Esperimentazioni di Fisica 2007 1

OSCILLAZIONI SMORZATE E FORZATE

DESCRIZIONE DELL’APPARATO Un disco di alluminio è imperniato su una puleggia sulla quale scorre un filo. Ad una estremità il filo è fissato, tramite una molla, al braccio di un oscillatore elettromeccanico. L’altra estremità del filo è fissata, ancora con interposta una molla, alla base del pendolo. Il disco può ruotare liberamente oppure sotto l’azione dell’oscillatore. La frequenza dell’oscillatore elettromeccanico è variabile, cresce all’aumentare della tensione con cui viene alimentato ( 0-12 V). In prossimità del disco è posto un piccolo magnete che può essere avvicinato al disco fino quasi a toccarlo, il suo effetto è di frenare il moto del disco con una forza di attrito, dovuta all’insorgere di correnti di Foucault, proporzionale alla velocità angolare del disco stesso. L’effetto frenante aumenta quanto più si avvicina il magnete al disco. La puleggia e il disco sono fissati su un sensore di moto rotatorio, che misura la posizione angolare del disco in funzione del tempo, e trasferisce i dati al PC. Il periodo di rotazione del braccio dell’oscillatore meccanico è misurato da una fotocella, anch’essa acquisita dal PC. Il software a disposizione permette di visualizzare i dati raccolti, interpolarli tramite funzioni definite dall’utente ecc. Il sistema a disposizione permette quindi di studiare le oscillazioni smorzate e forzate del pendolo e di osservare il fenomeno della risonanza. INTRODUZIONE ALLE OSCILLAZIONI SMORZATE E FORZATE In assenza di attriti, se ruotiamo il disco di una angolo θ rispetto l’asse centrale, il sistema sviluppa un momento elastico Μel = – C θ, dove C è la costante elastica del sistema, dovuta alle due molle. Lasciato libero il disco si mette allora ad oscillare secondo l’equazione:

Ι α = Μel

Ι d2θ/ dt2 = − C θ cioè:

d2θ/ dt2 + ω02 θ = 0

dove I è il momento di inerzia del sistema rispetto l’asse di rotazione e ω0

2 = C / I. Il sistema descrive una oscillazione armonica con posizione angolare: θ(t) = A0 sin( ω0t ) con pulsazione ω0

e periodo T=2π/ω0.

Esperimentazioni di Fisica 2007 2

Se, oltre alla forza elastica, agisce anche una forza di attrito di tipo viscoso Fa=− bv, il modulo del suo momento rispetto l’asse di rotazione del disco vale Μs= – r b v, con r raggio della puleggia. La legge del moto si scrive ora:

Ι α = Μel + Μs

Ι d2θ/ dt2 = − Cθ − r b dθ/ dt Chiamiamo coefficiente di smorzamento γ =rb/2Ι, l’equazione del moto diventa:

d2θ/ dt2 + 2γ dθ/ dt + ω02 θ = 0

Questa è l’equazione differenziale dell’oscillatore armonico smorzato, è una equazione differenziale lineare del secondo ordine, a coefficienti costanti, omogenea. La soluzione, nel caso di smorzamento debole ( γ2 < ω0

2 ), come nel nostro apparato, è del tipo:

θ(t)=A(t) sin(ωt+φ) =A0 e − γ t sin(ωt+φ)

con A0 e φ determinate in base alle condizioni iniziali. Il disco, in caso di smorzamento debole, compie oscillazioni di pulsazione

022

0 ωγωω <−= e pseudoperiodo T = 2π / ω. L’ampiezza delle oscillazioni non è costante, A(t) è smorzata esponenzialmente. Si ha θ(t+T)/θ(t)=e−γT cioè in un pseudoperiodo l’ampiezza si riduce esponenzialmente di un fattore e−γT . Se vogliamo rendere l’oscillazione persistente, realizzando un sistema che oscilli con frequenza definita e ampiezza costante, anche in presenza di attrito viscoso, dobbiamo applicare al sistema una forza sinusoidale F(t) =F0 sin(ωt). La pulsazione ω della forzante è in generale diversa dalla pulsazione propria del pendolo ω0

. La forza agisce sul disco con un momento rispetto l’asse di rotazione di modulo: Mf = F0 r sin(ωt), pertanto l’equazione del moto diventa ora:

Ι α = Μel + Μs + Mf

Ι d2θ/ dt2 = − Cθ − r b dθ/ dt + F0 r sin(ωt)

d2θ/ dt2 + 2γ dθ/ dt + ω0

2 θ = M0 sin(ωt)

con M0 =F0 r / I . L’equazione dell’oscillatore smorzato e forzato non è omogenea. La soluzione generale è somma di una parte transitoria, che si smorza in un tempo che dipende dal coefficiente γ, e di una parte di oscillazione permanente descritta da:

Esperimentazioni di Fisica 2007 3

θ(t)=A(ω) sin(ωt + ϕ )

la cui con ampiezza, costante nel tempo, ma funzione della pulsazione, è data da:

222220

0

4)()(

ωγωωω

+−= MA

La fase è data da: 220

2ωω

γωϕ−

=tg

Osserviamo che:

• ad una sollecitazione sinusoidale l’oscillatore risponde con uno spostamento angolare sinusoidale: la pulsazione non è quella propria bensì è uguale a quella impressa dall’esterno.

• La risposta dell’oscillatore non è la stessa per qualunque valore di ω: ampiezza e fase dipendono da ω.

• L’ampiezza è massima per 022

0 2 ωγωωω <−== M e vale:

220

0

22)(

γωγω

−= MA M

La presenza di un picco molto pronunciato dell’ampiezza nelle vicinanze di ω0 indica la condizione di risonanza. Il massimo esiste solo se ω0

2 > 2 γ2, altrimenti A(ω) ha un andamento monotono decrescente.

• La funzione non è simmetrica rispetto il massimo: per ω→0 l’ampiezza tende al valore M0 /ω0

2 mentre per ω → ∞ l’ampiezze tende a zero.

• Per γ →0 : ωM →ω0 e

ΑM→∞ : questa è propriamente la condizione di risonanza.

Figura 1.

A(ω) perω=4, M0=5 e diversi valori di γ.

Esperimentazioni di Fisica 2007 4

SVOLGIMENTO DELL’ESPERIENZA 1. Oscillazioni libere Si pone il disco in oscillazione, mantenendo il magnete allontanato dal disco, e l’oscillatore elettromeccanico spento. Dal grafico della posizione angolare in funzione del tempo si misura il periodo delle oscillazioni libere. In realtà il sistema ha comunque un poco di attrito, le oscillazioni risultano pertanto leggermente smorzate, la pulsazione misurata sarà leggermente minore di ω0 . 2. Oscillazioni smorzate Si avvicina il magnete al disco e, come riferimento, si misura col calibro la distanza tra essi. Si pone il disco in oscillazione e dal grafico della posizione angolare in funzione del tempo si misura il periodo delle oscillazioni smorzate. Si interpolano i dati con una funzione del tipo:

θ(t)=A0 e −γ t sin(ωt+φ) + θ0 dove A0, γ, ω, φ, θ0 sono i 5 parametri liberi da determinare. Si ricava pertanto il valore del parametro di smorzamento γ corrispondente alla posizione del magnete scelta. 3. Oscillazioni smorzate e forzate Mantenendo il magnete smorzante nella stessa posizione del punto 2), si aziona l’oscillatore elettromeccanico, si legge dalla acquisizione della fotocella il periodo corrispondente. Ogni volta che si cambia il periodo della forzante si deve attendere che il sistema si sia stabilizzato, e l’ampiezza delle oscillazioni divenuta costante, prima di raccogliere i dati. Dal grafico della posizione angolare in funzione del tempo si misura il periodo delle oscillazioni e la loro ampiezza. Si raccolgano almeno una decina di misure variando la pulsazione dell’oscillatore nella regione compresa tra circa ω0 /4 e 2 ω0. Si costruisca una tabella con i valori di periodo, pulsazione e ampiezza e si costruisca un grafico di A in funzione di ω. Si interpolano i dati con una funzione del tipo:

222220

0

4)()(

ωγωωω

+−= MA

dove M0, γ, ω0 sono i 3 parametri liberi da determinare. Si confronti il valore ottenuto per ω0 con quello misurato al punto 1) per le oscillazioni libere e si confronti il valore del parametro di smorzamento γ con quello ottenuto al punto 2). Si sposti il magnete in modo da variare significativamente lo smorzamento e si ripetano le misure ai punti 2 e 3. Si confrontino le curve di risonanza ottenute al variare dello smorzamento.