1

11 ,,

11222211

2211122211

2

12

1

2

1

2

1

qpqpdndn

qqpqqpqppdndnL

2

21kqzz Superficie ottica:

Il cammino ottico è:

Utilizzando le relazioni

si ha

2211 dndnK Identica alla funzione pur di porreW

KqpqpW 11222

1

Legge di Snell e principio di Fermat

11

22

zzd

zzd

2

2

2

22

1

1

12212211 2

121

21

qqdn

qqdn

qnnkdndnL

022

21

1

121 qq

d

nqq

d

nqnnk

dq

dL

Cammino ottico:

Condizione di stazionarietà del cammino ottico:

1221 ppnnkq

22

221

1

11 , p

n

dqqp

n

dqq

Utilizzando le relazioni

si ottiene la legge di Snell:

Willebrord Snell

(1580 – 1626) Claudio Tolomeo

(~ 87 – 150 A.D.)

Pierre Fermat

(1601 – 1665)

William Rowan Hamilton

(1805 – 1865)

Carl Friedrich Gauss(1777-1885)